Írja fel az egyenletek által megadott egyenes kanonikus egyenletét! Az egyenes kanonikus és parametrikus egyenletei

Nézzük a példamegoldást.

Példa.

Határozzuk meg a térben két egymást metsző sík egyenleteivel meghatározott egyenes bármely pontjának koordinátáit! .

Megoldás.

Írjuk át az egyenletrendszert a következő formában

A rendszer főmátrixának alapmolljaként egy másodrendű nem nulla mollot veszünk , azaz z szabad ismeretlen változó. Vigyük át a z-t tartalmazó tagokat az egyenletek jobb oldalára: .

Fogadjuk el, ahol egy tetszőleges valós szám, akkor .

Oldjuk meg a kapott egyenletrendszert:

Így az egyenletrendszer általános megoldása alakja van , ahol .

Ha a paraméternek egy adott értéket veszünk, akkor egy adott megoldást kapunk az egyenletrendszerre, amely megadja egy adott egyenesen fekvő pont kívánt koordinátáit. Akkor vegyük , ezért a vonal kívánt pontja.

Egy pont talált koordinátáit úgy ellenőrizheti, hogy behelyettesíti azokat két egymást metsző sík eredeti egyenletébe:

Válasz:

Annak az egyenesnek az irányvektora, amely mentén két sík metszi egymást.

Téglalap alakú koordinátarendszerben az egyenes irányítóvektora elválaszthatatlan az egyenestől. Ha egy téglalap alakú koordinátarendszerben háromdimenziós térben az a egyenest két egymást metsző sík és egyenlete adja meg, akkor az egyenes irányítóvektorának koordinátái nem láthatók. Most megmutatjuk, hogyan határozzuk meg őket.

Tudjuk, hogy egy egyenes merőleges egy síkra, ha merőleges az abban a síkban fekvő bármely egyenesre. Ekkor a sík normálvektora merőleges bármely, ebben a síkban elhelyezkedő nullától eltérő vektorra. Ezeket a tényeket fogjuk felhasználni az egyenes irányvektorának megtalálásához.

Az a egyenes a síkban és a síkban egyaránt fekszik. Ezért az a egyenes irányvektora merőleges a normálvektorra sík és normálvektor repülőgép Így az a egyenes irányvektora az És :

Egy egyenes összes irányvektorának halmaza és így definiálhatjuk , ahol egy olyan paraméter, amely a nullától eltérő valós értéket vehet fel.

Példa.

Határozzuk meg egy olyan egyenes bármely irányvektorának koordinátáit, amelyet az Oxyz derékszögű koordinátarendszerben háromdimenziós térben két egymást metsző sík egyenlete adja meg .

Megoldás.

A síkok normálvektorai a vektorok És illetőleg. Egy egyenes irányítóvektora, amely két adott sík metszéspontja, a normálvektorok vektorszorzata:

Válasz:

Átmenet egy térbeli egyenes parametrikus és kanonikus egyenleteire.

Vannak esetek, amikor két egymást metsző sík egyenletének használata egy egyenes leírására nem teljesen kényelmes. Néhány probléma könnyebben megoldható, ha ismerjük a térbeli egyenes kanonikus egyenleteit: vagy egy egyenes paraméteres egyenletei az alak terében , ahol x 1 , y 1 , z 1 az egyenes egy bizonyos pontjának koordinátái, a x , a y , a z az egyenes irányítóvektorának koordinátái, és egy olyan paraméter, amely tetszőleges valós értékeket vesz fel. Leírjuk az alak lineáris egyenleteiből való átmenet folyamatát térbeli egyenes kanonikus és parametrikus egyenleteire.

Az előző bekezdésekben megtanultuk megtalálni egy egyenes egy pontjának koordinátáit, valamint egy egyenes bizonyos irányvektorának koordinátáit, amelyet két egymást metsző sík egyenlete ad meg. Ez az adat elegendő ahhoz, hogy ennek az egyenesnek a kanonikus és parametrikus egyenletét is leírjuk egy téglalap alakú koordináta-rendszerben a térben.

Tekintsük a példa megoldását, és ezután mutatunk egy másik módot egy egyenes kanonikus és parametrikus egyenleteinek térbeli megtalálására.

Példa.

Megoldás.

Először számítsuk ki az egyenes irányítóvektorának koordinátáit. Ehhez megtaláljuk a normálvektorok vektorszorzatát És repülőgépek És :

Azaz,.

Most határozzuk meg egy adott egyenes egy pontjának koordinátáit. Ehhez meg fogjuk találni az egyenletrendszer egyik megoldását .

Döntő eltér nullától, vegyük a rendszer főmátrixának alapmolljának. Ekkor a z változó szabad, a vele lévő tagokat átvisszük az egyenletek jobb oldalára, és a z változónak tetszőleges értéket adunk:

A kapott egyenletrendszert a Cramer módszerrel oldjuk meg:

Ennélfogva,

Elfogadjuk, és megkapjuk az egyenes pontjának koordinátáit: .

Most felírhatjuk a térben az eredeti egyenes szükséges kanonikus és parametrikus egyenleteit:

Válasz:

És

Itt van a probléma megoldásának második módja.

Egy egyenes egy pontjának koordinátáinak megtalálásakor az egyenletrendszert oldjuk meg . Általában a megoldásai formába írhatók .

És pontosan ezek a szükséges paraméteres egyenletek egy térbeli egyenesnek. Ha minden kapott egyenletet egy paraméterhez képest feloldunk, majd az egyenlőségek jobb oldalait egyenlővé tesszük, akkor megkapjuk egy térbeli egyenes kanonikus egyenleteit

Mutassuk meg az előző probléma megoldását ezzel a módszerrel.

Példa.

A háromdimenziós térben lévő egyenest két egymást metsző sík egyenlete határozza meg . Írjon kanonikus és parametrikus egyenleteket erre az egyenesre!

Megoldás.

Ezt a két egyenletrendszert három ismeretlennel oldjuk meg (a megoldást az előző példában adtuk meg, nem ismételjük meg). Ebben az esetben megkapjuk . Ezek egy térbeli egyenes kívánt parametrikus egyenletei.

Továbbra is meg kell szerezni egy térbeli egyenes kanonikus egyenleteit:

Az így kapott egyenes egyenletek kívülről eltérnek az előző példában kapott egyenletektől, de ekvivalensek, mivel ugyanazt a ponthalmazt határozzák meg a háromdimenziós térben (és ezért ugyanazt az egyenest).

Válasz:

És

Bibliográfia.

• Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Felső matematika. Első kötet: a lineáris algebra és az analitikus geometria elemei.
• Iljin V.A., Poznyak E.G. Analitikus geometria.

Az egyenes kanonikus egyenletei

A probléma megfogalmazása. Határozza meg a két sík metszésvonalaként megadott egyenes kanonikus egyenleteit (általános egyenletek)

Megoldási terv. Irányvektorral rendelkező egyenes kanonikus egyenletei adott ponton áthaladva , legyen az űrlap

. (1)

Ezért egy egyenes kanonikus egyenleteinek felírásához meg kell találni annak irányvektorát és az egyenes valamely pontját.

1. Mivel az egyenes egyidejűleg mindkét síkhoz tartozik, irányvektora mindkét sík normálvektorára merőleges, azaz. a vektorszorzat definíciója szerint megvan

. (2)

2. Jelöljön ki egy pontot a vonalon. Mivel az egyenes irányvektora nem párhuzamos legalább az egyik koordinátasíkkal, az egyenes ezt a koordinátasíkot metszi. Következésképpen ennek a koordinátasíkkal való metszéspontja egy egyenes pontjának tekinthető.

3. Helyettesítsd be a vezetővektor talált koordinátáit és mutass az egyenes (1) kanonikus egyenletébe!

Megjegyzés. Ha a (2) vektorszorzat egyenlő nullával, akkor a síkok nem metszik egymást (párhuzamos), és nem lehet felírni az egyenes kanonikus egyenleteit.

12. probléma.Írja fel az egyenes kanonikus egyenleteit!

Az egyenes kanonikus egyenletei:

,

Ahol - az egyenes bármely pontjának koordinátái, az irányvektora.

Keressünk egy pontot a vonalon. Akkor legyen

Ennélfogva, – egy egyeneshez tartozó pont koordinátái.

Hadd l- valami egyenes térvonal. Mint a planimetriában, bármilyen vektor

A =/= 0, kollineáris vonal l, hívott útmutató vektor ezt az egyenest.

Az egyenes térbeli helyzetét az irányvektor és az egyeneshez tartozó pont megadásával teljes mértékben meghatározzuk.

Legyen egyenes lútmutató vektorral A áthalad az M 0 ponton, és M a tér tetszőleges pontja. Nyilvánvalóan az M pont (197. ábra) az egyeneshez tartozik l akkor és csak akkor, ha a \(\overrightarrow(M_0 M)\) vektor kollineáris a vektorral A , azaz

\(\overrightarrow(M_0 M)\) = t a , t\(\ban ben\) R. (1)

Ha az M és M 0 pontokat sugárvektoraikkal adjuk meg r És r 0 (198. ábra) a tér valamely O pontjához képest, akkor \(\overrightarrow(M_0 M)\) = r - r 0 , és az (1) egyenlet alakját veszi fel

r = r 0 + t a , t\(\ban ben\) R. (2)

Az (1) és (2) egyenletet nevezzük egyenes vektor-paraméteres egyenletei. Változó t vektorparaméteres egyenletekben az egyenest ún paraméter.

Legyen az M 0 pont egy egyenes lés az a irányvektort a koordinátáik adják meg:

M 0 ( x 0 ; nál nél 0 , z 0), A = (A 1 ; A 2 ; A 3).

Aztán ha ( X; y; z) - egy egyenes tetszőleges M pontjának koordinátái l, Azt

\(\overrightarrow(M_0 M) \) = ( x - x 0 ; y - y 0 ; z Z 0)

és az (1) vektoregyenlet ekvivalens a következő három egyenlettel:

x - x 0 = tа 1 , y - y 0 = tа 2 , z Z 0 = tа 3

$$ \begin(esetek) x = x_0 + ta_1 \\ y = y_0 + ta_2 \\ z = z_0 + ta_3, \;\;t\in R\end(esetek) (3)$$

A (3) egyenleteket nevezzük az egyenes paraméteres egyenletei űrben.

1. feladat.Írjon paraméteres egyenleteket egy ponton átmenő egyenesre!

M 0 (-3; 2; 4) és irányvektorral rendelkezik A = (2; -5; 3).

Ebben az esetben x 0 = -3, nál nél 0 = 2, z 0 = 4; A 1 = 2; A 2 = -5; A 3 = 3. Ezeket az értékeket a (3) képletekre behelyettesítve megkapjuk ennek az egyenesnek a parametrikus egyenleteit

$$ \begin(esetek) x = -3 - 2t \\ y = 2 - 5t \\ z = 4 + 3t, ​​​​\;\;t\in R\end(esetek) $$

Zárjuk ki a paramétert t a (3) egyenletekből. Ezt azért lehet megtenni A =/= 0, és ezért az egyik vektorkoordináta A nyilvánvalóan különbözik a nullától.

Először legyen minden koordináta nullától eltérő. Akkor

$$ t=\frac(x-x_0)(a_1),\;\;t=\frac(y-y_0)(a_2),\;\;t=\frac(z-z_0)(a_3) $$

és ezért

$$ \frac(x-x_0)(a_1)=\frac(y-y_0)(a_2)=\frac(z-z_0)(a_3) \;\; (4)$$

Ezeket az egyenleteket ún az egyenes kanonikus egyenletei .

Figyeljük meg, hogy a (4) egyenletek két egyenletrendszert alkotnak három változóval x, yÉs z.

Ha a (3) egyenletekben az egyik vektorkoordináta A , Például A 1 egyenlő nullával, akkor a paraméter kiiktatásával t, ismét egy két egyenletrendszert kapunk három változóval x, yÉs z:

\(x=x_0, \;\; \frac(y-y_0)(a_2)=\frac(z-z_0)(a_3)\)

Ezeket az egyenleteket az egyenes kanonikus egyenleteinek is nevezik. Az egységesség kedvéért hagyományosan (4) formában is írják őket.

\(\frac(x-x_0)(0)=\frac(y-y_0)(a_2)=\frac(z-z_0)(a_3)\)

feltételezve, hogy ha a nevező nulla, akkor a megfelelő számláló is nulla. Ezek az egyenletek az M 0 ponton átmenő egyenes egyenletei ( x 0 ; nál nél 0 , z 0) párhuzamos a koordinátasíkkal yOz, mivel irányvektora (0; A 2 ; A 3).

Végül, ha a (3) egyenletben két vektorkoordináta van A , Például A 1 és A 2 egyenlő nullával, akkor ezek az egyenletek a következő alakot veszik fel

x = x 0 , y = nál nél 0 , z = z 0 + t a 3 , t\(\ban ben\) R.

Ezek az M 0 ponton átmenő egyenes egyenletei ( x 0 ; nál nél 0 ; z 0) párhuzamos a tengellyel Oz. Egy ilyen egyenesre x = x 0 , y = nál nél 0,a z- bármilyen szám. És ebben az esetben az egységesség kedvéért az egyenes egyenlete felírható (ugyanolyan fenntartással) a (4) alakban.

\(\frac(x-x_0)(0)=\frac(y-y_0)(0)=\frac(z-z_0)(a_3)\)

Így a tér bármely sorára felírhatunk kanonikus (4) egyenleteket, és fordítva, bármely (4) alakú egyenletet, feltéve, hogy legalább az egyik együttható A 1 , A 2 , A 3 nem egyenlő nullával, valamilyen térbeli egyenest határoz meg.

2. feladat.Írja fel az M 0 (- 1; 1, 7) ponton átmenő egyenes kanonikus egyenleteit a vektorral párhuzamosan A = (1; 2; 3).

A (4) egyenlet ebben az esetben a következőképpen írható:

\(\frac(x+1)(1)=\frac(y-1)(2)=\frac(z-7)(3)\)

Vezessük le egy két megadott ponton átmenő egyenes egyenleteit M 1 ( x 1 ; nál nél 1 ; z 1) és

M2( x 2 ; nál nél 2 ; z 2). Nyilvánvalóan vehetjük a vektort a = (x 2 - x 1 ; nál nél 2 - nál nél 1 ; z 2 - z 1), és azon az M 0 ponton túl, amelyen egy egyenes átmegy, például az M 1 ponton. Ekkor a (4) egyenleteket a következőképpen írjuk fel:

\(\frac(x-x_1)(x_2 - x_1)=\frac(y-y_1)(y_2 - y_1)=\frac(z-z_1)(z_2 - z_1)\) (5)

Ezek egy két M 1 ponton átmenő egyenes egyenletei x 1 ; nál nél 1 ; z 1) és

M2( x 2 ; nál nél 2 ;z 2).

3. feladat.Írja fel az M 1 (-4; 1; -3) és M 2 (-5; 0; 3) pontokon átmenő egyenes egyenleteit!

Ebben az esetben x 1 = -4, nál nél 1 = 1, z 1 = -3, x 2 = -5, nál nél 2 = 0, z 2 = 3. Ezeket az értékeket behelyettesítve az (5) képletbe, megkapjuk

\(\frac(x+4)(-1)=\frac(y-1)(-1)=\frac(z+3)(6)\)

4. feladat.Írja fel az M 1 (3; -2; 1) pontokon átmenő egyenes egyenleteit és

M 2 (5; -2; 1/2).

Miután az M 1 és M 2 pont koordinátáit behelyettesítettük az (5) egyenletbe, megkapjuk

\(\frac(x-3)(2)=\frac(y+2)(0)=\frac(z-1)(-\frac(1)(2))\)

A térbeli egyenes kanonikus egyenletei olyan egyenletek, amelyek egy adott ponton átmenő egyenest az irányvektorral kollineárisan határozzák meg.

Legyen adott egy pont és egy irányvektor. Egy tetszőleges pont egy egyenesen fekszik l csak akkor, ha a és vektorok kollineárisak, azaz a feltétel teljesül rájuk:

.

A fenti egyenletek az egyenes kanonikus egyenletei.

Számok m , nÉs p az irányvektor vetületei a koordináta tengelyekre. Mivel a vektor nem nulla, akkor minden szám m , nÉs p nem lehet egyidejűleg egyenlő nullával. De lehet, hogy egy vagy kettő közülük nulla. Az analitikai geometriában például a következő bejegyzés megengedett:

,

ami azt jelenti, hogy a vektor vetületei a tengelyre OyÉs Oz egyenlők nullával. Ezért mind a vektor, mind a kanonikus egyenletek által meghatározott egyenes merőleges a tengelyekre OyÉs Oz, azaz repülőgépek yOz .

1. példaÍrjon egyenleteket egy síkra merőleges térbeli egyenesre! és áthaladva ennek a síknak a tengellyel való metszéspontján Oz .

Megoldás. Keressük meg ennek a síknak a metszéspontját a tengellyel Oz. Mivel bármely pont a tengelyen fekszik Oz, koordinátái vannak, akkor, feltételezve a sík adott egyenletében x = y = 0, 4-et kapunk z- 8 = 0 vagy z= 2. Ezért ennek a síknak a metszéspontja a tengellyel Oz koordinátákkal rendelkezik (0; 0; 2) . Mivel a kívánt egyenes merőleges a síkra, párhuzamos a normálvektorával. Ezért az egyenes irányítóvektora lehet a normálvektor adott repülőgép.

Most írjuk fel egy ponton átmenő egyenes szükséges egyenleteit A= (0; 0; 2) a vektor irányában:

Két adott ponton átmenő egyenes egyenletei

Egy egyenes két azon fekvő ponttal határozható meg És Ebben az esetben az egyenes irányítóvektora a vektor lehet. Ekkor az egyenes kanonikus egyenletei formát öltenek

.

A fenti egyenletek két adott ponton átmenő egyenest határoznak meg.

2. példaÍrjon egyenletet a és pontokon átmenő térbeli egyenesre.

Megoldás. Írjuk fel az egyenes szükséges egyenleteit az elméleti hivatkozásban fent megadott formában:

.

Mivel , akkor a kívánt egyenes merőleges a tengelyre Oy .

Egyenes, mint a síkok metszésvonala

Egy térbeli egyenes két nem párhuzamos sík metszésvonalaként, azaz két lineáris egyenletrendszert kielégítő pontok halmazaként határozható meg.

A rendszer egyenleteit a térbeli egyenes általános egyenleteinek is nevezik.

3. példaÁllítson össze egy térbeli egyenes kanonikus egyenleteit általános egyenletekkel

Megoldás. Egy egyenes kanonikus egyenleteinek, vagy ami ugyanaz, egy két adott ponton átmenő egyenes egyenletének felírásához meg kell találni az egyenes bármely két pontjának koordinátáit. Lehetnek például egy egyenes metszéspontjai bármely két koordinátasíkkal yOzÉs xOz .

Egyenes és sík metszéspontja yOz van abszcissza x= 0. Ezért ebben az egyenletrendszerben feltételezve x= 0, akkor két változós rendszert kapunk:

Az ő döntése y = 2 , z= 6 együtt x= 0 egy pontot határoz meg A(0; 2; 6) a kívánt sort. Majd az adott egyenletrendszerben feltételezve y= 0, megkapjuk a rendszert

Az ő döntése x = -2 , z= 0 együtt y= 0 egy pontot határoz meg B(-2; 0; 0) egyenes metszéspontja síkkal xOz .

Most írjuk fel a pontokon áthaladó egyenes egyenleteit A(0; 2; 6) és B (-2; 0; 0) :

,

vagy a nevezők -2-vel való elosztása után:

,