Milyen tulajdonságokkal rendelkezik a paralelepipedon szemközti oldala? Parallelelepiped és kocka

A paralelepipedon egy geometriai alakzat, amelynek mind a 6 lapja paralelogramma.

A paralelogrammák típusától függően a következő típusú paralelogrammákat különböztetjük meg:

• egyenes;
• hajlamos;
• négyszögletes.

A jobb oldali paralelepipedon egy négyszögletű prizma, amelynek élei 90°-os szöget zárnak be az alap síkjával.

A téglalap alakú paralelepipedon négyszögletű prizma, amelynek minden lapja téglalap. A kocka egy olyan négyszögletű prizma, amelyben minden lap és él egyenlő egymással.

Az alak tulajdonságai előre meghatározzák tulajdonságait. Ezek közé tartozik a következő 4 állítás:

Könnyű megjegyezni az összes fenti tulajdonságot, könnyen érthetőek, és logikusan származtathatók a geometriai test típusa és jellemzői alapján. Az egyszerű állítások azonban hihetetlenül hasznosak lehetnek a tipikus USE feladatok megoldásában, és időt takaríthatnak meg a teszt sikeres teljesítéséhez.

Parallelelepiped képletek

A probléma megoldásához nem elég csak az ábra tulajdonságait ismerni. Szüksége lehet néhány képletre egy geometriai test területének és térfogatának meghatározásához.

Az alapok területe ugyanúgy megtalálható, mint egy paralelogramma vagy téglalap megfelelő mutatója. A paralelogramma alapját maga választhatja ki. A feladatok megoldása során általában könnyebb egy prizmával dolgozni, amelynek alapja egy téglalap.

A paralelepipedon oldalfelületének megtalálásának képletére a tesztfeladatokban is szükség lehet.

Példák tipikus egységes államvizsga-feladatok megoldására

1. Feladat.

Adott: 3, 4 és 12 cm-es téglalap alakú paralelepipedon.
Szükséges keresse meg az ábra egyik főátlójának hosszát.
Megoldás: Egy geometriai probléma megoldását egy helyes és világos rajz elkészítésével kell kezdeni, amelyen az „adott” és a kívánt érték szerepel. Az alábbi ábra a feladatfeltételek helyes végrehajtására mutat példát.

Az elkészített rajz megvizsgálása és a geometriai test összes tulajdonságának emlékezete után az egyetlen helyes megoldási módhoz jutunk. A paralelepipedon 4. tulajdonságát alkalmazva a következő kifejezést kapjuk:

Egyszerű számítások után a b2=169 kifejezést kapjuk, tehát b=13. Megtaláltuk a választ a feladatra, legfeljebb 5 percet kell töltened a kereséssel és a rajzolással.

Ezen a leckén mindenki tanulhatja a „Téglalap paralelepipedon” témát. A lecke elején megismételjük, hogy mi az önkényes és egyenes paralelepipedon, emlékezzünk a paralelepipedon ellentétes lapjainak és átlóinak tulajdonságaira. Ezután megnézzük, mi az a téglatest, és megvitatjuk alapvető tulajdonságait.

Téma: Egyenesek és síkok merőlegessége

Tanulság: Cuboid

Két egyenlő ABCD és A 1 B 1 C 1 D 1 paralelogrammából és négy ABV 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 paralelogrammából álló felületet ún. paralelepipedon(1. ábra).

Rizs. 1 Paralleleppiped

Azaz: van két egyforma ABCD és A 1 B 1 C 1 D 1 paralelogrammunk (alapok), ezek párhuzamos síkban helyezkednek el úgy, hogy az AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 oldalélek párhuzamosak legyenek. Így egy paralelogrammákból álló felületet ún paralelepipedon.

Így a paralelepipedon felülete a paralelepipedont alkotó összes paralelogramma összege.

1. A paralelepipedon szemközti oldalai párhuzamosak és egyenlőek.

(a formák egyenlőek, azaz átfedéssel kombinálhatók)

Például:

ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1 (definíció szerint egyenlő paralelogrammák),

AA 1 B 1 B = DD 1 C 1 C (mivel AA 1 B 1 B és DD 1 C 1 C a paralelepipedon ellentétes oldalai),

AA 1 D 1 D = BB 1 C 1 C (mivel AA 1 D 1 D és BB 1 C 1 C a paralelepipedon ellentétes oldalai).

2. A paralelepipedon átlói egy pontban metszik egymást, és ez a pont felezi őket.

Az AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B paralelepipedon átlói egy O pontban metszik egymást, és minden átlót ezzel a ponttal kettéosztunk (2. ábra).

Rizs. 2 A paralelepipedon átlói metszik egymást, és a metszésponttal kettéosztjuk.

3. A paralelepipedon három egyenlő és párhuzamos élének négyszerese: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, CC 1, DD 1.

Meghatározás. A paralelepipedont egyenesnek nevezzük, ha oldalsó élei merőlegesek az alapokra.

Legyen az AA 1 oldalél merőleges az alapra (3. ábra). Ez azt jelenti, hogy az AA 1 egyenes merőleges az AD és AB egyenesekre, amelyek az alap síkjában helyezkednek el. Ez azt jelenti, hogy az oldallapok téglalapokat tartalmaznak. Az alapok pedig tetszőleges paralelogrammákat tartalmaznak. Jelöljük ∠BAD = φ, a φ szög tetszőleges lehet.

Rizs. 3 Jobb oldali paralelepipedon

Tehát a jobb oldali paralelepipedon olyan paralelepipedon, amelyben az oldalélek merőlegesek a paralelepipedon alapjaira.

Meghatározás. A paralelepipedont téglalap alakúnak nevezzük, ha oldalélei merőlegesek az alapra. Az alapok téglalap alakúak.

Az ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 paralelepipedon téglalap alakú (4. ábra), ha:

1. AA 1 ⊥ ABCD (alap síkjára merőleges oldalél, azaz egyenes paralelepipedon).

2. ∠BAD = 90°, azaz az alap téglalap.

Rizs. 4 Téglalap alakú paralelepipedon

A téglalap alakú paralelepipedon minden olyan tulajdonsággal rendelkezik, mint egy tetszőleges paralelepipedon. De vannak további tulajdonságok, amelyek a téglatest definíciójából származnak.

Így, kocka alakú paralelepipedon, amelynek oldalélei merőlegesek az alapra. A téglatest alapja egy téglalap.

1. Egy téglalap alakú paralelepipedonban mind a hat lap téglalap.

Az ABCD és A 1 B 1 C 1 D 1 definíció szerint téglalapok.

2. Az oldalsó bordák merőlegesek az alapra. Ez azt jelenti, hogy a téglalap alakú paralelepipedon minden oldallapja téglalap.

3. A téglalap alakú paralelepipedon minden kétszöge derékszögű.

Tekintsük például egy AB élű téglalap alakú paralelepipedon kétszögét, azaz az ABC 1 és ABC síkok közötti kétszöget.

Az AB egy él, az A 1 pont az egyik síkban - az ABB 1 síkban, a D pont a másikban - az A 1 B 1 C 1 D 1 síkban fekszik. Ekkor a vizsgált diéderszög a következőképpen is jelölhető: ∠A 1 ABD.

Vegyük az A pontot az AB élen. AA 1 merőleges az AB élre az АВВ-1 síkban, AD merőleges az AB élre az ABC síkban. Ez azt jelenti, hogy ∠A 1 AD egy adott diéderszög lineáris szöge. ∠A 1 AD = 90°, ami azt jelenti, hogy az AB élnél a diéderszög 90°.

∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°.

Hasonlóképpen bebizonyosodott, hogy egy téglalap alakú paralelepipedon bármely kétszöge helyes.

Egy téglalap alakú paralelepipedon átlójának négyzete egyenlő a három dimenziójának négyzeteinek összegével.

Jegyzet. A téglatest egyik csúcsából kiinduló három él hossza a téglatest méretei. Néha hossznak, szélességnek, magasságnak is nevezik.

Adott: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - téglalap alakú paralelepipedon (5. ábra).

Bizonyít: .

Rizs. 5 Téglalap alakú paralelepipedon

Bizonyíték:

A CC 1 egyenes merőleges az ABC síkra, tehát az AC egyenesre. Ez azt jelenti, hogy a CC 1 A háromszög derékszögű. A Pitagorasz-tétel szerint:

Tekintsük az ABC derékszögű háromszöget. A Pitagorasz-tétel szerint:

De a BC és AD a téglalap ellentétes oldalai. Tehát BC = Kr. u. Akkor:

Mert , A , Azt. Mivel CC 1 = AA 1, ezt kellett bizonyítani.

Egy téglalap alakú paralelepipedon átlói egyenlőek.

Jelöljük a paralelepipedon ABC méreteit a, b, c-vel (lásd 6. ábra), akkor AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =

Fontos számunkra az Ön személyes adatainak védelme. Emiatt kidolgoztunk egy adatvédelmi szabályzatot, amely leírja, hogyan használjuk és tároljuk az Ön adatait. Kérjük, tekintse át adatvédelmi gyakorlatunkat, és tudassa velünk, ha kérdése van.

Személyes adatok gyűjtése és felhasználása

A személyes adatok olyan adatokra vonatkoznak, amelyek felhasználhatók egy adott személy azonosítására vagy kapcsolatfelvételre.

Amikor kapcsolatba lép velünk, bármikor megkérhetjük személyes adatainak megadására.

Az alábbiakban bemutatunk néhány példát arra, hogy milyen típusú személyes adatokat gyűjthetünk, és hogyan használhatjuk fel ezeket az információkat.

Milyen személyes adatokat gyűjtünk:

• Amikor jelentkezést nyújt be az oldalon, különféle információkat gyűjthetünk, beleértve az Ön nevét, telefonszámát, e-mail címét stb.

Hogyan használjuk fel személyes adatait:

• Az általunk gyűjtött személyes adatok lehetővé teszik számunkra, hogy egyedi ajánlatokkal, promóciókkal és egyéb eseményekkel és közelgő eseményekkel kapcsolatba léphessünk Önnel.
• Időről időre felhasználhatjuk személyes adatait fontos értesítések és közlemények küldésére.
• A személyes adatokat belső célokra is felhasználhatjuk, például auditok lefolytatására, adatelemzésre és különféle kutatásokra annak érdekében, hogy javítsuk szolgáltatásainkat, és javaslatokat adjunk Önnek szolgáltatásainkkal kapcsolatban.
• Ha nyereményjátékban, versenyben vagy hasonló promócióban vesz részt, az Ön által megadott információkat felhasználhatjuk az ilyen programok lebonyolítására.

Információk közlése harmadik fél számára

Az Öntől kapott információkat nem adjuk ki harmadik félnek.

Kivételek:

• Szükség esetén - a törvénynek, a bírósági eljárásnak, a bírósági eljárásoknak megfelelően és/vagy az Orosz Föderáció területén található állami kérelmek vagy kormányzati hatóságok kérelmei alapján - az Ön személyes adatainak nyilvánosságra hozatala. Felfedhetünk Önnel kapcsolatos információkat is, ha úgy ítéljük meg, hogy az ilyen nyilvánosságra hozatal biztonsági, bűnüldözési vagy egyéb közérdekű célból szükséges vagy megfelelő.
• Átszervezés, egyesülés vagy eladás esetén az általunk gyűjtött személyes adatokat átadhatjuk a megfelelő jogutód harmadik félnek.

Személyes adatok védelme

Óvintézkedéseket teszünk – beleértve az adminisztratív, technikai és fizikai intézkedéseket is –, hogy megvédjük személyes adatait az elvesztéstől, lopástól és visszaéléstől, valamint a jogosulatlan hozzáféréstől, nyilvánosságra hozataltól, megváltoztatástól és megsemmisítéstől.

A magánélet tiszteletben tartása vállalati szinten

Személyes adatai biztonságának biztosítása érdekében az adatvédelmi és biztonsági előírásokat közöljük alkalmazottainkkal, és szigorúan betartjuk az adatvédelmi gyakorlatokat.

Meghatározás

Poliéder poligonokból álló és a tér egy részét határoló zárt felületet fogunk nevezni.

Azokat a szakaszokat, amelyek ezeknek a sokszögeknek az oldalai, nevezzük borda poliéder, és maguk a sokszögek is azok élek. A sokszögek csúcsait poliéder csúcsoknak nevezzük.

Csak a konvex poliédereket fogjuk figyelembe venni (ez egy olyan poliéder, amely minden sík egyik oldalán található, amely a lapját tartalmazza).

A poliédert alkotó sokszögek alkotják a felületét. A térnek azt a részét, amelyet egy adott poliéder határol, belsejének nevezzük.

Definíció: prizma

Tekintsünk két egyenlő sokszöget \(A_1A_2A_3...A_n\) és \(B_1B_2B_3...B_n\), amelyek párhuzamos síkban helyezkednek el úgy, hogy a szakaszok \(A_1B_1, \A_2B_2, ..., A_nB_n\) párhuzamos. A \(A_1A_2A_3...A_n\) és \(B_1B_2B_3...B_n\) sokszögekből, valamint paralelogrammákból alkotott poliéder \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\), az úgynevezett (\(n\)-gonal) prizma.

A \(A_1A_2A_3...A_n\) és \(B_1B_2B_3...B_n\) sokszögeket prizmabázisoknak, paralelogrammáknak nevezzük. \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\)– oldallapok, szegmensek \(A_1B_1, \ A_2B_2, \ ..., A_nB_n\)- oldalsó bordák.
Így a prizma oldalélei párhuzamosak és egyenlőek egymással.

Nézzünk egy példát - egy prizmát \(A_1A_2A_3A_4A_5B_1B_2B_3B_4B_5\), melynek tövében egy domború ötszög található.

Magasság A prizmák az egyik alap bármely pontjáról egy másik alap síkjára ejtett merőlegesek.

Ha az oldalélek nem merőlegesek az alapra, akkor egy ilyen prizmát nevezünk hajlamos(1. ábra), egyébként – egyenes. Egy egyenes prizmában az oldalélek magasságok, az oldallapok pedig egyenlő téglalapok.

Ha egy szabályos sokszög egy egyenes prizma alapjában fekszik, akkor a prizmát hívják helyes.

Definíció: térfogat fogalma

A térfogat mértékegysége egy egységkocka (\(1\szor1\szer1\) mértékegység\(^3\) méretű kocka, ahol az egység egy bizonyos mértékegység).

Azt mondhatjuk, hogy egy poliéder térfogata az a térmennyiség, amelyet ez a poliéder korlátoz. Egyébként: ez egy olyan mennyiség, amelynek számértéke megmutatja, hogy egy egységkocka és részei hányszor illeszkednek egy adott poliéderbe.

A kötet ugyanazokkal a tulajdonságokkal rendelkezik, mint a terület:

1. Az egyenlő számjegyek térfogata egyenlő.

2. Ha egy poliéder több nem metsző poliéderből áll, akkor a térfogata megegyezik ezen poliéderek térfogatának összegével.

3. A térfogat egy nem negatív mennyiség.

4. A térfogat mértéke cm\(^3\) (köbcentiméter), m\(^3\) (köbméter) stb.

Tétel

1. A prizma oldalfelületének területe egyenlő az alap kerületének és a prizma magasságának szorzatával.
Az oldalfelület a prizma oldallapjainak területeinek összege.

2. A prizma térfogata egyenlő az alapterület és a prizma magasságának szorzatával: \

Definíció: paralelepipedon

Paralelepipedon egy prizma, amelynek alapja egy paralelogramma.

A paralelepipedon minden lapja (van \(6\) : \(4\) oldallapja és \(2\) alapja) paralelogramma, a szemközti (egymással párhuzamos) lapjai pedig egyenlő paralelogrammák (2. ábra) .

Egy paralelepipedon átlója egy szakasz, amely egy paralelepipedon két olyan csúcsát köti össze, amelyek nem fekszenek ugyanazon az oldalon (\(8\) van: \(AC_1,\A_1C,\BD_1,\B_1D\) stb.).

Téglalap alakú paralelepipedon egy derékszögű paralelepipedon, amelynek alapja egy téglalap.
Mert Mivel ez egy jobb oldali paralelepipedon, az oldallapok téglalapok. Ez azt jelenti, hogy általában a téglalap alakú paralelepipedon minden lapja téglalap.

Egy téglalap alakú paralelepipedon minden átlója egyenlő (ez a háromszögek egyenlőségéből következik \(\háromszög ACC_1=\háromszög AA_1C=\háromszög BDD_1=\háromszög BB_1D\) stb.).

Megjegyzés

Így a paralelepipedon a prizma összes tulajdonságával rendelkezik.

Tétel

A téglalap alakú paralelepipedon oldalfelülete a \

A téglalap alakú paralelepipedon teljes felülete \

Tétel

Egy téglatest térfogata egyenlő az egyik csúcsból kilépő három élének szorzatával (a téglatest három mérete): \

Bizonyíték

Mert Egy téglalap alakú paralelepipedonban az oldalélek merőlegesek az alapra, akkor ezek a magasságai is, vagyis \(h=AA_1=c\) Mert az alap tehát egy téglalap \(S_(\text(main))=AB\cdot AD=ab\). Innen származik ez a képlet.

Tétel

A téglalap alakú paralelepipedon \(d\) átlóját a képlet segítségével találjuk meg (ahol \(a,b,c\) a paralelepipedon méretei) \

Bizonyíték

Nézzük az ábrát. 3. Mert az alap téglalap, akkor \(\háromszög ABD\) téglalap alakú, ezért a Pitagorasz-tétel szerint \(BD^2=AB^2+AD^2=a^2+b^2\) .

Mert minden oldalél merőleges az alapokra, akkor \(BB_1\perp (ABC) \Jobbra BB_1\) merőleges ebben a síkban bármely egyenesre, azaz. \(BB_1\perp BD\) . Ez azt jelenti, hogy a \(\háromszög BB_1D\) téglalap alakú. Aztán a Pitagorasz-tétel szerint \(B_1D=BB_1^2+BD^2=a^2+b^2+c^2\), thd.

Definíció: kocka

Kocka egy téglalap alakú paralelepipedon, amelynek minden lapja egyenlő négyzet.

Így a három dimenzió egyenlő egymással: \(a=b=c\) . Tehát a következők igazak

Tételek

1. Egy \(a\) élű kocka térfogata egyenlő \(V_(\text(kocka))=a^3\) .

2. A kocka átlóját a \(d=a\sqrt3\) képlet segítségével találjuk meg.

3. Egy kocka teljes felülete \(S_(\text(teljes kocka))=6a^2\).

Utasítás

2. módszer. Tegyük fel, hogy a téglalap alakú paralelepipedon egy kocka. A kocka egy téglalap alakú paralelepipedon, minden lapját négyzet ábrázolja. Ezért minden oldala egyenlő. Ezután az átló hosszának kiszámításához a következőképpen fejezzük ki:

Források:

• téglalap átlós képlet

A paralelepipedon a prizma egy speciális esete, amelyben mind a hat lap paralelogramma vagy téglalap. A téglalap alakú paralelepipedont négyszögletesnek is nevezik. A paralelepipedonnak négy egymást metsző átlója van. Ha adott három él a, b, c, akkor további konstrukciók végrehajtásával megtalálhatja a téglalap alakú paralelepipedon összes átlóját.

Utasítás

Keresse meg a paralelepipedon m átlóját. Ehhez keresse meg az ismeretlen befogót a, n, m-ben: m² = n² + a². Dugja be az ismert értékeket, majd számítsa ki a négyzetgyököt. A kapott eredmény a paralelepipedon m első átlója lesz.

Ugyanígy rajzoljuk meg egymás után a paralelepipedon mind a másik három átlóját. Ezenkívül mindegyiknél végezze el a szomszédos lapok átlóinak további építését. Figyelembe véve a képzett derékszögű háromszögeket és a Pitagorasz-tételt alkalmazva, keresse meg a fennmaradó átlók értékeit.

Videó a témáról

Források:

• paralelepipedon megtalálása

A hipotenusz a derékszöggel ellentétes oldal. A lábak egy háromszög derékszöggel szomszédos oldalai. Az ABC és ACD háromszögekkel kapcsolatban: AB és BC, AD és DC–, AC mindkét háromszög közös befogója (a kívánt átlós). Ezért AC = AB négyzet + BC négyzet vagy AC b = AD négyzet + DC négyzet. Cserélje ki az oldalhosszakat téglalap a fenti képletbe, és számítsa ki a hipotenusz hosszát (átlós téglalap).

Például az oldalak téglalap ABCD a következő értékekkel egyenlő: AB = 5 cm és BC = 7 cm. Egy adott AC átlójának négyzete téglalap a Pitagorasz-tétel szerint: AC négyzet = AB négyzet + BC négyzet = 52+72 = 25 + 49 = 74 négyzetcm. Számológéppel számolja ki 74 négyzetgyökét. 8,6 cm-t kell kapnia (lekerekítve). Felhívjuk figyelmét, hogy az egyik ingatlan szerint téglalap, átlói egyenlők. Tehát a második átló BD hossza téglalap ABCD egyenlő az AC átló hosszával. A fenti példa esetében ez az érték