A tört lineáris függvény tulajdonságai. lecke „A tört lineáris függvény és grafikonja

y = függvény és grafikonja.

CÉLOK:

1) mutassa be az y = függvény definícióját;

2) tanítsa meg az y = függvény gráfjának elkészítését az Agrapher programmal;

3) fejleszteni kell az y = függvény gráfvázlatait a függvénygráfok transzformációs tulajdonságainak felhasználásával;

I. Új anyag - kiterjesztett beszélgetés.

U: Tekintsük az y = képletekkel definiált függvényeket; y = ; y = .

Melyek ezek a képletek jobb oldalára írt kifejezések?

D: Ezeknek a képleteknek a jobb oldala racionális tört formájú, amelyben a számláló egy elsőfokú binomiális vagy egy nullától eltérő szám, a nevező pedig egy elsőfokú binomiális.

U: Az ilyen függvényeket általában egy forma képlete adja meg

Tekintsük azokat az eseteket, amikor a) c = 0 vagy c) = .

(Ha a második esetben a tanulók nehézségeket tapasztalnak, akkor meg kell kérni őket, hogy fejezzék ki Vel adott arányból, majd a kapott kifejezést behelyettesítjük az (1) képletbe).

D1: Ha c = 0, akkor y = x + b lineáris függvény.

D2: Ha = , akkor c = . Az érték helyettesítése Vel az (1) képletben ezt kapjuk:

Azaz y = lineáris függvény.

Y: Egy y = alakú képlettel megadható függvény, ahol az x betű függetlent jelöl

Ezt a változót, és az a, b, c és d betűk tetszőleges számok, c0 és ad pedig mind 0, lineáris törtfüggvénynek nevezzük.

Mutassuk meg, hogy egy lineáris törtfüggvény grafikonja hiperbola.

1. példa Készítsük el az y = függvény grafikonját. Válasszuk el az egész részt a törttől.

Van: = = = 1 + .

Az y = +1 függvény grafikonját az y = függvény grafikonjából kaphatjuk meg két párhuzamos fordítással: 2 egységnyi eltolással jobbra az X tengely mentén és 1 egységgel felfelé az Y irányában. Ezekkel az eltolódásokkal az y = hiperbola aszimptotái elmozdulnak: az x = 0 egyenes (azaz az Y tengely) 2 egységgel jobbra, az y = 0 egyenes (azaz az X tengely) pedig egy egység. fel. Grafikon készítése előtt szaggatott vonallal rajzoljunk aszimptotákat a koordinátasíkra: x = 2 és y = 1 egyenesek (1a. ábra). Tekintettel arra, hogy a hiperbola két ágból áll, mindegyik összeállításához az Agrapher programmal két táblát hozunk létre: az egyiket x>2-re, a másikat x-re.<2.

X	1	0	-1	-2	-4	-10
at	-5	-2	-1	-0,5	0	0,5
X	3	4	5	6	8	12
at	7	4	3	2,5	2	1,6

Jelöljük meg (Agrapher programmal) a koordinátasíkon pontokat, amelyek koordinátáit az első táblázatban rögzítjük, és kössük össze egy sima folytonos vonallal. A hiperbola egyik ágát kapjuk. Hasonlóképpen a második táblázat segítségével megkapjuk a hiperbola második ágát (1b. ábra).

2. Példa Készítsük el az y = - függvény grafikonját. A 2x + 10 binomiális elosztásával = 2 + választjuk el a törtből. Ezért y = -2.

Az y = --2 függvény grafikonját az y = - függvény grafikonjából kaphatjuk meg két párhuzamos fordítással: 3 egységnyi eltolással balra és 2 egységgel lefelé. A hiperbola aszimptotái x = -3 és y = -2 egyenesek. Hozzunk létre (az Agrapher programmal) táblákat x-hez<-3 и для х>-3.

X	-2	-1	1	2	7
at	-6	-4	-3	-2,8	-2,4
X	-4	-5	-7	-8	-11
at	2	0	-1	-1,2	-1,5

A koordinátasíkban (Agrapher program segítségével) pontokat szerkesztve, és azokon keresztül a hiperbola ágait megrajzolva megkapjuk az y = - függvény grafikonját (2. ábra).

U: Mi a lineáris törtfüggvény grafikonja?

D: Bármely lineáris törtfüggvény grafikonja hiperbola.

T: Hogyan ábrázoljunk lineáris törtfüggvényt?

D: Egy tört lineáris függvény grafikonját az y = függvény grafikonjából kapjuk meg párhuzamos fordítások segítségével a koordinátatengelyek mentén, a tört lineáris függvény hiperbolájának ágai szimmetrikusak a pontra (-. Az egyenes x = a hiperbola függőleges aszimptotájának nevezzük. Az y = egyenest vízszintes aszimptotának nevezzük.

T: Mi a lineáris törtfüggvény definíciós tartománya?

T: Mi a lineáris törtfüggvény értéktartománya?

D: E(y) = .

T: Vannak nullák a függvényben?

D: Ha x = 0, akkor f(0) = , d. Vagyis a függvénynek nullái vannak - az A pont.

T: Van-e egy lineáris törtfüggvény grafikonjának metszéspontja az X tengellyel?

D: Ha y = 0, akkor x = -. Ez azt jelenti, hogy ha a, akkor az X tengellyel való metszéspontnak vannak koordinátái. Ha a = 0, b, akkor a lineáris törtfüggvény grafikonjának nincs metszéspontja az abszcissza tengellyel.

U: A függvény a teljes definíciós tartomány intervallumaiban csökken, ha bc-ad > 0, és növekszik a teljes definíciós tartomány intervallumai felett, ha bc-ad< 0. Но это немонотонная функция.

K: Meg lehet adni egy függvény legnagyobb és legkisebb értékét?

D: A függvénynek nincs a legnagyobb és a legkisebb értéke.

T: Mely egyenesek egy lineáris törtfüggvény gráfjának aszimptotái?

D: A függőleges aszimptota az x = - egyenes; a vízszintes aszimptota pedig az y = egyenes.

(A tanulók jegyzetfüzetbe írják le a lineáris törtfüggvény összes általánosító következtetését, definícióját és tulajdonságait)

II. Konszolidáció.

Lineáris törtfüggvények grafikonjainak összeállításánál és „olvasásánál” az Agrapher program tulajdonságait használjuk.

III. Oktatási önálló munkavégzés.

Keresse meg a hiperbola középpontját, az aszimptotákat és ábrázolja a függvényt:

a) y = b) y = c) y = ; d) y = ; e) y = ; e) y = ;

g) y = h) y = -

Minden tanuló a saját tempójában dolgozik. Szükség esetén a tanár segítséget nyújt kérdésekkel, amelyekre adott válaszok segítik a tanulót a feladat helyes elvégzésében.

Laboratóriumi és gyakorlati munka az y = és y = függvények tulajdonságainak és e függvények grafikonjainak jellemzőinek tanulmányozására.

CÉLKITŰZÉSEK: 1) tovább kell fejleszteni az y = és y = függvények grafikonjainak elkészítéséhez szükséges készségeket az Agrapher program segítségével;

2) megszilárdítani a függvények „grafikonjainak olvasásának” készségeit és a grafikonok változásainak „megjóslásának” képességét a tört lineáris függvények különféle transzformációi során.

I. Tört lineáris függvény tulajdonságainak differenciált ismétlése.

Minden diák kap egy kártyát - egy nyomtatott feladatot. Minden konstrukció az Agrapher programmal történik. Az egyes feladatok eredményét azonnal megbeszéljük.

Minden diák önkontroll segítségével módosíthatja a kapott eredményeket a feladat végrehajtása során, és segítséget kérhet tanártól vagy diáktanácsadótól.

Keresse meg az X argumentum értékét, amelynél f(x) =6; f(x) =-2,5.

3. Szerkessze meg az y = függvény gráfját Határozza meg, hogy a pont a függvény gráfjához tartozik-e: a) A(20;0,5); b) B(-30;-); c) C(-4;2,5); d) D(25;0,4)?

4. Szerkessze meg az y = függvény grafikonját. Keresse meg azokat az intervallumokat, amelyekben y>0 és y<0.

5. Ábrázolja az y = függvényt. Keresse meg a függvény tartományát és tartományát.

6. Jelölje meg a hiperbola aszimptotáit - az y = - függvény grafikonját! Hozzon létre egy grafikont.

7. Ábrázolja az y = függvényt. Keresse meg a függvény nulláit!

II. Laboratóriumi és gyakorlati munka.

Minden tanuló kap 2 kártyát: 1. számú kártyát "Utasítás" olyan tervvel, amely szerint a munka folyamatban van, és a szöveg a feladattal és a 2. számú kártyával “ Funkcionális vizsgálati eredmények ”.

Rajzolja fel a jelzett függvény grafikonját!
Keresse meg a függvény tartományát.
Keresse meg a függvény tartományát.
Jelölje meg a hiperbola aszimptotáit!
Keresse meg az (f(x) = 0) függvény nulláit!
Keresse meg a hiperbola metszéspontját az X tengellyel (y = 0).

7. Keresse meg azokat az intervallumokat, amelyekben: a) y<0; б) y>0.

8. Adja meg a függvény növekedési (csökkentési) intervallumait.

I lehetőség.

Az Agrapher programmal készítse el a függvény grafikonját, és fedezze fel tulajdonságait:

a) y = b) y = - c) y = d) y = e) y = f) y =. -5-

A lineáris törtfüggvényt a 9. osztályban tanulmányozzák, miután néhány más típusú függvényt tanulmányoztak. Pontosan erről van szó a lecke elején. Itt az y=k/x függvényről beszélünk, ahol k>0. A szerző szerint ezzel a funkcióval korábban az iskolások is foglalkoztak. Ezért ismerik tulajdonságait. De a szerző azt javasolja, hogy emlékezzen meg és vegye figyelembe az egyik tulajdonságot, amely a leckében a függvény grafikonjának jellemzőit jelzi. Ez a tulajdonság egy függvény értékének egy változó értékétől való közvetlen függőségét tükrözi. Ugyanis a végtelenbe hajló pozitív x esetén a függvény értéke is pozitív és 0-ra hajlik. Ha negatív x mínusz végtelenbe hajlik, y értéke negatív és 0-ra hajlik.

Továbbá a szerző megjegyzi, hogy ez a tulajdonság hogyan jelenik meg a grafikonon. Ily módon a tanulók fokozatosan megismerkednek az aszimptota fogalmával. A fogalom általános bemutatása után világos definíciója következik, amely világos kerettel van kiemelve.

Az aszimptota fogalmának bemutatása és meghatározása után a szerző felhívja a figyelmet arra, hogy a k>0 y=k/xhiperbolának két aszimptotája van: ezek az x és az y tengelyek. Pontosan ugyanez a helyzet az y=k/xat k függvénnyel<0: функция имеет две асимптоты.

A főbb pontok előkészítése és az ismeretek aktualizálása után a szerző azt javasolja, hogy térjünk át egy új típusú függvény közvetlen tanulmányozására: a lineáris-tört függvény vizsgálatára. Kezdetben azt javasoljuk, hogy vegyünk példákat tört lineáris függvényekre. Egy ilyen példával a szerző bemutatja, hogy a számláló és a nevező lineáris kifejezések vagy más szóval elsőfokú polinomok. A számláló esetében nem csak egy elsőfokú polinom működhet, hanem a nullától eltérő bármely szám is.

Ezután a szerző egy lineáris törtfüggvény általános alakjának bemutatásával folytatja. Ugyanakkor részletesen leírja a rögzített funkció egyes összetevőit. Azt is elmagyarázza, hogy mely együtthatók nem lehetnek egyenlők 0-val. A szerző leírja ezeket a korlátozásokat, és bemutatja, mi történhet, ha ezek az együtthatók nullának bizonyulnak.

Ezek után a szerző megismétli, hogy az y=f(x)+n függvény grafikonját hogyan kapjuk meg az y=f(x) függvény grafikonjából. Adatbázisunkban egy lecke is található a témában. Itt azt is megjegyezzük, hogyan lehet az y=f(x+m) függvény gráfját megszerkeszteni az y=f(x) függvény ugyanabból a gráfjából.

Mindezt egy konkrét példával szemléltetjük. Itt azt javasoljuk, hogy egy bizonyos függvény gráfját készítsük el. Minden építkezés szakaszosan történik. Kezdetben azt javasoljuk, hogy a teljes részt elkülönítsük egy adott algebrai törttől. A szükséges átalakítások elvégzése után a szerző egy egész számot kap, amelyet a számmal megegyező számlálójú törthez adnak. Tehát egy függvény grafikonja, amely tört, az y = 5/x függvényből kettős párhuzamos fordítással összeállítható. Itt a szerző megjegyzi, hogyan fognak mozogni az aszimptoták. Ezt követően létrejön egy koordinátarendszer, és az aszimptoták átkerülnek egy új helyre. Ezután két értéktáblázat készül az x>0 és az x változóhoz<0. Согласно полученным в таблицах точкам, на экране ведется построение графика функции.

Ezután tekintsünk egy másik példát, ahol a függvény jelölésében mínusz van az algebrai tört előtt. De ez nem különbözik az előző példától. Minden műveletet hasonló módon hajtanak végre: a funkciót olyan formává alakítják, ahol a teljes rész kiemelve van. Ezután az aszimptotákat átvisszük, és a függvény grafikonját megszerkesztjük.

Itt ér véget az anyag magyarázata. Ez a folyamat 7:28 percig tart. Körülbelül ennyi időbe telik egy tanárnak, hogy elmagyarázza az új tananyagot egy normál órán. De ehhez jó előre fel kell készülni. De ha ezt a videóleckét vesszük alapul, akkor a leckére való felkészülés minimális időt és erőfeszítést igényel, és a diákoknak tetszeni fog az új tanítási módszer, amely videóleckét kínál.

“SUBASHI ALAPOKTATÁSI ISKOLA” BALTASI KÖZSÉG

TATÁRSZTÁN KÖZTÁRSASÁG

Órafejlesztés - 9. évfolyam

Téma: Tört – lineáris függvényciója

minősítési kategória

GarifullinAVasúténRifkatovna

201 4

Az óra témája: A tört egy lineáris függvény.

Az óra célja:

Oktatási: Ismertesse meg a tanulókkal a fogalmakattöredékesen – az aszimptoták lineáris függvénye és egyenlete;

Fejlesztő: A logikus gondolkodás technikáinak kialakítása, a tantárgy iránti érdeklődés fejlesztése; fejlessze a tört lineáris függvény definíciós tartományának, értéktartományának meghatározását és a gráf megalkotásához szükséges készségek kialakítását;

- motivációs cél:a tanulók matematikai kultúrájának, figyelmének ápolása, a tantárgy iránti érdeklődés fenntartása, fejlesztése az ismeretszerzés különböző formáinak felhasználásával.

Felszerelés és irodalom: Laptop, projektor, interaktív tábla, az y= függvény koordinátasíkja és grafikonja , reflexiós térkép, multimédiás prezentáció,Algebra: tankönyv az alapközépiskola 9. osztályának / Yu.N. Makarychev, N. G. Mendyuk, K. I. Neshkov, S. B. szerkesztette: S.A. Telyakovsky / M: „Prosveshchenie”, 2004 kiegészítésekkel.

Az óra típusa:

lecke az ismeretek, készségek, képességek fejlesztéséről.

A lecke előrehaladása.

Szervezési pillanatom:

Cél: - szóbeli számítástechnikai ismeretek fejlesztése;

egy új téma tanulmányozásához szükséges elméleti anyagok és definíciók ismétlése.

Jó napot A leckét a házi feladat ellenőrzésével kezdjük:

Figyelem a képernyőre (1-4. dia):

Feladat - 1.

Kérjük, válaszoljon a 3. kérdésre a függvény grafikonjával (keresse meg a függvény legnagyobb értékét, ...)

( 24 )

Feladat -2. Számítsa ki a kifejezés értékét:

- =

-3. feladat: Határozzuk meg a másodfokú egyenlet gyökeinek hármas összegét:

X 2 -671∙X + 670= 0.

A másodfokú egyenlet együtthatóinak összege nulla:

1+(-671)+670 = 0. Tehát x 1 =1 és x 2 = Ezért,

3∙(x 1 +x 2 )=3∙671=2013

Most írjuk fel mind a 3 feladatra a választ egymás után, pontok segítségével. (2013. december 24.)

Eredmény: Igen, így van! Tehát a mai óra témája:

A tört egy lineáris függvény.

Az útra való felhajtás előtt a járművezetőnek ismernie kell a KRESZ szabályait: tiltó és engedélyező táblákat. Ma neked és nekem is emlékeznünk kell néhány tiltó és megengedő jelre. Figyelem a képernyőre! (Dia-6 )

Következtetés:

A kifejezésnek nincs jelentése;

Helyes kifejezés, válasz: -2;

helyes kifejezés, válasz: -0;

A 0-t nem lehet nullával osztani!

Kérjük, vegye figyelembe, minden helyesen van leírva? (dia – 7)

1) ; 2) = ; 3) = a .

(1) valódi egyenlőség, 2) = - ; 3) = - a )

II. Új téma tanulása: (dia – 8).

Cél: Megtanítani egy tört lineáris függvény definíciós tartományának és értéktartományának megtalálását, grafikonjának felépítését a függvény grafikonjának abszcissza és ordináta tengely mentén történő párhuzamos átvitelével.

Határozza meg, melyik függvényt ábrázoljuk a koordinátasíkon?

Adott egy függvény grafikonja a koordinátasíkon.

Kérdés

Várható válasz

Keresse meg a függvény definíciós tartományát, (D( y)=?)

X ≠0, vagy(-∞;0]UUU

A függvény grafikonját párhuzamos fordítással az Ox tengely (abszcissza) mentén 1 egységgel jobbra mozgatjuk;

Milyen függvényt ábrázoltál?

A függvény grafikonját párhuzamos fordítással az Oy (ordináta) tengely mentén 2 egységgel felfelé mozgatjuk;

Most milyen függvényt ábrázoltál?

Rajzolj egyenes vonalakat x=1 és y=2

hogy gondolod? Milyen közvetlen üzeneteket kaptunk te és én?

Ezek az egyenesek, amelyhez a függvénygráf görbéjének pontjai a végtelenbe távolodva közelednek.

És hívják– aszimptoták.

Vagyis a hiperbola egyik aszimptotája párhuzamosan fut az y tengellyel 2 egységnyi távolságra tőle jobbra, a második aszimptota pedig az x tengellyel párhuzamosan 1 egységnyi távolságra felette.

Gratulálok! Most pedig vonjuk le a következtetést:

Egy lineáris törtfüggvény grafikonja egy hiperbola, amelyet az y = hiperbolából kaphatunkpárhuzamos fordítások segítségével a koordinátatengelyek mentén. Ehhez a tört lineáris függvény képletét a következő formában kell bemutatni: y=

ahol n azoknak az egységeknek a száma, amelyekkel a hiperbola jobbra vagy balra van eltolva, m pedig azoknak az egységeknek a száma, amelyekkel a hiperbola eltolódik felfelé vagy lefelé. Ebben az esetben a hiperbola aszimptotái x = m, y = n egyenesekre tolódnak el.

Íme néhány példa egy tört lineáris függvényre:

; .

A tört lineáris függvény az y = alakú függvény , ahol x egy változó, a, b, c, d néhány szám, és c ≠ 0, ad – bc ≠ 0.

c≠0 éshirdetés- i.e≠0, mivel c=0-nál a függvény lineáris függvénysé változik.

Hahirdetés- i.e=0, az eredményül kapott tört érték egyenlő (azaz állandó).

A tört lineáris függvény tulajdonságai:

1. Ahogy az argumentum pozitív értékei nőnek, a függvényértékek csökkennek, és nullára hajlanak, de pozitívak maradnak.

2. Ahogy a függvény pozitív értékei nőnek, az argumentum értékei csökkennek és nullára hajlanak, de pozitívak maradnak.

III – a lefedett anyag összevonása.

Cél: - prezentációs készségek és képességek fejlesztéseegy tört lineáris függvény képletei a következő alakra:

Erősítse az aszimptota egyenletek felállításának és a tört lineáris függvény grafikonjának ábrázolásának készségeit.

-1. példa:

Megoldás: Transzformációk segítségével ábrázoljuk ezt a függvényt a formában .

= (10. dia)

Testnevelés perc:

(a bemelegítést az ügyeletes vezeti)

Cél: - a lelki stressz oldása, a tanulók egészségi állapotának javítása.

Munka a tankönyvvel: 184. sz.

Megoldás: Transzformációk segítségével ezt a függvényt y=k/(x-m)+n formában ábrázoljuk.

= de x≠0.

Írjuk fel az aszimptota egyenletet: x=2 és y=3.

Tehát a függvény grafikonja az Ox tengely mentén 2 egységnyi távolságra attól jobbra, az Oy tengely mentén pedig 3 egységnyi távolságra felette mozog.

Csoportmunka:

Cél: - a mások meghallgatásának és egyben saját véleménynyilvánításának képességének fejlesztése;

vezetőképes személy oktatása;

a matematikai beszéd kultúrájának ápolása a tanulókban.

1. lehetőség

Adott funkció:

2. lehetőség

Adott egy függvény

1. Csökkentse a lineáris törtfüggvényt standard formára, és írja fel az aszimptoták egyenletét!

2. Keresse meg a függvény tartományát

3. Keresse meg a függvényértékek halmazát!

1. Csökkentse a lineáris törtfüggvényt standard formára, és írja fel az aszimptoták egyenletét!

2. Keresse meg a függvény tartományát.

3. Keresse meg a függvény értékkészletét.

(Az a csoport, amelyik először befejezte a munkát, felkészül a csoportmunka megvédésére a táblánál. A munkát elemzik.)

IV. Összegezve a tanulságot.

Cél: - elméleti és gyakorlati tevékenységek elemzése az órán;

Önértékelési készségek kialakítása a tanulókban;

A tanulók tevékenységének és tudatának reflexiója, önértékelése.

És hát kedves hallgatóim! A lecke a végéhez közeledik. Ki kell töltenie egy tükrözési kártyát. Óvatosan és olvashatóan írja le véleményét

Vezetéknév és keresztnév _____________________________________________

A lecke lépései

A tanórai szakaszok összetettségi szintjének meghatározása

A te mi hárman

A leckében végzett tevékenységének értékelése, 1-5 pont

könnyen

közepesen nehéz

nehéz

Szervezési szakasz

Új anyagok tanulása

Készségek kialakítása tört lineáris függvény grafikonjának ábrázolásához

Csoportmunka

Általános vélemény a leckéről

Házi feladat:

Cél: - a téma elsajátítási szintjének ellenőrzése.

[10*. záradék, 180(a), 181(b).]

Felkészülés az államvizsgára: (Munka a következőn:Virtuális választható" )

Gyakorlat a GIA sorozatból (23. - maximális pontszám):

Ábrázolja az Y= függvénytés határozzuk meg, hogy c mely értékeinél van az y=c egyenesnek pontosan egy közös pontja a grafikonnal.

A kérdéseket és feladatokat 14.00 és 14.30 között tesszük közzé.

Ebben a leckében megnézzük a tört lineáris függvényt, megoldjuk a problémákat a tört lineáris függvény, modul, paraméter segítségével.

Téma: Ismétlés

Lecke: Tört lineáris függvény

1. Lineáris törtfüggvény fogalma és grafikonja

Meghatározás:

Az űrlap függvénye:

Például:

Bizonyítsuk be, hogy ennek a lineáris törtfüggvénynek a grafikonja hiperbola.

Vegyük ki a kettőt a zárójelekből a számlálóból, és kapjuk:

Van x a számlálóban és a nevezőben is. Most úgy alakítjuk át, hogy a kifejezés megjelenjen a számlálóban:

Most csökkentsük a tört tagot tagonként:

Nyilvánvaló, hogy ennek a függvénynek a grafikonja egy hiperbola.

Javasolhatunk egy második bizonyítási módot, nevezetesen, hogy a számlálót elosztjuk a nevezővel egy oszlopban:

Megérkezett:

2. Lineáris törtfüggvény grafikonjának felvázolása

Fontos, hogy könnyen meg lehessen alkotni egy lineáris törtfüggvény grafikonját, különösen, hogy megtaláljuk a hiperbola szimmetriaközéppontját. Oldjuk meg a problémát.

1. példa – egy függvény grafikonjának felvázolása:

Ezt a függvényt már átalakítottuk, és a következőt kaptuk:

Ennek a gráfnak az elkészítéséhez nem fogjuk eltolni a tengelyeket vagy magát a hiperbolát. A függvénygráfok elkészítéséhez szabványos módszert alkalmazunk, állandó előjelű intervallumok jelenlétével.

Az algoritmus szerint járunk el. Először is vizsgáljuk meg az adott függvényt.

Így három konstans előjelű intervallumunk van: a jobb szélen () a függvénynek pluszjele van, majd az előjelek váltakoznak, mivel minden gyökérnek van első foka. Tehát egy intervallumon a függvény negatív, egy intervallumon a függvény pozitív.

Megszerkesztjük a gráf vázlatát az ODZ gyökeinek és töréspontjainak közelében. Megvan: mivel egy pontban a függvény előjele pluszról mínuszra változik, a görbe először a tengely felett van, majd átmegy a nullán, majd az x tengely alatt helyezkedik el. Ha egy tört nevezője gyakorlatilag nullával egyenlő, ez azt jelenti, hogy ha az argumentum értéke háromra hajlik, a tört értéke a végtelenbe hajlik. Ebben az esetben, amikor az argumentum a bal oldali hármashoz közelít, a függvény negatív, és a mínusz végtelen felé tart, a jobb oldalon a függvény pozitív, és a plusz végtelent hagyja el.

Most elkészítjük a függvény grafikonját a végtelenben lévő pontok közelében, vagyis amikor az argumentum a plusz vagy mínusz végtelen felé hajlik. Ebben az esetben az állandó kifejezések figyelmen kívül hagyhatók. Nálunk:

Így van egy vízszintes és egy függőleges aszimptotánk, a hiperbola középpontja a (3;2) pont. Illusztráljuk:

Rizs. 1. Hiperbola grafikonja például 1

3. Tört lineáris függvény modulussal, grafikonja

A tört lineáris függvénnyel kapcsolatos problémákat bonyolíthatja egy modulus vagy paraméter jelenléte. Például a függvény grafikonjának felépítéséhez a következő algoritmust kell követnie:

Rizs. 2. Az algoritmus illusztrációja

A kapott grafikonnak vannak olyan ágai, amelyek az x tengely felett és az x tengely alatt vannak.

1. Alkalmazza a megadott modult. Ebben az esetben a grafikon x tengely feletti részei változatlanok maradnak, a tengely alatti részei pedig tükröződnek az x tengelyhez képest. Kapunk:

Rizs. 3. Az algoritmus illusztrációja

2. példa – ábrázoljon egy függvényt:

Rizs. 4. Függvénygráf például 2

4. Lineáris törtegyenlet megoldása paraméterrel

Tekintsük a következő feladatot – készítsük el a függvény grafikonját. Ehhez a következő algoritmust kell követnie:

1. Ábrázolja a szubmoduláris függvényt

Tegyük fel, hogy a következő grafikont kapjuk:

Rizs. 5. Az algoritmus illusztrációja

1. Alkalmazza a megadott modult. Ennek megértéséhez bontsa ki a modult.

Így a nem negatív argumentumértékekkel rendelkező függvényértékeknél nem történik változás. A második egyenletről tudjuk, hogy az y tengelyre szimmetrikusan leképezve kapjuk. van egy grafikonunk a függvényről:

Rizs. 6. Az algoritmus illusztrációja

3. példa – ábrázoljon egy függvényt:

Az algoritmus szerint először meg kell építeni a szubmoduláris függvény grafikonját, ezt már elkészítettük (lásd 1. ábra)

Rizs. 7. Egy függvény grafikonja, például 3

4. példa - keresse meg egy egyenlet gyökeinek számát egy paraméterrel:

Emlékezzünk vissza, hogy egy egyenlet paraméterrel történő megoldása azt jelenti, hogy végig kell menni a paraméter összes értékén, és mindegyikre meg kell adni a választ. A módszertan szerint járunk el. Először elkészítjük a függvény grafikonját, ezt már megtettük az előző példában (lásd 7. ábra). Ezután fel kell boncolnia a grafikont egy sorcsaláddal különböző a-hoz, meg kell keresnie a metszéspontokat, és fel kell írnia a választ.

A grafikonra nézve kiírjuk a választ: mikor és az egyenletnek két megoldása van; ha az egyenletnek egy megoldása van; amikor az egyenletnek nincsenek megoldásai.

1. Tört lineáris függvény és grafikonja

Az y = P(x) / Q(x) alakú függvényt, ahol P(x) és Q(x) polinomok, tört racionális függvénynek nevezzük.

Valószínűleg már ismeri a racionális számok fogalmát. Hasonlóképpen racionális függvények olyan függvények, amelyek két polinom hányadosaként ábrázolhatók.

Ha egy tört racionális függvény két lineáris függvény - elsőfokú polinomok - hányadosa, azaz. a forma funkciója

y = (ax + b) / (cx + d), akkor ezt tört lineárisnak nevezzük.

Vegye figyelembe, hogy az y = (ax + b) / (cx + d) függvényben c ≠ 0 (egyébként a függvény lineárissá válik y = ax/d + b/d), és hogy a/c ≠ b/d (egyébként a függvény állandó). A lineáris törtfüggvény minden valós számra definiálva van, kivéve x = -d/c. A tört lineáris függvények grafikonjai alakjukban nem különböznek az általad ismert y = 1/x gráftól. Egy görbét, amely az y = 1/x függvény grafikonja, hívjuk túlzás. Az x abszolút értékének korlátlan növekedésével az y = 1/x függvény abszolút értékben korlátlanul csökken, és a gráf mindkét ága megközelíti az abszcisszát: a jobb felülről, a bal pedig alulról. Azokat az egyeneseket, amelyekhez a hiperbola megközelítés ágait nevezzük annak aszimptoták.

1. példa

y = (2x + 1) / (x – 3).

Megoldás.

Jelöljük ki a teljes részt: (2x + 1) / (x – 3) = 2 + 7/(x – 3).

Most könnyen belátható, hogy ennek a függvénynek a grafikonját az y = 1/x függvény grafikonjából kapjuk a következő transzformációkkal: eltolás 3 egységnyi szegmenssel jobbra, az Oy tengely mentén 7-szer nyújtva és 2-vel eltolva. egységszegmensek felfelé.

Bármely y = (ax + b) / (cx + d) tört hasonló módon írható, kiemelve az „egész részt”. Következésképpen az összes tört lineáris függvény grafikonja hiperbola, különböző módon eltolva a koordinátatengelyek mentén, és az Oy tengely mentén kifeszítve.

Egy tetszőleges tört-lineáris függvény grafikonjának elkészítéséhez egyáltalán nem szükséges a függvényt meghatározó tört transzformációja. Mivel tudjuk, hogy a gráf hiperbola, elég lesz megkeresni azokat az egyeneseket, amelyekhez az ágai közelítenek - az x = -d/c és y = a/c hiperbola aszimptotáit.

2. példa

Keresse meg az y = (3x + 5)/(2x + 2) függvény gráfjának aszimptotáit!

Megoldás.

A függvény nincs definiálva, x = -1. Ez azt jelenti, hogy az x = -1 egyenes függőleges aszimptotaként szolgál. A vízszintes aszimptota megtalálásához nézzük meg, hogy az y(x) függvény értékei mihez közelednek, amikor az x argumentum abszolút értéke nő.

Ehhez osszuk el a tört számlálóját és nevezőjét x-szel:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

Ha x → ∞, a tört 3/2-re fog emelkedni. Ez azt jelenti, hogy a vízszintes aszimptota az y = 3/2 egyenes.

3. példa

Ábrázolja az y = (2x + 1)/(x + 1) függvényt!

Megoldás.

Jelöljük ki a tört „egész részét”:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 – 1) / (x + 1) = 2 (x + 1) / (x + 1) – 1/(x + 1) =

2 – 1/(x + 1).

Most könnyen belátható, hogy ennek a függvénynek a grafikonját az y = 1/x függvény grafikonjából kapjuk a következő transzformációkkal: 1 egységnyi eltolás balra, szimmetrikus megjelenítés az Ox-hoz képest és eltolás 2 egységszegmens felfelé az Oy tengely mentén.

D(y) tartomány = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

ÉrtéktartományE(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

Metszéspontok tengelyekkel: c Oy: (0; 1); c Ox: (-1/2; 0). A függvény a definíciós tartomány minden intervallumában növekszik.

Válasz: 1. ábra.

2. Tört racionális függvény

Tekintsünk egy y = P(x) / Q(x) alakú tört racionális függvényt, ahol P(x) és Q(x) az elsőnél magasabb fokú polinomok.

Példák ilyen racionális függvényekre:

y = (x 3 – 5x + 6) / (x 7 – 6) vagy y = (x – 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

Ha az y = P(x) / Q(x) függvény két, az elsőnél magasabb fokú polinom hányadosát reprezentálja, akkor a gráfja általában bonyolultabb lesz, és néha nehéz lehet pontosan megszerkeszteni. , minden részlettel. Gyakran azonban elegendő a fent már bemutatott technikákhoz hasonló technikákat alkalmazni.

Legyen a tört megfelelő tört (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:

P(x)/Q(x) = A 1 /(x – K 1) m1 + A 2 /(x – K 1) m1-1 + … + A m1 /(x – K 1) + …+

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 +p t x + q t) m1 + … + (M m1 x + N m1) / (x 2 + p t x + q t).

Nyilvánvaló, hogy egy tört racionális függvény grafikonja megkapható elemi törtek grafikonjainak összegeként.

Tört racionális függvények grafikonjainak ábrázolása

Tekintsünk több módot egy tört racionális függvény grafikonjainak összeállítására.

4. példa

Ábrázolja az y = 1/x 2 függvényt.

Megoldás.

Az y = x 2 függvény grafikonját használjuk y = 1/x 2 gráf megalkotásához, és a gráfok „osztásának” technikáját alkalmazzuk.

D(y) tartomány = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

Értéktartomány E(y) = (0; +∞).

Nincsenek metszéspontok a tengelyekkel. A funkció egyenletes. Növekszik minden x-re a (-∞; 0) intervallumból, x esetén csökken 0-tól +∞-ig.

Válasz: 2. ábra.

5. példa

Ábrázolja az y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) függvényt!

Megoldás.

D(y) tartomány = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) = (x – 3) (x – 1) / (-3 (x – 3)) = -(x – 1)/3 = -x/ 3 + 1/3.

Itt a faktorizálás, redukció és lineáris függvényre való redukció technikáját alkalmaztuk.

Válasz: 3. ábra.

6. példa.

Ábrázolja az y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) függvényt!

Megoldás.

A definíciós tartomány D(y) = R. Mivel a függvény páros, a gráf szimmetrikus az ordinátára. Grafikon készítése előtt transzformáljuk újra a kifejezést, kiemelve a teljes részt:

y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) = 1 – 2/(x 2 + 1).

Megjegyzendő, hogy a tört racionális függvény képletében az egész rész elkülönítése az egyik legfontosabb a gráfok felépítésénél.

Ha x → ±∞, akkor y → 1, azaz. az y = 1 egyenes vízszintes aszimptota.

Válasz: 4. ábra.

7. példa.

Tekintsük az y = x/(x 2 + 1) függvényt, és próbáljuk meg pontosan megtalálni a legnagyobb értékét, pl. a legmagasabb pont a grafikon jobb felében. Ennek a grafikonnak a pontos felépítéséhez a mai tudás nem elegendő. Nyilvánvalóan a görbénk nem „emelkedhet” nagyon magasra, mert a nevező gyorsan elkezdi „előzni” a számlálót. Nézzük meg, hogy a függvény értéke egyenlő lehet-e 1-gyel. Ehhez meg kell oldanunk az x 2 + 1 = x, x 2 – x + 1 = 0 egyenletet. Ennek az egyenletnek nincs valódi gyöke. Ez azt jelenti, hogy a feltételezésünk téves. A függvény legnagyobb értékének meghatározásához meg kell találni, hogy az A = x/(x 2 + 1) egyenletnek mekkora A-nál lesz megoldása. Cseréljük ki az eredeti egyenletet másodfokúra: Ax 2 – x + A = 0. Ennek az egyenletnek van megoldása, ha 1 – 4A 2 ≥ 0. Innen a legnagyobb A = 1/2 értéket kapjuk.

Válasz: 5. ábra, max y(x) = ½.

Van még kérdése? Nem tudja, hogyan kell függvényeket ábrázolni?
Ha segítséget szeretne kérni egy oktatótól, regisztráljon.
Az első óra ingyenes!

weboldalon, az anyag teljes vagy részleges másolásakor a forrásra mutató hivatkozás szükséges.

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete