A paralelepipedon mely lapjait nevezzük szomszédosnak? A paralelepipedon térfogata: alapképletek és példafeladatok

A diákok gyakran felháborodva kérdezik: „Hogy lesz ez hasznos számomra az életben?” Az egyes témák bármelyik témájában. Ez alól a paralelepipedon térfogatáról szóló téma sem kivétel. És itt csak azt mondhatod: „Jól fog jönni.”

Hogyan lehet például megtudni, hogy egy csomag belefér-e egy postafiókba? Természetesen próbálgatással is kiválaszthatja a megfelelőt. Mi van, ha ez nem lehetséges? Ezután a számítások segítenek. A doboz kapacitásának ismeretében kiszámíthatja a csomag térfogatát (legalább hozzávetőlegesen), és válaszolhat a feltett kérdésre.

Parallelelepiped és típusai

Ha szó szerint lefordítjuk a nevét az ógörögről, kiderül, hogy párhuzamos síkokból álló alakról van szó. A paralelepipedonnak a következő egyenértékű definíciói vannak:

• paralelogramma formájú alappal rendelkező prizma;
• poliéder, amelynek minden lapja paralelogramma.

Típusait attól függően különböztetjük meg, hogy melyik alak fekszik a tövében, és hogyan irányulnak az oldalsó bordák. Általában beszélünk ferde paralelepipedon, melynek alapja és minden lapja paralelogramma. Ha az előző nézet oldallapjai téglalapokká válnak, akkor meg kell hívni közvetlen. És négyszögletesés az alapnak is van 90 fokos szöge.

Sőt, a geometriában ez utóbbit igyekeznek úgy ábrázolni, hogy észrevehető legyen, hogy minden él párhuzamos. Itt van egyébként a fő különbség a matematikusok és a művészek között. Ez utóbbiak számára fontos, hogy a testet a perspektíva törvényének megfelelően közvetítsék. És ebben az esetben a bordák párhuzamossága teljesen láthatatlan.

A bevezetett jelölésekről

Az alábbi képletekben a táblázatban feltüntetett jelölések érvényesek.

A ferde paralelepipedon képletei

Első és második a területekhez:

A harmadik a paralelepipedon térfogatának kiszámítása:

Mivel az alap egy paralelogramma, a terület kiszámításához a megfelelő kifejezéseket kell használni.

A téglalap alakú paralelepipedon képletei

Az első ponthoz hasonlóan - két képlet a területekhez:

És még egy a kötethez:

Első feladat

Állapot. Adott egy téglalap alakú paralelepipedon, aminek a térfogatát meg kell találni. Ismert az átló - 18 cm - és az, hogy 30, illetve 45 fokos szöget zár be az oldallap síkjával, illetve az oldaléllel.

Megoldás. A probléma kérdésének megválaszolásához ismernie kell három derékszögű háromszög összes oldalát. Megadják az élek szükséges értékeit, amelyek alapján ki kell számítani a hangerőt.

Először ki kell találnia, hol van a 30 fokos szög. Ehhez meg kell rajzolnia az oldallap átlóját ugyanabból a csúcsból, ahonnan a paralelogramma főátlója készült. A köztük lévő szög a szükséges.

Az első háromszög, amely megadja az alap oldalainak egyik értékét, a következő lesz. Tartalmazza a szükséges oldalt és két húzott átlót. Ez téglalap alakú. Most az ellenkező láb (az alap oldala) és a hipotenusz (átlós) arányát kell használni. Ez egyenlő a 30°-os szinuszával. Ez azt jelenti, hogy az alap ismeretlen oldalát a rendszer az átló és a 30º vagy ½ szinuszának szorzataként határozza meg. Jelölje „a” betűvel.

A második egy háromszög, amely ismert átlót és egy élt tartalmaz, amellyel 45°-ot alkot. Szintén téglalap alakú, és ismét használhatja a láb és a hipotenusz arányát. Más szóval, oldalél az átló. Ez egyenlő a 45º koszinuszával. Ez azt jelenti, hogy a „c” az átló és a 45º koszinusz szorzataként kerül kiszámításra.

c = 18 * 1/√2 = 9 √2 (cm).

Ugyanabban a háromszögben egy másik lábat kell találnia. Erre azért van szükség, hogy azután kiszámítsuk a harmadik ismeretlent - „in”. Jelölje „x” betűvel. Könnyen kiszámítható a Pitagorasz-tétel segítségével:

x = √(18 2 - (9√2) 2) = 9√2 (cm).

Most egy másik derékszögű háromszöget kell figyelembe vennünk. Tartalmazza a már ismert „c”, „x” és a számolandó „b” oldalakat:

in = √((9√2) 2 - 9 2 = 9 (cm).

Mindhárom mennyiség ismert. Használhatja a térfogat képletét, és kiszámíthatja:

V = 9 * 9 * 9√2 = 729√2 (cm 3).

Válasz: a paralelepipedon térfogata 729√2 cm 3.

Második feladat

Állapot. Meg kell találni a paralelepipedon térfogatát. Ebben az alapon fekvő paralelogramma oldalairól ismert, hogy 3 és 6 cm, valamint hegyesszöge - 45º. Az oldalsó borda az alaphoz képest 30°-os dőlésszögű, és 4 cm.

Megoldás. A probléma kérdésének megválaszolásához vegyük azt a képletet, amelyet egy ferde paralelepipedon térfogatára írtak. De mindkét mennyiség ismeretlen benne.

Az alap, azaz a paralelogramma területét egy képlet határozza meg, amelyben meg kell szorozni az ismert oldalakat és a köztük lévő hegyesszög szinuszát.

S o = 3 * 6 sin 45º = 18 * (√2)/2 = 9 √2 (cm 2).

A második ismeretlen mennyiség a magasság. Az alap feletti négy csúcs bármelyikéből rajzolható. Megtalálható egy derékszögű háromszögből, amelyben a magasság a láb, az oldalél pedig a befogó. Ebben az esetben egy 30°-os szög az ismeretlen magassággal szemben. Ez azt jelenti, hogy használhatjuk a láb és a hypotenus arányát.

n = 4 * sin 30º = 4 * 1/2 = 2.

Most már minden érték ismert, és a térfogat kiszámítható:

V = 9 √2 * 2 = 18 √2 (cm 3).

Válasz: térfogata 18√2 cm 3.

Harmadik feladat

Állapot. Határozzuk meg a paralelepipedon térfogatát, ha tudjuk, hogy egyenes. Alapjának oldalai paralelogrammát alkotnak, és 2 és 3 cm-esek. A köztük lévő hegyesszög 60º. A paralelepipedon kisebb átlója megegyezik az alap nagyobb átlójával.

Megoldás. A paralelepipedon térfogatának meghatározásához az alapterülettel és magassággal rendelkező képletet használjuk. Mindkét mennyiség ismeretlen, de könnyen kiszámítható. Az első a magasság.

Mivel a paralelepipedon kisebb átlója méretben egybeesik a nagyobb alappal, ugyanazzal a d betűvel jelölhetjük őket. A paralelogramma legnagyobb szöge 120°, mivel 180°-ot alkot a hegyessel. Az alap második átlóját jelölje „x” betű. Most az alap két átlójára felírhatjuk a koszinusz tételeket:

d 2 = a 2 + b 2 - 2av cos 120º,

x 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos 60º.

Nincs értelme négyzetek nélkül értékeket találni, mivel később újra a második hatványra emelkednek. Az adatok behelyettesítése után a következőket kapjuk:

d 2 = 2 2 + 3 2 - 2 * 2 * 3 cos 120º = 4 + 9 + 12 * ½ = 19,

x 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos 60º = 4 + 9 - 12 * ½ = 7.

Most a magasság, amely egyben a paralelepipedon oldalsó éle is, a háromszög egyik lába lesz. A hipotenusz a test ismert átlója, a második láb pedig „x”. Felírhatjuk a Pitagorasz-tételt:

n 2 = d 2 - x 2 = 19 - 7 = 12.

Tehát: n = √12 = 2√3 (cm).

Most a második ismeretlen mennyiség az alap területe. A második feladatban említett képlet segítségével számítható ki.

S o = 2 * 3 sin 60º = 6 * √3/2 = 3√3 (cm 2).

Ha mindent összevonunk a térfogati képletbe, a következőt kapjuk:

V = 3√3 * 2√3 = 18 (cm 3).

Válasz: V = 18 cm 3.

Negyedik feladat

Állapot. Meg kell találni a paralelepipedon térfogatát, amely megfelel a következő feltételeknek: az alap egy négyzet, amelynek oldala 5 cm; az oldallapok rombuszok; az alap felett elhelyezkedő csúcsok egyike egyenlő távolságra van az alapon fekvő összes csúcstól.

Megoldás. Először is foglalkoznia kell az állapottal. Az első pontnál nincs kérdés a térrel kapcsolatban. A második, amely a rombuszokról szól, egyértelművé teszi, hogy a paralelepipedon ferde. Sőt, minden éle egyenlő 5 cm-rel, mivel a rombusz oldalai azonosak. A harmadikból pedig kiderül, hogy a belőle húzott három átló egyenlő. Ez kettő az oldallapokon fekszik, az utolsó pedig a paralelepipedon belül van. És ezek az átlók egyenlőek az éllel, vagyis 5 cm hosszúak is.

A térfogat meghatározásához egy ferde paralelepipedonra írt képletre lesz szüksége. Ismét nincsenek ismert mennyiségek benne. Az alap területét azonban könnyű kiszámítani, mivel ez egy négyzet.

S o = 5 2 = 25 (cm 2).

A magassággal egy kicsit bonyolultabb a helyzet. Három ábrán így lesz látható: egy párhuzamos csőben, egy négyszögletű piramisban és egy egyenlő szárú háromszögben. Ez utóbbi körülményt ki kell használni.

Mivel ez a magasság, ez egy láb derékszögű háromszögben. A benne lévő hipotenusz egy ismert él lesz, és a második láb egyenlő a négyzet átlójának felével (a magasság egyben a medián). És az alap átlója könnyen megtalálható:

d = √(2*52) = 5√2 (cm).

A magasságot az él második hatványa és az átló felének négyzete közötti különbségként kell kiszámítani, majd ne felejtse el venni a négyzetgyököt:

n = √ (5 2 - (5/2 * √2) 2) = √(25 - 25/2) = √(25/2) = 2,5 √2 (cm).

V = 25 * 2,5 √2 = 62,5 √2 (cm 3).

Válasz: 62,5 √2 (cm 3).

Téglalap alakú paralelepipedon

A téglalap alakú paralelepipedon olyan derékszögű paralelepipedon, amelynek minden lapja téglalap.

Elég, ha körülnézünk, és látni fogjuk, hogy a körülöttünk lévő tárgyak paralelepipedonhoz hasonló alakúak. Színük alapján megkülönböztethetők, sok további részletük van, de ha ezeket a finomságokat figyelmen kívül hagyjuk, akkor azt mondhatjuk, hogy például egy szekrény, doboz stb. körülbelül azonos alakú.

Szinte mindennap találkozunk a téglalap alakú paralelepipedon fogalmával! Nézz körül, és mondd meg, hol látsz téglalap alakú paralelepipedonokat? Nézd meg a könyvet, pontosan ugyanilyen alakú! Egy tégla, egy gyufásdoboz, egy fahasáb ugyanolyan alakú, és még most is egy téglalap alakú paralelepipedon belsejében vagy, mert ennek a geometriai alaknak a legfényesebb értelmezése az osztályterem.

Gyakorlat: Milyen példákat tudna megnevezni a paralelepipedonra?

Nézzük meg közelebbről a téglatestet. És mit látunk?

Először is látjuk, hogy ez az ábra hat téglalapból áll, amelyek egy téglatest lapjai;

Másodszor, egy téglatestnek nyolc csúcsa és tizenkét éle van. A téglatest élei a lapjainak oldalai, a téglatest csúcsai pedig a lapok csúcsai.

Gyakorlat:

1. Mi a neve egy négyszögletes paralelepipedon egyes lapjainak? 2. Milyen paramétereknek köszönhetően mérhető a paralelogramma? 3. Határozza meg az ellentétes oldalakat.

A paralelepipedonok fajtái

De a paralelepipedonok nemcsak téglalap alakúak, hanem egyenesek és ferdeek is lehetnek, és az egyenes vonalakat téglalap alakúra, nem téglalap alakúra és kockákra osztják.

Feladat: Nézd meg a képet, és mondd el, milyen paralelepipedonok láthatók rajta. Miben különbözik a téglalap alakú paralelepipedon a kockától?

A négyszögletes paralelepipedon tulajdonságai

A négyszögletes paralelepipedonnak számos fontos tulajdonsága van:

Először is, ennek a geometriai alaknak az átlójának négyzete egyenlő a három fő paramétere négyzeteinek összegével: magasság, szélesség és hosszúság.

Másodszor, mind a négy átlója teljesen azonos.

Harmadszor, ha egy paralelepipedon mindhárom paramétere azonos, azaz a hossza, szélessége és magassága egyenlő, akkor egy ilyen paralelepipedont kockának nevezünk, és minden lapja azonos négyzettel lesz egyenlő.

Gyakorlat

1. Egy téglalap alakú paralelepipedonnak egyenlő oldalai vannak? Ha vannak ilyenek, mutasd meg az ábrán. 2. Milyen geometriai formákból állnak a négyszögletes paralelepipedon lapjai? 3. Milyen az egyenlő élek egymáshoz viszonyított elrendezése? 4. Nevezze meg ennek az ábrának az egyenlő lappárjainak számát! 5. Keresse meg a téglalap alakú paralelepipedon éleit, amelyek jelzik annak hosszát, szélességét, magasságát! Hányat számoltál?

Feladat

Hogy gyönyörűen díszítse anyja születésnapi ajándékát, Tanya vett egy téglalap alakú paralelepipedon alakú dobozt. A doboz mérete 25cm*35cm*45cm. Hogy ez a csomagolás szép legyen, Tanya úgy döntött, hogy gyönyörű papírral borítja be, melynek költsége 3 hrivnya 1 dm2-enként. Mennyi pénzt érdemes csomagolópapírra költeni?

Tudja, hogy a híres illuzionista, David Blaine egy kísérlet részeként 44 napot töltött a Temze felett felfüggesztett üvegparallepiben? Ezen a 44 napig nem evett, csak vizet ivott. Önkéntes börtönében David csak írószereket, párnát és matracot, valamint zsebkendőt vitt magával.

Az Ön személyes adatainak védelme fontos számunkra. Emiatt kidolgoztunk egy adatvédelmi szabályzatot, amely leírja, hogyan használjuk és tároljuk az Ön adatait. Kérjük, tekintse át adatvédelmi gyakorlatunkat, és tudassa velünk, ha kérdése van.

Személyes adatok gyűjtése és felhasználása

A személyes adatok olyan adatokra vonatkoznak, amelyek felhasználhatók egy adott személy azonosítására vagy kapcsolatfelvételre.

Amikor kapcsolatba lép velünk, bármikor megkérhetjük személyes adatainak megadására.

Az alábbiakban bemutatunk néhány példát arra, hogy milyen típusú személyes adatokat gyűjthetünk, és hogyan használhatjuk fel ezeket az információkat.

Milyen személyes adatokat gyűjtünk:

• Amikor jelentkezést nyújt be az oldalon, különféle információkat gyűjthetünk, beleértve az Ön nevét, telefonszámát, e-mail címét stb.

Hogyan használjuk fel személyes adatait:

• Az általunk gyűjtött személyes adatok lehetővé teszik számunkra, hogy egyedi ajánlatokkal, promóciókkal és egyéb eseményekkel és közelgő eseményekkel kapcsolatba léphessünk Önnel.
• Időről időre felhasználhatjuk személyes adatait fontos értesítések és közlemények küldésére.
• A személyes adatokat belső célokra is felhasználhatjuk, például auditok lefolytatására, adatelemzésre és különféle kutatásokra annak érdekében, hogy javítsuk szolgáltatásainkat, és javaslatokat adjunk Önnek szolgáltatásainkkal kapcsolatban.
• Ha nyereményjátékban, versenyben vagy hasonló promócióban vesz részt, az Ön által megadott információkat felhasználhatjuk az ilyen programok lebonyolítására.

Információk közlése harmadik fél számára

Az Öntől kapott információkat nem adjuk ki harmadik félnek.

Kivételek:

• Szükség esetén - a törvénynek, a bírósági eljárásnak, a bírósági eljárásoknak megfelelően és/vagy az Orosz Föderáció állami szerveinek nyilvános kérelmei vagy kérései alapján - személyes adatainak felfedésére. Felfedhetünk Önnel kapcsolatos információkat is, ha úgy ítéljük meg, hogy az ilyen nyilvánosságra hozatal biztonsági, bűnüldözési vagy egyéb közérdekű célból szükséges vagy megfelelő.
• Átszervezés, egyesülés vagy eladás esetén az általunk gyűjtött személyes adatokat átadhatjuk a megfelelő jogutód harmadik félnek.

Személyes adatok védelme

Óvintézkedéseket teszünk – beleértve az adminisztratív, technikai és fizikai intézkedéseket is –, hogy megvédjük személyes adatait az elvesztéstől, lopástól és visszaéléstől, valamint a jogosulatlan hozzáféréstől, nyilvánosságra hozataltól, megváltoztatástól és megsemmisítéstől.

A magánélet tiszteletben tartása vállalati szinten

Személyes adatai biztonságának biztosítása érdekében az adatvédelmi és biztonsági előírásokat közöljük alkalmazottainkkal, és szigorúan betartjuk az adatvédelmi gyakorlatokat.

A paralelepipedon olyan prizma, amelynek alapjai paralelogrammák. Ebben az esetben minden él lesz paralelogrammák.
Mindegyik paralelepipedon három különböző módon tekinthető prizmának, mivel minden két szemközti oldal alapnak tekinthető (az 5. ábrán az ABCD és A"B"C"D", vagy az ABA"B" és a CDC"D lapok ", vagy BCB "C" és ADA"D").
A szóban forgó testnek tizenkét éle van, négy egyenlő és egymással párhuzamos.
3. tétel . A paralelepipedon átlói egy pontban metszik egymást, mindegyik középével egybeesik.
A paralelepipedon ABCDA"B"C"D" (5. ábra) négy átlója AC", BD", CA, DB". Bizonyítanunk kell, hogy bármelyik kettő, például AC és BD" felezőpontja egybeesik. Ez abból következik, hogy az AB és C"D" egyenlő és párhuzamos oldalú ABC"D" ábra paralelogramma.
7. definíció . A jobb oldali paralelepipedon olyan paralelepipedon, amely egyben egyenes prizma, vagyis olyan paralelepipedon, amelynek oldalélei merőlegesek az alap síkjára.
8. definíció . A téglalap alakú paralelepipedon olyan derékszögű paralelepipedon, amelynek alapja egy téglalap. Ebben az esetben minden lapja téglalap alakú lesz.
A téglalap alakú paralelepipedon egy derékszögű prizma, függetlenül attól, hogy melyik lapját vesszük alapnak, mivel minden éle merőleges az ugyanabból a csúcsból kilépő élekre, és ezért merőleges lesz a meghatározott lapok síkjaira. ezen élek által. Ezzel szemben egy egyenes, de nem téglalap alakú paralelepipedon csak egyféleképpen tekinthető egyenes prizmának.
9. definíció . Egy téglalap alakú paralelepipedon három élének hosszát, amelyek közül nincs kettő párhuzamos egymással (például három él ugyanabból a csúcsból jön ki), méreteinek nevezzük. Két megfelelően egyenlő méretű négyszögletes paralelepipedon nyilvánvalóan egyenlő egymással.
10. definíció .A kocka téglalap alakú paralelepipedon, melynek mindhárom mérete egyenlő egymással, így minden lapja négyzet. Két egyenlő élű kocka egyenlő.
11. definíció . Romboédernek nevezzük azt a ferde paralelepipedont, amelynek minden éle egyenlő egymással, és minden lap szöge egyenlő vagy komplementer.
A romboéder minden lapja egyenlő rombusz. (Néhány nagy jelentőségű kristály romboéder alakú, például az izlandi sparkristályok.) Egy romboéderben találhatunk olyan csúcsot (sőt két ellentétes csúcsot is), hogy a vele szomszédos összes szög egyenlő egymással.
4. tétel . A téglalap alakú paralelepipedon átlói egyenlőek egymással. Az átló négyzete egyenlő a három dimenzió négyzeteinek összegével.
A téglalap alakú ABCDA"B"C"D" paralelepipedonban (6. ábra) az AC" és a BD" átlók egyenlőek, mivel az ABC"D" négyszög egy téglalap (az AB egyenes merőleges az EKB" síkra C", amelyben BC található") .
Ezenkívül AC" 2 =BD" 2 = AB2+AD" 2 a hipotenúzus négyzetére vonatkozó tétel alapján. De ugyanezen AD" 2 = AA" 2 + +A"D" 2 tétel alapján; ezért rendelkezik:
AC" 2 = AB 2 + AA" 2 + A" D" 2 = AB 2 + AA" 2 + AD 2.