Az azonos jelentésű kettős egyenlőtlenségek felosztásánál. Lineáris egyenlőtlenségek

A valós számok mezője a rendezettség tulajdonságával rendelkezik (6. szakasz, 35. o.): bármely a, b számra egy, és a három reláció közül csak az egyik teljesül: vagy . Ebben az esetben az a > b bejegyzés azt jelenti, hogy a különbség pozitív, a bejegyzési különbség pedig negatív. Ellentétben a valós számok mezőjével, a komplex számok mezője nincs rendezve: a komplex számok esetében a „több” és a „kevesebb” fogalma nincs meghatározva; Ezért ez a fejezet csak valós számokkal foglalkozik.

A relációkat egyenlőtlenségnek nevezzük, az a és b számok az egyenlőtlenség tagjai (vagy részei), a > (nagyobb, mint) előjeleket és az a > b és c > d egyenlőtlenségeket ugyanazon (vagy egy és ugyanazon) egyenlőtlenségeknek nevezzük. jelentése; egyenlőtlenségek a > b és c Az egyenlőtlenség definíciójából rögtön az következik

1) bármely nullánál nagyobb pozitív szám;

2) bármely negatív szám kisebb, mint nulla;

3) bármely pozitív szám nagyobb bármely negatív számnál;

4) két negatív szám közül az, amelyik abszolút értéke kisebb, nagyobb.

Mindezek az állítások egyszerű geometriai értelmezést tesznek lehetővé. Legyen a számtengely pozitív iránya a kezdőponttól jobbra; akkor bármilyen előjele is legyen a számoknak, a nagyobbat a kisebb számot jelző ponttól jobbra eső pont ábrázolja.

Az egyenlőtlenségek a következő alapvető tulajdonságokkal rendelkeznek.

1. Aszimmetria (irreverzibilitás): ha , akkor , és fordítva.

Valójában, ha a különbség pozitív, akkor a különbség negatív. Azt mondják, hogy egy egyenlőtlenség feltételeinek átrendezése során az egyenlőtlenség jelentését az ellenkezőjére kell változtatni.

2. Tranzitivitás: ha , akkor . A különbségek pozitivitásából valóban az következik

Az egyenlőtlenségjelek mellett az egyenlőtlenségjeleket és a következőképpen definiálják: a bejegyzés azt jelenti, hogy vagy vagy Ezért például írhat, és azt is. Jellemzően a jelekkel írt egyenlőtlenségeket szigorú egyenlőtlenségeknek, a jelekkel írt egyenlőtlenségeket pedig nem szigorú egyenlőtlenségeknek nevezzük. Ennek megfelelően magukat a jeleket a szigorú vagy nem szigorú egyenlőtlenség jeleinek nevezzük. A fent tárgyalt 1. és 2. tulajdonság a nem szigorú egyenlőtlenségekre is igaz.

Tekintsük most azokat a cselekvéseket, amelyeket egy vagy több egyenlőtlenséggel végezhetünk.

3. Ugyanazon szám hozzáadása egy egyenlőtlenség feltételeihez nem változtatja meg az egyenlőtlenség jelentését.

Bizonyíték. Legyen megadva egy egyenlőtlenség és egy tetszőleges szám. Értelemszerűen a különbség pozitív. Ehhez a számhoz adjunk hozzá két ellentétes számot, ami nem változtat rajta, pl.

Ez az egyenlőség a következőképpen írható át:

Ebből az következik, hogy a különbség pozitív, vagyis az

és ezt kellett bizonyítani.

Ez az alapja annak a lehetőségnek, hogy az egyenlőtlenség bármely tagja ellentétes előjellel egyik részről a másikra torzuljon. Például az egyenlőtlenségtől

ezt követi

4. Ha egy egyenlőtlenség tagjait megszorozzuk ugyanazzal a pozitív számmal, az egyenlőtlenség jelentése nem változik; Ha egy egyenlőtlenség tagjait megszorozzuk ugyanazzal a negatív számmal, az egyenlőtlenség jelentése az ellenkezőjére változik.

Bizonyíték. Legyen akkor Ha, mivel a pozitív számok szorzata pozitív. Az utolsó egyenlőtlenség bal oldalán lévő zárójeleket megnyitva megkapjuk, azaz . Az esetet hasonló módon vizsgálják.

Pontosan ugyanezt a következtetést vonhatjuk le az egyenlőtlenség részeinek nullától eltérő számmal való osztásakor, mivel a számmal való osztás egyenértékű a számmal való szorzással, és a számok előjele megegyezik.

5. Legyenek pozitívak az egyenlőtlenség feltételei. Ekkor, ha a feltételeit ugyanarra a pozitív hatványra emeljük, az egyenlőtlenség jelentése nem változik.

Bizonyíték. Legyen ebben az esetben a tranzitív tulajdonság által, és . Ekkor a for és a pozitív hatványfüggvény monoton növekedése miatt meglesz

Különösen, ha hol van természetes szám, akkor azt kapjuk

vagyis ha egy egyenlőtlenség mindkét oldaláról kinyerjük a gyökét pozitív kifejezésekkel, az egyenlőtlenség jelentése nem változik.

Legyenek az egyenlőtlenség feltételei negatívak. Ekkor nem nehéz bebizonyítani, hogy ha a kifejezéseit páratlan természetes hatványra emeljük, az egyenlőtlenség jelentése nem változik, de ha páros természetes hatványra emeljük, akkor az ellenkezőjére változik. A negatív tagú egyenlőtlenségekből kivonható a páratlan fok gyöke is.

Ezenkívül az egyenlőtlenség feltételeinek különböző előjelei vannak. Ekkor páratlan hatványra emelve az egyenlőtlenség jelentése nem változik, páros hatványra emelve viszont általános esetben semmi határozottat nem lehet mondani a keletkező egyenlőtlenség jelentéséről. Valójában, ha egy számot páratlan hatványra emelünk, a szám előjele megmarad, és ezért az egyenlőtlenség jelentése nem változik. Ha egy egyenlőtlenséget egyenletes hatványra emelünk, akkor egy pozitív feltételű egyenlőtlenség jön létre, és annak jelentése az eredeti egyenlőtlenséggel azonos jelentésű egyenlőtlenség abszolút értékétől függ ellenkező értelmű, és akár egyenlőség is elérhető!

Hasznos az alábbi példa segítségével ellenőrizni mindazt, amit a hatalmi egyenlőtlenségek emeléséről mondtak.

Példa 1. Emelje fel a következő egyenlőtlenségeket a megadott hatványra, ha szükséges, változtassa az egyenlőtlenség jelét ellentétes vagy egyenlőségjelre.

a) 3 > 2 4 hatványára; b) a 3. fokozatig;

c) 3. fokozatra; d) 2. fokozatra;

e) 5 hatványára; e) a 4. fokozatig;

g) 2 > -3 2 hatványára; h) 2 hatványára,

6. Egy egyenlőtlenségből továbbléphetünk a közötti egyenlőtlenségre, ha az egyenlőtlenség mindkét tagja pozitív vagy negatív, akkor a reciprok között ellentétes jelentésű egyenlőtlenség van:

Bizonyíték. Ha a és b azonos előjelű, akkor a szorzatuk pozitív. Oszd egyenlőtlenséggel

vagyis amit meg kellett szerezni.

Ha egy egyenlőtlenség tagjainak ellentétes előjelei vannak, akkor a reciprok közötti egyenlőtlenség ugyanazt jelenti, mivel a reciprok előjelei megegyeznek maguknak a mennyiségeknek az előjeleivel.

Példa 2. Ellenőrizze az utolsó 6. tulajdonságot a következő egyenlőtlenségek segítségével:

7. Az egyenlőtlenségek logaritmusa csak abban az esetben végezhető el, ha az egyenlőtlenségek tagjai pozitívak (negatív számok és nulla logaritmusok nem rendelkeznek).

Hadd . Aztán lesz

és mikor lesz

Ezen állítások helyessége a logaritmikus függvény monotonitásán alapul, amely növekszik, ha az alap, és csökken

Tehát, ha egy pozitív tagokból álló egyenlőtlenség logaritmusát egynél nagyobb bázisra visszük, akkor a megadottal megegyező jelentésű egyenlőtlenség jön létre, ha pedig a logaritmust egynél kisebb pozitív bázisra visszük, akkor az egyenlőtlenség egyenlőtlensége. ellentétes jelentés alakul ki.

8. Ha, akkor ha, de, akkor.

Ez azonnal következik az exponenciális függvény monotonitási tulajdonságaiból (42. szakasz), amely növekszik abban az esetben, és csökken, ha

Ha azonos jelentésű terminusonkénti egyenlőtlenségeket adunk hozzá, az adatokkal azonos jelentésű egyenlőtlenség jön létre.

Bizonyíték. Bizonyítsuk be ezt az állítást két egyenlőtlenségre, bár bármennyi hozzáadott egyenlőtlenségre igaz. Legyenek adottak az egyenlőtlenségek

Értelemszerűen a számok pozitívak lesznek; akkor az összegük is pozitívnak bizonyul, i.e.

A kifejezéseket eltérően csoportosítva azt kapjuk

és ezért

és ezt kellett bizonyítani.

Egy két vagy több különböző jelentésű egyenlőtlenség összeadásával kapott egyenlőtlenség jelentéséről általános esetben nem lehet semmi határozottat mondani.

10. Ha az egyik egyenlőtlenségből tagonként kivonunk egy másik, ellenkező értelmű egyenlőtlenséget, akkor az elsővel azonos jelentésű egyenlőtlenség jön létre.

Bizonyíték. Legyen két eltérő jelentésű egyenlőtlenség adott. Közülük a második az irreverzibilitás tulajdonsága szerint a következőképpen írható át: d > c. Adjunk hozzá két azonos jelentésű egyenlőtlenséget, és kapjuk meg az egyenlőtlenséget

ugyanaz a jelentés. Ez utóbbiból azt találjuk

és ezt kellett bizonyítani.

Lehetetlen általános esetben semmi határozottat mondani egy olyan egyenlőtlenség jelentéséről, amelyet úgy kapunk, hogy az egyik egyenlőtlenségből kivonunk egy másik azonos jelentésű egyenlőtlenséget.

1 . Ha a>b, Azt b< a ; ellenkezőleg, ha A< b , Azt b > a.

Példa. Ha 5x – 1 > 2x + 1, Azt 2x +1< 5x — 1 .

2 . Ha a>bÉs b > c, Azt a > c. Hasonló, A< b És b< с , Azt a< с .

Példa. Az egyenlőtlenségektől x > 2у, 2 év > 10 ezt követi x >10.

3 . Ha a > b, Hogy a + c > b + cÉs a – c > b – c. Ha A< b , Azt a + c És a - c , azok. az egyenlőtlenség mindkét oldalához hozzáadhatja (vagy kivonhatja) ugyanazt a mennyiséget

1. példa. Adott egyenlőtlenség x + 8>3. Az egyenlőtlenség mindkét oldaláról levonva a 8-as számot, azt kapjuk x > - 5.

2. példa. Adott egyenlőtlenség x-6< — 2 . Mindkét oldalhoz hozzáadva 6-ot, azt találjuk x< 4 .

4 . Ha a>bÉs c > d, Hogy a + c >b + d; pontosan ugyanaz, ha A< b És Val vel< d , Azt a + c< b + d , azaz két azonos jelentésű egyenlőtlenség) szóról kifejezésre adható hozzá. Ez tetszőleges számú egyenlőtlenségre igaz, például ha a1 > b1, a2 > b2, a3 > b3, Azt a1 + a2 + a3 > b1+b2 +b3.

1. példa. Egyenlőtlenségek — 8 > — 10 És 5 > 2 igazak. Ha szóról szóra összeadjuk őket, akkor megtaláljuk a valódi egyenlőtlenséget — 3 > — 8 .

2. példa. Adott egy egyenlőtlenségi rendszer ( 1/2)x + (1/2)y< 18 ; (1/2)x - (1/2)y< 4 . Összeadva őket kifejezésenként, azt találjuk x< 22 .

Megjegyzés. Két azonos jelentésű egyenlőtlenséget nem lehet tagonként levonni egymástól, hiszen az eredmény lehet igaz, de lehet hibás is. Például ha az egyenlőtlenségtől 10 > 8 2 > 1 , akkor megkapjuk a helyes egyenlőtlenséget 8 > 7 de ha ugyanabból az egyenlőtlenségből 10 > 8 tagonként vonjuk ki az egyenlőtlenséget 6 > 1 , akkor abszurditást kapunk. Hasonlítsa össze a következő pontot.

5 . Ha a>bÉs c< d , Azt a – c > b – d; Ha A< b És c - d, Azt a - c< b — d , azaz az egyik egyenlőtlenségből szóról tagra ki lehet vonni egy másik, ellenkező értelmű egyenlőtlenséget), meghagyva annak az egyenlőtlenségnek a jelét, amelyből a másikat kivontuk.

1. példa. Egyenlőtlenségek 12 < 20 És 15 > 7 igazak. Ha a második tagot tagonként kivonjuk az elsőből, és elhagyjuk az első előjelét, megkapjuk a helyes egyenlőtlenséget — 3 < 13 . Ha tagonként kivonjuk az elsőt a második tagból, és elhagyjuk a második előjelét, megtaláljuk a helyes egyenlőtlenséget 3 > — 13 .

2. példa. Adott egy egyenlőtlenségi rendszer (1/2)x + (1/2)y< 18; (1/2)х — (1/2)у > 8 . Az első egyenlőtlenségből kivonva a másodikat, azt találjuk y< 10 .

6 . Ha a > bÉs m akkor egy pozitív szám ma > mbÉs a/n > b/n, azaz az egyenlőtlenség mindkét oldala osztható vagy szorozható ugyanazzal a pozitív számmal (az egyenlőtlenség előjele ugyanaz marad). a>bÉs n akkor negatív szám na< nb És a/n< b/n , azaz az egyenlőtlenség mindkét oldala szorozható vagy osztható ugyanazzal a negatív számmal, de az egyenlőtlenség előjelét az ellenkezőjére kell változtatni.

1. példa. A valódi egyenlőtlenség mindkét oldalának felosztása 25 > 20 tovább 5 , megkapjuk a helyes egyenlőtlenséget 5 > 4 . Ha felosztjuk az egyenlőtlenség mindkét oldalát 25 > 20 tovább — 5 , akkor meg kell változtatnia a jelet > tovább < , és akkor megkapjuk a helyes egyenlőtlenséget — 5 < — 4 .

2. példa. Az egyenlőtlenségtől 2x< 12 ezt követi x< 6 .

3. példa. Az egyenlőtlenségtől -(1/3)х – (1/3)х > 4 ezt követi x< — 12 .

4. példa. Adott egyenlőtlenség x/k > y/l; abból az következik lx > ky, ha a számok jelei lÉs k ugyanazok, akkor mi van lx< ky , ha a számok jelei lÉs k szemben.

Az egyenlőtlenségek kiemelkedő szerepet játszanak a matematikában. Az iskolában főleg azzal foglalkozunk számszerű egyenlőtlenségek, amelynek meghatározásával kezdjük ezt a cikket. És akkor felsoroljuk és megindokoljuk a numerikus egyenlőtlenségek tulajdonságai, amelyen az egyenlőtlenségekkel való munka minden elve alapul.

Rögtön megjegyezzük, hogy a numerikus egyenlőtlenségek sok tulajdonsága hasonló. Ezért az anyagot ugyanazon séma szerint mutatjuk be: megfogalmazunk egy tulajdonságot, megadjuk annak indoklását és példáit, majd áttérünk a következő tulajdonságra.

Oldalnavigáció.

Numerikus egyenlőtlenségek: definíció, példák

Amikor bemutattuk az egyenlőtlenség fogalmát, észrevettük, hogy az egyenlőtlenségeket gyakran az írásmód határozza meg. Tehát az egyenlőtlenségeket értelmes algebrai kifejezéseknek neveztük, amelyek nem egyenlő ≠, kisebb, mint<, больше >, kisebb vagy egyenlő, mint ≤ vagy nagyobb vagy egyenlő, mint ≥. A fenti definíció alapján célszerű egy numerikus egyenlőtlenség definícióját megadni:

A numerikus egyenlőtlenségekkel való találkozás az első osztályos matematika órákon következik be, közvetlenül az 1-től 9-ig tartó első természetes számok megismerése és az összehasonlítási művelet megismerése után. Igaz, ott egyszerűen egyenlőtlenségeknek nevezik őket, kihagyva a „numerikus” definícióját. Az érthetőség kedvéért nem ártana néhány példát hoznunk a legegyszerűbb numerikus egyenlőtlenségekre a vizsgálatnak abban a szakaszában: 1<2 , 5+2>3 .

A természetes számoktól távolabb pedig az ismeretek más típusú számokra (egész, racionális, valós számok) is kiterjednek, ezek összehasonlításának szabályait tanulmányozzuk, és ez jelentősen kibővíti a numerikus egyenlőtlenségek fajtáinak sokféleségét: −5>−72, 3> −0,275 (7−5, 6) , .

A numerikus egyenlőtlenségek tulajdonságai

A gyakorlatban az egyenlőtlenségekkel való munka számos lehetőséget tesz lehetővé a numerikus egyenlőtlenségek tulajdonságai. Az általunk bevezetett egyenlőtlenség fogalmából következnek. A számokkal kapcsolatban ezt a fogalmat a következő állítás adja, amely a „kisebb, mint” és a „több, mint” összefüggések definíciójának tekinthető egy számhalmazon (ezt gyakran nevezik az egyenlőtlenség differenciadefiníciójának):

Meghatározás.

• szám a akkor és csak akkor nagyobb b-nél, ha az a−b különbség pozitív szám;
• az a szám akkor és csak akkor kisebb, mint a b szám, ha az a-b különbség negatív szám;
• az a szám akkor és csak akkor egyenlő a b számmal, ha az a−b különbség nulla.

Ez a meghatározás átdolgozható a „kisebb vagy egyenlő” és a „nagyobb vagy egyenlő, mint” relációk definíciójává. Íme a megfogalmazása:

Meghatározás.

• szám a akkor és csak akkor nagyobb vagy egyenlő b-nél, ha a-b nemnegatív szám;
• a kisebb vagy egyenlő b-vel, akkor és csak akkor, ha a-b egy nem pozitív szám.

Ezeket a definíciókat fogjuk használni a numerikus egyenlőtlenségek tulajdonságainak bizonyításakor, amelyek áttekintésével folytatjuk.

Alaptulajdonságok

Az áttekintést az egyenlőtlenségek három fő tulajdonságával kezdjük. Miért alapvetőek? Mert ezek a legáltalánosabb értelemben vett egyenlőtlenségek tulajdonságait tükrözik, és nem csak a numerikus egyenlőtlenségek vonatkozásában.

Előjelekkel felírt numerikus egyenlőtlenségek< и >, jellemző:

Ami a gyenge ≤ és ≥ egyenlőtlenségjelekkel írt numerikus egyenlőtlenségeket illeti, reflexivitás (és nem antireflexivitás) tulajdonsággal rendelkeznek, mivel az a≤a és a≥a egyenlőtlenségek az a=a egyenlőség esetét is tartalmazzák. Jellemzőjük az antiszimmetria és a tranzitivitás is.

Tehát a ≤ és ≥ jelekkel felírt numerikus egyenlőtlenségek a következő tulajdonságokkal rendelkeznek:

• reflexivitás a≥a és a≤a valódi egyenlőtlenségek;
• antiszimmetria, ha a≤b, akkor b≥a, és ha a≥b, akkor b≤a.
• tranzitivitás, ha a≤b és b≤c, akkor a≤c, továbbá, ha a≥b és b≥c, akkor a≥c.

Bizonyításuk nagyon hasonló a már megadottakhoz, ezért nem fogunk rajtuk kitérni, hanem áttérünk a numerikus egyenlőtlenségek egyéb fontos tulajdonságaira.

A numerikus egyenlőtlenségek további fontos tulajdonságai

Egészítsük ki a numerikus egyenlőtlenségek alapvető tulajdonságait egy sor gyakorlati jelentőséggel bíró eredményekkel. A kifejezések értékének becslési módszerei ezeken alapulnak megoldások az egyenlőtlenségekre stb. Ezért ajánlatos jól megérteni őket.

Ebben a bekezdésben csak a szigorú egyenlőtlenség egyik jelére fogjuk megfogalmazni az egyenlőtlenségek tulajdonságait, de érdemes szem előtt tartani, hogy hasonló tulajdonságok érvényesek az ellenkező előjelre, valamint a nem szigorú egyenlőtlenségek jeleire is. Magyarázzuk meg ezt egy példával. Az alábbiakban megfogalmazzuk és igazoljuk az egyenlőtlenségek következő tulajdonságát: ha a

• ha a>b, akkor a+c>b+c ;
• ha a≤b, akkor a+c≤b+c;
• ha a≥b, akkor a+c≥b+c.

A kényelem kedvéért a numerikus egyenlőtlenségek tulajdonságait lista formájában mutatjuk be, miközben megadjuk a megfelelő állítást, formálisan írjuk le betűkkel, bizonyítunk, majd használati példákat mutatunk be. A cikk végén pedig egy táblázatban foglaljuk össze a numerikus egyenlőtlenségek összes tulajdonságát. Megy!

Bármely szám hozzáadásával (vagy kivonásával) egy valódi numerikus egyenlőtlenség mindkét oldalához valódi numerikus egyenlőtlenség jön létre. Más szóval, ha az a és b számok olyanok, hogy a

Ennek bizonyítására tegyük ki a különbséget az utolsó numerikus egyenlőtlenség bal és jobb oldala között, és mutassuk meg, hogy az a feltétel mellett negatív. (a+c)−(b+c)=a+c−b−c=a−b. Mivel feltétellel a

Nem foglalkozunk a numerikus egyenlőtlenségek ezen tulajdonságának bizonyításával egy c szám kivonásánál, mivel a valós számok halmazán a kivonás helyettesíthető -c összeadásával.

Például, ha a 7>3 helyes numerikus egyenlőtlenség mindkét oldalához hozzáadjuk a 15-ös számot, akkor a helyes 7+15>3+15 numerikus egyenlőtlenséget kapjuk, ami ugyanaz, a 22>18.

Ha egy érvényes numerikus egyenlőtlenség mindkét oldalát megszorozzuk (vagy elosztjuk) ugyanazzal a pozitív c számmal, akkor érvényes numerikus egyenlőtlenséget kapunk. Ha az egyenlőtlenség mindkét oldalát megszorozzuk (vagy elosztjuk) egy negatív c számmal, és az egyenlőtlenség előjelét megfordítjuk, akkor az egyenlőtlenség igaz lesz. Szó szerinti formában: ha az a és b számok kielégítik az a egyenlőtlenséget időszámításunk előtt.

Bizonyíték. Kezdjük azzal az esettel, amikor c>0. Tegyük fel a bizonyítandó numerikus egyenlőtlenség bal és jobb oldala közötti különbséget: a·c−b·c=(a−b)·c . Mivel feltétellel a 0 , akkor az (a−b)·c szorzat negatív szám lesz egy negatív a−b szám és egy pozitív c szám szorzataként (ami -ből következik). Ezért a·c−b·c<0 , откуда a·c

Nem foglalkozunk azzal a bizonyítással, hogy egy valódi numerikus egyenlőtlenség mindkét oldalát ugyanazzal a c-vel osztjuk, mivel az osztást mindig helyettesíthetjük 1/c-vel való szorzással.

Mutassunk példát az elemzett tulajdonság konkrét számokon való használatára. Például rendelkezhet a helyes 4-es numerikus egyenlőtlenség mindkét oldalával<6 умножить на положительное число 0,5 , что дает верное числовое неравенство −4·0,5<6·0,5 , откуда −2<3 . А если обе части верного числового неравенства −8≤12 разделить на отрицательное число −4 , и изменить знак неравенства ≤ на противоположный ≥, то получится верное числовое неравенство −8:(−4)≥12:(−4) , откуда 2≥−3 .

Abból az imént tárgyalt tulajdonságból, hogy a numerikus egyenlőség mindkét oldalát megszorozzuk egy számmal, két gyakorlatilag értékes eredmény következik. Tehát következmények formájában fogalmazzuk meg őket.

Az összes fentebb ebben a bekezdésben tárgyalt tulajdonságot egyesíti az a tény, hogy először egy helyes numerikus egyenlőtlenséget adunk meg, majd abból az egyenlőtlenség részeivel és az előjellel végzett manipulációkkal egy másik helyes numerikus egyenlőtlenséget kapunk. Most egy olyan tulajdonságblokkot mutatunk be, amelyben kezdetben nem egy, hanem több helyes numerikus egyenlőtlenséget adunk meg, és ezek együttes használatából a részeik összeadása vagy szorzása után kapunk új eredményt.

Ha az a, b, c és d számok kielégítik az a egyenlőtlenségeket

Bizonyítsuk be, hogy (a+c)−(b+d) negatív szám, ezzel bebizonyítjuk, hogy a+c

Az indukció révén ez a tulajdonság három, négy és általában tetszőleges számú numerikus egyenlőtlenség tagról tagra történő összeadására terjed ki. Tehát, ha az a 1, a 2, …, a n és b 1, b 2, …, b n számokra igazak a következő egyenlőtlenségek: a 1 a 1 +a 2 +…+a n .

Például kapunk három helyes –5 előjelű numerikus egyenlőtlenséget<−2 , −1<12 и 3<4 . Рассмотренное свойство числовых неравенств позволяет нам констатировать, что неравенство −5+(−1)+3<−2+12+4 – тоже верное.

Az azonos előjelű numerikus egyenlőtlenségeket tagonként szorozhatja, amelyek mindkét oldalát pozitív számok ábrázolják. Különösen két egyenlőtlenség esetén a

Ennek bizonyítására megszorozhatja az a egyenlőtlenség mindkét oldalát

Ez a tulajdonság igaz tetszőleges véges számú valódi numerikus egyenlőtlenség pozitív részekkel való szorzására is. Vagyis ha a 1, a 2, …, a n és b 1, b 2, …, b n pozitív számok, és a 1 a 1 a 2…a n .

Külön érdemes megjegyezni, hogy ha a numerikus egyenlőtlenségek jelölése nem pozitív számokat tartalmaz, akkor ezek tagonkénti szorzása hibás numerikus egyenlőtlenségekhez vezethet. Például a numerikus egyenlőtlenségek 1<3 и −5<−4 – верные и одного знака, почленное умножение этих неравенств дает 1·(−5)<3·(−4) , что то же самое, −5<−12 , а это неверное неравенство.

• Következmény. Az a forma azonos igaz egyenlőtlenségeinek termikus szorzása

A cikk végén, ahogy ígértük, az összes vizsgált ingatlant összegyűjtjük numerikus egyenlőtlenségek tulajdonságainak táblázata:

Bibliográfia.

• Moro M. I.. Matematika. Tankönyv 1 osztályra. kezdet iskola 2 óra alatt 1. rész (I. félév) / M. I. Moro, S. I. Volkova, S. V. Stepanova - 6. kiad. - M.: Oktatás, 2006. - 112 p.: ill.+Kieg. (2 külön l. ill.). - ISBN 5-09-014951-8.
• Matematika: tankönyv 5. osztály számára. Általános oktatás intézmények / N. Ya Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. kiadás, törölve. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 p.: ill. ISBN 5-346-00699-0.
• Algebra: tankönyv 8. osztály számára. Általános oktatás intézmények / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; szerkesztette S. A. Teljakovszkij. - 16. kiadás - M.: Oktatás, 2008. - 271 p. : ill. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A. G. Algebra. 8. osztály. 2 órában 1. rész. Tankönyv általános oktatási intézmények tanulói számára / A. G. Mordkovich. - 11. kiadás, törölve. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.

Fontos számunkra az Ön személyes adatainak védelme. Emiatt kidolgoztunk egy adatvédelmi szabályzatot, amely leírja, hogyan használjuk és tároljuk az Ön adatait. Kérjük, tekintse át adatvédelmi gyakorlatunkat, és tudassa velünk, ha kérdése van.

Személyes adatok gyűjtése és felhasználása

A személyes adatok olyan adatokra vonatkoznak, amelyek felhasználhatók egy adott személy azonosítására vagy kapcsolatfelvételre.

Amikor kapcsolatba lép velünk, bármikor megkérhetjük személyes adatainak megadására.

Az alábbiakban bemutatunk néhány példát arra, hogy milyen típusú személyes adatokat gyűjthetünk, és hogyan használhatjuk fel ezeket az információkat.

Milyen személyes adatokat gyűjtünk:

• Amikor jelentkezést nyújt be az oldalon, különféle információkat gyűjthetünk, beleértve az Ön nevét, telefonszámát, e-mail címét stb.

Hogyan használjuk fel személyes adatait:

• Az általunk gyűjtött személyes adatok lehetővé teszik számunkra, hogy egyedi ajánlatokkal, promóciókkal és egyéb eseményekkel és közelgő eseményekkel kapcsolatba léphessünk Önnel.
• Időről időre felhasználhatjuk személyes adatait fontos értesítések és közlemények küldésére.
• A személyes adatokat belső célokra is felhasználhatjuk, például auditok lefolytatására, adatelemzésre és különféle kutatásokra annak érdekében, hogy javítsuk szolgáltatásainkat, és javaslatokat adjunk Önnek szolgáltatásainkkal kapcsolatban.
• Ha nyereményjátékban, versenyben vagy hasonló promócióban vesz részt, az Ön által megadott információkat felhasználhatjuk az ilyen programok lebonyolítására.

Információk közlése harmadik fél számára

Az Öntől kapott információkat nem adjuk ki harmadik félnek.

Kivételek:

• Szükség esetén - a törvénynek, a bírósági eljárásnak, a bírósági eljárásoknak megfelelően és/vagy az Orosz Föderáció területén található állami kérelmek vagy kormányzati hatóságok kérelmei alapján - az Ön személyes adatainak nyilvánosságra hozatala. Felfedhetünk Önnel kapcsolatos információkat is, ha úgy ítéljük meg, hogy az ilyen nyilvánosságra hozatal biztonsági, bűnüldözési vagy egyéb közérdekű célból szükséges vagy megfelelő.
• Átszervezés, egyesülés vagy eladás esetén az általunk gyűjtött személyes adatokat átadhatjuk a megfelelő jogutód harmadik félnek.

Személyes adatok védelme

Óvintézkedéseket teszünk – beleértve az adminisztratív, technikai és fizikai intézkedéseket is –, hogy megvédjük személyes adatait az elvesztéstől, lopástól és visszaéléstől, valamint a jogosulatlan hozzáféréstől, nyilvánosságra hozataltól, megváltoztatástól és megsemmisítéstől.

A magánélet tiszteletben tartása vállalati szinten

Személyes adatai biztonságának biztosítása érdekében az adatvédelmi és biztonsági előírásokat közöljük alkalmazottainkkal, és szigorúan betartjuk az adatvédelmi gyakorlatokat.

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete