Mennyi a lábak összege? Hasonló háromszögeken keresztül
Egy dologban száz százalékig biztos lehetsz, hogy ha megkérdezik, mekkora a hipotenusz négyzete, minden felnőtt bátran válaszol: „A lábak négyzeteinek összege.” Ez a tétel minden művelt ember fejében szilárdan rögzült, de csak meg kell kérni valakit, hogy bizonyítsa, és nehézségek adódhatnak. Emlékezzünk tehát, és vegyük figyelembe a Pitagorasz-tétel bizonyításának különböző módjait.
Rövid életrajz
A Pitagorasz-tétel szinte mindenki számára ismert, de valamilyen oknál fogva annak a személynek az életrajza, aki a világra hozta, nem olyan népszerű. Ez javítható. Ezért, mielőtt megvizsgálná Pythagoras tételének bizonyításának különböző módjait, röviden meg kell ismernie személyiségét.
Pythagoras - filozófus, matematikus, gondolkodó, aki eredetileg a mai korból származik, nagyon nehéz megkülönböztetni életrajzát a legendáktól, amelyek e nagyszerű ember emlékére alakultak ki. De ahogy követőinek munkáiból az következik, Szamoszi Pythagoras Szamosz szigetén született. Apja közönséges kőfaragó volt, de anyja nemesi családból származott.
A legenda alapján Pythagoras születését egy Pythia nevű nő jósolta meg, akinek tiszteletére a fiút elnevezték. Jóslata szerint a megszületett fiúnak sok hasznot és jót kellett volna hoznia az emberiségnek. Pontosan ezt tette.
A tétel születése
Fiatalkorában Pythagoras Egyiptomba költözött, hogy ott találkozzon híres egyiptomi bölcsekkel. A velük való találkozás után megengedték neki, hogy tanuljon, ahol megtanulta az egyiptomi filozófia, matematika és orvostudomány minden nagyszerű vívmányát.
Valószínűleg Egyiptomban ihlette Pythagorast a piramisok fensége és szépsége, és alkotta meg nagyszerű elméletét. Ez sokkolhatja az olvasókat, de a modern történészek úgy vélik, hogy Pythagoras nem igazolta elméletét. De tudását csak követőinek adta át, akik később minden szükséges matematikai számítást elvégeztek.
Bárhogy is legyen, ma ennek a tételnek nem egy bizonyítási módszere ismert, hanem egyszerre több. Ma már csak találgatni tudjuk, hogy az ókori görögök pontosan hogyan végezték számításaikat, ezért itt a Pitagorasz-tétel bizonyításának különböző módjait fogjuk megvizsgálni.
Pitagorasz tétel
Mielőtt bármilyen számításba kezdene, ki kell találnia, hogy melyik elméletet szeretné bizonyítani. A Pitagorasz-tétel így hangzik: „Egy háromszögben, amelyben az egyik szög 90°, a lábak négyzeteinek összege megegyezik a befogó négyzetével.
Összesen 15 különböző módszer létezik a Pitagorasz-tétel bizonyítására. Ez meglehetősen nagy szám, ezért a legnépszerűbbekre fogunk figyelni.
1. módszer
Először is határozzuk meg, mit kaptunk. Ezek az adatok a Pitagorasz-tétel más bizonyítási módszereire is vonatkoznak, ezért érdemes azonnal megjegyezni az összes rendelkezésre álló jelölést.
Tegyük fel, hogy kapunk egy derékszögű háromszöget, amelynek a, b lábai és egy c-vel egyenlő befogója. Az első bizonyítási módszer azon a tényen alapul, hogy derékszögű háromszögből négyzetet kell rajzolni.
Ehhez hozzá kell adni a b lábnak megfelelő szegmenst az a lábhosszhoz, és fordítva. Ennek eredményeként a négyzet két egyenlő oldala lesz. Már csak két párhuzamos vonalat kell húzni, és kész is a négyzet.
A kapott ábrán belül egy másik négyzetet kell rajzolnia, amelynek oldala megegyezik az eredeti háromszög befogójával. Ehhez az ас és св csúcsokból két párhuzamos, с-vel egyenlő szegmenst kell rajzolni. Így a négyzet három oldalát kapjuk, amelyek közül az egyik az eredeti derékszögű háromszög befogója. Már csak a negyedik szegmens megrajzolása van hátra.
A kapott ábra alapján megállapíthatjuk, hogy a külső négyzet területe (a + b) 2. Ha belenézünk az ábrába, láthatjuk, hogy a belső négyzeten kívül négy derékszögű háromszög található. Mindegyik területe 0,5 av.
Ezért a terület egyenlő: 4 * 0,5ab + c 2 = 2av + c 2
Ezért (a+c) 2 =2ab+c 2
Ezért c 2 =a 2 +b 2
A tétel bizonyítást nyert.
Második módszer: hasonló háromszögek
Ezt a Pitagorasz-tétel bizonyítási képletét a geometria hasonló háromszögekre vonatkozó szakaszának állítása alapján vezették le. Azt állítja, hogy egy derékszögű háromszög szára a befogójával arányos átlag és a 90°-os szög csúcsából kiinduló befogószakasz.
A kezdeti adatok ugyanazok maradnak, ezért kezdjük rögtön a bizonyítással. Rajzoljunk egy CD szakaszt merőlegesen az AB oldalra. A fenti állítás alapján a háromszögek oldalai egyenlőek:
AC=√AB*AD, SV=√AB*DV.
A Pitagorasz-tétel bizonyítására vonatkozó kérdés megválaszolásához a bizonyítást mindkét egyenlőtlenség négyzetre emelésével kell befejezni.
AC 2 = AB * AD és CB 2 = AB * DV
Most össze kell adnunk a kapott egyenlőtlenségeket.
AC 2 + CB 2 = AB * (AD * DV), ahol AD + DV = AB
Kiderült, hogy:
AC 2 + CB 2 =AB*AB
És ezért:
AC 2 + CB 2 = AB 2
A Pitagorasz-tétel bizonyítása és a különféle megoldási módszerek a probléma sokoldalú megközelítését kívánják meg. Ez a lehetőség azonban az egyik legegyszerűbb.
Egy másik számítási módszer
A Pitagorasz-tétel bizonyításának különböző módjainak leírása nem feltétlenül jelent semmit, amíg el nem kezdi gyakorolni. Sok technika nem csak matematikai számításokat foglal magában, hanem új figurák felépítését is az eredeti háromszögből.
Ebben az esetben egy másik VSD derékszögű háromszöget kell kitölteni a BC oldalról. Így most két háromszög van közös szárral BC.
Tudva, hogy a hasonló ábrák területének aránya van a hasonló lineáris méretük négyzetével, akkor:
S avs * c 2 - S avd * in 2 = S avd * a 2 - S vsd * a 2
S avs *(2-től 2-ig) = a 2 *(S avd -S vsd)
2-től 2-ig =a 2
c 2 =a 2 + b 2
Mivel a Pitagorasz-tétel 8. évfolyamra vonatkozó bizonyítási módjai közül ez a lehetőség aligha alkalmas, használhatja a következő módszert.
A Pitagorasz-tétel bizonyításának legegyszerűbb módja. Vélemények
A történészek szerint ezt a módszert először az ókori Görögországban használták a tétel bizonyítására. Ez a legegyszerűbb, mivel nem igényel semmiféle számítást. Ha helyesen rajzolja meg a képet, akkor az a 2 + b 2 = c 2 állítás bizonyítéka jól látható lesz.
Ennek a módszernek a feltételei kissé eltérnek az előzőtől. A tétel bizonyításához tegyük fel, hogy az ABC derékszögű háromszög egyenlő szárú.
Vegyük az AC hipotenuszt a négyzet oldalának, és rajzoljuk meg a három oldalát. Ezenkívül a kapott négyzetben két átlós vonalat kell húzni. Így benne négy egyenlő szárú háromszöget kap.
Rajzolnia kell egy négyzetet az AB és CB lábakhoz, és mindegyikbe húznia kell egy-egy átlós egyenest. Az első vonalat az A csúcsból húzzuk, a másodikat a C csúcsból.
Most alaposan meg kell néznie a kapott rajzot. Mivel az AC hipotenuszon négy, az eredetivel megegyező háromszög található, az oldalakon pedig kettő, ez jelzi ennek a tételnek a valódiságát.
Egyébként a Pitagorasz-tétel ezen bizonyítási módszerének köszönhetően megszületett a híres mondat: „A pitagorasz nadrág minden irányban egyenlő”.
J. Garfield bizonyítéka
James Garfield az Amerikai Egyesült Államok huszadik elnöke. Amellett, hogy az Egyesült Államok uralkodójaként beírta magát a történelembe, tehetséges autodidakta is volt.
Pályája kezdetén egy állami iskola rendes tanára volt, de hamarosan az egyik felsőoktatási intézmény igazgatója lett. Az önfejlesztés vágya lehetővé tette számára, hogy új elméletet javasoljon a Pitagorasz-tétel bizonyítására. A tétel és a megoldás példája a következő.
Először két derékszögű háromszöget kell rajzolnia egy papírra, hogy az egyik lába a második folytatása legyen. Ezeknek a háromszögeknek a csúcsait össze kell kötni, hogy végül trapézt alkossanak.
Mint tudják, a trapéz területe megegyezik az alapjai és a magassága összegének felével.
S=a+b/2 * (a+b)
Ha a kapott trapézt három háromszögből álló alaknak tekintjük, akkor a területe a következőképpen található:
S=av/2 *2 + s 2 /2
Most ki kell egyenlítenünk a két eredeti kifejezést
2ab/2 + c/2=(a+b) 2 /2
c 2 =a 2 + b 2
A Pitagorasz-tételről és annak bizonyítási módszereiről több tankönyvet is lehetne írni. De van-e értelme annak, amikor ezt a tudást nem lehet a gyakorlatban alkalmazni?
A Pitagorasz-tétel gyakorlati alkalmazása
Sajnos a modern iskolai tantervek ennek a tételnek a használatát csak geometriai feladatokban teszik lehetővé. A végzősök hamarosan otthagyják az iskolát anélkül, hogy tudnák, hogyan alkalmazhatják tudásukat és készségeiket a gyakorlatban.
Valójában bárki használhatja a Pitagorasz-tételt a mindennapi életében. És nem csak a szakmai tevékenységekben, hanem a hétköznapi háztartási munkákban is. Nézzünk meg néhány olyan esetet, amikor a Pitagorasz-tétel és a bizonyítási módszerek rendkívül szükségesek lehetnek.
A tétel és a csillagászat kapcsolata
Úgy tűnik, hogyan lehet összekapcsolni a papíron lévő csillagokat és háromszögeket. Valójában a csillagászat olyan tudományterület, amelyen széles körben használják a Pitagorasz-tételt.
Vegyük például egy fénysugár mozgását a térben. Ismeretes, hogy a fény mindkét irányban azonos sebességgel mozog. Nevezzük AB pályának, amelyen a fénysugár mozog l. És nevezzük a fénynek A pontból B pontba jutáshoz szükséges idő felét t. És a sugár sebessége - c. Kiderült, hogy: c*t=l
Ha ugyanezt a sugarat egy másik síkról nézzük, például egy v sebességgel mozgó térbélésről, akkor a testek ilyen módon történő megfigyelésekor a sebességük megváltozik. Ebben az esetben még az álló elemek is elkezdenek v sebességgel az ellenkező irányba mozogni.
Tegyük fel, hogy a képregényhajó jobbra vitorlázik. Ekkor az A és B pont, amelyek között a sugár rohan, balra mozog. Sőt, amikor a sugár A pontból B pontba mozog, az A pontnak van ideje mozogni, és ennek megfelelően a fény már egy új C pontba érkezik. Annak a távolságnak a felének meghatározásához, amellyel A pont elmozdult, meg kell szoroznia a bélés sebessége a sugár mozgási idejének felével (t ").
És ahhoz, hogy megtudja, milyen messzire juthat el egy fénysugár ez idő alatt, meg kell jelölnie az út felét egy új s betűvel, és a következő kifejezést kell kapnia:
Ha elképzeljük, hogy a C és B fénypontok, valamint a térvonal egy egyenlő szárú háromszög csúcsai, akkor az A ponttól a vonalig tartó szakasz két derékszögű háromszögre osztja. Ezért a Pitagorasz-tételnek köszönhetően megtalálhatja azt a távolságot, amelyet egy fénysugár megtehet.
Ez a példa természetesen nem a legsikeresebb, hiszen csak keveseknek lesz szerencséje a gyakorlatban kipróbálni. Ezért nézzük meg ennek a tételnek a hétköznapibb alkalmazásait.
Mobil jelátviteli tartomány
A modern élet már nem képzelhető el okostelefonok nélkül. De mekkora hasznuk lenne, ha nem tudnának mobilkommunikáción keresztül összekötni az előfizetőket?!
A mobilkommunikáció minősége közvetlenül attól függ, hogy a mobilszolgáltató antennája milyen magasságban található. Annak kiszámításához, hogy egy mobil toronytól milyen távolságra tud jelet fogadni, alkalmazhatja a Pitagorasz-tételt.
Tegyük fel, hogy meg kell találni egy álló torony hozzávetőleges magasságát, hogy 200 kilométeres sugarú körben el tudjon terjeszteni egy jelet.
AB (torony magassága) = x;
BC (jelátviteli sugár) = 200 km;
OS (a földgömb sugara) = 6380 km;
OB=OA+ABOB=r+x
A Pitagorasz-tételt alkalmazva azt találjuk, hogy a torony minimális magassága 2,3 kilométer legyen.
Pitagorasz-tétel a mindennapi életben
Furcsa módon a Pitagorasz-tétel még a hétköznapi dolgokban is hasznos lehet, például egy gardrób magasságának meghatározásánál. Első pillantásra nincs szükség ilyen összetett számításokra, mert egyszerűen mérőszalaggal mérhet. Sokan azonban csodálkoznak azon, hogy miért merülnek fel bizonyos problémák az összeszerelési folyamat során, ha az összes mérést pontosabban végezték el.
A helyzet az, hogy a szekrényt vízszintes helyzetben szerelik össze, és csak ezután emelik fel és szerelik fel a falhoz. Ezért a szerkezet felemelése során a szekrény oldalának szabadon kell mozognia mind a szoba magasságában, mind átlósan.
Tegyük fel, hogy van egy 800 mm mélységű szekrény. Távolság a padlótól a mennyezetig - 2600 mm. Egy tapasztalt bútorkészítő azt mondja, hogy a szekrény magasságának 126 mm-rel kisebbnek kell lennie, mint a szoba magassága. De miért pont 126 mm? Nézzünk egy példát.
Ideális szekrényméretekkel ellenőrizzük a Pitagorasz-tétel működését:
AC =√AB 2 +√BC 2
AC=√2474 2 +800 2 =2600 mm - minden passzol.
Mondjuk a szekrény magassága nem 2474 mm, hanem 2505 mm. Akkor:
AC=√2505 2 +√800 2 =2629 mm.
Ezért ez a szekrény nem alkalmas ebbe a helyiségbe való beépítésre. Mert függőleges helyzetbe emelése károsíthatja a testét.
Talán, ha megvizsgáljuk a Pitagorasz-tétel különböző tudósok általi bizonyításának módjait, arra a következtetésre juthatunk, hogy ez több mint igaz. Most már használhatja a kapott információkat a mindennapi életében, és teljesen biztos lehet benne, hogy minden számítás nemcsak hasznos, hanem helyes is lesz.
Pitagorasz tétel: A lábakon nyugvó négyzetek területeinek összege ( aÉs b), egyenlő a hipotenuszon épített négyzet területével ( c).
Geometriai összetétel:
A tétel eredetileg a következőképpen fogalmazódott meg:
Algebrai megfogalmazás:
Vagyis a háromszög befogójának hosszát jelöli c, és a lábak hossza át aÉs b :
a 2 + b 2 = c 2A tétel mindkét megfogalmazása ekvivalens, de a második megfogalmazás elemibb, nem igényli a terület fogalmát. Vagyis a második állítás igazolható anélkül, hogy bármit is tudnánk a területről, és csak egy derékszögű háromszög oldalainak hosszát mérjük meg.
Fordított Pitagorasz-tétel:
Bizonyíték
Jelenleg ennek a tételnek 367 bizonyítását rögzítették a tudományos irodalomban. Valószínűleg a Pitagorasz-tétel az egyetlen tétel, amely ilyen lenyűgöző számú bizonyítással rendelkezik. Az ilyen sokféleség csak a tétel geometria szempontjából fennálló alapvető jelentőségével magyarázható.
Természetesen fogalmilag mindegyik kis számú osztályra osztható. A leghíresebbek közülük: területek módszerével történő bizonyítások, axiomatikus és egzotikus bizonyítások (például differenciálegyenletek segítségével).
Hasonló háromszögeken keresztül
Az algebrai megfogalmazás következő bizonyítása a bizonyítások közül a legegyszerűbb, közvetlenül az axiómákból szerkesztve. Különösen nem használja az ábra területének fogalmát.
Hadd ABC van derékszögű derékszögű háromszög C. Rajzoljuk le a magasságot C alapját pedig jelölje H. Háromszög ACH háromszöghöz hasonló ABC két sarkán. Hasonlóképpen, háromszög CBH hasonló ABC. A jelölés bevezetésével
kapunk
Mi az egyenértékű
Összeadva azt kapjuk
Bizonyítások területmódszerrel
Az alábbi bizonyítások látszólagos egyszerűségük ellenére egyáltalán nem ilyen egyszerűek. Mindannyian a terület tulajdonságait használják, amelyek bizonyítása bonyolultabb, mint magának a Pitagorasz-tételnek a bizonyítása.
Bizonyítás ekvikomplementaritáson keresztül
- Rendezzünk négy egyenlő derékszögű háromszöget az 1. ábra szerint.
- Négyszög oldalakkal c négyzet, mivel két hegyesszög összege 90°, az egyenes szöge pedig 180°.
- A teljes ábra területe egyrészt egyenlő az (a + b) oldalú négyzet területével, másrészt négy háromszög és két belső terület összegével négyzetek.
Q.E.D.
Bizonyítás az ekvivalencián keresztül
Elegáns bizonyítás permutációval
Egy ilyen bizonyításra egy példa látható a jobb oldali rajzon, ahol egy, a hipotenuszon épített négyzetet két oldalra épített négyzetté rendezik át.
Eukleidész bizonyítéka
Rajz Eukleidész bizonyításához
Illusztráció Eukleidész bizonyításához
Eukleidész bizonyításának gondolata a következő: próbáljuk meg bebizonyítani, hogy a hipotenuszra épített négyzet területének fele egyenlő a lábakra épített négyzetek fele, majd a a nagy és a két kis négyzet egyenlő.
Nézzük a bal oldali rajzot. Rajta négyzeteket szerkesztettünk egy derékszögű háromszög oldalaira, és a C derékszög csúcsából s sugarat rajzoltunk az AB hipotenuszra merőlegesen, a befogóra épített ABIK négyzetet két téglalapra vágja - BHJI és HAKJ, illetőleg. Kiderült, hogy ezeknek a téglalapoknak a területe pontosan megegyezik a megfelelő lábakra épített négyzetek területével.
Próbáljuk bebizonyítani, hogy a DECA négyzet területe megegyezik az AHJK téglalap területével. az adott téglalap egyenlő az adott téglalap területének felével. Ez annak a következménye, hogy egy háromszög területét az alap és a magasság szorzatának feleként határozzuk meg. Ebből a megfigyelésből az következik, hogy az ACK háromszög területe megegyezik az AHK háromszög területével (az ábrán nem látható), ami viszont egyenlő az AHJK téglalap területének felével.
Most bizonyítsuk be, hogy az ACK háromszög területe is egyenlő a DECA négyzet területének felével. Ehhez az egyetlen dolog, amit meg kell tenni, az ACK és BDA háromszögek egyenlőségének bizonyítása (mivel a BDA háromszög területe a fenti tulajdonság szerint egyenlő a négyzet területének felével). Az egyenlőség nyilvánvaló, a háromszögek mindkét oldalán egyenlők és a köztük lévő szög. Ugyanis - AB=AK,AD=AC - a CAK és a BAD szögek egyenlősége könnyen igazolható mozgásmódszerrel: a CAK háromszöget 90°-kal elforgatjuk az óramutató járásával ellentétes irányba, ekkor nyilvánvaló, hogy a két háromszög megfelelő oldalai kérdés egybeesik (annak köszönhetően, hogy a négyzet csúcsánál bezárt szög 90°).
A BCFG négyzet és a BHJI téglalap területeinek egyenlőségének indoklása teljesen hasonló.
Így bebizonyítottuk, hogy a hipotenuszra épített négyzet területe a lábakra épített négyzetek területeiből tevődik össze. A bizonyíték mögött meghúzódó gondolatot tovább szemlélteti a fenti animáció.
Leonardo da Vinci bizonyítéka
Leonardo da Vinci bizonyítéka
A bizonyítás fő elemei a szimmetria és a mozgás.
Tekintsük a rajzot, amint a szimmetriából is látszik, szegmensnek Cén vágja a négyzetet ABHJ két egyforma részre (hiszen háromszög ABCÉs JHén felépítésében egyenlő). Az óramutató járásával ellentétes 90 fokos elforgatással látjuk az árnyékolt ábrák egyenlőségét CAJén És GDAB . Most már világos, hogy az általunk árnyékolt ábra területe megegyezik a lábakra épített négyzetek területének felének és az eredeti háromszög területének összegével. Másrészt ez egyenlő a hipotenuzusra épített négyzet területének felével, plusz az eredeti háromszög területével. A bizonyítás utolsó lépését az olvasóra bízzuk.
Bizonyítás infinitezimális módszerrel
A következő, differenciálegyenleteket használó bizonyítást gyakran a híres angol matematikusnak, Hardynak tulajdonítják, aki a 20. század első felében élt.
Az ábrán látható rajzot nézve és az oldal változását figyelve a, a következő összefüggést írhatjuk fel infinitezimális oldalnövekményekre Val velÉs a(háromszög hasonlóságot használva):
Bizonyítás infinitezimális módszerrel
A változók szétválasztásának módszerével azt találjuk
Egy általánosabb kifejezés a hipotenúzus változására mindkét oldali növekmény esetén
Ezt az egyenletet integrálva és a kezdeti feltételek felhasználásával megkapjuk
c 2 = a 2 + b 2 + állandó.Így elérkeztünk a kívánt válaszhoz
c 2 = a 2 + b 2 .Amint az könnyen belátható, a végső képletben a másodfokú függés a háromszög oldalai és a növekmény közötti lineáris arányosság miatt jelenik meg, míg az összeg a különböző lábak növekményéből származó független hozzájárulásokhoz kapcsolódik.
Egyszerűbb bizonyítékot kaphatunk, ha feltételezzük, hogy az egyik láb nem tapasztal növekedést (ebben az esetben a láb b). Ekkor megkapjuk az integrációs állandót
Változatok és általánosítások
- Ha négyzetek helyett más hasonló alakzatokat építünk az oldalakra, akkor igaz a Pitagorasz-tétel alábbi általánosítása: Egy derékszögű háromszögben az oldalakra épített hasonló figurák területeinek összege megegyezik a hipotenuzusra épített alak területével. Különösen:
- A lábakra épített szabályos háromszögek területeinek összege megegyezik a hipotenuzusra épített szabályos háromszög területével.
- A lábakra épített félkörök területének összege (mint az átmérőnél) megegyezik a hipotenuszon épített félkör területével. Ez a példa a két kör ívei által határolt, hippokratészi lunuláknak nevezett alakzatok tulajdonságainak bizonyítására szolgál.
Sztori
Chu-pei Kr.e. 500–200. A bal oldalon a felirat: a magasság és az alap hosszának négyzetösszege a befogó hosszának négyzete.
Az ókori kínai Chu-pei könyv egy Pitagorasz-háromszögről beszél, amelynek 3., 4. és 5. oldala van: Ugyanez a könyv olyan rajzot kínál, amely egybeesik Bashara hindu geometriájának egyik rajzával.
Cantor (a matematika legnagyobb német történésze) úgy véli, hogy a 3² + 4² = 5² egyenlőséget az egyiptomiak már Kr.e. 2300 körül ismerték. e., I. Amenemhet király idejében (a berlini múzeum 6619. számú papirusza szerint). Cantor szerint a harpedonaptes, vagyis a "kötélhúzók" derékszöget építettek 3, 4 és 5 oldalú derékszögű háromszögek felhasználásával.
Nagyon könnyű reprodukálni az építési módjukat. Vegyünk egy 12 m hosszú kötelet, és kössünk rá egy színes csíkot 3 m távolságra. egyik végétől és 4 méterre a másiktól. A derékszöget 3 és 4 méter hosszú oldalak közé kell zárni. Kifogásolható a Harpedonaptians ellen, hogy az építési módszerük feleslegessé válik, ha például egy fából készült négyzetet használunk, amelyet minden asztalos használ. Valóban ismertek egyiptomi rajzok, amelyeken ilyen eszköz található, például egy asztalosműhelyt ábrázoló rajzok.
A babilóniaiaknál valamivel többet tudunk a Pitagorasz-tételről. Az egyik szövegben, amely Hammurapi idejére nyúlik vissza, azaz ie 2000-ig. Például egy derékszögű háromszög befogójának hozzávetőleges számítását adjuk meg. Ebből arra következtethetünk, hogy Mezopotámiában derékszögű háromszögekkel is tudtak számításokat végezni, legalábbis bizonyos esetekben. Van der Waerden (holland matematikus) egyrészt az egyiptomi és babiloni matematika jelenlegi tudásszintje, másrészt a görög források kritikai tanulmányozása alapján a következő következtetésre jutott:
Irodalom
Oroszul
- Skopets Z. A. Geometriai miniatúrák. M., 1990
- Elensky Shch. Pythagoras nyomában. M., 1961
- Van der Waerden B. L. Az ébredő tudomány. Az ókori Egyiptom, Babilon és Görögország matematikája. M., 1959
- Glazer G.I. A matematika története az iskolában. M., 1982
- W. Litzman, „A Pitagorasz-tétel”, M., 1960.
- A Pythagorean-tételről szóló oldal nagyszámú bizonyítással, V. Litzmann könyvéből vett anyag, nagyszámú rajz látható külön grafikus fájlok formájában.
- A Pitagorasz-tétel és a Pitagorasz-hármasok fejezete D. V. Anosov „Pillanat a matematikára és valami belőle” című könyvéből
- A Pitagorasz-tételről és annak bizonyítási módszereiről G. Glaser, az Orosz Oktatási Akadémia akadémikusa, Moszkva
Angolul
- Pitagorasz-tétel a WolframMathWorld-ben
- Cut-The-Knot, szakasz a Pitagorasz-tételről, mintegy 70 bizonyíték és kiterjedt kiegészítő információ (angol)
Wikimédia Alapítvány. 2010.
Utasítás
Ha a Pitagorasz-tétel segítségével kell számolnia, használja a következő algoritmust: - Határozza meg egy háromszögben, hogy melyik oldalak a lábak és melyek a hipotenusz. A kilencven fokos szöget bezáró két oldal a lábak, a fennmaradó harmad a hipotenusz. (cm) - Emelje fel a háromszög minden lábát a második hatványra, azaz szorozza meg önmagával. Példa 1. Tegyük fel, hogy ki kell számítanunk a befogót, ha a háromszög egyik lába 12 cm, a másik pedig 5 cm. Először is, a lábak négyzete egyenlő: 12 * 12 = 144 cm és 5 * 5 = 25 cm. Ezután határozza meg a lábak négyzeteinek összegét. Egy bizonyos szám az átfogó, meg kell szabadulnia a szám második hatványától, hogy megtalálja hossz a háromszög ezen oldala. Ehhez vegye ki a négyzetgyökből a lábak négyzeteinek összegét. Példa 1. 144+25=169. A 169 négyzetgyöke 13. Ezért ennek a hossza átfogó egyenlő 13 cm-rel.
A hossz kiszámításának másik módja átfogó a háromszögben a szinusz és a szögek terminológiájában rejlik. Definíció szerint: az alfa szög szinusza - a hipotenusszal ellentétes láb. Vagyis az ábrát nézve sin a = CB / AB. Ezért az AB hipotenusz = CB / sin a 2. példa. Legyen a szög 30 fok, a másik oldal pedig 4 cm. Megoldás: AB = 4 cm / sin 30 = 4 cm / 0,5 = 8 cm Válasz: hossz átfogó egyenlő 8 cm-rel.
Hasonló módon lehet megtalálni átfogó szög koszinuszának definíciójából. Egy szög koszinusza a vele szomszédos oldal aránya és átfogó. Vagyis cos a = AC/AB, tehát AB = AC/cos a. Példa 3. Az ABC háromszögben az AB a hipotenusz, a BAC szög 60 fok, az AC láb 2 cm.
Megoldás: AB = AC/cos 60 = 2/0,5 = 4 cm Válasz: A hipotenusz 4 cm hosszú.
Hasznos tanács
Egy szög szinuszának vagy koszinuszának értékének meghatározásához használja a szinuszok és koszinuszok táblázatát vagy a Bradis táblát.
2. tipp: Hogyan találjuk meg a befogó hosszát derékszögű háromszögben
A befogó egy derékszögű háromszög leghosszabb oldala, így nem meglepő, hogy a szót görögül „nyújtottnak” fordítják. Ez az oldal mindig a 90°-os szöggel szemben helyezkedik el, és az ezt a szöget alkotó oldalakat lábaknak nevezzük. Ismerve ezen oldalak hosszát és a hegyesszögek értékét ezen értékek különböző kombinációiban, kiszámíthatjuk a hipotenúza hosszát.
Utasítás
Ha mindkét háromszög (A és B) hossza ismert, akkor használja a hipotenusz (C) hosszát, amely talán a leghíresebb matematikai posztulátum - a Pitagorasz-tétel. Azt írja ki, hogy a befogó hosszának négyzete a lábak hosszának négyzetösszege, amiből az következik, hogy ki kell számítani a két oldal négyzetes hosszának összegének gyökét: C = √ ( A² + B²). Például, ha az egyik láb hossza 15 és -10 centiméter, akkor a hipotenusz hossza körülbelül 18,0277564 centiméter, mivel √(15²+10²)=√(225+100)= √325≈18.0277564.027
Ha egy derékszögű háromszögben csak az egyik szár hossza (A) ismert, valamint a vele szemközti szög értéke (α), akkor a befogó hosszát (C) használhatjuk a trigonometrikus értékek valamelyikével. függvények - a szinusz. Ehhez el kell osztani az ismert oldal hosszát az ismert szög szinuszával: C=A/sin(α). Például, ha az egyik láb hossza 15 centiméter, és a háromszög szemközti csúcsánál bezárt szög 30°, akkor a befogó hossza 30 centiméter lesz, mivel 15/sin(30°) =15/0,5=30.
Ha egy derékszögű háromszögben ismert az egyik hegyesszög mérete (α) és a szomszédos láb (B) hossza, akkor a hipotenusz (C) hosszának kiszámításához használhat egy másik trigonometrikus függvényt - koszinusz. Az ismert láb hosszát el kell osztani az ismert szög koszinuszával: C=B/ cos(α). Például, ha ennek a lábnak a hossza 15 centiméter, és a vele szomszédos hegyesszög 30°, akkor az alsó rész hossza körülbelül 17,3205081 centiméter, mivel 15/cos(30°)=15/(0,5*) √3)=30/√3≈17,3205081.
A hosszt általában egy szakasz két pontja közötti távolság jelölésére használják. Lehet egyenes, törött vagy zárt vonal. A hosszt egyszerűen kiszámíthatja, ha ismeri a szegmens egyéb mutatóit.
Utasítás
Ha meg kell találnia egy négyzet oldalának hosszát, akkor ez nem lesz, ha ismeri a területét S. Annak a ténynek köszönhetően, hogy a négyzet minden oldala
Pitagorasz tétel
Hasonlóképpen, a CBH háromszög hasonló az ABC-hez. A jelölés bevezetésével 
1. Helyezzen el négy egyenlő derékszögű háromszöget az ábrán látható módon. 
Eukleidész bizonyításának gondolata a következő: próbáljuk meg bebizonyítani, hogy a hipotenuszra épített négyzet területének fele egyenlő a lábakra épített négyzetek fele, majd a a nagy és a két kis négyzet egyenlő. Nézzük a bal oldali rajzot. Rajta négyzeteket szerkesztettünk egy derékszögű háromszög oldalaira, és a C derékszög csúcsából s sugarat rajzoltunk az AB hipotenuszra merőlegesen, a befogóra épített ABIK négyzetet két téglalapra vágja - BHJI és HAKJ, illetőleg. Kiderült, hogy ezeknek a téglalapoknak a területe pontosan megegyezik a megfelelő lábakra épített négyzetek területével. Próbáljuk bebizonyítani, hogy a DECA négyzet területe megegyezik az AHJK téglalap területével. az adott téglalap egyenlő az adott téglalap területének felével. Ez annak a következménye, hogy egy háromszög területét az alap és a magasság szorzatának feleként határozzuk meg. Ebből a megfigyelésből az következik, hogy az ACK háromszög területe megegyezik az AHK háromszög területével (az ábrán nem látható), ami viszont egyenlő az AHJK téglalap területének felével. Most bizonyítsuk be, hogy az ACK háromszög területe is egyenlő a DECA négyzet területének felével. Ehhez az egyetlen dolog, amit meg kell tenni, az ACK és BDA háromszögek egyenlőségének bizonyítása (mivel a BDA háromszög területe a fenti tulajdonság szerint egyenlő a négyzet területének felével). Az egyenlőség nyilvánvaló, a háromszögek mindkét oldalán egyenlők és a köztük lévő szög. Ugyanis - AB=AK,AD=AC - a CAK és a BAD szögek egyenlősége könnyen igazolható mozgásmódszerrel: a CAK háromszöget 90°-kal elforgatjuk az óramutató járásával ellentétes irányba, ekkor nyilvánvaló, hogy a két háromszög megfelelő oldalai kérdés egybeesik (annak köszönhetően, hogy a négyzet csúcsánál bezárt szög 90°). A BCFG négyzet és a BHJI téglalap területeinek egyenlőségének indoklása teljesen hasonló. Így bebizonyítottuk, hogy a hipotenuszra épített négyzet területe a lábakra épített négyzetek területeiből tevődik össze. 
Tekintsük a rajzot, ahogy a szimmetriából is látszik, a CI szakasz az ABHJ négyzetet két egyforma részre vágja (mivel az ABC és a JHI háromszög felépítése egyenlő). Az óramutató járásával ellentétes 90 fokos elforgatással látjuk a CAJI és a GDAB árnyékolt ábrák egyenlőségét. Most már világos, hogy az általunk árnyékolt ábra területe megegyezik a lábakra épített négyzetek területének felének és az eredeti háromszög területének összegével. Másrészt ez egyenlő a hipotenuzusra épített négyzet területének felével, plusz az eredeti háromszög területével. A bizonyítás utolsó lépését az olvasóra bízzuk.Pitagorasz tétel- az euklideszi geometria egyik alaptétele, az összefüggés megállapítása
derékszögű háromszög oldalai között.
Úgy gondolják, hogy Pythagoras görög matematikus bizonyította be, akiről nevezték el.
A Pitagorasz-tétel geometriai megfogalmazása.
A tétel eredetileg a következőképpen fogalmazódott meg:
Egy derékszögű háromszögben a hipotenuszra épített négyzet területe egyenlő a négyzetek területének összegével,
lábakra épült.
A Pitagorasz-tétel algebrai megfogalmazása.
Egy derékszögű háromszögben a befogó hosszának négyzete egyenlő a lábak hosszának négyzeteinek összegével.
Vagyis a háromszög befogójának hosszát jelöli c, és a lábak hossza át aÉs b:
Mindkét készítmény Pitagorasz tétel egyenértékűek, de a második megfogalmazás elemibb, nem
terület fogalmát igényli. Vagyis a második állítás igazolható anélkül, hogy bármit is tudnánk a területről és
csak egy derékszögű háromszög oldalainak hosszát mérve.
Fordított Pitagorasz-tétel.
Ha egy háromszög egyik oldalának négyzete egyenlő a másik két oldal négyzetösszegével, akkor
derékszögű háromszög.
Vagy más szóval:
A pozitív számok minden hármasára a, bÉs c, oly módon, hogy
van egy derékszögű háromszög lábakkal aÉs bés hypotenusa c.
Pitagorasz-tétel egyenlő szárú háromszögre.
Pitagorasz-tétel egyenlő oldalú háromszögre.
A Pitagorasz-tétel bizonyításai.
Jelenleg ennek a tételnek 367 bizonyítását rögzítették a tudományos irodalomban. Valószínűleg a tétel
Pitagorasz az egyetlen tétel, amely ilyen lenyűgöző számú bizonyítással rendelkezik. Ilyen sokszínűség
csak a tétel geometria szempontjából való alapvető jelentőségével magyarázható.
Természetesen fogalmilag mindegyik kis számú osztályra osztható. A leghíresebb közülük:
bizonyíték terület módszere, magától értetődőÉs egzotikus bizonyíték(Például,
használva differenciál egyenletek).
1. A Pitagorasz-tétel bizonyítása hasonló háromszögekkel.
Az algebrai megfogalmazás következő bizonyítása a legegyszerűbb a megszerkesztett bizonyítások közül
közvetlenül az axiómákból. Különösen nem használja az ábra területének fogalmát.
Hadd ABC van derékszögű derékszögű háromszög C. Rajzoljuk le a magasságot Cés jelöljük
az alapozása révén H.
Háromszög ACH háromszöghöz hasonló AB C két sarokban. Hasonlóképpen, háromszög CBH hasonló ABC.
A jelölés bevezetésével:
kapunk:
,
ami megfelel -
Összehajtva a 2 és b 2, kapjuk:
vagy , amit bizonyítani kellett.
2. A Pitagorasz-tétel bizonyítása területmódszerrel.
Az alábbi bizonyítások látszólagos egyszerűségük ellenére egyáltalán nem ilyen egyszerűek. Mindegyikük
olyan terület tulajdonságait használja, amelyek bizonyítása összetettebb, mint magának a Pitagorasz-tételnek a bizonyítása.
- Bizonyítás az ekvikomplementaritáson keresztül.
Rendezzünk el négy egyforma téglalapot
háromszög az ábrán látható módon
jobb oldalon.
Négyszög oldalakkal c- négyzet,
mivel két hegyesszög összege 90°, és
kihajtott szög - 180°.
A teljes ábra területe egyrészt egyenlő,
egy négyzet területe oldalával ( a+b), másrészt pedig négy háromszög területének összege és
Q.E.D.
3. A Pitagorasz-tétel bizonyítása infinitezimális módszerrel.
Az ábrán látható rajzot nézve és
az oldalváltást figyelvea, tudunk
írd fel a következő összefüggést a végtelenre
kicsi oldalsó lépésekbenVal velÉs a(hasonlóságot használva
háromszögek):
A változó elválasztási módszert használva a következőket kapjuk:
Egy általánosabb kifejezés a hipotenúzus változására mindkét oldali növekmény esetén:
Ezt az egyenletet integrálva és a kezdeti feltételek felhasználásával kapjuk:
Így elérkeztünk a kívánt válaszhoz:
Amint az könnyen látható, a végső képletben a másodfokú függés a lineárisnak köszönhető
arányosság a háromszög oldalai és a növekmény között, míg az összeg a függetlenhez kapcsolódik
a különböző lábak növekedéséből származó hozzájárulások.
Egyszerűbb bizonyítékot kaphatunk, ha feltételezzük, hogy az egyik láb nem tapasztal növekedést
(ebben az esetben a láb b). Ekkor az integrációs állandóhoz kapjuk:
Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete