A hiperbolikus koszinusz mértékének csökkentése. Hiperbolikus függvények referenciaadatai - tulajdonságok, grafikonok, képletek
A hiperbolikus függvények megtalálhatók a mechanikában, az elektrotechnikában és más műszaki tudományokban. Sok hiperbolikus függvény képlete hasonló a trigonometrikus függvények képletéhez, kivéve a korlátosság tulajdonságát.
| № | Funkció | Név | Derivált  |
| 1. |  | hiperbolikus szinusz |  |
| 2. |  | hiperbolikus koszinusz |  |
| 3. |  | hiperbolikus érintő |  |
| 4. |  | hiperbolikus kotangens |  |
Hiperbolikus függvények képletei
1. 
.
Bizonyíték. Tekintsük a szükséges különbséget
. .
Bizonyíték. Nézzük a munkát
.
Nézzük a munkát 
.
Adjunk hozzá két terméket, és adjunk hasonlókat:
Az elejét és a végét összekapcsolva a bizonyítandó egyenlőséget kapjuk: .
A hiperbolikus függvényeknek sok más tulajdonsága is hasonló a trigonometrikus függvények tulajdonságaihoz, amelyeket hasonló módon bizonyítanak.
Bizonyítsuk be a hiperbolikus függvények deriváltjainak képleteit.
1. Tekintsük a hiperbolikus szinust 
.
A derivált megtalálásakor a konstanst kivesszük a származékjelből. Ezután alkalmazzuk a két függvény és a különbség deriváltjának tulajdonságát. Keresse meg egy függvény deriváltját a deriválttáblázat segítségével: 
. Egy függvény deriváltját egy komplex függvény deriváltjaként keressük 
.
Ezért a származék 
.
A kezdetet és a végét összekapcsolva a bizonyítandó egyenlőséget kapjuk: 
.
2. Tekintsük a hiperbolikus koszinust .
Teljes mértékben alkalmazzuk az előző algoritmust, csak a két függvény különbségének deriváltjára vonatkozó tulajdonság helyett a két függvény összegének deriváltjára vonatkozó tulajdonságot használjuk. 
.
A kezdetet és a végét összekapcsolva a bizonyítandó egyenlőséget kapjuk: 
.
3. Tekintsük a hiperbolikus érintőt .
A deriváltot a tört származékának megtalálására vonatkozó szabály segítségével találjuk meg.
4. Hiperbolikus kotangens származéka
megtalálható egy komplex függvény deriváltjaként 
.
A kezdetet és a végét összekapcsolva a bizonyítandó egyenlőséget kapjuk: 
.
Funkció differenciál
Legyen a függvény 
– pontban differenciálható, akkor ennek a függvénynek a pontban az argumentum növekményének megfelelő növekménye ábrázolható
ahol egy bizonyos szám független -tól, és az argumentum függvénye, amely infinitezimális 
.
Így a függvény növekedése két infinitezimális tag összege 
És 
. Kimutatták, hogy a második tag 
egy magasabb rendű infinitezimális függvény, mint az i.e. (lásd 8.1). Ezért az első kifejezés 
a függvény növekményének fő lineáris része . Megjegyzésben a 8.1. egy másik (8.1.1) képletet kaptunk a függvény növekedésére , nevezetesen: . (8.1.1)
Definíció 8.3. Differenciál funkciókat egy pontban a növekmény fő lineáris részének nevezzük, amely egyenlő a derivált szorzatával 
ezen a ponton az argumentum tetszőleges növelésével , és jelöljük (vagy 
):
(8.4)
Funkció differenciál más néven elsőrendű differenciálmű.
Egy független változó differenciálértéke bármely számtól független. Leggyakrabban ezt a számot a változó növekményének tekintik, azaz. 
. Ez összhangban van a függvény differenciáljának meghatározására vonatkozó (8.4) szabállyal
Vegye figyelembe a funkciót 
és megtalálja a különbségét.
Mert derivált 
. Így kaptuk: 
és differenciális függvények képlet segítségével találhatjuk meg
. (8.4.1)
Megjegyzés 8.7. A (8.4.1) képletből az következik, hogy. 
Így a jelölés nem csak a származék jelöléseként fogható fel 
, hanem a függő és a független változók különbségeinek arányaként is.
8.7. A differenciálfüggvény geometriai jelentése
Legyen a függvény grafikonja 
érintőt húzunk (lásd 8.1. ábra). Pont 
van a függvény grafikonján és van egy abszcissza - . Adunk egy tetszőleges növekményt úgy, hogy a pont 
nem hagyta el a funkció körét .
8.1 ábra Egy függvény grafikonjának illusztrációja
A pontnak vannak koordinátái 
. Vonalszakasz 
. A pont a függvény grafikonjának érintőjén van és van egy abszcissza - . Téglalapból 
ebből következik, hogy ahol a szög a tengely pozitív iránya és a függvény grafikonjára rajzolt érintő közötti szög pontban. A függvény differenciáljának meghatározása szerint és a derivált függvény geometriai jelentése pontban arra a következtetésre jutunk 
. Így a függvény differenciáljának geometriai jelentése az, hogy a differenciál a függvény grafikonjához tartozó érintő ordinátájának növekményét jelenti pontban.
Megjegyzés 8.8. Differenciál és növekmény tetszőleges függvényhez Általánosságban elmondható, hogy egy függvény növekménye és differenciája közötti különbség végtelenül kicsi, mint az argumentum növekménye. A 8.1 definícióból az következik 
, azaz 
.
A 8.1. ábrán a pont a függvény grafikonján található és vannak koordinátái 
. Vonalszakasz .
A 8.1. ábrán az egyenlőtlenség teljesül 
, azaz 
. De előfordulhatnak olyan esetek, amikor az ellenkezője igaz 
. Ez igaz a lineáris függvényre és a felfelé konvex függvényre.
Válasz: A hiperbolikus függvények kitevőkkel kifejezett elemi függvények családja, amelyek szorosan kapcsolódnak a trigonometrikus függvényekhez. A hiperbolikus funkciókat Vincenzo Riccati vezette be 1757-ben (Opusculorum, I. kötet). Ezeket az egységhiperbola figyelembevételével kapta.
A hiperbolikus függvények tulajdonságainak további kutatását Lambert végezte. Hiperbolikus függvényekkel gyakran találkozunk különféle integrálok számításakor. A racionális függvények egyes integráljai és a gyököket tartalmazó függvények egész egyszerűen végrehajthatók a változók hiperbolikus függvényekkel történő változtatásával. A hiperbolikus függvények származékait könnyű megtalálni, mert a hiperbolikus függvények kombinációi Például a hiperbolikus szinusz és koszinusz definíciója 
Ezeknek a függvényeknek a származékai a következő alakkal rendelkeznek 
A hiperbolikus függvényeket a következő képletekkel adjuk meg: 1) hiperbolikus szinusz: 
(a külföldi szakirodalomban sinx-nek jelölik); 2) hiperbolikus koszinusz: 
(a külföldi szakirodalomban cosx-nek jelölik); 3) hiperbolikus érintő: 
(a külföldi szakirodalomban tanx jelöléssel szerepel); 4) hiperbolikus kotangens: 
; 5) hiperbolikus szekáns és koszekáns: 
Geometriai definíció: A kapcsolat miatt a hiperbolikus függvények a hiperbola paraméteres ábrázolását adják. Ebben az esetben az argumentum t = 2S, ahol S az OQR görbe vonalú háromszög területe, a „+” jellel együtt. a szektor az OX tengely felett van, és a „−” ellenkező esetben. Ez a meghatározás hasonló a trigonometrikus függvények definíciójához az egységkör szempontjából, amely szintén hasonló módon szerkeszthető. Kapcsolat trigonometrikus függvényekkel: A hiperbolikus függvényeket egy képzeletbeli argumentum trigonometrikus függvényében fejezzük ki. Analitikai tulajdonságok: A hiperbolikus szinusz és a hiperbolikus koszinusz az egész komplex síkon analitikusak, kivéve a végtelenben lévő lényegében szinguláris pontot.
Származékos táblázat.
Válasz:
Származékok táblázata (amelyekre főleg szükségünk van): 
46) Függvény származéka – paraméteresen megadva.
Válasz:
Legyen adott két x és y változó függése a t paramétertől, a Legyen a függvénynek inverze a határain belül: 
Akkor megtehetjük, figyelembe véve a függvények összetételét 
kapjuk meg y függőségét x-től: 
Az y érték paraméteresen meghatározott x értéktől való függése a függvények deriváltjain keresztül fejezhető ki, mivel és az inverz függvény deriváltjának képlete szerint, 
ahol annak a paraméternek az értéke, amelynél azt az x értéket kapjuk, amelyre a derivált számításakor kíváncsiak vagyunk. Megjegyzendő, hogy a képlet alkalmazása a következő kapcsolathoz vezet, amelyet ismét parametrikus kapcsolatként fejezünk ki: 
a második reláció ugyanaz, amely részt vett az y(x) függvény parametrikus specifikációjában. Annak ellenére, hogy a derivált nincs kifejezve kifejezve, ez nem akadályozza meg, hogy a derivált megtalálásával kapcsolatos problémákat a t paraméter megfelelő értékének megtalálásával oldjuk meg. Mutassuk meg ezt a következő példával. 4.22. példa: Adjuk meg az x és y közötti függést parametrikusan a következő képletekkel: Határozzuk meg az y(x) függőség grafikonjának érintőjének egyenletét a pontban. Az értékeket akkor kapjuk, ha t=1-et veszünk. Keressük meg x és y deriváltját a t paraméterre vonatkozóan: Ezért 
Ha t=1, megkapjuk a derivált értékét, ez az érték adja meg a kívánt érintő k szögegyütthatóját. Koordináták 
az érintési pontokat a problémanyilatkozat tartalmazza. Ez azt jelenti, hogy a tangens egyenlet a következő: Figyeljük meg, hogy a kapott parametrikus függés alapján az y függvény második deriváltját az x változóra vonatkozóan megtaláljuk: 
Hiperbolikus függvényekre vonatkozó referenciaadatok. Hiperbolikus szinusz, koszinusz, érintő és kotangens definíciói, grafikonjai és tulajdonságai. Képletek összegekre, különbségekre és szorzatokra. Származékok, integrálok, sorozatbővítések. Kifejezések trigonometrikus függvényeken keresztül.
Hiperbolikus függvények definíciói, definíciói és értéktartományaik
sh x - hiperbolikus szinusz
, -∞ < x < +∞; -∞ < y < +∞ .
ch x - hiperbolikus koszinusz
, -∞ < x < +∞; 1 ≤ y< +∞ .
th x - hiperbolikus érintő
, -∞ < x < +∞; - 1 < y < +1 .
cth x - hiperbolikus kotangens
X ≠ 0 ; y< -1 или y > +1 .
A hiperbolikus függvények grafikonjai
Hiperbolikus szinuszgráf y = sh x
A hiperbolikus koszinusz y = grafikonja ch x
Az y = hiperbolikus tangens grafikonja Kösz
Az y = hiperbolikus kotangens grafikonja cth x
Hiperbolikus függvényekkel rendelkező képletek
Kapcsolat a trigonometrikus függvényekkel
sin iz = i sh z ; cos iz = ch z
sh iz = i sin z; ch iz = cos z
tg iz = i th z ; kiságy iz = - i cth z
th iz = i tg z ; cth iz = - i ctg z
Itt az i a képzeletbeli egység, i 2 = - 1
.
Ezeket a képleteket trigonometrikus függvényekre alkalmazva hiperbolikus függvényekre vonatkozó képleteket kapunk.
Paritás
sh(-x) = - sh x;
ch(-x) = ch x.
th(-x) = - th x;
cth(-x) = - cth x.
Funkció ch(x)- még. Funkciók sh(x), Kösz), cth(x)- páratlan.
A négyzetek különbsége
ch 2 x - sh 2 x = 1.
Az argumentumok összegének és különbségének képletei
sh(x y) = sh x ch y ch x sh y,
ch(x y) = ch x ch y sh x sh y,
,
,
sh 2 x = 2 sh x ch x,
ch 2 x = ch 2 x + sh 2 x = 2 ch 2 x - 1 = 1 + 2 sh 2 x,
.
Képletek a hiperbolikus szinusz és koszinusz szorzatához
,
,
,
,
,
.
Képletek a hiperbolikus függvények összegére és különbségére
,
,
,
,
.
Hiperbolikus szinusz és koszinusz kapcsolata érintővel és kotangenssel
,
,
,
.
Származékok
,
Az sh x, ch x, th x, cth x integráljai
,
,
.
Sorozatbővítések
sh x
ch x
Kösz
cth x
Inverz függvények
Areasinus
A - ∞< x < ∞
и - ∞ < y < ∞
имеют место формулы:
,
.
Areacosine
Nál nél 1 ≤ x< ∞
És 0 ≤ év< ∞
a következő képletek érvényesek:
,
.
A területkoszinusz második ága a 1 ≤ x< ∞
és - ∞< y ≤ 0
:
.
Területi tangens
Nál nél - 1
< x < 1
és - ∞< y < ∞
имеют место формулы:
,
.
Területi tangens
A - ∞< x < - 1
vagy 1
< x < ∞
és y ≠ 0
a következő képletek érvényesek:
,
.
Referenciák:
BAN BEN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Matematika kézikönyve mérnökök és főiskolai hallgatók számára, „Lan”, 2009.
Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete