Hogyan lehet egyenleteket megoldani paraméterekkel. Paraméteres egyenletrendszerek
NAK NEK feladatok paraméterrel Ez magában foglalhatja például a lineáris és másodfokú egyenletek megoldásainak keresését általános formában, a rendelkezésre álló gyökszám egyenletének tanulmányozását a paraméter értékétől függően.
Részletes definíciók megadása nélkül tekintse meg példaként a következő egyenleteket:
y = kx, ahol x, y változók, k egy paraméter;
y = kx + b, ahol x, y változók, k és b paraméterek;
ax 2 + bx + c = 0, ahol x változók, a, b és c egy paraméter.
Egy egyenlet (egyenlőtlenség, rendszer) paraméterrel történő megoldása főszabály szerint végtelen egyenlethalmaz (egyenlőtlenség, rendszer) megoldását jelenti.
A paraméteres feladatok két típusra oszthatók:
A) a feltétel azt mondja: oldja meg az egyenletet (egyenlőtlenség, rendszer) - ez azt jelenti, hogy a paraméter minden értékére megtalálja az összes megoldást. Ha legalább egy eset kivizsgálatlan marad, egy ilyen megoldás nem tekinthető kielégítőnek.
b) meg kell adni a paraméter lehetséges értékeit, amelyeknél az egyenlet (egyenlőtlenség, rendszer) bizonyos tulajdonságokkal rendelkezik. Például van egy megoldása, nincsenek megoldásai, vannak az intervallumhoz tartozó megoldások stb. Az ilyen feladatoknál egyértelműen jelezni kell, hogy a kívánt feltétel milyen paraméterértéknél teljesül.
A paraméter, mivel egy ismeretlen fix szám, egyfajta sajátos kettősséggel bír. Először is figyelembe kell venni, hogy a feltételezett hírnév azt jelzi, hogy a paramétert számként kell felfogni. Másodszor, a paraméter manipulálásának szabadságát korlátozza annak homálya. Előzetes kutatást igényelnek például azok a műveletek, amelyek egy paramétert tartalmazó kifejezéssel osztanak, vagy egy ilyen kifejezésből egy páros fok gyökerét vonják ki. Ezért óvatosan kell kezelni a paramétert.
Például két -6a és 3a szám összehasonlításához három esetet kell figyelembe vennie:
1) -6a nagyobb lesz 3a-nál, ha a negatív szám;
2) -6a = 3a abban az esetben, ha a = 0;
3) -6a kisebb lesz, mint 3a, ha a pozitív szám 0.
A megoldás lesz a válasz.
Legyen adott a kx = b egyenlet. Ez az egyenlet végtelen számú, egy változós egyenlet rövid alakja.
Az ilyen egyenletek megoldása során előfordulhatnak esetek:
1. Legyen k tetszőleges valós szám, amely nem egyenlő nullával, b pedig tetszőleges szám R-ből, akkor x = b/k.
2. Legyen k = 0 és b ≠ 0, az eredeti egyenlet 0 x = b alakot ölt. Nyilvánvaló, hogy ennek az egyenletnek nincs megoldása.
3. Legyen k és b nullával egyenlő számok, akkor 0 x = 0 egyenlőségünk lesz. Megoldása tetszőleges valós szám.
Algoritmus az ilyen típusú egyenlet megoldására:
1. Határozza meg a paraméter „vezérlő” értékeit.
2. Oldja meg az x eredeti egyenletét az első bekezdésben meghatározott paraméterértékekre.
3. Oldja meg az x eredeti egyenletét az első bekezdésben kiválasztottaktól eltérő paraméterértékekre.
4. A választ az alábbi formában írhatja meg:
1) ... (paraméterértékek) esetén az egyenletnek ... gyöke van;
2) ... (paraméterértékek) esetén nincs gyök az egyenletben.
1. példa
Oldja meg az egyenletet a |6 – x| paraméterrel = a.
Megoldás.
Könnyen belátható, hogy itt a ≥ 0.
A 6. modul szabálya szerint – x = ±a, x-et fejezünk ki:
Válasz: x = 6 ± a, ahol a ≥ 0.
2. példa
Oldja meg az a(x – 1) + 2(x – 1) = 0 egyenletet az x változóra vonatkozóan!
Megoldás.
Nyissuk ki a zárójeleket: aх – а + 2х – 2 = 0
Írjuk fel az egyenletet szabványos formában: x(a + 2) = a + 2.
Ha az a + 2 kifejezés nem nulla, azaz ha a ≠ -2, akkor az x = (a + 2) / (a + 2) megoldást kapjuk, azaz. x = 1.
Ha a + 2 egyenlő nullával, azaz. a = -2, akkor megvan a helyes 0 x = 0 egyenlőség, tehát x tetszőleges valós szám.
Válasz: x = 1, ha a ≠ -2, és x € R, ha a = -2.
3. példa
Oldja meg az x/a + 1 = a + x egyenletet az x változóra vonatkozóan!
Megoldás.
Ha a = 0, akkor az egyenletet a + x = a 2 + ax vagy (a – 1)x = -a(a – 1) alakra alakítjuk. Az a = 1 utolsó egyenlete 0 x = 0, ezért x tetszőleges szám.
Ha a ≠ 1, akkor az utolsó egyenlet x = -a formában lesz.
Ezt a megoldást a koordináta egyenesen lehet szemléltetni (1. ábra)
Válasz: a = 0-ra nincs megoldás; x – tetszőleges szám, amelynek a = 1; x = -a, ha a ≠ 0 és a ≠ 1.
Grafikus módszer
Nézzünk egy másik módot az egyenletek paraméterrel történő megoldására - grafikusan. Ezt a módszert meglehetősen gyakran használják.
4. példa
Az a paramétertől függően hány gyökből áll az ||x| egyenlet – 2| = a?
Megoldás.
A grafikus módszerrel történő megoldáshoz az y = ||x| függvények gráfjait készítjük – 2| és y = a (2. ábra).
A rajzon jól láthatóak az y = a egyenes helyének lehetséges esetei és az egyes gyökök száma.
Válasz: az egyenletnek nem lesz gyöke, ha a< 0; два корня будет в случае, если a >2 és a = 0; az egyenletnek három gyöke lesz a = 2 esetén; négy gyökér – 0-nál< a < 2.
5. példa
Milyen esetben a 2|x| egyenlet + |x – 1| = a-nak egyetlen gyöke van?
Megoldás.
Ábrázoljuk az y = 2|x| függvények grafikonjait + |x – 1| és y = a. Ha y = 2|x| + |x – 1|, a modulokat az intervallum módszerrel kibővítve kapjuk:
(-3x + 1, x-nél< 0,
y = (x + 1, ha 0 ≤ x ≤ 1,
(3x – 1, ha x > 1.
Tovább 3. ábra Jól látható, hogy az egyenletnek csak akkor lesz egyetlen gyöke, ha a = 1.
Válasz: a = 1.
6. példa.
Határozza meg az |x + 1| egyenlet megoldásainak számát! + |x + 2| = a az a paramétertől függően?
Megoldás.
Az y = |x + 1| függvény grafikonja + |x + 2| szaggatott vonal lesz. Csúcsai a (-2; 1) és (-1; 1) pontokban helyezkednek el. (4. ábra).
Válasz: ha az a paraméter kisebb egynél, akkor az egyenletnek nem lesz gyöke; ha a = 1, akkor az egyenlet megoldása egy végtelen számhalmaz a [-2; -1]; ha az a paraméter értéke nagyobb, mint egy, akkor az egyenletnek két gyöke lesz.
Van még kérdése? Nem tudja, hogyan kell egyenleteket megoldani paraméterekkel?
Ha segítséget szeretne kérni egy oktatótól, regisztráljon.
Az első óra ingyenes!
weboldalon, az anyag teljes vagy részleges másolásakor a forrásra mutató hivatkozás szükséges.
A $a$ paraméter mely értékeire van legalább egy megoldása a $()-x^2 + (a + 2)x - 8a - 1 > 0$ egyenlőtlenségnek?
Megoldás
Csökkentsük ezt az egyenlőtlenséget pozitív együtthatóvá $x^2$ esetén:
$()-x^2 + (a + 2)x - 8a - 1 > 0 \quad \Leftrightarrow \quad x^2 - (a + 2)x + 8a + 1< 0 .$
Számítsuk ki a diszkriminánst: $D = (a + 2)^2 - 4(8a + 1) = a^2 + 4a + 4 - 32a - 4 = a^2 - 28a$. Ahhoz, hogy ennek az egyenlőtlenségnek legyen megoldása, szükséges, hogy a parabola legalább egy pontja a $x$ tengely alatt legyen. Mivel a parabola ágai felfelé irányulnak, ez megköveteli, hogy az egyenlőtlenség bal oldalán lévő négyzetháromságnak kétgyöke legyen, azaz a diszkriminánsa pozitív legyen. Elérkeztünk a $a^2 - 28a > 0$ másodfokú egyenlőtlenség megoldásának szükségességéhez. Az $a^2 - 28a$ négyzetháromtagnak két gyöke van: $a_1 = 0$, $a_2 = 28$. Ezért az $a^2 - 28a > 0$ egyenlőtlenséget kielégítik a $a \in (-\infty; 0) \cup (28; + \infty)$ intervallumok.
Válasz.$a \in (-\infty; 0) \cup (28; + \infty)$.
A $a$ paraméter mely értékeire van legalább egy gyöke a $(a-2)x^2-2ax+a+3=0$ egyenletnek, és minden gyöke pozitív?
Megoldás
Legyen $a=2$. Ekkor az egyenlet $() - 4x +5 = 0$ alakot ölt, amiből azt kapjuk, hogy $x=\dfrac(5)(4)$ pozitív gyök.
Legyen most $a\ne 2$. Ez egy másodfokú egyenletet eredményez. Először határozzuk meg, hogy a $a$ paraméter mely értékeinél gyökerezik ez az egyenlet. A diszkrimináns nem lehet negatív. Azaz:
$ D = 4a^2 - 4(a-2)(a+3) =() -4a+24\geqslant 0\Leftrightarrow a\leqslant 6.$
A feltétel szerinti gyököknek pozitívnak kell lenniük, ezért Vieta tételéből a következő rendszert kapjuk:
$ \begin(esetek)x_1 + x_2 = \dfrac(2a)(a - 2)>0,\\ x_1x_2 = \dfrac(a + 3)(a - 2)> 0,\\a\leqslant 6\end (esetek) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases)a\in(- \infty;0)\cup(2; +\infty), \\ a\in(- \infty;-3)\cup( 2; +\infty), \\ a\in(-\infty;6] \end(cases)\quad\Leftrightarrow \quad a\in(-\infty;-3)\cup(2;6]. $
Összevonjuk a válaszokat, és megkapjuk a szükséges halmazt: $a\in(-\infty;-3)\cup$.
Válasz.$a\in(-\infty;-3)\cup$.
A $a$ paraméter mely értékeire nincs megoldása a $ax^2 + 4ax + 5 \leqslant 0$ egyenlőtlenségnek?
Megoldás
- Ha $a = 0$, akkor ez az egyenlőtlenség a $5 \leqslant 0$ egyenlőtlenséggé fajul, amelynek nincs megoldása. Ezért az $a = 0$ érték kielégíti a probléma feltételeit.
- Ha $a > 0$, akkor az egyenlőtlenség bal oldalán a másodfokú trinomiális grafikonja egy parabola, amelynek ágai felfelé mutatnak. Számítsuk ki $\dfrac(D)(4) = 4a^2 - 5a$. Az egyenlőtlenségnek nincs megoldása, ha a parabola az x tengely felett helyezkedik el, vagyis ha a négyzetháromtagnak nincs gyöke ($D< 0$). Решим неравенство $4a^2 - 5a < 0$. Корнями квадратного трёхчлена $4a^2 - 5a$ являются числа $a_1 = 0$ и $a_2 = \dfrac{5}{4}$, поэтому $D < 0$ при $0 < a < \dfrac{5}{4}$. Значит, из положительных значений $a$ подходят числа $a \in \left(0; \dfrac{5}{4}\right)$.
- Ha $a< 0$, то график квадратного трехчлена в левой части неравенства - парабола с ветвями, направленными вниз. Значит, обязательно найдутся значения $х$, для которых трёхчлен отрицателен. Следовательно, все значения $a < 0$ не подходят.
Válasz.$a \in \left$ a gyökök között van, tehát két gyökérnek kell lennie (azaz $a\ne 0$). Ha a $y = ax^2 + (a + 3)x - 3a$ parabola ágai felfelé irányulnak, akkor $y(-1)< 0$ и $y(1) < 0$; если же они направлены вниз, то $y(-1) >0$ és $y(1) > 0$.
I. eset. Legyen $a > 0$. Akkor
$\left\( \begin(array)(l) y(-1)=a-(a+3)-3a=-3a-3<0 \\ y(1)=a+(a+3)-3a=-a+3<0 \\ a>0 \end(tömb) \jobbra. \quad \Leftrightarrow \quad \left\( \begin(array)(l) a>-1 \\ a>3 \\ a>0 \end(array) \right.\quad \Leftrightarrow \quad a>3. $
Vagyis ebben az esetben kiderül, hogy minden $a > 3$ megfelelő.
ügy II. Hagyja, hogy $a< 0$. Тогда
$\left\( \begin(array)(l) y(-1)=a-(a+3)-3a=-3a-3>0 \\ y(1)=a+(a+3)-3a =-a+3>0 \\ a<0 \end{array} \right.\quad \Leftrightarrow \quad \left\{ \begin{array}{l} a<-1 \\ a<3 \\ a<0 \end{array} \right.\quad \Leftrightarrow \quad a<-1.$
Vagyis ebben az esetben kiderül, hogy minden $a megfelelő< -1$.
Válasz.$a\in (-\infty ;-1)\cup (3;+\infty)$
Keresse meg az $a$ paraméter összes értékét, amelyek mindegyikére az egyenletrendszer
$ \begin(esetek) x^2+y^2 = 2a, \\ 2xy=2a-1 \end(esetek) $
pontosan két megoldása van.
Megoldás
Vonjuk ki a másodikat az elsőből: $(x-y)^2 = 1$. Akkor
$ \left[\begin(tömb)(l) x-y = 1, \\ x-y = -1 \end(tömb)\jobbra. \quad \Leftrightarrow \quad \left[\begin(array)(l) x = y+1, \\ x = y-1. \end(tömb)\jobbra. $
A kapott kifejezéseket a rendszer második egyenletébe behelyettesítve két másodfokú egyenletet kapunk: $2y^2 + 2y - 2a + 1 = 0$ és $2y^2 - 2y - 2a + 1 =0$. Mindegyikük diszkriminánsa $D = 16a-4$.
Megjegyezzük, hogy nem fordulhat elő, hogy az első másodfokú egyenlet gyökpárja egybeessen a második másodfokú egyenlet gyökpárjával, mivel az első gyökeinek összege $-1$, a másodiké pedig 1 .
Ez azt jelenti, hogy minden egyenletnek egy gyökérrel kell rendelkeznie, akkor az eredeti rendszernek két megoldása lesz. Azaz $D = 16a - 4 = 0$.
Válasz.$a=\dfrac(1)(4)$
Keresse meg az $a$ paraméter összes értékét, amelyek mindegyikére a $4x-|3x-|x+a||=9|x-3|$ egyenletnek két gyöke van.
Megoldás
Írjuk át az egyenletet a következőképpen:
9 $|x-3|-4x+|3x-|x+a|| = 0.$
Tekintsük a $f(x) = 9|x-3|-4x+|3x-|x+a||$ függvényt.
Amikor $x\geqslant 3$, az első modul egy pluszjellel bővül, és a függvény a következő alakot ölti: $f(x) = 5x-27+|3x-|x+a||$. Nyilvánvaló, hogy a modulok bármilyen bővítésével egy lineáris függvény lesz az eredmény $k\geqslant 5-3-1=1>0$ együtthatóval, vagyis ez a függvény korlátlanul növekszik egy adott intervallumon keresztül.
Tekintsük most a $x intervallumot<3$. В этом случае первый модуль раскрывается с минусом, и функция принимает следующий вид: $f(x) = - 13x+27+|3x-|x+a||$. При любом раскрытии модулей в итоге будет получаться линейная функция с коэффициентом $k\leqslant - 13+3+1 = - 9<0$, то есть на этом промежутке функция убывает.
Tehát megkaptuk, hogy $x=3$ ennek a függvénynek a minimális pontja. Ez azt jelenti, hogy ahhoz, hogy az eredeti egyenletnek két megoldása legyen, a függvény értékének a minimumpontban kisebbnek kell lennie nullánál. Vagyis teljesül a következő egyenlőtlenség: $f(3)<0$.
$ 12-|9-|3+a||>0 \quad \Baljobbra nyíl \quad |9-|3+a||< 12 \quad \Leftrightarrow \quad -12 < 9-|3+a| < 12 \quad \Leftrightarrow \quad$
$\Leftrightarrow\quad |3+a|< 21 \quad \Leftrightarrow \quad - 21 < 3+a < 21 \quad \Leftrightarrow \quad -24 Válasz.$a \in (-24; 18)$ A $a$ paraméter mely értékeire van egyedi gyöke a $5^(2x)-3\cdot 5^x+a-1=0$ egyenletnek? Cseréljük le: $t = 5^x > 0$. Ekkor az eredeti egyenlet egy másodfokú egyenlet alakját veszi fel: $t^2-3t+a-1 =0$. Az eredeti egyenletnek egyetlen gyöke lesz, ha ennek az egyenletnek egy pozitív gyöke vagy két gyöke van, amelyek közül az egyik pozitív, a másik negatív. Az egyenlet diszkriminánsa: $D = 13-4a$. Ennek az egyenletnek egy gyöke lesz, ha az eredményül kapott diszkrimináns nullával egyenlő, azaz $a = \dfrac(13)(4)$ esetén. Ebben az esetben a gyökér $t=\dfrac(3)(2) > 0$, tehát ez az $a$ érték megfelelő. Ha két gyök van, amelyek közül az egyik pozitív, a másik nem pozitív, akkor $D = 13-4a > 0$, $x_1+x_2 = 3 > 0$ és $x_1x_2 = a - 1 \leqslant 0$ . Azaz $a\in(-\infty;1]$ Válasz.$a\in(-\infty;1]\cup\left\(\dfrac(13)(4)\right\)$ Keresse meg a $a$ paraméter összes értékét, amelyre a rendszert használja $ \begin(esetek)\log_a y = (x^2-2x)^2, \\ x^2+y=2x\end(esetek) $ pontosan két megoldása van. Alakítsuk át a rendszert a következő formára: $ \begin(esetek) \log_a y = (2x-x^2)^2, \\ y = 2x-x^2. \end(esetek)$ Mivel az $a$ paraméter a logaritmus alapján van, a következő korlátozások vonatkoznak rá: $a>0$, $a \ne 1$. Mivel a $y$ változó a logaritmus argumentuma, akkor $y > 0$. A rendszer mindkét egyenletének egyesítése után továbblépünk a következő egyenletre: $\log_a y = y^2$. Attól függően, hogy milyen értékeket vesz fel a $a$ paraméter, két eset lehetséges: Válasz.$a\in(0;1)$ Tekintsük azt az esetet, amikor $a > 1$. Mivel a $t$ nagy abszolút értékeinél a $f(t) = a^t$ függvény grafikonja a $g(t) = t$ egyenes felett helyezkedik el, így az egyetlen közös pont csak egy pont lehet. az érintésről. Legyen $t_0$ az érintési pont. Ezen a ponton a $f(t) = a^t$ deriváltja egyenlő egységgel (az érintőszög érintője), ráadásul mindkét függvény értéke egybeesik, vagyis a rendszer zajlik: $ \begin(cases) a^(t_0)\ln a = 1, \\ a^(t_0) = t_0 \end(esetek) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases) a^(t_0) = \dfrac (1)(\ln a), \\ a^(\tau) = \tau \end(esetek) $ Honnan $t_0 = \dfrac(1)(\ln a)$. $ a^(\frac(1)(\ln a))\ln a = 1 \quad \Leftrightarrow \quad a^(\log_a e) =\frac(1)(\ln a) \quad \Leftrightarrow \quad a = e^(\frac(1)(e)). $ Ugyanakkor a közvetlen és az exponenciális függvénynek nyilvánvalóan nincs más közös pontja. Válasz.$a \in (0;1] \csésze \left\(e^(e^(-1))\jobbra\)$ A forma egyenlete f(x; a) = 0-t hívunk egyenlet változóval xés paraméter A.
Oldja meg az egyenletet paraméterrel A– ez minden értéknél azt jelenti Aértékeket találni x, amely kielégíti ezt az egyenletet. 1. példa Ó= 0 2. példa Ó = A 3. példa
x + 2 = ah Ha 1- A= 0, azaz A= 1, akkor x 0 = -2 nincs gyök Ha 1- A 0, azaz A 1, akkor x = 4. példa (A 2 – 1) x = 2A 2 + A – 3 Ha A= 1, majd 0 x = 0 Ha A= -1, majd 0 x = -2 Ha A 1, A-1 akkor x= (az egyetlen megoldás). Ez azt jelenti, hogy minden érvényes értéknél A egyetlen értéknek felel meg x. Például: Ha A= 5, akkor x = = ; Ha A= 0, akkor x= 3 stb. 1. Ó = x + 3 2. 4 + Ó = 3x – 1 3. A = + nál nél A= 1 nincs gyök. nál nél A= 3 nincs gyökér. nál nél A = 1 x– bármely valós szám, kivéve x = 1 nál nél A = -1, A= 0 nincs megoldás. nál nél A = 0, A= 2 nincs megoldás. nál nél A = -3, A = 0, 5, A= -2 nincs megoldás nál nél A = -Val vel, Val vel= 0 nincs megoldás. 1. példa Oldja meg az egyenletet (A – 1)x 2 = 2(2A + 1)x + 4A
+ 3 = 0 Nál nél A = 1 6x + 7 = 0 Amikor A 1, kiemeljük azokat a paraméterértékeket, amelyeknél D nullára megy. D = (2(2 A + 1)) 2 – 4(A – 1)(4A + 30 = 16A 2
+ 16A + 4 – 4(4A 2 + 3A – 4A – 3) = 16A 2
+ 16A + 4 – 16A 2 + 4A + 12 = 20A + 16 20A + 16 = 0 20A = -16 Ha A < -4/5, то D < 0, уравнение имеет
действительный корень. Ha A> -4/5 és A 1, akkor D > 0, x = Ha A= 4/5 tehát D = 0, 2. példa Az a paraméter mely értékeinél érvényesül az egyenlet x 2 + 2( A + 1)x + 9A– 5 = 0-nak 2 különböző negatív gyökere van? D = 4( A + 1) 2 – 4(9A – 5) = 4A 2
– 28A + 24 = 4(A – 1)(A – 6) 4(A – 1)(A – 6) > 0 a t. Vietán keresztül: x 1 + x 2 = -2(A + 1) Feltétel szerint x 1 < 0, x 2 < 0 то
–2(A + 1) < 0 и 9A – 5 > 0 (Rizs. 1) < a
< 1, либо a > 6 3. példa Keresse meg az értékeket A, amelyre ennek az egyenletnek van megoldása. x 2 – 2( A – 1)x + 2A + 1 = 0 D = 4( A – 1) 2 – 4(2A + 10 = 4A 2
– 8A + 4 – 8A – 4 = 4A 2 – 16A 4A 2 – 16 0 4A(A – 4) 0 A( A – 4)) 0 A( A – 4) = 0 a = 0 vagy A – 4 = 0 (Rizs. 2) Válasz: A 0 és A 4 1. Milyen értékben A az egyenlet Ó 2
– (A + 1) x + 2A– 1 = 0-nak egy gyöke van? 2. Milyen értékben A az egyenlet ( A + 2) x 2
+ 2(A + 2)x+ 2 = 0-nak egy gyöke van? 3. Milyen a értékeire vonatkozik a ( A 2
– 6A + 8) x 2 + (A 2 – 4) x + (10
– 3A – A 2) = 0-nak kettőnél több gyöke van? 4. Milyen a értékei esetén a 2. egyenlet x 2 + x
– A= 0-nak legalább egy közös gyöke van a 2-es egyenlettel x 2 – 7x + 6 = 0? 5. Az egyenlet mely értékeire x 2 +Ó+ 1 = 0 és x 2 + x + A= 0-nak van legalább egy közös gyöke? 1. Mikor A = - 1/7, A = 0, A = 1 2. Mikor A = 0 3. Mikor A = 2 4. Mikor A = 10 5. Mikor A = - 2 1. példa.Minden érték keresése A, amelyre az egyenlet 9 x – ( A+ 2)*3 x-1/x +2 A*3 -2/x = 0 (1) pontosan két gyöke van. Megoldás. Az (1) egyenlet mindkét oldalát megszorozva 3 2/x-el, megkapjuk az ekvivalens egyenletet 3 2(x+1/x) – ( A+ 2)*3 x+1/x + 2 A = 0 (2) Legyen 3 x+1/x = nál nél, akkor a (2) egyenlet alakját veszi fel nál nél 2 – (A + 2)nál nél + 2A= 0, vagy (nál nél – 2)(nál nél – A) = 0, honnan nál nél 1 =2, nál nél 2
= A. Ha nál nél= 2, azaz 3 x+1/x = 2 akkor x + 1/x= log 3 2, ill x 2 – x log 3 2 + 1 = 0. Ennek az egyenletnek nincs valódi gyökere, hiszen az D= log 2 3 2 – 4< 0. Ha nál nél = A, azaz 3 x+1/x = A Hogy x +
1/x= log 3 A, vagy x 2 –x log 3 a + 1 = 0. (3) A (3) egyenletnek pontosan két gyöke van akkor és csak akkor D = log 2 3 2 – 4 > 0, vagy |log 3 a| > 2. Ha log 3 a > 2, akkor A> 9, és ha log 3 a< -2, то 0 < A < 1/9. Válasz: 0< A < 1/9, A > 9. 2. példa. Mekkora a értékeinél a 2 egyenlet 2x – ( A - 3) 2 x – 3 A= 0-nak vannak megoldásai? Ahhoz, hogy egy adott egyenletnek megoldásai legyenek, szükséges és elégséges, hogy az egyenlet t 2 – (a – 3) t – 3a= 0-nak legalább egy pozitív gyöke volt. Keressük meg a gyökereket Vieta tételével: x 1 = -3, x 2
= A = > a egy pozitív szám. Válasz: mikor A > 0 1. Keresse meg a minden olyan értékét, amelyre az egyenlet vonatkozik 25 x – (2 A+ 5)*5 x-1/x + 10 A* 5 -2/x = 0-nak pontosan 2 megoldása van. 2. Milyen a értékeire vonatkozik az egyenlet 2 (a-1)x?+2(a+3)x+a = 1/4 egyetlen gyöke van? 3. Az a paraméter mely értékeinél érvényesül az egyenlet 4 x - (5 A-3)2 x +4 A 2 – 3A= 0 egyedi megoldása van? 1. példa Keresse meg az összes értéket A, amelyre az egyenlet napló 4x (1 + Ó) = 1/2 (1) egyedi megoldása van. Megoldás. Az (1) egyenlet ekvivalens az egyenlettel 1 + Ó = 2x nál nél x
> 0, x 1/4 (3) x = nál nél y 2 – nál nél + 1 = 0 (4) A (2) feltétel (3) nem teljesül. Hadd A 0, akkor AU 2
– 2nál nél+ 1 = 0-nak akkor és csak akkor van valódi gyöke D = 4 – 4A 0, azaz nál nél A 1. A (3) egyenlőtlenség megoldásához ábrázoljuk a függvényeket Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Az algebra és a matematikai elemzés tanfolyamának elmélyült tanulmányozása. – M.: Oktatás, 1990 Az egyenletek használata széles körben elterjedt életünkben. Számos számításnál, szerkezetek építésénél és még sportolásnál is használják. Az ember az ókorban használt egyenleteket, azóta használatuk csak nőtt. A matematikában vannak olyan problémák, amelyekben lineáris és másodfokú egyenletekre kell megoldást keresni általános formában, vagy meg kell keresni, hogy egy egyenletnek hány gyöke van egy paraméter értékétől függően. Mindezeknek a feladatoknak vannak paraméterei. Tekintsük szemléltető példaként a következő egyenleteket: \[y = kx,\] ahol \ változók, \ egy paraméter; \[y = kx + b,\] ahol \ változók, \ paraméter; \[аx^2 + bх + с = 0,\] ahol \ egy változó, \[а, b, с\] egy paraméter. Egy egyenlet paraméterrel való megoldása általában egy végtelen egyenlethalmaz megoldását jelenti. Egy bizonyos algoritmust követve azonban könnyedén megoldhatja a következő egyenleteket: 1. Határozza meg a paraméter „vezérlő” értékeit. 2. Oldja meg a [\x\] eredeti egyenletét az első bekezdésben meghatározott paraméterértékekkel. 3. Oldja meg a [\x\] eredeti egyenletét az első bekezdésben kiválasztottaktól eltérő paraméterértékekre. Tegyük fel, hogy a következő egyenletet kapjuk: \[\mid 6 - x \mid = a.\] A kezdeti adatok elemzése után egyértelmű, hogy a \[\ge 0.\] A modulus szabály szerint \ kifejezzük \ Válasz: \hol\ Az egyenletet a https://site weboldalunkon tudja megoldani. Az ingyenes online megoldó segítségével pillanatok alatt megoldhat bármilyen bonyolultságú online egyenletet. Mindössze annyit kell tennie, hogy egyszerűen beírja adatait a megoldóba. Weboldalunkon videós utasításokat is megtekinthet, és megtanulhatja az egyenlet megoldását. És ha továbbra is kérdései vannak, felteheti őket a VKontakte csoportunkban: http://vk.com/pocketteacher. Csatlakozz csoportunkhoz, mindig szívesen segítünk.Megoldás
Megoldás
x – ah = -2
x(1 – a) = -2
(A – 1)(A + 1)x = 2(A – 1)(A – 1,5)
(A – 1)(A + 1)x = (1A – 3)(A – 1)
x– bármilyen valós szám
nincsenek gyökerei
Didaktikai anyag
Másodfokú egyenletek paraméterrel
x 1 x 2 = 9A – 5Végül is
4(A – 1)(A – 6) > 0
- 2(A + 1) < 0
9A – 5 > 0
A < 1: а > 6
A > - 1
A > 5/9
A = 4
Didaktikai anyag
Exponenciális egyenletek paraméterrel
Didaktikai anyag
Logaritmikus egyenletek paraméterekkel
Hol tudok online megoldani egy paraméteres egyenletet?
Előző cikk: Mekkora a fénysebesség
Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete