A szakasz geometriai feladatokat (síkrajzi szakasz) tartalmaz a trapézokkal kapcsolatban. Ha nem talált megoldást egy problémára, írjon róla a fórumon. A tanfolyam minden bizonnyal kiegészítésre kerül.

Trapéz alakú. Definíció, képletek és tulajdonságok

A trapéz (az ógörögül τραπέζιον - „asztal”; τράπεζα – „asztal, étel”) olyan négyszög, amelynek pontosan egy pár ellentétes oldala párhuzamos.

A trapéz olyan négyszög, amelynek két szemközti oldala párhuzamos.

Jegyzet. Ebben az esetben a paralelogramma a trapéz speciális esete.

A párhuzamos szemközti oldalakat a trapéz alapjainak, a másik kettőt pedig oldalsó oldalnak nevezzük.

A trapézok a következők:

- sokoldalú ;

- egyenlő szárú;

- négyszögletes

.
Piros és barna színek jelzik a trapéz oldalait, zöld és kék a trapéz alapját.

A - egyenlő szárú (egyenlő, egyenlő szárú) trapéz
B - téglalap alakú trapéz
C - scalene trapéz

A skálatrapéz minden oldala különböző hosszúságú, és az alapok párhuzamosak.

Az oldalak egyenlőek, az alapok párhuzamosak.

Az alapok párhuzamosak, az egyik oldala merőleges az alapokra, a második oldala ferde az alapokra.

A trapéz tulajdonságai

• Trapéz középvonala párhuzamos az alapokkal és egyenlő azok felével
• Az átlók felezőpontjait összekötő szakasz, egyenlő az alapok különbségének felével, és a középvonalon fekszik. A hossza
• A trapéz bármely szögének oldalait metsző párhuzamos egyenesek arányos szakaszokat vágnak le a szög oldalaiból (lásd Thalész tételét)
• Trapézátlók metszéspontja, oldalai nyúlványainak és alapjainak közepe metszéspontja ugyanazon az egyenesen van (lásd még a négyszög tulajdonságait)
• Alapokon fekvő háromszögek hasonlóak azok a trapézok, amelyek csúcsai az átlóinak metszéspontja. Az ilyen háromszögek területének aránya megegyezik a trapéz alapjai arányának négyzetével
• Háromszögek hevernek az oldalán Azok a trapézok, amelyek csúcsai az átlóinak metszéspontjai, területük egyenlő (területe egyenlő)
• A trapézba beírhat egy kört, ha egy trapéz alapjainak hosszának összege egyenlő az oldalai hosszának összegével. A középvonal ebben az esetben egyenlő az oldalak összegének osztva 2-vel (mivel a trapéz középvonala egyenlő az alapok összegének felével)
• Az alapokkal párhuzamos szegmensés áthaladva az átlók metszéspontján, az utóbbival felezve, és egyenlő az alapok szorzatának kétszeresével osztva a 2ab / (a ​​+ b) összegükkel (Burakov képlete)

Trapézszögek

Trapézszögek vannak élesek, egyenesek és tompák.
Csak két szög jó.

A téglalap alakú trapéznek két derékszöge van, a másik kettő pedig akut és tompa. Más típusú trapézoknak két hegyesszöge és két tompaszöge van.

A trapéz tompaszögei a kisebbek közé tartoznak az alap hosszában, és fűszeres - több alapon.

Bármilyen trapéz számításba jöhet mint egy csonka háromszög, melynek metszetvonala párhuzamos a háromszög alapjával.
Fontos. Kérjük, vegye figyelembe, hogy így (további trapéz háromszögig tartó felépítésével) néhány trapézproblémát meg lehet oldani, és bizonyos tételeket be lehet bizonyítani.

Hogyan találjuk meg a trapéz oldalait és átlóit

A trapéz oldalainak és átlóinak megtalálása az alábbi képletekkel történik:

Ezekben a képletekben az ábrán látható jelöléseket használjuk.

a - a trapéz alapjai közül a kisebbik
b - a trapéz alapjai közül a nagyobbik
c,d - oldalak
h 1 h 2 - átlók

A trapéz átlóinak négyzetösszege megegyezik a trapéz alapjainak és az oldalsó oldalak négyzetösszegének kétszeresével (2. képlet)

A tavalyi Egységes Államvizsga és Államvizsga gyakorlata azt mutatja, hogy sok iskolásnak okoznak nehézséget a geometriai problémák. Könnyen megbirkózik velük, ha megjegyzi az összes szükséges képletet, és gyakorolja a problémák megoldását.

Ebben a cikkben képleteket talál a trapéz területének megtalálásához, valamint példákat talál a megoldásokkal kapcsolatos problémákra. Ugyanezekkel találkozhat a KIM-ekben a minősítő vizsgák során vagy az olimpiákon. Ezért óvatosan bánjon velük.

Mit kell tudni a trapézról?

Először is emlékezzünk rá trapéz alakú négyszögnek nevezzük, amelyben két szemközti oldal, más néven bázis párhuzamos, a másik kettő pedig nem.

Trapézban a magasság (alapra merőlegesen) is csökkenthető. A középső vonal húzódik - ez egy egyenes vonal, amely párhuzamos az alapokkal, és egyenlő az összegük felével. Csakúgy, mint az átlók, amelyek keresztezhetik egymást, hegyes és tompaszögeket alkotva. Vagy bizonyos esetekben derékszögben. Ezen túlmenően, ha a trapéz egyenlő szárú, akkor kör írható bele. És írjon le egy kört körülötte.

Trapézfelület képletek

Először nézzük meg a hagyományos képleteket a trapéz területének meghatározásához. Az alábbiakban megvizsgáljuk az egyenlő szárú és a görbe vonalú trapézok területének kiszámításának módjait.

Tehát képzeljük el, hogy van egy a és b alappal rendelkező trapéz, amelyben a h magasság a nagyobb alapra van csökkentve. A figura területének kiszámítása ebben az esetben olyan egyszerű, mint a körte héja. Csak el kell osztania az alapok hosszának összegét kettővel, és meg kell szoroznia az eredményt a magassággal: S = 1/2(a + b)*h.

Vegyünk egy másik esetet: tegyük fel, hogy a trapézban a magasságon kívül van egy m középvonal. Ismerjük a képletet a középvonal hosszának megállapítására: m = 1/2(a + b). Ezért jogosan egyszerűsíthetjük a trapéz területének képletét a következő alakra: S = m* h. Más szóval, a trapéz területének megtalálásához meg kell szoroznia a középvonalat a magassággal.

Vegyünk egy másik lehetőséget: a trapéz d 1 és d 2 átlókat tartalmaz, amelyek nem metszik egymást α derékszögben. Egy ilyen trapéz területének kiszámításához el kell osztani az átlók szorzatát kettővel, és meg kell szorozni az eredményt a köztük lévő szög bűnével: S= 1/2d 1 d 2 *sinα.

Most nézzük meg a trapéz területének meghatározásának képletét, ha nem tudunk róla semmit, kivéve az összes oldal hosszát: a, b, c és d. Ez egy nehézkes és összetett képlet, de hasznos lesz, ha arra az esetre emlékszik: S = 1/2(a + b) * √c 2 – ((1/2(b – a)) * ((b – a) 2 + c 2 – d 2)) 2.

Mellesleg, a fenti példák arra az esetre is igazak, amikor egy téglalap alakú trapéz területének képletére van szükség. Ez egy trapéz, amelynek oldala derékszögben csatlakozik az alapokhoz.

Egyenlőszárú trapéz

Azt a trapézt, amelynek oldalai egyenlők, egyenlő szárúnak nevezzük. Több lehetőséget is megvizsgálunk az egyenlő szárú trapéz területének képletére.

Első lehetőség: arra az esetre, ha egy egyenlő szárú trapézba r sugarú kör van beírva, és az oldal és a nagyobb alap α hegyesszöget alkot. Trapézba kör írható, feltéve, hogy alapjai hosszának összege megegyezik az oldalak hosszának összegével.

Az egyenlő szárú trapéz területét a következőképpen számítjuk ki: szorozzuk meg a beírt kör sugarának négyzetét néggyel, és osszuk el sinα-val: S = 4r 2/sinα. Egy másik területképlet egy speciális eset arra az opcióra, amikor a nagy alap és az oldal közötti szög 30 0: S = 8r2.

Második lehetőség: ezúttal egy egyenlő szárú trapézt veszünk, amelybe ezen kívül a d 1 és d 2 átló, valamint a h magasság is megrajzolódik. Ha egy trapéz átlói egymásra merőlegesek, akkor a magasság az alapok összegének fele: h = 1/2(a + b). Ennek ismeretében könnyű átalakítani a már ismert trapéz terület képletét ebbe a formába: S = h 2.

Az ívelt trapéz területének képlete

Kezdjük azzal, hogy kitaláljuk, mi az ívelt trapéz. Képzeljünk el egy koordinátatengelyt és egy olyan f folytonos és nemnegatív függvény grafikonját, amely nem változtat előjelet az x tengely adott szakaszán belül. A görbe vonalú trapézt az y = f(x) függvény grafikonja alkotja - felül, az x tengely alul (szegmens), oldalakon pedig az a és b pontok közé húzott egyenesek és a grafikonja. a funkciót.

A fenti módszerekkel lehetetlen kiszámítani egy ilyen nem szabványos szám területét. Itt matematikai elemzést kell alkalmazni, és az integrált kell használni. Nevezetesen: a Newton-Leibniz képlet - S = ∫ b a f(x)dx = F(x)│ b a = F(b) – F(a). Ebben a képletben F a függvényünk antideriváltja a kiválasztott szegmensen. És egy görbe vonalú trapéz területe megfelel az antiderivált növekedésének egy adott szegmensen.

Minta problémák

Annak érdekében, hogy ezeket a képleteket könnyebben megértse a fejében, íme néhány példa a trapéz területének megtalálásának problémáira. Az lesz a legjobb, ha először saját maga próbálja megoldani a problémákat, és csak ezután hasonlítja össze a kapott választ a kész megoldással.

1. feladat: Adott egy trapéz. Nagyobb alapja 11 cm, a kisebbé 4 cm. A trapéz átlói, az egyik 12 cm hosszú, a második 9 cm.

Megoldás: Készítsen trapéz AMRS-t. Húzzunk egy РХ egyenest a P csúcson keresztül úgy, hogy párhuzamos legyen az MC átlóval, és az X pontban metszi az AC egyenest. Kapunk egy APХ háromszöget.

A manipulációk eredményeként kapott két ábrát fogjuk figyelembe venni: az APX háromszöget és a CMRX paralelogrammát.

A paralelogrammának köszönhetően megtudjuk, hogy PX = MC = 12 cm és CX = MR = 4 cm. Ahonnan kiszámolhatjuk az ARX háromszög AX oldalát: AX = AC + CX = 11 + 4 = 15 cm.

Azt is bebizonyíthatjuk, hogy az APX háromszög derékszögű (ehhez alkalmazzuk a Pitagorasz-tételt - AX 2 = AP 2 + PX 2). És számítsa ki a területét: S APX = 1/2 (AP * PX) = 1/2 (9 * 12) = 54 cm 2.

Ezután be kell bizonyítania, hogy az AMP és a PCX háromszögek területe egyenlő. Az alap az MR és a CX felek egyenlősége lesz (a fent már bizonyított). És azok a magasságok is, amelyeket ezeken az oldalakon csökkentesz – ezek megegyeznek az AMRS trapéz magasságával.

Mindez lehetővé teszi, hogy azt mondjuk, hogy S AMPC = S APX = 54 cm 2.

2. feladat: A trapéz KRMS adott. Oldaloldalain O és E pontok, míg OE és KS párhuzamosak. Az is ismert, hogy az ORME és az OKSE trapéz területei 1:5 arányban vannak. RM = a és KS = b. Meg kell találni az OE-t.

Megoldás: Rajzoljunk egy egyenest az RK-vel párhuzamosan az M ponton keresztül, és jelöljük ki az OE-vel való metszéspontját T-nek. A az RK-vel párhuzamos E ponton húzott egyenes és a KS alap metszéspontja.

Vezessünk be még egy jelölést - OE = x. Valamint a TME háromszög h 1 magassága és az AEC háromszög h 2 magassága (függetlenül bizonyíthatja ezeknek a háromszögeknek a hasonlóságát).

Feltételezzük, hogy b > a. Az ORME és OKSE trapézok területei 1:5 arányban vannak, ami jogot ad a következő egyenlet létrehozására: (x + a) * h 1 = 1/5(b + x) * h 2. Alakítsuk át, és kapjuk: h 1 / h 2 = 1/5 * ((b + x)/(x + a)).

Mivel a TME és az AEC háromszögek hasonlóak, h 1 / h 2 = (x – a)/(b – x). Kombináljuk a két bejegyzést, és kapjuk: (x – a)/(b – x) = 1/5 * ((b + x)/(x + a)) ↔ 5(x – a)(x + a) = ( b + x)(b – x) ↔ 5(x 2 – a 2) = (b 2 – x 2) ↔ 6x 2 = b 2 + 5a 2 ↔ x = √(5a 2 + b 2)/6.

Így OE = x = √(5a 2 + b 2)/6.

Következtetés

A geometria nem a legegyszerűbb tudomány, de a vizsgakérdésekkel biztosan megbirkózik. Elég egy kis kitartást mutatni a felkészülés során. És természetesen emlékezzen az összes szükséges képletre.

Megpróbáltuk egy helyen összegyűjteni a trapéz területének kiszámításához szükséges összes képletet, hogy felhasználhassa őket a vizsgákra való felkészülés és az anyag átdolgozása során.

Feltétlenül mondja el osztálytársainak és barátainak a közösségi hálózatokon ezt a cikket. Legyen több jó jegy az egységes államvizsgára és az államvizsgákra!

blog.site, az anyag teljes vagy részleges másolásakor az eredeti forrásra mutató hivatkozás szükséges.

Utasítás

Hogy mindkét módszer érthetőbb legyen, hozhatunk néhány példát.

1. példa: a trapéz középvonalának hossza 10 cm, területe 100 cm². A trapéz magasságának meghatározásához a következőket kell tennie:

h = 100/10 = 10 cm

Válasz: ennek a trapéznak a magassága 10 cm

2. példa: a trapéz területe 100 cm², az alapok hossza 8 cm és 12 cm A trapéz magasságának meghatározásához a következő műveletet kell végrehajtania:

h = (2*100)/(8+12) = 200/20 = 10 cm

Válasz: ennek a trapéznak a magassága 20 cm

Kérjük, vegye figyelembe

Többféle trapéz létezik:
Az egyenlő szárú trapéz olyan trapéz, amelyben az oldalak egyenlőek egymással.
A derékszögű trapéz olyan trapéz, amelynek egyik belső szöge 90 fok.
Érdemes megjegyezni, hogy egy téglalap alakú trapézban a magasság egybeesik az oldal hosszával derékszögben.
Rajzolhat egy kört egy trapéz köré, vagy illesztheti egy adott alakzatba. Egy kört csak akkor írhatunk be, ha az alapjainak összege egyenlő a szemközti oldalainak összegével. Kör csak egyenlő szárú trapéz körül írható le.

Hasznos tanácsok

A paralelogramma a trapéz speciális esete, mert a trapéz definíciója semmiképpen sem mond ellent a paralelogramma definíciójának. A paralelogramma olyan négyszög, amelynek szemközti oldalai párhuzamosak egymással. A trapéz esetében a definíció csak az oldalpárra vonatkozik. Ezért minden paralelogramma trapéz is. A fordított állítás nem igaz.

Források:

• hogyan találjuk meg a trapézformula területét

2. tipp: Hogyan lehet megtalálni a trapéz magasságát, ha a terület ismert

A trapéz olyan négyszög, amelynek négy oldala közül kettő párhuzamos egymással. A párhuzamos oldalak az adott alapjai, a másik kettő az adott oldaloldalai. trapéz alakúak. Lelet magasság trapéz alakúak, ha ismert négyzet, nagyon könnyű lesz.

Utasítás

Ki kell találni, hogyan kell számolni négyzet eredeti trapéz alakúak. Erre több képlet is létezik a kiindulási adatoktól függően: S = ((a+b)*h)/2, ahol a és b bázis trapéz alakúak, és h a magassága (Height trapéz alakúak- merőleges, egyik alapról leeresztve trapéz alakúak másiknak);
S = m*h, ahol m egyenes trapéz alakúak(A középső vonal egy szegmens alapokkal trapéz alakúakés oldalainak felezőpontjait összekötve).

Hogy világosabb legyen, hasonló problémákat is figyelembe vehetünk: 1. példa: Adott egy trapéz -val négyzet 68 cm², amelynek középső vonala 8 cm, meg kell találnia magasság adott trapéz alakúak. A probléma megoldásához a korábban levezetett képletet kell használni:
h = 68/8 = 8,5 cm Válasz: ennek magassága trapéz alakúak 8,5 cm 2. példa: Legyen y trapéz alakúak négyzet 120 cm², ennek alapjainak hossza trapéz alakúak 8 cm és 12 cm, meg kell találnia magasság ez trapéz alakúak. Ehhez alkalmaznia kell az egyik származtatott képletet:
h = (2*120)/(8+12) = 240/20 = 12 cmVálasz: adott magasság trapéz alakúak egyenlő 12 cm-rel

Videó a témáról

Kérjük, vegye figyelembe

Bármely trapéznek számos tulajdonsága van:

A trapéz középvonala egyenlő az alapjai összegének felével;

A trapéz átlóit összekötő szakasz egyenlő az alapjai közötti különbség felével;

Ha az alapok felezőpontjain keresztül egy egyenest húzunk, akkor az metszi a trapéz átlóinak metszéspontját;

Egy kör akkor írható a trapézba, ha a trapéz alapjainak összege egyenlő az oldalak összegével.

Használja ezeket a tulajdonságokat a problémák megoldásához.

3. tipp: Hogyan lehet megtalálni a trapéz területét, ha az alapok ismertek

Geometriai definíció szerint a trapéz olyan négyszög, amelynek csak egy pár oldala párhuzamos. Ezek az oldalak az övéi okokból. Közötti távolság okokból magasságnak nevezik trapéz alakúak. Lelet négyzet trapéz alakúak geometriai képletek segítségével lehetséges.

Utasítás

Mérjük meg az alapokat és trapéz alakúak ABCD. Általában feladatokban adják meg. Legyen ebben a példafeladatban az AD (a) bázis trapéz alakúak egyenlő lesz 10 cm-rel, BC alap (b) - 6 cm, magasság trapéz alakúak BK (h) - 8 cm Használja a geometriát a terület megkereséséhez trapéz alakúak, ha ismert alapjainak hossza és magassága - S= 1/2 (a+b)*h, ahol: - a - az alap AD mérete trapéz alakúak ABCD, - b - a BC alap értéke, - h - a BK magasság értéke.

Trapéz négyszögnek nevezzük, amelynek csak kettő oldalai párhuzamosak egymással.

Ezeket a figura alapjainak, a fennmaradóakat oldalaknak nevezzük. A paralelogrammák egy alak speciális eseteinek számítanak. Létezik egy görbe trapéz is, amely egy függvény grafikonját tartalmazza. A trapéz területére vonatkozó képletek szinte minden elemét tartalmazzák, és a legjobb megoldást az adott értékek függvényében választják ki.
A trapéz fő szerepei a magassághoz és a középvonalhoz vannak hozzárendelve. Középső vonal- Ez egy vonal, amely összeköti az oldalak felezőpontjait. Magasság A trapéz a felső saroktól az alapig derékszögben van megrajzolva.
A trapéz területe a magasságon át egyenlő az alapok hossza összegének felének szorzata a magassággal:

Ha az átlagos vonal a feltételek szerint ismert, akkor ez a képlet jelentősen leegyszerűsödik, mivel egyenlő az alapok hosszának összegének felével:

Ha a feltételeknek megfelelően minden oldal hosszát megadjuk, akkor megfontolhatunk egy példát a trapéz területének kiszámítására az alábbi adatok felhasználásával:

Tegyük fel, hogy kapunk egy trapézt, amelynek alapjai a = 3 cm, b = 7 cm, oldalai c = 5 cm, d = 4 cm. Határozzuk meg az ábra területét:

Egy egyenlő szárú trapéz területe

Az egyenlő szárú trapéz, vagy ahogy más néven egyenlő szárú trapéz, külön esetnek minősül.
Különleges eset az egyenlő szárú (egyenlő oldalú) trapéz területének megtalálása. A képlet különféle módon származtatható - átlókon, az alappal szomszédos szögeken és a beírt kör sugarán keresztül.
Ha az átlók hossza a feltételeknek megfelelően van megadva, és ismert a köztük lévő szög, akkor a következő képletet használhatja:

Ne feledje, hogy egy egyenlő szárú trapéz átlói egyenlőek egymással!

Vagyis az egyik alapjuk, oldaluk és szögük ismeretében könnyen kiszámítható a terület.

Egy ívelt trapéz területe

Különleges eset az ívelt trapéz. A koordinátatengelyen helyezkedik el, és egy folytonos pozitív függvény grafikonja korlátozza.

Alapja az X tengelyen található, és két pontra korlátozódik:
Az integrálok segítenek kiszámítani az ívelt trapéz területét.
A képlet így van írva:

Tekintsünk egy példát egy ívelt trapéz területének kiszámítására. A képlet bizonyos ismereteket igényel, hogy bizonyos integrálokkal működjön. Először nézzük meg a határozott integrál értékét:

Itt F(a) az f(x) antiderivatív függvény értéke az a pontban, F(b) pedig ugyanazon f(x) függvény értéke a b pontban.

Most oldjuk meg a problémát. Az ábrán a függvény által határolt íves trapéz látható. Funkció
Meg kell találnunk a kiválasztott ábra területét, amely egy görbe vonalú trapéz, amelyet fent a grafikon határol, jobbról az x =(-8), balról az x =(-10 ) és az OX tengely alatt.
Az ábra területét a következő képlet segítségével számítjuk ki:

A probléma feltételei függvényt adnak nekünk. Használatával minden pontunknál megtaláljuk az antiderivált értékeit:


Jelenleg
Válasz: Egy adott ívelt trapéz területe 4.

Ennek az értéknek a kiszámításában nincs semmi bonyolult. Az egyetlen dolog, ami fontos, az a rendkívüli óvatosság a számításoknál.

Ahhoz, hogy magabiztosan érezzük magunkat és sikeresen megoldjuk a feladatokat a geometria órákon, nem elég megtanulni a képleteket. Először is meg kell őket érteni. Félni, és még inkább utálni a képletektől, terméketlen. Ez a cikk elérhető nyelven elemzi a trapéz területének megtalálásának különféle módjait. A megfelelő szabályok és tételek jobb megértése érdekében figyelmet fordítunk a tulajdonságaira. Ez segít megérteni, hogyan működnek a szabályok, és milyen esetekben kell bizonyos képleteket alkalmazni.

Trapéz meghatározása

Összességében milyen figura ez? A trapéz egy sokszög, amelynek négy sarka és két párhuzamos oldala van. A trapéz másik két oldala eltérő szögben dönthető. Párhuzamos oldalait alapoknak nevezzük, a nem párhuzamos oldalakra pedig az „oldalak” vagy „csípők” elnevezést használják. Az ilyen alakok meglehetősen gyakoriak a mindennapi életben. A trapéz körvonalai a ruhák, belső tárgyak, bútorok, edények és sok más sziluettjein láthatók. Különböző típusú trapézok léteznek: skála, egyenlő oldalú és téglalap alakú. Típusukat és tulajdonságaikat a cikk későbbi részében részletesebben megvizsgáljuk.

A trapéz tulajdonságai

Hadd tartsuk röviden ennek az ábrának a tulajdonságait. A bármely oldallal szomszédos szögek összege mindig 180°. Meg kell jegyezni, hogy a trapéz összes szöge 360°-ot tesz ki. A trapéznek a középvonal fogalma van. Ha az oldalak felezőpontjait összeköti egy szegmenssel, ez lesz a középvonal. Kijelölése m. A középső egyenesnek fontos tulajdonságai vannak: mindig párhuzamos az alapokkal (emlékezzünk arra, hogy az alapok is párhuzamosak egymással), és egyenlő a félösszegükkel:

Ezt a definíciót meg kell tanulni és megérteni, mert ez a kulcsa sok probléma megoldásának!

A trapéz segítségével a magasságot mindig az alapig csökkentheti. A magasság egy merőleges, amelyet gyakran h szimbólummal jelölnek, és amelyet az egyik bázis bármely pontjáról egy másik bázisra vagy annak kiterjesztésére húznak. A középvonal és a magasság segít megtalálni a trapéz területét. Az ilyen jellegű problémák a leggyakrabban az iskolai geometria szakon fordulnak elő, és rendszeresen megjelennek a teszt- és vizsgadolgozatok között.

A trapéz területének legegyszerűbb képlete

Nézzük meg a trapéz területének meghatározásához használt két legnépszerűbb és legegyszerűbb képletet. Elegendő a magasságot megszorozni az alapok összegének felével, hogy könnyen megtalálja, amit keres:

S = h*(a + b)/2.

Ebben a képletben a, b jelöli a trapéz alapjait, h - a magasságot. Az áttekinthetőség kedvéért ebben a cikkben a szorzójeleket egy szimbólummal (*) jelöljük a képletekben, bár a hivatalos kézikönyvekben a szorzójelet általában elhagyják.

Nézzünk egy példát.

Adott: egy trapéz, amelynek két alapja 10 és 14 cm, magassága 7 cm Mekkora a trapéz területe?

Nézzük a megoldást erre a problémára. Ezzel a képlettel először meg kell találni az alapok félösszegét: (10+14)/2 = 12. Tehát a félösszeg egyenlő 12 cm-rel. Most megszorozzuk a félösszeget a magassággal: 12*7 = 84. Amit keresünk, az megtalálható. Válasz: A trapéz területe 84 négyzetméter. cm.

A második jól ismert képlet szerint a trapéz területe egyenlő a trapéz középvonalának és magasságának szorzatával. Vagyis tulajdonképpen a középvonal korábbi fogalmából következik: S=m*h.

Átlók használata számításokhoz

A trapéz területének megtalálásának másik módja valójában nem olyan bonyolult. Átlóihoz kapcsolódik. Ezzel a képlettel a terület meghatározásához meg kell szorozni az átlók félszorzatát (d 1 d 2) a köztük lévő szög szinuszával:

S = ½ d 1 d 2 sin a.

Tekintsünk egy problémát, amely bemutatja ennek a módszernek az alkalmazását. Adott: egy trapéz, amelynek átlóinak hossza 8, illetve 13 cm. Az átlók közötti a szög 30°. Keresse meg a trapéz területét.

Megoldás. A fenti képlet segítségével könnyen kiszámítható, hogy mire van szükség. Mint tudják, a sin 30° 0,5. Ezért S = 8*13*0,5=52. Válasz: a terület 52 négyzetméter. cm.

Egy egyenlő szárú trapéz területének meghatározása

A trapéz lehet egyenlő szárú (egyenlő szárú). Oldalai azonosak, az alapoknál a szögek egyenlőek, amit az ábra is jól szemléltet. Az egyenlő szárú trapéz ugyanazokkal a tulajdonságokkal rendelkezik, mint a hagyományos trapéz, és számos speciális tulajdonsággal rendelkezik. Egy egyenlő szárú trapéz köré kör írható, azon belül pedig kör írható be.

Milyen módszerek léteznek egy ilyen szám területének kiszámítására? Az alábbi módszer sok számítást igényel. Használatához ismernie kell a trapéz alapjában lévő szög szinuszának (sin) és koszinuszának (cos) értékét. Kiszámításukhoz Bradis táblákra vagy mérnöki számológépre van szüksége. Íme a képlet:

S= c*bűn a*(a - c*kötözősaláta a),

Ahol Vel- oldalsó comb, a- szög az alsó alapnál.

Az egyenlő oldalú trapéz átlói egyenlő hosszúak. Ennek fordítva is igaz: ha egy trapéznak egyenlő átlói vannak, akkor egyenlő szárú. Ezért a következő képlet segít megtalálni a trapéz területét - az átlók négyzetének és a köztük lévő szög szinuszának fele szorzata: S = ½ d 2 sin a.

Egy téglalap alakú trapéz területének meghatározása

A téglalap alakú trapéz speciális esete ismert. Ez egy trapéz, amelynek egyik oldala (a combja) derékszögben csatlakozik az alapokhoz. Szabályos trapéz tulajdonságaival rendelkezik. Ezen kívül van egy nagyon érdekes funkciója. Az ilyen trapéz átlóinak négyzeteinek különbsége megegyezik az alapjainak négyzeteinek különbségével. Ehhez az összes korábban leírt területszámítási módszert használják.

Használjuk a találékonyságot

Van egy trükk, ami segíthet, ha elfelejtünk bizonyos képleteket. Nézzük meg közelebbről, mi az a trapéz. Ha gondolatban részekre osztjuk, ismerős és érthető geometriai formákat kapunk: négyzet vagy téglalap és háromszög (egy vagy kettő). Ha ismert a trapéz magassága és oldalai, használhatja a háromszög és a téglalap területére vonatkozó képleteket, majd összeadhatja az összes kapott értéket.

Illusztráljuk ezt a következő példával. Adott egy téglalap alakú trapéz. C szög = 45°, A, D szögek 90°. A trapéz felső alapja 20 cm, magassága 16 cm Ki kell számítani az ábra területét.

Ez az ábra nyilvánvalóan egy téglalapból (ha két szög egyenlő 90°-kal) és egy háromszögből áll. Mivel a trapéz téglalap alakú, ezért a magassága megegyezik az oldalával, azaz 16 cm. Van egy téglalapunk, amelynek oldalai 20, illetve 16 cm. Most vegyünk egy háromszöget, amelynek szöge 45°. Tudjuk, hogy az egyik oldala 16 cm. Mivel ez az oldal a trapéz magassága is (és tudjuk, hogy a magasság derékszögben ereszkedik le az alapra), ezért a háromszög második szöge 90°. Ezért a háromszög fennmaradó szöge 45°. Ennek az a következménye, hogy egy derékszögű egyenlő szárú háromszöget kapunk, melynek két oldala azonos. Ez azt jelenti, hogy a háromszög másik oldala megegyezik a magassággal, azaz 16 cm-rel. Csak ki kell számítani a háromszög és a téglalap területét, és összeadni a kapott értékeket.

Egy derékszögű háromszög területe egyenlő a lábai szorzatának felével: S = (16*16)/2 = 128. A téglalap területe egyenlő a szélességének és hosszúságának szorzatával: S = 20*16 = 320. Megtaláltuk a szükséges: a trapéz területe S = 128 + 320 = 448 nm. lásd Könnyen ellenőrizheti magát a fenti képletekkel, a válasz azonos lesz.

A Pick formulát használjuk

Végül bemutatunk egy másik eredeti képletet, amely segít megtalálni a trapéz területét. Pick képletnek hívják. Használata kényelmes, ha a trapéz kockás papírra van rajzolva. Hasonló problémák gyakran találhatók a GIA anyagokban. Így néz ki:

S = M/2 + N - 1,

ebben a képletben M a csomópontok száma, azaz. az ábra vonalainak metszéspontjai a cella vonalaival a trapéz határain (narancssárga pontok az ábrán), N az ábrán belüli csomópontok száma (kék pontok). A legkényelmesebb egy szabálytalan sokszög területének megtalálásakor használni. Minél nagyobb azonban az alkalmazott technikák arzenálja, annál kevesebb a hiba, és annál jobbak az eredmények.

Természetesen a közölt információk nem merítik ki a trapéz típusait és tulajdonságait, valamint a terület megtalálásának módszereit. Ez a cikk áttekintést nyújt a legfontosabb jellemzőiről. A geometriai feladatok megoldása során fontos, hogy fokozatosan cselekedjünk, egyszerű képletekkel és problémákkal kezdjünk, következetesen megszilárdítsuk megértésünket, és a komplexitás egy másik szintjére lépjünk.

Összegyűjtve a leggyakoribb képletek segítenek a tanulóknak eligazodni a trapéz területének kiszámításának különböző módjai között, és jobban felkészülni a témával kapcsolatos tesztekre és feladatokra.

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete