Numerikus egyenlőtlenségek. Az egyenlőtlenség alapfogalma

Az állítás bebizonyosodott.

Valóban, például 2< 3, но

4. tulajdonság. Ha a > b és c > d, akkor a + c > b+ d.

Bizonyíték. Mivel a>b és c>d, az a-b és c-d különbségek pozitív számok. Ekkor ezeknek a számoknak az összege is pozitív szám (a-b)+(c-d). Nyissuk ki a zárójeleket, és csoportosítsuk (a-b)+(c-d) = a-b+ c-d= (a+c)-(b+ d). Tekintettel erre az egyenlőségre, az eredményül kapott (a+c)-(b+d) kifejezés pozitív szám lesz. Ezért a+ c> b+ d.

Az a>b, c >d vagy a alakú egyenlőtlenségek< b, c< d называют неравенствами одинакового смысла, а неравенства a>időszámításunk előtt

5. tulajdonság. Ha a > b, c > d, akkor ac> bd, ahol a, b, c, d pozitív számok.

Bizonyíték. Mivel a>b és c egy pozitív szám, ezért a 3. tulajdonság használatával ac > bc-t kapunk. Mivel c >d és b pozitív szám, akkor bc > bd. Ezért az ac > bd első tulajdonsággal. A bizonyított tulajdonság jelentése a következő: „Ha egy tagot megszorozunk az azonos jelentésű tagegyenlőtlenségekkel, amelyeknek bal és jobb oldala pozitív számok, akkor azonos jelentésű egyenlőtlenséget kapunk.”

Például 6< a < 7, 4 < b< 5 тогда, 24 < ab < 35.

Ingatlan 6. Ha a< b, a и b - положительные числа, то an< bn, где n- натуральное число.

Bizonyíték. Ha n adott egyenlőtlenségek tagját megszorozzuk a taggal< b, то, согласно утверждению свойства 5, получим an< bn. Прочесть доказанное утверждение можно так: «Если обе части неравенства - положительные числа, то их можно возвести в одну и ту же натуральную степень, сохранив знак неравенства».

3. § Ingatlanok alkalmazása

Nézzünk egy példát az általunk vizsgált tulajdonságok alkalmazására.

Legyen 33< a < 34, 3 < b< 4. Оценить сумму a + b, разность a - b, произведение a ∙ b и частное a: b.

1) Becsüljük meg az a + b összeget. A 4-es tulajdonság felhasználásával 33 + 3-at kapunk< a + b < 34 + 4 или

36 < a+ b <38.

2) Becsüljük meg az a - b különbséget. Mivel nincs kivonási tulajdonság, az a - b különbséget az a + (-b) összeggel helyettesítjük. Először becsüljük meg (- b). Ehhez a 3. tulajdonság felhasználásával a 3. egyenlőtlenség mindkét oldala< b< 4 умножим на -1, при этом меняем знак неравенства на противоположный знак 3 ∙ (-1) >b∙ (-1) > 4 ∙ (-1). -4-et kapunk< -b< -3. Теперь можно сложить два неравенства одного знака 33< a < 34 и -4< -b< -3. Имеем 2 9< a - b <31.

3) Becsüljük meg az a ∙ b szorzatot. Az 5. tulajdonsággal megszorozzuk az azonos előjelű egyenlőtlenségeket

Az összes valós szám halmaza három halmaz uniójaként ábrázolható: a pozitív számok halmaza, a negatív számok halmaza és az egy számból álló halmaz - a nulla szám. Annak jelzésére, hogy a szám A pozitív, használja a felvételt a > 0, a negatív szám jelzéséhez használjon másik jelölést a< 0 .

A pozitív számok összege és szorzata is pozitív számok. Ha a szám A negatív, majd a szám -A pozitív (és fordítva). Minden pozitív a számhoz létezik pozitív racionális szám r, Mit r< а . Ezek a tények támasztják alá az egyenlőtlenségek elméletét.

Definíció szerint az a > b egyenlőtlenség (vagy ami ugyanaz, a b< a) имеет место в том и только в том случае, если а - b >0, azaz ha az a - b szám pozitív.

Fontolja meg különösen az egyenlőtlenséget A< 0 . Mit jelent ez az egyenlőtlenség? A fenti definíció szerint azt jelenti 0 - a > 0, azaz -a > 0 vagy más szóval mi a szám -A pozitívan. De ez akkor és csak akkor történik meg, ha a szám A negatív. Tehát egyenlőtlenség A< 0 azt jelenti, hogy a szám de negatív.

A jelölést is gyakran használják ab(vagy mi ugyanaz, ba).
Rekord ab, értelemszerűen azt jelenti, hogy akár a > b, vagy a = b. Ha figyelembe vesszük a rekordot ab határozatlan állításként, akkor a matematikai logika jelölésében írhatunk

(a b) [(a > b) V (a = b)]

1. példa Igazak-e az 5 0, 0 0 egyenlőtlenségek?

Az 5 0 egyenlőtlenség egy összetett állítás, amely két egyszerű állításból áll, amelyeket a „vagy” logikai összekötő (disjunkció) kapcsol össze. Vagy 5 > 0 vagy 5 = 0. Az első 5 > 0 állítás igaz, a második állítás 5 = 0 hamis. A diszjunkció definíciója szerint egy ilyen összetett állítás igaz.

A 00-as bejegyzést hasonlóképpen tárgyaljuk.

A forma egyenlőtlenségei a > b, a< b szigorúnak nevezzük őket, és a formai egyenlőtlenségeket ab, ab- nem szigorú.

Egyenlőtlenségek a > bÉs c > d(vagy A< b És Val vel< d ) azonos jelentésű egyenlőtlenségeknek és egyenlőtlenségeknek fogjuk nevezni a > bÉs c< d - ellentétes értelmű egyenlőtlenségek. Vegyük észre, hogy ez a két fogalom (azonos és ellentétes jelentésű egyenlőtlenségek) csak az egyenlőtlenségek felírásának formájára vonatkozik, nem pedig magukra a tényekre, amelyeket ezek az egyenlőtlenségek fejeznek ki. Tehát az egyenlőtlenséggel kapcsolatban A< b egyenlőtlenség Val vel< d azonos jelentésű egyenlőtlenség, és a jelölésben d>c(ugyanazt jelenti) - ellentétes jelentésű egyenlőtlenség.

A formai egyenlőtlenségekkel együtt a>b, abúgynevezett kettős egyenlőtlenségeket használnak, vagyis a forma egyenlőtlenségeit A< с < b , ac< b , a< cb ,
acb. Értelemszerűen rekord

A< с < b (1)
azt jelenti, hogy mindkét egyenlőtlenség teljesül:

A< с És Val vel< b.

Az egyenlőtlenségeknek hasonló jelentése van acb, ac< b, а < сb.

A kettős egyenlőtlenség (1) a következőképpen írható fel:

(a< c < b) [(a < c) & (c < b)]

és a kettős egyenlőtlenség a ≤ c ≤ b a következő formában írható:

(a c b) [(a< c)V(a = c) & (c < b)V(c = b)]

Most folytassuk az egyenlőtlenségek alapvető tulajdonságainak és cselekvési szabályainak bemutatását, miután megállapodtunk abban, hogy ebben a cikkben a levelek a, b, c valós számok helyett, és n természetes számot jelent.

1) Ha a > b és b > c, akkor a > c (tranzitivitás).

Bizonyíték.

Mivel állapot szerint a > bÉs b > c, majd a számok a - bÉs időszámításunk előtt pozitívak, ezért a szám a - c = (a - b) + (b - c), mint a pozitív számok összege, szintén pozitív. Ez értelemszerűen azt jelenti a > c.

2) Ha a > b, akkor bármely c esetén fennáll az a + c > b + c egyenlőtlenség.

Bizonyíték.

Mert a > b, majd a szám a - b pozitívan. Ezért a szám (a + c) - (b + c) = a + c - b - c = a - b is pozitív, i.e.
a + c > b + c.

3) Ha a + b > c, akkor a > b - c, azaz bármely tag átvihető az egyenlőtlenség egyik részéből a másikba, ha ennek a tagnak az előjelét az ellenkezőjére változtatjuk.

A bizonyítás a 2) tulajdonságból következik, hogy az egyenlőtlenség mindkét oldalára elegendő a + b > c szám hozzáadása - b.

4) Ha a > b és c > d, akkor a + c > b + d, vagyis két azonos jelentésű egyenlőtlenség összeadásakor azonos jelentésű egyenlőtlenséget kapunk.

Bizonyíték.

Az egyenlőtlenség definíciója értelmében elegendő kimutatni, hogy a különbség
(a + c) - (b + c) pozitív. Ez a különbség a következőképpen írható fel:
(a + c) - (b + d) = (a - b) + (c - d).
Mivel a szám állapota szerint a - bÉs c - d akkor pozitívak (a + c) - (b + d) van pozitív szám is.

Következmény. A 2) és 4) szabályból a következő egyenlőtlenségek levonási szabálya következik: ha a > b, c > d, Azt a - d > b - c(bizonyításhoz elegendő az egyenlőtlenség mindkét oldalát alkalmazni a + c > b + d szám hozzáadása - c - d).

5) Ha a > b, akkor c > 0 esetén ac > bc, c esetén pedig ac > bc< 0 имеем ас < bc.

Más szóval, ha egy egyenlőtlenség mindkét oldalát megszorozzuk valamelyik pozitív számmal, az egyenlőtlenség előjele megmarad (azaz azonos jelentésű egyenlőtlenséget kapunk), de ha negatív számmal szorozzuk, az egyenlőtlenség előjele az ellenkezőjére változik. (azaz ellenkező értelmű egyenlőtlenséget kapunk.

Bizonyíték.

Ha a > b, Azt a - b egy pozitív szám. Ezért a különbség jele ac-bc = c(a-b) megegyezik a szám előjelével Val vel: Ha Val vel pozitív szám, akkor a különbség ac - bc pozitív és ezért ac > bс, és ha Val vel< 0 , akkor ez a különbség negatív és ezért bc - ac pozitív, azaz. bc > ac.

6) Ha a > b > 0 és c > d > 0, akkor ac > bd, vagyis ha két azonos jelentésű egyenlőtlenség minden tagja pozitív, akkor ezeket az egyenlőtlenségeket tagonként szorozva azonos jelentésű egyenlőtlenséget kapunk.

Bizonyíték.

Nekünk van ac - bd = ac - bc + bc - bd = c(a - b) + b(c - d). Mert c > 0, b > 0, a - b > 0, c - d > 0, majd ac - bd > 0, azaz ac > bd.

Megjegyzés. A bizonyításból egyértelmű, hogy a feltétel d > 0 a 6) tulajdonság megfogalmazásánál lényegtelen: ahhoz, hogy ez a tulajdonság érvényes legyen, elegendő a feltételek teljesülése a > b > 0, c > d, c > 0. Ha (ha az egyenlőtlenségek teljesülnek a > b, c > d) számok a, b, c nem lesz minden pozitív, akkor az egyenlőtlenség ac > bd nem teljesülhet. Például mikor A = 2, b =1, c= -2, d= -3 van nálunk a > b, c > d, hanem egyenlőtlenség ac > bd(azaz -4 > -3) sikertelen. Így a 6) tulajdonság megfogalmazásakor elengedhetetlen az a követelmény, hogy az a, b, c számok pozitívak legyenek.

7) Ha a ≥ b > 0 és c > d > 0, akkor (egyenlőtlenségek osztása).

Bizonyíték.

Nekünk van A jobb oldali tört számlálója pozitív (lásd az 5., 6. tulajdonságokat), a nevező is pozitív. Ennélfogva,. Ez bizonyítja a 7) tulajdonságot.

Megjegyzés. Vegyük észre az a = b = 1-re kapott 7) szabály egy fontos speciális esetét: ha c > d > 0, akkor. Így, ha az egyenlőtlenség tagjai pozitívak, akkor a reciprokokra áttérve ellentétes jelentésű egyenlőtlenséget kapunk. Arra kérjük az olvasókat, hogy ellenőrizze, hogy ez a szabály érvényes-e a 7) Ha ab > 0 és c > d > 0, akkor (egyenlőtlenségek osztása).

Bizonyíték. Hogy.

Fentebb az előjellel felírt egyenlőtlenségek számos tulajdonságát igazoltuk > (több). Mindezek a tulajdonságok azonban megfogalmazhatók a jel segítségével < (kevesebb), mivel egyenlőtlenség b< а értelemszerűen ugyanazt jelenti, mint az egyenlőtlenség a > b. Ráadásul, amint az könnyen ellenőrizhető, a fent bizonyított tulajdonságok a nem szigorú egyenlőtlenségekre is igazak. Például a nem szigorú egyenlőtlenségek 1) tulajdonságának alakja a következő lesz: ha ab és bc, Azt ac.

Természetesen a fentiek nem korlátozzák az egyenlőtlenségek általános tulajdonságait. Van még egész sor a hatvány, az exponenciális, a logaritmikus és a trigonometrikus függvények figyelembevételével kapcsolatos általános egyenlőtlenségek. Az ilyen típusú egyenlőtlenségek írásának általános megközelítése a következő. Ha valamilyen funkciót y = f(x) monoton növekszik a szegmensen [a, b], akkor x 1 > x 2 esetén (ahol x 1 és x 2 ehhez a szegmenshez tartozik) van f (x 1) > f(x 2). Hasonlóképpen, ha a függvény y = f(x) monoton csökken az intervallumon [a, b], akkor mikor x 1 > x 2 (hol x 1És x 2 tartozik ehhez a szegmenshez) van f(x 1)< f(x 2 ). Természetesen az elmondottak nem különböznek a monotonitás definíciójától, de ez a technika nagyon kényelmes az egyenlőtlenségek memorizálására és írására.

Így például bármely n természetes számra a függvény y = xn monoton növekszik a sugár mentén }

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Mekkora a fénysebesség