Rajzolj a számnak megfelelő pontot az egységkörre! Trigonometrikus kör

A középiskolások soha nem tudják, mikor adódhatnak problémáik a tanulmányaikkal. Bármely iskolában tanult tantárgy, az orosz nyelvtől az életbiztonságig, nehézségeket okozhat. Az egyik olyan tudományág, amely rendszeresen megizzasztja az iskolásokat, az algebra. Az algebrai tudomány a hetedik osztálytól kezdődően terrorizálni kezdi a gyerekek elméjét, és folytatja ezt az üzletet a tizedik és a tizenegyedik évfolyamban is. A tinédzserek különféle eszközökkel könnyíthetik meg az életüket, amelyek között mindig vannak megoldók.

GDZ gyűjtemény algebra 10-11. osztályosok számára (Sh.A. Alimov, Yu.M. Kolyagin, M.V. Tkacheva) kiváló kiegészítője a főkönyvnek. A megadott háttérinformációk segítségével a tanuló készen áll bármilyen gyakorlat megoldására. A feladatok a következő témák elemzését tartalmazzák:

trigonometrikus függvények és egyenletek;
logaritmusok;
fokon.

A megadott válaszok és megjegyzések tartalmazzák a szükséges szerzői megjegyzéseket, amelyek mindenképpen segítséget nyújtanak a gyermeknek.

Miért van szükség megoldóra?

A kiadvány minden iskolásnak lehetőséget ad arra, hogy önállóan dolgozza át az anyagot, félreértés vagy témakihagyás esetén pedig saját maga is végigjárja a minőség rovására. Ezenkívül a referenciaadatok lehetővé teszik a jövőbeni független és tesztmunkára való hatékony felkészülést. A legérdekesebb tanulók előreléphetnek a tananyagban, ami a jövőben pozitívan hat az ismeretszerzésre és az átlagosztályzat emelkedésére.

A tizedik és tizenegyedikesek mellett Alimov algebrai kézikönyve 10-11 A szülők és a tanárok könnyen használhatják: előbbinél a gyermek tudásának monitorozásának eszközévé, utóbbiak számára pedig a tantermi órák saját tananyagának és tesztfeladatainak kidolgozásának alapja lesz.

Hogyan szerveződik a gyűjtés

A forrás teljes mértékben követi a tankönyv szerkezetét. Belül 1624 feladat válaszát, valamint a „Teszteld ki magad” rész feladatait tekintheti meg a felhasználó, tizenhárom fejezetre bontva. A gombok a nap 24 órájában elérhetők, a szám megtalálható a keresőmezőn vagy a kényelmes navigáción keresztül.

Óra és előadás a témában: "Számkör a koordinátasíkon"

Kiegészítő anyagok
Kedves felhasználók, ne felejtsék el megírni észrevételeiket, véleményeiket, kívánságaikat! Az összes anyagot egy vírusirtó program ellenőrizte.

Kézikönyvek és szimulátorok az Integral online áruházban 10. osztályhoz az 1C-től
Algebrai feladatok paraméterekkel, 9–11. évfolyam
Geometriai feladatok megoldása. Interaktív építési feladatok 7-10

Amit tanulmányozni fogunk:
1. Meghatározás.
2. A számkör fontos koordinátái.
3. Hogyan találjuk meg a számkör koordinátáját?
4. A számkör fő koordinátáinak táblázata.
5. Példák problémamegoldásra.

A számkör meghatározása a koordinátasíkon

Helyezzük a számkört a koordinátasíkra úgy, hogy a kör középpontja egybeessen a koordináták origójával, és a sugarát vegyük egységszakasznak. Az A számkör kezdőpontja az (1;0) ponthoz igazodik.

A számkör minden pontjának megvan a maga x és y koordinátája a koordinátasíkban, és:
1) $x > 0$, $y > 0$ esetén - az első negyedévben;
2) $ x 0 $ - a második negyedévben;
3) $x 4) $x > 0 $ esetén, $y
A számkör bármely $M(x; y)$ pontjára a következő egyenlőtlenségek teljesülnek: $-1
Emlékezzen a számkör egyenletére: $x^2 + y^2 = 1$.

Fontos, hogy megtanuljuk, hogyan találjuk meg az ábrán látható számkör pontjainak koordinátáit.

Keressük meg a $\frac(π)(4)$ pont koordinátáját

$M(\frac(π)(4))$ pont az első negyed közepe. Dobjuk a merőleges MR-t az M pontból az OA egyenesbe, és tekintsük az OMP háromszöget. Mivel az AM ív az AB ív fele, akkor $∠MOP=45°$.
Ez azt jelenti, hogy az OMP háromszög egyenlő szárú derékszögű háromszög és $OP=MP$, azaz. az M pontban az abszcissza és az ordináta egyenlő: $x = y$.
Mivel a $M(x;y)$ pont koordinátái kielégítik a számkör egyenletét, ezért ezek megtalálásához meg kell oldani az egyenletrendszert:
$\begin (esetek) x^2 + y^2 = 1,\\ x = y. \end (esetek)$
A rendszer megoldása után a következőt kapjuk: $y = x =\frac(\sqrt(2))(2)$.
Ez azt jelenti, hogy a $\frac(π)(4)$ számnak megfelelő M pont koordinátái $M(\frac(π)(4))=M(\frac(\sqrt(2))( 2);\frac (\sqrt(2))(2))$.
Az előző ábrán bemutatott pontok koordinátáit hasonló módon számítjuk ki.

A számkör pontjainak koordinátái

Nézzünk példákat

1. példa
Keresse meg a számkör egy pontjának koordinátáját: $P(45\frac(π)(4))$.

Megoldás:
45 USD\frac(π)(4) = (10 + \frac(5)(4)) * π = 10π +5\frac(π)(4) = 5\frac(π)(4) + 2π*5 $.
Ez azt jelenti, hogy a $45\frac(π)(4)$ szám a számkör ugyanazon pontjának felel meg, mint a $\frac(5π)(4)$ szám. Ha megnézzük a táblázat $\frac(5π)(4)$ pontjának értékét, a következőt kapjuk: $P(\frac(45π)(4))=P(-\frac(\sqrt(2))( 2);-\frac (\sqrt(2))(2))$.

2. példa
Keresse meg a számkör egy pontjának koordinátáját: $P(-\frac(37π)(3))$.

Megoldás:

Mert a $t$ és a $t+2π*k$ számok, ahol k egy egész szám, a számkör ugyanazon pontjának felelnek meg, ekkor:
$-\frac(37π)(3) = -(12 + \frac(1)(3))*π = -12π –\frac(π)(3) = -\frac(π)(3) + 2π *(-6)$.
Ez azt jelenti, hogy a $-\frac(37π)(3)$ szám a számkör ugyanazon pontjának felel meg, mint a $–\frac(π)(3)$, és a –$\frac(π) (3)$ megegyezik a $\frac(5π)(3)$ ponttal. Ha megnézzük a táblázat $\frac(5π)(3)$ pontjának értékét, a következőt kapjuk:
$P(-\frac(37π)(3))=P(\frac((1))(2);-\frac(\sqrt(3))(2))$.

3. példa
Keresse meg a $y =\frac(1)(2)$ ordinátájú számkör pontjait, és írja le, hogy melyik $t$ számoknak felelnek meg?

Megoldás:
Az $y =\frac(1)(2)$ egyenes metszi a számkört M és P pontokban. Az M pont megfelel a $\frac(π)(6)$ számnak (a táblázat adataiból). Ez tetszőleges számot jelent: $\frac(π)(6)+2π*k$. A P pont a $\frac(5π)(6)$ számnak felel meg, tehát bármely $\frac(5π)(6) +2 π*k$ alakú számnak.
Két értéksort kaptunk, ahogyan az ilyen esetekben szokták mondani:
$\frac(π)(6) +2 π*k$ és $\frac(5π)(6) +2π*k$.
Válasz: $t=\frac(π)(6) +2 π*k$ és $t=\frac(5π)(6) +2π*k$.

4. példa
Keresse meg a $x≥-\frac(\sqrt(2))(2)$ abszcissza számkör pontjait, és írja le, hogy melyik $t$ számoknak felelnek meg.

Megoldás:

A $x =-\frac(\sqrt(2))(2)$ egyenes metszi a számkört az M és P pontokban. A $x≥-\frac(\sqrt(2))(2)$ egyenlőtlenség megfelel az ív PM pontjaihoz. Az M pont a $3\frac(π)(4)$ számnak felel meg (a táblázat adataiból). Ez tetszőleges $-\frac(3π)(4) +2π*k$ alakú számot jelent. A P pont a $-\frac(3π)(4)$ számnak felel meg, tehát bármely $-\frac(3π)(4) +2π*k$ alakú számnak.

Ekkor $-\frac(3π)(4) +2 π*k ≤t≤\frac(3π)(4) +2πk$.

Válasz: $-\frac(3π)(4) +2 π*k ≤t≤\frac(3π)(4) +2πk$.

Önállóan megoldandó problémák

1) Keresse meg a számkör egy pontjának koordinátáját: $P(\frac(61π)(6))$.
2) Keresse meg a számkör egy pontjának koordinátáját: $P(-\frac(52π)(3))$.
3) Keresse meg a $y = -\frac(1)(2)$ ordinátájú számkör pontjait, és írja le, hogy melyik $t$ számoknak felelnek meg!
4) Keresse meg a $y ≥ -\frac(1)(2)$ ordinátájú számkör pontjait, és írja le, hogy melyik $t$ számoknak felelnek meg!
5) Keresse meg a $x≥-\frac(\sqrt(3))(2)$ abszcissza számkör pontjait, és írja le, hogy mely $t$ számoknak felelnek meg!

>> Számkör

A 7-9. évfolyam algebratanfolyamának tanulmányozása során eddig algebrai függvényekkel, pl. olyan kifejezésekkel analitikusan meghatározott függvények, amelyekben számokkal és változókkal végzett algebrai műveleteket (összeadás, kivonás, szorzás, osztály , hatványozás, négyzetgyök). De a valós helyzetek matematikai modelljeit gyakran más típusú, nem algebrai függvényekkel társítják. A nem algebrai függvények osztályának - a trigonometrikus függvényeknek - első képviselőivel ebben a fejezetben ismerkedünk meg. A középiskolában részletesebben tanul majd trigonometrikus függvényeket és egyéb nem algebrai függvényeket (exponenciális és logaritmikus).
A trigonometrikus függvények bevezetéséhez szükségünk van egy új matematikai modell - egy számkör, amivel még nem találkoztál, de nagyon jól ismered a számegyenest. Emlékezzünk vissza, hogy a számegyenes egy egyenes, amelyen az O kezdőpont, a skála (egységszegmens) és a pozitív irány adott. Bármely valós számot összehasonlíthatunk egy egyenes pontjával és fordítva.

Hogyan találjuk meg a megfelelő M pontot egy egyenesen az x szám használatával? A 0 szám az O kezdőpontnak felel meg. Ha x > 0, akkor a 0 ponttól egy egyenes mentén pozitív irányba haladva az x hossz n^edikére kell menni; ennek az útnak a vége a kívánt M(x) pont lesz. Ha x< 0, то, двигаясь по прямой из точки О в отрицательном направлении, нужно пройти путь 1*1; конец этого пути и будет искомой точкой М(х). Число х - координата точки М.

És hogyan oldottuk meg az inverz problémát, i.e. Hogyan találta meg egy adott M pont x koordinátáját a számegyenesen? Megtaláltuk az OM szakasz hosszát, és a „+” vagy a * - „jellel vettük, attól függően, hogy az O pont melyik oldalán található az M pont az egyenesen.

De a való életben nem csak egyenes vonalban kell mozognia. Elég gyakran, mozgás együtt kör . Íme egy konkrét példa. Tekintsük a stadion futópályáját körnek (valójában persze nem kör, de ne feledjük, ahogy a sportkommentátorok szokták mondani: „a futó lefutott egy kört”, „még fél kör van hátra” cél előtt futni” stb.), hossza 400 m A rajt jelzése - A pont (97. ábra). Az A pontból induló futó a kört az óramutató járásával ellentétes irányban mozog. Hol lesz 200 m-en? 400 m-en? 800 m-en? 1500 m-en? Hol húzza meg a célvonalat, ha 42 km 195 m-es maratoni távot fut?

200 m után a C pontban lesz, átlósan szemben az A ponttal (200 m a fél futópad hossza, azaz egy fél kör hossza). 400 m lefutása (azaz „egy kör”, ahogy a sportolók mondják) után visszatér az A pontba. 800 m (azaz „két kör”) lefutása után ismét az A pontban lesz. Mi az 1500 m ? Ez „három kör” (1200 m) plusz még 300 m, i.e. 3

Futópad - ennek a távnak a vége a 2. pontban lesz (97. ábra).

Csak a maratonnal kell megküzdenünk. A sportoló 105 kör lefutása után 105-400 = 42 000 m távot tesz meg, i.e. 42 km. 195 m van hátra a célig, ami 5 méterrel kevesebb, mint a kerület fele. Ez azt jelenti, hogy a maratoni táv célpontja a C pont közelében található M pontban lesz (97. ábra).

Megjegyzés. Ön természetesen megérti az utolsó példa konvencióját. A stadion körül senki nem fut le maratoni távot, a maximum 10 000 m, i.e. 25 kör.

Bármilyen hosszút futhat vagy sétálhat a stadion futópadon. Ez azt jelenti, hogy bármely pozitív szám megfelel egy pontnak - a „távolság befejezésének”. Sőt, bármely negatív számhoz hozzá lehet rendelni egy pontot a körön: csak rá kell kényszeríteni a sportolót az ellenkező irányba, pl. induljon az A pontból nem az óramutató járásával ellentétes irányba, hanem az óramutató járásával megegyező irányban. Ekkor a stadion futópályája számkörnek tekinthető.

Elvileg minden kör numerikus körnek tekinthető, de a matematikában megállapodtak abban, hogy erre a célra egységkört használnak - egy 1-es sugarú kört. Ez lesz a mi „futópadunk”. A K sugarú kör b hosszát az alábbi képlettel számítjuk ki. A félkör hossza n, a negyedkör hossza pedig AB, BC, SB, DA az ábrán. 98 - egyenlő Egyezzünk meg abban, hogy az AB ívet az egységkör első negyedének, a BC ívet a második negyednek, a CB ívet a harmadik negyednek, a DA ívet a negyedik negyednek nevezzük (98. ábra). Ilyenkor általában Nyílt ívről beszélünk, pl. a végei nélküli ívről (olyan, mint egy intervallum egy számegyenesen).

Meghatározás. Egy egységkör van megadva, és rajta van az A kezdőpont - a vízszintes átmérő jobb vége (98. ábra). Minden I valós számot társítsunk a kör egy pontjához a következő szabály szerint:

1) ha x > 0, akkor az A pontból az óramutató járásával ellentétes irányba haladva (a kör megkerülésének pozitív iránya) leírunk egy utat a kör mentén, amelynek hossza és ennek az útnak az M végpontja lesz a kívánt pont: M = M(x);

2) ha x< 0, то, двигаясь из точки А в направлении по часовой стрелке (отрицательное направление обхода окружности), опишем по окружности путь длиной и |; конечная точка М этого пути и будет искомой точкой: М = М(1);

Az A pontot társítsuk 0-val: A = A(0).

A megállapított megfeleltetésű egységkört (a valós számok és a kör pontjai között) számkörnek nevezzük.
1. példa Keresse meg a számkörön
Mivel a megadott hét számból az első hat pozitív, ezért a kör megfelelő pontjainak megtalálásához egy adott hosszúságú utat kell bejárni a kör mentén, az A pontból pozitív irányba haladva. Ezt vegyük figyelembe

A 2-es szám az A pontnak felel meg, mivel a körön áthaladva egy 2 hosszúságú utat, azaz. pontosan egy kör, ismét eljutunk az A kezdőpontba Tehát, A = A(2).
Mi történt Ez azt jelenti, hogy az A pontból pozitív irányba haladva egy egész körön kell keresztülmennie.

Megjegyzés. Amikor 7. és 8. osztályosok vagyunk dolgozott a számegyenlettel, akkor a rövidség kedvéért megegyeztünk abban, hogy nem „az x számnak megfelelő egyenes pontot”, hanem „x pontot” mondunk. Pontosan ugyanazt a megállapodást fogjuk betartani, amikor a számkörrel dolgozunk: „f pont” - ez azt jelenti, hogy a kör egy pontjáról beszélünk, amely megfelel a számnak
2. példa
Az első AB negyedet három egyenlő részre osztva a K és P pontokkal, a következőt kapjuk:

3. példa Keresse meg a számkörön a számoknak megfelelő pontokat
ábra segítségével konstrukciókat készítünk. 99. Az AM ívet (hossza -) az A pontból ötször negatív irányba lerakva kapjuk a pontot!, - a BC ív közepét. Így,

Megjegyzés. Vegye figyelembe, hogy a matematikai nyelv használata során milyen szabadságjogokkal rendelkezünk. Nyilvánvaló, hogy az AK ív és az AK ív hossza különböző dolgok (az első fogalom egy geometriai ábra, a második fogalom egy szám). De mindkettőt ugyanúgy jelölik: AK. Sőt, ha az A és K pontot egy szakasz köti össze, akkor a kapott szakaszt és annak hosszát is ugyanúgy jelöljük: AK. A szövegkörnyezetből általában jól látható, hogy a megjelölésen milyen jelentést akarunk (ív, ívhossz, szegmens vagy szegmenshossz).

Ezért két számkör-elrendezés nagyon hasznos lesz számunkra.

ELSŐ ELRENDEZÉS
A számkör mind a négy negyedét két egyenlő részre osztjuk, és a rendelkezésre álló nyolc pont mindegyikéhez a „nevüket” írjuk (100. ábra).

MÁSODIK ELEKEZÉS A számkör mind a négy negyedét három egyenlő részre osztjuk, és a rendelkezésre álló tizenkét pont mindegyikéhez a „nevüket” írjuk (101. ábra).

Kérjük, vegye figyelembe, hogy mindkét elrendezésen más „neveket” rendelhetünk az adott pontokhoz.
Észrevetted-e, hogy az összes elemzett ívhossz-példában
az n szám néhány törtével kifejezve? Ez nem meglepő: végül is egy egységkör hossza 2n, és ha egy kört vagy negyedét egyenlő részekre osztjuk, olyan íveket kapunk, amelyek hossza az és szám törtrészében van kifejezve. Szerinted lehetséges olyan E pontot találni az egységkörön, hogy az AE ív hossza 1 legyen? Találjuk ki:

Hasonlóan érvelve arra a következtetésre jutunk, hogy az egységkörön megtalálható az Eg pont, amelyre AE = 1, és az E2 pont, amelyre AEr = 2, valamint az E3 pont, amelyre AE3 = 3, valamint az E4 pont, amelyre AE4 = 4, és Eb pontra, amelyre AEb = 5, és E6 pontra, amelyre AE6 = 6. Az ábrán. 102 (körülbelül) a megfelelő pontokat jelöljük (és a tájékozódás érdekében az egységkör minden negyedét szaggatottan három egyenlő részre osztjuk).

4. példa Keresse meg a számkörön a -7 számnak megfelelő pontot!

Az A(0) pontból kiindulva és negatív irányba (óramutató járásával megegyező irányba) haladva egy 7 hosszúságú körön kell haladnunk. Ha egy körön megyünk át, akkor (körülbelül) 6,28-at kapunk, ami azt jelenti, hogy még menjen át (ugyanabban az irányban) egy 0,72 hosszúságú úton. Milyen ív ez? Valamivel kevesebb, mint fél negyed kör, i.e. hossza kisebb, mint a szám -.

Tehát egy számkörön, akárcsak a számegyenesen, minden valós szám egy pontnak felel meg (csak persze egyenesen könnyebb megtalálni, mint körön). De egy egyenesre ennek az ellenkezője is igaz: minden pont egyetlen számnak felel meg. Egy számkör esetében ez az állítás nem igaz, ezt többször láttuk fent. A következő állítás igaz a számkörre.
Ha a számkör M pontja az I számnak felel meg, akkor megfelel egy I + 2k alakú számnak is, ahol k tetszőleges egész szám (k e 2).

Valójában 2n a numerikus (egységes) kör hossza, és az egész |th| a kör egyik vagy másik irányban megtett teljes köreinek számának tekinthető. Ha például k = 3, akkor ez azt jelenti, hogy három kört teszünk meg pozitív irányban; ha k = -7, akkor ez azt jelenti, hogy hét (| k | = | -71 = 7) kört teszünk meg negatív irányban. De ha az M(1) pontban vagyunk, akkor, miután | hogy | A kör teljes körével ismét az M pontban találjuk magunkat.

A.G. Mordkovich Algebra 10. osztály

Az óra tartalma leckejegyzetek keretóra prezentációgyorsítási módszerek támogatása interaktív technológiák Gyakorlat feladatok és gyakorlatok önellenőrző műhelyek, tréningek, esetek, küldetések házi feladat megbeszélés kérdések szónoki kérdések a tanulóktól Illusztrációk audio, videoklippek és multimédia fényképek, képek, grafikák, táblázatok, diagramok, humor, anekdoták, viccek, képregények, példázatok, mondások, keresztrejtvények, idézetek Kiegészítők absztraktokat cikkek trükkök a kíváncsiskodóknak bölcsők tankönyvek alap- és kiegészítő szótár egyéb Tankönyvek és leckék javításaa tankönyv hibáinak javítása egy töredék frissítése a tankönyvben, innováció elemei a leckében, az elavult ismeretek újakkal való helyettesítése Csak tanároknak tökéletes leckékévre vonatkozó naptári javaslatok; Integrált leckék

Koordináták x a körön fekvő pontok egyenlőek cos(θ), és a koordinátákkal y megfelel a sin(θ), ahol θ a szög nagysága.

Ha nehéznek találja megjegyezni ezt a szabályt, ne feledje, hogy a párban (cos; sin) „a szinusz az utolsó”.
Ez a szabály a derékszögű háromszögek figyelembevételével és ezeknek a trigonometrikus függvényeknek a definíciójával származtatható (egy szög szinusza egyenlő a szemközti oldal hosszának és a szomszédos oldal koszinuszának a hipotenuzushoz viszonyított arányával).

Írd fel a kör négy pontjának koordinátáit! Az „egységkör” olyan kör, amelynek sugara eggyel egyenlő. Használja ezt a koordináták meghatározásához xÉs y a koordinátatengelyek és a kör négy metszéspontjában. Fentebb az érthetőség kedvéért ezeket a pontokat „keletnek”, „északnak”, „nyugatnak” és „délnek” jelöltük, bár ezeknek nincs ismert nevük.

A "Kelet" a koordinátákkal ellátott pontnak felel meg (1; 0) .
Az "Észak" a koordinátákkal ellátott pontnak felel meg (0; 1) .
A "Nyugat" a koordinátákkal ellátott pontnak felel meg (-1; 0) .
A "Dél" a koordinátákkal ellátott pontnak felel meg (0; -1) .
Ez hasonló egy normál gráfhoz, tehát nem kell ezeket az értékeket memorizálni, csak emlékezzünk az alapelvre.

Emlékezzen az első kvadráns pontjainak koordinátáira. Az első kvadráns a kör jobb felső részén található, ahol a koordináták xÉs y vegyen pozitív értékeket. Csak ezeket a koordinátákat kell megjegyeznie:

Rajzoljon egyenes vonalakat, és határozza meg a körrel való metszéspontjuk koordinátáit. Ha egy kvadráns pontjaiból egyenes vízszintes és függőleges vonalakat húz, akkor ezeknek a vonalaknak a körrel való második metszéspontjainak koordinátái lesznek xÉs y azonos abszolút értékekkel, de eltérő előjelekkel. Más szóval, az első kvadráns pontjaiból vízszintes és függőleges vonalakat rajzolhat, és a kör metszéspontjait azonos koordinátákkal jelölheti meg, ugyanakkor hagyjon helyet a bal oldalon a megfelelő jelnek ("+" vagy "-").

A koordináták előjelének meghatározásához használja a szimmetria szabályait. Számos módja van a „-” jel elhelyezésének meghatározására:

Ne feledje a normál diagramok alapvető szabályait. Tengely x negatív a bal oldalon és pozitív a jobb oldalon. Tengely y negatív alulról és pozitív felülről;
kezdje az első kvadránssal, és húzzon vonalakat a többi ponthoz. Ha a vonal metszi a tengelyt y, koordináta x megváltoztatja a jelét. Ha a vonal metszi a tengelyt x, a koordináta előjele megváltozik y;
ne feledje, hogy az első kvadránsban minden függvény pozitív, a második negyedben csak a szinusz pozitív, a harmadik negyedben csak az érintő pozitív, a negyedik negyedben pedig csak a koszinusz pozitív;
Bármelyik módszert is használja, az első negyedbe (+,+), a másodikba (-,+), a harmadikba (-,-) és a negyedikbe (+,-) kell kerülnie.

Ellenőrizze, hogy hibázott-e. Az alábbiakban a „speciális” pontok koordinátáinak teljes listája látható (kivéve a koordinátatengelyek négy pontját), ha az egységkör mentén halad az óramutató járásával ellentétes irányba. Ne feledje, hogy mindezen értékek meghatározásához elegendő megjegyezni a pontok koordinátáit csak az első negyedben:

első kvadráns:( 3 2 , 1 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (3))(2)),(\frac (1)(2)))); (2 2 , 2 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (2))(2)),(\frac (\sqrt (2))(2)))); (1 2 , 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(2)),(\frac (\sqrt (3))(2))));
második kvadráns:( − 1 2 , 3 2 (\displaystyle -(\frac (1)(2)),(\frac (\sqrt (3))(2)))); (− 2 2 , 2 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (2))(2)),(\frac (\sqrt (2))(2)))); (− 3 2 , 1 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (3))(2)),(\frac (1)(2))));
harmadik kvadráns:( − 3 2 , − 1 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (3))(2)),-(\frac (1)(2)))); (− 2 2 , − 2 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (2))(2)),-(\frac (\sqrt (2))(2)))); (− 1 2 , − 3 2 (\displaystyle -(\frac (1)(2)),-(\frac (\sqrt (3))(2))));
negyedik kvadráns:( 1 2 , − 3 2 (\displaystyle (\frac (1) (2)),-(\frac (\sqrt (3))(2)))); (2 2 , − 2 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (2))(2),-(\frac (\sqrt (2))(2)))); (3 2 , − 1 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (3))(2)),-(\frac (1)(2)))).

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete