A direkt integrációs módszer az integrandus függvény transzformációján, a határozatlan integrál tulajdonságainak alkalmazásán és az integrandus kifejezés táblázatos formára való redukálásán alapul.

Például:

Vizsgálat

2. Helyettesítési módszer (változó helyettesítés)

Ez a módszer egy új változó bevezetésén alapul. Csináljunk behelyettesítést az integrálban:

;

Ezért a következőket kapjuk:

Például:

Vizsgálat:

Vizsgálat(a határozatlan integrál 2. tulajdonsága alapján):

Integrált darabonként

Hadd u És v - differenciálható funkciók. Mutassuk meg e függvények szorzatának különbségét:

ahol

Integráljuk a kapott kifejezést:

Például:

Vizsgálat(a határozatlan integrál 1. tulajdonsága alapján):

Döntsük el

Vizsgálat(a határozatlan integrál 1. tulajdonsága alapján):

GYAKORLATI RÉSZ

Otthon megoldandó problémák

Keresse meg az integrált:

A) ; e) ;

V) ; h)

G) ; És)

d) ; Nak nek)

A) ; e) ;

V) ; h) ;

d) ; Nak nek) .

A) ; V) ; d)

b) ; G) ; e)

A gyakorlati órákon megoldandó feladatok:

I. Közvetlen integrációs módszer

A) ; és) ;

b) ; h) ;

V) ; És)

G) ; Nak nek)

e) ; m)

II. Helyettesítési módszer (változó helyettesítés)

G) ; Nak nek) ;

d) ; l) ;

III. Alkatrészenkénti integráció módja

4. TÉMA

HATÁROZOTT INTEGRÁL

A matematikai számítások során gyakran meg kell találni egy antiderivatív függvény növekményét, ha argumentuma meghatározott határokon belül változik. Ezt a problémát meg kell oldani a különböző alakzatok területeinek és térfogatainak számításakor, egy függvény átlagértékének meghatározásakor, egy változó erő munkájának számításakor. Ezeket a problémákat a megfelelő határozott integrálok kiszámításával lehet megoldani.

Az óra célja:

1. Tanuljon meg határozott integrált kiszámítani a Newton-Leibniz képlet segítségével.

2. Legyen képes alkalmazni a határozott integrál fogalmát alkalmazott problémák megoldására.

ELMÉLETI RÉSZ

A MEGHATÁROZOTT INTEGRÁL FOGALMA ÉS GEOMETRIAI JELENTÉSE

Tekintsük a görbe vonalú trapéz területének megtalálásának problémáját.

Adjunk meg valamilyen függvényt y=f(x), melynek grafikonja az ábrán látható.

1. ábra Határozott integrál geometriai jelentése.

A tengelyen 0x pontok kiválasztása “a" És "V" és állítsa vissza belőlük a merőlegeseket, amíg nem metszik a görbét. Egy görbével, merőlegesekkel és egy tengellyel határolt ábra 0x görbe trapéznek nevezzük. Osszuk fel az intervallumot több kis szegmensre. Válasszunk egy tetszőleges szegmenst. Építsünk ennek a szakasznak megfelelő íves trapézt téglalappá. Egy ilyen téglalap területét a következőképpen határozzuk meg:

Ekkor az intervallumban lévő összes kitöltött téglalap területe egyenlő lesz:

;

Ha mindegyik szegmens elég kicsi, és nullára hajlik, akkor a téglalapok teljes területe az ívelt trapéz területéhez fog fordulni:

;

Tehát a görbe vonalú trapéz területének kiszámításának problémája az összeg határának meghatározásához vezet.

Az integrál összeg az argumentum növekményének és a függvény értékének szorzatának összege f(x) , annak az intervallumnak egy bizonyos pontján, amelynek határain belül az argumentum megváltozik. Matematikailag az integrálösszeg határának megtalálásának problémája, ha a független változó növekménye nullára hajlik, a határozott integrál fogalmához vezet.

Funkció f(x ) től bizonyos intervallumban x=a előtt x=b integrálható, ha van olyan szám, amelyhez az integrál összege úgy alakul Dх®0 . Ebben az esetben a szám J hívott határozott integrál funkciókat f(x) intervallumban:

;

Ahol ] a, c[ – az integráció területe,

A– az integráció alsó határa,

V– az integráció felső határa.

Így a geometria szempontjából a határozott integrál az ábra területe, amelyet egy függvény grafikonja korlátoz egy bizonyos intervallumban] a, c [ és x-tengely.

Mivel most csak a határozatlan integrálról fogunk beszélni, a rövidség kedvéért elhagyjuk a „határozatlan” kifejezést.

Az integrálok kiszámításának (vagy ahogy mondják, a függvények integrálásának) megtanulásához először meg kell tanulnia az integrálok táblázatát:

Asztal 1. Integrálok táblázata

2.
(
),u>0.

2a.
(α=0);

2b.
(a=1);

2c.
(α= ).

3a.

5a)

6a.

7a.

10.

10a.

11.

11a.

12.

13.

13a.

Ezenkívül szüksége lesz egy adott függvény deriváltjának kiszámítására, ami azt jelenti, hogy emlékeznie kell a differenciálás szabályaira és az alapvető elemi függvények deriváltjainak táblázatára:

2. táblázat Derivatívek és differenciálási szabályok táblázata:

6.a .

(bűn És) = cos És  És

(kötözősaláta u) = – bűn És És

Szükségünk van egy függvény differenciáljának megtalálására is. Emlékezzünk arra, hogy a függvény különbsége
képlet alapján keresse meg
, azaz egy függvény differenciálja egyenlő e függvény deriváltjának és argumentuma differenciáljának szorzatával. Célszerű szem előtt tartani a következő ismert összefüggéseket:

3. táblázat: Differenciáltábla

1.
(b= Const)

2.
(
)

5.
(b= Const)

10.

11.

12.

14.

15.

16.

17.

Ezenkívül ezeket a képleteket balról jobbra vagy jobbról balra olvasva is használhatjuk.

Tekintsük egymás után az integrál számításának három fő módszerét. Közülük az első az ún közvetlen integrációs módszerrel. Ez a határozatlan integrál tulajdonságain alapul, és két fő technikát tartalmaz: integrál bővítése algebrai összeggé egyszerűbb és feliratkozás a különbözeti jelre, és ezek a technikák önállóan és kombinálva is használhatók.

A) Mérlegeljük algebrai összeg bővítése– ez a technika magában foglalja az integrandus azonos transzformációit és a határozatlan integrál linearitási tulajdonságait:
És.

1. példa Keresse meg az integrálokat:

A)
; b)
;

V)
G)

d)
.

Megoldás.

A)Alakítsuk át az integrandust úgy, hogy a számláló tagját elosztjuk taggal:

Itt a hatványok tulajdonságát használjuk:
.

b) Először transzformáljuk a tört számlálóját, majd a számláló tagját tagonként elosztjuk a nevezővel:

Itt is használatos a fokozatok tulajdonsága:
.

Az itt használt ingatlan:
,
.

Itt az 1. táblázat 2. és 5. képletét használjuk.

2. példa Keresse meg az integrálokat:

A)
; b)
;

V)
G)

d)
.

Megoldás.

A)Alakítsuk át az integrandust a trigonometrikus azonosság segítségével:

Itt ismét a számlálónak a nevezővel, valamint az 1. táblázat 8-as és 9-es képletével való tagolását használjuk.

b) Hasonlóan transzformáljuk, az identitás felhasználásával
:

c) Először ossza el a számláló tagját tagonként a nevezővel, és vegye ki a konstansokat az integráljelből, majd használja a trigonometrikus azonosságot
:

d) Alkalmazza a mértékcsökkentési képletet:

e) Trigonometrikus azonosságok segítségével transzformáljuk:

B) Tekintsük az integrációs technikát, amelyet n-nek nevezünk megkülönböztető jel alá helyezve. Ez a technika a határozatlan integrál invariancia tulajdonságán alapul:

Ha
, akkor bármilyen differenciálható függvényre És=És(x) bekövetkezik:
.

Ezzel a tulajdonsággal jelentősen bővíthetjük az egyszerű integrálok tábláját, hiszen e tulajdonság miatt az 1. táblázat képletei nem csak a független változóra érvényesek. És, hanem abban az esetben is, amikor És egy másik változó differenciálható függvénye.

Például,
, de szintén
, És
, És
.

Vagy
És
, És
.

A módszer lényege, hogy egy adott függvény differenciálját izoláljuk egy adott integrandusban úgy, hogy ez az izolált differenciál a kifejezés többi részével együtt táblázatos képletet alkosson ehhez a függvényhez. Ha szükséges, egy ilyen átalakítás során konstansok is hozzáadhatók ennek megfelelően. Például:

(az utolsó példában az ln(3 + x 2) ln|3 + helyett x 2 | , mivel a kifejezés 3 + x 2 mindig pozitív).

3. példa Keresse meg az integrálokat:

A)
; b)
; V)
;

G)
; d)
; e)
;

és)
; h)
.

Megoldás.

A).

Itt az 1. táblázat 2a, 5a és 7a képletét használjuk, amelyek közül az utolsó kettőt pontosan a differenciáljel összesítésével kapjuk meg:

Nézeti funkciók integrálása
nagyon gyakran fordul elő bonyolultabb függvények integrálszámításának keretein belül. Annak érdekében, hogy a fent leírt lépéseket ne ismételje meg minden alkalommal, javasoljuk, hogy emlékezzen az 1. táblázatban megadott megfelelő képletekre.

Itt az 1. táblázat 3. képletét használjuk.

c) Hasonlóképpen, figyelembe véve, hogy , átalakítjuk:

.

Itt az 1. táblázatban szereplő 2c képletet használjuk.

G)

.

d) ;

e)

.

és) ;

h)

.

4. példa Keresse meg az integrálokat:

A)
b)

V)
.

Megoldás.

a) Alakítsuk át:

Itt az 1. táblázat 3. képlete is használatos.

b) A mértékcsökkentés képletét használjuk
:

Itt az 1. táblázat 2a és 7a képletét használjuk.

Itt az 1. táblázat 2. és 8. képletével együtt a 3. táblázat képleteit is használjuk:
,
.

5. példa Keresse meg az integrálokat:

A)
; b)

V)
; G)
.

Megoldás.

egy munka
kiegészíthető (lásd a 3. táblázat 4. és 5. képletét) a függvény differenciáljára
, Ahol AÉs b- bármilyen állandó,
. Valóban, honnan
.

Akkor nálunk van:

b) A 3. táblázat 6. képletével megvan
, és
, ami a termék integrandjában való jelenlétet jelenti
tippet jelent: a differenciáljel alá kell beírni a kifejezést
. Ezért kapunk

c) Ugyanaz, mint a b) pontban a termék
kiterjeszthető differenciális függvényekre
. Akkor kapjuk:

d) Először az integrál linearitásának tulajdonságait használjuk:

6. példa. Keresse meg az integrálokat:

A)
; b)
;

V)
; G)
.

Megoldás.

A)Tekintve, hogy
(3. táblázat 9. képlete), átalakítjuk:

b) A 3. táblázat 12. képletével kapjuk

c) A 3. táblázat 11. képletét figyelembe véve transzformáljuk

d) A 3. táblázat 16. képletével kapjuk:

7. példa. Keresse meg az integrálokat:

A)
; b)
;

V)
; G)
.

Megoldás.

A)A példában bemutatott összes integrálnak van egy közös jellemzője: Az integrandus másodfokú trinomit tartalmaz. Ezért ezen integrálok kiszámításának módszere ugyanazon a transzformáción fog alapulni - elkülönítve a teljes négyzetet ebben a másodfokú hármasban.

b)

.

A differenciáljel helyettesítésének módszere egy általánosabb integrálszámítási módszer szóbeli megvalósítása, amelyet helyettesítési módszernek vagy változóváltásnak neveznek. Valójában minden alkalommal, amikor kiválasztunk egy megfelelő képletet az 1. táblázatban a függvény differenciáljelének összegzése eredményeként kapott képlethez, gondolatban lecseréltük a betűt És a differenciáljel alatt bevezetett függvény. Ezért ha a differenciáljel összesítésével történő integráció nem működik túl jól, akkor közvetlenül módosíthatja a változót. Erről bővebben a következő bekezdésben olvashat.

Az óra felszerelése: előadásjegyzet.

Értékelési szempontok

Munkarend

1. Feladat.

Olvassa el a 9. számú előadást

2. feladat.

9. előadás.

határozatlan integrál ebből a függvényből:

10 .

( dx)" = d ( dx) =f(x) dx

20. Egy függvény differenciáljának határozatlan integrálja egyenlő ezzel a függvénnyel plusz egy tetszőleges állandóval:

30. A konstans tényező kivehető a határozatlan integrál előjeléből.

40. A függvények algebrai összegének határozatlan integrálja egyenlő a függvénytagok határozatlan integráljainak algebrai összegével:

50. Ha a konstans, akkor a képlet érvényes

A dokumentum tartalmának megtekintése
„Az integráció technikája Közvetlen integráció”

Praktikus munka№ 7

Téma: Integrációs technika. Közvetlen integráció

Célok:

tanulmányozza a határozatlan integrál kiszámításának képleteit és szabályait

tanuljanak meg példákat direkt integrációval megoldani

Az óra felszerelése: előadásjegyzet.

Értékelési szempontok

Minden munkafeladat helyes elvégzéséért „5”-ös osztályzat jár

Az 1. feladat elvégzése és a 2. feladat bármely tíz példájának helyes megoldása 4-es osztályzattal jár.

3-as osztályzatot kap az 1. feladat elvégzése és a 2. feladat bármely hét példájának helyes megoldása.

Munkarend

1. Feladat.

Olvassa el a 9. számú előadást

Az előadások segítségével válaszoljon a kérdésekre, és írja le a válaszokat a füzetébe:

1.Milyen tulajdonságait ismeri a határozatlan integrálnak?

2. Írja be az alapvető integrációs képleteket!

3. Milyen esetek lehetségesek közvetlen integrációval?

2. feladat.

Példák megoldása önálló megoldásra!

9. előadás.

Téma: „Határozatlan integrál. Közvetlen integráció"

Az F(x) függvényt egy f(x) függvény antideriváltjának nevezzük, ha F "(x) = f(x).

Bármely f(x) folytonos függvénynek végtelen számú antideriváltja van, amelyek konstans taggal különböznek egymástól.

Az f(x) függvény összes antiderivált halmazának F(x) +C általános kifejezését ún. határozatlan integrál ebből a függvényből:

dx = F(x) +С, ha d(F(x) +С) = dx

A határozatlan integrál alapvető tulajdonságai

1 0 .A határozatlan integrál deriváltja egyenlő az integrandusszal, a differenciája pedig az integrandusszal:

( dx)" = d ( dx) =f(x) dx

2 0 . Egy függvény differenciáljának határozatlan integrálja egyenlő ezzel a függvénnyel plusz egy tetszőleges állandóval:

3 0 . A konstans tényező kivehető a határozatlan integrál előjeléből.

4 0 .A függvények algebrai összegének határozatlan integrálja egyenlő a függvénytagok határozatlan integráljainak algebrai összegével:

+dx

5 0 . Ha a konstans, akkor a képlet érvényes

Alapvető integrációs képletek (táblázatos integrálok)

9. = - ctgx + C

12. = arcsin + C

A (3), (10) képletek alkalmazásakor. (11) Az abszolút érték előjelét csak olyan esetekben írjuk le, amikor a logaritmusjel alatti kifejezés negatív értékű lehet.

Mindegyik képlet könnyen ellenőrizhető. A jobb oldal differenciálása eredményeképpen egy integrált kapunk.

Közvetlen integráció.

A közvetlen integráció az integrálok táblázatának közvetlen használatán alapul. Itt a következő esetek fordulhatnak elő:

1) ez az integrál közvetlenül megtalálható a megfelelő táblaintegrálból;

2) ezt az integrált a 3 0 és 4 0 tulajdonságok alkalmazása után egy vagy több táblázatos integrállá redukáljuk;

3) ezt az integrált az integranduson végrehajtott elemi azonosság-transzformációk és a 3 0 és 4 0 tulajdonságok alkalmazása után egy vagy több táblázatos integrálra redukáljuk.

Példák.

A 3 0 tulajdonság alapján az 5-ös állandó tényezőt kivesszük az integráljelből, és az 1-es képlet segítségével megkapjuk

Megoldás. A 3 0 tulajdonság és a 2. képlet felhasználásával kapjuk

Megoldás. A 3 0 és 4 0 tulajdonságok, valamint az 1 és 2 képletek felhasználásával megkaptuk

X + 3) = 4 + 12 = 4 - 4 + 12x + C = + 12x + C

A C integrációs állandó egyenlő három integrációs állandó algebrai összegével, mivel minden integrálnak megvan a maga tetszőleges állandója (C 1 – C 2 + C 3 = C)

Megoldás. Az egyes kifejezések négyzetre emelése és integrálása megvan

A trigonometrikus képlet segítségével 1 + kiságy 2 x =

= = - ctgx – x + C

Megoldás. Kivonva és hozzáadva a 9-es számot az integrandus számlálójához, azt kapjuk

= = + = - =

X + 9 + C = - x +

Példák önmegoldásra

Értékelje az integrálokat közvetlen integrációval:

A tanulók tudásának nyomon követése:

ellenőrizze a gyakorlati munkát;

A gyakorlati munka elvégzésének feltétele:

A feladatot füzetben kell kitölteni a gyakorlati munkához

Munka leadása óra után

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete

Számítsa ki a határozott integrált a közvetlen integrációs módszerrel! Közvetlen integrációs módszer

1. példa Keresse meg az integrálokat:

A) ; b) ;

V) G)

2. példa Keresse meg az integrálokat:

A) ; b) ;

V) G)

3. példa Keresse meg az integrálokat:

A) ; b) ; V) ;

G) ; d) ; e) ;

és) ; h) .

c) Hasonlóképpen, figyelembe véve, hogy , átalakítjuk:

.

Itt az 1. táblázatban szereplő 2c képletet használjuk.

G)

.

d) ;

e)

.

és) ;

h)

.

4. példa Keresse meg az integrálokat:

A) b)

5. példa Keresse meg az integrálokat:

6. példa. Keresse meg az integrálokat:

A) ; b) ;

V) ; G) .

7. példa. Keresse meg az integrálokat:

A) ; b) ;

V) ; G) .

b)

.

A dokumentum tartalmának megtekintése „Az integráció technikája Közvetlen integráció”

A)
; b)
;

V)
G)

A)
; b)
;

V)
G)

A)
; b)
; V)
;

G)
; d)
; e)
;

és)
; h)
.

A)
b)

A)
; b)
;

V)
; G)
.

A)
; b)
;

V)
; G)
.

A dokumentum tartalmának megtekintése
„Az integráció technikája Közvetlen integráció”