Mivel egyenlő a cos? Minden trigonometriai képlet
A legegyszerűbb trigonometrikus azonosságok
Az alfa szög szinuszának az azonos szög koszinuszával való osztásának hányadosa egyenlő ennek a szögnek az érintőjével (1. képlet). Lásd még a legegyszerűbb trigonometrikus azonosságok transzformációjának helyességének bizonyítását.
Az alfa szög koszinuszának az azonos szög szinuszával való osztásának hányadosa egyenlő ugyanannak a szögnek a kotangensével (2. képlet)
Egy szög szekánsa egyenlő egy osztva ugyanazon szög koszinuszával (3. képlet)
Az azonos szögű szinusz és koszinusz négyzeteinek összege eggyel egyenlő (4. képlet). lásd még a koszinusz és a szinusz négyzetösszegének bizonyítását.
Egy és egy szög érintőjének összege egyenlő az egynek a szög koszinuszának négyzetéhez viszonyított arányával (5. képlet)
Egy plusz egy szög kotangense egyenlő az egy hányadosával, osztva ennek a szögnek a szinusz négyzetével (6. képlet)
Az azonos szög érintőjének és kotangensének szorzata eggyel egyenlő (7. képlet).
Trigonometrikus függvények negatív szögeinek konvertálása (páros és páratlan)
Annak érdekében, hogy a szinusz, koszinusz vagy érintő kiszámításakor megszabaduljon egy szög fokmértékének negatív értékétől, a következő trigonometrikus transzformációkat (azonosságokat) használhatja a páros vagy páratlan trigonometrikus függvények elve alapján.
Amint látod, koszinusz a szekant pedig az páros funkció, a szinusz, az érintő és a kotangens páratlan függvények.
Egy negatív szög szinusza egyenlő az azonos pozitív szög szinuszának negatív értékével (mínusz szinusz alfa).
A koszinusz mínusz alfa ugyanazt az értéket adja, mint az alfa szög koszinusza.
Az érintő mínusz alfa egyenlő a mínusz alfa érintővel.
Képletek a kettős szögek (duplaszögek szinusz, koszinusz, tangens és kotangens) csökkentésére
Ha egy szöget ketté kell osztania, vagy fordítva, kettős szögből egyetlen szögbe kell lépnie, használhatja a következő trigonometrikus azonosságokat:
Kétszögű átalakítás (kettős szög szinusza, kettős szög koszinusza és kettős szög érintője) egyesben a következő szabályok szerint fordul elő:
Kettős szög szinusza egyenlő egyetlen szög szinusza és koszinusza szorzatának kétszeresével
Kettős szög koszinusza egyenlő az egyetlen szög koszinuszának négyzete és e szög szinuszának négyzete közötti különbséggel
Kettős szög koszinusza egyenlő egyetlen szög koszinuszának négyzetének kétszeresével mínusz egy
Kettős szög koszinusza egyenlő egy mínusz kettős szinusz négyzet egyetlen szöggel
Kettős szög érintője egyenlő egy törttel, amelynek számlálója kétszerese egyetlen szög érintőjének, nevezője pedig eggyel mínusz egyetlen szög érintőjének négyzete.
Kettős szög kotangense egyenlő egy törttel, amelynek számlálója egyetlen szög kotangensének négyzete mínusz egy, nevezője pedig egyetlen szög kotangensének kétszerese
Az univerzális trigonometrikus helyettesítési képletek
Az alábbi konverziós képletek hasznosak lehetnek, ha egy trigonometrikus függvény argumentumát (sin α, cos α, tan α) el kell osztani kettővel, és a kifejezést fél szög értékére kell csökkenteni. α értékéből α/2-t kapunk.Ezeket a képleteket ún univerzális trigonometrikus helyettesítés képletei. Értékük abban rejlik, hogy segítségükkel egy trigonometrikus kifejezés a fél szög érintőjének kifejezésére redukálódik, függetlenül attól, hogy eredetileg milyen trigonometrikus függvények (sin cos tan ctg) szerepeltek a kifejezésben. Ezek után sokkal könnyebben megoldható a félszög érintőjével egyenlet.
Trigonometrikus azonosságok félszög transzformációkhoz
A következő képletek a félszög teljes értékére való trigonometrikus átszámítására szolgálnak.Az α/2 trigonometrikus függvény argumentumának értéke az α trigonometrikus függvény argumentumának értékére csökken.
Trigonometrikus képletek szögek összeadásához
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α
sin (α - β) = sin α cos β - sin β cos α
cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β
A szögek összegének érintője és kotangense alfa és béta konvertálható a következő szabályokkal a trigonometrikus függvények konvertálására:
A szögek összegének érintője egyenlő egy törttel, amelynek számlálója az első szög érintőjének és a második szög érintőjének összege, a nevező pedig egy mínusz az első szög érintőjének és a második szög érintőjének szorzata.
Szögkülönbség érintője egyenlő egy törttel, amelynek számlálója egyenlő a redukálandó szög érintője és a kivonandó szög érintője közötti különbséggel, a nevező pedig egy plusz e szögek érintőinek szorzata.
A szögek összegének kotangense egyenlő egy törttel, amelynek számlálója egyenlő ezen szögek kotangensének plusz egy szorzatával, a nevezője pedig egyenlő a második szög kotangensének és az első szög kotangensének különbségével.
Szögkülönbség kotangense egyenlő egy törttel, amelynek számlálója e szögek kotangenseinek mínusz egy szorzata, nevezője pedig e szögek kotangenseinek összegével egyenlő.
Ezek a trigonometrikus azonosságok kényelmesen használhatók, ha például ki kell számítani a 105 fokos érintőt (tg 105). Ha tg-ként képzeli el (45 + 60), akkor használhatja a szögösszeg érintőjének megadott azonos transzformációit, majd egyszerűen helyettesítheti a 45 és a 60 fokos érintő táblázatos értékeit.
Képletek a trigonometrikus függvények összegének vagy különbségének konvertálására
A sin α + sin β alakú összeget képviselő kifejezések a következő képletekkel transzformálhatók:
Háromszög képletek - sin3α cos3α tan3α konvertálása sinα cosα tanα-ra
Néha szükséges egy szög hármas értékét úgy transzformálni, hogy a trigonometrikus függvény argumentuma 3α helyett α szög legyen.Ebben az esetben használhatja a háromszögű transzformációs képleteket (identitásokat):
Képletek trigonometrikus függvények szorzatának konvertálására
Ha szükség van különböző szögű szinuszok, különböző szögű koszinuszok szorzatának vagy akár szinusz és koszinusz szorzatának átalakítására, akkor a következő trigonometrikus azonosságokat használhatja:
Ebben az esetben a különböző szögek szinusz-, koszinusz- vagy érintőfüggvényeinek szorzata összeggé vagy különbséggé alakul át.
Képletek trigonometrikus függvények redukálására
A csökkentési táblázatot az alábbiak szerint kell használnia. A sorban kiválasztjuk a minket érdeklő funkciót. Az oszlopban van egy szög. Például a szög (α+90) szinusza az első sor és az első oszlop metszéspontjában, megtudjuk, hogy sin (α+90) = cos α.
|BD|
- egy körív hossza, amelynek középpontja az A pontban van.
α a radiánban kifejezett szög. Érintő ( tan α
) egy trigonometrikus függvény, amely egy derékszögű háromszög befogója és szára közötti α szögtől függ, amely egyenlő a szemközti szár hosszának arányával |BC| a szomszédos láb |AB| hosszához . Kotangens (
ctg α
) egy trigonometrikus függvény, amely egy derékszögű háromszög befogója és szára közötti α szögtől függ, amely egyenlő a szomszédos szár hosszának arányával |AB| a szemközti láb hosszára |BC| . Tangens
Ahol
.
;
;
.
n
- egész.
) egy trigonometrikus függvény, amely egy derékszögű háromszög befogója és szára közötti α szögtől függ, amely egyenlő a szomszédos szár hosszának arányával |AB| a szemközti láb hosszára |BC| . Tangens
A nyugati irodalomban az érintőt a következőképpen jelölik:
.
Az érintőfüggvény grafikonja, y = tan x
;
;
.
Kotangens
A nyugati irodalomban a kotangenst a következőképpen jelölik:
A következő jelöléseket is elfogadjuk:
A kotangens függvény grafikonja, y = ctg x Az érintő és a kotangens tulajdonságai Periodikaság Függvények y = tg x
és y =
ctg x
periodikusak π periódussal.
Az érintő és a kotangens függvények definíciós tartományukban folytonosak (lásd a folytonosság bizonyítását). Az érintő és a kotangens fő tulajdonságait a táblázat mutatja be ( a szemközti láb hosszára |BC| .- egész).
| y = Az érintő és a kotangens tulajdonságai | y = Függvények y = | |
| Hatály és folytonosság | ||
| Értékek tartománya | -∞ < y < +∞ | -∞ < y < +∞ |
| Növekvő | - | |
| Csökkenő | - | |
| Extrémek | - | - |
| Nullák, y = 0 | ||
| Metszéspontok az ordináta tengellyel, x = 0 | y = 0 | - |
Képletek
Szinuszos és koszinuszos kifejezések
;
;
;
;
;
Összegből és különbségből származó érintő és kotangens képlete
A többi képlet például könnyen beszerezhető
Érintők szorzata
Az érintők összegének és különbségének képlete
Ez a táblázat az érv bizonyos értékeinek érintők és kotangensek értékeit mutatja be. 
Komplex számokat használó kifejezések
Kifejezések hiperbolikus függvényeken keresztül
;
;
Származékok
; .
.
Az n-edrendű származéka a függvény x változójára vonatkozóan:
.
Levezetési képletek az érintőre > > > ; kotangensre >>>
Integrálok
Sorozatbővítések
Ahhoz, hogy megkapjuk az érintő kiterjesztését x hatványaiban, a függvények hatványsorában több tagot kell felvenni a kiterjesztésre. bűn xÉs cos xés osztjuk el ezeket a polinomokat egymással, .
Ez a következő képleteket állítja elő.
at .
at . Ahol Bn
;
;
- Bernoulli számok. Meghatározásuk vagy az ismétlődési relációból történik:
Hol . 
Vagy Laplace képlete szerint:
Inverz függvények
Az érintő és a kotangens inverz függvénye az arctangens, illetve az arckotangens.
Arctangens, arctg a szemközti láb hosszára |BC| . Tangens
, Hol
Arctangens, arctg a szemközti láb hosszára |BC| . Tangens
Arccotangens, arcctg
Felhasznált irodalom:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Matematika kézikönyve mérnökök és főiskolai hallgatók számára, „Lan”, 2009.
Lásd még:
Ezen az oldalon megtalálja az összes alapvető trigonometrikus képletet, amelyek segítenek megoldani számos gyakorlatot, jelentősen leegyszerűsítve magát a kifejezést.
A trigonometrikus képletek a trigonometrikus függvények matematikai egyenlőségei, amelyek az argumentum minden érvényes értékére teljesülnek.
A képletek meghatározzák az alapvető trigonometrikus függvények - szinusz, koszinusz, érintő, kotangens - közötti kapcsolatokat.
A szög szinusza az egységkörön lévő pont (ordináta) y koordinátája. A szög koszinusza egy pont x koordinátája (abszcissza).
Az érintő és a kotangens a szinusz és a koszinusz aránya, és fordítva.
`sin\\alpha,\cos\\alpha`
`tg \ \alpha=\frac(sin\ \alpha)(cos \ \alpha),` ` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n, \ n \in Z`
`ctg \ \alpha=\frac(cos\ \alpha)(sin\ \alpha),` ` \alpha\ne\pi+\pi n, \n \in Z`
`sec \ \alpha=\frac(1)(cos\ \alpha),` ` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n,\ n \in Z`
`cosec \ \alpha=\frac(1)(sin \ \alpha),` ` \alpha\ne\pi+\pi n,\ n \in Z`
A trigonometrikus függvények definícióiból jól látható, hogy az egyes kvadránsokban milyen előjelek vannak. A függvény előjele csak attól függ, hogy az argumentum melyik kvadránsban található.
Ha az argumentum előjelét „+”-ról „-”-ra változtatja, akkor csak a koszinusz függvény nem változtatja meg az értékét. Párosnak hívják. Grafikája szimmetrikus az y tengelyre.
A többi függvény (szinusz, érintő, kotangens) páratlan. Ha az argumentum előjelét „+”-ról „-”-ra változtatjuk, az értékük is negatívra változik. A grafikonjaik szimmetrikusak az origóra.
`sin(-\alpha)=-sin \ \alpha`
`cos(-\alpha)=cos \ \alpha`
`tg(-\alpha)=-tg \ \alpha`
`ctg(-\alpha)=-ctg \ \alpha`
Alapvető trigonometrikus azonosságok
Az alapvető trigonometrikus azonosságok olyan képletek, amelyek kapcsolatot létesítenek egy szög trigonometrikus függvényei között (`sin\\alpha,\cos\\alpha,\tg\\alpha,\ctg\\alpha`), és lehetővé teszik a ezen funkciók mindegyike bármely ismert másikon keresztül.
`sin^2 \alpha+cos^2 \alpha=1`
`tg \ \alpha \cdot ctg \ \alpha=1, \ \alpha\ne\frac(\pi n) 2, \n \in Z`
`1+tg^2 \alpha=\frac 1(cos^2 \alpha)=sec^2 \alpha,` ` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n,\n \in Z`
`1+ctg^2 \alpha=\frac 1(sin^2 \alpha)=cosec^2 \alpha,` ` \alpha\ne\pi n, \n \in Z`
Képletek trigonometrikus függvények szögeinek összegére és különbségére
Az argumentumok összeadására és kivonására szolgáló képletek két szög összegének vagy különbségének trigonometrikus függvényeit fejezik ki e szögek trigonometrikus függvényeiként.
`sin(\alpha+\beta)=` `sin \ \alpha\ cos \ \beta+cos \ \alpha\ sin \ \beta`
`sin(\alpha-\beta)=` `sin \ \alpha\ cos \ \beta-cos \ \alpha\ sin \ \beta`
`cos(\alpha+\beta)=` `cos \ \alpha\ cos \ \beta-sin \ \alpha\ sin \ \beta`
`cos(\alpha-\beta)=` `cos \ \alpha\ cos \ \beta+sin \ \alpha\ sin \ \beta`
`tg(\alpha+\beta)=\frac(tg \ \alpha+tg \ \beta)(1-tg \ \alpha\ tg \ \beta)`
`tg(\alpha-\beta)=\frac(tg \ \alpha-tg \ \beta)(1+tg \ \alpha \ tg \ \beta)`
`ctg(\alpha+\beta)=\frac(ctg \ \alpha \ ctg \ \beta-1)(ctg \ \beta+ctg \ \alpha)`
`ctg(\alpha-\beta)=\frac(ctg \ \alpha\ ctg \ \beta+1)(ctg \ \beta-ctg \ \alpha)`
Kettős szög képletek
`sin \ 2\alpha=2 \ sin \ \alpha \cos \ \alpha=` `\frac (2 \ tg \ \alpha)(1+tg^2 \alpha)=\frac (2 \ ctg \ \alpha )(1+ctg^2 \alpha)=` `\frac 2(tg \ \alpha+ctg \ \alpha)`
`cos\2\alpha=cos^2 \alpha-sin^2 \alpha=` `1-2 \sin^2 \alpha=2 \cos^2 \alpha-1=` `\frac(1-tg^ 2\alpha)(1+tg^2\alpha)=\frac(ctg^2\alpha-1)(ctg^2\alpha+1)=` `\frac(ctg \ \alpha-tg \ \alpha) (ctg \ \alpha+tg \ \alpha)".
`tg \ 2\alpha=\frac(2 \ tg \ \alpha)(1-tg^2 \alpha)=` `\frac(2 \ ctg \ \alpha)(ctg^2 \alpha-1)=` "\frac 2(\ctg \ \alpha-tg \ \alpha)"
`ctg \ 2\alpha=\frac(ctg^2 \alpha-1)(2 \ctg \ \alpha)=` `\frac (\ctg \ \alpha-tg \ \alpha)2
Háromszög képletek
`sin \ 3\alpha=3 \ sin \ \alpha-4sin^3 \alpha`
`cos \ 3\alpha=4cos^3 \alpha-3 \ cos \ \alpha`
`tg \ 3\alpha=\frac(3 \ tg \ \alpha-tg^3 \alpha)(1-3 \ tg^2 \alpha)`
`ctg \ 3\alpha=\frac(ctg^3 \alpha-3 \ ctg \ \alpha)(3 \ ctg^2 \alpha-1)`
Félszög képletek
`sin \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1-cos \ \alpha)2)
`cos \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1+cos \ \alpha)2)
`tg \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1-cos \ \alpha)(1+cos \ \alpha))=` `\frac (sin \ \alpha)(1+cos \ \ alfa)=\frac (1-cos \ \alpha)(sin \ \alpha)"
`ctg \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1+cos \ \alpha)(1-cos \ \alpha))=` `\frac (sin \ \alpha)(1-cos \ \ alfa)=\frac (1+cos \ \alpha)(sin \ \alpha)`
A fél, kettős és hármas argumentumok képlete ezen argumentumok `sin, \cos, \tg, \ctg` függvényeit fejezi ki (`\frac(\alpha)2, \2\alpha, \3\alpha,... ` ) ezeknek a függvényeknek az `\alpha` argumentumán keresztül.
Következtetésük levonható az előző csoportból (érvek összeadása és kivonása). Például a dupla szög azonosságokat könnyen megszerezheti a `\beta` helyére `\alpha`.
Fokozatcsökkentési képletek
A trigonometrikus függvények négyzet (kockák, stb.) képletei lehetővé teszik, hogy 2,3,... fokról az elsőfokú trigonometrikus függvényekre mozogjunk, de több szögben (`\alpha, \3\alpha, \... ` vagy `2\alpha, \ 4\alpha, \...`).
`sin^2 \alpha=\frac(1-cos \ 2\alpha)2,` ` (sin^2 \frac \alpha 2=\frac(1-cos \ \alpha)2)`
`cos^2 \alpha=\frac(1+cos \ 2\alpha)2,` ` (cos^2 \frac \alpha 2=\frac(1+cos \ \alpha)2)`
`sin^3 \alpha=\frac(3sin \ \alpha-sin \ 3\alpha)4
`cos^3 \alpha=\frac(3cos \ \alpha+cos \ 3\alpha)4
`sin^4 \alpha=\frac(3-4cos \ 2\alpha+cos \ 4\alpha)8
`cos^4 \alpha=\frac(3+4cos \ 2\alpha+cos \ 4\alpha)8
Képletek a trigonometrikus függvények összegére és különbségére
A képletek különböző argumentumok trigonometrikus függvényei összegének és különbségének szorzattá történő transzformációi.
`sin \ \alpha+sin \ \beta=` `2 \ sin \frac(\alpha+\beta)2 \ cos \frac(\alpha-\beta)2
`sin \ \alpha-sin \ \beta=` `2 \cos \frac(\alpha+\beta)2 \sin \frac(\alpha-\beta)2
`cos \ \alpha+cos \ \beta=` `2 \cos \frac(\alpha+\beta)2 \cos \frac(\alpha-\beta)2
`cos \ \alpha-cos \ \beta=` `-2 \ sin \frac(\alpha+\beta)2 \ sin \frac(\alpha-\beta)2=` `2 \ sin \frac(\alpha+\ beta)2\sin\frac(\beta-\alpha)2`
`tg \ \alpha \pm tg \ \beta=\frac(sin(\alpha \pm \beta))(cos \ \alpha \ cos \ \beta)
`ctg \ \alpha \pm ctg \ \beta=\frac(sin(\beta \pm \alpha))(sin \ \alpha \ sin \ \beta)`
`tg \ \alpha \pm ctg \ \beta=` `\pm \frac(cos(\alpha \mp \beta))(cos \ \alpha \ sin \ \beta)`
Itt egy argumentum függvényeinek összeadása és kivonása szorzattá alakul.
`cos \ \alpha+sin \ \alpha=\sqrt(2) \cos (\frac(\pi)4-\alpha)
`cos \ \alpha-sin \ \alpha=\sqrt(2) \ sin (\frac(\pi)4-\alpha)
`tg \ \alpha+ctg \ \alpha=2 \cosec \2\alpha;` `tg \ \alpha-ctg \ \alpha=-2 \ctg \2\alpha`
A következő képletek egy és egy trigonometrikus függvény összegét és különbségét alakítják szorzattá.
`1+cos \ \alpha=2 \cos^2 \frac(\alpha)2
`1-cos \ \alpha=2 \ sin^2 \frac(\alpha)2
"1+sin \ \alpha=2 \ cos^2 (\frac (\pi) 4-\frac(\alpha)2)"
"1-sin \ \alpha=2 \ sin^2 (\frac (\pi) 4-\frac(\alpha)2)"
`1 \pm tg \ \alpha=\frac(sin(\frac(\pi)4 \pm \alpha))(cos \frac(\pi)4 \cos \ \alpha)=` `\frac(\sqrt (2) sin(\frac(\pi)4 \pm \alpha))(cos \ \alpha)"
`1 \pm tg \ \alpha \ tg \ \beta=\frac(cos(\alpha \mp \beta))(cos \ \alpha \ cos \ \beta);` ` \ctg \ \alpha \ctg \ \ beta \pm 1=\frac(cos(\alpha \mp \beta))(sin \ \alpha \ sin \ \beta)`
Képletek a függvények szorzatainak konvertálására
Képletek az "\alpha" és "\beta" argumentumokkal rendelkező trigonometrikus függvények szorzatának ezen argumentumok összegévé (különbségévé) konvertálására.
`sin \ \alpha \ sin \ \beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)-cos(\alpha + \beta))(2)`
`sin\alpha \cos\beta =` `\frac(sin(\alpha - \beta)+sin(\alpha + \beta))(2)`
`cos \ \alpha \cos \ \beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)+cos(\alpha + \beta))(2)`
`tg \ \alpha \ tg \ \beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)-cos(\alpha + \beta))(cos(\alpha - \beta)+cos(\alpha + \ béta)) =` `\frac(tg \ \alpha + tg \ \beta)(ctg \ \alpha + ctg \ \beta)`
`ctg \ \alpha \ ctg \ \beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)+cos(\alpha + \beta))(cos(\alpha - \beta)-cos(\alpha + \ béta)) =` `\frac(ctg \ \alpha + ctg \ \beta)(tg \ \alpha + tg \ \beta)`
`tg \ \alpha \ ctg \ \beta =` `\frac(sin(\alpha - \beta)+sin(\alpha + \beta))(sin(\alpha + \beta)-sin(\alpha - \ béta))".
Univerzális trigonometrikus helyettesítés
Ezek a képletek a trigonometrikus függvényeket a félszög érintőjével fejezik ki.
`sin \ \alpha= \frac(2tg\frac(\alpha)(2))(1 + tg^(2)\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha\ne \pi +2\ pi n, n \in Z`
`cos \ \alpha= \frac(1 - tg^(2)\frac(\alpha)(2))(1 + tg^(2)\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha \ ne \pi +2\pi n, n \in Z`
`tg \ \alpha= \frac(2tg\frac(\alpha)(2))(1 - tg^(2)\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha \ne \pi +2\ pi n, n \in Z,` \alpha \ne \frac(\pi)(2)+ \pi n, n \in Z`
`ctg \ \alpha = \frac(1 - tg^(2)\frac(\alpha)(2))(2tg\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha \ne \pi n, n \in Z,` `\alpha \ne \pi + 2\pi n, n \in Z`
Redukciós képletek
Redukciós képletek előállíthatók a trigonometrikus függvények olyan tulajdonságainak felhasználásával, mint a periodicitás, a szimmetria és az adott szöggel való eltolás tulajdonsága. Lehetővé teszik tetszőleges szögű függvények olyan függvényekké alakítását, amelyek szöge 0 és 90 fok között van.
Szög esetén (`\frac (\pi)2 \pm \alpha`) vagy (`90^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos \ \alpha;` ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha
`cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=sin \ \alpha;` ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \ \alpha
`tg(\frac (\pi)2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (\pi)2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha
Szög (`\pi \pm \alpha`) vagy (`180^\circ \pm \alpha`) esetén:
`sin(\pi - \alpha)=sin \ \alpha;` ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`
`cos(\pi - \alpha)=-cos \ \alpha;` ` cos(\pi + \alpha)=-cos \ \alpha`
`tg(\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`
Szög esetén (`\frac (3\pi)2 \pm \alpha`) vagy (`270^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (3\pi)2 — \alpha)=-cos \ \alpha;` ` sin(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-cos \ \alpha
`cos(\frac (3\pi)2 — \alpha)=-sin \ \alpha;` ` cos(\frac (3\pi)2 + \alpha)=sin \ \alpha
`tg(\frac (3\pi)2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (3\pi)2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`
Szög (`2\pi \pm \alpha`) vagy (`360^\circ \pm \alpha`) esetén:
`sin(2\pi - \alpha)=-sin \ \alpha;` ` sin(2\pi + \alpha)=sin \ \alpha`
`cos(2\pi - \alpha)=cos \ \alpha;` ` cos(2\pi + \alpha)=cos \ \alpha`
`tg(2\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(2\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(2\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(2\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`
Egyes trigonometrikus függvények kifejezése másokkal
`sin \ \alpha=\pm \sqrt(1-cos^2 \alpha)=` `\frac(tg \ \alpha)(\pm \sqrt(1+tg^2 \alpha))=\frac 1( \pm \sqrt(1+ctg^2 \alpha))".
`cos \ \alpha=\pm \sqrt(1-sin^2 \alpha)=` `\frac 1(\pm \sqrt(1+tg^2 \alpha))=\frac (ctg \ \alpha)( \pm \sqrt(1+ctg^2 \alpha))".
`tg \ \alpha=\frac (sin \ \alpha)(\pm \sqrt(1-sin^2 \alpha))=` `\frac (\pm \sqrt(1-cos^2 \alpha))( cos\\alpha)=\frac 1(ctg\\alpha)".
`ctg \ \alpha=\frac (\pm \sqrt(1-sin^2 \alpha))(sin \ \alpha)=` `\frac (cos \ \alpha)(\pm \sqrt(1-cos^ 2 \alpha))=\frac 1(tg \ \alpha)".
A trigonometria szó szerint „háromszögek mérését” jelenti. Tanulmányozni kezdik az iskolában, és részletesebben az egyetemeken folytatódik. Ezért a trigonometria alapképleteire a 10. évfolyamtól kezdve, valamint az egységes államvizsga letételéhez van szükség. A függvények közötti kapcsolatokat jelölik, és mivel sok ilyen kapcsolat létezik, sok képlet létezik. Nem könnyű mindet megjegyezni, és nem is szükséges – ha szükséges, mindegyik megjeleníthető.
A trigonometrikus képleteket az integrálszámításban, valamint a trigonometrikus egyszerűsítéseknél, számításoknál és transzformációknál használják.
A trigonometriában sok képletet könnyebb levezetni, mint megjegyezni. A kettős szög koszinusza egy csodálatos képlet! Lehetővé teszi, hogy képleteket kapjon a fokok csökkentésére és képleteket a félszögekre.
Tehát szükségünk van a kettős szög és a trigonometrikus egység koszinuszára:
Még hasonlóak is: a duplaszögű koszinusz képletben a koszinusz és a szinusz négyzeteinek különbsége, a trigonometrikus egységben pedig az összegük. Ha a trigonometrikus egységből fejezzük ki a koszinuszát:
és behelyettesítjük a kettős szög koszinuszába, kapjuk:
Ez egy másik kettős szögű koszinusz képlet:
Ez a képlet a kulcs a redukciós képlet megszerzéséhez:
Tehát a szinusz mértékének csökkentésére szolgáló képlet a következő:
Ha benne az alfa-szöget fele-fele szöggel helyettesítjük, és a két alfa kettős szöget egy alfa-szöggel, akkor megkapjuk a szinusz félszög-képletét:
Most a szinust a trigonometrikus egységből tudjuk kifejezni:
Helyettesítsük be ezt a kifejezést a duplaszögű koszinusz képletbe:
Kaptunk egy másik képletet a kettős szög koszinuszára:
Ez a képlet a kulcs a koszinusz hatványának és a koszinusz félszögének csökkentésére.
Így a koszinusz mértékének csökkentésére szolgáló képlet a következő:
Ha α-t α/2-vel, 2α-t α-val helyettesítjük, megkapjuk a koszinusz félargumentumának képletét:
Mivel az érintő a szinusz és a koszinusz aránya, az érintő képlete a következő:
A kotangens a koszinusz és a szinusz aránya. Ezért a kotangens képlete:
Természetesen a trigonometrikus kifejezések egyszerűsítése során nincs értelme a képletet félszögre levezetni, vagy minden alkalommal egy fokot csökkenteni. Sokkal egyszerűbb egy képletekkel ellátott papírlapot maga elé tenni. És az egyszerűsítés gyorsabban halad, és a vizuális memória bekapcsolja a memorizálást.
De érdemes ezeket a képleteket többször is levezetni. Akkor teljesen biztos lesz abban, hogy a vizsga során, amikor nem lehet csalólapot használni, akkor könnyen megkapja őket, ha úgy kívánja.
A szinuszértékek a [-1; 1], azaz -1 ≤ sin α ≤ 1. Ezért ha |a| > 1, akkor a sin x = a egyenletnek nincs gyöke. Például a sin x = 2 egyenletnek nincs gyöke.
Nézzünk néhány problémát.
Oldja meg a sin x = 1/2 egyenletet.
Megoldás.
Figyeljük meg, hogy a sin x az egységkör egy pontjának ordinátája, amelyet a P (1; 0) pont origó körüli x szöggel történő elforgatásával kapunk.
Az M 1 és M 2 kör két pontjában ½ ordináta található.
Mivel 1/2 = sin π/6, akkor az M 1 pontot a P (1; 0) pontból kapjuk az x 1 = π/6 szöggel való elforgatással, valamint az x = π/6 + 2πk szögekkel, ahol k = +/-1, +/-2, …
Az M 2 pontot a P (1; 0) pontból kapjuk az x 2 = 5π/6 szöggel, valamint az x = 5π/6 + 2πk szögekkel, ahol k = +/-1, + /-2, ... , azaz x = π – π/6 + 2πk szögeknél, ahol k = +/-1, +/-2, ….
Tehát a sin x = 1/2 egyenlet minden gyöke megtalálható az x = π/6 + 2πk, x = π – π/6 + 2πk képletekkel, ahol k € Z.
Ezeket a képleteket egyesíthetjük: x = (-1) n π/6 + πn, ahol n € Z (1).
Valóban, ha n páros szám, azaz. n = 2k, akkor az (1) képletből x = π/6 + 2πk kapjuk, és ha n páratlan szám, azaz. n = 2k + 1, akkor az (1) képletből x = π – π/6 + 2πk kapjuk.
Válasz. x = (-1) n π/6 + πn, ahol n € Z.
Oldja meg a sin x = -1/2 egyenletet.
Megoldás.
A -1/2 ordinátán az M 1 és M 2 egységkör két pontja van, ahol x 1 = -π/6, x 2 = -5π/6. Következésképpen a sin x = -1/2 egyenlet minden gyöke megtalálható az x = -π/6 + 2πk, x = -5π/6 + 2πk, k € Z képletekkel.
Ezeket a képleteket egyesíthetjük egybe: x = (-1) n (-π/6) + πn, n € Z (2).
Valóban, ha n = 2k, akkor a (2) képlet segítségével x = -π/6 + 2πk, ha pedig n = 2k – 1, akkor a (2) képlet segítségével x = -5π/6 + 2πk.
Válasz. x = (-1) n (-π/6) + πn, n € Z.
Így a sin x = 1/2 és sin x = -1/2 egyenletek mindegyikének végtelen számú gyöke van.
A -π/2 ≤ x ≤ π/2 szakaszon ezen egyenleteknek csak egy gyöke van:
x 1 = π/6 a sin x = 1/2 egyenlet gyöke, x 1 = -π/6 pedig a sin x = -1/2 egyenlet gyöke.
A π/6 számot az 1/2 szám arcszinuszának nevezzük, és felírjuk: arcsin 1/2 = π/6; a -π/6 számot a -1/2 szám arcszinuszának nevezzük, és felírjuk: arcsin (-1/2) = -π/6.
Általában a sin x = a egyenletnek, ahol -1 ≤ a ≤ 1, csak egy gyöke van a -π/2 ≤ x ≤ π/2 szakaszon. Ha a ≥ 0, akkor a gyökér benne van az intervallumban; ha a< 0, то в промежутке [-π/2; 0). Этот корень называют арксинусом числа а и обозначают arcsin а.
Így az a szám arcszinusza € [–1; 1] egy ilyen számot € [–π/2; π/2], melynek szinusza egyenlő a-val.
аrcsin а = α, ha sin α = а és -π/2 ≤ x ≤ π/2 (3).
Például аrcsin √2/2 = π/4, mivel sin π/4 = √2/2 és – π/2 ≤ π/4 ≤ π/2;
аrcsin (-√3/2) = -π/3, mivel sin (-π/3) = -√3/2 és – π/2 ≤ 
– π/3 ≤ π/2.
Ugyanúgy, mint az 1. és 2. feladat megoldásánál, kimutatható, hogy a sin x = a egyenlet gyökei, ahol |a| ≤ 1, a képlettel kifejezve
x = (-1) n аrcsin а + πn, n € Z (4).
Azt is bebizonyíthatjuk, hogy bármely € [-1; 1] az аrcsin (-а) = -аrcsin а képlet érvényes.
A (4) képletből az következik, hogy az egyenlet gyökei
sin x = a ha a = 0, a = 1, a = -1 egyszerűbb képletekkel kereshető:
sin x = 0 x = πn, n € Z (5)
sin x = 1 x = π/2 + 2πn, n € Z (6)
sin x = -1 x = -π/2 + 2πn, n € Z (7)
weboldalon, az anyag teljes vagy részleges másolásakor a forrásra mutató hivatkozás szükséges.
Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete