A mátrix egy téglalap alakú táblázat, amely számokból áll.

Legyen egy 2-es rendű négyzetmátrix:

Az adott mátrixnak megfelelő 2. rendű determináns (vagy determináns) a szám

A mátrixnak megfelelő harmadik rendű determináns (vagy determináns) egy szám

1. példa: Keresse meg a mátrixok determinánsait és

Lineáris algebrai egyenletrendszer

Adjunk meg egy 3 lineáris egyenletrendszert 3 ismeretlennel

Az (1) rendszer felírható mátrix-vektor formában

ahol A az együttható mátrix

B - kiterjesztett mátrix

X a szükséges komponensvektor;

Egyenletrendszerek megoldása Cramer módszerével

Adjunk meg egy lineáris egyenletrendszert két ismeretlennel:

Nézzük meg a két és három ismeretlent tartalmazó lineáris egyenletrendszerek megoldását Cramer-képletekkel. 1. Tétel. Ha a rendszer fő meghatározója nullától eltérő, akkor a rendszernek van megoldása, és egy egyedi. A rendszer megoldását a következő képletek határozzák meg:

ahol x1, x2 az egyenletrendszer gyökerei,

A rendszer fő meghatározója, x1, x2 segéddeterminánsok.

Kiegészítő minősítők:

Lineáris egyenletrendszerek megoldása három ismeretlennel Cramer módszerével.

Adjunk meg egy lineáris egyenletrendszert három ismeretlennel:

2. Tétel. Ha a rendszer fő meghatározója nullától eltérő, akkor a rendszernek van megoldása, és egy egyedi. A rendszer megoldását a következő képletek határozzák meg:

ahol x1, x2, x3 az egyenletrendszer gyökerei,

A rendszer fő meghatározója,

x1, x2, x3 segéddeterminánsok.

A rendszer fő meghatározóját a következők határozzák meg:

Kiegészítő minősítők:

• 1. Készítsen táblázatot (mátrixot) az ismeretlenek együtthatóiról, és számítsa ki a fődeterminánst!
• 2. Find - egy további determináns az x kapott helyett az első oszlop egy oszlop szabad feltételeket.
• 3. Find - y további meghatározója, amelyet úgy kapunk, hogy a második oszlopot szabad kifejezések oszlopával helyettesítjük.
• 4. Keresse meg - z további determinánsát, amelyet úgy kapunk, hogy a harmadik oszlopot szabad kifejezések oszlopával helyettesítjük. Ha a rendszer fő meghatározója nem egyenlő nullával, akkor az 5. lépést hajtjuk végre.
• 5. Keresse meg az x változó értékét az x / képlet segítségével.
• 6. Keresse meg az y változó értékét az y / képlet segítségével!
• 7. Keresse meg a z változó értékét a z / képlet segítségével.
• 8. Írja le a választ: x=...; y=…, z=… .

• Rendszerek m lineáris egyenletek -val n ismeretlen.
  Lineáris egyenletrendszer megoldása- ez egy ilyen számkészlet ( x 1, x 2, …, x n), ha a rendszer minden egyenletébe behelyettesítjük, a helyes egyenlőséget kapjuk.
  Ahol a ij, i = 1, …, m; j = 1, …, n— rendszeregyütthatók;
  b i , i = 1, …, m- ingyenes tagok;
  x j , j = 1, …, n- ismeretlen.
  A fenti rendszer felírható mátrix formában: A X = B,
  
  
  
  
  Ahol ( A|B) a rendszer fő mátrixa;
  A— kiterjesztett rendszermátrix;
  x— ismeretlenek oszlopa;
  B— szabad tagok oszlopa.
  Ha mátrix B nem nullmátrix ∅, akkor ezt a lineáris egyenletrendszert inhomogénnek nevezzük.
  Ha mátrix B= ∅, akkor ezt a lineáris egyenletrendszert homogénnek nevezzük. Egy homogén rendszernek mindig van nulla (triviális) megoldása: x 1 = x 2 = …, x n = 0.
  Együttes lineáris egyenletrendszer egy lineáris egyenletrendszer, amelynek van megoldása.
  Inkonzisztens lineáris egyenletrendszer egy megoldhatatlan lineáris egyenletrendszer.
  Egy bizonyos lineáris egyenletrendszer egy lineáris egyenletrendszer, amelynek egyedi megoldása van.
  Határozatlan lineáris egyenletrendszer egy lineáris egyenletrendszer végtelen számú megoldással.
• N lineáris egyenletrendszer n ismeretlennel
  Ha az ismeretlenek száma megegyezik az egyenletek számával, akkor a mátrix négyzet. A mátrix determinánsát a lineáris egyenletrendszer fő determinánsának nevezik, és a Δ szimbólummal jelöljük.
  Cramer módszer rendszerek megoldására n lineáris egyenletek -val n ismeretlen.
  Cramer szabálya.
  Ha egy lineáris egyenletrendszer fő determinánsa nem egyenlő nullával, akkor a rendszer konzisztens és definiált, és az egyetlen megoldást a Cramer-képletekkel számítjuk ki:
  ahol Δ i a rendszer Δ fődeterminánsából kapott determinánsok cserével én oszlopból a szabad tagok oszlopába. .
• M lineáris egyenletrendszerek n ismeretlennel
  Kronecker–Capelli tétel.
  
  
  Ahhoz, hogy egy adott lineáris egyenletrendszer konzisztens legyen, szükséges és elegendő, hogy a rendszermátrix rangja egyenlő legyen a rendszer kiterjesztett mátrixának rangjával, cseng(Α) = cseng(Α|B).
  Ha cseng(Α) ≠ cseng(Α|B), akkor a rendszernek nyilvánvalóan nincsenek megoldásai.
  Ha cseng(Α) = cseng(Α|B), akkor két eset lehetséges:
  1) rang(Α) = n(ismeretlenek száma) - a megoldás egyedi, és a Cramer-képletekkel érhető el;
  2) rang (Α)< n - végtelenül sok megoldás létezik.
• Gauss módszer lineáris egyenletrendszerek megoldására
  
  
  Hozzunk létre egy kiterjesztett mátrixot ( A|B) egy adott rendszerben az ismeretlenek és a jobb oldal együtthatóiból.
  A Gauss-módszer vagy az ismeretlenek kiküszöbölésének módszere a kiterjesztett mátrix csökkentéséből áll ( A|B) elemi transzformációkkal a sorain átlós alakra (a felső háromszög alakra). Visszatérve az egyenletrendszerhez, minden ismeretlen meghatározott.
  A karakterláncok feletti elemi transzformációk a következők:
  1) cserélj két sort;
  2) egy karakterlánc szorzata 0-tól eltérő számmal;
  3) újabb karakterlánc hozzáadása egy karakterlánchoz, tetszőleges számmal megszorozva;
  4) nulla vonal kidobása.
  Egy diagonális formára redukált kiterjesztett mátrix az adottval egyenértékű lineáris rendszernek felel meg, melynek megoldása nem okoz nehézséget. .
• Homogén lineáris egyenletrendszer.
  A homogén rendszernek a következő formája van:
  
  a mátrixegyenletnek felel meg A X = 0.
  1) Egy homogén rendszer mindig konzisztens, hiszen r(A) = r(A|B), mindig van nulla megoldás (0, 0, …, 0).
  2) Ahhoz, hogy egy homogén rendszernek legyen nullától eltérő megoldása, szükséges és elegendő, hogy r = r(A)< n , ami ekvivalens Δ = 0-val.
  3) Ha r< n , akkor nyilván Δ = 0, akkor szabad ismeretlenek keletkeznek c 1, c 2, …, c n-r, a rendszernek vannak nem triviális megoldásai, és ezekből végtelenül sok van.
  4) Általános megoldás x nál nél r< n mátrix formában a következőképpen írható fel:
  X = c 1 X 1 + c 2 X 2 + … + c n-r X n-r,
  hol vannak a megoldások X 1, X 2, …, X n-r alapvető megoldási rendszert alkotnak.
  5) A megoldások alapvető rendszere egy homogén rendszer általános megoldásából adódik:
  
  ,
  ha szekvenciálisan beállítjuk a paraméterértékeket (1, 0, …, 0), (0, 1, …, 0), …, (0, 0, …, 1).
  Az általános megoldás kiterjesztése a megoldások alapvető rendszerére vonatkozóan egy általános megoldás feljegyzése az alaprendszerhez tartozó megoldások lineáris kombinációja formájában.
  Tétel. Ahhoz, hogy egy lineáris homogén egyenletrendszernek nullától eltérő megoldása legyen, szükséges és elegendő, hogy Δ ≠ 0.
  Tehát, ha a determináns Δ ≠ 0, akkor a rendszernek egyedi megoldása van.
  Ha Δ ≠ 0, akkor a lineáris homogén egyenletrendszernek végtelen számú megoldása van.
  Tétel. Ahhoz, hogy egy homogén rendszernek nullától eltérő megoldása legyen, szükséges és elegendő az r(A)< n .
  Bizonyíték:
  1) r nem lehet több n(a mátrix rangja nem haladja meg az oszlopok vagy sorok számát);
  2) r< n , mert Ha r = n, akkor a rendszer fő determinánsa Δ ≠ 0, és a Cramer-képletek szerint létezik egy egyedi triviális megoldás x 1 = x 2 = … = x n = 0, ami ellentmond a feltételnek. Eszközök, r(A)< n .
  Következmény. A homogén rendszer érdekében n lineáris egyenletek -val n Az ismeretleneknek nem nulla megoldása volt, szükséges és elégséges, hogy Δ = 0.

1.1. Két lineáris egyenlet és másodrendű determináns rendszerei

Tekintsünk két lineáris egyenletrendszert két ismeretlennel:

Esély ismeretlenekkel És két indexe van: az első az egyenlet számát, a második a változó számát jelöli.

Cramer szabálya: A rendszer megoldását úgy találjuk meg, hogy a segéddeterminánsokat elosztjuk a rendszer fődeterminánsával

,

1. megjegyzés. A Cramer-szabály használata akkor lehetséges, ha a rendszer meghatározója nem egyenlő nullával.

Jegyzet 2. A Cramer-képleteket magasabb rendű rendszerekre általánosítják.

1. példa A rendszer megoldása:
.

Megoldás.

;
;

;

Vizsgálat:

Következtetés: A rendszer helyesen van megoldva:
.

1.2. Három lineáris egyenletrendszerek és harmadrendű determinánsok

Tekintsünk egy három lineáris egyenletrendszert három ismeretlennel:

Az ismeretlenek együtthatóiból álló determinánst nevezzük rendszer meghatározó vagy fő meghatározó:

.

Ha
akkor a rendszernek van egy egyedi megoldása, amelyet a Cramer-képletek határoznak meg:

hol vannak a meghatározók
– segédnek nevezzük, és a determinánsból származnak első, második vagy harmadik oszlopát a rendszer szabad tagjaiból álló oszlopra cserélve.

2. példa Oldja meg a rendszert
.

Alakítsuk ki a fő- és segéddeterminánsokat:

Továbbra is mérlegelni kell a harmadrendű determinánsok kiszámításának szabályait. Három van belőlük: az oszlopok hozzáadásának szabálya, a Sarrus-szabály, a felbontás szabálya.

a) Az első két oszlop hozzáadásának szabálya a fő meghatározóhoz:

A számítást a következőképpen végezzük: a főátló elemeinek szorzatai és a vele párhuzamosok az ellentétes előjellel mennek, a másodlagos átló elemeinek szorzatai és a vele párhuzamosak.

b) Sarrus szabálya:

Jelükkel a főátló elemeinek szorzatait veszik a vele párhuzamosan, a hiányzó harmadik elemet pedig a szemközti sarokból veszik. Ellentétes előjellel vegyük a másodlagos átló elemeinek szorzatait, és a vele párhuzamosok mentén a szemközti sarokból vesszük a harmadik elemet.

c) A sor vagy oszlop elemei szerinti felbontás szabálya:

Ha
, Akkor .

Algebrai komplementer egy alacsonyabb rendű determináns, amelyet a megfelelő sor és oszlop áthúzásával és az előjel figyelembevételével kapunk
, Ahol - sorszám, – oszlopszám.

Például,

,
,
stb.

Ennek a szabálynak a segítségével kiszámítjuk a segéddeterminánsokat És , bővítve azokat az első sor elemei szerint.

Az összes determináns kiszámítása után a Cramer-szabály segítségével megtaláljuk a változókat:

Vizsgálat:

Következtetés: a rendszer helyesen van megoldva: .

A determinánsok alapvető tulajdonságai

Nem szabad elfelejteni, hogy a meghatározó az szám, bizonyos szabályok szerint található. Számítása leegyszerűsíthető, ha olyan alaptulajdonságokat használunk, amelyek bármely rendű determinánsra érvényesek.

1. tulajdonság. A determináns értéke nem változik, ha minden sorát a számban megfelelő oszlopokra cseréljük, és fordítva.

A sorok oszlopokkal való helyettesítését transzponálásnak nevezzük. Ebből a tulajdonságból következik, hogy minden olyan állítás, amely igaz a determináns soraira, igaz lesz az oszlopaira is.

2. tulajdonság. Ha a determinánsban két sor (oszlop) felcserélődik, akkor a determináns előjele az ellenkezőjére változik.

3. tulajdonság. Ha egy determináns bármely sorának minden eleme egyenlő 0-val, akkor a determináns 0-val egyenlő.

4. tulajdonság. Ha a determináns karakterlánc elemeit megszorozzuk (osztjuk) valamilyen számmal , akkor a determináns értéke növekszik (csökken) ben egyszer.

Ha egy sor elemeinek van közös tényezője, akkor az kivehető a determináns előjelből.

5. ingatlan. Ha egy determinánsnak két azonos vagy arányos sora van, akkor az ilyen determináns egyenlő 0-val.

6. ingatlan. Ha egy determináns bármely sorának elemei két tag összege, akkor a determináns egyenlő a két determináns összegével.

7. ingatlan. A determináns értéke nem változik, ha egy sor elemeit hozzáadjuk egy másik sor elemeihez, megszorozva ugyanazzal a számmal.

Ebben a determinánsban először a harmadik sort adtuk a második sorhoz, megszoroztuk 2-vel, majd a másodikat kivontuk a harmadik oszlopból, ami után a második sort hozzáadtuk az elsőhöz és a harmadikhoz, ennek eredményeként kaptunk egy csomó nullákat és egyszerűsítette a számítást.

Alapvetőátalakulások a determinánst a megadott tulajdonságok felhasználásával történő leegyszerűsítésének nevezzük.

1. példa Számítsd ki a determinánst

A fent tárgyalt szabályok egyike szerinti közvetlen számítás nehézkes számításokhoz vezet. Ezért célszerű a következő tulajdonságokat használni:

a) az 1. sorból vonjuk ki a másodikat, szorozzuk 2-vel;

b) a II. sorból vonjuk ki a harmadikat, megszorozzuk 3-mal.

Ennek eredményeként a következőket kapjuk:

Bővítsük ki ezt a determinánst az első oszlop elemeire, amely csak egy nullától eltérő elemet tartalmaz.

.

A magasabb rendek rendszerei és meghatározói

rendszer lineáris egyenletek -val Az ismeretlenek a következőképpen írhatók fel:

Erre az esetre is lehetőség van a fő- és segéddeterminánsok összeállítására, valamint az ismeretlenek meghatározására a Cramer-szabály segítségével. A probléma az, hogy a magasabb rendű determinánsokat csak úgy lehet kiszámítani, hogy csökkentjük a sorrendet, és csökkentjük őket harmadrendű determinánsokra. Ez történhet sorok vagy oszlopok elemeire történő közvetlen bontással, valamint előzetes elemi transzformációkkal és további bontással.

4. példa Számítsa ki a negyedrendű determinánst

Megoldás kétféleképpen találhatjuk meg:

a) közvetlen bővítéssel az első sor elemeire:

b) előzetes átalakításokkal és további bontással

	a) az I. sorból vonjuk ki a III
	b) add hozzá a II. sort a IV-hez

5. példa Számítsa ki az ötödrendű determinánst, és kapjon nullákat a harmadik sorban a negyedik oszlop használatával

az első sorból kivonjuk a másodikat, a harmadikból a másodikat, a negyedikből a másodikat szorozva 2-vel.

vonjuk ki a harmadikat a második oszlopból:

vonjuk ki a harmadikat a második sorból:

6. példa. A rendszer megoldása:

Megoldás.Állítsuk össze a rendszer determinánsát, és a determinánsok tulajdonságait felhasználva számítsuk ki:

(az első sorból kivonjuk a harmadikat, majd a kapott harmadrendű determinánsban a harmadik oszlopból kivonjuk az elsőt, megszorozva 2-vel). Döntő
, ezért a Cramer-képletek alkalmazhatók.

Számítsuk ki a fennmaradó determinánsokat:

A negyedik oszlopot megszoroztuk 2-vel, és kivontuk a többiből

A negyedik oszlopot kivontuk az elsőből, majd 2-vel megszorozva kivontuk a második és harmadik oszlopból.

.

Itt ugyanazokat az átalakításokat végeztük el, mint a
.

.

Amikor megtalálod az első oszlopot megszoroztuk 2-vel, és kivontuk a többiből.

Cramer szabálya szerint:

Miután a talált értékeket behelyettesítettük az egyenletekbe, meg vagyunk győződve arról, hogy a rendszer megoldása helyes.

2. MÁTRICOK ÉS HASZNÁLATUK

LINEÁRIS EGYENLETRENDSZER MEGOLDÁSÁBAN

Előadás 1.1.Numerikus mátrixok és műveletek rajtuk.

Összegzés:A lineáris algebra és az analitikus geometria helye a természettudományban. A hazai tudósok szerepe e tudományok fejlődésében. A mátrix fogalma. Műveletek mátrixokkal és tulajdonságaik.

Egy ilyen alakú számtáblázatot téglalap alakúnak nevezünk mátrix méretek. A mátrixokat nagy latin betűkkel jelöljük A, B, C, ...A táblázatot alkotó számokat hívjuk elemeket mátrixok. Minden elemnek két indexe van, és , amelyek jelzik a sorszámot () és az oszlop számát (), amelyben az elem található. A következő mátrixjelölést használjuk.

A két mátrixot ún egyenlő , ha azonos dimenziójúak (azaz ugyanannyi soruk és oszlopuk van), és ha a mátrixok megfelelő helyein lévő számok egyenlőek.

Ha egy mátrix sorainak száma megegyezik az oszlopok számával, akkor a mátrix ún. négyzet . Négyzetes mátrixban a sorok (vagy oszlopok) számát a mátrix sorrendjének nevezzük. Konkrétan egy elsőrendű négyzetmátrix egyszerűen valós szám. Ennek megfelelően ezt mondják vektor vonal egy dimenzió mátrixa, és oszlopvektor dimenziója van.

A négyzetmátrix főátlóján (a bal felsőtől a jobb alsó sarok felé haladva) fekvő elemeket ún. átlós .

Olyan négyzetmátrixot nevezünk, amelynek a főátlón kívüli elemei mindegyike 0 átlós .

Olyan átlós mátrixot, amelynek átlós elemei mind 1, és minden átlón kívüli elem 0, ún. egyetlen és vagy jelöli, ahol n a sorrendje.

A mátrixokkal kapcsolatos alapvető műveletek a mátrixok összeadása és a mátrix szorzása egy számmal.

A munka mátrixok A A szám a mátrixszal azonos dimenziójú mátrix A, amelynek minden elemét megszorozzuk ezzel a számmal.

Például: ; .

A mátrix számmal való szorzása műveletének tulajdonságai:

1.l(m A )=(lm) A (asszociativitás)

2.l( A +BAN BEN )=l A +l BAN BEN (eloszlás a mátrix összeadáshoz képest)

3. (l+m) A =)=l A +m A (eloszlás a számok összeadásával kapcsolatban)

Mátrixok lineáris kombinációja A És BAN BEN az azonos méretű alakzat kifejezésének nevezzük: a A +b BAN BEN , ahol a,b tetszőleges számok

Összeg mátrixÉs BAN BEN (ez a művelet csak azonos dimenziójú mátrixokra alkalmazható) mátrixnak nevezzük VAL VEL azonos dimenziójú, melynek elemei egyenlők a megfelelő mátrixelemek összegével A És BAN BEN .

A mátrix összeadás tulajdonságai:

1)A +BAN BEN =BAN BEN +A (kommutativitás)

2)(A +BAN BEN )+VAL VEL =A +(BAN BEN +VAL VEL )=A +BAN BEN +VAL VEL (asszociativitás)

Különbség mátrixÉs BAN BEN (ez a művelet csak azonos dimenziójú mátrixokra vonatkozik) azonos dimenziójú C mátrixnak nevezzük, amelynek elemei egyenlők a megfelelő mátrixelemek különbségével. A És BAN BEN .

Transzponálja. Ha egy méretmátrix minden sorának elemeit ugyanabban a sorrendben írjuk be az új mátrix oszlopaiba, és az oszlop száma megegyezik a sorszámmal, akkor az új mátrixot transzponáltnak nevezzük, és jelölve . A dimenzió az A közötti átmenetet transzpozíciónak nevezzük. Az is világos, hogy. ,

Mátrixszorzás. A mátrixszorzás csak akkor lehetséges, ha az első tényező oszlopainak száma megegyezik a második sorainak számával. A szorzás eredményeként olyan mátrixot kapunk, amelynek sorainak száma egybeesik az első tényező sorainak számával, az oszlopok száma pedig a másodikéval:

A mátrixszorzás szabálya: ahhoz, hogy egy elemet kapjunk két mátrix szorzatának 0. sorában és oszlopában, meg kell szorozni az első mátrix sorának elemeit a második mátrix oszlopának elemeivel, és össze kell adni a kapott termékeket. A matematikai zsargonban néha azt mondják: meg kell szorozni a mátrix harmadik sorát a mátrix harmadik oszlopával. Nyilvánvaló, hogy az első mátrix sorának és a második mátrix oszlopának ugyanannyi elemet kell tartalmaznia.

Ezekkel a műveletekkel ellentétben a mátrix-mátrix szorzás művelete nehezebben definiálható. Legyen két mátrix adott A És BAN BEN , és ezek közül az első oszlopainak száma megegyezik a második sorainak számával: például a mátrix A dimenzióval és mátrixszal rendelkezik BAN BEN – dimenzió. Ha

, , akkor a dimenziók mátrixa

, ahol (i=1,…,m;j=1,…,k)

mátrixszorzatnak nevezzük A a mátrixhoz BAN BEN és ki van jelölve AB .

A mátrixszorzási művelet tulajdonságai:

1. (AB)C=A(BC)=ABC (asszociativitás)

2. (A+B)C=AC+BC (eloszlás)

3. A(B+C)=AB+A (eloszlás)

4. A mátrixszorzás nem kommutatív: AB nem egyenlő VA ., ha egyenlő, akkor ezeket a mátrixokat kommutatívnak nevezzük.

Elemi transzformációk mátrixokon:

1. Cseréljen fel két sort (oszlopot)

2. Egy sor (oszlop) szorzása nullától eltérő számmal

3. Egy sor (oszlop) elemeihez hozzáadjuk egy másik sor (oszlop) elemeit, tetszőleges számmal megszorozva

Előadás 1.2.Determinánsok valós együtthatókkal. Az inverz mátrix megtalálása.

Összegzés:Determinánsok és tulajdonságaik. Valós együtthatós determinánsok számítási módszerei. Az inverz mátrix megtalálása harmadrendű mátrixokhoz.

A determináns fogalmát csak négyzetmátrixra vezetjük be. Döntő - Ezt szám, amely jól meghatározott szabályok szerint található, és jelölése vagy det A .

Döntő mátrixok másodrendű ilyen: vagy

Harmadik rendű determináns a számot úgy hívják:

.

Hogy emlékezzünk erre a nehézkes képletre, létezik a „háromszögek szabálya”:

Kiszámíthat egy másik módszerrel is - a sorok vagy oszlopok szerinti bontás módszerével. Mutassunk be néhány definíciót:

Kisebb négyzetmátrix A a mátrix determinánsának nevezzük A , amelyet a sor és az oszlop áthúzásával kapunk: például kisebb - .

Algebrai komplementer a determináns elemét minornak nevezzük, saját előjellel vesszük, ha az elemet tartalmazó sor és oszlop számainak összege páros, és ellenkező előjellel, ha a számok összege páratlan: .

Akkor: Harmadik rendű determináns egyenlő bármely oszlop (sor) elemeinek algebrai komplementereinek szorzatával.

PR: Számítsuk ki a determinánst: az első sor elemeire bővítve.

A determinánsok tulajdonságai:

1. A determináns egyenlő 0-val, ha két egyforma sort (oszlopot) vagy nulla sort (oszlopot) tartalmaz.

2. A determináns megváltoztatja az előjelét, ha két sor (oszlop) átrendeződik.

3. A sorban (egy oszlopban) lévő közös tényező a determináns előjelén túl kivehető.

4. A determináns nem változik, ha egy sorhoz (oszlophoz) tetszőleges számmal szorozva bármely másik sort (egy másik oszlopot) adunk.

5. A determináns nem változik a mátrix transzponálásakor.

6. Az identitásmátrix meghatározója 1:

7. A mátrixok szorzatának determinánsa egyenlő a determinánsok szorzatával

inverz mátrix.

A négyzetmátrixot ún nem degenerált, ha a determinánsa eltér nullától.

Ha négyzetmátrixok szorzásakor A És BAN BEN tetszőleges sorrendben az identitásmátrixot megkapjuk ( AB=BA=E ), majd a mátrix BAN BEN a mátrix mátrix inverzének nevezzük A és jelöli, azaz. .

Tétel.Minden nem szinguláris mátrixnak van inverze.

Algoritmus az inverz mátrix megtalálásához:

Inverz mátrix. Egy négyzetmátrixról azt mondjuk, hogy nem szinguláris, ha a determinánsa nem nulla. Egyébként degeneráltnak hívják .

A mátrix inverzét jelöli. Ha létezik az inverz mátrix, akkor az egyedi és

Hol van a j algebrai összeadásokból álló adjunktus (egyesítés):

Ekkor az inverz mátrix determinánsát ennek a mátrixnak a determinánsához viszonyítjuk a következő összefüggéssel: . Valóban, , amelyből ez az egyenlőség következik.

Az inverz mátrix tulajdonságai:

1. , ahol azonos rendű nem szinguláris négyzetmátrixok.

3. .

4.

Előadás 1.3.Lineáris egyenletrendszerek megoldása Cramer módszerrel, Gauss módszerekkel és mátrixszámítással.

Összegzés:Cramer-módszer és Gauss-módszer lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldására. Mátrix módszer egyenletrendszerek megoldására. Mátrix rang. Kronecker-Capelli tétel. A megoldások alapvető rendszere. Homogén és heterogén rendszerek.

Az egyenletrendszer a következő:

(*) , ahol , - együtthatók, - változók, hívják lineáris egyenletrendszer. Lineáris egyenletrendszert megoldani azt jelenti, hogy a rendszer összes megoldását jelezzük, pl. olyan változóérték-készletek, amelyek a rendszer egyenleteit azonosságokká alakítják. A lineáris egyenletrendszert ún.

AZ RCB VÉDELEM KATONAI EGYETEME KOSTROMA ÁG

Csapatirányítási Automatizálási Osztály

Csak tanároknak

"Helyeslem"

9. számú osztályvezető

YAKOVLEV A.B. ezredes

"____"__________________ 2004

egyetemi docens A.I. SMIRNOVA

"MINŐSÍTŐK.

LINEÁRIS EGYENLETRENDSZER MEGOLDÁSA"

ELŐADÁS 2/1

9. számú szakosztályi ülésen tárgyalt

"________"___________ 2004

____________ számú jegyzőkönyv

Kostroma, 2004.

Bevezetés

1. Másod- és harmadrendű determinánsok.

2. Determinánsok tulajdonságai. Dekompozíciós tétel.

3. Cramer-tétel.

Következtetés

Irodalom

1. V.E. Schneider et al., A Short Course in Higher Mathematics, I. kötet, Ch. 2. cikk (1) bekezdése.

2. V.S. Shchipachev, Higher Mathematics, 10. fejezet, 2. bekezdés.

BEVEZETÉS

Az előadás a másod- és harmadrend meghatározóit, tulajdonságait tárgyalja. És Cramer tétele is, amely lehetővé teszi lineáris egyenletrendszerek megoldását determinánsok segítségével. A determinánsokat később a „Vektoralgebra” témakörben is használjuk a vektorok vektorszorzatának számításakor.

1. tanulmányi kérdés A MÁSODIK ÉS A HARMADIK MEGHATÁROZÓI

RENDELÉS

Tekintsünk egy táblázatot az űrlap négy számából

A táblázatban szereplő számokat két indexű betű jelzi. Az első index a sorszámot, a második az oszlop számát jelöli.

MEGHATÁROZÁS 1. Másodrendű determináns hívott kifejezés kedves :

(1)

Számok A 11, …, A 22 a determináns elemeinek nevezzük.

Elemek által alkotott átló A 11 ; A A 22-t főnek, az elemek által alkotott átlónak nevezzük A 12 ; A 21 - egymás mellett.

Így a másodrendű determináns egyenlő a fő- és másodlagos átló elemeinek szorzatai közötti különbséggel.

Vegye figyelembe, hogy a válasz egy szám.

PÉLDÁK. Kiszámítja:

Most nézzünk meg egy kilenc számból álló táblázatot, három sorban és három oszlopban:

2. MEGHATÁROZÁS. Harmadik rendű determináns a forma kifejezésének nevezzük :

Elemek A 11; A 22 ; A 33 – alkotják a főátlót.

Számok A 13; A 22 ; A 31 – oldalátlót alkotnak.

Vizsgáljuk meg sematikusan a plusz és mínusz tagok képződését:

" + " " – "

A plusz a következőket tartalmazza: a főátlón lévő elemek szorzata, a maradék két tag a főátlóval párhuzamos alapokkal rendelkező háromszög csúcsaiban elhelyezkedő elemek szorzata.

A mínusz tagok a másodlagos átlóhoz képest ugyanazon séma szerint vannak kialakítva.

Ezt a harmadrendű determináns kiszámításának szabályát nevezzük

Szabály T reugolnikov.

PÉLDÁK. Számítsa ki a háromszög szabály segítségével:

MEGJEGYZÉS. A determinánsokat determinánsoknak is nevezik.

2. tanulmányi kérdés A MEGHATÁROZÓ SZEREK TULAJDONSÁGAI.

KITERJESZTÉSI TÉTEL

1. tulajdonság. A determináns értéke nem változik, ha sorait felcseréljük a megfelelő oszlopokkal.

.

Mindkét determináns feltárásával meggyőződünk az egyenlőség érvényességéről.

Az 1. tulajdonság megállapítja a determináns sorainak és oszlopainak egyenlőségét. Ezért a determináns minden további tulajdonságát sorokra és oszlopokra egyaránt megfogalmazzuk.

2. tulajdonság. Két sor (vagy oszlop) átrendezésekor a determináns előjelét az ellenkezőjére változtatja, megtartva abszolút értékét .

.

3. tulajdonság. A sorelemek közös tényezője (vagy oszlop)meghatározó jelként kivehető.

.

4. tulajdonság. Ha a determinánsnak két egyforma sora (vagy oszlopa) van, akkor az egyenlő nullával.

Ez a tulajdonság közvetlen ellenőrzéssel igazolható, vagy használhatja a 2-es tulajdonságot.

Jelöljük a determinánst D-vel. Két azonos első és második sor átrendezésekor az nem változik, de a második tulajdonság szerint előjelet kell váltania, azaz.

D = - DÞ 2 D = 0 ÞD = 0.

5. ingatlan. Ha egy karakterlánc minden eleme (vagy oszlop)egyenlőek nullával, akkor a determináns egyenlő nullával.

Ez a tulajdonság a 3. tulajdonság speciális esetének tekinthető, amikor

6. ingatlan. Ha két sor elemei (vagy oszlopok)a determinánsok arányosak, akkor a determináns egyenlő nullával.

.

Igazolható közvetlen ellenőrzéssel vagy a 3. és 4. tulajdonság felhasználásával.

7. ingatlan. A determináns értéke nem változik, ha egy másik sor (vagy oszlop) megfelelő elemeit hozzáadjuk egy sor (vagy oszlop) elemeihez, megszorozva ugyanazzal a számmal.

.

Közvetlen ellenőrzéssel igazolva.

Ezen tulajdonságok használata bizonyos esetekben megkönnyítheti a determinánsok kiszámításának folyamatát, különösen a harmadrendűek esetében.

A következőkhöz szükségünk lesz a moll és az algebrai komplement fogalmára. Tekintsük ezeket a fogalmakat a harmadik rend meghatározásához.

3. MEGHATÁROZÁS. Kisebb Egy harmadrendű determináns adott elemének másodrendű determinánsának nevezzük, amelyet egy adott elemből úgy kapunk, hogy áthúzzuk azt a sort és oszlopot, amelynek metszéspontjában az adott elem áll.

Elem minor A én jáltal jelölve M én j. Tehát az elemhez A 11 kiskorú

Ezt úgy kapjuk meg, hogy a harmadrendű determináns első sorát és első oszlopát áthúzzuk.

4. MEGHATÁROZÁS. A determináns elemének algebrai komplementere kisebbnek szorozva hívják (-1)k , Ahol k - azon sor- és oszlopszámok összege, amelyek metszéspontjában ez az elem áll.

Egy elem algebrai komplementere A én jáltal jelölve A én j .

És így, A én j =

.

Írjuk fel az elemek algebrai összeadásait A 11 és A 12.

. .

Hasznos megjegyezni a szabályt: egy determináns elemének algebrai komplementere egyenlő az előjeles molljával. plusz, ha a sor- és oszlopszámok összege, amelyben az elem megjelenik még,és jellel mínusz, ha ez az összeg páratlan .

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete