Keresse meg a háromszög területét, minden oldala ismert. Hogyan kell kiszámítani a háromszög területét

A terület fogalma

Bármely geometriai alakzat, különösen a háromszög területének fogalma olyan alakhoz, például négyzethez kapcsolódik. Bármely geometriai alakzat egységnyi területéhez egy olyan négyzet területét vesszük, amelynek oldala eggyel egyenlő. A teljesség kedvéért emlékezzünk meg a geometriai alakzatok területfogalmának két alapvető tulajdonságáról.

1. tulajdonság: Ha a geometriai alakzatok egyenlőek, akkor területük is egyenlő.

2. tulajdonság: Bármely figura több figurára osztható. Ezenkívül az eredeti ábra területe megegyezik az összes alkotó alakzat területének összegével.

Nézzünk egy példát.

1. példa

Nyilvánvaló, hogy a háromszög egyik oldala egy téglalap átlója, melynek egyik oldala $5$ hosszú (mivel $5$ cellák vannak), a másik oldala pedig $6$ (mivel $6$ cellák vannak). Ezért ennek a háromszögnek a területe egyenlő lesz egy ilyen téglalap felével. A téglalap területe a

Ekkor a háromszög területe egyenlő

Válasz: 15 dollár.

Ezután számos módszert fogunk megvizsgálni a háromszögek területének megtalálására, nevezetesen a magasság és az alap felhasználásával, a Heron képletével és egy egyenlő oldalú háromszög területével.

Hogyan lehet megtalálni egy háromszög területét a magassága és az alapja alapján

1. tétel

A háromszög területe az oldal hosszának és az oldal magasságának szorzatának felében található.

Matematikailag így néz ki

$S=\frac(1)(2)αh$

ahol $a$ az oldal hossza, $h$ a hozzá húzott magasság.

Bizonyíték.

Tekintsünk egy $ABC$ háromszöget, amelyben $AC=α$. Erre az oldalra húzzuk a $BH$ magasságot, ami egyenlő a $h$-val. Építsük fel a $AXYC$ négyzetre a 2. ábrán látható módon.

A $AXBH$ téglalap területe $h\cdot AH$, a $HBYC$ téglalapé pedig $h\cdot HC$. Majd

$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$

Ezért a háromszög szükséges területe a 2. tulajdonság szerint egyenlő

$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$

A tétel bebizonyosodott.

2. példa

Keresse meg a háromszög területét az alábbi ábrán, ha a cella területe eggyel egyenlő

Ennek a háromszögnek az alapja $9$ (mivel a 9$ $9$ négyzet). A magassága is 9 dollár. Ekkor az 1. Tétel alapján azt kapjuk

$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40,5$

Válasz: 40,5 dollár.

Heron képlete

2. tétel

Ha megadjuk egy háromszög $α$, $β$ és $γ$ három oldalát, akkor a területe a következőképpen kereshető

$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

itt a $ρ$ ennek a háromszögnek a fél kerületét jelenti.

Bizonyíték.

Tekintsük a következő ábrát:

A Pitagorasz-tétellel az $ABH$ háromszögből kapjuk

A $CBH$ háromszögből a Pitagorasz-tétel szerint van

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

Ebből a két összefüggésből megkapjuk az egyenlőséget

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$

$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$

$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$

$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$

Mivel $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, akkor $α+β+γ=2ρ$, ami azt jelenti,

$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$

$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$

$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$

$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Az 1. tétel alapján azt kapjuk

$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

A geometria, pontosabban a planimetria egyes problémái megkövetelik egy adott ábra területének megtalálását. Bármely ábra területe lehet a probléma végső célja és egy összetettebb képletre való helyettesítéshez szükséges közbenső számítás. Ilyen problémák esetén gyakran meg kell találni egy háromszög területét. A kezdeti adatok változhatnak. Egyes esetekben ismert a háromszög egyes oldala és a hozzá húzott magasság értéke, másokban - a háromszög kerülete stb.

Tegyük fel, hogy meg kell keresni egy háromszög területét, ha három oldala ismert. Egy ilyen háromszög területének meghatározásához a Heron képletét használják. A terület meghatározásához ezzel a képlettel először ki kell számítania a háromszög (n) fél kerületét. Mindhárom oldal jelentésének ismeretében ezt könnyű megtenni. Össze kell foglalnia a háromszög összes oldalát - ez lesz a kerülete, majd el kell osztani a kapott értéket kettővel. Ezt követően a fél kerület értékéből sorra ki kell vonni a háromszög adott három oldalának hosszát, azaz n-ből ki kell vonni a-t, majd n-ből kivonni b-t, végül c-t n.

A kapott három különbséget meg kell szorozni egymás között, és ezt a szorzatot ismét meg kell szorozni a fél kerület értékével. Miután elvégezte az összes fenti lépést, és megkapta a szorzás eredményét, ebből az eredményből ki kell vonnia a négyzetgyököt. A négyzetgyök felvétele után megjelenő szám az adott háromszög területe lesz. Ha röviden felírjuk, akkor a háromszög területének képlete a következő lesz: terület (S) = (n*(n-a) *(n-b) *(n-c)) négyzetgyöke. Amint a képletből megérthető, az ismert oldalértékekkel rendelkező háromszög megtalálásának problémája nagyon könnyen megoldható.

Például, hogyan lehet megtalálni egy háromszög területét, ha 3 oldala ismert: az a oldal 3 centiméter, a b oldal 4 centiméter és a c oldal 2 centiméter. Ennek a háromszögnek a kerülete egyenlő lesz a + b + c = 3 centiméter + 4 centiméter + 2 centiméter = 9 cm, így a fél kerülete 9: 2 = 4,5 centiméter Kapjuk: S = négyzetgyök (4,5 centiméter). * (4,5 centiméter - 3 centiméter) * (4,5 centiméter - 4 centiméter) * (4,5 centiméter - 2 centiméter)) = 2,9 négyzetcentiméter

Mi van akkor, ha az oldalak értékei nemcsak ismertek, hanem azt is jelzik, hogy a probléma körülményei szerint egyenlőek? Ebben az esetben hogyan lehet megtalálni a háromszög területét, ha minden oldal ismert és egyenlőek? Természetesen ki lehet számolni a fent tárgyalt Heron képletével is, de minek a felesleges számítások, ha egy ilyen háromszögre egy másik képletet származtattak, ami sokkal egyszerűbb, mint a Heron képlete. Ezzel a képlettel először ki kell számítani a 3 szám négyzetgyökét, majd a háromszög oldalának hosszának értékét fel kell emelni a második hatványra, meg kell szorozni ezt az értéket a második hatványra a 3 szám gyökével, és el kell osztani a kapott szorzat a 4-es számmal. Megkapja az adott háromszög területét. Leírva ez a képlet így néz ki: S=(a^2*root(3)) /4

Legyen egy háromszög, amelynek oldalhossza egyenlő 3 centiméterrel. Ezzel a képlettel megkaphatja egy ilyen háromszög területét: S=(3^2*gyök(3)) /4=3,9 négyzetcentiméter. Annak ellenőrzéséhez, hogy egy adott háromszög területét helyesen számították-e ki, további számításokat végezhet a Heron képletével, és összehasonlíthatja a kapott eredményeket.

Fél kerület (n) = (3+3+3) /2 = 4,5 centiméter. Heron képlete szerint a következőt kapjuk: S = négyzetgyök (4,5 centiméter * (4,5 centiméter - 3 centiméter) * (4,5 centiméter - 3 centiméter) * (4,5 centiméter - 3 centiméter)) = 3,9 négyzetcentiméter. Mindkét területérték, amelyeket különböző képletekkel találtunk, egybeesik. Ez azt jelenti, hogy a háromszög területe helyesen van meghatározva. Minden egyéb probléma megoldásánál figyelembe kell venni a feltételben szereplő adatokat, és az ezeknek az adatoknak megfelelő képletet kell használni.

Néha az életben vannak olyan helyzetek, amikor az emlékezetébe kell mélyednie, hogy a rég elfeledett iskolai tudást keresse. Például meg kell határoznia egy háromszög alakú telek területét, vagy eljött az idő egy lakásban vagy magánházban egy újabb felújításra, és ki kell számolnia, hogy mennyi anyagra lesz szükség egy felülethez. háromszög alakú. Volt idő, amikor néhány perc alatt meg lehetett oldani egy ilyen problémát, de most kétségbeesetten próbál emlékezni, hogyan kell meghatározni egy háromszög területét?

Ne törődj vele! Hiszen teljesen normális, amikor az ember agya úgy dönt, hogy a régen fel nem használt tudást valahova egy távoli sarokba helyezi át, ahonnan néha nem is olyan könnyű kiszedni. Annak érdekében, hogy egy ilyen probléma megoldásához ne kelljen az elfelejtett iskolai ismeretek keresésével küszködnie, ez a cikk különféle módszereket tartalmaz, amelyek megkönnyítik a háromszög kívánt területének megtalálását.

Köztudott, hogy a háromszög olyan sokszög típus, amely a lehető legkisebb oldalszámra korlátozódik. Elvileg bármely sokszög több háromszögre osztható, ha a csúcsait olyan szakaszokkal kötjük össze, amelyek nem metszik az oldalait. Ezért a háromszög ismeretében szinte bármilyen alakzat területét kiszámíthatja.

Az életben előforduló összes lehetséges háromszög közül a következő konkrét típusokat lehet megkülönböztetni: és téglalap alakú.

A háromszög területének kiszámításának legegyszerűbb módja, ha az egyik szöge derékszögű, azaz derékszögű háromszög esetén. Könnyen belátható, hogy fél téglalap. Ezért területe egyenlő az egymással derékszöget bezáró oldalak szorzatának felével.

Ha ismerjük annak a háromszögnek a magasságát, amelyet az egyik csúcsából a másik oldalra süllyesztettünk, és ennek az oldalnak a hosszát, amelyet alapnak nevezünk, akkor a területet a magasság és az alap szorzatának feleként számítjuk ki. Ezt a következő képlettel írják le:

S = 1/2*b*h, amelyben

S a háromszög szükséges területe;

b, h - a háromszög magassága és alapja.

Annyira könnyű kiszámítani egy egyenlő szárú háromszög területét, mert a magasság felezi az ellenkező oldalt, és könnyen mérhető. Ha a területet meghatározzuk, akkor célszerű magasságként az egyik derékszöget alkotó oldal hosszát venni.

Mindez természetesen jó, de hogyan állapítható meg, hogy egy háromszög egyik szöge helyes-e vagy sem? Ha kicsi a figuránk mérete, akkor használhatunk építőszöget, rajzháromszöget, képeslapot vagy más téglalap alakú tárgyat.

De mi van, ha van egy háromszög alakú telkünk? Ebben az esetben a következőképpen járjon el: a feltételezett derékszög tetejétől számítsa meg az egyik oldalon a távolság 3-szorosát (30 cm, 90 cm, 3 m), és a másik oldalon mérje meg a távolság többszörösét 4-gyel. arány (40 cm, 160 cm, 4 m). Most meg kell mérnie e két szegmens végpontjai közötti távolságot. Ha az eredmény 5 többszöröse (50 cm, 250 cm, 5 m), akkor azt mondhatjuk, hogy a szög megfelelő.

Ha az ábránk mindhárom oldalának hossza ismert, akkor a háromszög területe a Heron képletével meghatározható. Annak érdekében, hogy egyszerűbb formája legyen, egy új értéket használnak, amelyet félkörzetnek neveznek. Ez a háromszögünk összes oldalának összege, felezve. A fél kerület kiszámítása után megkezdheti a terület meghatározását a képlet segítségével:

S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)), ahol

sqrt - négyzetgyök;

p - fél kerületi érték (p = (a+b+c)/2);

a, b, c - a háromszög élei (oldalai).

De mi van akkor, ha a háromszög szabálytalan alakú? Itt két lehetséges út van. Ezek közül az első az, hogy megpróbálunk egy ilyen ábrát két derékszögű háromszögre osztani, amelyek területeinek összegét külön-külön számítjuk ki, majd összeadjuk. Vagy ha ismert a két oldal közötti szög és ezen oldalak mérete, akkor alkalmazza a képletet:

S = 0,5 * ab * sinC, ahol

a,b - a háromszög oldalai;

c az ezen oldalak közötti szög nagysága.

Ez utóbbi eset a gyakorlatban ritka, de ennek ellenére az életben minden lehetséges, így a fenti képlet nem lesz felesleges. Sok sikert a számításokhoz!

Amint arra az iskolai geometria tantervéből emlékszik, a háromszög egy olyan alakzat, amelyet három olyan szegmens alkot, amelyeket három pont köt össze, amelyek nem fekszenek ugyanazon az egyenesen. Egy háromszög három szöget alkot, innen ered az ábra neve. A meghatározás eltérő lehet. A háromszöget háromszögű sokszögnek is nevezhetjük, a válasz is helyes lesz. A háromszögeket az ábrákon az egyenlő oldalak száma és a szögek nagysága szerint osztjuk fel. Így a háromszögeket egyenlő szárúnak, egyenlő oldalúnak és léptékűnek, valamint téglalapnak, hegyesnek és tompaszögűnek különböztetjük meg.

Számos képlet létezik a háromszög területének kiszámítására. Válassza ki, hogyan keresse meg a háromszög területét, pl. Ön dönti el, hogy melyik formulát használja. De érdemes megjegyezni néhány olyan jelölést, amelyet számos képletben használnak a háromszög területének kiszámításához. Szóval ne feledd:

S a háromszög területe,

a, b, c a háromszög oldalai,

h a háromszög magassága,

R a körülírt kör sugara,

p a fél kerülete.

Íme az alapvető jelölések, amelyek hasznosak lehetnek, ha teljesen elfelejtette a geometria tanfolyamot. Az alábbiakban bemutatjuk a leginkább érthető és legegyszerűbb lehetőségeket a háromszög ismeretlen és titokzatos területének kiszámításához. Ez nem nehéz, és hasznos lesz mind a háztartási szükségletek, mind a gyerekek megsegítésére. Ne felejtsük el, hogyan kell a lehető legegyszerűbben kiszámítani egy háromszög területét:

Esetünkben a háromszög területe: S = ½ * 2,2 cm * 2,5 cm = 2,75 négyzetcm. Ne feledje, hogy a területet négyzetcentiméterben (négyzetcentiméterben) mérik.

Derékszögű háromszög és területe.

A derékszögű háromszög olyan háromszög, amelyben az egyik szög egyenlő 90 fokkal (ezért jobbra). Derékszöget két merőleges egyenes alkot (háromszög esetén két merőleges szakasz). Egy derékszögű háromszögben csak egy derékszög lehet, mert... bármely háromszög összes szögének összege 180 fokkal. Kiderült, hogy 2 másik szögnek el kell osztania a fennmaradó 90 fokot, például 70 és 20, 45 és 45 stb. Tehát emlékszel a fő dologra, csak az marad, hogy megtudja, hogyan találja meg a derékszögű háromszög területét. Képzeljük el, hogy van előttünk egy ilyen derékszögű háromszög, és meg kell találnunk az S területét.

1. A derékszögű háromszög területének meghatározásának legegyszerűbb módja a következő képlet segítségével számítható ki:

Esetünkben a derékszögű háromszög területe: S = 2,5 cm * 3 cm / 2 = 3,75 négyzetcm.

Elvileg már nincs szükség a háromszög területének más módon történő ellenőrzésére, mert Csak ez lesz hasznos és segít a mindennapi életben. De vannak lehetőségek a háromszög területének hegyesszögeken keresztüli mérésére is.

2. Más számítási módszerekhez koszinuszokat, szinuszokat és érintőket tartalmazó táblázattal kell rendelkeznie. Ítélje meg maga, itt van néhány lehetőség a még használható derékszögű háromszög területének kiszámítására:

Úgy döntöttünk, hogy az első képletet használjuk, és néhány apró folttal (füzetbe rajzoltuk, és egy régi vonalzót és szögmérőt használtunk), de a helyes számítást kaptuk:

S = (2,5*2,5)/(2*0,9)=(3*3)/(2*1,2). A következő eredményeket kaptuk: 3,6=3,7, de a cellák eltolódását figyelembe véve ezt az árnyalatot elnézhetjük.

Egyenlőszárú háromszög és területe.

Ha egy egyenlő szárú háromszög képletének kiszámításával kell szembenéznie, akkor a legegyszerűbb módja a háromszög területének fő és klasszikus képletének használata.

De először, mielőtt megtalálnánk egy egyenlő szárú háromszög területét, nézzük meg, milyen alakról van szó. Az egyenlő szárú háromszög olyan háromszög, amelynek két oldala azonos hosszúságú. Ezt a két oldalt laterálisnak, a harmadik oldalt alapnak nevezzük. Ne keverjük össze az egyenlő szárú háromszöget az egyenlő oldalú háromszöggel, pl. szabályos háromszög, amelynek mindhárom oldala egyenlő. Egy ilyen háromszögben nincs különösebb hajlam a szögekre, vagy inkább a méretükre. Egy egyenlő szárú háromszög alapjában lévő szögek azonban egyenlőek, de különböznek az egyenlő oldalak közötti szögtől. Tehát már ismeri az első és a fő képletet, hogy megtudja, milyen más képletek ismertek az egyenlő szárú háromszög területének meghatározására:

A háromszög mindenki számára ismerős alak. És ez a formák gazdag változatossága ellenére. Téglalap alakú, egyenlő oldalú, hegyes, egyenlő szárú, tompa alakú. Mindegyik különbözik valamilyen szempontból. De bárkinek meg kell találnia egy háromszög területét.

Minden olyan háromszögben közös képletek, amelyek az oldalak vagy a magasságok hosszát használják

A bennük elfogadott megnevezések: oldalak - a, b, c; magasságok a megfelelő oldalakon a, n in, n with.

1. Egy háromszög területét ½, egy oldal és az abból levont magasság szorzataként számítjuk ki. S = ½ * a * n a. A másik két oldal képleteit hasonlóan kell felírni.

2. Heron-képlet, amelyben megjelenik a félkeret (ezt általában kis p betűvel jelölik, ellentétben a teljes kerülettel). A fél kerületet a következőképpen kell kiszámítani: összeadjuk az összes oldalt, és elosztjuk 2-vel. A fél kerület képlete: p = (a+b+c) / 2. Ekkor a terület egyenlősége ​​az ábra így néz ki: S = √ (p * (p - a) * ( р - в) * (р - с)).

3. Ha nem szeretne félkörvonalat használni, akkor hasznos lehet egy olyan képlet, amely csak az oldalak hosszát tartalmazza: S = ¼ * √ ((a + b + c) * (b + c - a ) * (a + c - c) * (a + b - c)). Kicsit hosszabb, mint az előző, de segít, ha elfelejtette, hogyan kell megtalálni a fél kerületet.

Általános képletek a háromszög szögeivel

A képletek olvasásához szükséges jelölések: α, β, γ - szögek. Ellentétes oldalon helyezkednek el a, b, c, ill.

1. Eszerint két oldal és a köztük lévő szög szinuszának szorzatának fele egyenlő a háromszög területével. Vagyis: S = ½ a * b * sin γ. A másik két eset képletét is hasonló módon kell megírni.

2. Egy háromszög területe egy oldalról és három ismert szögből számítható. S = (a 2 * sin β * sin γ) / (2 sin α).

3. Van olyan képlet is, amelynek egy ismert oldala és két szomszédos szöge van. Így néz ki: S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β)).

Az utolsó két képlet nem a legegyszerűbb. Elég nehéz megjegyezni őket.

Általános képletek olyan helyzetekre, amikor a beírt vagy körülírt körök sugarai ismertek

További jelölések: r, R - sugarak. Az elsőt a beírt kör sugarára használják. A második a leírtakhoz való.

1. Az első képlet, amellyel a háromszög területét kiszámítják, a fél kerülethez kapcsolódik. S = r * r. Egy másik módja ennek felírásának: S = ½ r * (a + b + c).

2. A második esetben meg kell szoroznia a háromszög összes oldalát, és el kell osztania a körülírt kör sugarának négyszeresével. Szó szerinti kifejezésben így néz ki: S = (a * b * c) / (4R).

3. A harmadik helyzet lehetővé teszi, hogy az oldalak ismerete nélkül csinálja, de szüksége lesz mindhárom szög értékére. S = 2 R 2 * sin α * sin β * sin γ.

Különleges eset: derékszögű háromszög

Ez a legegyszerűbb helyzet, mivel csak mindkét láb hosszára van szükség. A latin a és b betűk jelölik őket. Egy derékszögű háromszög területe egyenlő a hozzá adott téglalap területének felével.

Matematikailag így néz ki: S = ½ a * b. Ezt a legkönnyebb megjegyezni. Mivel úgy néz ki, mint egy téglalap területének képlete, csak egy töredék jelenik meg, ami a felét jelzi.

Különleges eset: egyenlő szárú háromszög

Mivel két egyenlő oldala van, a területére vonatkozó képletek kissé leegyszerűsítettnek tűnnek. Például a Heron-képlet, amely egy egyenlő szárú háromszög területét számítja ki, a következő formában jelenik meg:

S = ½ in √((a + ½ in)*(a - ½ in)).

Ha átalakítod, rövidebb lesz. Ebben az esetben a Heron képlete egy egyenlő szárú háromszögre a következőképpen írható fel:

S = ¼ in √(4 * a 2 - b 2).

A területképlet valamivel egyszerűbbnek tűnik, mint egy tetszőleges háromszög esetében, ha ismertek az oldalak és a köztük lévő szög. S = ½ a 2 * sin β.

Különleges eset: egyenlő oldalú háromszög

A problémákban általában ismert az oldal, vagy ki lehet deríteni valamilyen módon. Ezután egy ilyen háromszög területének megtalálásának képlete a következő:

S = (a 2 √3) / 4.

Problémák a terület megtalálásával, ha a háromszög kockás papíron van ábrázolva

A legegyszerűbb helyzet az, amikor egy derékszögű háromszöget úgy rajzolunk, hogy a lábai egybeessenek a papír vonalaival. Ezután csak meg kell számolnia a lábakba illeszkedő sejtek számát. Ezután szorozd meg őket és oszd el kettővel.

Ha a háromszög hegyes vagy tompaszögű, akkor téglalapra kell rajzolni. Ekkor a kapott ábrának 3 háromszöge lesz. Az egyik a feladatban megadott. A másik kettő pedig segéd- és téglalap alakú. Az utolsó kettő területét a fent leírt módszerrel kell meghatározni. Ezután számítsa ki a téglalap területét, és vonja ki belőle a kiegészítőkre kiszámított értékeket. A háromszög területe meg van határozva.

Sokkal bonyolultabbnak bizonyul az a helyzet, amikor a háromszög egyik oldala sem esik egybe a papír vonalaival. Ezután téglalapba kell írni úgy, hogy az eredeti ábra csúcsai az oldalain feküdjenek. Ebben az esetben három kiegészítő derékszögű háromszög lesz.

Példa egy problémára a Heron-képlet használatával

Állapot. Néhány háromszögnek ismert oldalai vannak. Ezek egyenlőek 3, 5 és 6 cm Meg kell találni a területet.

Most a fenti képlet segítségével kiszámíthatja a háromszög területét. A négyzetgyök alatt négy szám szorzata található: 7, 4, 2 és 1. Vagyis a terület √(4 * 14) = 2 √(14).

Ha nincs szükség nagyobb pontosságra, akkor 14 négyzetgyökét veheti fel. Ez egyenlő 3,74-gyel. Ekkor a terület 7.48 lesz.

Válasz. S = 2 √14 cm 2 vagy 7,48 cm 2.

Példa feladat derékszögű háromszöggel

Állapot. A derékszögű háromszög egyik lába 31 cm-rel nagyobb, mint a második, meg kell találnia a hosszukat, ha a háromszög területe 180 cm 2.
Megoldás. Két egyenletrendszert kell megoldanunk. Az első a területtel kapcsolatos. A második a lábak arányával, ami a feladatban van megadva.
180 = ½ a * b;

a = b + 31.
Először is, az „a” értékét be kell cserélni az első egyenletbe. Kiderült: 180 = ½ (in + 31) * hüvelyk. Csak egy ismeretlen mennyiség van, így könnyen megoldható. A zárójelek kinyitása után a másodfokú egyenletet kapjuk: 2 + 31 360 = 0. Ez két értéket ad a "ben"-nek: 9 és -40. A második szám nem alkalmas válaszként, mivel az oldal hossza egy háromszög értéke nem lehet negatív.

Marad a második láb kiszámítása: a kapott számhoz adjunk hozzá 31-et. Kiderül, hogy 40. Ezeket a mennyiségeket kell keresni a feladatban.

Válasz. A háromszög lábai 9 és 40 cm.

A háromszög területén, oldalain és szögén keresztüli oldal megtalálásának problémája

Állapot. Egy bizonyos háromszög területe 60 cm 2. Ki kell számítani az egyik oldalát, ha a második oldal 15 cm, és a köztük lévő szög 30º.

Megoldás. Az elfogadott jelölés alapján a kívánt oldal „a”, az ismert oldal „b”, a megadott szög „γ”. Ezután a területképlet a következőképpen írható át:

60 = ½ a * 15 * sin 30º. Itt a 30 fok szinusza 0,5.

A transzformációk után az „a” 60 / (0,5 * 0,5 * 15) lesz. Azaz 16.

Válasz. A szükséges oldal 16 cm.

Feladat derékszögű háromszögbe írt négyzetről

Állapot. A 24 cm-es oldalú négyzet csúcsa egybeesik a háromszög derékszögével. A másik kettő oldalt fekszik. A harmadik a hypotenusához tartozik. Az egyik láb hossza 42 cm Mekkora a derékszögű háromszög területe?

Megoldás. Tekintsünk két derékszögű háromszöget. Az első a feladatban megadott. A második az eredeti háromszög ismert szárán alapul. Hasonlóak, mert közös szögük van, és párhuzamos vonalak alkotják.

Ekkor a lábaik aránya egyenlő. A kisebbik háromszög lábai egyenlők 24 cm-rel (a négyzet oldala) és 18 cm-rel (adott szárból 42 cm-ből vonjuk le a négyzet oldalát 24 cm-rel). Egy nagy háromszög megfelelő lábai 42 cm és x cm. Ez az „x” szükséges a háromszög területének kiszámításához.

18/42 = 24/x, azaz x = 24 * 42 / 18 = 56 (cm).

Ekkor a terület egyenlő 56 és 42 szorzatával, osztva kettővel, azaz 1176 cm 2-rel.

Válasz. A szükséges terület 1176 cm2.