A matematika "trigonometrikus képletek" leckéjének összefoglalása.

Ebben a cikkben átfogó pillantást vetünk rá. Az alapvető trigonometrikus azonosságok olyan egyenlőségek, amelyek kapcsolatot létesítenek egy szög szinusza, koszinusza, érintője és kotangense között, és lehetővé teszik, hogy a trigonometrikus függvények bármelyikét megtaláljuk egy ismert másik szögön keresztül.

Azonnal soroljuk fel a fő trigonometrikus azonosságokat, amelyeket ebben a cikkben elemezünk. Jegyezzük fel őket egy táblázatba, és az alábbiakban megadjuk ezeknek a képleteknek a kimenetét és a szükséges magyarázatokat.

Oldalnavigáció.

Egy szög szinusza és koszinusza közötti kapcsolat

Néha nem a fenti táblázatban felsorolt ​​fő trigonometrikus identitásokról beszélnek, hanem egyetlenegyről alapvető trigonometrikus azonosság kedves . Ennek a ténynek a magyarázata meglehetősen egyszerű: az egyenlőségeket a fő trigonometrikus azonosságból kapjuk, miután mindkét részét elosztjuk a, illetve az egyenlőségekkel. És a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens definícióiból következik. Erről részletesebben a következő bekezdésekben fogunk beszélni.

Vagyis különösen érdekes az egyenlőség, amely a fő trigonometrikus azonosság elnevezést kapta.

A fő trigonometrikus azonosság bizonyítása előtt megadjuk annak megfogalmazását: egy szög szinuszának és koszinuszának négyzetösszege azonos eggyel. Most pedig bizonyítsuk be.

Az alapvető trigonometrikus azonosságot nagyon gyakran használják, amikor trigonometrikus kifejezések konvertálása. Lehetővé teszi, hogy egy szög szinuszának és koszinuszának négyzetösszegét eggyel helyettesítsük. Nem ritkábban az alapvető trigonometrikus azonosságot fordított sorrendben használjuk: az egységet bármely szög szinuszának és koszinuszának négyzetösszegével helyettesítjük.

Érintő és kotangens szinuszon és koszinuszon keresztül

Az érintőt és a kotangenst egy látószög szinuszával és koszinuszával összekötő azonosságok és azonnal következik a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens definícióiból. Valójában definíció szerint a szinusz az y ordinátája, a koszinusz az x abszcisszája, az érintő pedig az ordináta és az abszcissza aránya, azaz , a kotangens pedig az abszcissza és az ordináta aránya, azaz .

A személyazonosságok ilyen egyértelműségének köszönhetően és Az érintőt és a kotangenst gyakran nem az abszcissza és az ordináta arányán, hanem a szinusz és a koszinusz arányán keresztül határozzák meg. Tehát egy szög érintője ennek a szögnek a szinuszának a koszinuszhoz viszonyított aránya, a kotangens pedig a koszinusz és a szinusz aránya.

E bekezdés zárásaként meg kell jegyezni, hogy a személyazonosságok és minden olyan szögre érvényesül, amelynél a bennük szereplő trigonometrikus függvényeknek van értelme. Tehát a képlet bármely -re érvényes, kivéve (különben a nevező nulla lesz, és nem definiáltuk a nullával való osztást), és a képlet - mindenre , különbözik attól , ahol z tetszőleges .

Az érintő és a kotangens kapcsolata

Az előző kettőnél még nyilvánvalóbb trigonometrikus azonosság az alak egy szögének érintőjét és kotangensét összekötő azonosság. . Nyilvánvaló, hogy ez minden más szögre érvényes, mint , különben sem az érintő, sem a kotangens nincs meghatározva.

A képlet bizonyítéka Nagyon egyszerű. Definíció szerint és honnan . A bizonyítást egy kicsit másképp is meg lehetett volna csinálni. Mivel , Azt .

Tehát ugyanannak a szögnek az érintője és kotangense, amelynél értelmet nyernek, .

„Szinuszok és koszinuszok tétele” - 1) Írja fel egy adott háromszög szinusztételét: Keresse meg a B szöget. Írja le a számítási képletet: Szinuszok tétele: Határozza meg a BC oldal hosszát! Szinusz és koszinusz tételei. A háromszög oldalai arányosak a szemközti szögek szinuszaival. 2) Írja fel a koszinusz tételt az MC oldalának kiszámításához: Önálló munka:

„Trigonometrikus egyenlőtlenségek megoldása” - Minden y érték az MN intervallumon. 1. Függvénygráfok készítése: A fennmaradó intervallumok. Az y=-1/2 egyenes végtelen számú pontban metszi a szinuszost, a trigonometrikus kör pedig az A pontban. végtelen számú intervallum. Egy szinuszoson pedig az origóhoz legközelebb eső x értékek tartománya, amelyre sinx>-1/2,

„Trigonometrikus képletek” – Képletek a trigonometrikus függvények összegének szorzattá konvertálására. Képletek trigonometrikus függvények szorzatának összeggé alakítására. Összeadási képletek. Szög trigonometrikus függvényeivel?. Kettős szög képletek. Ha tagonként összeadjuk a (3) és (4) egyenlőségeket, a következőt kapjuk: Vezessünk le olyan segédképleteket, amelyek lehetővé teszik a megtalálást.

„Egyszerű trigonometrikus egyenlőtlenségek megoldása” - cos x. Trigonometrikus egyenlőtlenségek megoldási módszerei. sinx. A trigonometrikus egyenlőtlenségek olyan egyenlőtlenségek, amelyek egy trigonometrikus függvény argumentumában változót tartalmaznak. Egyszerű trigonometrikus egyenlőtlenségek megoldása.

„Sin és cos” – Igaz, hogy a 6,5 ​​koszinusza nagyobb, mint nulla? A 60°-os szinusz egyenlő?? Igaz, hogy mivel? x - korty? x = 1? A matematikának a szinusz, koszinusz tulajdonságait vizsgáló ága... Algebra és alapelemzés lecke 10. osztályban. Trigonometrikus egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása. Az egységkör egy pontjának abszcisszán. A koszinusz és a szinusz aránya...

„A háromszög koszinusztétele” - Szóbeli munka. Ismeretlen elemek. Háromszög. Egy háromszög négyzet alakú oldala. Mondja el a koszinusz tételt! Tétel. Koszinusz tétel. Feladatok megoldása négyzet alakú papíron. Sarkok és oldalak. Mondja el a koszinusz tételt! Feladatok kész rajzok alapján. Az ábrán látható adatok.

Összesen 21 előadás hangzik el

ÓRATÉRKÉP „A SZINUS, KOSZINUS ÉS UGYANAZON SZÖG ÉRINTŐ FÜGGÉSE”

Diák _____________________________________________________________________________________

Saját pontjaim: __________

Maximális pontszám: 22

18–22 pont – „5”

15-17 pont - „4”

11–14 pont – „3”

Kevesebb mint 11 pont - a következő napokban konzultációra kell jönnie, az anyag még nincs elsajátítva.

"Rövid terv"

Vera Anatoljevna Golovatova, matematikatanár

GB POU "Okhta College"

Két lecke összefoglalója diákoknakén tanfolyam (10. osztály) a témában:

"Az azonos szögű szinusz, koszinusz és tangens kapcsolata"

Cél: tanulmányozza az azonos szögű szinusz, koszinusz és tangens kapcsolatát.

E cél eléréséhez szükséges:

Tud:

alapvető trigonometrikus függvények (szinusz, koszinusz és tangens) definícióinak megfogalmazásai;

a trigonometrikus függvények jelei negyedenként;

trigonometrikus függvények értékkészlete;

a trigonometria alapképletei.

Megért:

hogy az alapvető trigonometrikus azonosság csak ugyanarra az argumentumra használható;

algoritmus az egyik trigonometrikus függvény kiszámítására egy másikon keresztül.

Alkalmaz:

az adott feladat megoldásához szükséges megfelelő képlet helyes kiválasztásának képessége;

az egyszerű törtekkel való munka képessége;

képesség trigonometrikus kifejezések transzformációinak végrehajtására.

Elemzés:

elemzi az érvelés logikájának hibáit.

Szintézis:

javasoljon saját megoldási módot a példákra;

készítsen keresztrejtvényt a megszerzett tudás felhasználásával.

Fokozat:

ismereteket és készségeket ebben a témában az algebra más szakaszaiban való felhasználásra.

Felszerelés: trigonometrikus kör elrendezése, szórólapok képletekkel és trigonometrikus függvények értéktáblázataival, számítógép, multimédiás projektor, prezentáció, lapok feladatokkal az önálló munkához.

Felhasznált források:

Algebra és az elemzés kezdetei: Tankönyv 10-11. Általános oktatás intézmények / Sh.A.Alimov, Yu.V. Sidorov et al., Oktatás, 2006.

Nyílt banki feladatok a matematika egységes államvizsgára való felkészüléshez, 2011.

INTERNET hálózati erőforrások.

Rövid óraterv:

Idő szervezése.

Üdvözlet. Az óra céljának és az óratervnek a közlése - 3-5 perc

Az ismeretek és készségek frissítése.

A tanulók órakártyákat kapnak, és elmagyarázzák, hogyan dolgozzanak velük.

A kérdések megjelennek a képernyőn; a tanulók füzetbe írják a válaszokat; A tanár megjeleníti a helyes választ a képernyőn. A kérdőív kitöltése után a tanulók pontokat adnak a leckekártyához Feladatok 1. sz – 10 perc.

Új anyag magyarázata.

A tanár levezeti az alapvető trigonometrikus azonosság képletét - 5 perc.

A tanulókat megkérjük, hogy önállóan fejezzék be a képernyőn megjelenő példák rögzítését, ellenőrizze a válaszok helyességét és adjon pontokat az órakártyához. 2. feladatok – 5 perc.

A jegyzetfüzetben a tanulókat arra kérik, hogy az alapvető trigonometrikus azonosságból önállóan fejezzék ki a szinusz-koszinusz és koszinusz-szinusz kifejezést. A helyes válasz megjelenik a képernyőn, a tanulók ellenőrzik, és pontokat adnak hozzá az órakártyához Feladatok 3. sz – 5-7 perc.

A tanár a táblán példákat old meg a trigonometrikus alapazonosság segítségével. A tanulók a magyarázat során válaszolnak a tanár kérdéseire, és példákat írnak le a füzetükbe - 15 perc.

A tanár képleteket állít le, amelyek az érintő és a kotangens kapcsolatát mutatják, a tanulók aktívan részt vesznek a képletek levezetésében, válaszolnak kérdésekre, jegyzeteket készítenek egy füzetbe - 5 perc.

A tanár képleteket állít le, amelyek megmutatják az érintő és a koszinusz, a szinusz és a kotangens közötti kapcsolatot - 5 perc.

A tanulókat tetszés szerint hívják a táblához, és a tanár segítségével egy algoritmus segítségével példákat oldanak meg. Mindenki más írja le és válaszol a kérdésekre, ha szükséges - 10 perc.

A tanult anyag megerősítése

Az óra végén a helyes válaszok megjelennek a képernyőn, a tanulók ellenőrzik válaszaikat, és pontokat adnak az órakártyához. Feladatok 4. sz – 20 perc.

Házi feladat: A tanulók házi feladatokat írnak a füzetükbe - 3 perc

A dokumentum tartalmának megtekintése
"Visszaverődés"

Miután részt vettem az RNS-ről szóló szemináriumokon, és technológiai térkép segítségével tanítottam leckét, nyilvánvalóvá vált számomra, hogy a minősítési rendszer a lehető legnagyobb érdeklődést kelti a hallgatókban egy adott téma iránt. Az én esetemben ezek a trigonometria alapképletei.

A trigonometriát nagyon gyakran nem veszik észre a diákok, nem is annyira bonyolultsága miatt, hanem a sok képlet miatt, amelyekkel dolgozni kell.

Nehéz hihetetlen sikereket és eredményeket várni egy technológiai térkép segítségével lefolytatott óra után, de számomra úgy tűnik, hogy a minősítési rendszer előnyei a trigonometria és általában a matematika tanulmányozása során a következők:

lehetővé vált mind az osztálytermi, mind a tanulók önálló, szisztematikus otthoni munkájának megszervezése és támogatása;

Növelje az órákon való részvételt és a fegyelem szintjét;

az oktatási tevékenységek iránti motiváció nő;

Csökkennek a stresszes helyzetek, amikor nem kielégítő osztályzatokat kapnak;

ösztönzi a munkához való kreatív hozzáállást.

Az RNS egyetlen hátránya (ahogy nekem úgy tűnik) a tanárok sok munkája, de ez az eredményért való munka. Egyetlen ezzel a rendszerrel tanított óra után a tanulók folyamatosan kérdezik, hogy továbbra is így fogunk-e dolgozni. Ez azt jelenti, hogy megragadta őket valami. És folytatnunk kell a munkát.

A dokumentum tartalmának megtekintése
"Önálló munkavégzés"

ÖNÁLLÓ MUNKAVÉGZÉS

Bármelyik szintet is választja, először alaposan nézze át az összes feladatot, amit adtam neked, majd végezd el a választott szintnek megfelelő feladatot (Mielőtt négy lehetőségből álló feladatokat látna el, az opció száma megfelel az önbecsülés szintjének.)

1 lehetőség

Utasítás:

Utasítás:

Oldja meg ezt a példát saját maga:

2. lehetőség

Tipp: A koszinuszfüggvény meghatározásához használja a mai lecke (3) képletét. Ne felejtse el meghatározni a gyökér előtt megjelenő jelet. Az érintő és a kotangens értékének kiszámításához használhatja ezeknek a függvényeknek a definícióját, vagy használhatja a ma az osztályban kifejlesztett képleteket.

Jegyzet. Csoportosítsa a kifejezés első és harmadik tagját, vegye ki a közös tényezőt a zárójelekből....

3. lehetőség

4. lehetőség

A prezentáció tartalmának megtekintése
"Bemutatás"

Ismétlés:

1. Melyik negyedben van a szög

1 radián és mennyivel egyenlő?

Az első negyedévben 1 rad.  57,3°

2. Melyik szó hiányzik a szinuszfüggvény definíciójából?

A szög szinusza  az egységkör ………… pontjainak nevezett.

RENDELÉS

3. Melyik szó hiányzik a koszinusz függvény definíciójából?

A szög koszinusza  hívott

………… az egységkör pontjai.

ABSZCISSZA

4. Töltse ki a képletet:





tg



5. Határozza meg a termék jelét:

tg

6. Milyen értéket vehet fel a szinusz?





vagy

7. Számolja ki:

y

B(x;y)

R

Y=sin 





O

x

x=cos 

A felvétel befejezése:









x

y

x

y

x

x









x

y

x

y

x

x









• Értettem a témát és az algoritmus segítségével, a jegyzetfüzetre nézve, de vezető kérdések (kártya - utasítások) segítségével tudok példákat megoldani.
• Értettem a témát, és az algoritmus segítségével, a füzetre nézve, tanári instrukciókkal tudok példákat megoldani.
• + Értettem a témát, és az algoritmus segítségével, a jegyzetfüzetre pillantva, vezető kérdések és utasítások nélkül tudok példákat megoldani.
• + Értettem a témát, és az algoritmus segítségével a füzetbe nézés nélkül is tudok példákat megoldani.

1.opció:

3. lehetőség:

2. lehetőség:

4. lehetőség:

Próbáljuk meg megtalálni a kapcsolatot az azonos szögű fő trigonometrikus függvények között.

Azonos szögű koszinusz és szinusz kapcsolata

Az alábbi ábrán az Oxy koordinátarendszer látható, az ACB egységnyi félkör azon részével, amelynek középpontja az O pontban van. Ez a rész az egységkör íve. Az egységkört az egyenlet írja le

• x 2 +y 2 =1.

Mint már ismert, az y ordináta és az x abszcissza a szög szinuszaként és koszinuszaként ábrázolható a következő képletekkel:

• sin(a) = y,
• cos(a) = x.

Ha ezeket az értékeket behelyettesítjük az egységkör egyenletébe, a következő egyenlőséget kapjuk

• (sin(a)) 2 + (cos(a)) 2 =1,

Ez az egyenlőség az a szög bármely értékére érvényes. Ezt nevezik alapvető trigonometrikus azonosságnak.

Az alapvető trigonometrikus azonosságból egy függvény kifejezhető egy másikkal.

• sin(a) = ±√(1-(cos(a)) 2),
• cos(a) = ±√(1-(sin(a)) 2).

A képlet jobb oldalán lévő előjelet a képlet bal oldalán lévő kifejezés előjele határozza meg.

Például.

Számítsa ki a sin(a)-t, ha cos(a)=-3/5 és pi

Használjuk a fenti képletet:

• sin(a) = ±√(1-(cos(a)) 2).

Mivel a pi

• sin(a) = ±√(1-(cos(a)) 2) = - √(1 – 9/25) = – 4/5.

Az azonos szögű érintő és a kotangens kapcsolata

Most próbáljuk meg megtalálni a kapcsolatot az érintő és a kotangensek között.

Definíció szerint tg(a) = sin(a)/cos(a), ctg(a) = cos(a)/sin(a).

Szorozzuk meg ezeket az egyenlőségeket, és kapjuk tg(a)*ctg(a) =1.

Ebből az egyenlőségből egy függvényt a másikon keresztül lehet kifejezni. Kapunk:

• tg(a) = 1/ctg(a),
• ctg(a) = 1/tg(a).

Meg kell érteni, hogy ezek az egyenlőségek csak akkor érvényesek, ha tg és ctg létezik, azaz bármely a-ra, kivéve a = k*pi/2, bármely k egész számra.

Most próbáljuk meg az alapvető trigonometrikus azonosság segítségével megtalálni a kapcsolatot az érintő és a koszinusz között.

Osszuk el a fő trigonometrikus azonosságot (cos(a)) 2-vel. (cos(a) nem egyenlő nullával, különben az érintő nem létezne.

A következő egyenlőséget kapjuk ((sin(a)) 2 + (cos(a)) 2)/ (cos(a)) 2 =1/(cos(a)) 2.

A kifejezést kifejezéssel elosztva a következőket kapjuk:

• 1+(tg(a)) 2 = 1/(cos(a)) 2 .

Ahogy fentebb megjegyeztük, ez a képlet akkor helyes, ha cos(a) nem egyenlő nullával, azaz minden a szögre, kivéve a=pi/2 +pi*k, bármely k egész számra.