Logaritmikus függvény nullák függvénye. Módszertani fejlesztés „Logaritmikus függvény
Valódi logaritmus
Valós szám logaritmusa a bértelmes az src="/pictures/wiki/files/55/7cd1159e49fee8eff61027c9cde84a53.png" border="0">.
A legszélesebb körben használt logaritmustípusok:
Ha a logaritmikus számot változónak tekintjük, akkor azt kapjuk logaritmikus függvény, Például: . Ez a függvény a számsor jobb oldalán van definiálva: x> 0, folytonos és ott differenciálható (lásd 1. ábra).
Tulajdonságok
Természetes logaritmusok
Amikor az egyenlőség igaz
| (1) |
Különösen,
Ez a sorozat gyorsabban konvergál, ráadásul a képlet bal oldala immár bármilyen pozitív szám logaritmusát is kifejezheti.
Kapcsolat a decimális logaritmussal: .
Tizedes logaritmus
Rizs. 2. Logaritmikus skála
Logaritmus 10-es alapig (szimbólum: lg a) a számológépek feltalálása előtt széles körben használták számításokhoz. A tizedes logaritmusok egyenetlen skáláját általában a diaszabályokon is jelölik. Hasonló skálát széles körben használnak a tudomány különböző területein, például:
- Kémia - hidrogénionok aktivitása ().
- Zeneelmélet - a hangjegyek skála, a hangjegyek frekvenciájával kapcsolatban.
A logaritmikus skálát széles körben használják a hatványviszonyokban a kitevő és a kitevőben az együttható azonosítására is. Ebben az esetben az egy vagy két tengely mentén logaritmikus skálán felépített gráf egyenes alakot ölt, ami könnyebben tanulmányozható.
Komplex logaritmus
Többértékű függvény
Riemann felület
Egy összetett logaritmikus függvény egy példa a Riemann-felületre; képzeletbeli része (3. ábra) végtelen számú, spirálszerűen csavarodott ágból áll. Ez a felület egyszerűen össze van kötve; annak egyetlen (elsőrendű) nulláját adjuk meg z= 1, egyes pontok: z= 0 és (végtelen rendű elágazási pontok).
A logaritmus Riemann-felülete a 0 pont nélküli komplex sík univerzális lefedése.
Történelmi vázlat
Valódi logaritmus
A 16. században gyorsan megnőtt az összetett számítások iránti igény, és a nehézségek nagy része a többjegyű számok szorzásával és osztásával járt. A század végén több matematikusban szinte egyszerre támadt az ötlet: a munkaigényes szorzást egyszerű összeadásra cserélni, speciális táblázatok segítségével összehasonlítani a geometriai és a számtani progressziót úgy, hogy a geometriai legyen az eredeti. Ekkor az osztást automatikusan felváltja a mérhetetlenül egyszerűbb és megbízhatóbb kivonás. Ő volt az első, aki ezt az ötletet publikálta könyvében. Arithmetica integra"Michael Stiefel, aki azonban nem tett komoly erőfeszítéseket ötletének megvalósításáért.
Az 1620-as években Edmund Wingate és William Oughtred feltalálta az első csúsztatási szabályt, még a zsebszámológépek megjelenése előtt – ez egy nélkülözhetetlen mérnöki eszköz.
A logaritmáció – mint a hatalommá emelés fordított művelete – modernhez közeli felfogása először Wallisnál és Johann Bernoullinál jelent meg, végül Euler legitimálta a 18. században. A „Bevezetés a végtelenek elemzésébe” () című könyvében Euler mind az exponenciális, mind a logaritmikus függvények modern definícióit adta, hatványsorokká bővítette, és különösen megjegyezte a természetes logaritmus szerepét.
Euler nevéhez fűződik a logaritmikus függvény kiterjesztése a komplex tartományra is.
Komplex logaritmus
A 17-18. század fordulóján Leibniz és Johann Bernoulli tett először kísérletet a logaritmus komplex számokra való kiterjesztésére, de nem sikerült holisztikus elméletet alkotniuk, elsősorban azért, mert a logaritmus fogalma még nem volt egyértelműen meghatározva. A vita erről a kérdésről először Leibniz és Bernoulli között, majd a 18. század közepén - d'Alembert és Euler között - zajlott. Bernoulli és d'Alembert úgy gondolta, hogy ezt el kell határozni log(-x) = log(x). A negatív és összetett számok logaritmusának teljes elméletét Euler publikálta 1747-1751-ben, és lényegében nem különbözik a moderntől.
Bár a vita folytatódott (D'Alembert megvédte álláspontját, és részletesen kifejtette azt az Encyclopedia egyik cikkében és más munkákban), Euler álláspontja gyorsan egyetemes elismerést kapott.
Logaritmikus táblázatok
Logaritmikus táblázatok
A logaritmus tulajdonságaiból következik, hogy a többjegyű számok munkaigényes szorzása helyett elegendő (táblázatokból) megkeresni és összeadni a logaritmusukat, majd ugyanezekkel a táblázatokkal végrehajtani a potenciálást, azaz megkeresni. az eredmény értéke logaritmusából. Az osztás csak abban különbözik, hogy a logaritmusokat kivonják. Laplace azt mondta, hogy a logaritmusok feltalálása „meghosszabbította a csillagászok életét”, mivel nagymértékben felgyorsította a számítási folyamatot.
Amikor a tizedesvesszőt egy számban mozgatja n számjegy, ennek a számnak a decimális logaritmusának értéke a következőre változik n. Például log8314.63 = log8.31463 + 3. Ebből következik, hogy elegendő egy decimális logaritmus táblázatot összeállítani az 1 és 10 közötti számokhoz.
Az első logaritmustáblázatokat John Napier () publikálta, és csak trigonometrikus függvények logaritmusait tartalmazták, és hibával. Tőle függetlenül Joost Bürgi, Kepler barátja () publikálta táblázatait. 1617-ben Henry Briggs oxfordi matematika professzor olyan táblázatokat adott ki, amelyek már maguknak a számoknak a decimális logaritmusát tartalmazták 1-től 1000-ig, 8 (később 14) számjegyből. De Briggs táblázataiban is voltak hibák. Az első hibamentes kiadás a Vega-táblázatokon () csak 1857-ben jelent meg Berlinben (Bremiwer-táblázatok).
Oroszországban az első logaritmustáblázatokat 1703-ban adták ki L. F. Magnitsky részvételével. A Szovjetunióban számos logaritmustáblázat-gyűjtemény jelent meg.
- Bradis V. M. Négyjegyű matematikai táblázatok. 44. kiadás, M., 1973.
A logaritmikus függvény fogalma
Először is emlékezzünk arra, hogy valójában mi is a logaritmus.
1. definíció
A $b\in R$ szám logaritmusa a $a$ bázishoz ($a>0,\ a\ne 1$) az a $c$ szám, amelyre az $a$ számot fel kell emelni, hogy megkapjuk a számot. $b$.
Tekintsük a $f\left(x\right)=a^x$ exponenciális függvényt, ahol $a >1$. Ez a függvény növekvő, folyamatos, és a valós tengelyt leképezi a $(0,+\infty)$ intervallumra. Ekkor az inverz folytonos függvény létezésére vonatkozó tétel alapján a $Y=(0,+\infty)$ halmazban van egy $x=f^(-1)(y)$ inverz függvény, amely szintén folyamatos és növekvő $Y $-ban, és leképezi a $(0,+\infty)$ intervallumot a teljes valós tengelyre. Ezt az inverz függvényt a $a\ (a >1)$ bázis logaritmikus függvényének nevezzük, és $y=((log)_a x\ )$ jelöléssel.
Most nézzük a $f\left(x\right)=a^x$ exponenciális függvényt, ahol $0
Így definiáltunk egy logaritmikus függvényt az $a$ alap összes lehetséges értékére. Nézzük tovább ezt a két esetet külön-külön.
1%24"> $y=((log)_a x\ ),\ a >1$ függvény
Mérlegeljük tulajdonságait ezt a funkciót.
Nincsenek metszéspontok a $Oy$ tengellyel.
A függvény pozitív a $x\in (1,+\infty)$ és negatív a $x\in (0,1)$ esetén
$y"=\frac(1)(xlna)$;
Minimum és maximum pont:
A függvény a teljes definíciós tartományban növekszik;
$y^("")=-\frac(1)(x^2lna)$;
\[-\frac(1)(x^2lna)A függvény konvex a teljes definíciós tartományban;
$(\mathop(lim)_(x\to 0) y\ )=-\infty ,\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) y\ )=+\infty ,\ $;
Függvénygrafikon (1. ábra).
1. ábra: $y=((log)_a x\ ),\ a >1$ függvény grafikonja
$y=((log)_a x\ ), \ 0 függvény
Nézzük meg ennek a függvénynek a tulajdonságait.
Domain -- intervallum $(0,+\infty)$;
Tartomány: minden valós szám;
A függvény se nem páros, se nem páratlan.
Metszéspontok koordinátatengelyekkel:
Nincsenek metszéspontok a $Oy$ tengellyel.
$y=0$ esetén $((log)_a x\ )=0,\ x=1.$ Metszés az $Ox$ tengellyel: (1,0).
A függvény pozitív $x\in (0,1)$ esetén, és negatív $x\in (1,+\infty)$ esetén
$y"=\frac(1)(xlna)$;
Minimum és maximum pont:
\[\frac(1)(xlna)=0-roots\ no\]
Nincs maximum és minimum pont.
$y^("")=-\frac(1)(x^2lna)$;
Konvexitási és homorúsági intervallumok:
\[-\frac(1)(x^2lna)>0\]
Függvénygrafikon (2. ábra).
Példák logaritmikus függvények kutatására és felépítésére
1. példa
Fedezze fel és ábrázolja a $y=2-((log)_2 x\ )$ függvényt
Domain -- intervallum $(0,+\infty)$;
Tartomány: minden valós szám;
A függvény se nem páros, se nem páratlan.
Metszéspontok koordinátatengelyekkel:
Nincsenek metszéspontok a $Oy$ tengellyel.
Amikor $y=0$, $2-((log)_2 x\ )=0,\ x=4.$ Metszés az $Ox$ tengellyel: (4,0).
A függvény pozitív $x\in (0,4)$ esetén, és negatív $x\in (4,+\infty)$ esetén
$y"=-\frac(1)(xln2)$;
Minimum és maximum pont:
\[-\frac(1)(xln2)=0-roots\ no\]
Nincs maximum és minimum pont.
A függvény a teljes definíciós tartományban csökken;
$y^("")=\frac(1)(x^2ln2)$;
Konvexitási és homorúsági intervallumok:
\[\frac(1)(x^2ln2) >0\]
A függvény a teljes definíciós tartományában homorú;
$(\mathop(lim)_(x\to 0) y\ )=+\infty ,\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) y\ )=-\infty ,\ $;
3. ábra.
"Logaritmikus függvény, tulajdonságai és grafikonja."
Byvalina L.L., matematika tanár, MBOU középiskola Kiselevka faluban, Ulchsky kerületben, Habarovszk terület
Algebra 10. évfolyam
Az óra témája: „Logaritmikus függvény, tulajdonságai és grafikonja”.
Az óra típusa:új anyagok tanulása.
Az óra céljai:
ábrázolja a logaritmikus függvényt és alapvető tulajdonságait;
fejleszteni kell a logaritmikus függvény ábrázolásának képességét;
elősegíti a logaritmikus függvény tulajdonságainak gráfból történő azonosításához szükséges készségek fejlesztését;
a szöveggel való munkavégzés képességeinek fejlesztése, az információelemzés képessége, rendszerezési, értékelési és felhasználási képesség;
a párban és mikrocsoportban való munkavégzés képességeinek fejlesztése (kommunikációs készségek, párbeszéd, közös döntéshozatal)
Alkalmazott technikák: igaz, hamis állítások, INSERT, cluster, syncwine
Felszerelés: PowerPoint bemutató, interaktív tábla, szórólapok (kártyák, szöveges anyagok, táblázatok), papírlapok ketrecben,
Az órák alatt:
Hívás szakasz:
Tanári bemutatkozás. Dolgozunk a „Logaritmusok” téma elsajátításán. Mit tudunk és mit tehetünk jelenleg?
Diák válaszol.
Tudjuk: definíció, a logaritmus tulajdonságai, az alapvető logaritmikus azonosság, az új bázisra való átállás képletei, a logaritmusok alkalmazási területei.
Tudunk: logaritmusokat számol, egyszerű logaritmikus egyenleteket old meg, logaritmusokat konvertál.
Melyik fogalom kapcsolódik szorosan a logaritmus fogalmához? (a fok fogalmával, mivel a logaritmus kitevő)
Tanulói feladat. A logaritmus fogalmát használva töltsön ki bármely két táblázatot a következővel:
a > 1és at 0 a (1. sz. melléklet)
x
1
2
4
8
16
x
1
2
4
8
16
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
| x | | | 1 | 3 | 9 | x | | | 1 | 3 | 9 |
|
| | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | | 2 | 1 | 0 | -1 | -2 |
A csoportok munkájának ellenőrzése.
Mit jelentenek a bemutatott kifejezések? (exponenciális egyenletek, exponenciális függvények)
Tanulói feladat. Oldja meg az exponenciális egyenleteket változó kifejezéssel x változón keresztül nál nél.
A munka eredményeként a következő képleteket kapjuk:
Cseréljünk helyet a kapott kifejezésekben xÉs nál nél. Mit kaptunk?
Hogyan neveznéd ezeket a függvényeket? (logaritmikus, mivel a változó a logaritmus előjel alatt van). Hogyan írjuk ezt a függvényt általános formában? .
Leckénk témája: „Logaritmikus függvény, tulajdonságai és gráfja”.
A logaritmikus függvény a hol alak függvénye A- adott szám, a>0, a≠1.
Feladatunk a logaritmikus függvények gráfjainak felépítésének, tanulmányozásának, tulajdonságaik alkalmazásának elsajátítása.
Az asztalokon kérdéseket tartalmazó kártyák vannak. Mindegyik a következő szavakkal kezdődik: „Hiszed, hogy...”
A kérdésre a válasz csak „igen” vagy „nem” lehet. Ha „igen”, akkor az első oszlopban a kérdéstől jobbra tegyen egy „+” jelet, ha „nem”, akkor egy „-” jelet. Ha kétségei vannak, tegyen egy „?” jelet.
Párokban dolgozni. Működési idő 3 perc. (2. sz. melléklet)
| № p/p | Kérdések: | A | B | BAN BEN |
| Elhiszed, hogy... |
||||
| 1. | Az Oy tengely a logaritmikus függvény grafikonjának függőleges aszimptotája. | + |
||
| 2. | Az exponenciális és a logaritmikus függvények kölcsönösen inverz függvények | + |
||
| 3. | Az exponenciális y=a x és a logaritmikus függvények grafikonjai szimmetrikusak az y = x egyenesre. | + |
||
| 4. | A logaritmikus függvény definíciós tartománya a teljes számegyenes x (-∞, +∞) | - |
||
| 5. | A logaritmikus függvény értéktartománya az intervallum nál nél (0, +∞) | - |
||
| 6. | Egy logaritmikus függvény monotonitása a logaritmus alapjától függ | + |
||
| 7. | Nem minden logaritmikus függvény gráfja megy át az (1; 0) koordinátákkal rendelkező ponton. | - |
||
| 8. | A logaritmikus görbe ugyanaz az exponenciális görbe, csak eltérően helyezkedik el a koordinátasíkban. | + |
||
| 9. | A logaritmikus függvény konvexitása nem függ a logaritmus alapjától. | - |
||
| 10. | A logaritmikus függvény se nem páros, se nem páratlan. | + |
||
| 11. | A logaritmikus függvénynek van a legnagyobb értéke, és nem a legkisebb értékű, amikor a > 1és fordítva, amikor 0 a | - |
||
A tanulók válaszainak meghallgatása után a táblán lévő összesítő táblázat első oszlopa kerül kitöltésre.
Tartalomértés szakasza(10 perc).
A táblázatban szereplő kérdésekkel összegezve a munkát a tanár arra készíti fel a tanulókat, hogy kérdések megválaszolásakor még nem tudjuk, igazunk van-e vagy nincs igazunk.
Csoportos feladat. A kérdésekre a válaszokat a §4 szöveg tanulmányozásával találhatja meg, 240-242. De azt javaslom, hogy ne csak olvassa el a szöveget, hanem válasszon egyet a négy korábban kapott függvény közül: , , , , készítse el a gráfját, és azonosítsa a logaritmikus függvény tulajdonságait a gráfból. Minden csoporttag ezt egy jegyzetfüzetben végzi el. Ezután a függvény grafikonja épül fel egy nagy papírlapra egy négyzetben. A munka befejezése után minden csoport egy-egy képviselője felszólal munkája védelmében.
Csoportos feladat.Általánosítsa a for függvény tulajdonságait a > 1És 0 a (3. sz. melléklet)
Funkció tulajdonságai y = log a x nál nél a > 1.
Funkció tulajdonságai y = log a x, nál nél 0 .
Tengely OU a logaritmikus függvény grafikonjának függőleges aszimptotája és abban az esetben, amikor a>1, és abban az esetben, amikor 0
Egy függvény grafikonja y = log a x koordinátákkal rendelkező ponton halad át (1;0)
Csoportos feladat. Bizonyítsuk be, hogy az exponenciális és a logaritmikus függvények kölcsönösen inverzek.
A tanulók egy logaritmikus és exponenciális függvény grafikonját rajzolják ugyanabban a koordinátarendszerben
Tekintsünk két függvényt egyszerre: exponenciális y = a xés logaritmikus y = log a x.
A 2. ábra sematikusan mutatja a függvények grafikonjait y = a xÉs y = log a x Amennyiben a>1.
A 3. ábra sematikusan mutatja a függvények grafikonjait y = a xÉs y = log a x Amennyiben 0
3. ábra.
A következő állítások igazak.
Egy függvény grafikonja y = log a x szimmetrikus az y = a x függvény grafikonjára az egyeneshez képest y = x.
Funkció érték beállítása y = a x egy készlet y>0, és a függvény definíciós tartománya y = log a x egy készlet x>0.
Tengely Ó a függvény grafikonjának vízszintes aszimptotája y = a x, és a tengely OU a függvény grafikonjának függőleges aszimptotája y = log a X.
Funkció y = a x-vel növekszik a>1és funkciója y = log a x-vel is növekszik a>1. Funkció y = a xórakor csökken 0у = log a x at is csökken 0
Ezért tájékoztató jellegű y = a xés logaritmikus y = log a x a függvények kölcsönösen inverzek.
Egy függvény grafikonja y = log a x logaritmikus görbének nevezték, bár valójában új nevet nem lehetett kitalálni. Végül is ez ugyanaz az exponens, amely az exponenciális függvény grafikonjaként szolgál, csak másképp helyezkedik el a koordinátasíkon.
Reflexiós szakasz. Előzetes összefoglaló.
Térjünk vissza az óra elején tárgyalt kérdésekre, és beszéljük meg a kapott eredményeket. Lássuk csak, talán munka után megváltozott a véleményünk.
A csoportos tanulók összevetik a feltevéseiket a tankönyvvel végzett munka során szerzett információkkal, függvénygrafikonokat és tulajdonságaik leírását készítik, módosítják a táblázatot, megosztják gondolataikat az osztállyal, és megbeszélik az egyes kérdésekre adott válaszokat.
Hívás szakasz.Ön szerint milyen esetekben, milyen feladatok elvégzésekor alkalmazhatók a logaritmikus függvény tulajdonságai?
Várható tanulói válaszok: logaritmikus egyenletek, egyenlőtlenségek megoldása, logaritmust tartalmazó numerikus kifejezések összehasonlítása, bonyolultabb logaritmikus függvények konstruálása, átalakítása, feltárása.
Tartalomértés szakasza.
Munka a logaritmikus függvények gráfjainak felismeréséről, a definíciós tartomány megtalálásáról, a függvények monotonitásának meghatározásáról. (4. sz. melléklet)
1. Keresse meg a függvény tartományát:
1)nál nél= log 0,3 x 2) nál nél= log 2 (x-1) 3) nál nél= log 3 (3)
(0; +∞) b) (1;+∞) c) (-∞; 3) d) (0;1]
A) x≠0 b) x>0 V)
.
1
2
3
4
5
6
7
1)a, 2)b, 3)c
1)a, 2)b, 3)a
a, c
V
IDŐSZÁMÍTÁSUNK ELŐTT
A)
A)
A vizsgált kérdéskörrel kapcsolatos ismeretek bővítése érdekében a hallgatóknak felajánlják a „Logaritmikus függvény alkalmazása a természetben és a technológiában” című szöveget. (5. sz. melléklet) Használjuk „Cluster” technológiai módszer fenntartani az érdeklődést a téma iránt.
„Alkalmazható-e ez a függvény a minket körülvevő világban?” – válaszolunk erre a kérdésre a logaritmikus spirálról szóló szöveg kidolgozása után.
A „Logaritmikus függvény alkalmazása” klaszter összeállítása. A tanulók csoportokban dolgoznak, klasztereket alkotnak. Ezután a klasztereket védik és megvitatják.
Klaszter példa.
A logaritmikus függvény használata
Természet
Visszaverődés
Miről nem volt fogalmad a mai óra előtt, és mi vált most világossá számodra?
Mit tanult a logaritmikus függvényről és alkalmazásairól?
Milyen nehézségekbe ütközött a feladatok elvégzése során?
Emelje ki azt a kérdést, amely kevésbé volt egyértelmű számodra.
Milyen információk érdekeltek?
Készítsen logaritmikus függvényt syncwine
Értékelje a csoport munkáját (6. számú melléklet „Csoport teljesítményértékelő lap”)
Házi feladat: 4. § 240-243., 69-75. (páros)
Irodalom:
Azevich A.I. Húsz óra harmónia: Humán és matematika szak. - M.: Shkola-Press, 1998.-160 p.: ill. (A „Matematika az iskolában” folyóirat könyvtára. 7. szám.)
Zaire.Bek S.I. A kritikai gondolkodás fejlesztése az osztályteremben: kézikönyv általános pedagógusok számára. intézmények. – M. Oktatás, 2011. – 223 p.
Kolyagin Yu.M. Az algebra és az elemzés kezdetei. 10. évfolyam: tankönyv. általános műveltségre intézmények: alap- és profilszintek. – M.: Oktatás, 2010.
Korcsagin V.V. Egységes államvizsga 2009. Matematika. Tematikus képzési feladatok. – M.: Eksmo, 2009.
Egységes államvizsga 2008. Matematika. Tematikus képzési feladatok/ Koreshkova T.A. és mások - M.: Eksmo, 2008
Algebra óra 10. osztályban
Téma: „Logaritmikus függvény, tulajdonságai és grafikonja”
Célok:
Nevelési: Mutassa be a logaritmikus függvény fogalmát múltbeli tapasztalatok felhasználásával, adjon definíciót. Tanulmányozza a logaritmikus függvény alapvető tulajdonságait! Fejleszteni kell a logaritmikus függvény grafikonjának elkészítésének képességét.
Fejlődési: Fejleszteni kell a fő dolog kiemelésének, összehasonlításának, általánosításának képességét. Grafikai kultúra kialakítása a tanulók körében.
Nevelési: Mutassa be a matematika és a környező valóság közötti kapcsolatot. Fejleszti a kommunikációs készségeket, a párbeszédet és a csapatmunka képességét.
Az óra típusa: Kombinált
Tanítási módok: Részben kereső, interaktív.
Az órák alatt.
1. Korábbi tapasztalatok frissítése:
A hallgatóknak szóbeli gyakorlatokat kínálnak a logaritmus definíciójával, tulajdonságaival, új bázisra való átállás képleteivel, a legegyszerűbb logaritmikus és exponenciális egyenletek megoldásával, példákkal a logaritmikus kifejezések elfogadható értéktartományának megtalálására.
Orális gyakorlatokSzóbeli munka.
1) Számítsa ki a logaritmus definíciójával: log 2 8; log 4 16;.
2) Számítsa ki az alapvető logaritmikus azonosság segítségével:
3) Oldja meg az egyenletet a definíció segítségével:
4) Nézze meg, milyen x értékei mellett van értelme a kifejezésnek:
5) Keresse meg a kifejezés értékét a logaritmus tulajdonságaival:
2. Tanulmányozza a témát. A tanulóknak exponenciális egyenleteket kell megoldaniuk: 2 x =y; () x = y. az x változót az y változóval kifejezve. A munka eredményeként olyan képletek születnek, amelyek a tanulók számára ismeretlen függvényeket határoznak meg. ,. Kérdés : "Minek neveznéd ezt a funkciót?" a tanulók azt mondják, hogy logaritmikus, mivel a változó a logaritmusjel alatt van: .
Kérdés . Határozzon meg egy függvényt. Definíció: Az y=log képlettel megadott függvény a x-et logaritmikusnak nevezzük a bázissal (a>0, a 1)
III. Funkciótanulmány y=log a x
Újabban bevezettük a pozitív szám logaritmusának fogalmát pozitív és nem 1 bázisra. Bármely pozitív szám esetén megtalálhatja az adott bázis logaritmusát. De akkor érdemes egy y=log alakú függvényre gondolni fejsze, valamint grafikájáról és tulajdonságairól.Az y=log képlettel megadott függvény a x-et logaritmikusnak nevezzük a bázissal (a>0, a 1)
A logaritmikus függvény alapvető tulajdonságai:
1. A logaritmikus függvény definíciós tartománya a pozitív valós számok teljes halmaza lesz. A rövidség kedvéért úgy is hívjákR+. Nyilvánvaló tulajdonság, mivel minden pozitív számnak van logaritmusa a bázishoz.D(f)=R+
2. A logaritmikus függvény tartománya a valós számok teljes halmaza lesz.E(f)= (-∞; +∞)
3 . A logaritmikus függvény grafikonja mindig az (1;0) ponton halad át.
4 . Laz életkor logaritmikus függvényenem at a>1, és csökken 0-nál<х<1.
5 . A függvény nem páros vagy páratlan. Logaritmikus függvény - általános függvényA.
6 . A függvénynek nincs maximum vagy minimum pontja, folytonos a definíció területén.
A következő ábra egy csökkenő logaritmikus függvény grafikonját mutatja - (0
Ha exponenciális és logaritmikus függvényeket készítünk azonos bázisokkal ugyanazon a koordinátatengelyen, akkor ezeknek a függvényeknek a grafikonja szimmetrikus lesz az y = x egyeneshez képest. Ez az állítás a következő ábrán látható.
A fenti állítás mind a növekvő, mind a csökkenő logaritmikus és exponenciális függvényekre igaz lesz.
Vegyünk egy példát: keressük meg az f(x) = log logaritmikus függvény definíciós tartományát 8 (4-5x).
A logaritmikus függvény tulajdonságai alapján a definíciós tartomány az R+ pozitív valós számok teljes halmaza. Ekkor az adott függvény olyan x-re lesz definiálva, amelyre 4 - 5x>0. Megoldjuk ezt az egyenlőtlenséget, és x-et kapunk<0.8. Таким образом, получается, что областью определения функции f(x) = log 8 (4 - 5*x) az intervallum (-∞;0,8)
Egy logaritmikus függvény grafikonjai a GeoGebrában
Logaritmikus függvénygrafikonok
1) természetes logaritmus y = ln (x)
2) decimális logaritmus y = log(x)
3) 2. alapú logaritmus y = ld (x)
V. A téma megerősítése
A logaritmikus függvény kapott tulajdonságait felhasználva a következő feladatokat oldjuk meg:
1. Keresse meg a függvény tartományát: y=log 8 (4-5x);y = log 0,5 (2x+8);
3. Készítsen sematikusan függvénygráfokat: y=log 2 (x+2) -3 y= log 2 (x) +2
Megadjuk a logaritmus alapvető tulajdonságait, logaritmusgráfot, definíciós tartományt, értékkészletet, alapképleteket, növelést és csökkentést. A logaritmus deriváltjának megtalálását tekintjük. Valamint integrál, hatványsorok bővítése és ábrázolása komplex számokkal.
A logaritmus definíciója
Logaritmus a bázissal y függvénye (x) = log a x, az a bázisú exponenciális függvény inverze: x (y) = a y.
Tizedes logaritmus egy szám alapjának logaritmusa 10 : log x ≡ log 10 x.
Természetes logaritmus az e bázisának logaritmusa: ln x ≡ log e x.
2,718281828459045...
;
.
A logaritmus grafikonját az exponenciális függvény grafikonjából kapjuk úgy, hogy tükrözzük azt az y = x egyeneshez képest. A bal oldalon az y függvény grafikonjai láthatók (x) = log a x négy értékre logaritmus alapok: a = 2
, a = 8
, a = 1/2
és egy = 1/8
. A grafikon azt mutatja, hogy amikor a > 1
a logaritmus monoton növekszik. Ha x növekszik, a növekedés jelentősen lelassul. Nál nél 0
< a < 1
a logaritmus monoton csökken.
A logaritmus tulajdonságai
Domain, értékkészlet, növekvő, csökkenő
A logaritmus monoton függvény, ezért nincs szélsősége. A logaritmus főbb tulajdonságait a táblázat tartalmazza.
| Tartomány | 0 < x < + ∞ | 0 < x < + ∞ |
| Értéktartomány | - ∞ < y < + ∞ | - ∞ < y < + ∞ |
| Monoton | monoton növekszik | monoton csökken |
| Nullák, y = 0 | x = 1 | x = 1 |
| Metszéspontok az ordináta tengellyel, x = 0 | Nem | Nem |
| + ∞ | - ∞ | |
| - ∞ | + ∞ |
Magánértékek
A 10-es alapú logaritmust nevezzük decimális logaritmusés a következőképpen jelöljük:
Logaritmus a bázishoz e hívott természetes logaritmus:
A logaritmusok alapképletei
Az inverz függvény definíciójából adódó logaritmus tulajdonságai:
A logaritmus fő tulajdonsága és következményei
Alaphelyettesítő képlet
Logaritmus a logaritmus felvételének matematikai művelete. A logaritmusok felvételekor a tényezők szorzatait tagok összegére alakítják át.
Potencírozás a logaritmus inverz matematikai művelete. A potencírozás során egy adott bázist arra az expressziós fokra emelnek, amely felett a potencírozás történik. Ebben az esetben a tagok összegei faktorok szorzatává alakulnak.
A logaritmusok alapképleteinek bizonyítása
A logaritmusokhoz kapcsolódó képletek az exponenciális függvények képleteiből és az inverz függvény definíciójából következnek.
Tekintsük az exponenciális függvény tulajdonságát
.
Akkor
.
Alkalmazzuk az exponenciális függvény tulajdonságát
:
.
Bizonyítsuk be az alaphelyettesítési képletet.
;
.
Feltételezve, hogy c = b, a következőt kapjuk:
Inverz függvény
Az a bázis logaritmusának inverze egy exponenciális függvény a kitevőjével.
Ha akkor
Ha akkor
A logaritmus deriváltja
Az x modulus logaritmusának deriváltja:
.
Az n-edik rend származéka:
.
Képletek származtatása >>>
A logaritmus deriváltjának megtalálásához bázisra kell redukálni e.
;
.
Integrál
A logaritmus integrálját részenkénti integrálással számítjuk ki: .
Így,
Komplex számokat használó kifejezések
Tekintsük a komplex számfüggvényt z:
.
Adjunk meg egy komplex számot z modulon keresztül rés érvelés φ
:
.
Ezután a logaritmus tulajdonságait felhasználva a következőket kapjuk:
.
Vagy
Az érvelés azonban φ
nem egyedileg meghatározott. Ha felteszed
, ahol n egy egész szám,
akkor ugyanaz a szám lesz a különböző n.
Ezért a logaritmus, mint egy komplex változó függvénye, nem egyértékű függvény.
Teljesítménysorozat bővítése
Amikor a bővítés megtörténik:
Referenciák:
BAN BEN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Matematika kézikönyve mérnökök és főiskolai hallgatók számára, „Lan”, 2009.
Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete