1. Határozza meg egy adott ponton átmenő sík egyenletét, amely párhuzamos két adott (nem kollineáris) vektorral

Jegyzet: 1 út . Vegyük az M sík tetszőleges pontját (x, y, z). A vektorok egysíkúak lesznek, mivel párhuzamos síkban helyezkednek el. Ezért vegyes termékük
Ezt a feltételt koordinátákba írva megkapjuk a kívánt sík egyenletét:

Kényelmesebb ezt a determinánst az első sor mentén kibontva kiszámítani.

2. módszer . Vektorok
párhuzamos a kívánt síkkal. Ezért a vektorok keresztszorzatával egyenlő vektor
merőleges erre a síkra , azaz
És
. Vektor a sík normálvektora . Ha
És
, majd a vektor képlettel találjuk meg:

Sík egyenlet pont szerint találni
és normálvektor

2. Határozzuk meg egy adott vektorral párhuzamos két megadott ponton átmenő sík egyenletét!
.(
nem kollineáris).

Jegyzet: 1 út. Legyen M (x, y, z) tetszőleges pont a síkon. Ezután a vektorok és
párhuzamos síkokban helyezkednek el, ezért egysíkúak, azaz. vegyes munkájukat
Ezt a feltételt koordinátákban felírva megkapjuk a kívánt sík egyenletét .

2. módszer . A kívánt síkhoz tartozó normálvektor egyenlő lesz a vektorok vektorszorzatával
, azaz
vagy koordinátákban:

A kívánt sík egyenlete normálvektor találja meg és pont
(vagy pont
)a (2.1.1) képlet alapján

(lásd az 1. példa 2.2. bekezdését).

3. Határozza meg a ponton áthaladó sík egyenletét!
síkkal párhuzamosan 2x – 6y – 3z +5 =0.

Jegyzet: Normál vektor ennek a síknak az általános egyenletéből 2x – 6y – 3z +5 =0 (2.2.1).
Vektor merőleges egy adott síkra, ezért merőleges bármely vele párhuzamos síkra. Vektor felvehetjük a kívánt sík normálvektorának. A pont alapján készítsünk egyenletet a kívánt síkra
és normálvektor
(lásd az 1. példa 2.2. bekezdését).

Válasz:

4. Írjon fel egyenletet egy ponton átmenő síkra!
merőleges a 2x + y – 2z + 1 =0 síkok metszésvonalára és

x + y + z – 5 = 0.

Jegyzet: 1 út. Az egyes síkjaira merőleges vektorok (a vektorok koordinátáit a (2.2.1) általános síkegyenletek alapján találjuk meg) merőlegesek a metszéspontjuk egyenesére, tehát párhuzamosak a kívánt síkkal. A kívánt sík áthalad a ponton
párhuzamos két vektorral
(lásd 1. feladat 5. pont).

A kívánt sík egyenlete a következőképpen alakul:

A harmadrendű determinánst az első sor mentén kiterjesztve megkapjuk a szükséges egyenletet.

2. módszer. Készítsük el a sík egyenletét egy pont alapján
és normálvektor a (2.2.1) képlet szerint. Normál vektor egyenlő a vektorok vektorszorzatával
,azok.
Mivel a vektorok
merőlegesek a síkok metszésvonalára, akkor a vektor párhuzamos a síkok metszésvonalával és merőleges a kívánt síkra.

vektorok (lásd a 2.2.1 képletet), akkor

Készítsük el a sík egyenletét egy pont alapján
és normálvektor

(lásd az 1. példa 2.2. pontját)

Válasz:

5. Határozza meg a pontokon áthaladó sík egyenletét!
És
a síkra merőlegesen 3x – y + 3z +15 = 0.

Jegyzet: 1 út. Írjuk fel egy adott n normálvektorának koordinátáit ragyogás

3x – y + 3z +15 = 0:
Mivel a síkok merőlegesek, akkor a vektor párhuzamos a kívánt síkkal Állítsuk össze a kívánt sík egyenletét
amely párhuzamos a vektorral és áthalad a pontokon
(lásd a 2. feladat megoldását, 5. pont; 1. módszer).

A determinánst kiszámítva megkapjuk a kívánt sík egyenletét

10x + 15y – 5z – 70 =0
2x + 3y – z – 14 =0.

2. módszer. Állítsuk össze a kívánt sík egyenletét pont szerint
és a normálvektor
Vektor

Összeállítjuk a kívánt sík egyenletét .

10 (x – 2) +15 (y – 3) – 5 (z + 1) = 0;

10x + 15y – 5z – 70 = 0 (lásd a 2. feladat 5. pontját; 2. módszer). Osszuk el az egyenlet mindkét oldalát 5-tel.

2x + 3y – z – 14 = 0.

Válasz: 2x + 3y – z – 14 = 0.

6. Írjon fel egyenletet a pontokon átmenő síkra!

És

Jegyzet: Készítsünk egyenletet egy három ponton átmenő síkra (lásd 1. példa, 2.3. bekezdés, 2.3.1. képlet).

A determinánst kibővítve azt kapjuk

Válasz:

Megjegyzés. A determináns számításának helyességének ellenőrzéséhez javasolt ezen pontok koordinátáit, amelyeken a sík áthalad, behelyettesíteni a kapott egyenletbe. Az eredmény egy azonosság kell, hogy legyen; ellenkező esetben hiba van a számításokban.

7. Írjon fel egyenletet egy ponton átmenő síkra!
párhuzamos az x síkkal – 4y + 5z + 1 = 0.

Jegyzet: Adott sík általános egyenletéből
x – 4y + 5z + 1 = 0 keresse meg a normálvektort
(2.2.1 képlet). Vektor merőleges a kívánt síkra
Készítsük el a sík egyenletét egy pont alapján
és normálvektor
(lásd az 1. példát; 2.2. bekezdés):

x – 4y + 5z + 15 = 0.

Válasz: x – 4y + 5z + 15 = 0.

8. Írjon egyenletet egy ponton átmenő síkra!
párhuzamos a vektorokkal

Jegyzet: Lásd az 1. feladat megoldását, 5. pont. A feladatot a jelzett módszerek egyikével oldjuk meg.

Válasz: x – y – z – 1 = 0.

9. Írj egyenletet egy ponton átmenő síkra!
merőleges a 3x – 2y – z + 1 = 0 és x – y – z = 0 síkok metszésvonalára.

Jegyzet: Lásd a 4. feladat megoldását, 5. pont. A feladatot a jelzett módszerek egyikével oldjuk meg.

Válasz: x +2y – z – 8 = 0.

10. Határozza meg a pontokon áthaladó sík egyenletét!

a síkra merőlegesen 3x – y – 4z = 0.

Jegyzet: Lásd az 5. feladat megoldását, 5. pont.

Válasz: 9x – y +7z – 40 = 0.

11. Határozza meg a pontokon áthaladó sík egyenletét!

párhuzamos az A (5; –2; 3) és B (6; 1; 0) pontok által meghatározott egyenessel.

Jegyzet: A kívánt sík párhuzamos az AB egyenessel, tehát párhuzamos a vektorral
A kívánt sík egyenlete úgy találjuk, mint az 5. bekezdés 2. feladatánál (a módszerek egyikével).

Válasz: 3x – 4y – 3z +4 = 0.

12. A P (2; –1; –2) pont az origóból a síkra ejtett merőleges alapjául szolgál. Írj egyenletet erre a síkra!

Jegyzet: Normál vektor a kívánt síkra a vektor
Keressük meg a P (2; –1; –2) és az O(0; 0; 0) koordinátáit.

azok.
Hozzuk létre a sík egyenletét pont és normálvektor szerint
(lásd az 1. példa 2.2. bekezdését).

Válasz: 2x – y – 2z – 9 = 0.

13. Írjon fel egyenletet egy ponton átmenő síkra!
párhuzamos a síkkal: a)xoy;

Jegyzet: b) yoz;
c) xoz.
Vektor

– az oz egységtengelyvektor merőleges az xoy síkra, tehát merőleges a kívánt síkra
Összeállítjuk a sík egyenletét az A pontban (0; –1; 2) és
= (0; 0; 1), mert

(lásd a 3. feladat megoldását, 5. pont).

z – 2 = 0.
A b) és c) feladatokat hasonlóan oldjuk meg.
(1; 0; 0).

b)
A b) és c) feladatokat hasonlóan oldjuk meg. (0; 1; 0).

Ahol

Válasz: V)

y + 1 = 0.
És

a) z – 2 = 0; b) x = 0; c) y + 1 = 0.

Jegyzet: 14. Írjon egyenletet a pontokon átmenő síkra!

B (2; 1; –1) a síkra merőlegesen: a) xoy; b) xoz.
Az xoy sík normálvektora a vektor
= (0; 0; 1) – az oz tengely egységvektora.
Készítsünk egyenletet két ponton átmenő síkra

és B (2; 1; –1), és merőleges a normálvektorral rendelkező síkra
(0; 0; 1), az 5. bekezdés 5. feladatának megoldási módszerei egyikével.

Válasz: y – 1 = 0.

Hasonlóan a b) problémához:
És

ahol = (0; 1; 0).

Jegyzet: a) y – 1 = 0; b) x + z – 1 = 0. 15. Írjon egyenletet a pontokon átmenő síkra!

B (2; 3; –1) párhuzamos az oz tengellyel.: Az oz tengelyen egységvektort vehetünk fel

= (0; 0; 1). A feladat megoldása hasonló a 2. feladat 5. pontjának megoldásához (bármilyen módszerrel).

Jegyzet: Válasz
x – y + 1 = 0. 16. Hozzon létre egyenletet az ox tengelyén és a ponton átmenő síkra! Repülőgép

Válasz:átmegy az ox tengelyen, tehát az O(0; 0; 0) ponton. Az ökör tengelyén egységvektort vehetünk fel

= (1; 0; 0). A kívánt sík egyenletét két A(2; –1; 6) és O(0; 0; 0) pontból és a vektorból állítjuk össze.

Jegyzet: párhuzamos a síkkal. (Lásd a 2. feladat megoldását, 5. pont).

6y + z = 0.
17. Mekkora A értéknél lesznek merőlegesek az Ax + 2y – 7z – 1 = 0 és a 2x – y + 2z = 0 síkok?

A síkok általános egyenleteiből
= (2; –1; 2) (2.2.1). Két sík merőlegességének feltétele (2.6.1).

Válasz: A = 8.

18. A sík A értékénél 2x + 3y – 6z – 23 = 0 ill.

4x + Ay – 12z + 7 = 0 párhuzamos lesz?

Jegyzet:
2x + 3y – 6z – 23 = 0 és
4x + Ay – 12 év + 7 = 0

= (2; 3; –6) és
= (4;A; –12) (2.2.1). Mert
(2.5.1)

Válasz: A = 6.

19. Határozza meg a szöget két 2x + y + z + 7 = 0 és x – 2y + 3z = 0 sík között!

Jegyzet:
2x + y + z + 7 = 0 és
x – 2y + 3z = 0

= (2; 1; 1) és
= (1; –2; 3)

(2.4.1)

B (2; 3; –1) párhuzamos az oz tengellyel.:

20. Készítsen kanonikus egyenleteket egy ponton átmenő egyenesről!

A (1; 2; –3) párhuzamos a vektorral =(1; –2; 1).

Jegyzet: Lásd a 3.1. bekezdés példájának megoldását.

B (2; 3; –1) párhuzamos az oz tengellyel.:

21. Írjon paraméteres egyenleteket egy ponton átmenő egyenesre!

A (–2; 3; 1) párhuzamos a vektorral =(3; –1; 2).

Jegyzet: Lásd a példa megoldását a 3.2. bekezdésben.

B (2; 3; –1) párhuzamos az oz tengellyel.:
.

22. Készítsen kanonikus és parametrikus egyenleteket egy A (1; 0; –2) és B (1; 2; –4) pontokon átmenő egyenesre!

Jegyzet: Lásd a 3.3. pont 1. példájának megoldását.

Válasz: A)
b)

23. Készítsen kanonikus és parametrikus egyenleteket két x – 2y +3z – 4 = 0 és 3x + 2y – 5z – 4 = 0 sík metszéspontjaként definiált egyenesre!

Jegyzet: Lásd az 1. példa 3.4. bekezdését. Legyen z = 0, majd a pont x és y koordinátái
a rendszer megoldásából azt találjuk

Ezért a lényeg
, amely a kívánt vonalon fekszik, koordinátái vannak

(2; –1; 0). Megtalálni a kívánt egyenes irányvektorát a síkok általános egyenleteiből
x – 2y +3z – 4 = 0 és
3x + 2y – 5z – 4 = 0

megtalálni a normálvektorokat =(1; –2; 3) és
=(3; 2; –5).

Megtaláljuk egy pontból kiinduló egyenes kanonikus egyenleteit
(2; –1; 0) és az irányvektor

(Lásd a (3.1.1) képletet).

Egy egyenes paraméteres egyenlete megtalálható a (3.2.1) képlet segítségével vagy a kanonikus egyenletekből:
Nekünk van:

B (2; 3; –1) párhuzamos az oz tengellyel.:
;
.

24. A ponton keresztül
(2; –3; –4) rajzoljon a vonallal párhuzamos egyenest

.

Jegyzet: A kívánt egyenes kanonikus egyenletei keressük pont szerint
és irányvektor Mert
majd az irányvektorhoz egyenes irányvektort vehet fel egyenes L. Ezután lásd a 23. feladat megoldását, 5. bekezdés, vagy az 1. példa 3.4. bekezdését.

B (2; 3; –1) párhuzamos az oz tengellyel.:

25. Adott A (–5; 7; 1), B (2; 4; –1) és C (–1; 3; 5) háromszög csúcsok. Határozzuk meg az ABC háromszög B csúcsból húzott mediánjának egyenletét!

Jegyzet: Az M pont koordinátáit az AM = MC feltételből találjuk meg (BM az ABC háromszög mediánja).

VAL VEL Hagyjuk meg a BM egyenes kanonikus egyenleteit két B pontra (2; 4; –1) és
(Lásd az 1. példa 3.3. bekezdését).

B (2; 3; –1) párhuzamos az oz tengellyel.:

26. Készítsen kanonikus és parametrikus egyenleteket egy ponton átmenő egyenesről!
(–1; –2; 2) párhuzamos az ökör tengellyel.

Jegyzet: b) yoz;
– az egységvektor axisox párhuzamos a kívánt egyenessel. Ezért felfogható az egyenes irányító vektorának
= (1; 0; 0). Állítsuk össze egy pontból kiinduló egyenes egyenleteit

(–1; –2: 2) és vektor = (1; 0; 0) (lásd a példa 3.1. bekezdését és az 1. példa, a 3.2. bekezdés).

B (2; 3; –1) párhuzamos az oz tengellyel.:
;

27. Készítsen kanonikus egyenleteket egy ponton átmenő egyenesről!
(3; –2; 4) merőleges az 5x + 3y – 7z + 1 = 0 síkra.

Jegyzet: A sík általános egyenletéből
5x + 3y – 7z + 1 = 0 keresse meg a normálvektort = (5; 3; –7). A feltételnek megfelelően a szükséges egyenes
ezért a vektor
azok. vektor az L egyenes irányvektora: = (5; 3; –7). Egy pontból egyenes vonal kanonikus egyenleteit állítjuk össze
(3; –2; 4) és az irányvektor

= (5; 3; –7). (Lásd a 3.1. példát).

B (2; 3; –1) párhuzamos az oz tengellyel.:

28. Alkossunk paraméteres egyenleteket az origóból a síkra ejtett merőlegesre 4x – y + 2z – 3 = 0!

Jegyzet: Készítsünk egyenletet a kívánt merőlegesre, pl. a síkra merőleges egyenes
4x – y + 2z – 3 = 0 és az O ponton áthaladva (0; 0; 0). (Lásd a 27. feladat megoldásának 5. bekezdését és az 1. példa 3.2. bekezdését).

Válasz:

29. Keresse meg egy egyenes metszéspontját!
és repülőgépek

x – 2y + z – 15 = 0.

Jegyzet: Egy egyenes metszéspontjának M pontjának megtalálása

L:
és repülőgépek

x – 2y + z – 15 = 0, meg kell oldanunk az egyenletrendszert:

;

A rendszer megoldásához az egyenes kanonikus egyenleteit paraméteres egyenletekre alakítjuk át. (Lásd a 23. feladat 5. bekezdését).

B (2; 3; –1) párhuzamos az oz tengellyel.:

30. Határozzuk meg az M (4; –3; 1) pont vetületét az x + 2y – z – 3 = 0 síkra!

Jegyzet: Az M pont síkra vetítése P pont - p pont lesz az M pontból egy síkra ejtett merőleges metszéspontja
és laposság Állítsuk össze a merőleges MR paraméteres egyenleteit (Lásd a 28. feladat megoldását, 5. pont).

Keressük meg a P pontot - az MR egyenes és a sík metszéspontját (Lásd a 29. feladat megoldását, 5. pont).

Válasz:

31. Határozza meg az A(1; 2; 1) pont vetületét az egyenesre!

Jegyzet: Az A pont vetítése az L egyenesre:
a t pont B az L egyenes és a sík metszéspontja
amely átmegy az A ponton és merőleges az L egyenesre. Az L egyenes kanonikus egyenleteiből írjuk ki az irányvektort =(3; –1; 2). Repülőgép merőleges az L egyenesre, ezért
Tehát a vektor felvehetjük a sík normálvektorának
= (3; –1; 2). Hozzuk létre a sík egyenletét az A(1; 2; 1) pontban és = (3; –1; 2) (lásd az 1. példa 2.2. bekezdését):
3 (x – 1) – 1 (y – 2) + 2 (z – 1) = 0

3x – y + 2z – 3 = 0. Keresse meg egy egyenes és egy sík metszéspontjának B pontját (lásd a 29. feladat 5. bekezdését):

B (2; 3; –1) párhuzamos az oz tengellyel.:

32. Az M (3; –1; 0) ponton keresztül húzz két x – y + z – 3 = 0 és x + y + 2z – 3 = 0 síkkal párhuzamos egyenest.

Jegyzet: Repülőgépek
x – y + z – 3 = 0 és
x + y + 2z – 3 = 0 nem párhuzamosak, mert A (2.5.1) feltétel nem teljesül:
Repülőgépek
metszik egymást. A szükséges L egyenes, párhuzamos a síkokkal
párhuzamos e síkok metszésvonalával. (Lásd a 24. és 23. feladat megoldását, 5. bekezdés).

B (2; 3; –1) párhuzamos az oz tengellyel.:

33. Írjon egyenletet két egyenesen átmenő síkra!

Jegyzet:1 út. Állítsuk össze a kívánt sík egyenletét pont szerint
, az egyenes vonalon fekve , és a normálvektor . Vektor egyenlő lesz az egyenesek irányvektorainak vektorszorzatával
, amelyet az egyenesek kanonikus egyenleteiből találunk meg
(3.1.1. képlet): = (7; 3; 5) és

= (5; 5; –3)

Pont koordinátái
az egyenes kanonikus egyenleteiből megtaláljuk

Összeállítjuk a sík egyenletét pont szerint
és a normálvektor =(–34; 46; 20) (lásd 1. példa, 2.2. bekezdés)
17x – 23y – 10z + 36 = 0.

2. módszer. Irányvektorok keresése = (7; 3; 5) és = (5; 5; –3) az egyenesek kanonikus egyenleteiből
Pont
(0; 2; –1) található az egyenletből

. Vegyünk egy tetszőleges pontot a síkon

M(x;y;z). Vektorok
- egy síkban vannak, ezért
Ebből a feltételből megkapjuk a sík egyenletét:

B (2; 3; –1) párhuzamos az oz tengellyel.: 17x – 23y – 10z +36 = 0.

34. Írjon egyenletet egy ponton átmenő síkra!
(2; 0; 1) és egyenes

Jegyzet: Először is győződjünk meg a lényegről
ezen az egyenesen sövények:
Pont
és irányvektor az egyenes kanonikus egyenleteiből megtaláljuk
:
(1; –1; –1) és

= (1; 2; –1). A kívánt sík normálvektora
Megtaláljuk a normálvektor koordinátáit a koordináták ismeretében =(1; 2; –1) és

= (1; 1; 2):

Egy pontból alkotjuk meg a sík egyenletét
(2; 0; 1) és normálvektor = (–5; 3; 1):

–5 (x – 2) + 3 (y – 0) + 1 (z – 1) = 0.

B (2; 3; –1) párhuzamos az oz tengellyel.: 5x – 3y – z – 9 = 0.

Különféle módon megadható (egy pont és egy vektor, két pont és egy vektor, három pont stb.). Ezt figyelembe véve a síkegyenletnek különböző formái lehetnek. Ezenkívül bizonyos feltételek mellett a síkok lehetnek párhuzamosak, merőlegesek, metszőek stb. Ebben a cikkben erről fogunk beszélni. Megtanuljuk, hogyan lehet általános síkegyenletet létrehozni és így tovább.

Az egyenlet normál alakja

Tegyük fel, hogy van egy R 3 tér, amelynek téglalap alakú XYZ koordinátarendszere van. Határozzuk meg az α vektort, amely felszabadul az O kezdőpontból. Az α vektor végén át rajzolunk egy P síkot, amely merőleges lesz rá.

Jelöljünk egy tetszőleges pontot P-n Q = (x, y, z) alakban. Jelöljük a Q pont sugárvektorát p betűvel. Ebben az esetben az α vektor hossza egyenlő р=IαI és Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).

Ez egy oldalra irányított egységvektor, mint az α vektor. α, β és γ azok a szögek, amelyek az Ʋ vektor és az x, y, z tértengelyek pozitív irányai között alakulnak ki. Bármely QϵП pont vetülete az Ʋ vektorra egy állandó érték, amely egyenlő p-vel: (p,Ʋ) = p(p≥0).

A fenti egyenletnek akkor van értelme, ha p=0. Csak az a helyzet, hogy a P sík ebben az esetben metszi a koordináták origójának számító O pontot (α = 0), és az O pontból felszabaduló Ʋ egységvektor iránya ellenére merőleges lesz P-re, ami azt jelenti, hogy az Ʋ vektor előjel pontossággal van meghatározva. Az előző egyenlet a P sík egyenlete, vektor alakban kifejezve. De koordinátákban ez így fog kinézni:

P itt nagyobb vagy egyenlő, mint 0. Megtaláltuk a térbeli sík egyenletét normál alakban.

Általános egyenlet

Ha a koordinátákban megadott egyenletet megszorozzuk bármely olyan számmal, amely nem egyenlő nullával, akkor ezzel egyenértékű egyenletet kapunk, amely pontosan azt a síkot határozza meg. Így fog kinézni:

Itt A, B, C olyan számok, amelyek egyszerre különböznek a nullától. Ezt az egyenletet általános síkegyenletnek nevezzük.

Síkok egyenletei. Különleges esetek

Az egyenlet általános formában módosítható további feltételek fennállása esetén. Nézzünk meg néhányat közülük.

Tegyük fel, hogy A együttható 0. Ez azt jelenti, hogy ez a sík párhuzamos az adott Ox tengellyel. Ebben az esetben az egyenlet alakja megváltozik: Ву+Cz+D=0.

Hasonlóképpen, az egyenlet alakja megváltozik a következő feltételek mellett:

• Először is, ha B = 0, akkor az egyenlet Ax + Cz + D = 0-ra változik, ami az Oy tengellyel való párhuzamosságot jelzi.
• Másodszor, ha C=0, akkor az egyenlet Ax+By+D=0-ra transzformálódik, ami az adott Oz tengellyel való párhuzamosságot jelzi.
• Harmadszor, ha D=0, az egyenlet így fog kinézni: Ax+By+Cz=0, ami azt jelenti, hogy a sík metszi az O-t (az origót).
• Negyedszer, ha A=B=0, akkor az egyenlet Cz+D=0-ra változik, ami párhuzamosnak bizonyul Oxy-val.
• Ötödször, ha B=C=0, akkor az egyenlet Ax+D=0 lesz, ami azt jelenti, hogy az Oyz síkja párhuzamos.
• Hatodszor, ha A=C=0, akkor az egyenlet Ву+D=0 alakot vesz fel, azaz párhuzamosságot jelent Oxz-nek.

Az egyenlet típusa szegmensekben

Abban az esetben, ha az A, B, C, D számok különböznek nullától, a (0) egyenlet alakja a következő lehet:

x/a + y/b + z/c = 1,

amelyben a = -D/A, b = -D/B, c = -D/C.

Eredményként azt kapjuk, hogy ez a sík egy pontban metszi az Ox tengelyt (a,0,0), Oy - (0,b,0) és Oz - (0,0,c). ).

Az x/a + y/b + z/c = 1 egyenletet figyelembe véve nem nehéz vizuálisan elképzelni a sík adott koordinátarendszerhez viszonyított elhelyezkedését.

Normál vektor koordináták

A P síkra vonatkozó n normálvektornak olyan koordinátái vannak, amelyek ennek a síknak az általános egyenletének együtthatói, azaz n (A, B, C).

A normál n koordinátáinak meghatározásához elegendő egy adott sík általános egyenletének ismerete.

Ha egy egyenletet szegmensekben használunk, amelynek alakja x/a + y/b + z/c = 1, mint az általános egyenletnél, akkor egy adott sík bármely normálvektorának koordinátáit felírhatjuk: (1/a + 1/b + 1/ -val).

Érdemes megjegyezni, hogy a normálvektor számos probléma megoldásában segít. A leggyakoribbak a síkok merőlegességének vagy párhuzamosságának bizonyításával kapcsolatos problémák, a síkok közötti szögek vagy a síkok és egyenesek közötti szögek megállapításának problémái.

A síkegyenlet típusa a pont és a normálvektor koordinátái szerint

Egy adott síkra merőleges, nullától eltérő n vektort egy adott síkra normálisnak nevezzük.

Tegyük fel, hogy a koordinátatérben (téglalap koordinátarendszerben) az Oxyz adottak:

• Mₒ pont koordinátákkal (xₒ,yₒ,zₒ);
• nulla vektor n=A*i+B*j+C*k.

Létre kell hozni egy egyenletet egy síkra, amely átmegy az Mₒ ponton, amely merőleges az n-re.

Kiválasztjuk a tér tetszőleges pontját és jelöljük M (x y, z). Legyen bármely M (x,y,z) pont sugárvektora r=x*i+y*j+z*k, az Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) pont sugárvektora pedig - rₒ=xₒ* i+yₒ *j+zₒ*k. Az M pont egy adott síkhoz fog tartozni, ha az MₒM vektor merőleges az n vektorra. Írjuk fel az ortogonalitási feltételt a skalárszorzat segítségével:

[MₒM, n] = 0.

Mivel MₒM = r-rₒ, a sík vektoregyenlete így fog kinézni:

Ennek az egyenletnek más alakja is lehet. Ehhez a skaláris szorzat tulajdonságait használjuk, és az egyenlet bal oldalát transzformáljuk.

= - . Ha c-vel jelöljük, a következő egyenletet kapjuk: - c = 0 vagy = c, amely a síkhoz tartozó adott pontok sugárvektorainak normálvektorára való vetületek állandóságát fejezi ki.

Most megkaphatjuk a sík = 0 vektoregyenletének koordinátaformáját. Mivel r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k, és n = A*i+B *j+С*k:

Kiderült, hogy van egy egyenletünk a normál n-re merőleges ponton átmenő síkra:

A*(x-xₒ)+B*(y-yₒ)C*(z-zₒ)=0.

A síkegyenlet típusa két pont koordinátái szerint és egy, a síkkal kollineáris vektor

Most létrehozhatunk egy egyenletet egy adott síkra, amely átmegy a meglévő M′ és M″ pontokon, valamint bármely olyan M ponton, amelynek koordinátái (x, y, z) párhuzamosak az adott a vektorral.

Ebben az esetben az M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) és M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) vektoroknak egy síkban kell lenniük a vektorral a=(a′,a″,a‴), ami azt jelenti, hogy (M′M, M″M, a)=0.

Tehát a térbeli síkegyenletünk így fog kinézni:

Három pontot metsző sík egyenletének típusa

Tegyük fel, hogy három pontunk van: (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴), amelyek nem tartoznak ugyanabba az egyenesbe. Fel kell írni egy adott három ponton áthaladó sík egyenletét. A geometria elmélete azt állítja, hogy ez a fajta sík valóban létezik, de ez az egyetlen és egyedülálló. Mivel ez a sík metszi az (x′,y′,z′ pontot), az egyenlet alakja a következő lesz:

Itt A, B, C egyszerre különbözik a nullától. Ezenkívül az adott sík még két pontot metsz: (x″,y″,z″) és (x‴,y‴,z‴). E tekintetben a következő feltételeknek kell teljesülniük:

Most létrehozhatunk egy homogén rendszert u, v, w ismeretlenekkel:

Esetünkben x, y vagy z tetszőleges pont, amely kielégíti az (1) egyenletet. Adott az (1) egyenlet és a (2) és (3) egyenletrendszer, a fenti ábrán látható egyenletrendszert az N (A,B,C) vektor teljesíti, amely nem triviális. Ezért ennek a rendszernek a determinánsa nulla.

Az általunk kapott (1) egyenlet a sík egyenlete. Pontosan 3 ponton megy át, és ez könnyen ellenőrizhető. Ehhez ki kell terjesztenünk a determinánsunkat az első sor elemeire. A determináns meglévő tulajdonságaiból következik, hogy síkunk egyszerre metszi három kezdetben megadott pontot (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) . Azaz megoldottuk a ránk bízott feladatot.

Kétszögű síkok közötti szög

A diéderszög egy térbeli geometriai alakzat, amelyet két félsík alkot, amelyek egy egyenesből erednek. Más szóval, ez az a térrész, amelyet ezek a félsíkok korlátoznak.

Tegyük fel, hogy van két síkunk a következő egyenletekkel:

Tudjuk, hogy az N=(A,B,C) és N¹=(A¹,B1,C1) vektorok merőlegesek az adott síkra. Ebben a tekintetben az N és N¹ vektorok közötti φ szög egyenlő azzal a szöggel (diéder), amely e síkok között helyezkedik el. A skaláris szorzat alakja a következő:

NN¹=|N||N¹|cos φ,

pontosan azért

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).

Elég figyelembe venni, hogy 0≤φ≤π.

Valójában két metsző sík két szöget (diédert) alkot: φ 1 és φ 2. Összegük egyenlő π-vel (φ 1 + φ 2 = π). A koszinuszukat illetően abszolút értékük egyenlő, de előjelben különböznek, azaz cos φ 1 = -cos φ 2. Ha a (0) egyenletben A, B és C helyére -A, -B és -C számokat cserélünk, akkor a kapott egyenlet ugyanazt a síkot fogja meghatározni, az egyetlen, a cos egyenletben a φ szöget. φ= NN 1 /| N||N 1 | helyébe π-φ kerül.

Egy merőleges sík egyenlete

Azokat a síkokat, amelyek között a szög 90 fokos, merőlegesnek nevezzük. A fent bemutatott anyagot felhasználva megtalálhatjuk egy másikra merőleges sík egyenletét. Tegyük fel, hogy két síkunk van: Ax+By+Cz+D=0 és A¹x+B¹y+C¹z+D=0. Azt mondhatjuk, hogy merőlegesek lesznek, ha cosφ=0. Ez azt jelenti, hogy NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0.

Párhuzamos sík egyenlet

Két olyan síkot, amelyek nem tartalmaznak közös pontokat, párhuzamosnak nevezzük.

A feltétel (egyenleteik megegyeznek az előző bekezdésben leírtakkal), hogy a rájuk merőleges N és N¹ vektorok kollineárisak. Ez azt jelenti, hogy az alábbi arányossági feltételek teljesülnek:

A/A1=B/B1=C/C1.

Ha az arányossági feltételeket kiterjesztjük - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,

ez azt jelzi, hogy ezek a síkok egybeesnek. Ez azt jelenti, hogy az Ax+By+Cz+D=0 és az A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 egyenletek egy síkot írnak le.

Távolság a síktól a ponttól

Tegyük fel, hogy van egy P sík, amelyet a (0) egyenlet ad meg. Meg kell találni a távolságot egy ponttól, amelynek koordinátái (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ. Ehhez normál alakba kell hoznia a P sík egyenletét:

(ρ,v)=р (р≥0).

Ebben az esetben ρ (x,y,z) a P-n elhelyezkedő Q pontunk sugárvektora, p a nullapontból kioldott P merőleges hossza, v az egységvektor, amely az irány a.

Valamely P-hez tartozó Q = (x, y, z) pont ρ-ρº sugárvektora, valamint egy adott Q 0 = (xₒ, уₒ, zₒ) pont sugárvektora olyan vektor, amelynek v-re vetületének abszolút értéke egyenlő azzal a d távolsággal, amelyet Q 0 = (xₒ,уₒ,zₒ) és P között meg kell találni:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, de

(ρ-ρ 0,v)= (ρ,v)-(ρ 0,v) =р-(ρ 0,v).

Szóval kiderül

d=|(ρ 0,v)-р|.

Így meg fogjuk találni az eredményül kapott kifejezés abszolút értékét, vagyis a kívánt d-t.

A paraméternyelv használatával a következőt kapjuk:

d=|Ахₒ+Вуₒ+Czₒ|/√(А²+В²+С²).

Ha egy adott Q 0 pont a P sík másik oldalán van, mint a koordináták origója, akkor a ρ-ρ 0 és v vektor között tehát van:

d=-(ρ-ρ 0,v)=(ρ 0,v)-р>0.

Abban az esetben, ha a Q 0 pont a koordináták origójával együtt P ugyanazon az oldalán található, akkor a létrehozott szög hegyesszögű, azaz:

d=(ρ-ρ 0,v)=р - (ρ 0, v)>0.

Ennek eredményeként kiderül, hogy az első esetben (ρ 0 ,v)>р, a másodikban (ρ 0 ,v)<р.

Érintősík és egyenlete

A felület érintési síkja az Mº érintkezési pontban egy olyan sík, amely tartalmazza a felület ezen pontján keresztül rajzolt görbék összes lehetséges érintőjét.

Az ilyen típusú F(x,y,z)=0 felületi egyenletnél az érintősík egyenlete az Mº(xº,yº,zº) érintőpontban így fog kinézni:

F x (xº,yº,zº)(x-xº)+ F x (xº, yº, zº)(y-yº)+ F x (xº, yº,zº)(z-zº)=0.

Ha a felületet explicit formában z=f (x,y) adjuk meg, akkor az érintősíkot a következő egyenlet írja le:

z-zº =f(xº,yº)(x-xº)+f(xº,yº)(y-yº).

Két sík metszéspontja

A koordinátarendszerben (téglalap alakú) Oxyz található, két П′ és П″ sík adott, amelyek metszik egymást és nem esnek egybe. Mivel a téglalap alakú koordinátarendszerben található bármely síkot egy általános egyenlet határozza meg, feltételezzük, hogy P′ és P″ az A′x+B′y+C′z+D′=0 és A″x egyenletek alapján. +B″y+ С″z+D″=0. Ebben az esetben a P′ sík normál n′ (A′,B′,C′), a P″ sík normál n″ (A″,B″,C″) értéke van. Mivel síkjaink nem párhuzamosak és nem esnek egybe, ezek a vektorok nem kollineárisak. Ezt a feltételt a matematika nyelvén a következőképpen írhatjuk fel: n′≠ n″ ↔ (A′,B′,C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. A P′ és P″ metszéspontjában lévő egyenest jelöljük a betűvel, ebben az esetben a = P′ ∩ P″.

a egy egyenes, amely a (közös) P′ és P″ síkok összes pontjának halmazából áll. Ez azt jelenti, hogy az a egyeneshez tartozó bármely pont koordinátáinak egyidejűleg teljesíteniük kell az A′x+B′y+C′z+D′=0 és az A″x+B″y+C″z+D″=0 egyenletet. . Ez azt jelenti, hogy a pont koordinátái a következő egyenletrendszer részmegoldásai lesznek:

Ennek eredményeként kiderül, hogy ennek az egyenletrendszernek az (általános) megoldása meghatározza a P′ és P″ metszéspontjaként működő egyenes minden pontjának koordinátáit, és meghatározza az egyenest. a az Oxyz (téglalap alakú) koordinátarendszerben a térben.

Egy sík egyenlete. Hogyan írjunk fel egy sík egyenletet?
A síkok kölcsönös elrendezése. Feladatok

A térgeometria nem sokkal bonyolultabb, mint a „lapos” geometria, és ezzel a cikkel kezdődnek az űrbeli repüléseink. A téma elsajátításához jól kell értened vektorok, ezen kívül célszerű tisztában lenni a sík geometriájával - sok hasonlóság, sok analógia lesz, így sokkal jobban megemészthető az információ. Leckeim sorozatában a 2D-s világ egy cikkel nyit Egyenlet egy síkon. De most Batman elhagyta a lapos TV képernyőjét, és a Bajkonuri kozmodromról indul.

Kezdjük rajzokkal és szimbólumokkal. Sematikusan a síkot paralelogramma formájában is megrajzolhatjuk, ami a tér benyomását kelti:

A sík végtelen, de csak egy darabját van lehetőségünk ábrázolni. A gyakorlatban a paralelogramma mellett egy ovális vagy akár egy felhő is rajzolódik. Technikai okokból számomra kényelmesebb pontosan így és pontosan ebben a helyzetben ábrázolni a gépet. A valódi síkok, amelyeket a gyakorlati példákban figyelembe veszünk, bármilyen módon elhelyezhetők - gondolatban vegye a rajzot a kezébe, és forgassa el a térben, így a sík bármilyen dőlést, bármilyen szöget biztosít.

Megnevezések: a síkokat általában kis görög betűkkel jelölik, látszólag azért, hogy ne tévessze össze őket egyenes vonal egy síkon vagy azzal egyenes vonal a térben. Megszoktam a betű használatát. A rajzon a „szigma” betű látható, és egyáltalán nem lyuk. Bár a lyukas repülőgép minden bizonnyal elég vicces.

Egyes esetekben célszerű ugyanazokat a görög betűket alsó indexekkel használni a síkok megjelölésére, például .

Nyilvánvaló, hogy a síkot három különböző pont határozza meg egyértelműen, amelyek nem ugyanazon az egyenesen helyezkednek el. Ezért a repülőgépek hárombetűs jelölései meglehetősen népszerűek - például a hozzájuk tartozó pontok szerint stb. A betűket gyakran zárójelek közé teszik, hogy ne keverjék össze a síkot egy másik geometriai alakzattal.

Gyakorlott olvasóknak ajánlom gyors hozzáférésű menü:

• Hogyan készítsünk sík egyenletét egy pont és két vektor felhasználásával?
• Hogyan készítsünk sík egyenletét egy pont és egy normálvektor segítségével?

és nem fogunk sokáig várni:

Általános sík egyenlet

A sík általános egyenlete alakja , ahol az együtthatók nem egyenlők nullával egyszerre.

Számos elméleti számítás és gyakorlati probléma érvényes mind a szokásos ortonormális, mind a tér affin bázisára (ha az olaj olaj, térjünk vissza a leckéhez A vektorok lineáris (nem) függése. A vektorok alapja). Az egyszerűség kedvéért feltételezzük, hogy minden esemény ortonormális alapon és derékszögű derékszögű koordinátarendszerben történik.

Most gyakoroljuk egy kicsit a térbeli képzeletünket. Nem baj, ha a tied rossz, most fejlesztjük egy kicsit. Még az idegeken való játék is edzést igényel.

A legáltalánosabb esetben, amikor a számok nem egyenlőek nullával, a sík mindhárom koordinátatengelyt metszi. Például így:

Még egyszer megismétlem, hogy a sík minden irányban a végtelenségig folytatódik, és ennek csak egy részét van lehetőségünk ábrázolni.

Tekintsük a síkok legegyszerűbb egyenleteit:

Hogyan kell megérteni ezt az egyenletet? Gondoljon bele: „Z” MINDIG nulla, „X” és „Y” bármely értéke esetén. Ez a "natív" koordinátasík egyenlete. Valójában formálisan az egyenlet a következőképpen írható át: , ahonnan jól látható, hogy nekünk nem mindegy, hogy „x” és „y” milyen értékeket vesz fel, fontos, hogy „z” egyenlő legyen nullával.

Hasonlóképpen:
– a koordinátasík egyenlete;
– a koordinátasík egyenlete.

Bonyolítsuk egy kicsit a problémát, tekintsünk egy síkot (itt és a továbbiakban a bekezdésben feltételezzük, hogy a numerikus együtthatók nem egyenlők nullával). Írjuk át az egyenletet a következő alakba: . Hogyan kell értenünk? Az „X” MINDIG, „Y” és „Z” bármely értéke esetén egy bizonyos számmal egyenlő. Ez a sík párhuzamos a koordinátasíkkal. Például egy sík párhuzamos egy síkkal, és áthalad egy ponton.

Hasonlóképpen:
– a koordinátasíkkal párhuzamos sík egyenlete;
– a koordinátasíkkal párhuzamos sík egyenlete.

Adjunk hozzá tagokat: . Az egyenlet a következőképpen írható át: , azaz a „zet” bármi lehet. Mit jelent? Az „X” és az „Y” összefüggést köti össze, amely egy bizonyos egyenest húz a síkban (megtudhatja egy síkban lévő egyenes egyenlete?). Mivel a „z” tetszőleges lehet, ez az egyenes bármely magasságban „megismétlődik”. Így az egyenlet a koordinátatengellyel párhuzamos síkot határoz meg

Hasonlóképpen:
– a koordinátatengellyel párhuzamos sík egyenlete;
– a koordinátatengellyel párhuzamos sík egyenlete.

Ha a szabad tagok nullák, akkor a síkok közvetlenül áthaladnak a megfelelő tengelyeken. Például a klasszikus „egyenes arányosság”: . Rajzolj egy egyenest a síkban, és gondolatban szorozd fel és le (mivel a „Z” tetszőleges). Következtetés: az egyenlet által meghatározott sík átmegy a koordinátatengelyen.

Befejezzük az áttekintést: a sík egyenlete áthalad az origón. Nos, itt teljesen nyilvánvaló, hogy a pont kielégíti ezt az egyenletet.

És végül a rajzon látható eset: – a sík minden koordinátatengellyel barátkozik, miközben mindig „levág” egy háromszöget, amely a nyolc oktáns bármelyikében elhelyezhető.

Lineáris egyenlőtlenségek a térben

Az információk megértéséhez jól kell tanulnia lineáris egyenlőtlenségek a síkban, mert sok minden hasonló lesz. A bekezdés rövid áttekintő jellegű lesz, számos példával, mivel az anyag a gyakorlatban meglehetősen ritka.

Ha az egyenlet síkot határoz meg, akkor az egyenlőtlenségeket
kérdez félszóközök. Ha az egyenlőtlenség nem szigorú (a lista utolsó kettője), akkor az egyenlőtlenség megoldása a féltér mellett magában foglalja magát a síkot is.

5. példa

Keresse meg a sík egységnyi normálvektorát! .

Megoldás: Az egységvektor olyan vektor, amelynek hossza egy. Jelöljük ezt a vektort -vel. Teljesen világos, hogy a vektorok kollineárisak:

Először eltávolítjuk a normálvektort a sík egyenletéből: .

Hogyan találhatunk egységvektort? Az egységvektor megtalálásához szüksége van minden osztjuk a vektor koordinátáját a vektor hosszával.

Írjuk át a normálvektort a formába, és keressük meg a hosszát:

A fentiek szerint:

B (2; 3; –1) párhuzamos az oz tengellyel.:

Ellenőrzés: amit ellenőrizni kellett.

Azok az olvasók, akik figyelmesen tanulmányozták a lecke utolsó bekezdését, valószínűleg észrevették ezt az egységvektor koordinátái pontosan a vektor iránykoszinuszai:

Tartsunk egy kis szünetet az aktuális problémától: amikor egy tetszőleges nem nulla vektort kapsz, és a feltételnek megfelelően meg kell találni az iránykoszinuszait (lásd a lecke utolsó feladatait Vektorok pontszorzata), akkor valójában talál egy ehhez kollineáris egységvektort. Tulajdonképpen két feladat egy üvegben.

Az egységnyi normálvektor megtalálásának szükségessége a matematikai elemzés egyes problémáinál felmerül.

Kitaláltuk, hogyan lehet kihalászni egy normál vektort, most válaszoljunk az ellenkező kérdésre:

Hogyan készítsünk sík egyenletét egy pont és egy normálvektor segítségével?

A normálvektor és egy pont ezen merev konstrukciója jól ismert a darts számára. Kérjük, nyújtsa előre a kezét, és mentálisan válasszon egy tetszőleges pontot a térben, például egy kis macskát a kredencben. Nyilvánvaló, hogy ezen a ponton keresztül egyetlen, a kezére merőleges síkot rajzolhat.

A vektorra merőleges ponton átmenő sík egyenletét a következő képlet fejezi ki:

Az M 1, M 2, M 3 pontok ne feküdjenek ugyanazon az egyenesen. Mint ismeretes, három ilyen pont egyedileg határoz meg egy bizonyos p síkot (199. ábra).

Vezessük le a sík egyenletét R. Legyen M tetszőleges pont a térben. Nyilvánvaló, hogy az M pont a síkhoz tartozik R akkor és csak akkor, ha a vektorok

\(\overrightarrow(M_(1)M)\), \(\overrightarrow(M_(1)M_2)\), \(\overrightarrow(M_(1)M_3)\) egysíkúak. Három vektor egysíkúságának szükséges és elégséges feltétele, hogy vegyes szorzatuk nullával egyenlő (23. §, 2. Tétel). Ezért a három olyan ponton átmenő sík egyenlete, amelyek nem esnek ugyanazon az egyenesen, a következőképpen írhatók fel:

(\(\overrightarrow(M_(1)M)\), \(\overrightarrow(M_(1)M_2)\), \(\overrightarrow(M_(1)M_3)\)) = 0. (1)

Ha az M 1, M 2 és M 3 pontokat valamilyen derékszögű derékszögű koordinátarendszerben koordináták adják, akkor az (1) egyenlet koordinátákkal írható fel.

Legyen M 1 ( x 1 ; y 1 ; z 1), M 2 ( x 2 ; nál nél 2 ; z 2), M 3 ( x 3 ; nál nél 3 ; z 3) - pontadatok. Jelöljük a p síkon egy tetszőleges M pont koordinátáit x, yÉs z. Keressük meg az (1) egyenletben szereplő vektorok koordinátáit:

\(\overrightarrow(M_(1)M)\) = ( x - x 1 ; y - y 1 ; z Z 1),

\(\overrightarrow(M_(1)M_2)\) = ( x 2 -x 1 ; y 2 -y 1 ; z 2 - z 1),

\(\overrightarrow(M_(1)M_3)\) = ( x 3 -x 1 ; nál nél 3 -y 1 ; z 3 - z 1).

Három vektor vegyes szorzata egyenlő a harmadrendű determinánssal, amelynek sorai a vektorok koordinátáit tartalmazzák. Ezért a koordinátákban szereplő (1) egyenlet alakja

$$ \begin(vmátrix) x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \end(vmátrix)= 0 \;\; (2)$$

Határozzuk meg egy három A ponton átmenő sík egyenletét ( A; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; Val vel), melyik A =/= 0, b =/= 0, c=/= 0. Ezek a pontok a koordinátatengelyeken fekszenek (200. ábra).

Feltételezve a (2) egyenletben x 1 = A, nál nél 1 = 0, z 1 = 0, x 2 = 0, nál nél 2 = b, z 2 = 0, x 3 = 0, nál nél 3 = 0, z 3 = Val vel, kapunk

$$ \begin(vmátrix) x-a & y & z \\ -a & b & 0 \\ -a & 0 & c \end(vmátrix)=0 $$

A determinánst kiterjesztve az első sor elemeire, megkapjuk az egyenletet

időszámításunk előtt(x - a) + acy + abz = 0

bcx + asu + abz = abc,

x / a + y / b + z / c = 1. (3)

A (3) egyenletet nevezzük a sík egyenlete szakaszokban, hiszen a számok a, bÉs Val vel jelölje meg, hogy a sík mely szakaszokat vágja le a koordinátatengelyeken.

Feladat.Írja fel az M 1 (-1; 4; -1), M 2 (-13; 2; -10), M 3 (6; 0; 12) pontokon átmenő sík egyenletét! Egyszerűsítse a kapott egyenletet. Kapjuk meg egy adott sík egyenletét szegmensekben!

A (2) egyenlet ebben az esetben a következőképpen írható:

$$ \begin(vmátrix) x+1 & y-4 & z+1 \\ -12 & -2 & -9 \\ 7 & -4 & 13 \end(vmátrix)=0 $$

Ez ennek a síknak az egyenlete. A determinánst az első sor mentén kiterjesztve azt kapjuk, hogy

62(x+ 1) +93(y- 4)+ 62 (z + 1) = 0,

2x + 3y + 2z - 12 = 0.

Ha tagot tagonként osztunk 12-vel, és az egyenlet szabad tagját jobbra mozgatjuk, megkapjuk ennek a síknak az egyenletét szegmensekben.

$$ \frac(x)(-6)+\frac(y)(4)+\frac(z)(6)=1 $$

Az egyenletből jól látható, hogy ez a sík olyan szegmenseket vág le a koordinátatengelyeken, amelyek hossza 6, 4 és 6 tengely Ó metszi a síkot egy negatív abszcissza pontban, a tengelyben OU- pozitív ordinátájú, tengelyű pontban Oz- pozitív jelentkezési ponton.

Egy sík általános egyenletének megszerzéséhez elemezzük az adott ponton áthaladó síkot.

Legyen három számunkra már ismert koordinátatengely a térben - Ökör, OyÉs Oz. Tartsa a papírlapot úgy, hogy az sima maradjon. A sík maga lesz a lap és annak folytatása minden irányban.

Hadd P tetszőleges sík a térben. Minden rá merőleges vektort nevezünk normál vektor erre a síkra. Természetesen nem nulla vektorról beszélünk.

Ha a síkon bármely pont ismert Pés valamilyen normálvektor hozzá, akkor ezzel a két feltétellel a térbeli sík teljesen meghatározott(egy adott ponton keresztül egyetlen, az adott vektorra merőleges síkot rajzolhatunk). A sík általános egyenlete a következő lesz:

Tehát a sík egyenletét meghatározó feltételek a következők. Hogy megszerezd magad sík egyenlet, amelynek a fenti formája, vegye fel a repülőt P tetszőleges pont M változó koordinátákkal x, y, z. Ez a pont csak akkor tartozik a síkhoz vektor merőleges a vektorra(1. ábra). Ehhez a vektorok merőlegességének feltétele szerint szükséges és elegendő, hogy ezeknek a vektoroknak a skaláris szorzata nulla legyen, azaz

A vektort feltétel határozza meg. A képlet segítségével megtaláljuk a vektor koordinátáit :

.

Most a vektorok képletének skaláris szorzatával , a skaláris szorzatot koordináta formában fejezzük ki:

A lényeg óta M(x; y; z) tetszőlegesen van kiválasztva a síkon, akkor az utolsó egyenlet teljesül a síkon lévő bármely pont koordinátáival P. Egy pontért N, nem egy adott síkon fekve, azaz. egyenlőség (1) sérül.

1. példaÍrjon egyenletet egy ponton átmenő és a vektorra merőleges síkra!

Megoldás. Használjuk az (1) képletet, és nézzük meg újra:

Ebben a képletben a számok A , BÉs C vektor koordináták és számok x0 , y0 És z0 - a pont koordinátái.

A számítások nagyon egyszerűek: behelyettesítjük ezeket a számokat a képletbe, és megkapjuk

Mindent megszorozunk, amit szorozni kell, és csak számokat adunk hozzá (amelyek nem tartalmaznak betűket). Eredmény:

.

Ebben a példában a sík szükséges egyenlete egy elsőfokú általános egyenlettel van kifejezve a változó koordinátákhoz képest x, y, z a repülőgép bármely pontján.

Tehát a forma egyenlete

hívott általános sík egyenlet .

2. példa Szerkesszünk meg egy derékszögű derékszögű koordinátarendszerben az egyenlet által megadott síkot .

Megoldás. Egy sík megszerkesztéséhez szükséges és elegendő ismerni bármely három olyan pontját, amelyek nem esnek ugyanazon az egyenesen, például a sík és a koordinátatengelyek metszéspontjait.

Hogyan lehet megtalálni ezeket a pontokat? A tengellyel való metszéspont megtalálása Oz, akkor X-et és Y-t nullákkal kell helyettesíteni a problémafelvetésben megadott egyenletben: x = y= 0. Ezért kapunk z= 6. Így az adott sík metszi a tengelyt Oz azon a ponton A(0; 0; 6) .

Ugyanígy megtaláljuk a sík metszéspontját a tengellyel Oy. Nál nél x = z= 0 kapunk y= −3, vagyis a pont B(0; −3; 0) .

És végül megtaláljuk síkunk metszéspontját a tengellyel Ökör. Nál nél y = z= 0 kapunk x= 2, azaz egy pont C(2; 0; 0) . A megoldásunkban kapott három pont alapján A(0; 0; 6) , B(0; -3; 0) és C(2; 0; 0) megszerkeszti az adott síkot.

Most fontoljuk meg az általános síkegyenlet speciális esetei. Ezek olyan esetek, amikor a (2) egyenlet bizonyos együtthatói nullává válnak.

1. Mikor D= 0 egyenlet egy origón áthaladó síkot határoz meg, mivel a pont koordinátái 0 (0; 0; 0) teljesíti ezt az egyenletet.

2. Mikor A= 0 egyenlet tengellyel párhuzamos síkot határoz meg Ökör, mivel ennek a síknak a normálvektora merőleges a tengelyre Ökör(a tengelyre vetítése Ökör egyenlő nullával). Hasonlóképpen, amikor B= 0 sík a tengellyel párhuzamos Oy, és mikor C= 0 sík a tengellyel párhuzamos Oz.

3. Mikor A=D= A 0 egyenlet a tengelyen átmenő síkot határoz meg Ökör, mivel párhuzamos a tengellyel Ökör (A=D= 0). Hasonlóképpen, a sík áthalad a tengelyen Oy, és a tengelyen átmenő sík Oz.

4. Mikor A=B= A 0 egyenlet a koordinátasíkkal párhuzamos síkot határoz meg xOy, mivel párhuzamos a tengelyekkel Ökör (A= 0) és Oy (B= 0). Hasonlóképpen a sík párhuzamos a síkkal yOz, és a repülőgép az a repülőgép xOz.

5. Mikor A=B=D= 0 egyenlet (vagy z = 0) határozza meg a koordinátasíkot xOy, mivel párhuzamos a síkkal xOy (A=B= 0) és áthalad az origón ( D= 0). Hasonlóképpen, Eq. y= A térben lévő 0 a koordinátasíkot határozza meg xOz, és az egyenlet x = 0 - koordinátasík yOz.

3. példa Hozd létre a sík egyenletét P, áthalad a tengelyen Oyés időszak.

Megoldás. Tehát a sík átmegy a tengelyen Oy. Ezért az ő egyenletében y= 0 és ennek az egyenletnek az alakja . Az együtthatók meghatározásához AÉs C használjuk ki, hogy a pont a síkhoz tartozik P .

Ezért a koordinátái között vannak olyanok, amelyek behelyettesíthetők az általunk már levezetett síkegyenletbe (). Nézzük újra a pont koordinátáit:

M0 (2; −4; 3) .

Közöttük x = 2 , z= 3. Behelyettesítjük őket az általános egyenletbe, és megkapjuk az egyenletet a konkrét esetünkre:

2A + 3C = 0 .

hagyjuk a 2 A az egyenlet bal oldalán mozgassa a 3-at C a jobb oldalra és megkapjuk

A = −1,5C .

A talált érték behelyettesítése A az egyenletbe, megkapjuk

vagy .

Ez a példafeltételben megkövetelt egyenlet.

Oldja meg saját maga a síkegyenlet feladatát, majd nézze meg a megoldást

4. példa Határozzon meg egy síkot (vagy síkokat, ha egynél több) a koordinátatengelyekhez vagy a koordinátasíkhoz képest, ha a sík(oka)t az egyenlet adja meg.

A tesztek során fellépő tipikus problémák megoldása a „Sík problémák: párhuzamosság, merőlegesség, három sík egy pontban történő metszéspontja” című tankönyvben található.

Három ponton áthaladó sík egyenlete

Mint már említettük, a sík megalkotásának szükséges és elégséges feltétele egy ponton és a normálvektoron kívül három olyan pont is, amelyek nem egy egyenesen helyezkednek el.

Legyen megadva három különböző pont , és , amelyek nem ugyanazon a vonalon fekszenek. Mivel a jelzett három pont nem ugyanazon az egyenesen fekszik, a vektorok nem kollineárisak, ezért a sík bármely pontja egy síkban van a pontokkal, és csak akkor, ha a vektorok , és egysíkú, azaz akkor és csak akkor ezeknek a vektoroknak a vegyes szorzata egyenlő nullával.

A vegyes szorzat kifejezését koordinátákban felhasználva megkapjuk a sík egyenletét

(3)

A determináns feltárása után ez az egyenlet a (2) alakú egyenletté válik, azaz. a sík általános egyenlete.

5. példa.Írjon egyenletet egy olyan síkra, amely három olyan ponton halad át, amelyek nem ugyanazon az egyenesen fekszenek:

és határozzuk meg az egyenes általános egyenletének egy speciális esetét, ha van ilyen.

Megoldás. A (3) képlet szerint a következőket kapjuk:

Normál sík egyenlet. Távolság ponttól síkig

Egy sík normálegyenlete az egyenlete, alakba írva