Egy hengeres felület területe. Egyenes és ferde henger tengelyirányú metszete

A „geometria” tudomány nevét „földmérésre” fordítják. A legelső ókori földgazdálkodók erőfeszítései révén keletkezett. És ez így történt: a szent Nílus áradásai idején vízfolyások időnként elmosták a gazdák telkeinek határait, és az új határok esetleg nem esnek egybe a régiekkel. Adót a parasztok fizettek be a fáraó kincstárába a földkiosztás nagyságának arányában. Speciális személyeket vontak be a kiömlés után az új határokon belüli szántóterületek mérésébe. Tevékenységük eredményeként egy új tudomány keletkezett, amelyet az ókori Görögországban fejlesztettek ki. Ott kapta a nevét, és szinte modern megjelenést kapott. Ezt követően a kifejezés a lapos és háromdimenziós figurák tudományának nemzetközi elnevezése lett.

A planimetria a geometriának a síkidomok tanulmányozásával foglalkozó ága. A tudomány másik ága a sztereometria, amely a térbeli (térfogatbeli) alakzatok tulajdonságait vizsgálja. Az ilyen számok közé tartozik az ebben a cikkben leírt - egy henger.

A mindennapi életben rengeteg példa van a hengeres tárgyak jelenlétére. Szinte minden forgó alkatrész - tengelyek, perselyek, csapok, tengelyek stb. - hengeres (sokkal ritkábban - kúpos) alakú. A hengert az építőiparban is széles körben használják: tornyok, tartóoszlopok, díszoszlopok. És edények, bizonyos típusú csomagolások, különféle átmérőjű csövek. És végül - a híres kalapok, amelyek régóta a férfi elegancia szimbólumává váltak. A lista folyamatosan folytatódik.

A henger, mint geometriai alakzat meghatározása

A hengert (körhenger) általában két körből álló figurának nevezik, amelyeket kívánt esetben párhuzamos fordítással kombinálnak. Ezek a körök képezik a henger alapját. De a megfelelő pontokat összekötő vonalakat (egyenes szakaszokat) „generátoroknak” nevezzük.

Fontos, hogy a henger alapjai mindig egyenlőek legyenek (ha ez a feltétel nem teljesül, akkor csonka kúpunk van, valami más, de nem henger) és párhuzamos síkokban legyenek. A körök megfelelő pontjait összekötő szakaszok párhuzamosak és egyenlőek.

A végtelen számú alakítóelem halmaza nem más, mint a henger oldalfelülete - egy adott geometriai alakzat egyik eleme. Másik fontos összetevője a fentebb tárgyalt körök. Bázisoknak hívják őket.

A hengerek típusai

A legegyszerűbb és legelterjedtebb hengertípus a kör alakú. Két szabályos kör alkotja, amelyek alapként működnek. De helyettük lehetnek más figurák.

A hengerek alapjai (a körökön kívül) ellipsziseket és egyéb zárt figurákat is alkothatnak. De a henger nem feltétlenül zárt alakú. Például egy henger alapja lehet parabola, hiperbola vagy más nyitott függvény. Az ilyen henger nyitott vagy kioldott lesz.

Az alapokat képező hengerek dőlésszöge szerint lehetnek egyenesek vagy ferdeek. Egyenes hengernél a generátorok szigorúan merőlegesek az alap síkjára. Ha ez a szög eltér 90°-tól, akkor a henger ferde.

Mi a forradalom felülete

Az egyenes körhenger kétségtelenül a legelterjedtebb forgásfelület a mérnöki munkában. Néha technikai okokból kúpos, gömb alakú és néhány más típusú felületet használnak, de 99%-ban az összes forgó tengely, tengely stb. hengerek formájában készülnek. Annak érdekében, hogy jobban megértsük, mi az a forgásfelület, megvizsgálhatjuk, hogyan alakul ki maga a henger.

Tegyük fel, hogy van egy bizonyos egyenes a, függőlegesen helyezkedik el. Az ABCD egy téglalap, amelynek egyik oldala (AB szakasz) egy egyenesen fekszik a. Ha egy téglalapot egy egyenes körül forgatunk, ahogy az az ábrán látható, akkor a forgás közben elfoglalt térfogata lesz a forgástestünk - egy derékszögű körhenger, amelynek magassága H = AB = DC és sugara R = AD = BC.

Ebben az esetben az ábra - téglalap - elforgatásának eredményeként egy henger keletkezik. Egy háromszög forgatásával kúpot kaphat, félkör forgatásával - labdát stb.

A henger felülete

Egy közönséges jobb oldali körhenger felületének kiszámításához ki kell számítani az alapok és az oldalfelületek területét.

Először nézzük meg, hogyan számítják ki az oldalsó felületet. Ez a henger kerületének és a henger magasságának szorzata. A kerület viszont egyenlő az univerzális szám szorzatának kétszeresével P a kör sugara szerint.

A kör területe köztudottan egyenlő a szorzattal P négyzetsugáronként. Tehát, ha hozzáadjuk az oldalfelület meghatározásának területének képleteit az alapterület kettős kifejezésével (kettő van), és egyszerű algebrai transzformációkat végezve megkapjuk a felület meghatározásának végső kifejezését. a henger területe.

Egy ábra térfogatának meghatározása

A henger térfogatát a szabványos séma szerint határozzák meg: az alap felületét megszorozzák a magassággal.

Így a végső képlet így néz ki: a kívánt értéket a test magasságának az univerzális szám szorzataként határozzuk meg Pés az alap sugarának négyzetével.

Az így kapott képlet, el kell mondani, a legváratlanabb problémák megoldására is alkalmazható. Ugyanúgy, mint például a henger térfogatát, az elektromos vezetékek térfogatát is meghatározzák. Ez szükséges lehet a vezetékek tömegének kiszámításához.

Az egyetlen különbség a képletben, hogy egy henger sugara helyett a huzalozási szál átmérője van felezve, és a huzalban lévő szálak száma jelenik meg a kifejezésben N. Ezenkívül a magasság helyett a vezeték hosszát használják. Ily módon a „henger” térfogatát nem csak egy, hanem a fonatban lévő vezetékek száma is kiszámítja.

A gyakorlatban gyakran van szükség ilyen számításokra. Végül is a víztartályok jelentős része cső formájában készül. És gyakran még a háztartásban is ki kell számítani egy henger térfogatát.

Azonban, mint már említettük, a henger alakja eltérő lehet. És bizonyos esetekben ki kell számítani, hogy mekkora a ferde henger térfogata.

A különbség az, hogy az alap felületét nem a generatrix hosszával szorozzák meg, mint egy egyenes henger esetében, hanem a síkok közötti távolsággal - egy merőleges szegmenssel, amely közöttük van kialakítva.

Amint az ábrán látható, egy ilyen szegmens egyenlő a generatrix hosszának és a generatrix síkhoz viszonyított dőlésszögének szinuszának szorzatával.

Hogyan készítsünk hengerfejlesztést

Bizonyos esetekben ki kell vágni egy hengersort. Az alábbi ábra bemutatja azokat a szabályokat, amelyek alapján a nyersdarabot egy adott magasságú és átmérőjű henger gyártásához készítik.

Felhívjuk figyelmét, hogy a rajz varrás nélkül látható.

Különbségek a ferde hengerek között

Képzeljünk el egy bizonyos egyenes hengert, amelyet az egyik oldalon a generátorokra merőleges sík határol. De a hengert a másik oldalon határoló sík nem merőleges a generátorokra és nem párhuzamos az első síkkal.

Az ábrán egy ferde henger látható. Repülőgép A bizonyos szögben, a generátorokhoz képest 90°-tól eltérő szögben metszi az ábrát.

Ez a geometriai forma a gyakorlatban gyakrabban fordul elő csővezeték-csatlakozások (könyökök) formájában. De vannak még ferde henger alakú épületek is.

A ferde henger geometriai jellemzői

A ferde henger egyik síkjának dőlése kissé megváltoztatja az ilyen alakzat felületének és térfogatának kiszámításának eljárását.

A henger (a görög nyelvből származik, a „henger”, „henger” szavakból) egy geometriai test, amelyet kívülről egy hengeres felület és két sík határol. Ezek a síkok metszik az ábra felületét és párhuzamosak egymással.

A hengeres felület olyan felület, amelyet a térben egyenes vonal alkot. Ezek a mozgások olyanok, hogy ennek az egyenesnek a kiválasztott pontja egy sík típusú görbe mentén mozog. Az ilyen egyenest generatrixnak, az ívelt vonalat vezetőnek nevezzük.

A henger egy pár alapból és egy oldalsó hengeres felületből áll. Többféle henger létezik:

1. Kör alakú, egyenes henger. Egy ilyen hengernek van egy alapja és a vezetővonalra merőlegesen, és van is

2. Ferde henger. Szöge a generáló vonal és az alap között nem egyenes.

3. Más alakú henger. Hiperbolikus, elliptikus, parabolikus és mások.

Egy henger területét, valamint bármely henger teljes felületét úgy határozzuk meg, hogy összeadjuk az ábra alapjainak területét és az oldalfelület területét.

A henger teljes területének kiszámításának képlete egy kör alakú, egyenes hengerhez:

Sp = 2p Rh + 2p R2 = 2p R (h+R).

Az oldalsó felület területe kissé bonyolultabb, mint a teljes henger területe, úgy számítják ki, hogy a generatrix vonal hosszát megszorozzák a merőleges sík által alkotott szakasz kerületével; a generatrix sorhoz.

Az adott hengert egy kör alakú, egyenes hengerhez ennek az objektumnak a fejlesztése ismeri fel.

A fejlesztés egy téglalap, amelynek h magassága és P hossza megegyezik az alap kerületével.

Ebből következik, hogy a henger oldalsó területe megegyezik a sweep területtel, és a következő képlettel számítható ki:

Ha egy kör alakú, egyenes hengert veszünk, akkor ehhez:

P = 2p R és Sb = 2p Rh.

Ha a henger ferde, akkor az oldalsó felület területének egyenlőnek kell lennie a generáló vonal hosszának és a szakasz kerületének szorzatával, amely merőleges erre a generáló vonalra.

Sajnos nincs egyszerű képlet egy ferde henger oldalfelületének kifejezésére a magassága és az alapja paraméterei alapján.

A henger kiszámításához tudnia kell néhány tényt. Ha egy szakasz a síkjával metszi az alapokat, akkor az ilyen szakasz mindig téglalap. De ezek a téglalapok eltérőek lesznek, a szakasz helyzetétől függően. Az ábra tengelyirányú metszetének egyik oldala, amely merőleges az alapokra, egyenlő a magassággal, a másik pedig a henger alapjának átmérőjével. És ennek megfelelően egy ilyen szakasz területe megegyezik a téglalap egyik oldalának a másik oldalának szorzatával, amely merőleges az elsőre, vagy egy adott ábra magasságának és alapja átmérőjének szorzatával.

Ha a szakasz merőleges az ábra alapjaira, de nem megy át a forgástengelyen, akkor ennek a szakasznak a területe megegyezik a henger magasságának és egy bizonyos húrnak a szorzatával. Egy akkord megszerzéséhez kört kell alkotnia a henger alján, meg kell rajzolnia egy sugarat, és meg kell rajzolnia rajta a távolságot, amelyen a szakasz található. És ettől a ponttól merőlegeseket kell rajzolnia a sugárra a kör kereszteződésétől. A metszéspontok a központhoz kapcsolódnak. És a háromszög alapja a kívánt, amelyet a következő hangok keresnek: „Két láb négyzeteinek összege egyenlő a hipotenusz négyzetével”:

C2 = A2 + B2.

Ha a szakasz nem érinti a henger alapját, és maga a henger kör alakú és egyenes, akkor ennek a szakasznak a területe a kör területe.

A kör területe:

S env. = 2п R2.

Az R megtalálásához el kell osztani a C hosszát 2n-nel:

R = C\2n, ahol n pi, egy matematikai állandó, amelyet a köradatokkal való munkavégzésre számítanak ki, és egyenlő 3,14-gyel.

A henger egy hengeres felületből és két párhuzamosan elhelyezkedő körből álló ábra. A henger területének kiszámítása a matematika geometriai ágának problémája, amely meglehetősen egyszerűen megoldható. Számos módszer létezik a megoldására, amelyek végül mindig egy képletre oszlanak le.

Hogyan találjuk meg a henger területét - számítási szabályok

• A henger területének meghatározásához össze kell adni az alap két területét az oldalfelület területével: S = Sside + 2Sbase. Egy részletesebb változatban ez a képlet így néz ki: S= 2 π rh+ 2 π r2= 2 π r(h+ r).
• Egy adott geometriai test oldalfelülete akkor számítható ki, ha ismert a magassága és az alapjában fekvő kör sugara. Ebben az esetben kifejezheti a kerület sugarát, ha adott. A magasság akkor található meg, ha a feltételben megadjuk a generátor értékét. Ebben az esetben a generatrix egyenlő lesz a magassággal. A test oldalfelületének képlete a következőképpen néz ki: S= 2 π rh.
• Az alap területét a kör területének meghatározására szolgáló képlet segítségével számítjuk ki: S osn= π r 2 . Egyes feladatokban előfordulhat, hogy a sugár nem adott, de a kerület adott. Ezzel a képlettel a sugár meglehetősen könnyen kifejezhető. С=2π r, r= С/2π. Emlékeztetni kell arra is, hogy a sugár az átmérő fele.
• Mindezen számítások elvégzésekor a π számot általában nem fordítják le 3,14159-re... Csak hozzá kell adni a számítások eredményeként kapott számérték mellé.
• Ezután csak meg kell szoroznia az alap talált területét 2-vel, és hozzá kell adnia a kapott számhoz az ábra oldalsó felületének számított területét.
• Ha a probléma azt jelzi, hogy a henger tengelyirányú és téglalap alakú, akkor a megoldás kissé eltérő lesz. Ebben az esetben a téglalap szélessége a test alján fekvő kör átmérője lesz. Az ábra hossza megegyezik a henger generatrixával vagy magasságával. Ki kell számítani a szükséges értékeket, és be kell cserélni a már ismert képletbe. Ebben az esetben a téglalap szélességét el kell osztani kettővel, hogy megtaláljuk az alap területét. Az oldalfelület meghatározásához a hosszt meg kell szorozni két sugárral és a π számmal.
• Egy adott geometriai test területét a térfogatán keresztül számíthatja ki. Ehhez le kell vezetni a hiányzó értéket a V=π r 2 h képletből.
• A henger területének kiszámításában nincs semmi bonyolult. Csak ismernie kell a képleteket, és tudnia kell belőlük levezetni a számításokhoz szükséges mennyiségeket.

Ennek a cikknek a témája a henger felületének kiszámítása. Minden matematikai feladatnál az adatok megadásával kell kezdenie, meg kell határoznia, hogy mi az, ami ismert, és mivel kell dolgozni a jövőben, és csak ezután folytassa közvetlenül a számítással.

Ez a térfogattest egy hengeres geometriai alak, amelyet felül és alul két párhuzamos sík határol. Ha egy kis fantáziát alkalmazunk, észrevehetjük, hogy egy geometriai test egy téglalap tengely körüli elforgatásával jön létre, amelynek egyik oldala a tengely.

Ebből következik, hogy a fent és a henger alatt leírt görbe egy kör lesz, amelynek fő mutatója a sugár vagy átmérő.

Egy henger felülete - online számológép

Ez a funkció végül leegyszerűsíti a számítási folyamatot, és mindez az ábra alapjának magasságának és sugarának (átmérőjének) automatikusan behelyettesíti a megadott értékeket. Az egyetlen dolog, amire szükség van, az az adatok pontos meghatározása, és a számok bevitelekor ne kövess el hibákat.

A henger oldalfelülete

Először is el kell képzelnie, hogyan néz ki egy szkennelés a kétdimenziós térben.

Ez nem más, mint egy téglalap, amelynek egyik oldala egyenlő a kerületével. Képletét ősidők óta ismerték - 2π *r, Ahol r- a kör sugara. A téglalap másik oldala egyenlő a magassággal h. Nem lesz nehéz megtalálni, amit keres.

Soldal= 2π *r*h,

hol a szám π = 3,14.

Egy henger teljes felülete

A henger teljes területének meghatározásához a kapott értéket kell használni S oldal Adjuk össze két kör területét, a henger tetejét és alját, amelyeket a képlet alapján számítunk ki S o =2π * r 2 .

A végső képlet így néz ki:

Spadló= 2π * r 2+ 2π * r * h.

Egy henger területe - képlet az átmérőn keresztül

A számítások megkönnyítése érdekében néha szükség van az átmérőn keresztüli számításokra. Például van egy ismert átmérőjű üreges csődarab.

Anélkül, hogy felesleges számításokkal kínlódnánk, van egy kész képletünk. Az 5. osztályos algebra segít.

Snem = 2π * r 2 + 2 π * r * h= 2 π * d 2 /4 + 2 π*h*d/2 = π *d 2 /2 + π *d*h,

Ahelyett r be kell szúrnia az értéket a teljes képletbe r =d/2.

Példák egy henger területének kiszámítására

Tudással felvértezve kezdjük el a gyakorlást.

1. példa Ki kell számítani egy csonka csődarab, azaz egy henger területét.

Nálunk r = 24 mm, h = 100 mm. A képletet a sugáron keresztül kell használni:

S padló = 2 * 3,14 * 24 2 + 2 * 3,14 * 24 * 100 = 3617,28 + 15072 = 18689,28 (mm 2).

A szokásos m2-re átváltva 0,01868928-at kapunk, körülbelül 0,02 m2-t.

2. példa Meg kell találni egy azbeszt kályhacső belső felületének területét, amelynek falai tűzálló téglával vannak bélelve.

Az adatok a következők: átmérő 0,2 m; magasság 2 m Az átmérőre vonatkozó képletet használjuk:

S padló = 3,14 * 0,2 2 /2 + 3,14 * 0,2 * 2 = 0,0628 + 1,256 = 1,3188 m2.

3. példa Hogyan lehet megtudni, hogy mennyi anyag szükséges egy táska varrásához, r = 1 m és 1 m magas.

Egy pillanat, van egy képlet:

S oldal = 2 * 3,14 * 1 * 1 = 6,28 m2.

Következtetés

A cikk végén felvetődött a kérdés: valóban szükségesek ezek a számítások és az egyik érték átváltása a másikra? Miért van szükség erre, és ami a legfontosabb, kinek? De ne hanyagolja el és ne felejtse el a középiskola egyszerű képleteit.

A világ az elemi tudáson állt és fog állni, beleértve a matematikát is. És minden fontos munka megkezdésekor soha nem árt felfrissíteni az emlékezetet ezekről a számításokról, nagy eredménnyel alkalmazva azokat a gyakorlatban. Pontosság – a királyok udvariassága.