Egy alak antiderivatív területe. Egy ívelt trapéz területének meghatározása

Tekintsünk egy görbült trapézt, amelyet az Ox tengely határol, az y=f(x) görbét és két egyenest: x=a és x=b (85. ábra). Vegyünk egy tetszőleges x értéket (csak nem a és nem b). Adjunk neki h = dx növekményt, és tekintsünk egy AB és CD egyenesekkel határolt sávot, az Ox tengelyt és a vizsgált görbéhez tartozó BD ívet. Ezt a csíkot nevezzük elemi csíknak. Egy elemi szalag területe eltér az ACQB téglalap területétől a BQD görbe vonalú háromszöggel, és ez utóbbi területe kisebb, mint a BQDM téglalap területe, amelynek oldalai BQ = =h= dx) QD=Ay és terület egyenlő haAy = Ay dx. Ahogy a h oldal csökken, a Du oldal is csökken, és a h-val egyidejűleg nullára hajlik. Ezért a BQDM területe másodrendű végtelenül kicsi. Egy elemi szalag területe a terület növekménye, az ACQB téglalap területe pedig AB-AC ==/(x) dx> a terület differenciálja. Következésképpen magát a területet a differenciáljának integrálásával találjuk meg. A vizsgált ábrán belül az l: független változó a-ról b-re változik, így a szükséges 5 terület 5= \f(x) dx lesz. (I) 1. példa Számítsuk ki az y - 1 -x* parabola, az X =--Fj-, x = 1 egyenesek és az O* tengely által határolt területet (86. ábra). ábrán 87. ábra. 86. 1 Itt f(x) = 1 - l?, az integrálás határai a = - és £ = 1, ezért J [*-t]\- -fl -- Г -1-±Л_ 1V1 -l-l- Ii-^ 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* 2. példa Számítsuk ki az y = sinXy szinusz, az Ox tengely és az egyenes által határolt területet (87. ábra). Az (I) képlet alkalmazásával azt kapjuk, hogy A 2 S= J sinxdx= [-cos x]Q =0 -(-1) = lf 3. példa Számítsa ki a mellékelt ^у = sin jc szinusz íve által határolt területet két szomszédos metszéspont között az Ox tengellyel (például az origó és az i abszcissza pont között). Vegye figyelembe, hogy geometriai megfontolások alapján egyértelmű, hogy ez a terület kétszer akkora lesz, mint az előző példa. Azonban végezzük el a számításokat: I 5= | s\nxdx= [ - cosх)* - - cos i-(-cos 0)= 1 + 1 = 2. o Valóban, a feltevésünk helyesnek bizonyult. 4. példa Számítsa ki a szinusz és az Ox tengely által egy periódusban határolt területet (88. ábra). Az előzetes számítások szerint a terület négyszer nagyobb lesz, mint a 2. példában. Számítások elvégzése után azonban megkapjuk az „i Г,*i S - \ sin x dx = [ - cos x]0 = = - cos 2l -( -cos 0) = - 1 + 1 = 0. Ez az eredmény pontosítást igényel. A dolog lényegének tisztázására kiszámoljuk az azonos szinuszos y = sin l: és az Ox tengely által határolt területet is az l és 2i tartományban. Az (I) képlet alkalmazásával 2l $2l sin xdx=[ - cosх]l = -cos 2i~)-c05i=- 1-1 =-2 kapjuk. Így azt látjuk, hogy ez a terület negatívnak bizonyult. Összehasonlítva a 3. feladatban kiszámított területtel, azt találjuk, hogy abszolút értékük megegyezik, de az előjelek eltérőek. Ha az V tulajdonságot alkalmazzuk (lásd XI. fejezet, 4. §), akkor 2l I 2l J sin xdx= J sin * dx [ sin x dx = 2 + (- 2) = 0Ami ebben a példában történt, az nem véletlen. Mindig az Ox tengely alatti területet kapjuk, feltéve, hogy a független változó balról jobbra változik, ha integrálok segítségével számítjuk ki. Ezen a tanfolyamon mindig figyelembe vesszük a táblák nélküli területeket. Ezért az imént tárgyalt példában a válasz a következő lesz: a szükséges terület 2 + |-2| = 4. Példa 5. Számítsuk ki az ábrán látható BAB területét! 89. Ezt a területet az Ox tengely, az y = - xr parabola és az y - = -x+\ egyenes korlátozza. A görbe vonalú trapéz területe A szükséges OAB terület két részből áll: OAM és MAV. Mivel az A pont egy parabola és egy egyenes metszéspontja, a koordinátáit a 3 2 Y = mx egyenletrendszer megoldásával találjuk meg. (csak meg kell találnunk az A pont abszcisszáját). A rendszert megoldva azt találjuk, hogy l; = ~. Ezért a területet részekben, első négyzetben kell kiszámítani. OAM, majd pl. MÁV: .... G 3 2, 3 G xP 3 1/2 U 2. QAM-^x (görbült trapéz alapja) n egyenlő részre; ez a felosztás az x 1, x 2, ... x k, ... x n-1 pontok felhasználásával történik. Ezeken a pontokon húzzunk egyenes vonalakat az y tengellyel párhuzamosan. Ekkor az adott görbe vonalú trapéz n részre, n keskeny oszlopra lesz osztva. A teljes trapéz területe megegyezik az oszlopok területének összegével.

Tekintsük külön a k-adik oszlopot, azaz. ívelt trapéz, amelynek alapja egy szakasz. Cseréljük le egy f(x k)-vel megegyező alap és magasságú téglalappal (lásd az ábrát). A téglalap területe egyenlő \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \), ahol \(\Delta x_k \) a szakasz hossza; Természetes, hogy a kapott szorzatot a k-adik oszlop területének hozzávetőleges értékének tekintjük.

Ha most ugyanezt tesszük az összes többi oszloppal, akkor a következő eredményre jutunk: egy adott görbe vonalú trapéz S területe megközelítőleg egyenlő egy n téglalapból álló lépcsőzetes alak S n területével (lásd az ábrát):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \pontok + f(x_k)\Delta x_k + \pontok + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
Itt a jelölés egységessége érdekében feltételezzük, hogy a = x 0, b = x n; \(\Delta x_0 \) - a szegmens hossza, \(\Delta x_1 \) - a szegmens hossza stb.; ebben az esetben, ahogy fent megállapodtunk, \(\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) \)

Tehát \(S \approx S_n \), és ez a közelítő egyenlőség pontosabb, minél nagyobb n.
Definíció szerint úgy gondolják, hogy a görbe vonalú trapéz szükséges területe egyenlő a sorozat határával (S n):
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$

2. probléma(egy pont áthelyezéséről)
Egy anyagi pont egyenes vonalban mozog. A sebesség időtől való függését a v = v(t) képlet fejezi ki. Határozzuk meg egy pont mozgását egy adott időtartam alatt [a; b].
Megoldás. Ha a mozgás egységes lenne, akkor a feladat nagyon egyszerűen megoldódna: s = vt, azaz. s = v(b-a). Az egyenetlen mozgáshoz ugyanazokat az ötleteket kell használni, amelyeken az előző probléma megoldása alapult.
1) Oszd el az időintervallumot [a; b] n egyenlő részre.
2) Tekintsünk egy időszakot, és tegyük fel, hogy ezen időtartam alatt a sebesség állandó volt, megegyezik a t k időponttal. Feltételezzük tehát, hogy v = v(t k).
3) Határozzuk meg a pont mozgásának hozzávetőleges értékét egy adott időtartam alatt, ezt a hozzávetőleges értéket jelöljük s k-val
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) Határozza meg az s elmozdulás hozzávetőleges értékét:
\(s \approx S_n \) ahol
\(S_n = s_0 + \pontok + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \pontok + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) A szükséges eltolás megegyezik a sorozat határértékével (S n):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Foglaljuk össze. A különféle problémák megoldásait ugyanarra a matematikai modellre redukáltuk. Számos probléma a tudomány és a technológia különböző területeiről vezet ugyanahhoz a modellhez a megoldási folyamat során. Ez azt jelenti, hogy ezt a matematikai modellt speciálisan tanulmányozni kell.

A határozott integrál fogalma

Adjuk meg matematikai leírását annak a modellnek, amely az y = f(x) függvény három vizsgált feladatába épült, folytonos (de nem feltétlenül nem negatív, ahogy a vizsgált feladatokban feltételeztük) az [a; b]:
1) osszuk fel a szakaszt [a; b] n egyenlő részre;
2) adja ki a $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$ összeget
3) számítsa ki $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$

A matematikai elemzés során bebizonyosodott, hogy ez a határ egy folytonos (vagy darabonként folytonos) függvény esetén létezik. Neveztetik az y = f(x) függvény bizonyos integrálja az [a; b]és a következőképpen jelöljük:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
Az a és b számokat az integráció határainak (alsó, illetve felső) nevezzük.

Térjünk vissza a fentebb tárgyalt feladatokhoz. Az 1. feladatban megadott területdefiníció most átírható a következőképpen:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
itt S a fenti ábrán látható ívelt trapéz területe. Ez határozott integrál geometriai jelentése.

Egy v = v(t) sebességgel egyenes vonalban haladó pont s elmozdulásának t = a-tól t = b-ig terjedő időtartam alatti 2. feladatban megadott definíciója a következőképpen írható át:

Newton-Leibniz képlet

Először is válaszoljunk a kérdésre: mi a kapcsolat a határozott integrál és az antiderivált között?

A válasz a 2. feladatban található. Egyrészt egy v = v(t) sebességgel egyenes vonalban mozgó pont s elmozdulását a t = a és t = b közötti időtartam alatt a képlet
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)

Másrészt egy mozgó pont koordinátája a sebesség antideriváltája - jelöljük s(t); Ez azt jelenti, hogy az s elmozdulást az s = s(b) - s(a) képlet fejezi ki. Ennek eredményeként a következőket kapjuk:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
ahol s(t) a v(t) antideriváltja.

A következő tételt a matematikai elemzés során igazoltam.
Tétel. Ha az y = f(x) függvény folytonos az [a; b], akkor a képlet érvényes
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
ahol F(x) az f(x) antideriváltja.

A megadott képletet általában ún Newton-Leibniz képlet Isaac Newton (1643-1727) angol fizikus és Gottfried Leibniz (1646-1716) német filozófus tiszteletére, akik egymástól függetlenül és szinte egyszerre kapták meg.

A gyakorlatban az F(b) - F(a) írás helyett a \(\left. F(x)\right|_a^b \) jelölést használják (ezt néha ún. kettős helyettesítés), és ennek megfelelően írjuk át a Newton-Leibniz képletet a következőre:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \left. F(x)\right|_a^b \)

Határozott integrál számításakor először keresse meg az antideriváltat, majd hajtsa végre a kettős helyettesítést.

A Newton-Leibniz formula alapján a határozott integrálnak két tulajdonságát kaphatjuk meg.

1. tulajdonság. A függvények összegének integrálja egyenlő az integrálok összegével:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)

2. tulajdonság. A konstans tényező kivehető az integrál előjelből:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)

Síkfigurák területének kiszámítása határozott integrál segítségével

Az integrál segítségével nem csak az ívelt trapézok területét számíthatja ki, hanem bonyolultabb típusú síkidomok területét is, például az ábrán láthatót. A P ábrát x = a, x = b egyenesek és az y = f(x), y = g(x) folytonos függvények grafikonjai korlátozzák, valamint az [a; b] a \(g(x) \leq f(x) \) egyenlőtlenség teljesül. Egy ilyen ábra S területének kiszámításához a következőképpen járunk el:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Tehát az x = a, x = b egyenesekkel és az y = f(x), y = g(x) függvények grafikonjaival határolt ábra S területe folytonos a szakaszon, és olyan, hogy a szakasz bármely x esetén [a; b] a \(g(x) \leq f(x) \) egyenlőtlenség teljesül, a képlettel számolva
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Egyes függvények határozatlan integráljainak (antideriváltjainak) táblázata

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch ) x +C $$

Elkezdjük megvizsgálni a kettős integrál kiszámításának tényleges folyamatát, és megismerkedünk geometriai jelentésével.

A kettős integrál numerikusan egyenlő a sík alakzatának területével (az integrációs tartomány). Ez a kettős integrál legegyszerűbb formája, amikor két változó függvénye egyenlő eggyel: .

Először is nézzük meg a problémát általános formában. Most meg fog lepődni, hogy valójában minden milyen egyszerű! Számítsuk ki egy vonallal határolt lapos alak területét. A határozottság kedvéért feltételezzük, hogy a szegmensen. Ennek az ábrának a területe számszerűen egyenlő:

Ábrázoljuk a területet a rajzon:

Válasszuk ki a terület bejárásának első módját:

És így:

És rögtön egy fontos technikai technika: az iterált integrálok külön számíthatók. Először a belső integrál, majd a külső integrál. Nagyon ajánlom ezt a módszert a témában kezdőknek.

1) Számítsuk ki a belső integrált, és az integrációt az „y” változón hajtjuk végre:

A határozatlan integrál itt a legegyszerűbb, majd a banális Newton-Leibniz formulát használjuk, azzal a különbséggel, hogy az integráció határai nem számok, hanem függvények. Először a felső határt behelyettesítettük az „y”-be (antiderivatív függvény), majd az alsó határt

2) Az első bekezdésben kapott eredményt be kell cserélni a külső integrálba:

A teljes megoldás tömörebb ábrázolása így néz ki:

A kapott képlet pontosan a munkaképlet egy síkidom területének kiszámításához a „közönséges” határozott integrál segítségével! Nézze meg a leckét Terület számítása határozott integrál segítségével, ott van minden lépésnél!

vagyis a terület kiszámításának problémája kettős integrál használatával nem sokban különbözik a terület keresésének problémájából egy határozott integrál segítségével! Sőt, ez ugyanaz!

Ennek megfelelően semmiféle nehézség nem merülhet fel! Nem fogok sok példát nézni, mivel Ön valójában többször is találkozott ezzel a feladattal.

9. példa

Megoldás:Ábrázoljuk a területet a rajzon:

Válasszuk a terület bejárásának a következő sorrendjét:

Itt és a továbbiakban nem foglalkozom azzal, hogyan kell bejárni a területet, mivel az első bekezdésben nagyon részletes magyarázatok voltak.

És így:

Amint már megjegyeztem, a kezdőknek jobb, ha az iterált integrálokat külön számítják ki, és ragaszkodom ehhez a módszerhez:

1) Először a Newton-Leibniz képlet segítségével foglalkozunk a belső integrállal:

2) Az első lépésben kapott eredményt behelyettesítjük a külső integrálba:

A 2. pont valójában egy síkfigura területének meghatározása egy meghatározott integrál segítségével.

Válasz:

Ez egy hülye és naiv feladat.

Érdekes példa egy független megoldásra:

10. példa

Kettős integrál segítségével számítsa ki egy síkidom területét, amelyet a vonalak határolnak, ,

Hozzávetőleges példa a végső megoldásra a lecke végén.

A 9-10. példákban sokkal kifizetődőbb a terület bejárásának első módszere, a kíváncsi olvasók egyébként megváltoztathatják a bejárás sorrendjét és a második módszerrel számíthatják ki a területeket. Ha nem hibázik, akkor természetesen ugyanazokat a területértékeket kapja.

De bizonyos esetekben a terület bejárásának második módja hatékonyabb, és a fiatal nerd tanfolyam végén nézzünk meg még néhány példát ebben a témában:

11. példa

Kettős integrál segítségével számítsuk ki egy vonallal határolt síkidom területét,

Megoldás: Két parabolát várunk, amelyek az oldalukon fekszenek. Nem kell mosolyogni, a hasonló dolgok gyakran előfordulnak több integrálban is.

Mi a legegyszerűbb módja a rajz készítésének?

Képzeljünk el egy parabolát két függvény formájában:
– a felső ágat és – az alsó ágat.

Hasonlóképpen képzeljünk el egy parabolát felső és alsó formájában ágak.

Ezután a grafikonok szabályainak pontonkénti ábrázolása, ami egy ilyen bizarr ábrát eredményez:

Az ábra területét a kettős integrál segítségével számítjuk ki a következő képlet szerint:

Mi történik, ha a terület bejárásának első módját választjuk? Először is ezt a területet két részre kell osztani. Másodszor pedig ezt a szomorú képet fogjuk megfigyelni: . Az integrálok persze nem túlbonyolított szintűek, de... van egy régi matematikai mondás: aki közel áll a gyökereihez, annak nem kell teszt.

Ezért a feltételben megadott félreértésből az inverz függvényeket fejezzük ki:

Az inverz függvények ebben a példában azzal az előnnyel rendelkeznek, hogy egyszerre adják meg a teljes parabolát levelek, makk, ágak és gyökerek nélkül.

A második módszer szerint a terület bejárása a következő lesz:

És így:

Ahogy mondják, érezd a különbséget.

1) A belső integrállal foglalkozunk:

Az eredményt behelyettesítjük a külső integrálba:

Az „y” változó feletti integráció nem lehet zavaró, ha lenne egy „zy” betű, akkor jó lenne, ha integrálnánk. Bár aki elolvasta a lecke második bekezdését Hogyan lehet kiszámítani a forgástest térfogatát, már a legkisebb esetlenséget sem tapasztalja az „Y” módszer szerinti integrációval kapcsolatban.

Figyeljünk az első lépésre is: az integrandus páros, az integrálási intervallum pedig nulla körül szimmetrikus. Ezért a szegmens felezhető, és az eredmény megduplázható. Ezt a technikát a leckében részletesen ismertetjük. Hatékony módszerek a határozott integrál kiszámítására.

Mit kell hozzá…. Minden!

Válasz:

Az integrációs technika teszteléséhez próbálkozzon a számítással . A válasznak pontosan ugyanannak kell lennie.

12. példa

Kettős integrál segítségével számítsa ki egy vonallal határolt síkidom területét

Ez egy példa, amelyet egyedül kell megoldania. Érdekesség, hogy ha a terület bejárásának első módszerével próbálkozunk, akkor már nem két, hanem három részre kell osztani a figurát! És ennek megfelelően három pár ismétlődő integrált kapunk. Néha megtörténik.

A mesterkurzus véget ért, és ideje továbblépni a nagymesteri szintre - Hogyan kell kiszámítani a dupla integrált? Példák megoldásokra. A második cikkben megpróbálok nem annyira mániákus lenni =)

Sok sikert!

Megoldások és válaszok:

2. példa:Megoldás: Ábrázoljuk a területet a rajzon:

Válasszuk a terület bejárásának a következő sorrendjét:

És így:
Térjünk át az inverz függvényekre:


És így:
Válasz:

4. példa:Megoldás: Térjünk át a közvetlen függvényekre:


Készítsük el a rajzot:

Változtassuk meg a terület bejárásának sorrendjét:

Válasz:

Az előző szakaszban, amely egy határozott integrál geometriai jelentésének elemzésével foglalkozott, számos képletet kaptunk a görbe vonalú trapéz területének kiszámításához:

Yandex.RTB R-A-339285-1

S (G) = ∫ a b f (x) d x folytonos és nem negatív y = f (x) függvényre az [ a ; b ] ,

S (G) = - ∫ a b f (x) d x y = f (x) folytonos és nem pozitív függvényre az [ a ; b ] .

Ezek a képletek viszonylag egyszerű feladatok megoldására alkalmazhatók. A valóságban gyakran bonyolultabb figurákkal kell dolgoznunk. Ebben a tekintetben ezt a részt az olyan ábrák területének kiszámítására szolgáló algoritmusok elemzésének szenteljük, amelyeket a függvények explicit formában korlátoznak, pl. mint például y = f(x) vagy x = g(y).

Tétel

Legyen az y = f 1 (x) és y = f 2 (x) függvény definiált és folytonos az [ a ; b ] , és f 1 (x) ≤ f 2 (x) bármely x értékre [a ; b ] . Ekkor az x = a, x = b, y = f 1 (x) és y = f 2 (x) egyenesekkel határolt G ábra területének kiszámítására szolgáló képlet így fog kinézni: S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x .

Hasonló képlet alkalmazható az y = c, y = d, x = g 1 (y) és x = g 2 (y) egyenesekkel határolt alakzat területére is: S (G) = ∫ c d ( g 2 (y) - g 1 (y) d y.

Bizonyíték

Nézzünk meg három olyan esetet, amelyekre a képlet érvényes lesz.

Az első esetben, figyelembe véve a terület additivitásának tulajdonságát, az eredeti G ábra és a görbe vonalú G 1 trapéz területének összege megegyezik a G 2 ábra területével. Ez azt jelenti

Ezért S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.

Az utolsó átmenetet a határozott integrál harmadik tulajdonságával tudjuk végrehajtani.

A második esetben az egyenlőség igaz: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) d x

A grafikus illusztráció így fog kinézni:

Ha mindkét függvény nem pozitív, akkor a következőt kapjuk: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f) 2 (x) - f 1 (x)) d x . A grafikus illusztráció így fog kinézni:

Térjünk át arra az általános esetre, amikor y = f 1 (x) és y = f 2 (x) metszi az O x tengelyt.

A metszéspontokat x i, i = 1, 2, -vel jelöljük. . . , n - 1 . Ezek a pontok felosztják a szakaszt [a; b ] n részre x i - 1 ; x i, i = 1, 2, . . . , n, ahol α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

Ennélfogva,

S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x

Az utolsó átmenetet a határozott integrál ötödik tulajdonságával végezhetjük el.

Illusztráljuk az általános esetet a grafikonon.

Az S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x képlet bizonyítottnak tekinthető.

Most menjünk tovább az y = f (x) és x = g (y) egyenesek által határolt ábrák területének kiszámítására vonatkozó példák elemzésére.

A példák bármelyikének vizsgálatát egy gráf felépítésével kezdjük. A kép lehetővé teszi számunkra, hogy bonyolult formákat egyszerűbb formák uniójaként ábrázoljunk. Ha Önnek nehézséget okoz a grafikonok és ábrák elkészítése, tanulmányozhatja az alapvető elemi függvényekről, a függvénygráfok geometriai transzformációjáról szóló részt, valamint a függvény tanulmányozása közben a grafikonok szerkesztését.

1. példa

Meg kell határozni az ábra területét, amelyet az y = - x 2 + 6 x - 5 parabola és az y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4 egyenesek korlátoznak.

Megoldás

Rajzoljuk meg a grafikonon a vonalakat a derékszögű koordinátarendszerben.

A szakaszon [ 1 ; 4 ] az y = - x 2 + 6 x - 5 parabola grafikonja az y = - 1 3 x - 1 2 egyenes felett helyezkedik el. Ebben a tekintetben a válasz megszerzéséhez a korábban kapott képletet, valamint a határozott integrál kiszámításának módszerét használjuk a Newton-Leibniz képlet segítségével:

S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

Válasz: S(G) = 13

Nézzünk egy összetettebb példát.

2. példa

Ki kell számítani az ábra területét, amelyet az y = x + 2, y = x, x = 7 vonalak határolnak.

Megoldás

Ebben az esetben csak egyetlen egyenesünk van, amely párhuzamos az x tengellyel. Ez x = 7. Ez megköveteli, hogy magunk találjuk meg az integráció második határát.

Építsünk gráfot, és ábrázoljuk rajta a feladatmeghatározásban megadott egyeneseket.

Ha a gráf a szemünk előtt van, könnyen megállapíthatjuk, hogy az integráció alsó határa az y = x egyenes és az y = x + 2 félparabola grafikonja metszéspontjának abszcisszája lesz. Az abszcissza meghatározásához az egyenlőségeket használjuk:

y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O DZ

Kiderül, hogy a metszéspont abszcisszája x = 2.

Felhívjuk a figyelmet arra, hogy a rajz általános példájában az y = x + 2, y = x egyenesek a (2; 2) pontban metszik egymást, így az ilyen részletes számítások szükségtelennek tűnhetnek. Csak azért adtunk itt ilyen részletes megoldást, mert bonyolultabb esetekben a megoldás nem biztos, hogy olyan egyértelmű. Ez azt jelenti, hogy mindig jobb az egyenesek metszéspontjának koordinátáit analitikusan kiszámítani.

Az intervallumon [ 2 ; 7] az y = x függvény grafikonja az y = x + 2 függvény grafikonja felett helyezkedik el. Alkalmazzuk a képletet a terület kiszámításához:

S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

Válasz: S (G) = 59 6

3. példa

Ki kell számítani az ábra területét, amelyet az y = 1 x és y = - x 2 + 4 x - 2 függvények grafikonjai korlátoznak.

Megoldás

Ábrázoljuk a vonalakat a grafikonon.

Határozzuk meg az integráció határait. Ehhez az 1 x és - x 2 + 4 x - 2 kifejezések egyenlővé tételével határozzuk meg az egyenesek metszéspontjainak koordinátáit. Feltéve, hogy x nem nulla, az 1 x = - x 2 + 4 x - 2 egyenlőség ekvivalenssé válik a harmadfokú - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 egyenlettel egész együtthatókkal. Az ilyen egyenletek megoldására szolgáló algoritmus emlékezetének felfrissítéséhez olvassa el a „Köbös egyenletek megoldása” című részt.

Ennek az egyenletnek a gyöke x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.

Az - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 kifejezést elosztva az x - 1 binomiálissal, a következőt kapjuk: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0

A maradék gyököket az x 2 - 3 x - 1 = 0 egyenletből találhatjuk meg:

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0 . 3

Megtaláltuk az x ∈ 1 intervallumot; 3 + 13 2, amelyben a G ábra a kék felett és a piros vonal alatt található. Ez segít meghatározni az ábra területét:

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Válasz: S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

4. példa

Ki kell számítani az ábra területét, amelyet az y = x 3, y = - log 2 x + 1 görbék és az abszcissza tengely korlátoznak.

Megoldás

Ábrázoljuk a grafikonon az összes vonalat. Az y = log 2 x grafikonból megkaphatjuk az y = - log 2 x + 1 függvény grafikonját, ha szimmetrikusan pozícionáljuk az x tengelyre, és egy egységgel feljebb mozgatjuk. Az x tengely egyenlete y = 0.

Jelöljük az egyenesek metszéspontjait.

Amint az ábrán látható, az y = x 3 és y = 0 függvények grafikonjai a (0; 0) pontban metszik egymást. Ez azért történik, mert az x = 0 az x 3 = 0 egyenlet egyetlen valódi gyöke.

x = 2 az egyetlen gyöke a - log 2 x + 1 = 0 egyenletnek, így az y = - log 2 x + 1 és y = 0 függvények grafikonjai a (2; 0) pontban metszik egymást.

x = 1 az x 3 = - log 2 x + 1 egyenlet egyetlen gyöke. Ebben a tekintetben az y = x 3 és y = - log 2 x + 1 függvények grafikonjai az (1; 1) pontban metszik egymást. Lehet, hogy az utolsó állítás nem nyilvánvaló, de az x 3 = - log 2 x + 1 egyenletnek nem lehet több gyöke, mivel az y = x 3 függvény szigorúan növekvő, az y = - log 2 x + 1 függvény pedig szigorúan csökken.

A további megoldás több lehetőséget is magában foglal.

1.opció

A G ábrát elképzelhetjük két, az x tengely felett elhelyezkedő görbe vonalú trapéz összegeként, amelyek közül az első az x ∈ 0 szakaszon a középvonal alatt helyezkedik el; 1, a második pedig a piros vonal alatt van az x ∈ 1 szakaszon; 2. Ez azt jelenti, hogy a terület egyenlő lesz S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x .

2. lehetőség

A G ábra két ábra különbségeként ábrázolható, amelyek közül az első az x tengely felett és a kék vonal alatt található az x ∈ 0 szakaszon; 2, a második pedig az x ∈ 1 szakasz piros és kék vonalai között; 2. Ez lehetővé teszi, hogy a következőképpen találjuk meg a területet:

S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x

Ebben az esetben a terület megtalálásához egy S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y képletet kell használnia. Valójában az ábrát határoló vonalak az y argumentum függvényeiként ábrázolhatók.

Oldjuk meg az y = x 3 és - log 2 x + 1 egyenleteket x vonatkozásában:

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

Megkapjuk a szükséges területet:

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4

Válasz: S (G) = 1 ln 2 - 1 4

5. példa

Ki kell számítani az ábra területét, amelyet az y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4 vonalak korlátoznak.

Megoldás

Piros vonallal ábrázoljuk az y = x függvény által meghatározott egyenest. Az y = - 1 2 x + 4 vonalat kékkel, az y = 2 3 x - 3 vonalat feketével húzzuk.

Jelöljük meg a metszéspontokat.

Keressük meg az y = x és y = - 1 2 x + 4 függvények grafikonjainak metszéspontjait:

x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16 ; x 2 = 20 - 144 2 = 4 Ellenőrizze: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 nem az x 2 = egyenlet megoldása 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 a ⇒ (4; 2) egyenlet megoldása i y = x és y = - 1 2 x metszéspont + 4

Keressük meg az y = x és y = 2 3 x - 3 függvények grafikonjainak metszéspontját:

x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Ellenőrizze: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 a ⇒ (9 ; 3) egyenlet megoldása, pont a s y = x és y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 Az egyenletnek nincs megoldása

Keressük meg az y = - 1 2 x + 4 és y = 2 3 x - 3 egyenesek metszéspontját:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1 ) metszéspont y = - 1 2 x + 4 és y = 2 3 x - 3

1. számú módszer

Képzeljük el a kívánt ábra területét az egyes figurák területének összegeként.

Ekkor az ábra területe:

S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

2. számú módszer

Az eredeti ábra területe két másik ábra összegeként is ábrázolható.

Ezután megoldjuk az x-hez viszonyított egyenes egyenletét, és csak ezután alkalmazzuk az ábra területének kiszámításának képletét.

y = x ⇒ x = y 2 piros vonal y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 fekete vonal y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i a l i n e

Tehát a terület:

S (G) = ∫ 1 2 3 2 év + 9 2 - - 2 év + 8 n y + ∫ 2 3 3 2 év + 9 2 - y 2 n y = = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 n y + ∫ 3 3 2 év + 9 2 - y 2 nap y = = 7 4 év 2 - 7 4 év 1 2 + - y 3 3 + 3 év 2 4 + 9 2 év 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

Mint látható, az értékek ugyanazok.

Válasz: S (G) = 11 3

Eredmények

Ahhoz, hogy megtaláljuk egy alakzat azon területét, amelyet adott vonalak határolnak, vonalakat kell megszerkesztenünk egy síkon, meg kell találnunk a metszéspontjaikat, és a képlet segítségével meg kell találnunk a területet. Ebben a részben a feladatok leggyakoribb változatait vizsgáltuk.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

A)

Megoldás.

A döntés első és legfontosabb pontja a rajz felépítése.

Készítsük el a rajzot:

Az egyenlet y=0 beállítja az „x” tengelyt;

- x=-2 És x=1 - egyenes, a tengellyel párhuzamos OU;

- y=x 2 +2 - parabola, melynek ágai felfelé irányulnak, csúcsa a (0;2) pontban van.

Megjegyzés. Egy parabola megszerkesztéséhez elegendő megtalálni a koordinátatengelyekkel való metszéspontjait, azaz. elhelyezés x=0 keresse meg a metszéspontot a tengellyel OU és a megfelelő másodfokú egyenlet megoldásával keressük meg a tengellyel való metszéspontot Ó .

A parabola csúcsát a következő képletekkel találhatjuk meg:

A vonalakat pontról pontra is építheti.

A [-2;1] intervallumon a függvény grafikonja y=x 2 +2 található tengelye felett Ökör , Ezért:

Válasz: S =9 négyzetméter

A feladat elvégzése után mindig hasznos megnézni a rajzot, és rájönni, hogy a válasz valódi-e. Ebben az esetben „szemmel” megszámoljuk a rajz celláinak számát - nos, körülbelül 9 lesz, úgy tűnik, igaz. Teljesen egyértelmű, hogy ha mondjuk azt a választ kaptuk: 20 négyzetegység, akkor nyilvánvaló, hogy valahol hiba történt - 20 cella nyilván nem fér bele a kérdéses ábrába, legfeljebb egy tucat. Ha a válasz nemleges, akkor a feladatot is rosszul oldották meg.

Mi a teendő, ha az ívelt trapéz található a tengely alatt Ó?

b) Számítsa ki egy vonallal határolt ábra területét! y=-e x , x=1 és koordinátatengelyek.

Megoldás.

Készítsünk rajzot.

Ha egy ívelt trapéz teljesen a tengely alatt helyezkedik el Ó , akkor a területe a következő képlettel kereshető:

Válasz: S=(e-1) sq. units" 1,72 sq. units

Figyelem! A két típusú feladatot nem szabad összekeverni:

1) Ha egyszerűen egy határozott integrált kell megoldani, geometriai jelentés nélkül, akkor az negatív lehet.

2) Ha egy figura területét egy határozott integrál segítségével kérik meg, akkor a terület mindig pozitív! Ezért jelenik meg a mínusz az imént tárgyalt képletben.

A gyakorlatban az ábra leggyakrabban a felső és az alsó félsíkban található.

Val vel) Keresse meg egy síkidom vonallal határolt területét y=2x-x2, y=-x.

Megoldás.

Először be kell fejeznie a rajzot. Általánosságban elmondható, hogy területfeladatokban rajz készítésekor leginkább az egyenesek metszéspontjaira vagyunk kíváncsiak. Keressük meg a parabola metszéspontjait és egyenes Ezt kétféleképpen lehet megtenni. Az első módszer analitikus.

Megoldjuk az egyenletet:

Ez azt jelenti, hogy az integráció alsó határa a=0 , az integráció felső határa b=3 .

Megépítjük a megadott egyeneseket: 1. Parabola - csúcs az (1;1) pontban; tengely metszéspontja Ó - pont (0;0) és (0;2). 2. Egyenes - a 2. és 4. koordinátaszög felezője. És most Figyelem! Ha a szegmensen [ a;b] valamilyen folytonos függvény f(x) nagyobb vagy egyenlő, mint valamilyen folytonos függvény g(x), akkor a megfelelő ábra területét a következő képlet segítségével találhatja meg: . És nem számít, hogy az ábra hol található - a tengely felett vagy a tengely alatt, hanem az számít, hogy melyik grafikon magasabb (egy másik grafikonhoz képest), és melyik ALATT. A vizsgált példában nyilvánvaló, hogy a szakaszon a parabola az egyenes felett helyezkedik el, ezért le kell vonni

Pontról pontra építhet vonalakat, és az integráció határai „önmaguktól” válnak egyértelművé. Ennek ellenére a határértékek meghatározásának analitikus módszerét olykor még mindig alkalmazni kell, ha például elég nagy a gráf, vagy a részletes konstrukció nem tárta fel az integráció határait (lehet töredékes vagy irracionális).

A kívánt alakzatot felül egy parabola, alul pedig egyenes vonal határolja.

A szegmensen , a megfelelő képlet szerint:

Válasz: S =4,5 négyzetméter

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete