fejezet xxxiii. integráltranszformációk alkalmazása a matematikai fizika problémáinak megoldására

1 oldal

Az integrál transzformáció alkalmazása az első adatcsoportra nyilvánvalóan az Ау változó függvényeinek cseréjére vezethető vissza.  

Az integráltranszformációk (4) alkalmazása a viszkoelasztikus probléma (3) megoldását a tisztán elasztikus feladat (5) megoldására redukálja képekben. Figyelembe véve a korábban megadott megoldás (16) szakaszt.  

A véges intervallumok térbeli koordinátáinak integrált transzformációinak és más szigorú analitikai módszereknek a differenciáltranszport-egyenletek határérték-problémáira történő alkalmazása végtelen függvénysorok formájában ad megoldást. Ebben az esetben a kapott megoldásból ennek a sorozatnak csak a fő része kerül felhasználásra gyakorlati számításokhoz. Ezért az egzakt megoldás fő részével egyenértékű közelítő megoldás meghatározásának egyszerű módszere kétségtelenül nagy gyakorlati jelentőséggel bír.  

Az integrál Fourier-transzformáció alkalmazása az egyenes és a félegyenes problémákra.  

Az integrál Fourier-transzformáció alkalmazása az egyenes és a félegyenes problémákra. Az integrál Fourier-transzformáció definícióját és a határérték-feladatok megoldásának általános alkalmazási sémáját a fejezet tartalmazza.  

Az integráltranszformációk alkalmazása a rugalmasságelméletben elsősorban síkbeli és térbeli problémák megoldására nyújt hasznos módszert. Lényeges, hogy a parciális differenciálegyenletekben a független változók száma csökkenthető legyen. A megfelelő független változók szerepe a paraméterekre hárul, így lehetőség nyílik a parciális differenciálegyenleteknek sok változóra való redukálása közönséges differenciálegyenletekre.  

Integrált transzformációk alkalmazása repedezett-pórusos közegek szűrési problémáinak egzakt megoldásainak megalkotására // Mechanikai elemzés és alkalmazásai: S.  

Az integráltranszformációk használata lehetővé teszi, hogy a parciális differenciálegyenletek integrálásának problémáját a szükséges függvényeket reprezentáló közönséges differenciálegyenlet-rendszer integrálására csökkentsük. Ennek az elképzelésnek a szemléltetésére itt bemutatunk egy megoldást a rugalmas félsík feladatra a Fourier-transzformáció segítségével; Más típusú tartományok esetében más integrál transzformációk bizonyulnak kényelmesnek. Így a félsík probléma levezethető egyetlen p (z) függvény meghatározására a határon lévő valós vagy képzeletbeli részének adott értékéből. A 10.4 §-ban tárgyalt példákra korlátozva magunkat, áttérünk az integráltranszformációk módszerének bemutatására.  

Integráltranszformációk alkalmazása után a feladatot páros integrálegyenletekre redukáljuk, közelítő megoldást készítünk koszinuszsorozatba bővítéssel, és a transzformáció időbeli inverzióját trapéz módszerrel hajtjuk végre. Numerikus eredményeket mutatunk be, hogy szemléltesse a Poisson-hányados hatását a halak letelepedésére.  

A Hankel-integrál transzformációk koordinátákban és Laplace-transzformációk időben történő alkalmazása után a probléma hozzávetőleges megoldását alkotjuk meg úgy, hogy azt darabonként állandó függvényrendszerré bővítjük, kiemelve a kocka éle alatti statikus jellemzőt. A Laplace-transzformáció megfordítása numerikusan történik. Bemutatjuk a födém egyenletes eloszlású terhelésére vonatkozó numerikus számítások néhány eredményét, megvizsgáljuk a födém áteresztőképességének és merevségének, valamint a talaj Poisson-hányadának hatását a konszolidációs fokra.  

Az integrál transzformációk alkalmazásának előnye az energiaátadás differenciálegyenletek integrálásával összefüggő termikus folyamatok tanulmányozására szolgáló egyéb analitikai módszerekkel szemben elsősorban a szabványosításban és a megoldások egyszerűségében rejlik.  

Amikor a Mellin-integrál transzformációt alkalmazzuk a (6.1.1) - (6.1.5) síkrugalmasság-elmélet egyenleteinek Papkovich-Neuber alakban (6.5.34) és (6.5.35) általános megoldásaira, egy kérdés általános és sajátos jelleg merül fel.  

A részleges differenciálegyenletek feladatainak integrált transzformációinak alkalmazása hasonló: olyan integrál transzformáció kiválasztására törekszünk, amely lehetővé tenné az egyik változón végzett differenciális műveletek helyettesítését algebrai műveletekkel. Ha ez sikeres, az átalakított probléma általában egyszerűbb, mint az eredeti. Miután megtalálták a megoldást az átalakított problémára, az inverz transzformáció segítségével az eredetire is megoldást találnak.  

Az integráltranszformációk használatának fő feltétele egy inverziós tétel megléte, amely lehetővé teszi, hogy az eredeti függvényt képének ismeretében megtaláljuk. A súlyfüggvénytől és az integráció tartományától függően Fourier, Laplace, Mellin, Hankel, Meyer, Hilbert stb. transzformációit tekintjük ezeknek a transzformációknak a segítségével számos problémát az oszcilláció, a hővezetés, a diffúzió elméletében és a neutronok mérséklése, a hidrodinamika, a rugalmasságelmélet és a fizikai kinetika megoldható.  

Röviden vázoljuk a jelzett integráltranszformáció alkalmazási sémáját.  

Működési módszerek.

A hővezető képességgel kapcsolatos számos probléma esetén a klasszikus módszerek alkalmazása nem hatékony, például a változók szétválasztásának módszere a belső hőforrásokkal kapcsolatos problémák esetén.

A műveleti számítás alapvető szabályait és tételeit M. Vishchenko-Zakharchenko és Heaviswid szerezte meg. Leginkább az elektrotechnikában terjedtek el Heaviside munkájának köszönhetően.

A Heaviswid műveleti módszer egyenértékű a Laplace integrál transzformációs módszerrel.

A Laplace-transzformációs módszer abból áll, hogy nem magát a függvényt (eredeti), hanem annak módosítását (képet) vizsgáljuk.

Függvény integrál transzformációja
képlet határozza meg

(40)

Itt S lehet komplex szám; de ugyanakkor a dologrész nagyobb 0-nál.

- eredeti;
- a funkció képe. A kép létezéséhez az (51) integrálnak konvergálnia kell.

Ha a feladatot képekben oldjuk meg, akkor az eredetit a képből (transzformáció) határozzuk meg az inverziós képlet segítségével

(41)

Az (52) képlet helyett a függvény eredetijének a képéből történő meghatározásához használhatja a következő inverziós képletet

(41.a)

Ez a képlet lehetővé teszi, hogy az eredeti függvényt csak a differenciálás és a határértékre való átlépés műveletével kapjuk meg.

Ha a kép egy függvény

(42)

ami két teljes transzcendentális függvény részleges esete, akkor a kiterjesztési tétel alapján

(43)

Ahol - egy függvény egyszerű gyökerei
; ebben az esetben a nevező nem tartalmaz szabad kifejezéseket és

2. Ha a kép
két felekezet arányát (tört-racionális függvény) és a címlet mértékét jelenti
kisebb, mint a névleges érték
, és felekezet
pontokban a K multiplicitás gyöke van , Azt

ahol az összeg minden gyökeret átvesz
. Ha minden gyökér egyszerű, pl. minden K egyenlő eggyel, akkor az (5) képlet a (43)-ba kerül

Az integrált Laplace-transzformációnak megvannak a maga hátrányai. Különösen akkor merülnek fel nehézségek, amikor olyan feladatokat oldanak meg, ahol a feltételeket a térbeli koordináták függvényében adják meg, vagy többdimenziós feladatok megoldása során.

Ebben a tekintetben számos módszert javasoltak a térbeli koordináták mentén történő integrál transzformációkhoz a test geometriai alakjának megfelelően.

Ha a transzformációt az x térbeli koordináta mentén vesszük, akkor a függvény integráltranszformációja
így ábrázolható:

(44)

Ha a K(p,x) transzformációs kernelt formában vesszük
vagy
, akkor ezt az integráltranszformációt szinuszos vagy koszinuszos Fourier-transzformációnak nevezzük.

Ha a Bessel függvényt választjuk transzformációs kernelnek
, akkor Hankel-transzformációnak hívják.

A komplex Fourier-transzformáció kényelmesen használható korlátlan kiterjedésű testeknél a szinuszos Fourier-transzformációt akkor kell használni, ha a test felületén lévő értéket képletek határozzák meg, pl. a GU!-nál, a koszinusz pedig a Fourier-transzformáció, amikor a differenciálművet megoldjuk. transzportegyenletek a GI2-nél. A Hankel-transzformációk akkor alkalmazhatók, ha a test tengelyirányban szimmetrikus. Ezen integráltranszformációk gyakorlati alkalmazása részletes képtáblázatok jelenlétében nem okoz különösebb nehézséget.

Az átmenet a képekről az eredetiekre a következő inverziós képletekkel hajtható végre:

Komplex Fourier transzformáció

(45)

Szinusz Fourier transzformáció

(46)

Koszinusz Fourier transzformáció

(47)

Hankel átalakulás

(48)

A vizsgált integráltranszformációk félig korlátozott kiterjedésű testekre alkalmazhatók.

Véges integrál transzformációk

Egyrészt a Fourier-, Hankel- és részben Laplace-féle integráltranszformációk korlátai, másrészt a változók véges változási tartományával járó problémák megoldásának sürgető igénye a véges integráltranszformáció módszereinek megalkotásához vezetett. . Még a klasszikus módszerekkel megoldott problémáknál is előnyösebbek.

A véges integrál transzformációs módszer ötletét N.S. Kommekov

(49)

A véges integráltranszformációk módszerének kérdéskörének további feldolgozása Griabarga G.A., Sleddon, Tranter, Deug (Deig) és mások munkáiban tükröződött.

Ha az integrációs határ 0 és e között van, akkor a véges szinuszos és koszinuszos Fourier-transzformáció magja, valamint a Hankel-transzformációk alakja a következő:

(50)

(51)

GU1 és GU2-vel
és a GU3 az egyenlet gyökerei

(52)

Egyrészt a Fourier-, Hankel- és részben Laplace-féle integráltranszformációk korlátai, másrészt a változók véges változási tartományával járó problémák megoldásának sürgető igénye vezetett a véges integráltranszformációk módszereinek megalkotásához. Még abban az esetben is előnyben kell részesíteni ezeket a módszereket, amikor ezek a módszerek egy sor olyan probléma megoldását teszik lehetővé, amelyek klasszikus módszerekkel, Fourier- vagy Fourier-Bessel-sorokkal megoldhatók. A megoldási technika egyszerűsége – „szabványossága” – a véges integrál transzformáció módszerének nagy előnyt jelent a klasszikus módszerekkel szemben, bár matematikailag ekvivalens a sajátfüggvények módszerével.

Először jött az ötlet egy ilyen típusú véges integrál transzformáció módszerére

javasolta N.S. Koslyakov. Az ilyen integráltranszformációk legteljesebb elméletét G.A. Greenberg, aki ezeket a módszereket általánosította arra az esetre, amikor a közeg tulajdonságai hirtelen megváltoznak azon koordináta irányában, amely mentén a transzformációt végrehajtják. A véges határértékekkel rendelkező integráltranszformációk részletes fejlesztését Sneddon, Tranter, Deitch et al.

Ha az integrációs határ 0 és között van l, a véges szinuszos és koszinuszos Fourier-transzformáció, valamint a Henkel-transzformáció magjai a következő alakúak:

(az első és a második típusú peremfeltételek, a harmadik típusú peremfeltételek esetében ezek az egyenlet gyökerei);

ahol az egyenlet gyöke (első típusú peremfeltételek), az egyenletből meghatározott harmadik típusú peremfeltételekkel

Az inverziós képletet általában úgy találjuk meg, hogy a függvényt sorozatokká bővítjük a megfelelő Sturm-Louiville-probléma ortogonális függvényeiben. Ezért az ezekkel a módszerekkel kapott megoldásoknak ugyanazok az alapvető hátrányai vannak, mint a klasszikus módszerekkel kapott megoldásoknak.

A fent említett nehézségek leküzdésére különböző közelítő integráltranszformációs módszereket dolgoztak ki, amelyekben a közvetlen transzformációt és az inverz átmenetet közelítő képletek szerint hajtották végre. Ugyanakkor felmerült az úgynevezett véges integrál Laplace-transzformációk, helyesebben véges integrál Green transzformációk módszerének kidolgozása. Nézzük egy kicsit részletesebben az utolsó kérdést.

Az integrál Laplace-transzformáció inverziós képlete általános esetben a Riemann-Mellin integrál. Ez a képlet lehetővé teszi számunkra, hogy olyan formában kapjunk megoldásokat, amilyen formában érdekelnek minket. A módszer lényege, hogy az integrál transzformációs kernel kiválasztása a differenciálegyenletnek és a peremfeltételeknek megfelelően történik, azaz figyelembe véve a test geometriai alakját és a környezettel való kölcsönhatás törvényét. Más szóval, a transzformáció magja a Green függvénye egy adott problémára. Feature Image f(x) integrál transzformációval kapjuk meg

és a (2.24) képlet szerinti inverz transzformáció, ahol helyette be kell cserélni.

Ennek az integrál transzformációnak megvan a maga fizikai igazolása. A tény az, hogy a térbeli koordinátákat átvett integrált transzformáció fizikai szempontból a vizsgált fizikai mennyiség valamelyes átlagolása. Teljesen természetes, hogy ezt az átlagolást nem csak a folyamat jellegének és a test alakjának (a differenciálegyenlet típusának) megfelelően kell elvégezni, hanem a peremfeltételeknek is megfelelően. Ebben az esetben a függvény ábrázolásának megoldása független érdeklődésre tarthat számot, mivel egy ilyen transzformáció fizikai értelemben átmenetet jelent a vizsgált függvények tényleges értékeinek elemzésétől (differenciálegyenlet, egyediség feltételei) az átlagolásig. egy adott probléma konkrét megfogalmazásának megfelelően készített értékek. Így az integrál transzformációs módszerek új, nagyon jelentős előnyre tesznek szert a klasszikus módszerekkel szemben, mivel lehetővé teszik a fizikai folyamatok számos mintázatának elérését a vizsgált fizikai mennyiség átlagolt értékére vonatkozó megoldás elemzése alapján. kép megoldásának elemzése). Ez a körülmény közelebb hozza ezeket az analitikai módszereket a hasonlóságelmélet módszereihez.

Az integrál transzformációk sajátos előnyei a parciális differenciálegyenlet-rendszerek megoldása során tapasztalhatók. Az egyenletrendszerek megoldásának technikája alapvetően nem különbözik az egyedi egyenletek megoldásának technikájától, és egymást követő műveletek sorozatával hajtják végre. Például egydimenziós hővezetési problémákhoz, amelyek koordinátáktól és időtől függenek, szükséges:

1) a differenciálegyenlet és a peremfeltételek elemzése alapján válassza ki a megfelelő integráltranszformációt vagy integráltranszformációk csoportját;

2) szorozza meg a differenciálegyenletet és a peremfeltételeket a kiválasztott transzformációs kernellel, és az eredményül kapott kifejezéseket a megfelelő határokon belül integrálja az eliminálandó változóra; ennek eredményeként az eredeti függvényekhez viszonyított parciális differenciálegyenlet-rendszer helyett egy közönséges differenciálegyenlet-rendszert kapunk a függvényképekhez;

3) oldjon meg egy közönséges differenciálegyenletet a transzformált függvényekre;

4) tisztázza az egyenlet megoldásában szereplő tetszőleges állandók kifejezéseit, amelyekhez peremfeltételeket használnak;

5) keresse meg a transzformált függvények eredetijét, és ezáltal a probléma végső megoldását.

Az integrál egyenlet egy olyan funkcionális egyenlet, amely egy ismeretlen függvényen keresztüli integrál transzformációt tartalmaz. Ha egy integrál egyenlet egy ismeretlen függvény deriváltjait is tartalmazza, akkor integro-differenciálegyenletről beszélnek.... ... Wikipédia

Ismeretlen függvényeket tartalmazó egyenletek integráljel alatt. A fizika és a matematikai fizika számos problémája vezet a mesterséges intelligenciához. különféle típusok. Tegyük fel például, hogy valamilyen optikai eszközt kell használnia ahhoz, hogy... ... Nagy szovjet enciklopédia

GOST 24736-81: Integrált digitális-analóg és analóg-digitális átalakítók. Fő beállítások- Terminológia GOST 24736 81: Integrált digitális-analóg és analóg-digitális átalakítók. Az eredeti dokumentum fő paraméterei: Átalakítási idő Az az időintervallum, amely attól a pillanattól számítva, amikor a jel megváltozik az analóg-digitális átalakítók bemenetén, a... ...

Konverziós idő- Időintervallum az analóg-digitális átalakítók bemenetén a jel változásától a megfelelő stabil kód megjelenéséig a kimeneten, µs Forrás: eredeti dokumentum Lásd még a kapcsolódó kifejezéseket: 13 átalakítási idő... ... A normatív és műszaki dokumentáció kifejezéseinek szótár-referenciája

A Laplace-transzformáció olyan integráltranszformáció, amely egy komplex változó (kép) függvényét egy valós változó (eredeti) függvényéhez kapcsolja. Segítségével a dinamikus rendszerek tulajdonságait tanulmányozzák és megoldják... ... Wikipédia

A Laplace-transzformáció olyan integráltranszformáció, amely egy komplex változó (kép) függvényét egy valós változó (eredeti) függvényéhez kapcsolja. Segítségével a dinamikus rendszerek tulajdonságait tanulmányozzák és a differenciális és ... Wikipédia megoldását

A Fourier-transzformáció egy olyan művelet, amely egy valós változó függvényét társítja egy valós változó egy másik függvényéhez. Ez az új függvény leírja az együtthatókat ("amplitúdókat"), amikor az eredeti függvényt elemi összetevőire bontja ... ... Wikipédia

Több változóból álló függvény integráltranszformációja, a Fourier-transzformációhoz kapcsolódóan. Először Johann Radon osztrák matematikus munkájában mutatkozott be 1917-ben. A Radon transzformáció legfontosabb tulajdonsága a reverzibilitás, vagyis a lehetőség ... ... Wikipédia

Könyvek

• Integrált transzformációk
• Integrális transzformációk, Knyazev P.N.. Ez a könyv az integráltranszformációk elméletének kérdéseit mutatja be, amelyek szorosan kapcsolódnak az analitikus függvények elméletének határérték-problémáihoz (analitikus függvények Fourier-transzformációi, ...

INTEGRÁLIS ÁTALAKÍTÁS, a forma funkcionális átalakítása

ahol C egy véges vagy végtelen kontúr a komplex síkban, K(x, t) az integráltranszformáció magja. Leggyakrabban olyan integráltranszformációkat veszünk figyelembe, amelyeknél K(x, t) = K(xt) és C a valós tengely vagy annak része (a, b). Ha - ∞< а, b < ∞, то интегральное преобразование называется конечным. При К(х, t) = К(х - t) интегральное преобразование называется интегральным преобразованием типа свёртки. Если х и t - точки n-мерного пространства, а интегрирование ведётся по области этого пространства, то интегральное преобразование называется многомерным. Используются также дискретные интегральные преобразования вида

ahol n = 0, 1, 2,... és (Gn(t)) egy függvényrendszer, például Jacobi polinomok. Azokat a képleteket, amelyek lehetővé teszik az f(t) függvény visszaállítását egy ismert F(x) függvényből, inverziós képleteknek nevezzük. Az általánosított függvényekre (eloszlásokra) integrál transzformációkat is definiálunk.

Az integráltranszformációkat széles körben használják a matematikában és alkalmazásaiban, különösen a matematikai fizika differenciál- és integrálegyenletek megoldásában. Az elmélet és az alkalmazások szempontjából a legfontosabbak a Fourier-transzformáció, a Laplace-transzformáció és a Mellin-transzformáció.

Az integrál transzformációra példa a Stieltjes transzformáció

ahol c v (α, β) = J ν (α) Y v (ß) - Υ ν (α)J ν (β), J v (x), Y v (x) az 1. és 2. város hengeres függvényei . A Weber-transzformáció inverziós képlete a következő

→ 0-ként a Weber transzformáció Hankel transzformációvá alakul

V = ± 1/2 esetén ez a transzformáció szinuszos és koszinuszos Fourier transzformációra redukálódik.

A konvolúciós transzformációra példa a Weierstrass-transzformáció