Harmonikus rezgések meghatározása. Harmonikus egyenlet

Idővel változik egy szinuszos törvény szerint:

Ahol x- az ingadozó mennyiség értéke az időpillanatban t, A- amplitúdó, ω - körkörös frekvencia, φ — az oszcilláció kezdeti fázisa, ( φt + φ ) - a rezgések teljes fázisa. Ugyanakkor az értékek A, ω És φ - állandó.

Ingadozó nagyságú mechanikai rezgésekhez x különösen az elmozdulás és a sebesség, az elektromos rezgések - feszültség és áram.

A harmonikus rezgések különleges helyet foglalnak el az összes rezgéstípus között, mivel ez az egyetlen olyan rezgéstípus, amelynek alakja nem torzul el semmilyen homogén közegen áthaladva, azaz a harmonikus rezgések forrásából terjedő hullámok is harmonikusak lesznek. Bármilyen nem harmonikus rezgés ábrázolható különféle harmonikus rezgések összegeként (integráljaként) (harmonikus rezgések spektruma formájában).

Energia átalakulások harmonikus rezgések során.

Az oszcillációs folyamat során potenciális energiaátadás történik Wp kinetikusra Wkés fordítva. Az egyensúlyi helyzettől való maximális eltérés helyén a potenciális energia maximális, a mozgási energia nulla. Az egyensúlyi helyzetbe visszatérve a rezgő test sebessége nő, és ezzel együtt a mozgási energia is nő, egyensúlyi helyzetben elérve a maximumot. A potenciális energia nullára csökken. A további mozgás a sebesség csökkenésével történik, amely nullára csökken, amikor az elhajlás eléri a második maximumát. A potenciális energia itt a kezdeti (maximális) értékére nő (súrlódás hiányában). Így a kinetikus és a potenciális energiák rezgései kétszeres frekvenciával fordulnak elő (magának az inga rezgéseihez képest), és ellenfázisúak (azaz fáziseltolódás van köztük egyenlő π ). Teljes rezgési energia W változatlan marad. Rugalmas erő hatására oszcilláló test esetén ez egyenlő:

Ahol v m— maximális testsebesség (egyensúlyi helyzetben), x m = A- amplitúdó.

A közeg súrlódása és ellenállása miatt a szabad rezgések gyengülnek: energiájuk és amplitúdójuk idővel csökken. Ezért a gyakorlatban a kényszerített rezgéseket gyakrabban használják, mint a szabadokat.

Oszcillációk nevezzük azokat a mozgásokat vagy folyamatokat, amelyeket időben bizonyos megismételhetőség jellemez. Az oszcillációk széles körben elterjedtek a környező világban, és nagyon eltérő természetűek lehetnek. Ezek lehetnek mechanikus (inga), elektromágneses (oszcillációs áramkör) és más típusú rezgések.
Ingyenes, vagy saját oszcillációnak nevezzük azokat az oszcillációkat, amelyek egy magára hagyott rendszerben fordulnak elő, miután azt külső hatás kihozta az egyensúlyi helyzetből. Példa erre a menetre felfüggesztett golyó rezgése.

Különleges szerep az oszcillációs folyamatokban az oszcilláció legegyszerűbb formája van - harmonikus rezgések. A felharmonikus rezgések képezik az alapját a különféle természetű rezgések vizsgálatának egységes megközelítésének, hiszen a természetben és a technikában fellelhető rezgések gyakran közel állnak a harmonikusokhoz, és az eltérő formájú periodikus folyamatok harmonikus rezgések szuperpozíciójaként ábrázolhatók.

Harmonikus rezgések Olyan rezgéseknek nevezzük, amelyekben a rezgési mennyiség a törvény szerint idővel változik szinusz vagy koszinusz.

Harmonikus egyenleta következő formában van:

hol egy - rezgés amplitúdója (a rendszer egyensúlyi helyzettől való legnagyobb eltérésének nagysága); -körkörös (ciklikus) frekvencia. A koszinusz periodikusan változó argumentumát ún oszcillációs fázis . Az oszcillációs fázis határozza meg a rezgő mennyiség elmozdulását az egyensúlyi helyzetből egy adott t időpontban. A φ konstans a fázisértéket jelenti t = 0 időpontban, és meghívásra kerül az oszcilláció kezdeti fázisa . A kezdeti fázis értékét a referenciapont megválasztása határozza meg. Az x érték -A és +A közötti értékeket vehet fel.

A T időintervallum, amelyen keresztül az oszcillációs rendszer bizonyos állapotai ismétlődnek, az oszcilláció periódusának nevezzük . A koszinusz 2π periódusú periodikus függvény, ezért a T időtartam alatt, amely után az oszcillációs fázis 2π-nek megfelelő növekményt kap, a harmonikus rezgéseket végző rendszer állapota megismétlődik. Ezt a T időtartamot harmonikus rezgések periódusának nevezzük.

A harmonikus rezgések periódusa egyenlő : T = 2π/ .

Az egységnyi idő alatti rezgések számát ún rezgési frekvencia ν.
Harmonikus frekvencia egyenlő: ν = 1/T. Frekvencia egység hertz(Hz) - egy oszcilláció másodpercenként.

A körfrekvencia = 2π/T = 2πν megadja a rezgések számát 2π másodpercben.

Grafikusan a harmonikus rezgések ábrázolhatók x t-től való függéseként (1.1.A ábra), és forgó amplitúdó módszer (vektordiagram módszer)(1.1.B ábra) .

A forgó amplitúdó módszer lehetővé teszi a harmonikus rezgési egyenletben szereplő összes paraméter megjelenítését. Valóban, ha az amplitúdóvektor A az x tengellyel φ szöget zár be (lásd 1.1. B ábra), akkor az x tengelyre vetülete egyenlő lesz: x = Acos(φ). A φ szög a kezdeti fázis. Ha a vektor A a rezgések körfrekvenciájával megegyező szögsebességgel forog, akkor a vektor végének vetülete az x tengely mentén elmozdul és -A és +A közötti értékeket vesz fel, és ennek a vetületnek a koordinátája törvény szerint idővel változik:
.

Így a vektor hossza megegyezik a harmonikus rezgés amplitúdójával, a vektor iránya a kezdeti pillanatban az x tengellyel szöget zár be, amely megegyezik a φ rezgések kezdeti fázisával, és az irányszög változása idővel egyenlő a harmonikus rezgések fázisával. Az az idő, amely alatt az amplitúdóvektor egy teljes fordulatot tesz, megegyezik a harmonikus rezgések T periódusával. A vektorfordulatok száma másodpercenként megegyezik a ν rezgési frekvenciával.

Bármely mennyiség változását a szinusz vagy koszinusz törvényei segítségével írjuk le, majd az ilyen rezgéseket harmonikusnak nevezzük. Tekintsünk egy áramkört, amely egy kondenzátorból (amelyet az áramkörbe helyezés előtt fel volt töltve) és egy induktorból (1. ábra) áll.

1. kép

A harmonikus rezgésegyenlet a következőképpen írható fel:

$q=q_0cos((\omega )_0t+(\alpha )_0)$ (1)

ahol $t$ az idő; $q$ töltés, $q_0$-- a töltés maximális eltérése az átlagos (nulla) értékétől a változtatások során; $(\omega )_0t+(\alpha )_0$- oszcillációs fázis; $(\alpha )_0$- kezdeti fázis; $(\omega )_0$ - ciklikus frekvencia. Az időszak alatt a fázis $2\pi $-val változik.

A forma egyenlete:

a harmonikus rezgések differenciális formájú egyenlete olyan rezgőkörhöz, amely nem tartalmaz aktív ellenállást.

Bármilyen típusú periodikus rezgés pontosan ábrázolható harmonikus rezgések összegeként, az úgynevezett harmonikus sorozatként.

Egy tekercsből és kondenzátorból álló áramkör rezgési periódusára megkapjuk a Thomson-képletet:

Ha az (1) kifejezést az idő függvényében megkülönböztetjük, megkapjuk a $I(t)$ függvény képletét:

A kondenzátoron lévő feszültség a következőképpen nézhető meg:

Az (5) és (6) képletből az következik, hogy az áramerősség $\frac(\pi )(2) értékkel megelőzi a kondenzátor feszültségét.$

A harmonikus rezgések egyenletek, függvények és vektordiagramok formájában is ábrázolhatók.

Az (1) egyenlet szabad csillapítatlan rezgéseket jelent.

Csillapított oszcillációs egyenlet

Az áramkörben lévő kondenzátorlapokon a töltés változását ($q$) az ellenállás figyelembevételével (2. ábra) a következő alakú differenciálegyenlet írja le:

2. ábra.

Ha az ellenállás, amely az áramkör része $R\

ahol $\omega =\sqrt(\frac(1)(LC)-\frac(R^2)(4L^2))$ a ciklikus oszcillációs frekvencia. $\beta =\frac(R)(2L)-$csillapítási együttható. A csillapított rezgések amplitúdója a következőképpen fejezhető ki:

Ha $t=0$-nál a kondenzátor töltése $q=q_0$ és nincs áram az áramkörben, akkor $A_0$-ra írhatjuk:

Az oszcillációk fázisa az idő kezdeti pillanatában ($(\alpha )_0$) egyenlő:

Amikor $R >2\sqrt(\frac(L)(C))$ a töltésváltozás nem rezgés, a kondenzátor kisülését periodikusnak nevezzük.

1. példa

Gyakorlat: A maximális terhelési érték $q_0=10\ C$. Harmonikusan változik $T= 5 s$ periódussal. Határozza meg a lehetséges maximális áramerősséget.

Megoldás:

A probléma megoldásához a következőket használjuk:

Az áramerősség meghatározásához az (1.1) kifejezést az idő függvényében meg kell különböztetni:

ahol az áramerősség maximuma (amplitúdója) a következő kifejezés:

A feladat feltételeiből ismerjük a töltés amplitúdóértékét ($q_0=10\ C$). Meg kell találnia az oszcillációk természetes frekvenciáját. Fogalmazzuk meg így:

\[(\omega )_0=\frac(2\pi )(T)\left(1,4\right).\]

Ebben az esetben a kívánt értéket az (1.3) és (1.2) egyenletekkel találjuk meg:

Mivel a problémafeltételekben szereplő összes mennyiséget az SI rendszerben mutatjuk be, a számításokat elvégezzük:

Válasz:$I_0=12,56\ A.$

2. példa

Gyakorlat: Mennyi a rezgés periódusa egy $L=1$H tekercset és egy kondenzátort tartalmazó áramkörben, ha az áramkörben az áramerősség a törvény szerint változik: $I\left(t\right)=-0.1sin20\ pi t\ \left(A \right)?$ Mekkora a kondenzátor kapacitása?

Megoldás:

Az áramingadozások egyenletéből, amelyet a probléma feltételei között adunk meg:

látjuk, hogy $(\omega )_0=20\pi $, ezért az oszcilláció periódusát a következő képlettel számíthatjuk ki:

\ \

A Thomson-féle képlet szerint egy induktivitást és egy kondenzátort tartalmazó áramkörre vonatkozóan a következőket kapjuk:

Számítsuk ki a kapacitást:

Válasz:$T=0,1$ c, $C=2,5\cdot (10)^(-4)F.$

Harmonikus rezgések

Függvénygrafikonok f(x) = bűn( x) És g(x) = cos( x) a derékszögű síkon.

Harmonikus rezgés- oszcillációk, amelyekben egy fizikai (vagy bármely más) mennyiség idővel szinuszos vagy koszinusztörvény szerint változik. A harmonikus rezgések kinematikai egyenlete alakja

Ahol x- az oszcilláló pont elmozdulása (eltérése) az egyensúlyi helyzettől a t időpontban; A- rezgések amplitúdója, ez az az érték, amely meghatározza az oszcillációs pont maximális eltérését az egyensúlyi helyzettől; ω - ciklikus frekvencia, a 2π másodpercen belül fellépő teljes rezgések számát jelző érték - a rezgések teljes fázisa, - az oszcillációk kezdeti fázisa.

Általánosított harmonikus rezgés differenciális formában

(Ennek a differenciálegyenletnek bármely nem triviális megoldása ciklikus frekvenciájú harmonikus rezgés)

A rezgések fajtái

Az elmozdulás, a sebesség és a gyorsulás időbeli alakulása harmonikus mozgásban

• Szabad rezgések a rendszer belső erőinek hatása alatt hajtják végre, miután a rendszert eltávolították egyensúlyi helyzetéből. Ahhoz, hogy a szabad rezgések harmonikusak legyenek, szükséges, hogy az oszcillációs rendszer lineáris legyen (lineáris mozgásegyenletekkel írja le), és ne legyen benne energiadisszipáció (ez utóbbi csillapítást okozna).
• Kényszerrezgések külső periodikus erő hatására hajtják végre. Ahhoz, hogy harmonikusak legyenek, elég, ha az oszcillációs rendszer lineáris (lineáris mozgásegyenletekkel írja le), és maga a külső erő is idővel harmonikus rezgésként változik (vagyis, hogy ennek az erőnek az időfüggése szinuszos) .

Alkalmazás

A harmonikus rezgések a következő okok miatt tűnnek ki az összes többi rezgéstípus közül:

Lásd még

Megjegyzések

Irodalom

• Fizika. Alapfokú fizika tankönyv / Szerk. G. S. Lansberg. - 3. kiadás - M., 1962. - T. 3.
• Khaikin S.E. A mechanika fizikai alapjai. - M., 1963.
• A. M. Afonin. A mechanika fizikai alapjai. - Szerk. MSTU im. Bauman, 2006.
• Gorelik G. S. Rezgések és hullámok. Bevezetés az akusztikába, radiofizikába és optikába. - M.: Fizmatlit, 1959. - 572 p.

Wikimédia Alapítvány. 2010.

Nézze meg, mik a „harmonikus rezgések” más szótárakban:

Modern enciklopédia

Harmonikus rezgések- HARMONIKUS REZGÉSEK, egy fizikai mennyiség periodikus változásai, amelyek a szinusztörvény szerint lépnek fel. Grafikusan a harmonikus rezgéseket szinuszos görbe ábrázolja. A harmonikus rezgések a periodikus mozgások legegyszerűbb típusai, amelyekre jellemző... Illusztrált enciklopédikus szótár

Oszcillációk, amelyekben egy fizikai mennyiség idővel változik a szinusz vagy koszinusz törvénye szerint. Grafikusan a GK-kat görbe szinuszhullám vagy koszinuszhullám ábrázolja (lásd az ábrát); a következő formában írhatók fel: x = Asin (ωt + φ) vagy x... Nagy szovjet enciklopédia

HARMONIKUS REZGÉSEK, periodikus mozgások, mint például egy INGA mozgása, atomi rezgések vagy rezgések egy elektromos áramkörben. Egy test csillapítatlan harmonikus rezgéseket hajt végre, amikor egy vonal mentén rezeg, és ugyanazt mozgatja... ... Tudományos és műszaki enciklopédikus szótár

Oszcillációk, melyekkel fizikai (vagy bármely más) mennyiség idővel változik egy szinuszos törvény szerint: x=Asin(wt+j), ahol x az ingadozó mennyiség értéke egy adott időpontban. t időpillanat (mechanikus G.K. esetén például elmozdulás vagy sebesség, ... ... Fizikai enciklopédia

harmonikus rezgések- Mechanikai rezgések, amelyekben az általánosított koordináta és (vagy) az általánosított sebesség a szinusz arányában változik időtől lineárisan függő argumentummal. [Ajánlott kifejezések gyűjteménye. 106. szám. Mechanikai rezgések. Tudományos Akadémia… Műszaki fordítói útmutató

Oszcillációk, melyekkel fizikai (vagy bármely más) mennyiség idővel változik egy szinuszos törvény szerint, ahol x az oszcilláló mennyiség értéke t időpontban (mechanikus hidraulikus rendszereknél pl. elmozdulás és sebesség, elektromos feszültség és áramerősség esetén) ... Fizikai enciklopédia

HARMONIKUS REZGÉSEK- (lásd), amelyben fizikai. a mennyiség idővel változik a szinusz vagy koszinusz törvénye szerint (például változások (lásd) és sebesség lengés közben (lásd) vagy változások (lásd) és áramerősség az elektromos áramkörök során) ... Nagy Politechnikai Enciklopédia

Jellemzőjük az x oszcillációs érték változása (például az inga eltérése az egyensúlyi helyzettől, a váltóáramkör feszültsége stb.) t időben a törvény szerint: x = Asin (?t + ?), ahol A a harmonikus rezgések amplitúdója, ? sarok...... Nagy enciklopédikus szótár

Harmonikus rezgések- 19. Harmonikus rezgések Olyan oszcillációk, amelyekben a rezgési mennyiség értékei idővel a törvény szerint változnak Forrás ... A normatív és műszaki dokumentáció kifejezéseinek szótár-referenciája

Időszakos fluktuációk, amelyekben az időbeli változások fizikai. mennyiségek a szinusz vagy koszinusz törvénye szerint fordulnak elő (lásd az ábrát): s = Аsin(wt+ф0), ahol s az oszcilláló mennyiség eltérése az átlagától. (egyensúlyi) érték, A = állandó amplitúdó, w = állandó kör... Nagy enciklopédikus politechnikai szótár

A harmonikus rezgés egyenlete

A harmonikus rezgés egyenlete megállapítja a test koordinátáinak időfüggőségét

A kezdeti pillanatban a koszinusz gráf maximális értékű, a szinuszos gráf pedig nulla a kezdeti pillanatban. Ha az oszcillációt az egyensúlyi helyzetből kezdjük vizsgálni, akkor a rezgés egy szinuszos megismétlődik. Ha az oszcillációt a maximális eltérés helyétől kezdjük figyelembe venni, akkor az oszcillációt koszinusz írja le. Vagy egy ilyen rezgés leírható a szinusz képlettel egy kezdeti fázissal.

A sebesség és a gyorsulás változása harmonikus rezgés közben

Nemcsak a test koordinátája változik idővel a szinusz vagy koszinusz törvénye szerint. De az olyan mennyiségek, mint az erő, a sebesség és a gyorsulás is hasonlóan változnak. Az erő és a gyorsulás akkor maximális, ha a rezgő test a szélső helyzetekben van, ahol az elmozdulás maximális, és nulla, amikor a test áthalad az egyensúlyi helyzeten. A sebesség éppen ellenkezőleg, szélsőséges helyzetekben nulla, és amikor a test áthalad az egyensúlyi helyzeten, akkor eléri a maximális értékét.

Ha a rezgést a koszinusz törvénye írja le

Ha az oszcillációt a szinusztörvény szerint írjuk le

Maximális sebesség és gyorsulás értékek

A v(t) és a(t) függőség egyenleteinek elemzése után sejthetjük, hogy a sebesség és a gyorsulás akkor vesz fel maximális értéket, ha a trigonometrikus tényező 1 vagy -1. A képlet határozza meg