Az összeg szinusza. Alapvető trigonometrikus azonosságok

A matematika egyik olyan területe, amellyel a diákok a legtöbbet küzdenek, a trigonometria. Nem meglepő: ahhoz, hogy szabadon elsajátíthasd ezt a tudásterületet, szükséged van térbeli gondolkodásra, arra, hogy képletekkel szinuszokat, koszinuszokat, érintőket, kotangenseket találj, a kifejezéseket leegyszerűsítsd, és a pi számot használd. számításokat. Ezen túlmenően a tételek bizonyításakor tudnia kell trigonometriát használni, ehhez pedig vagy fejlett matematikai memóriára, vagy összetett logikai láncok levezetésének képességére van szükség.

A trigonometria eredete

Ennek a tudománynak a megismerését a szinusz, a koszinusz és a szög tangensének meghatározásával kell kezdeni, de először meg kell értenie, mit csinál a trigonometria általában.

Történelmileg a matematikai tudomány ezen ágának fő vizsgálati tárgya a derékszögű háromszög volt. A 90 fokos szög jelenléte lehetővé teszi különféle műveletek végrehajtását, amelyek lehetővé teszik a kérdéses ábra összes paraméterének értékének meghatározását két oldal és egy szög vagy két szög és egy oldal használatával. A múltban az emberek észrevették ezt a mintát, és aktívan kezdték használni az épületek építésében, a navigációban, a csillagászatban és még a művészetben is.

Első fázis

Kezdetben az emberek a szögek és az oldalak kapcsolatáról beszéltek kizárólag a derékszögű háromszögek példáján. Ezután olyan speciális képleteket fedeztek fel, amelyek lehetővé tették a matematika ezen ágának mindennapi felhasználási határainak kiterjesztését.

A trigonometria tanulmányozása az iskolában ma derékszögű háromszögekkel kezdődik, ezt követően a tanulók a megszerzett tudást a fizikában és absztrakt trigonometrikus egyenletek megoldásában használják fel, ami a középiskolában kezdődik.

Szférikus trigonometria

Később, amikor a tudomány a fejlődés következő szintjére ért, a szinuszos, koszinuszos, érintős és kotangenses képleteket elkezdték használni a gömbgeometriában, ahol más szabályok érvényesek, és a háromszög szögeinek összege mindig több, mint 180 fok. Ezt a részt az iskolában nem tanulmányozzák, de legalább azért tudni kell létezéséről, mert a Föld felszíne és minden más bolygó felszíne domború, ami azt jelenti, hogy minden felületi jelölés háromszor „ív alakú” lesz. -dimenziós tér.

Vegyük a földgömböt és a fonalat. Rögzítse a szálat a földgömb bármely két pontjához úgy, hogy az megfeszüljön. Figyelem: ív alakot öltött. Ilyen formákkal foglalkozik a gömbgeometria, amelyet a geodézia, a csillagászat és más elméleti és alkalmazott területeken használnak.

Derékszögű háromszög

Miután egy kicsit elsajátítottuk a trigonometria használatának módjait, térjünk vissza az alapvető trigonometriához, hogy jobban megértsük, mi a szinusz, koszinusz, érintő, milyen számításokat lehet elvégezni a segítségükkel és milyen képleteket kell használni.

Az első lépés a derékszögű háromszöggel kapcsolatos fogalmak megértése. Először is, a hipotenusz a 90 fokos szöggel ellentétes oldal. Ez a leghosszabb. Emlékezzünk rá, hogy a Pitagorasz-tétel szerint a számértéke megegyezik a másik két oldal négyzetösszegének gyökével.

Például, ha a két oldal 3, illetve 4 centiméter, akkor a hipotenusz hossza 5 centiméter lesz. Egyébként az ókori egyiptomiak körülbelül négy és fél ezer évvel ezelőtt tudtak erről.

A két fennmaradó oldalt, amelyek derékszöget alkotnak, lábaknak nevezzük. Ezenkívül emlékeznünk kell arra, hogy egy téglalap alakú koordináta-rendszerben a háromszög szögeinek összege 180 fokkal egyenlő.

Meghatározás

Végül a geometriai alap szilárd ismeretében fordulhatunk a szög szinuszának, koszinuszának és tangensének meghatározásához.

A szög szinusza a szemközti láb (azaz a kívánt szöggel ellentétes oldal) és az alsó rész aránya. A szög koszinusza a szomszédos oldal és a hipotenusz aránya.

Ne feledje, hogy sem a szinusz, sem a koszinusz nem lehet nagyobb egynél! Miért? Mivel a hipotenusz alapértelmezés szerint a leghosszabb Bármilyen hosszú is a láb, rövidebb lesz, mint a hipotenusz, ami azt jelenti, hogy arányuk mindig kisebb lesz, mint egy. Így, ha egy feladatra adott válaszában 1-nél nagyobb értékű szinust vagy koszinust kap, keressen hibát a számításokban vagy az érvelésben. Ez a válasz egyértelműen helytelen.

Végül egy szög érintője a szemközti oldal és a szomszédos oldal aránya. A szinusz koszinuszos osztásával ugyanazt az eredményt kapjuk. Nézd: a képlet szerint az oldal hosszát elosztjuk a befogóval, majd elosztjuk a második oldal hosszával, és megszorozzuk a befogóval. Így ugyanazt az összefüggést kapjuk, mint az érintő definíciójában.

Ennek megfelelően a kotangens a sarokkal szomszédos oldal és az ellenkező oldal aránya. Ugyanezt az eredményt kapjuk, ha elosztjuk az egyiket az érintővel.

Tehát megvizsgáltuk a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens definícióit, és áttérhetünk a képletekre.

A legegyszerűbb képletek

A trigonometriában nem nélkülözheti a képleteket - hogyan lehet nélkülük szinust, koszinust, érintőt, kotangenst találni? De pontosan erre van szükség a problémák megoldásához.

Az első képlet, amelyet tudnia kell a trigonometria tanulmányozásának megkezdésekor, azt mondja, hogy egy szög szinuszának és koszinuszának négyzeteinek összege eggyel egyenlő. Ez a képlet egyenes következménye a Pitagorasz-tételnek, de időt takarít meg, ha a szög méretét kell ismerni, nem pedig az oldalt.

Sok diák nem emlékszik a második képletre, amely szintén nagyon népszerű iskolai feladatok megoldása során: az egy és a szög érintőjének négyzete egyenlő a szög koszinuszának négyzetével osztva. Nézze meg közelebbről: ez ugyanaz az állítás, mint az első képletben, csak az azonosság mindkét oldalát elosztottuk a koszinusz négyzetével. Kiderült, hogy egy egyszerű matematikai művelet teljesen felismerhetetlenné teszi a trigonometrikus képletet. Ne feledje: a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens, transzformációs szabályok és számos alapvető képlet ismeretében bármikor levezetheti a szükséges összetettebb képleteket egy papírlapon.

Képletek kettős szögekhez és argumentumok összeadásához

Két további képlet, amelyet meg kell tanulnia, a szinusz és a koszinusz értékéhez kapcsolódik a szögek összegéhez és különbségéhez. Ezeket az alábbi ábra mutatja be. Kérjük, vegye figyelembe, hogy az első esetben a szinusz és a koszinusz mindkét alkalommal megszorozódik, a második esetben pedig a szinusz és a koszinusz páros szorzata adódik össze.

Vannak képletek is, amelyek dupla szög argumentumokhoz kapcsolódnak. Teljesen az előzőekből származnak - gyakorlatként próbálja meg saját maga megszerezni őket úgy, hogy az alfa szöget egyenlő a béta szöggel.

Végül vegye figyelembe, hogy a dupla szög képletek átrendezhetők a szinusz, koszinusz, érintő alfa hatványának csökkentése érdekében.

Tételek

Az alapvető trigonometria két fő tétele a szinusztétel és a koszinusztétel. Ezeknek a tételeknek a segítségével könnyen megértheti, hogyan kell megtalálni a szinusz, a koszinusz és az érintő, tehát az ábra területét, az egyes oldalak méretét stb.

A szinusztétel kimondja, hogy a háromszög mindkét oldalának hosszát az ellenkező szöggel elosztva ugyanannyit kapunk. Sőt, ez a szám egyenlő lesz a körülírt kör két sugarával, vagyis azzal a körrel, amely egy adott háromszög összes pontját tartalmazza.

A koszinusztétel általánosítja a Pitagorasz-tételt, bármely háromszögre vetítve. Kiderül, hogy a két oldal négyzeteinek összegéből vonjuk ki a szorzatukat a szomszédos szög kettős koszinuszával szorozva - a kapott érték egyenlő lesz a harmadik oldal négyzetével. Így a Pitagorasz-tétel a koszinusztétel speciális esetének bizonyul.

Gondatlan hibák

Még annak tudatában is, hogy mi a szinusz, koszinusz és tangens, könnyen tévedhetünk a figyelmetlenség vagy a legegyszerűbb számítások hibája miatt. Az ilyen hibák elkerülése érdekében nézzük meg a legnépszerűbbeket.

Először is, ne alakítsa át a törteket tizedesjegyekké, amíg meg nem kapja a végeredményt – a választ törtként is meghagyhatja, hacsak a feltételek másként nem rendelkeznek. Az ilyen átalakulást nem lehet hibának nevezni, de emlékezni kell arra, hogy a probléma minden szakaszában új gyökerek jelenhetnek meg, amelyeket a szerző elképzelése szerint csökkenteni kell. Ebben az esetben felesleges matematikai műveletekre pazarolja az idejét. Ez különösen igaz az olyan értékekre, mint a három vagy a kettő gyökere, mivel ezek minden lépésben megtalálhatók a problémákban. Ugyanez vonatkozik a „csúnya” számok kerekítésére is.

Figyeljük meg továbbá, hogy a koszinusztétel bármely háromszögre vonatkozik, a Pitagorasz-tételre azonban nem! Ha tévedésből elfelejti kivonni az oldalak szorzatának kétszeresét a köztük lévő szög koszinuszával, akkor nemcsak teljesen rossz eredményt kap, hanem a tárgy megértésének teljes hiányát is mutatja. Ez rosszabb, mint egy gondatlan tévedés.

Harmadszor, ne keverje össze a 30 és 60 fokos szögek értékeit szinuszokhoz, koszinuszokhoz, érintőkhöz, kotangensekhez. Ne feledje ezeket az értékeket, mert a 30 fok szinusza egyenlő a 60 koszinuszával, és fordítva. Könnyű összetéveszteni őket, aminek következtében elkerülhetetlenül hibás eredményt kap.

Alkalmazás

Sok diák nem siet a trigonometria tanulmányozásába, mert nem érti a gyakorlati jelentését. Mit jelent a szinusz, koszinusz, tangens egy mérnök vagy csillagász számára? Ezek olyan fogalmak, amelyek segítségével kiszámíthatja a távoli csillagok távolságát, megjósolhatja a meteorit esését, vagy kutatószondát küldhet egy másik bolygóra. Ezek nélkül lehetetlen épületet építeni, autót tervezni, kiszámítani a felület terhelését vagy egy tárgy pályáját. És ezek csak a legszembetűnőbb példák! Végül is a trigonometriát ilyen vagy olyan formában mindenhol használják, a zenétől az orvostudományig.

Végül

Tehát szinusz, koszinusz, érintő. Használhatja őket számítások során, és sikeresen megoldhatja az iskolai feladatokat.

A trigonometria lényege abban rejlik, hogy egy háromszög ismert paramétereinek felhasználásával ki kell számítani az ismeretleneket. Összesen hat paraméter van: három oldal hossza és három szög mérete. Az egyetlen különbség a feladatok között abban rejlik, hogy különböző bemeneti adatokat adunk meg.

Most már tudja, hogyan kell szinust, koszinust, érintőt találni a lábak vagy a hipotenusz ismert hossza alapján. Mivel ezek a kifejezések nem jelentenek mást, mint egy arányt, az arány pedig tört, a trigonometriai feladat fő célja egy közönséges egyenlet vagy egyenletrendszer gyökereinek megtalálása. És itt a rendszeres iskolai matematika segít.

A trigonometria, mint tudomány, az ókori Keletről származik. Az első trigonometrikus arányszámokat csillagászok határozták meg, hogy pontos naptárt és a csillagok tájolását hozzák létre. Ezek a számítások a gömbi trigonometriára vonatkoztak, míg az iskolai kurzusban egy sík háromszög oldalainak és szögeinek arányát vizsgálják.

A trigonometria a matematikának egy olyan ága, amely a trigonometrikus függvények tulajdonságaival, valamint a háromszögek oldalai és szögei közötti kapcsolatokkal foglalkozik.

A kultúra és a tudomány virágkorában, az i.sz. I. évezredben a tudás az ókori Keletről terjedt Görögországba. De a trigonometria fő felfedezései az arab kalifátus embereinek érdemei. Különösen a türkmén tudós, al-Marazwi olyan függvényeket vezetett be, mint az érintő és a kotangens, és összeállította a szinuszok, érintők és kotangensek első értéktáblázatait. A szinusz és koszinusz fogalmát indiai tudósok vezették be. A trigonometria nagy figyelmet kapott az ókor olyan nagy alakjainak munkáiban, mint Eukleidész, Arkhimédész és Eratoszthenész.

A trigonometria alapmennyiségei

A numerikus argumentumok alapvető trigonometrikus függvényei a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens. Mindegyiknek megvan a saját gráfja: szinusz, koszinusz, érintő és kotangens.

Ezen mennyiségek értékének kiszámítására szolgáló képletek a Pitagorasz-tételen alapulnak. Az iskolások jobban ismerik a megfogalmazásban: „A pitagoraszi nadrág minden irányban egyenlő”, mivel a bizonyítást egy egyenlő szárú derékszögű háromszög példáján keresztül adjuk meg.

A szinusz, koszinusz és egyéb összefüggések bármely derékszögű háromszög hegyesszögei és oldalai közötti kapcsolatot teremtik meg. Mutassunk be képleteket ezeknek a mennyiségeknek az A szögre történő kiszámításához, és kövessük nyomon a trigonometrikus függvények közötti összefüggéseket:

Mint látható, a tg és a ctg inverz függvények. Ha az a lábat a sin A és a c hipotenusz szorzataként, a b lábat pedig cos A * cként képzeljük el, akkor a következő képleteket kapjuk az érintőre és a kotangensre:

Trigonometrikus kör

Grafikusan az említett mennyiségek közötti kapcsolat a következőképpen ábrázolható:

A kör ebben az esetben az α szög összes lehetséges értékét képviseli 0°-tól 360°-ig. Amint az ábrán látható, minden függvény a szögtől függően negatív vagy pozitív értéket vesz fel. Például a sin α „+” jelű lesz, ha α a kör 1. és 2. negyedéhez tartozik, azaz 0° és 180° közötti tartományban van. 180° és 360° közötti α esetén (III. és IV. negyed) a sin α csak negatív érték lehet.

Próbáljunk meg trigonometrikus táblázatokat készíteni adott szögekhez, és megtudjuk a mennyiségek jelentését.

A 30°, 45°, 60°, 90°, 180° és így tovább α értékeit speciális eseteknek nevezzük. A trigonometrikus függvények értékeit kiszámítják és speciális táblázatok formájában mutatják be.

Ezeket a szögeket nem véletlenül választották ki. A táblázatokban a π jelölés a radiánokra vonatkozik. Rad az a szög, amelyben a körív hossza megfelel a sugarának. Ezt az értéket azért vezették be, hogy egy univerzális függést állapítsunk meg radiánban való számításkor, a sugár cm-ben megadott hossza nem számít.

A trigonometrikus függvények táblázatában szereplő szögek radiánértékeknek felelnek meg:

Tehát nem nehéz kitalálni, hogy 2π egy teljes kör vagy 360°.

A trigonometrikus függvények tulajdonságai: szinusz és koszinusz

A szinusz és koszinusz, érintő és kotangens alapvető tulajdonságainak figyelembe vételéhez és összehasonlításához szükséges ezek függvényeinek felrajzolása. Ezt egy kétdimenziós koordináta-rendszerben elhelyezett görbe formájában lehet megtenni.

Tekintsük a szinusz és koszinusz tulajdonságainak összehasonlító táblázatát:

Annak meghatározása, hogy egy függvény páros-e vagy sem, nagyon egyszerű. Elég elképzelni egy trigonometrikus kört a trigonometrikus mennyiségek előjeleivel, és gondolatban „hajtogatni” a grafikont az OX tengelyhez képest. Ha az előjelek egybeesnek, a függvény páros, egyébként páratlan.

A radiánok bevezetése, valamint a szinusz- és koszinuszhullámok alapvető tulajdonságainak felsorolása lehetővé teszi a következő minta bemutatását:

Nagyon könnyű ellenőrizni, hogy a képlet helyes-e. Például x = π/2 esetén a szinusz 1, csakúgy, mint az x = 0 koszinusza. Az ellenőrzés elvégezhető táblázatokból, vagy adott értékek függvénygörbéinek nyomon követésével.

Tangentsoidok és kotangenszoidok tulajdonságai

Az érintő és a kotangens függvények grafikonjai jelentősen eltérnek a szinusz- és koszinuszfüggvényektől. A tg és ctg értékek egymás reciprokjai.

1. Y = barna x.
2. Az érintő az x = π/2 + πk y értékei felé hajlik, de soha nem éri el azokat.
3. A tangentoid legkisebb pozitív periódusa π.
4. Tg (- x) = - tg x, azaz a függvény páratlan.
5. Tg x = 0, ha x = πk.
6. A funkció növekszik.
7. Tg x › 0, x ϵ esetén (πk, π/2 + πk).
8. Tg x ‹ 0, x ϵ esetén (— π/2 + πk, πk).
9. Származék (tg x)’ = 1/cos 2⁡x.

Tekintsük a kotangentoid grafikus képét az alábbi szövegben.

A kotangentoidok fő tulajdonságai:

1. Y = kiságy x.
2. A szinusz- és koszinuszfüggvényekkel ellentétben a tangentoidban Y felveheti az összes valós szám halmazának értékét.
3. A kotangentoid az x = πk y értékei felé hajlik, de soha nem éri el azokat.
4. A kotangentoid legkisebb pozitív periódusa π.
5. Ctg (- x) = - ctg x, azaz a függvény páratlan.
6. Ctg x = 0, ha x = π/2 + πk.
7. A funkció csökken.
8. Ctg x › 0, x ϵ esetén (πk, π/2 + πk).
9. Ctg x ‹ 0, x ϵ esetén (π/2 + πk, πk).
10. Származék (ctg x)’ = - 1/sin 2 ⁡x Helyes

Nem próbállak meggyőzni, hogy ne írj csalólapot. Ír! Beleértve a trigonometria csalólapjait. Később azt tervezem, hogy elmagyarázom, miért van szükség a csalólapokra, és miért hasznosak a csalólapok. És itt van információ arról, hogyan kell nem tanulni, hanem emlékezni néhány trigonometrikus képletre. Tehát - trigonometria csalólap nélkül A memorizáláshoz asszociációkat használunk!

1. Összeadási képletek:

A koszinusz mindig „párban jön”: koszinusz-koszinusz, szinusz-szinusz. És még valami: a koszinusz „nem megfelelő”. „Nincs minden rendben” számukra, ezért a „-” jeleket „+”-ra cserélik, és fordítva.

Szinuszok – „keverék”: szinusz-koszinusz, koszinusz-szinusz.

2. Összeg és különbség képletek:

a koszinuszok mindig „párban jönnek”. Két koszinusz - „kolobok” - hozzáadásával egy koszinuszpárt kapunk - „koloboks”. És kivonva biztosan nem kapunk kolobokot. Kapunk pár szinust. Szintén mínuszos előrébb.

Szinuszok – „keverék” :

3. Képletek egy szorzat összeggé és különbözetté alakításához.

Mikor kapunk koszinusz párt? Amikor koszinuszokat adunk hozzá. Ezért

Mikor kapunk pár szinust? A koszinuszok kivonásakor. Innen:

A „keverést” a szinuszok összeadásakor és kivonásakor is megkapjuk. Mi a szórakoztatóbb: összeadás vagy kivonás? Így van, hajtsd össze. És a képlethez hozzáadják:

Az első és a harmadik képletben az összeg zárójelben van. A kifejezések helyeinek átrendezése az összegen nem változtat. A sorrend csak a második képletnél fontos. De hogy ne tévedjünk össze, az emlékezés megkönnyítése érdekében mindhárom képletben az első zárójelben a különbséget vesszük

és másodszor - az összeget

A zsebedben lévő csalólapok nyugalmat adnak: ha elfelejted a képletet, lemásolhatod. És önbizalmat adnak: ha nem használja a csalólapot, könnyen megjegyezheti a képleteket.

A két α és β szög szinuszainak és koszinuszainak összegére és különbségére vonatkozó képletek lehetővé teszik, hogy ezeknek a szögeknek az összegéből az α + β 2 és α - β 2 szögek szorzatára lépjünk. Azonnal jegyezzük meg, hogy nem szabad összekeverni a szinuszok és koszinuszok összegének és különbségének képleteit az összeg és a különbség szinuszainak és koszinuszainak képleteivel. Az alábbiakban felsoroljuk ezeket a képleteket, megadjuk levezetéseiket, és példákat mutatunk be konkrét problémákra.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Képletek szinuszok és koszinuszok összegére és különbségére

Írjuk fel, hogy néznek ki az összeg- és különbségképletek szinuszokra és koszinuszokra!

Összeg és különbség képletek szinuszokhoz

sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 cos α + β 2

Összeg és különbség képletek koszinuszokhoz

cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 cos α - β 2, cos α - cos β · = 2 sin α + β - α 2

Ezek a képletek bármely α és β szögre érvényesek. Az α + β 2 és α - β 2 szögeket az alfa és béta szögek félösszegének, illetve félkülönbségének nevezzük. Adjuk meg az egyes formulák megfogalmazását.

A szinuszok és koszinuszok összegeinek és különbségeinek képletei

Két szög szinuszainak összege egyenlő ezeknek a szögeknek a fele összege szinuszának és a félkülönbség koszinuszának kétszeresével.

Két szög szinuszainak különbsége egyenlő e szögek fele-különbségének szinuszának és a félösszeg koszinuszának kétszeresével.

Két szög koszinuszainak összege egyenlő e szögek feleösszegének koszinuszának és fele-különbségének koszinuszának kétszeresével.

Két szög koszinuszainak különbsége egyenlő e szögek félösszegének szinuszának és félkülönbségének koszinuszának a szorzatával, negatív előjellel.

Levezetési képletek szinuszok és koszinuszok összegére és különbségére

Két szög szinuszának és koszinuszának összegének és különbségének képleteinek származtatásához összeadási képleteket kell használni. Alább soroljuk fel őket

sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β sin (α - β) = sin α · cos β - cos α · sin β cos (α + β) = cos α · cos β - sin α sin β cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

Képzeljük el magukat a szögeket is félösszegek és félkülönbségek összegeként.

α = α + β 2 + α - β 2 = α 2 + β 2 + α 2 - β 2 β = α + β 2 - α - β 2 = α 2 + β 2 - α 2 + β 2

Közvetlenül folytatjuk a sin és cos összeg- és különbségképleteinek levezetését.

A szinuszösszeg képletének levezetése

A sin α + sin β összegben α-t és β-t a fenti szögekre vonatkozó kifejezésekkel helyettesítjük. Kapunk

sin α + sin β = sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2

Most alkalmazzuk az összeadási képletet az első kifejezésre, a másodikra ​​pedig a szögkülönbségek szinuszának képletét (lásd a fenti képleteket)

sin α + β 2 + α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 Nyissa ki a zárójeleket, adjon hozzá hasonló kifejezéseket, és kapja meg a kívánt képletet

sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α + 2 cos α - β 2

A többi képlet levezetésének lépései hasonlóak.

A szinuszkülönbség képletének levezetése

sin α - sin β = sin α + β 2 + α - β 2 - sin α + β 2 - α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 - sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 - sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α 2 cos α + β 2

A koszinuszösszeg képletének levezetése

cos α + cos β = cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - cos β α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 + cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = 2 cos β 2 cos α - β 2

A koszinuszok különbségének képletének levezetése

cos α - cos β = cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - cos β α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 - cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = - 2 sin α + α 2 sin α - β 2

Példák gyakorlati problémák megoldására

Először is ellenőrizzük az egyik képletet úgy, hogy bizonyos szögértékeket helyettesítünk bele. Legyen α = π 2, β = π 6. Számítsuk ki e szögek szinuszainak összegét! Először a trigonometrikus függvények alapértékeinek táblázatát használjuk, majd a szinuszösszeg képletét alkalmazzuk.

Példa 1. Két szög szinuszösszegének képletének ellenőrzése

α = π 2, β = π 6 sin π 2 + sin π 6 = 1 + 1 2 = 3 2 sin π 2 + sin π 6 = 2 sin π 2 + π 6 2 cos π 2 - π 6 2 = 2 sin π 3 cos π 6 = 2 3 2 3 2 = 3 2

Tekintsük most azt az esetet, amikor a szögértékek eltérnek a táblázatban szereplő alapértékektől. Legyen α = 165°, β = 75°. Számítsuk ki e szögek szinuszai közötti különbséget.

2. példa A szinuszok különbségének alkalmazása

α = 165 °, β = 75 ° sin α - sin β = sin 165 ° - sin 75 ° sin 165 - sin 75 = 2 sin 165 ° - sin 75 ° 2 cos 165 ° + sin 75 ° 2 = 2 sin 45 ° cos 120° = 2 2 2 - 1 2 = 2 2

A szinuszok és koszinuszok összegének és különbségének képleteivel az összegről vagy a különbségről a trigonometrikus függvények szorzatára léphet. Ezeket a képleteket gyakran olyan képleteknek nevezik, amelyek az összegről a szorzatra lépnek át. A szinuszok és koszinuszok összegének és különbségének képleteit széles körben használják trigonometrikus egyenletek megoldásában és trigonometrikus kifejezések konvertálásában.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

– biztosan lesznek feladatok a trigonometriával kapcsolatban. A trigonometriát gyakran nem szeretik, mert rengeteg nehéz képletet kell összezsúfolni, amelyek tele vannak szinuszokkal, koszinuszokkal, érintőkkel és kotangensekkel. Az oldal már egyszer tanácsokat adott egy elfelejtett képlet megjegyezéséhez, az Euler és Peel képletek példáján.

És ebben a cikkben megpróbáljuk megmutatni, hogy elegendő csak öt egyszerű trigonometrikus képlet szilárdan ismerése, a többi általános megértése és azok levezetése. Ez olyan, mint a DNS-nél: a molekula nem tárolja a kész élőlény teljes tervrajzát. Inkább utasításokat tartalmaz a rendelkezésre álló aminosavakból való összeállításhoz. Tehát a trigonometriában néhány általános elv ismeretében az összes szükséges képletet megkapjuk a szem előtt tartandó egy kis halmazából.

A következő képletekre fogunk támaszkodni:

A szinusz- és koszinuszösszegek képleteiből a koszinuszfüggvény paritásának és a szinuszfüggvény páratlanságának ismeretében, b helyett -b-vel helyettesítve a különbségek képleteit kapjuk:

1. A különbség szinusza: bűn(a-b) = bűnakötözősaláta(-b)+kötözősalátaabűn(-b) = bűnakötözősalátab-kötözősalátaabűnb
2. A különbség koszinusza: kötözősaláta(a-b) = kötözősalátaakötözősaláta(-b)-bűnabűn(-b) = kötözősalátaakötözősalátab+bűnabűnb

Ha a = b-t ugyanabba a képletbe tesszük, megkapjuk a kettős szögek szinuszának és koszinuszának képleteit:

1. Kettős szög szinusza: bűn2a = bűn(a+a) = bűnakötözősalátaa+kötözősalátaabűna = 2bűnakötözősalátaa
2. Kettős szög koszinusza: kötözősaláta2a = kötözősaláta(a+a) = kötözősalátaakötözősalátaa-bűnabűna = kötözősaláta2 a-bűn2 a

A többi több szög képlete hasonló módon történik:

1. Háromszög szinusza: bűn3a = bűn(2a+a) = bűn2akötözősalátaa+kötözősaláta2abűna = (2bűnakötözősalátaa)kötözősalátaa+(kötözősaláta2 a-bűn2 a)bűna = 2bűnakötözősaláta2 a+bűnakötözősaláta2 a-bűn 3 a = 3 bűnakötözősaláta2 a-bűn 3 a = 3 bűna(1-bűn2 a)-bűn 3 a = 3 bűna-4bűn 3a
2. Háromszög koszinusza: kötözősaláta3a = kötözősaláta(2a+a) = kötözősaláta2akötözősalátaa-bűn2abűna = (kötözősaláta2 a-bűn2 a)kötözősalátaa-(2bűnakötözősalátaa)bűna = kötözősaláta 3 a- bűn2 akötözősalátaa-2bűn2 akötözősalátaa = kötözősaláta 3 a-3 bűn2 akötözősalátaa = kötözősaláta 3 a-3(1- kötözősaláta2 a)kötözősalátaa = 4kötözősaláta 3 a-3 kötözősalátaa

Mielőtt továbblépnénk, nézzünk meg egy problémát.
Adott: a szög hegyes.
Keresse meg a koszinuszát, ha
Egy diák által adott megoldás:
Mert , Azt bűna= 3,a kötözősalátaa = 4.
(Matek humorból)

Tehát az érintő definíciója ezt a függvényt a szinuszhoz és a koszinuszhoz is kapcsolja. De kaphat olyan képletet, amely az érintőt csak a koszinuszhoz kapcsolja. Ennek levezetéséhez a fő trigonometrikus azonosságot vesszük: bűn 2 a+kötözősaláta 2 a= 1, és oszd el vele kötözősaláta 2 a. Kapunk:

Tehát a probléma megoldása a következő lenne:

(Mivel a szög hegyes, a gyökér kiemelésekor a + jelet veszik)

Az összeg tangensének képlete egy másik, amelyet nehéz megjegyezni. Adjuk ki a következőképpen:

Azonnal megjelenik és

A kettős szög koszinusz képletéből megkaphatja a félszögek szinusz és koszinusz képletét. Ehhez alkalmazza a kettős szög koszinusz képlet bal oldalát:
kötözősaláta2 a = kötözősaláta 2 a-bűn 2 a
hozzáadunk egyet, és jobbra - egy trigonometrikus egységet, azaz. a szinusz és a koszinusz négyzeteinek összege.
kötözősaláta2a+1 = kötözősaláta2 a-bűn2 a+kötözősaláta2 a+bűn2 a
2kötözősaláta 2 a = kötözősaláta2 a+1
Kifejezése kötözősalátaa keresztül kötözősaláta2 aés a változók megváltoztatását végrehajtva a következőt kapjuk:

A jelet a kvadránstól függően veszik.

Hasonlóképpen, ha az egyenlőség bal oldaláról levonunk egyet, a jobb oldalról pedig a szinusz és a koszinusz négyzetösszegét, a következőt kapjuk:
kötözősaláta2a-1 = kötözősaláta2 a-bűn2 a-kötözősaláta2 a-bűn2 a
2bűn 2 a = 1-kötözősaláta2 a

És végül, hogy a trigonometrikus függvények összegét szorzattá konvertáljuk, a következő technikát használjuk. Tegyük fel, hogy a szinuszok összegét szorzatként kell ábrázolnunk bűna+bűnb. Vezessünk be x és y változókat úgy, hogy a = x+y, b+x-y. Akkor
bűna+bűnb = bűn(x+y)+ bűn(x-y) = bűn x kötözősaláta y+ kötözősaláta x bűn y+ bűn x kötözősaláta y- kötözősaláta x bűn y=2 bűn x kötözősaláta y. Most fejezzük ki x-et és y-t a-val és b-vel.

Mivel a = x+y, b = x-y, akkor . Ezért

Azonnal visszavonhatod

1. Képlet a particionáláshoz szinusz és koszinusz szorzatai V összeg: bűnakötözősalátab = 0.5(bűn(a+b)+bűn(a-b))

Javasoljuk, hogy saját maga gyakoroljon és származtasson képleteket a szinuszok különbségének és a koszinuszok összegének és különbségének szorzattá konvertálására, valamint a szinuszok és koszinuszok szorzatának összegre osztására. A gyakorlatok elvégzése után alaposan elsajátítja a trigonometrikus képletek levezetésének készségét, és még a legnehezebb teszten, olimpián vagy teszten sem fog eltévedni.