Ebben a témában részletesen szólunk a határozatlan integrál tulajdonságairól, illetve maguknak az integráloknak az említett tulajdonságok segítségével történő megtalálásáról. Dolgozunk a határozatlan integrálok táblázatával is. Az itt bemutatott anyag a "Határozatlan integrál. Kezdet" témakör folytatása. Hogy őszinte legyek, a tesztpapírok ritkán tartalmaznak olyan integrálokat, amelyeket tipikus táblázatok és/vagy egyszerű tulajdonságok segítségével lehet venni. Ezek a tulajdonságok az ábécéhez hasonlíthatók, amelynek ismerete és megértése szükséges ahhoz, hogy megértsük az integrálok megoldásának mechanizmusát más témákban. Gyakran az integrálok táblázatait és a határozatlan integrál tulajdonságait tartalmazó integrációt hívják közvetlen integráció.

Amit értek: a függvények változnak, de a derivált megtalálásának képlete változatlan marad, ellentétben az integrállal, amelyhez már két módszert kellett felsorolnunk.

Menjünk tovább. A $y=x^(-\frac(1)(2))\cdot(1+x^(\frac(1)(4)))^\frac(1)(3)$ származékának megtalálásához ugyanez vonatkozik a $(u\cdot v)"=u"\cdot v+u\cdot v"$ képletre, amelybe be kell cserélni a $u=x^(-\frac(1)(2)) $, $v=( 1+x^(\frac(1)(4)))^\frac(1)(3)$ De a $\int x^(-\frac(1)( 2))\cdot( 1+x^(\frac(1)(4)))^\frac(1)(3) dx$ egy új módszer – Csebisev-helyettesítések – alkalmazását teszi szükségessé.

És végül: a $y=\sin x\cdot\frac(1)(x)$ függvény deriváltjának megtalálásához a $(u\cdot v)"=u"\cdot v+u\cdot v" képletet A $ ismét alkalmazható, amibe a $u$ és a $v$ helyett a $\sin x$ és a $\frac(1)(x)$ helyett a $\int \sin x\cdot\frac(1 )(x) dx$ pontosabban nem fejeződik ki véges számú elemi függvényen keresztül.

Foglaljuk össze: ahol egy képletre volt szükség a derivált megtalálásához, ott négyre az integrálhoz (és ez nem a határ), az utóbbi esetben pedig az integrál egyáltalán nem volt hajlandó megtalálni. A funkció megváltozott – új integrációs módszerre volt szükség. Itt vannak többoldalas táblázataink a referenciakönyvekben. Az általános ("manuális" megoldásra alkalmas) módszer hiánya olyan privát metódusok bőségéhez vezet, amelyek csak a saját, rendkívül korlátozott függvényosztályuk integrálására alkalmazhatók (a további témákban ezekkel a módszerekkel részletesen foglalkozunk). Bár nem tudom nem megjegyezni a Risch-algoritmus jelenlétét (javaslom, olvassa el a leírást a Wikipédián), ez csak határozatlan integrálok programozására alkalmas.

3. kérdés

De ha sok ilyen tulajdonság van, hogyan tanulhatnám meg integrálok felvételét? Könnyebb volt a származékokkal!

Egy ember számára eddig egyetlen út van: minél több példát megoldani különféle integrációs módszerekkel, hogy egy új határozatlan integrál megjelenésekor a tapasztalatok alapján válasszon rá megoldási módot. Megértem, hogy a válasz nem túl megnyugtató, de nincs más út.

A határozatlan integrál tulajdonságai

1. számú ingatlan

A határozatlan integrál deriváltja egyenlő az integrandusszal, azaz. $\left(\int f(x) dx\right)"=f(x)$.

Ez a tulajdonság teljesen természetes, mivel az integrál és a derivált kölcsönösen inverz műveletek. Például: $\left(\int \sin 3x dx\right)"=\sin 3x$, $\left(\int \left(3x^2+\frac(4)(\arccos x)\right) dx \ right)"=3x^2+\frac(4)(\arccos x)$ és így tovább.

2. számú ingatlan

Valamely függvény differenciáljának határozatlan integrálja egyenlő ezzel a függvénnyel, azaz. $\int \mathrm d F(x) =F(x)+C$.

Általában ezt a tulajdonságot kissé nehéznek tekintik, mivel úgy tűnik, hogy az integrál alatt nincs „semmi”. Ennek elkerülésére a következőképpen írhatjuk fel a jelzett tulajdonságot: $\int 1\mathrm d F(x) =F(x)+C$. Példa a tulajdonság használatára: $\int \mathrm d(3x^2+e^x+4)=3x^2+e^x+4+C$ vagy ha úgy tetszik, ebben a formában: $\int 1\; \mathrm d(3x^2+e^x+4) =3x^2+e^x+4+C$.

3. számú ingatlan

Az integráljelből kivehető a konstans tényező, pl. $\int a\cdot f(x) dx=a\cdot\int f(x) dx$ (feltételezzük, hogy $a\neq 0$).

Az ingatlan meglehetősen egyszerű, és talán nem igényel megjegyzéseket. Példák: $\int 3x^5 dx=3\cdot \int x^5 dx$, $\int (2x+4e^(7x)) dx=2\cdot\int(x+2e^(7x))dx $, $\int kx^2dx=k\cdot\int x^2dx$ ($k\neq 0$).

4. számú ingatlan

Két függvény összegének (különbségének) integrálja egyenlő ezen függvények integráljainak összegével (különbségével):

$$\int(f_1(x)\pm f_2(x))dx=\int f_1(x)dx\pm\int f_2(x)dx$$

Példák: $\int(\cos x+x^2)dx=\int \cos xdx+\int x^2 dx$, $\int(e^x - \sin x)dx=\int e^xdx -\ int \sin x dx$.

A szabványos teszteknél általában a 3-as és a 4-es tulajdonságokat használják, ezért ezeken még részletesebben kitérünk.

3. példa

Keresse meg a következőt: $\int 3 e^x dx$.

Használjuk a 3. számú tulajdonságot, és vegyük ki az állandót, i.e. $3$ szám, az integráljelhez: $\int 3 e^x dx=3\cdot\int e^x dx$. Most nyissuk meg az integrálok táblázatát, és a $u=x$ behelyettesítésével a 4. képletbe a következőt kapjuk: $\int e^x dx=e^x+C$. Ebből következik, hogy $\int 3 e^x dx=3\cdot\int e^x dx=3e^x+C$. Feltételezem, hogy az olvasónak azonnal kérdése lesz, ezért ezt a kérdést külön fogom megfogalmazni:

4. kérdés

Ha $\int e^x dx=e^x+C$, akkor $\int 3 e^x dx=3\cdot\int e^x dx=3\cdot\left(e^x+C\jobb) =3e^x+3C$! Miért csak $3e^x+C$-t írtak $3e^x+3C$ helyett?

A kérdés teljesen jogos. A lényeg az, hogy az integrálkonstans (vagyis ugyanaz a $C$ szám) bármilyen kifejezés formájában ábrázolható: a lényeg, hogy ez a kifejezés „átfusson” a valós számok teljes halmazán, pl. $-\infty$ és $+\infty$ között változott. Például, ha $-\infty≤ C ≤ +\infty$, akkor $-\infty≤ \frac(C)(3) ≤ +\infty$, tehát a $C$ konstans $\ formában ábrázolható. frac(C)(3)$. Felírhatjuk, hogy $\int e^x dx=e^x+\frac(C)(3)$, majd $\int 3 e^x dx=3\cdot\int e^x dx=3\cdot\left (e^x+\frac(C)(3)\jobbra)=3e^x+C$. Mint látható, itt nincs ellentmondás, de óvatosnak kell lenni az integrálkonstans alakjának megváltoztatásakor. Például a $C$ konstans $C^2$-ként való ábrázolása hiba lenne. A lényeg az, hogy $C^2 ≥ 0$, azaz. A $C^2$ nem változik $-\infty$-ról $+\infty$-ra, és nem „fut át” minden valós számon. Ugyanígy hiba lenne egy állandót $\sin C$-ként ábrázolni, mert $-1≤ \sin C ≤ 1$, azaz. A $\sin C$ nem "fut át" a valós tengely összes értékén. A következőkben ezt a kérdést nem tárgyaljuk részletesen, hanem minden határozatlan integrálhoz egyszerűen felírjuk a $C$ állandót.

4. számú példa

Keresse meg a $\int\left(4\sin x-\frac(17)(x^2+9)-8x^3 \right)dx$.

Használjuk a 4. számú tulajdonságot:

$$\int\left(4\sin x-\frac(17)(x^2+9)-8x^3 \right) dx=\int 4\sin x dx-\int\frac(17)(x ^2+9)dx-\int8x^3dx$$

Most vegyük az integráljeleken kívüli konstansokat (számokat):

$$\int 4\sin x dx-\int\frac(17)(x^2+9)dx-\int8x^3dx=4\int \sin x dx-17\int\frac(dx)(x^ 2+9)-8\int x^3dx$$

Ezután minden egyes kapott integrállal külön dolgozunk. Az első integrál, i.e. $\int \sin x dx$, könnyen megtalálható az integrálok táblázatában az 5. szám alatt. Az $u=x$ behelyettesítésével az 5. képletbe a következőt kapjuk: $\int \sin x dx=-\cos x+C$.

A második $\int\frac(dx)(x^2+9)$ integrál megtalálásához alkalmazza a 11. számú képletet az integrálok táblázatából. Az $u=x$ és $a=3$ behelyettesítésével a következőt kapjuk: $\int\frac(dx)(x^2+9)=\frac(1)(3)\cdot \arctg\frac(x) (3)+C$.

Végül pedig a $\int x^3dx$ megtalálásához használjuk a táblázat 1. képletét, behelyettesítve a $u=x$ és $\alpha=3$ karakterekkel: $\int x^3dx=\frac(x^ (3+1))(3+1)+C=\frac(x^4)(4)+C$.

A $4\int \sin x dx-17\int\frac(dx)(x^2+9)-8\int x^3dx$ kifejezésben szereplő összes integrált megtaláltuk. Csak le kell cserélni őket:

$4\int \sin x dx-17\int\frac(dx)(x^2+9)-8\int x^3dx=4\cdot(-\cos x)-17\cdot\frac(1) (3)\cdot\arctg\frac(x)(3)-8\cdot\frac(x^4)(4)+C=\\ =-4\cdot\cos x-\frac(17)(3 )\cdot\arctg\frac(x)(3)-2\cdot x^4+C.$$

A probléma megoldva, a válasz: $\int\left(4\sin x-\frac(17)(x^2+9)-8x^3 \right)dx=-4\cdot\cos x-\ frac(17 )(3)\cdot\arctg\frac(x)(3)-2\cdot x^4+C$. Ehhez a problémához egy apró megjegyzést teszek:

Csak egy kis megjegyzés

Talán senkinek sem lesz szüksége erre a betétre, de megemlítem, hogy $\frac(1)(x^2+9)\cdot dx=\frac(dx)(x^2+9)$. Azok. $\int\frac(17)(x^2+9)dx=17\cdot\int\frac(1)(x^2+9)dx=17\cdot\int\frac(dx)(x^2 +9) $.

Nézzünk egy példát, amelyben az integrálok táblázatának 1. számú képletét használjuk az irracionalitások (más szóval gyökerek) közbeiktatására.

5. számú példa

Keresse meg a $\int\left(5\cdot\sqrt(x^4)-\frac(14)(\sqrt(x^6))\right)dx$.

Először is ugyanazokat a műveleteket hajtjuk végre, mint a 3. példában, nevezetesen: az integrált ketté bontjuk, és az állandókat az integrálok előjelein túlra mozgatjuk:

$$\int\left(5\cdot\sqrt(x^4)-\frac(14)(\sqrt(x^6)) \right)dx=\int\left(5\cdot\sqrt(x^) 4) \right)dx-\int\frac(14)(\sqrt(x^6)) dx=\\ =5\cdot\int\sqrt(x^4) dx-14\cdot\int\frac( dx)(\sqrt(x^6)) $$

Mivel $\sqrt(x^4)=x^(\frac(4)(7))$, akkor $\int\sqrt(x^4) dx=\int x^(\frac(4)(7 ) )dx$. Ennek az integrálnak a megtalálásához alkalmazzuk az 1. képletet, behelyettesítve a $u=x$ és a $\alpha=\frac(4)(7)$ karakterekkel: $\int x^(\frac(4)(7)) dx=\ frac(x^(\frac(4)(7)+1))(\frac(4)(7)+1)+C=\frac(x^(\frac(11)(7)) )(\ frac(11)(7))+C=\frac(7\cdot\sqrt(x^(11)))(11)+C$. Ha szeretné, ábrázolhatja a $\sqrt(x^(11))$ mint $x\cdot\sqrt(x^(4))$, de ez nem szükséges.

Térjünk most át a második integrálra, azaz. $\int\frac(dx)(\sqrt(x^6))$. Mivel $\frac(1)(\sqrt(x^6))=\frac(1)(x^(\frac(6)(11)))=x^(-\frac(6)(11) ) $, akkor a vizsgált integrál a következő formában ábrázolható: $\int\frac(dx)(\sqrt(x^6))=\int x^(-\frac(6)(11))dx$ . Az eredményül kapott integrál megtalálásához alkalmazzuk az integráltáblázat 1. képletét, behelyettesítve a $u=x$ és a $\alpha=-\frac(6)(11)$ karakterekkel: $\int x^(-\ frac(6)(11) ))dx=\frac(x^(-\frac(6)(11)+1))(-\frac(6)(11)+1)+C=\frac(x) ^(\frac(5) (11)))(\frac(5)(11))+C=\frac(11\cdot\sqrt(x^(5)))(5)+C$.

A kapott eredményeket behelyettesítve a választ kapjuk:

$5\cdot\int\sqrt(x^4) dx-14\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(x^6))= 5\cdot\frac(7\cdot\sqrt(x^() 11)))(11)-14\cdot\frac(11\cdot\sqrt(x^(5)))(5)+C= \frac(35\cdot\sqrt(x^(11)))( 11)-\frac(154\cdot\sqrt(x^(5)))(5)+C. $$

Válasz: $\int\left(5\cdot\sqrt(x^4)-\frac(14)(\sqrt(x^6))\right)dx=\frac(35\cdot\sqrt(x^(11) )))(11)-\frac(154\cdot\sqrt(x^(5)))(5)+C$.

És végül vegyük azt az integrált, amely az integrálok táblázatának 9. képlete alá esik. A 6. példát, amelyre most áttérünk, más módon is meg lehetne oldani, de erről a következő témákban lesz szó. Egyelőre maradunk a táblázat felhasználásának keretein belül.

6. számú példa

Keresse meg a $\int\frac(12)(\sqrt(15-7x^2))dx$.

Először is végezzük el ugyanazt a műveletet, mint korábban: mozgassuk a konstanst (a $12$ számot) az integráljelen kívülre:

$$ \int\frac(12)(\sqrt(15-7x^2))dx=12\cdot\int\frac(1)(\sqrt(15-7x^2))dx=12\cdot\int \frac(dx)(\sqrt(15-7x^2)) $$

Az eredményül kapott $\int\frac(dx)(\sqrt(15-7x^2))$ integrál már közel van a $\int\frac(du)(\sqrt(a^2-u^2) táblázathoz. )$ (9. számú integrál táblázat). Az integrálunkban az a különbség, hogy a $x^2$ előtt a gyökér alatt van egy $7$ együttható, amit a táblaintegrál nem enged meg. Ezért meg kell szabadulnunk ettől a héttől úgy, hogy a gyökérjelen túlra mozgatjuk:

$12\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(15-7x^2))=12\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(7\cdot\left(\frac(15)) ) 7)-x^2\right)))= 12\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(7)\cdot\sqrt(\frac(15)(7)-x^2))=\ frac (12)(\sqrt(7))\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(\frac(15)(7)-x^2)) $$

Ha összehasonlítjuk a $\int\frac(du)(\sqrt(a^2-u^2))$ és a $\int\frac(dx)(\sqrt(\frac(15)(7)-) táblázatintegrált x^ 2))$ világossá válik, hogy szerkezetük megegyezik. Csak a $\int\frac(dx)(\sqrt(\frac(15)(7)-x^2))$ integrálban $u$ helyett $x$, és $a^2$ helyett van $\frac (15)(7)$. Nos, ha $a^2=\frac(15)(7)$, akkor $a=\sqrt(\frac(15)(7))$. Az $u=x$ és $a=\sqrt(\frac(15)(7))$ behelyettesítése a $\int\frac(du)(\sqrt(a^2-u^2))=\arcsin képletbe \ frac(u)(a)+C$, a következő eredményt kapjuk:

$$ \frac(12)(\sqrt(7))\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(\frac(15)(7)-x^2))= \frac(12)(\sqrt (7))\cdot\arcsin\frac(x)(\sqrt(\frac(15)(7)))+C $$

Ha figyelembe vesszük, hogy $\sqrt(\frac(15)(7))=\frac(\sqrt(15))(\sqrt(7))$, akkor az eredmény átírható a „három emeletes ” törtek:

$$ \frac(12)(\sqrt(7))\cdot\arcsin\frac(x)(\sqrt(\frac(15)(7)))+C=\frac(12)(\sqrt(7) ))\cdot\arcsin\frac(x)(\frac(\sqrt(15))(\sqrt(7)))+C= \frac(12)(\sqrt(7))\cdot\arcsin\frac (\sqrt(7)\;x)(\sqrt(15))+C $$

A probléma megoldva, a válasz megérkezett.

Válasz: $\int\frac(12)(\sqrt(15-7x^2))dx=\frac(12)(\sqrt(7))\cdot\arcsin\frac(\sqrt(7)\;x) (\sqrt(15))+C$.

7. számú példa

Keresse meg a következőt: $\int\tg^2xdx$.

Vannak módszerek a trigonometrikus függvények integrálására. Ebben az esetben azonban meg lehet boldogulni az egyszerű trigonometrikus képletek ismeretével. Mivel $\tg x=\frac(\sin x)(\cos x)$, akkor $\left(\tg x\right)^2=\left(\frac(\sin x)(\cos x) \ jobb)^2=\frac(\sin^2x)(\cos^2x)$. Figyelembe véve a $\sin^2x=1-\cos^2x$, a következőket kapjuk:

$$ \frac(\sin^2x)(\cos^2x)=\frac(1-\cos^2x)(\cos^2x)=\frac(1)(\cos^2x)-\frac(\ cos^2x)(\cos^2x)=\frac(1)(\cos^2x)-1 $$

Így $\int\tg^2xdx=\int\left(\frac(1)(\cos^2x)-1\right)dx$. Az így kapott integrált az integrálok összegére kibontva és táblázatos képleteket alkalmazva a következőket kapjuk:

$$ \int\left(\frac(1)(\cos^2x)-1\right)dx=\int\frac(dx)(\cos^2x)-\int 1dx=\tg x-x+C . $$

Válasz: $\int\tg^2xdx=\tg x-x+C$.

Mivel most csak a határozatlan integrálról fogunk beszélni, a rövidség kedvéért elhagyjuk a „határozatlan” kifejezést.

Az integrálok kiszámításának (vagy ahogy mondják, a függvények integrálásának) megtanulásához először meg kell tanulnia az integrálok táblázatát:

Asztal 1. Integrálok táblázata

2. ( ),u>0. 2a. (α=0); 2b. (a=1); 2c. (α= ). 3. 3a. 4. 5. 5a) 6a. 7. 7a.

8. 9. 10. 10a. 11. 11a. 12. 13. 13a.

Ezenkívül szüksége lesz egy adott függvény deriváltjának kiszámítására, ami azt jelenti, hogy emlékeznie kell a differenciálás szabályaira és az alapvető elemi függvények deriváltjainak táblázatára:

2. táblázat. A származékok és a differenciálási szabályok táblázata:

6.a .

(bűn És) = cos És  És (kötözősaláta u) = – bűn És És

Szükségünk van arra is, hogy megtaláljuk egy függvény differenciálját. Emlékezzünk arra, hogy a függvény különbsége
képlet alapján keresse meg
, azaz egy függvény differenciálja egyenlő e függvény deriváltjának és argumentuma differenciáljának szorzatával. Célszerű szem előtt tartani a következő ismert összefüggéseket:

3. táblázat: Differenciáltábla

1. (b= Const) 2. ( ) 3. 4. 5. (b= Const) 6. 7. 8. 9.

10. 11. 12. 14. 15. 16. 17.

Ezenkívül ezeket a képleteket balról jobbra vagy jobbról balra olvasva is használhatja.

Tekintsük egymás után az integrálszámítás három fő módszerét. Közülük az első az ún közvetlen integrációs módszerrel. Ez a határozatlan integrál tulajdonságain alapul, és két fő technikát tartalmaz: integrál bővítése algebrai összeggé egyszerűbb és feliratkozás a különbözeti jelre, és ezek a technikák önállóan és kombinálva is használhatók.

A) Mérlegeljük algebrai összeg bővítése– ez a technika magában foglalja az integrandus azonos transzformációit és a határozatlan integrál linearitási tulajdonságait:
És.

1. példa Keresse meg az integrálokat:

A)
; b)
;

V)
G)

d)
.

Megoldás.

A)Alakítsuk át az integrandust úgy, hogy a számlálót elosztjuk a nevező tagjával:

Itt a hatványok tulajdonságát használjuk:
.

b) Először transzformáljuk a tört számlálóját, majd a számláló tagját tagonként elosztjuk a nevezővel:

Itt is használatos a fokozatok tulajdonsága:
.

Az itt használt ingatlan:
,
.

.

Itt az 1. táblázat 2. és 5. képletét használjuk.

2. példa Keresse meg az integrálokat:

A)
; b)
;

V)
G)

d)
.

Megoldás.

A)Alakítsuk át az integrandust a trigonometrikus azonosság segítségével:

.

Itt ismét a számlálónak a nevezővel, valamint az 1. táblázat 8-as és 9-es képletével való tagolását használjuk.

b) Hasonlóan transzformáljuk, az identitás felhasználásával
:

.

c) Először ossza el a számláló tagját tagonként a nevezővel, és vegye ki a konstansokat az integráljelből, majd használja a trigonometrikus azonosságot
:

d) Alkalmazza a mértékcsökkentés képletét:

,

e) Trigonometrikus azonosságok segítségével transzformáljuk:

B) Tekintsük az integrációs technikát, amelyet n-nek nevezünk megkülönböztető jel alá helyezve. Ez a technika a határozatlan integrál invariancia tulajdonságán alapul:

Ha
, akkor bármilyen differenciálható függvényre És=És(x) bekövetkezik:
.

Ezzel a tulajdonsággal jelentősen bővíthetjük az egyszerű integrálok tábláját, hiszen e tulajdonság miatt az 1. táblázat képletei nem csak a független változóra érvényesek. És, hanem abban az esetben is, amikor És egy másik változó differenciálható függvénye.

Például,
, de szintén
, És
, És
.

Vagy
És
, És
.

A módszer lényege, hogy egy adott függvény differenciálját izoláljuk egy adott integrandusban úgy, hogy ez az izolált differenciál a kifejezés többi részével együtt táblázatos képletet alkosson ehhez a függvényhez. Ha szükséges, egy ilyen átalakítás során konstansok is hozzáadhatók ennek megfelelően. Például:

(az utolsó példában az ln(3 + x 2) ln|3 + helyett x 2 | , mivel a kifejezés 3 + x 2 mindig pozitív).

3. példa Keresse meg az integrálokat:

A)
; b)
; V)
;

G)
; d)
; e)
;

és)
; h)
.

Megoldás.

A).

Itt az 1. táblázat 2a, 5a és 7a képletét használjuk, amelyek közül az utolsó kettőt pontosan a differenciáljel összesítésével kapjuk meg:

Nézeti funkciók integrálása
nagyon gyakran fordul elő bonyolultabb függvények integrálszámításának keretein belül. Annak érdekében, hogy a fent leírt lépéseket ne ismételje meg minden alkalommal, javasoljuk, hogy emlékezzen az 1. táblázatban megadott megfelelő képletekre.

.

Itt az 1. táblázat 3. képletét használjuk.

c) Hasonlóképpen, figyelembe véve, hogy , átalakítjuk:

.

Itt az 1. táblázatban szereplő 2c képletet használjuk.

G)

.

d) ;

e)

.

és) ;

h)

.

4. példa Keresse meg az integrálokat:

A)
b)

V)
.

Megoldás.

a) Alakítsuk át:

Itt az 1. táblázat 3. képlete is használatos.

b) A mértékcsökkentés képletét használjuk
:

Itt az 1. táblázat 2a és 7a képletét használjuk.

Itt az 1. táblázat 2. és 8. képletével együtt a 3. táblázat képleteit is használjuk:
,
.

5. példa. Keresse meg az integrálokat:

A)
; b)

V)
; G)
.

Megoldás.

egy munka
kiegészíthető (lásd a 3. táblázat 4. és 5. képletét) a függvény differenciáljára
, Ahol AÉs b- bármilyen állandó,
. Valóban, honnan
.

Akkor nálunk van:

.

b) A 3. táblázat 6. képletével megvan
, és
, ami a termék integrandjában való jelenlétet jelenti
tippet jelent: a differenciáljel alá kell beírni a kifejezést
. Ezért kapunk

c) Ugyanaz, mint a b) pontban a termék
kiterjeszthető differenciális függvényekre
. Akkor kapjuk:

.

d) Először az integrál linearitási tulajdonságait használjuk:

6. példa. Keresse meg az integrálokat:

A)
; b)
;

V)
; G)
.

Megoldás.

A)Tekintve, hogy
(3. táblázat 9. képlete), átalakítjuk:

b) A 3. táblázat 12. képletével kapjuk

c) A 3. táblázat 11. képletét figyelembe véve transzformáljuk

d) A 3. táblázat 16. képletével kapjuk:

.

7. példa. Keresse meg az integrálokat:

A)
; b)
;

V)
; G)
.

Megoldás.

A)A példában bemutatott összes integrálnak van egy közös jellemzője: Az integrandus másodfokú trinomot tartalmaz. Ezért ezen integrálok kiszámításának módszere ugyanazon a transzformáción fog alapulni - a teljes négyzet elkülönítése ebben a másodfokú hármasban.

.

b)

.

V)

G)

A differenciáljel helyettesítésének módszere egy általánosabb integrálszámítási módszer szóbeli megvalósítása, amelyet helyettesítési módszernek vagy változóváltásnak neveznek. Valójában minden alkalommal, amikor az 1. táblázatban egy megfelelő képletet választottunk a függvény differenciáljelének összegzése eredményeként kapott képlethez, gondolatban lecseréltük a betűt És a differenciáljel alatt bevezetett függvény. Ezért, ha a differenciáljel összesítésével történő integráció nem működik túl jól, akkor közvetlenül módosíthatja a változót. Erről bővebben a következő bekezdésben olvashat.

A direkt integrációs módszer az integrandus függvény transzformációján, a határozatlan integrál tulajdonságainak alkalmazásán és az integrandus kifejezés táblázatos formára való redukálásán alapul.

Például:

Vizsgálat

Vizsgálat

2. Helyettesítési módszer (változó helyettesítés)

Ez a módszer egy új változó bevezetésén alapul. Csináljunk behelyettesítést az integrálban:

;

Ezért a következőket kapjuk:

Például:

1)

Vizsgálat:

2)

Vizsgálat(a határozatlan integrál 2. tulajdonsága alapján):

Integrált darabonként

Hadd u És v - differenciálható funkciók. Mutassuk meg e függvények szorzatának különbségét:

,

ahol

Integráljuk a kapott kifejezést:

Például:

Vizsgálat(a határozatlan integrál 1. tulajdonsága alapján):

2)

Döntsünk

Vizsgálat(a határozatlan integrál 1. tulajdonsága alapján):

GYAKORLATI RÉSZ

Otthon megoldandó problémák

Keresse meg az integrált:

A) ; e) ;

V) ; h)

G) ; És)

d) ; Nak nek)

A) ; e) ;

V) ; h) ;

d) ; Nak nek) .

A) ; V) ; d)

b) ; G) ; e)

A gyakorlati órákon megoldandó feladatok:

I. Közvetlen integrációs módszer

A) ; és) ;

b) ; h) ;

V) ; És)

G) ; Nak nek)

e) ; m)

II. Helyettesítési módszer (változó helyettesítés)

G) ; Nak nek) ;

d) ; l) ;

III. Alkatrészenkénti integráció módja

4. TÉMA

HATÁROZOTT INTEGRÁL

A matematikai számítások során gyakran meg kell találni egy antiderivatív függvény növekményét, ha argumentuma meghatározott határokon belül változik. Ezt a problémát meg kell oldani a különböző alakzatok területeinek és térfogatainak számításakor, egy függvény átlagértékének meghatározásakor, egy változó erő munkájának számításakor. Ezeket a problémákat a megfelelő határozott integrálok kiszámításával lehet megoldani.

Az óra célja:

1. Tanuljon meg határozott integrált kiszámítani a Newton-Leibniz képlet segítségével.

2. Legyen képes alkalmazni a határozott integrál fogalmát alkalmazott problémák megoldására.

ELMÉLETI RÉSZ

A MEGHATÁROZOTT INTEGRÁL FOGALMA ÉS GEOMETRIAI JELENTÉSE

Tekintsük a görbe vonalú trapéz területének megtalálásának problémáját.

Adjunk meg valamilyen függvényt y=f(x), melynek grafikonja az ábrán látható.

1. ábra Határozott integrál geometriai jelentése.

A tengelyen 0x pontok kiválasztása “a" És "V" és állítsa vissza belőlük a merőlegeseket, amíg nem metszik a görbét. Egy görbével, merőlegesekkel és egy tengellyel határolt ábra 0x görbe trapéznek nevezzük. Osszuk fel az intervallumot több kis szegmensre. Válasszunk egy tetszőleges szegmenst. Építsünk ennek a szakasznak megfelelő íves trapézt téglalappá. Egy ilyen téglalap területét a következőképpen határozzuk meg:

Ekkor az intervallumban lévő összes kitöltött téglalap területe egyenlő lesz:

;

Ha mindegyik szegmens elég kicsi, és nullára hajlik, akkor a téglalapok teljes területe az ívelt trapéz területéhez fog fordulni:

;

Tehát a görbe vonalú trapéz területének kiszámításának problémája az összeg határának meghatározásához vezet.

Az integrál összeg az argumentum növekményének és a függvény értékének szorzatának összege f(x) , annak az intervallumnak egy bizonyos pontján, amelynek határain belül az argumentum megváltozik. Matematikailag az integrálösszeg határának megtalálásának problémája, ha a független változó növekménye nullára hajlik, a határozott integrál fogalmához vezet.

Funkció f(x ) től bizonyos intervallumban x=a előtt x=b integrálható, ha van olyan szám, amelyhez az integrál összege úgy alakul Dх®0 . Ebben az esetben a szám J hívott határozott integrál funkciókat f(x) intervallumban:

;

Ahol ] a, c[ – az integráció területe,

A– az integráció alsó határa,

V– az integráció felső határa.

Így a geometria szempontjából a határozott integrál az ábra területe, amelyet egy függvény grafikonja korlátoz egy bizonyos intervallumban] a, c [ és x-tengely.

Az óra felszerelése: előadásjegyzet.

Értékelési szempontok

Munkarend

1. Feladat.

Olvassa el a 9. számú előadást

2. feladat.

9. előadás.

határozatlan integrál ebből a függvényből:

10 .

( dx)" = d ( dx) =f(x) dx

20. Egy függvény differenciáljának határozatlan integrálja egyenlő ezzel a függvénnyel plusz egy tetszőleges állandóval:

30. A konstans tényező kivehető a határozatlan integrál előjeléből.

40. A függvények algebrai összegének határozatlan integrálja egyenlő a függvénytagok határozatlan integráljainak algebrai összegével:

50. Ha a konstans, akkor a képlet érvényes

A dokumentum tartalmának megtekintése
„Az integráció technikája Közvetlen integráció”

Praktikus munka№ 7

Téma: Integrációs technika. Közvetlen integráció

Célok:

tanulmányozza a határozatlan integrál kiszámításának képleteit és szabályait

tanuljanak meg példákat direkt integrációval megoldani

Az óra felszerelése: előadásjegyzet.

Értékelési szempontok

Minden munkafeladat helyes elvégzéséért 5-ös osztályzat jár

Az 1. feladat teljesítése és a 2. feladat bármely tíz példájának helyes megoldása 4-es osztályzattal jár.

Az 1. feladat teljesítése és a 2. feladat bármely hét példájának helyes megoldása 3-as osztályzattal jár.

Munkarend

1. Feladat.

Olvassa el a 9. számú előadást

Az előadások segítségével válaszoljon a kérdésekre, és írja le a válaszokat a füzetébe:

1.Milyen tulajdonságait ismeri a határozatlan integrálnak?

2. Írja be az alapvető integrációs képleteket!

3. Milyen esetek lehetségesek közvetlen integrációval?

2. feladat.

Példák megoldása önálló megoldásra!

9. előadás.

Téma: „Határozatlan integrál. Közvetlen integráció"

Az F(x) függvényt egy f(x) függvény antideriváltjának nevezzük, ha F "(x) = f(x).

Bármely f(x) folytonos függvénynek végtelen számú antideriváltja van, amelyek konstans taggal különböznek egymástól.

Az f(x) függvény összes antiderivált halmazának F(x) +C általános kifejezését ún. határozatlan integrál ebből a függvényből:

dx = F(x) +С, ha d(F(x) +С) = dx

A határozatlan integrál alapvető tulajdonságai

1 0 .A határozatlan integrál deriváltja egyenlő az integrandusszal, a differenciája pedig az integrandusszal:

( dx)" = d ( dx) =f(x) dx

2 0 . Egy függvény differenciáljának határozatlan integrálja egyenlő ezzel a függvénnyel plusz egy tetszőleges állandóval:

3 0 . A konstans tényező kivehető a határozatlan integrál előjeléből.

4 0 .A függvények algebrai összegének határozatlan integrálja egyenlő a függvénytagok határozatlan integráljainak algebrai összegével:

+dx

5 0 . Ha a konstans, akkor a képlet érvényes

Alapvető integrációs képletek (táblázatos integrálok)

4.

5.

7.

9. = - ctgx + C

12. = arcsin + C

A (3), (10) képletek alkalmazásakor. (11) az abszolút érték előjelét csak olyan esetekben írjuk le, amikor a logaritmusjel alatti kifejezés negatív értékű lehet.

Mindegyik képlet könnyen ellenőrizhető. A jobb oldal differenciálása eredményeképpen egy integrált kapunk.

Közvetlen integráció.

A közvetlen integráció az integráltáblázat közvetlen használatán alapul. Itt a következő esetek fordulhatnak elő:

1) ez az integrál közvetlenül megtalálható a megfelelő táblaintegrálból;

2) ezt az integrált a 3 0 és 4 0 tulajdonságok alkalmazása után egy vagy több táblázatos integrállá redukáljuk;

3) ezt az integrált az integranduson végrehajtott elemi azonosság-transzformációk és a 3 0 és 4 0 tulajdonságok alkalmazása után egy vagy több táblázatos integrálra redukáljuk.

Példák.

A 3 0 tulajdonság alapján az 5-ös állandó tényezőt kivesszük az integráljelből, és az 1-es képlet segítségével megkapjuk

Megoldás. A 3 0 tulajdonság és a 2. képlet felhasználásával kapjuk

6

Megoldás. A 3 0 és 4 0 tulajdonságok, valamint az 1 és 2 képletek felhasználásával megkaptuk

X + 3) = 4 + 12 = 4 - 4 + 12x + C = + 12x + C

A C integrációs állandó egyenlő három integrációs állandó algebrai összegével, mivel minden integrálnak megvan a maga tetszőleges állandója (C 1 – C 2 + C 3 = C)

Megoldás. Az egyes kifejezések négyzetre emelése és integrálása megvan

A trigonometrikus képlet segítségével 1 + kiságy 2 x =

= = - ctgx – x + C

Megoldás. Kivonva és hozzáadva a 9-es számot az integrandus számlálójához, azt kapjuk

= = + = - =

X + 9 + C = - x +

Példák önmegoldásra

Értékelje az integrálokat közvetlen integrációval:

A tanulók tudásának nyomon követése:

ellenőrizze a gyakorlati munkát;

A gyakorlati munka elvégzésének feltétele:

A feladatot füzetben kell kitölteni a gyakorlati munkához

Óra után küldje be a munkát

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete