Alapintegrálok. Antiderivatív függvény és határozatlan integrál

Ezen az oldalon megtalálod:

1. Valójában az antiderivatívek táblázata - letölthető PDF formátumban és kinyomtatható;

2. Videó a táblázat használatáról;

3. Egy csomó példa az antiderivátum kiszámítására különböző tankönyvekből és tesztekből.

Magában a videóban sok olyan problémát elemezünk, ahol a függvények antiderivatíváit kell kiszámítani, gyakran meglehetősen összetettek, de ami a legfontosabb, ezek nem teljesítményfüggvények. A fent javasolt táblázatban összefoglalt összes függvényt fejből kell ismerni, akárcsak a deriváltokat. Ezek nélkül az integrálok további tanulmányozása és gyakorlati problémák megoldására való alkalmazása lehetetlen.

Ma folytatjuk a primitívek tanulmányozását, és egy kicsit összetettebb témára térünk át. Ha a múltkor csak a hatványfüggvények és valamivel bonyolultabb konstrukciók antideriváltait vettük figyelembe, ma a trigonometriát és még sok minden mást fogunk megvizsgálni.

Ahogy az előző leckében mondtam, az antiderivatíveket, a származékokkal ellentétben, soha nem oldják meg „egyből” semmilyen szabványos szabály alkalmazásával. Ráadásul a rossz hír az, hogy a származékkal ellentétben az antiderivatív egyáltalán nem jöhet számításba. Ha felírunk egy teljesen véletlenszerű függvényt, és megpróbáljuk megtalálni a deriváltját, akkor nagyon nagy valószínűséggel sikerül, de az antiderivált ebben az esetben szinte soha nem kerül kiszámításra. De van egy jó hír: a függvényeknek van egy meglehetősen nagy osztálya, az úgynevezett elemi függvények, amelyek antideriváltjait nagyon könnyű kiszámítani. És az összes többi összetettebb struktúra, amelyet mindenféle teszten, független teszten és vizsgán megadnak, valójában ezekből az alapvető funkciókból áll összeadáson, kivonáson és más egyszerű műveleteken keresztül. Az ilyen függvények prototípusait régóta számítják és speciális táblázatokba állítják össze. Ezekkel a függvényekkel és táblázatokkal fogunk ma dolgozni.

De kezdjük, mint mindig, egy ismétléssel: emlékezzünk arra, mi az antiderivatív, miért van belőlük végtelenül sok, és hogyan határozhatjuk meg általános megjelenésüket. Ehhez két egyszerű problémát vettem fel.

Könnyű példák megoldása

1. példa

Azonnal jegyezzük meg, hogy $\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$ és általában a $\text( )\!\!\pi\ A !\!\ text( )$ azonnal utal arra, hogy a függvény szükséges antideriváltja a trigonometriához kapcsolódik. És valóban, ha megnézzük a táblázatot, azt találjuk, hogy a $\frac(1)(1+((x)^(2)))$ nem más, mint a $\text(arctg)x$. Tehát írjuk le:

Ahhoz, hogy megtalálja, le kell írnia a következőket:

\[\frac(\pi )(6)=\text(arctg)\sqrt(3)+C\]

\[\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )) (3)+C\]

2. példa

Itt trigonometrikus függvényekről is beszélünk. Ha megnézzük a táblázatot, akkor valóban ez történik:

Meg kell találnunk a teljes antiderivatív készlet közül azt, amelyik átmegy a jelzett ponton:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\arcsin \frac(1)(2)+C\]

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)+C\]

Végül írjuk le:

Ez ennyire egyszerű. Az egyetlen probléma az, hogy az egyszerű függvények antideriváltjainak kiszámításához meg kell tanulni egy antiderivált táblázatot. Azonban, miután áttanulmányoztam a derivált táblázatot, úgy gondolom, hogy ez nem lesz probléma.

Exponenciális függvényt tartalmazó feladatok megoldása

Kezdésként írjuk fel a következő képleteket:

\[((e)^(x))\–(e)^(x))\]

\[((a)^(x))\ to \frac(((a)^(x)))(\ln a)\]

Lássuk, hogyan működik mindez a gyakorlatban.

1. példa

Ha megnézzük a zárójelek tartalmát, észrevehetjük, hogy az antiderivatívek táblázatában nincs olyan kifejezés, hogy $((e)^(x))$ négyzetben legyen, ezért ezt a négyzetet ki kell bővíteni. Ehhez a rövidített szorzóképleteket használjuk:

Keressük meg az egyes kifejezések származékát:

\[((e)^(2x))=((\left(((e)^(2)) \jobbra))^(x))\to \frac(((\left(((e)^) (2)) \jobbra))^(x)))(\ln ((e)^(2)))=\frac(((e)^(2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))=((\bal(((e)^(-2)) \jobbra))^(x))\to \frac(((\left(((e)) )^(-2)) \jobbra))^(x)))(\ln ((e)^(-2)))=\frac(1)(-2(e)^(2x))) \]

Most gyűjtsük össze az összes kifejezést egyetlen kifejezésbe, és kapjuk meg az általános antideriváltat:

2. példa

Ezúttal nagyobb a fokszám, így a rövidített szorzási képlet meglehetősen bonyolult lesz. Tehát nyissuk meg a zárójeleket:

Most próbáljuk kivenni a képlet antideriváltját ebből a konstrukcióból:

Mint látható, az exponenciális függvény antideriváltjaiban semmi bonyolult vagy természetfeletti nincs. Mindegyik táblázatból van kiszámítva, de a figyelmes hallgatók valószínűleg észreveszik, hogy a $((e)^(2x))$ antiderivált sokkal közelebb áll az egyszerű $((e)^(x))$-hoz, mint a $((a) )^(x ))$. Szóval, lehet, hogy van valami speciálisabb szabály, amely lehetővé teszi, hogy a $((e)^(x))$ antiderivatíva ismeretében megtaláljuk a $((e)^(2x))$? Igen, létezik ilyen szabály. Ráadásul az antiderivatívek táblázatával való munka szerves részét képezi. Most ugyanazokkal a kifejezésekkel elemezzük, amelyekkel példaként dolgoztunk.

Az antiderivatívek táblázatával való munka szabályai

Írjuk újra a függvényünket:

Az előző esetben a következő képletet használtuk a megoldáshoz:

\[((a)^(x))\ to \frac(((a)^(x)))(\operátornév(lna))\]

De most tegyük egy kicsit másképp: emlékezzünk arra, hogy milyen alapon $((e)^(x))\to ((e)^(x))$. Ahogy már mondtam, mivel a $((e)^(x))$ derivált nem más, mint $((e)^(x))$, ezért az antideriváltja ugyanaz lesz a $((e) ^ (x))$. De a probléma az, hogy van $((e)^(2x))$ és $((e)^(-2x))$. Most próbáljuk meg megtalálni a $((e)^(2x))$ deriváltját:

\[((\left(((e)^(2x)) \jobbra))^(\prime ))=((e)^(2x))\cdot ((\bal(2x \jobb))^ \prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

Írjuk újra a felépítésünket:

\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

\[((e)^(2x))=((\left(\frac(((e)^(2x)))(2) \jobbra))^(\prime ))\]

Ez azt jelenti, hogy amikor megtaláljuk a $((e)^(2x))$ antideriváltat, a következőket kapjuk:

\[((e)^(2x))\ to \frac(((e)^(2x)))(2)\]

Mint látható, ugyanazt az eredményt kaptuk, mint korábban, de nem a képletet használtuk a $((a)^(x))$ keresésére. Ez most hülyeségnek tűnhet: minek bonyolítani a számításokat, ha van egy szabványos képlet? Kicsit összetettebb kifejezéseknél azonban azt tapasztalhatod, hogy ez a technika nagyon hatékony, pl. származékok felhasználásával az antiderivatívek megtalálására.

Bemelegítésképpen keressük meg a $((e)^(2x))$ antideriváltját hasonló módon:

\[((\left(((e)^(-2x)) \jobbra))^(\prime ))=((e)^(-2x))\cdot \left(-2 \right)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(\frac(((e)^(-2x)))(-2) \jobbra))^(\prime ))\]

Számításkor a konstrukciónkat a következőképpen írjuk:

\[((e)^(-2x))\to -\frac(((e)^(-2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))\to -\frac(1)(2\cdot ((e)^(2x)))\]

Pontosan ugyanazt az eredményt kaptuk, de más utat választottunk. Ez a számunkra most kicsit bonyolultabbnak tűnő út az, amelyik a jövőben hatékonyabb lesz a bonyolultabb antideriválták kiszámításában és a táblázatok használatában.

Jegyzet! Ez egy nagyon fontos szempont: az antiderivatívumok, akárcsak a származékok, sokféleképpen számolhatók. Ha azonban minden számítás és számítás egyenlő, akkor a válasz ugyanaz lesz. Ezt most láttuk a $((e)^(-2x))$ példában - egyrészt ezt az antiderivatívát „végig” számoltuk, a definíciót használva, másrészt transzformációkkal számoltuk ki, emlékeztünk rá, hogy a $ ((e)^(-2x))$ mint $((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))$ ábrázolható, és csak ezután használtuk a $( (a)^(x))$ függvény antideriváltja. Az eredmény azonban minden átalakítás után a vártnak megfelelően ugyanaz lett.

És most, hogy mindezt megértettük, ideje továbblépnünk valami jelentősebbre. Most két egyszerű konstrukciót fogunk elemezni, de a megoldásuk során alkalmazott technika sokkal hatékonyabb és hasznosabb eszköz, mint egyszerűen „futni” a táblázatból a szomszédos antideriváltok között.

Problémamegoldás: egy függvény antideriváltjának megtalálása

1. példa

Bontsuk fel a számlálóban szereplő összeget három külön törtre:

Ez egy meglehetősen természetes és érthető átmenet - a legtöbb diáknak nincs vele problémája. Írjuk át a kifejezésünket a következőképpen:

Most emlékezzünk erre a képletre:

Esetünkben a következőket kapjuk:

Hogy megszabaduljon ezektől a háromszintes törtektől, a következőket javaslom:

2. példa

Az előző törttel ellentétben a nevező nem szorzat, hanem összeg. Ebben az esetben már nem oszthatjuk fel a törtünket több egyszerű tört összegére, hanem valahogyan meg kell próbálnunk gondoskodni arról, hogy a számláló megközelítőleg ugyanazt a kifejezést tartalmazza, mint a nevező. Ebben az esetben nagyon egyszerű megtenni:

Ez a jelölés, amelyet a matematikai nyelvben „nulla hozzáadásának” neveznek, lehetővé teszi számunkra, hogy a törtet ismét két részre ossza:

Most pedig találjuk meg, amit kerestünk:

Ennyi a számítás. Az előző feladatnál láthatóan nagyobb bonyolultság ellenére a számítások mennyisége még kisebbnek bizonyult.

A megoldás árnyalatai

És itt rejlik a táblázatos antideriváltokkal való munka fő nehézsége, ez különösen a második feladatban szembetűnő. A helyzet az, hogy néhány, a táblázaton keresztül könnyen kiszámítható elem kiválasztásához tudnunk kell, hogy pontosan mit is keresünk, és ezeknek az elemeknek a kereséséből áll az antiderivatívák teljes számítása.

Más szóval, nem elég az antiderivatívák táblázatát memorizálni - látni kell valamit, ami még nem létezik, hanem azt, hogy mire gondolt a probléma szerzője és összeállítója. Ezért sok matematikus, tanár és professzor folyamatosan vitatkozik: „Mi az antiderivatívák szedése vagy az integráció – ez csak egy eszköz, vagy igazi művészet?” Valójában személyes véleményem szerint az integráció egyáltalán nem művészet - nincs benne semmi magasztos, csak gyakorlat és még több gyakorlás. A gyakorláshoz pedig oldjunk meg három komolyabb példát.

Gyakorlati integrációra edzünk

1. számú feladat

Írjuk fel a következő képleteket:

\[((x)^(n))\ to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

\[\frac(1)(x)\to \ln x\]

\[\frac(1)(1+((x)^(2)))\to \text(arctg)x\]

Írjuk a következőket:

2. probléma

Írjuk át a következőképpen:

A teljes antiderivatíva egyenlő lesz:

3. feladat

Ennek a feladatnak az a nehézsége, hogy a fenti előző függvényekkel ellentétben egyáltalán nincs $x$ változó, azaz. nem világos számunkra, hogy mit adjunk hozzá vagy vonjunk ki, hogy legalább valami hasonlót kapjunk, mint ami alább van. Valójában azonban ez a kifejezés még az előző kifejezéseknél is egyszerűbbnek tekinthető, mivel ez a függvény a következőképpen írható át:

Most felteheti a kérdést: miért egyenlők ezek a függvények? Ellenőrizzük:

Írjuk át még egyszer:

Alakítsuk át egy kicsit a kifejezésünket:

És amikor mindezt elmagyarázom a tanítványaimnak, szinte mindig ugyanaz a probléma merül fel: az első függvénynél többé-kevésbé minden világos, a másodiknál ugyancsak szerencsével vagy gyakorlással ki lehet találni, de milyen alternatív tudattal. kell a harmadik példa megoldásához? Tulajdonképpen ne félj. Azt a technikát, amelyet az utolsó antiderivált számításakor használtunk, „egy függvény legegyszerűbbre bontásának” hívják, és ez egy nagyon komoly technika, és külön videóleckét szentelünk neki.

Addig is azt javaslom, hogy térjünk vissza az imént tanultakhoz, nevezetesen az exponenciális függvényekhez, és némileg bonyolítjuk a problémákat tartalmukkal.

Bonyolultabb problémák antiderivált exponenciális függvények megoldására

1. számú feladat

Jegyezzük meg a következőket:

\[((2)^(x))\cdot ((5)^(x))=((\left(2\cdot 5 \right))^(x))=((10)^(x) )\]

Ennek a kifejezésnek az anti-származékának megtalálásához egyszerűen használja a szabványos képletet - $((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)$.

A mi esetünkben az antiderivatív így lesz:

Természetesen az általunk most megoldott kialakításhoz képest ez egyszerűbbnek tűnik.

2. probléma

Ismét könnyen belátható, hogy ez a függvény könnyen két külön kifejezésre osztható – két külön törtre. Írjuk át:

Továbbra is meg kell találni az egyes kifejezések származékát a fent leírt képlet segítségével:

Annak ellenére, hogy az exponenciális függvények bonyolultabbak a hatványfüggvényekhez képest, a számítások és számítások összmennyisége sokkal egyszerűbbnek bizonyult.

Természetesen a hozzáértő diákok számára az imént tárgyaltak (főleg a korábban elemzettek hátterében) elemi kifejezéseknek tűnhetnek. Amikor azonban ezt a két feladatot választottam a mai videóórához, nem azt a célt tűztem ki magam elé, hogy egy másik összetett és kifinomult technikát mondjak el – csak azt akartam megmutatni, hogy ne félj standard algebrai technikáktól eredeti függvények átalakítására. .

"Titkos" technika használatával

Befejezésül egy másik érdekes technikát szeretnék szemügyre venni, amely egyrészt túlmutat azon, amit ma főleg tárgyaltunk, másrészt viszont egyrészt egyáltalán nem bonyolult, ti. Kezdő diákok is elsajátíthatják, másodszor pedig elég gyakran megtalálható mindenféle tesztben és önálló munkában, pl. ennek ismerete nagyon hasznos lesz az antiderivatívek táblázatának ismerete mellett.

1. számú feladat

Nyilvánvalóan van valami nagyon hasonló a hatványfüggvényhez. Mit tegyünk ebben az esetben? Gondoljunk csak bele: az $x-5$ nem sokban különbözik a $x$-tól – csak hozzáadták a -5$-t. Írjuk így:

\[((x)^(4))\ to \frac(((x)^(5)))(5)\]

\[((\left(\frac(((x)^(5)))(5) \jobbra))^(\prime ))=\frac(5\cdot ((x)^(4))) (5)=((x)^(4))\]

Próbáljuk meg megtalálni a $((\left(x-5 \right))^(5))$ deriváltját:

\[((\left(((\left(x-5 \right))^(5)) \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right)) ^(4))\cdot ((\left(x-5 \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right))^(4))\]

Ez a következőket jelenti:

\[((\left(x-5 \right))^(4))=((\left(\frac(((\left(x-5 \right)))^(5)))(5) \ jobb))^(\prime ))\]

A táblázatban nincs ilyen érték, ezért most mi magunk származtattuk ezt a képletet egy hatványfüggvény standard antiderivatív képletével. Írjuk a választ így:

2. probléma

Sok diák, aki az első megoldást nézi, azt gondolhatja, hogy minden nagyon egyszerű: csak cserélje ki az $x$-t a hatványfüggvényben egy lineáris kifejezésre, és minden a helyére kerül. Sajnos nem minden ilyen egyszerű, és most ezt fogjuk látni.

Az első kifejezés analógiájára a következőket írjuk:

\[((x)^(9))\ to \frac(((x)^(10)))(10)\]

\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \jobbra))^(\prime ))=10\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\cdot ((\left(4-3x \right))^(\prime ))=\]

\[=10\cdot ((\left(4-3x \right))^(9))\cdot \left(-3 \right)=-30\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\]

Visszatérve a származékunkhoz, ezt írhatjuk:

\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \jobbra))^(\prime ))=-30\cdot ((\left(4-3x \right) )^(9))\]

\[((\left(4-3x \right))^(9))=((\left(\frac(((\left(4-3x \right))^(10)))(-30) \jobbra))^(\prime ))\]

Ez azonnal következik:

A megoldás árnyalatai

Figyelem: ha a múltkor lényegében nem változott semmi, akkor a második esetben a -10$ helyett a -30$ jelent meg. Mi a különbség a -10 dollár és a -30 dollár között? Nyilvánvalóan -3 dolláros tényezővel. Kérdés: honnan jött? Ha alaposan megnézi, láthatja, hogy egy komplex függvény deriváltjának kiszámítása eredményeként készült – az alábbi antideriváltban az $x$-on álló együttható látható. Ez egy nagyon fontos szabály, amit kezdetben egyáltalán nem terveztem tárgyalni a mai videóórán, de enélkül hiányos lenne a táblázatos antiderivatívák bemutatása.

Tehát csináljuk újra. Legyen a fő teljesítmény funkciónk:

\[((x)^(n))\ to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

Most $x$ helyett cseréljük be a $kx+b$ kifejezést. Akkor mi lesz? Meg kell találnunk a következőket:

\[((\left(kx+b \right))^(n))\ to \frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+ 1) \jobbra)\cdot k)\]

Milyen alapon állítjuk ezt? Nagyon egyszerű. Keressük a fent leírt konstrukció származékát:

\[((\left(\frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+1 \right)\cdot k) \right))^( \prime ))=\frac(1)(\left(n+1 \right)\cdot k)\cdot \left(n+1 \right)\cdot ((\left(kx+b \right))^ (n))\cdot k=((\left(kx+b \right))^(n))\]

Ez ugyanaz a kifejezés, amely eredetileg is létezett. Így ez a képlet is helyes, és kiegészíthető vele az antiderivatívok táblázata, vagy jobb, ha egyszerűen megjegyzi a teljes táblázatot.

Következtetések a „titok: technika:

Mindkét funkció, amit most megnéztünk, a fokozatok bővítésével tulajdonképpen a táblázatban jelzett antideriváltokra redukálható, de ha többé-kevésbé valahogy megbirkózunk a negyedik fokozattal, akkor a kilencedik fokozatot nem is tekintem. merte feltárni.
Ha bővítenénk a fokszámokat, akkora számítási mennyiséget kapnánk, hogy egy egyszerű feladat alkalmatlanul sok időt vesz igénybe.
Éppen ezért az ilyen, lineáris kifejezéseket tartalmazó problémákat nem kell „fejjel-fejjel” megoldani. Amint találkozik egy antideriváltával, amely csak a $kx+b$ kifejezés jelenlétében különbözik a táblázatban szereplőtől, azonnal emlékezzen a fent leírt képletre, cserélje be a táblázat antideriváltjába, és minden sok minden kiderül. gyorsabban és könnyebben.

Természetesen ennek a technikának a bonyolultsága és komolysága miatt a jövőbeni videóleckéken sokszor visszatérünk rá, de mára ennyi. Remélem, ez a lecke valóban segíteni fog azoknak a diákoknak, akik szeretnék megérteni az antiderivatívákat és az integrációt.

Az antiderivatív függvény definíciója

Funkció y=F(x) függvény antideriváltjának nevezzük y=f(x) adott intervallumban X, ha mindenkinek x ∈x az egyenlőség érvényesül: F′(x) = f(x)

Kétféleképpen olvasható:

f függvény deriváltja F
F egy függvény antideriváltja f

Az antiderivatívek tulajdonságai

Ha F(x)- egy függvény antideriváltja f(x) egy adott intervallumon, akkor az f(x) függvénynek végtelen sok antideriváltja van, és mindezek az antideriválták a következő formában írhatók fel F(x) + C, ahol C egy tetszőleges állandó.

Geometriai értelmezés

Egy adott függvény összes antideriváltjának grafikonja f(x) bármely antiderivált grafikonjából az O tengely mentén történő párhuzamos transzlációkkal kapjuk meg nál nél.

Az antiderivatívák kiszámításának szabályai

Az összeg antiderivatívája egyenlő az antiderivatívák összegével. Ha F(x)- antiderivatív a f(x), és G(x) az antideriváltja g(x), Azt F(x) + G(x)- antiderivatív a f(x) + g(x).
A konstans tényező kivehető a derivált előjeléből. Ha F(x)- antiderivatív a f(x), És k- akkor állandó k·F(x)- antiderivatív a k f(x).
Ha F(x)- antiderivatív a f(x), És k, b- állandó, és k ≠ 0, Azt 1/k F(kx + b)- antiderivatív a f(kx + b).

Emlékezik!

Bármilyen funkció F(x) = x 2 + C , ahol C egy tetszőleges állandó, és csak egy ilyen függvény antideriváltja a függvénynek f(x) = 2x.

Például:
F"(x) = (x 2 + 1)" = 2x = f(x);

f(x) = 2x, mert F"(x) = (x 2 – 1)" = 2x = f(x);

f(x) = 2x, mert F"(x) = (x 2 –3)" = 2x = f(x);

Egy függvény grafikonjai és antideriváltja közötti kapcsolat:

Ha egy függvény grafikonja f(x)>0 az intervallumon, majd annak antideriváltjának grafikonját F(x) ezen intervallum alatt növekszik.
Ha egy függvény grafikonja f(x) az intervallumon, majd az antiderivált grafikonja F(x) ezen idő alatt csökken.
Ha f(x)=0, majd annak antideriváltjának grafikonja F(x) ezen a ponton növekvőről csökkenőre változik (vagy fordítva).

Az antiderivált jelölésére a határozatlan integrál jelét használjuk, vagyis az integrált az integráció határainak jelzése nélkül.

Határozatlan integrál

Meghatározás:

Az f(x) függvény határozatlan integrálja az F(x) + C kifejezés, vagyis egy adott f(x) függvény összes antideriváltjának halmaza. A határozatlan integrált a következőképpen jelöljük: \int f(x) dx = F(x) + C

f(x)- integrand függvénynek nevezzük;
f(x)dx- integrandusnak nevezzük;
x- az integráció változójának nevezzük;
F(x)- az f(x) függvény egyik antideriváltja;
VAL VEL- tetszőleges állandó.

A határozatlan integrál tulajdonságai

A határozatlan integrál deriváltja egyenlő az integrandusszal: (\int f(x) dx)\prime= f(x) .
Az integrandus állandó tényezője kivehető az integráljelből: \int k \cdot f(x) dx = k \cdot \int f(x) dx.
A függvények összegének (különbségének) integrálja egyenlő ezen függvények integráljainak összegével (különbségével): \int (f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx.
Ha k, b konstansok, és k ≠ 0, akkor \int f(kx + b) dx = \frac ( 1 ) ( k ) \cdot F(kx + b) + C.

Az antiderivált és határozatlan integrálok táblázata

Funkció f(x)	Antiderivatív F(x) + C	Határozatlan integrálok \int f(x) dx = F(x) + C
0	C	\int 0 dx = C
f(x) = k	F(x) = kx + C	\int kdx = kx + C
f(x) = x^m, m\not =-1	F(x) = \frac (x^ (m+1) ) (m+1) + C	\int x ( ^m ) dx = \ frac ( x^ ( m+1 ) ) ( m+1 ) + C
f(x) = \frac ( 1 ) ( x )	F(x) = l n \lvert x \rvert + C	\int \frac ( dx ) ( x ) = l n \lvert x \rvert + C
f(x) = e^x	F(x) = e^x + C	\int e ( ^x ) dx = e^x + C
f(x) = a^x	F(x) = \frac ( a^x ) ( l na ) + C	\int a (^x) dx = \frac (a^x) (l na) + C
f(x) = \sin x	F(x) = -\cos x + C	\int \sin x dx = -\cos x + C
f(x) = \cos x	F(x) =\sin x + C	\int \cos x dx = \sin x + C
f(x) = \frac ( 1 ) ( \sin ( ^2 ) x )	F(x) = -\ctg x + C	\int \frac ( dx ) ( \sin ( ^2 ) x ) = -\ctg x + C
f(x) = \frac ( 1 ) ( \cos ( ^2 ) x )	F(x) = \tg x + C	\int \frac ( dx ) ( \sin ( ^2 ) x ) = \ tg x + C
f(x) = \sqrt (x)	F(x) =\frac ( 2x \sqrt ( x ) ) ( 3 ) + C
f(x) =\frac ( 1 ) ( \sqrt ( x ) )	F(x) =2\sqrt ( x ) + C
f(x) =\frac ( 1 ) ( \sqrt ( 1-x^2 ))	F(x)=\arcsin x + C	\int \frac ( dx ) ( \sqrt ( 1-x^2 ) ) =\arcsin x + C
f(x) =\frac ( 1 ) ( \sqrt ( 1+x^2 ))	F(x)=\arctg x + C	\int \frac ( dx ) ( \sqrt ( 1+x^2 ) ) =\arctg x + C
f(x)=\frac ( 1 ) ( \sqrt ( a^2-x^2 ))	F(x)=\arcsin \frac ( x ) ( a ) + C	\int \frac ( dx ) ( \sqrt ( a^2-x^2 ) ) =\arcsin \frac ( x ) ( a ) + C
f(x)=\frac ( 1 ) ( \sqrt ( a^2+x^2 ))	F(x)=\arctg \frac ( x ) ( a ) + C	\int \frac (dx) (\sqrt (a^2+x^2)) = \frac (1) (a) \arctg \frac (x) (a) + C
f(x) =\frac ( 1 ) ( 1+x^2 )	F(x)=\arctg + C	\int \frac ( dx ) ( 1+x^2 ) =\arctg + C
f(x)=\frac ( 1 ) ( \sqrt ( x^2-a^2 ) ) (a \not= 0)	F(x)=\frac ( 1 ) ( 2a ) l n \lvert \frac ( x-a ) ( x+a ) \rvert + C	\int \frac ( dx ) ( \sqrt ( x^2-a^2 ) ) =\frac ( 1 ) ( 2a ) l n \lvert \frac ( x-a ) ( x+a ) \rvert + C
f(x)=\tg x	F(x)= - l n \lvert \cos x \rvert + C	\int \tg x dx =- l n \lvert \cos x \rvert + C
f(x)=\ctg x	F(x)= l n \lvert \sin x \rvert + C	\int \ctg x dx = l n \lvert \sin x \rvert + C
f(x)=\frac ( 1 ) ( \sin x )	F(x)= ln \lvert \tg \frac ( x ) ( 2 ) \rvert + C	\int \frac ( dx ) ( \ sin x ) = l n \ lvert \ tg \ frac ( x ) ( 2 ) \rvert + C
f(x)=\frac ( 1 ) ( \cos x )	F(x)= l n \lvert \tg (\frac ( x ) ( 2 ) +\ frac ( \pi ) ( 4 )) \rvert + C	\int \frac ( dx ) ( \cos x ) = l n \lvert \tg (\frac ( x ) ( 2 ) +\frac ( \pi ) ( 4 )) \rvert + C

Newton–Leibniz képlet

Hadd f(x) ezt a funkciót Fönkényes antideriváltja.

\int_ ( a ) ^ ( b ) f(x) dx =F(x)|_ ( a ) ^ ( b )= F(b) - F(a)

Ahol F(x)- antiderivatív a f(x)

Vagyis a függvény integrálja f(x) intervallumon egyenlő a pontokban lévő antideriválták különbségével bÉs a.

Egy ívelt trapéz területe

Görbe vonalú trapéz egy nemnegatív és egy intervallumon folytonos függvény grafikonja által határolt ábra f, Ox tengely és egyenesek x = aÉs x = b.

Az ívelt trapéz területét a Newton-Leibniz képlet segítségével határozzuk meg:

S= \int_ ( a ) ^ ( b ) f(x) dx

1. definíció

A $$ szegmens $y=f(x)$ függvényének $F(x)$ antideriváltja egy olyan függvény, amely ennek a szegmensnek minden pontjában differenciálható, és deriváltjára a következő egyenlőség érvényes:

2. definíció

Egy adott $y=f(x)$ függvény adott szegmensen definiált antideriváltjainak halmazát egy adott $y=f(x)$ függvény határozatlan integráljának nevezzük. A határozatlan integrált a $\int f(x)dx $ szimbólummal jelöljük.

A deriváltak táblázatából és a 2. definícióból megkapjuk az alapintegrálok táblázatát.

1. példa

Ellenőrizze a 7-es képlet érvényességét az integrálok táblázatából:

\[\int tgxdx =-\ln |\cos x|+C,\, \, C=const.\]

Megkülönböztetjük a jobb oldalt: $-\ln |\cos x|+C$.

\[\left(-\ln |\cos x|+C\right)"=-\frac(1)(\cos x) \cdot (-\sin x)=\frac(\sin x)(\cos x) =tgx\]

2. példa

Ellenőrizze a 8-as képlet érvényességét az integrálok táblázatából:

\[\int ctgxdx =\ln |\sin x|+C,\, \, C=const.\]

Megkülönböztetjük a jobb oldalt: $\ln |\sin x|+C$.

\[\left(\ln |\sin x|\right)"=\frac(1)(\sin x) \cdot \cos x=ctgx\]

A derivált egyenlőnek bizonyult az integrandusszal. Ezért a képlet helyes.

3. példa

Ellenőrizze a 11" képlet érvényességét az integrálok táblázatából:

\[\int \frac(dx)(a^(2) +x^(2) ) =\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C,\, \, C=const .\]

Megkülönböztetjük a jobb oldalt: $\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C$.

\[\left(\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C\right)"=\frac(1)(a) \cdot \frac(1)(1+\left( \frac(x)(a) \right)^(2) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac(1)(a^(2) ) \cdot \frac(a^(2) ) (a^(2) +x^(2) ) \]

A derivált egyenlőnek bizonyult az integrandusszal. Ezért a képlet helyes.

4. példa

Ellenőrizze a 12-es képlet érvényességét az integrálok táblázatából:

\[\int \frac(dx)(a^(2) -x^(2) ) =\frac(1)(2a) \ln \left|\frac(a+x)(a-x) \right|+ C,\, \, C=konst.\]

Megkülönböztetjük a jobb oldalt: $\frac(1)(2a) \ln \left|\frac(a+x)(a-x) \right|+C$.

$\left(\frac(1)(2a) \ln \left|\frac(a+x)(a-x) \right|+C\right)"=\frac(1)(2a) \cdot \frac( 1)(\frac(a+x)(a-x) ) \cdot \left(\frac(a+x)(a-x) \right)"=\frac(1)(2a) \cdot \frac(a-x)( a+x) \cdot \frac(a-x+a+x)((a-x)^(2) ) =\frac(1)(2a) \cdot \frac(a-x)(a+x) \cdot \ frac(2a)((a-x)^(2) ) =\frac(1)(a^(2) -x^(2) ) $A derivált egyenlőnek bizonyult az integrandusszal. Ezért a képlet helyes.

5. példa

Ellenőrizze a 13" képlet érvényességét az integrálok táblázatából:

\[\int \frac(dx)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) ) =\arcsin \frac(x)(a) +C,\, \, C=const.\]

Megkülönböztetjük a jobb oldalt: $\arcsin \frac(x)(a) +C$.

\[\left(\arcsin \frac(x)(a) +C\right)"=\frac(1)(\sqrt(1-\left(\frac(x)(a) \right)^(2 ) ) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac(a)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac( 1)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) \]

A derivált egyenlőnek bizonyult az integrandusszal. Ezért a képlet helyes.

6. példa

Ellenőrizze a 14-es képlet érvényességét az integrálok táblázatából:

\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) =\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+ C ,\, \, C=const.\]

Megkülönböztetjük a jobb oldalt: $\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+C$.

\[\left(\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+C\right)"=\frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) \cdot \left(x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) \right)"=\frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \ pm a^(2) ) \cdot \left(1+\frac(1)(2\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) \cdot 2x\right)=\] \[ =\ frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) \cdot \frac(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) +x)( \sqrt( x^(2) \pm a^(2) ) =\frac(1)(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) \]

A derivált egyenlőnek bizonyult az integrandusszal. Ezért a képlet helyes.

7. példa

Keresse meg az integrált:

\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx.\]

Használjuk az integrálösszeg tételt:

\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx=\int \cos (3x+2)dx +\int 5xdx .\]

Használjuk azt a tételt, hogy egy állandó tényezőt az integráljelen kívül helyezünk el:

\[\int \cos (3x+2)dx +\int 5xdx =\int \cos (3x+2)dx +5\int xdx .\]

Az integrálok táblázata szerint:

\[\int \cos x dx=\sin x+C;\] \[\int xdx =\frac(x^(2) )(2) +C.\]

Az első integrál kiszámításakor a 3. szabályt használjuk:

\[\int \cos (3x+2) dx=\frac(1)(3) \sin (3x+2)+C_(1) .\]

Ennélfogva,

\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx=\frac(1)(3) \sin (3x+2)+C_(1) +\frac(5x^(2) )(2) +C_(2) =\frac(1)(3) \sin (3x+2)+\frac(5x^(2) )(2) +C,\, \, C=C_(1 ) +C_(2) \]

Antiderivatív függvény és határozatlan integrál

1. tény. Az integráció a differenciálás fordított művelete, nevezetesen egy függvény visszaállítása ennek a függvénynek az ismert deriváltjából. A funkció így helyreállt F(x) nak, nek hívják antiderivatív funkcióhoz f(x).

Definíció 1. Funkció F(x f(x) bizonyos időközönként x, ha minden értékre x ebből az intervallumból érvényesül az egyenlőség F "(x)=f(x), vagyis ezt a függvényt f(x) az antiderivatív függvény deriváltja F(x). .

Például a függvény F(x) = bűn x a függvény antideriváltja f(x) = cos x a teljes számegyenesen, hiszen x bármely értékére (bűn x)" = (cos x) .

Definíció 2. Függvény határozatlan integrálja f(x) az összes antiderivált készlete. Ebben az esetben a jelölést használják

∫

f(x)dx

hol a jel ∫ integráljelnek, függvénynek nevezzük f(x) – integrand függvény, és f(x)dx – integráns kifejezés.

Így ha F(x) – valamilyen antiderivatív a f(x), Ez

∫

f(x)dx = F(x) +C

Ahol C - tetszőleges állandó (konstans).

A függvény antideriváltjainak mint határozatlan integrál jelentésének megértéséhez a következő analógia megfelelő. Legyen ajtó (hagyományos faajtó). Feladata, hogy „ajtó legyen”. Miből van az ajtó? Fából készült. Ez azt jelenti, hogy az „ajtónak lenni” függvény integrandusának, azaz határozatlan integráljának antideriváltjainak halmaza a „fának lenni + C” függvény, ahol C egy konstans, ami ebben az összefüggésben jelöli például a fa típusát. Ahogy egy ajtót fából készítenek bizonyos szerszámok segítségével, egy függvény származékát egy antiderivatív függvényből „készítik” képletek, amelyeket a derivált tanulmányozása során tanultunk meg .

Ekkor a gyakori tárgyak és a hozzájuk tartozó antiszármazékok ("ajtónak lenni" - "fának lenni", "kanálnak lenni" - "fémnek lenni" stb.) függvénytáblázata hasonló az alaptáblázathoz. határozatlan integrálok, amelyeket az alábbiakban adunk meg. A határozatlan integrálok táblázata felsorolja a gyakori függvényeket, jelezve azokat az antideriváltákat, amelyekből ezek a függvények „készültek”. A határozatlan integrál megtalálásával kapcsolatos problémák egy részében olyan integránsokat adunk meg, amelyek nagyobb erőfeszítés nélkül közvetlenül integrálhatók, vagyis a határozatlan integrálok táblázatával. Bonyolultabb problémák esetén először az integrandust kell átalakítani, hogy táblaintegrálokat lehessen használni.

2. tény. Amikor egy függvényt antideriváltként állítunk vissza, figyelembe kell vennünk egy tetszőleges állandót (konstanst) C, és annak érdekében, hogy ne írjon listát az antiderivatívákról 1-től végtelenig különböző állandókkal, meg kell írnia egy tetszőleges állandóval rendelkező antiderivált készletet. C például így: 5 x³+C. Tehát egy tetszőleges állandó (konstans) szerepel az antiderivált kifejezésében, mivel az antiderivált lehet függvény, például 5 x³+4 vagy 5 x³+3 és ha differenciálódik, 4 vagy 3, vagy bármely más állandó nullára megy.

Tegyük fel az integrációs problémát: erre a függvényre f(x) találni egy ilyen funkciót F(x), amelynek származéka egyenlő f(x).

1. példa Keresse meg egy függvény antideriváltjainak halmazát

Megoldás. Ennél a függvénynél az antiderivatív a függvény

Funkció F(x) a függvény antideriváltjának nevezzük f(x), ha a származék F(x) egyenlő f(x), vagy ami ugyanaz, a különbség F(x) egyenlő f(x) dx, azaz

(2)

Ezért a függvény a függvény antideriváltja. Azonban nem ez az egyetlen antiderivatív a . Funkcióként is szolgálnak

Ahol VAL VEL– tetszőleges állandó. Ezt differenciálással lehet igazolni.

Így ha egy függvénynek egy antideriválta van, akkor annak végtelen számú antideriváltája van, amelyek egy állandó taggal különböznek egymástól. Egy függvény összes antideriváltja a fenti formában van írva. Ez a következő tételből következik.

Tétel (2. formális tényállítás). Ha F(x) – a funkció antideriváltja f(x) bizonyos időközönként x, majd bármely más származékellenes szer számára f(x) ugyanazon az intervallumon ábrázolható formában F(x) + C, Ahol VAL VEL– tetszőleges állandó.

A következő példában áttérünk az integrálok táblázatára, amelyet a 3. bekezdésben adunk meg, a határozatlan integrál tulajdonságai után. Ezt a teljes táblázat elolvasása előtt tesszük, hogy a fentiek lényege világos legyen. A tábla és tulajdonságok után pedig teljes egészében fogjuk használni őket az integráció során.

2. példa Keresse meg az antiderivatív függvénykészleteket:

Megoldás. Találunk olyan antiderivatív függvénykészleteket, amelyekből ezek a függvények „készülnek”. Amikor az integrálok táblázatából képleteket említünk, egyelőre csak fogadjuk el, hogy ott vannak ilyen formulák, és magát a határozatlan integrálok táblázatát is tanulmányozzuk egy kicsit tovább.

1) A (7) képlet alkalmazása az integrálok táblázatából n= 3, kapjuk

2) A (10) képlet segítségével az integrálok táblázatából n= 1/3, megvan

3) Azóta

majd a (7) képlet szerint -val n= -1/4 találunk

Nem maga a függvény van az integráljel alá írva. f, és a differenciál szorzata dx. Ez elsősorban annak jelzésére szolgál, hogy melyik változó alapján keresik az antiderivatívet. Például,

, ;

itt az integrandus mindkét esetben egyenlő -vel, de határozatlan integráljai a vizsgált esetekben eltérőnek bizonyulnak. Az első esetben ezt a függvényt a változó függvényének tekintjük x, a másodikban pedig - függvényében z .

Egy függvény határozatlan integráljának megtalálásának folyamatát a függvény integrálásának nevezzük.

A határozatlan integrál geometriai jelentése

Tegyük fel, hogy meg kell találnunk egy görbét y=F(x)és már tudjuk, hogy az érintőszög érintője minden pontjában adott függvény f(x) ennek a pontnak abszcisszán.

A derivált geometriai jelentése szerint az érintő dőlésszögének érintője a görbe adott pontjában y=F(x) egyenlő a származék értékével F"(x). Tehát meg kell találnunk egy ilyen függvényt F(x), amelyekre F"(x)=f(x). A feladathoz szükséges funkció F(x) egy antiderivátuma f(x). A feladat feltételeit nem egy görbe, hanem egy görbecsalád elégíti ki. y=F(x)- ezen görbék egyike, és abból bármely más görbe a tengely mentén párhuzamos transzlációval előállítható Oy.

Nevezzük az antiderivatív függvény grafikonját f(x) integrálgörbe. Ha F"(x)=f(x), akkor a függvény grafikonja y=F(x) van egy integrálgörbe.

3. tény. A határozatlan integrált geometriailag az összes integrálgörbe családja ábrázolja , mint az alábbi képen. Az egyes görbék távolságát a koordináták origójától egy tetszőleges integrációs állandó határozza meg C.

A határozatlan integrál tulajdonságai

4. tény. 1. Tétel. Egy határozatlan integrál deriváltja egyenlő az integrandusszal, differenciálja pedig egyenlő az integrandusszal.

5. tény. 2. Tétel. Egy függvény differenciáljának határozatlan integrálja f(x) egyenlő a függvénnyel f(x) állandó időtartamig , azaz

(3)

Az 1. és 2. tétel azt mutatja, hogy a differenciálás és az integráció kölcsönösen inverz műveletek.

6. tény. 3. Tétel. Az integrandus állandó tényezője kivehető a határozatlan integrál előjeléből , azaz

Soroljuk fel az elemi függvények integráljait, amelyeket néha táblázatosnak is neveznek:

A fenti képletek bármelyike igazolható a jobb oldal deriváltjának felvételével (az eredmény az integrandus lesz).

Integrációs módszerek

Nézzünk meg néhány alapvető integrációs módszert. Ezek tartalmazzák:

1. Dekompozíciós módszer(közvetlen integráció).

Ez a módszer a táblázatos integrálok közvetlen használatán, valamint a határozatlan integrál 4-es és 5-ös tulajdonságain alapul (azaz a konstans tényező kivételével és/vagy az integrandus függvények összegeként való megjelenítésével - integráns kifejezésekké).

1. példa Például a(dx/x 4) megkereséséhez közvetlenül használhatja a x n dx táblázatintegrált. Valójában(dx/x 4) =x -4 dx=x -3 /(-3) +C= -1/3x 3 +C.

2. példa Ennek megtalálásához ugyanazt az integrált használjuk:

3. példa Ahhoz, hogy megtalálja, el kell fogadnia

4. példa A kereséshez az integrand függvényt ábrázoljuk az űrlapon és használja a táblázatintegrált az exponenciális függvényhez:

Tekintsük a zárójelezés használatát állandó tényezőnek.

5. példaKeressük meg pl . Ezt figyelembe véve megkapjuk

6. példa. Meg fogjuk találni. Mert a , használjuk a táblaintegrált Kapunk

A következő két példában zárójeles és táblázatos integrálokat is használhat:

7. példa.

(használjuk és );

8. példa.

(használjuk És ).

Nézzünk bonyolultabb példákat, amelyek az összeg integrált használják.

9. példa. Például keressük meg
. A bővítési módszer alkalmazásához a számlálóban a  összegkocka képletet használjuk, majd a kapott polinomot tagonként osztjuk el a nevezővel.

=((8x 3/2 + 12x+ 6x 1/2 + 1)/(x 3/2))dx=(8 + 12x -1/2 + 6/x+x -3/2)dx= 8 dx+ 12x -1/2 dx+ + 6dx/x+x -3/2 dx=

Megjegyzendő, hogy a megoldás végén egy közös C állandót írunk (és nem különállókat az egyes tagok integrálásakor). A jövőben az is javasolt, hogy a konstansokat kihagyjuk az egyes tagok integrációjából a megoldási folyamatban mindaddig, amíg a kifejezés legalább egy határozatlan integrált tartalmaz (egy konstanst írunk a megoldás végére).

10. példa. meg fogjuk találni . Ennek a feladatnak a megoldására szorozzuk a számlálót (ez után csökkenthetjük a nevezőt).

11. példa. Meg fogjuk találni. Itt trigonometrikus azonosságok használhatók.

Néha egy kifejezés kifejezésekre bontásához összetettebb technikákat kell alkalmazni.

12. példa. meg fogjuk találni . Az integrandusban kijelöljük a tört teljes részét . Akkor

13. példa. meg fogjuk találni

2. Változó helyettesítési módszer (helyettesítési módszer)

A módszer a következő képletre épül: f(x)dx=f((t))`(t)dt, ahol x =(t) a vizsgált intervallumon differenciálható függvény.

Bizonyíték. Keressük meg a t változóra vonatkozó deriváltokat a képlet bal és jobb oldaláról.

Figyeljük meg, hogy a bal oldalon van egy komplex függvény, amelynek köztes argumentuma x = (t). Ezért, hogy t-hez képest megkülönböztessük, először az integrált x-hez képest differenciáljuk, majd vesszük a közbülső argumentum deriváltját t-re.

( f(x)dx)` t = ( f(x)dx)` x *x` t = f(x) `(t)

Származék a jobb oldalról:

(f((t))`(t)dt)` t =f((t))`(t) =f(x)`(t)

Mivel ezek a deriváltak egyenlőek, a Lagrange-tételből következően a bizonyított formula bal és jobb oldala egy bizonyos állandóval különbözik. Mivel maguk a határozatlan integrálok egy határozatlan állandó tagig vannak definiálva, ez az állandó elhagyható a végső jelölésből. Igazolt.

A változó sikeres megváltoztatása lehetővé teszi az eredeti integrál egyszerűsítését, és a legegyszerűbb esetekben táblázatossá redukálását. A módszer alkalmazása során különbséget teszünk lineáris és nemlineáris helyettesítési módszerek között.

a) Lineáris helyettesítési módszer Nézzünk egy példát.

1. példa
. Legyen t= 1 – 2x, akkor

dx=d(½ - ½t) = - ½ dt

Megjegyzendő, hogy az új változót nem kell kifejezetten kiírni. Ilyenkor a differenciáljel alatti függvény transzformálásáról vagy a differenciáljel alá konstansok és változók bevezetéséről beszélnek, pl. O implicit változócsere.

2. példa Például keressük megcos(3x + 2)dx. A dx = (1/3)d(3x) = (1/3)d(3x + 2) differenciál tulajdonságai alapján, akkorcos(3x + 2)dx =(1/3)cos(3x + 2)d (3x + + 2) = (1/3)cos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3)sin(3x + 2) +C.

Mindkét vizsgált példában a t=kx+b(k0) lineáris helyettesítést használtuk az integrálok meghatározásához.

Általános esetben a következő tétel érvényes.

Lineáris helyettesítési tétel. Legyen F(x) az f(x) függvény valamilyen antideriváltja. Ekkorf(kx+b)dx= (1/k)F(kx+b) +C, ahol k és b néhány állandó,k0.

Bizonyíték.

A f(kx+b)d(kx+b) =F(kx+b) +C integrál definíciója szerint. Hod(kx+b)= (kx+b)`dx=kdx. Vegyük ki az integráljelből a k állandó tényezőt: kf(kx+b)dx=F(kx+b) +C. Most kettéoszthatjuk az egyenlőség bal és jobb oldalát, és megkapjuk a bizonyítandó állítást a konstans tag jelöléséig.

Ez a tétel kimondja, hogy ha az f(x)dx= F(x) + C integrál definíciójában az x argumentum helyett a (kx+b) kifejezést helyettesítjük, ez egy további megjelenéshez vezet. faktor 1/k az antiderivált előtt.

A bizonyított tétel segítségével a következő példákat oldjuk meg.

3. példa

meg fogjuk találni . Itt kx+b= 3 –x, azaz k= -1,b= 3. Akkor

4. példa

Meg fogjuk találni. Herekx+b= 4x+ 3, azaz k= 4,b= 3. Ekkor

5. példa

meg fogjuk találni . Itt kx+b= -2x+ 7, azaz k= -2,b= 7. Ekkor

6. példa. meg fogjuk találni
. Itt kx+b= 2x+ 0, azaz k= 2,b=0.

Hasonlítsuk össze a kapott eredményt a 8. példával, amelyet dekompozíciós módszerrel oldottunk meg. Ugyanazt a problémát más módszerrel megoldva megkaptuk a választ
. Hasonlítsuk össze az eredményeket: Így ezek a kifejezések egy állandó taggal különböznek egymástól , azaz A kapott válaszok nem mondanak ellent egymásnak.

7. példa. meg fogjuk találni
. Válasszunk ki egy tökéletes négyzetet a nevezőben.

Egyes esetekben egy változó megváltoztatása nem redukálja közvetlenül az integrált táblázatossá, hanem leegyszerűsítheti a megoldást, lehetővé téve a bővítési módszer használatát egy következő lépésben.

8. példa. Például keressük meg . Cserélje ki t=x+ 2, majd dt=d(x+ 2) =dx. Akkor

ahol C = C 1 – 6 (az (x+ 2) kifejezés behelyettesítésekor az első két tag helyett ½x 2 -2x– 6-ot kapunk).

9. példa. meg fogjuk találni
. Legyen t= 2x+ 1, akkor dt= 2dx;dx= ½dt;x= (t– 1)/2.

Helyettesítsük t-re a (2x+ 1) kifejezést, nyissuk meg a zárójeleket és adjunk hasonlókat.

Vegyük észre, hogy az átalakítások során egy másik állandó tagra tértünk át, mert a konstans tagok csoportja az átalakítási folyamat során elhagyható.

b) Nemlineáris helyettesítési módszer Nézzünk egy példát.

1. példa
. Lett= -x 2. Ezután kifejezhetjük x-et t-vel, majd kereshetünk egy kifejezést dx-re, és végrehajthatjuk a változó megváltoztatását a kívánt integrálban. De ebben az esetben könnyebb másképp csinálni a dolgokat. Legyen a finddt=d(-x 2) = -2xdx. Vegye figyelembe, hogy az xdx kifejezés a kívánt integrál integrandusának tényezője. Fejezzük ki a kapott egyenlőségbőlxdx= - ½dt. Akkor