Tegyük egyenlővé és keressük meg a számtani különbséget. Aritmetikai progresszió – számsorozat
A számsorozat fogalma azt jelenti, hogy minden természetes szám valamilyen valós értéknek felel meg. Egy ilyen számsor lehet tetszőleges, vagy rendelkezhet bizonyos tulajdonságokkal - progresszióval. Ez utóbbi esetben a sorozat minden következő eleme (tagja) kiszámítható az előzővel.
Az aritmetikai progresszió olyan számértékek sorozata, amelyben a szomszédos tagjai azonos számmal különböznek egymástól (a sorozat minden eleme, a 2.-tól kezdve, hasonló tulajdonsággal rendelkezik). Ez a szám – az előző és a következő tagok közötti különbség – állandó, és progressziós különbségnek nevezzük.
Progressziós különbség: definíció
Tekintsünk egy j értékekből álló sorozatot A = a(1), a(2), a(3), a(4) ... a(j), j az N természetes számok halmazához tartozik. Egy aritmetika a progresszió definíciója szerint egy sorozat, amelyben a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) – a(j-1) = d. A d érték ennek a folyamatnak a kívánt különbsége.
d = a(j) – a(j-1).
Kiemel:
- Növekvő progresszió, ebben az esetben d > 0. Példa: 4, 8, 12, 16, 20, ...
- Csökkenő progresszió, majd d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …
A különbség progressziója és tetszőleges elemei
Ha a progresszió 2 tetszőleges tagja ismeretes (i-edik, k-edik), akkor egy adott sorozatra a különbség az összefüggés alapján határozható meg:
a(i) = a(k) + (i – k)*d, ami azt jelenti, hogy d = (a(i) – a(k))/(i-k).
A progresszió különbsége és annak első tagja
Ez a kifejezés csak akkor segít meghatározni egy ismeretlen értéket, ha a sorozatelem száma ismert.
Progressziós különbség és összege
A progresszió összege a tagok összege. Az első j elem összértékének kiszámításához használja a megfelelő képletet:
S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, de mivel a(j) = a(1) + d(j – 1), akkor S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a. (1) + d(– 1))/2)*j.
Egy aritmetikai sorozat összege.
Az aritmetikai sorozat összege egyszerű dolog. Értelemben és képletben egyaránt. De ebben a témában mindenféle feladat van. Az alaptól egészen a szilárdig.
Először is értsük meg az összeg jelentését és képletét. És akkor döntünk. Saját örömére.) Az összeg jelentése egyszerű, mint a mú. Egy aritmetikai progresszió összegének meghatározásához csak óvatosan kell összeadnia az összes tagot. Ha ez a kifejezés kevés, akkor képletek nélkül is hozzáadhatja. De ha sok van, vagy sok... bosszantó az összeadás.) Ilyenkor a képlet segít.
Az összeg képlete egyszerű:
Nézzük meg, milyen betűket tartalmaz a képlet. Ez sok mindent tisztáz majd.
S n - egy aritmetikai sorozat összege. Összeadás eredménye mindenki tagokkal, együtt elsőÁltal utolsó. Fontos. Pontosan összeadódnak Minden a tagokat sorban, kihagyás vagy kihagyás nélkül. És egészen pontosan attól kezdve első. Olyan problémák esetén, mint a harmadik és nyolcadik tag összegének megtalálása, vagy az ötödik és a huszadik tagok összege, a képlet közvetlen alkalmazása csalódást okoz.)
egy 1 - első a progresszió tagja. Itt minden világos, egyszerű első sorszám.
a n- utolsó a progresszió tagja. A sorozat utolsó száma. Nem túl ismerős név, de az összegre alkalmazva nagyon megfelelő. Aztán majd meglátod magad.
n - az utolsó tag száma. Fontos megérteni, hogy a képletben ez a szám egybeesik a hozzáadott kifejezések számával.
Határozzuk meg a fogalmat utolsó tag a n. Trükkös kérdés: melyik tag fog az utolsó ha adott végtelen aritmetikai progresszió?)
A magabiztos válaszhoz meg kell értened a számtani progresszió elemi jelentését, és... figyelmesen olvasd el a feladatot!)
A számtani progresszió összegének megtalálásánál mindig az utolsó tag jelenik meg (közvetlenül vagy közvetve), amelyet korlátozni kellene. Ellenkező esetben végleges, konkrét összeg egyszerűen nem létezik. A megoldás szempontjából nem mindegy, hogy a progresszió adott: véges vagy végtelen. Nem mindegy, hogy hogyan adjuk meg: egy számsor, vagy egy képlet az n-edik taghoz.
A legfontosabb dolog annak megértése, hogy a képlet a progresszió első tagjától a számot tartalmazó tagig működik n. Valójában a képlet teljes neve így néz ki: egy aritmetikai sorozat első n tagjának összege. Ezen legelső tagok száma, i.e. n, kizárólag a feladat határozza meg. Egy feladatban ez az összes értékes információ gyakran titkosítva van, igen... De nem baj, az alábbi példákban felfedjük ezeket a titkokat.)
Példák a feladatokra egy aritmetikai sorozat összegén.
Először is hasznos információk:
Az aritmetikai progresszió összegét tartalmazó feladatoknál a fő nehézség a képlet elemeinek helyes meghatározásában rejlik.
A feladatírók határtalan fantáziával éppen ezeket az elemeket titkosítják.) Itt a lényeg, hogy ne féljünk. Az elemek lényegének megértéséhez elég egyszerűen megfejteni őket. Nézzünk meg néhány példát részletesen. Kezdjük egy igazi GIA-n alapuló feladattal.
1. A számtani progressziót a következő feltétel adja meg: a n = 2n-3.5. Keresse meg az első 10 tagjának összegét.
Szép munka. Könnyű.) Mit kell tudnunk a mennyiség meghatározásához a képlet segítségével? Első tag egy 1, utolsó félév a n, igen az utolsó tag száma n.
Hol kaphatom meg az utolsó tag számát? n? Igen, ott, feltétellel! Azt írja: találd meg az összeget az első 10 tag. Nos, milyen számmal lesz? utolsó, tizedik tag?) Nem hiszi el, a száma tizedik!) Ezért ahelyett a n Behelyettesítjük a képletbe egy 10, és helyette n- tíz. Ismétlem, az utolsó tag száma egybeesik a tagok számával.
Meg kell határozni egy 1És egy 10. Ez könnyen kiszámítható az n-edik tag képletével, amely a problémafelvetésben található. Nem tudja, hogyan kell ezt csinálni? Vegyen részt az előző leckében, e nélkül nincs mód.
egy 1= 2 1 - 3,5 = -1,5
egy 10=2·10 - 3,5 =16,5
S n = S 10.
Kiderítettük a számtani sorozat összegének képletének összes elemének jelentését. Nincs más hátra, mint helyettesíteni őket, és megszámolni:
Ez az. Válasz: 75.
Egy másik feladat a GIA alapján. Kicsit bonyolultabb:
2. Adott egy aritmetikai sorozat (a n), amelynek különbsége 3,7; a 1 = 2,3. Keresse meg az első 15 tagjának összegét.
Azonnal írjuk az összegképletet:
Ez a képlet lehetővé teszi, hogy bármely tag értékét megtaláljuk a szám alapján. Egyszerű helyettesítést keresünk:
a 15 = 2,3 + (15-1) 3,7 = 54,1
Marad az összes elemet behelyettesíteni a képletbe egy aritmetikai progresszió összegére, és kiszámítani a választ:
Válasz: 423.
Egyébként ha az összegképletben ahelyett a n Egyszerűen behelyettesítjük a képletet az n-edik tagra, és megkapjuk:
Mutassunk be hasonlókat, és kapjunk egy új képletet egy aritmetikai sorozat tagjainak összegére:
 |
Mint látható, az n-edik tagra itt nincs szükség a n. Bizonyos problémákban ez a képlet nagy segítség, igen... Emlékezhet erre a képletre. Vagy egyszerűen megjelenítheti a megfelelő időben, például itt. Végül is mindig emlékeznie kell az összeg képletére és az n-edik tag képletére.)
Most a feladat egy rövid titkosítás formájában):
3. Határozzuk meg az összes olyan pozitív kétjegyű szám összegét, amelyek három többszörösei!
Azta! Sem az első tagod, sem az utolsó, sem a továbbjutásod... Hogyan élj!?
A fejeddel kell gondolkodnod, és ki kell húznod a feltételből az aritmetikai progresszió összegének összes elemét. Tudjuk, mik a kétjegyű számok. Két számból állnak.) Milyen kétjegyű szám lesz első? 10, feltehetően.) A utolsó dolog kétjegyű szám? 99, persze! A három számjegyűek követik őt...
Három többszörösei... Hm... Ezek hárommal osztható számok, itt! A tíz nem osztható hárommal, a 11 nem osztható... a 12... osztható! Szóval valami készülődik. Már le is írhat egy sorozatot a probléma feltételei szerint:
12, 15, 18, 21, ... 96, 99.
Ez a sorozat aritmetikai sorozat lesz? Biztosan! Mindegyik kifejezés szigorúan háromban különbözik az előzőtől. Ha egy kifejezéshez 2-t vagy 4-et adunk, mondjuk az eredményt, pl. az új szám már nem osztható 3-mal. Azonnal meghatározhatja a számtani sorozat különbségét: d = 3. Jól fog jönni!)
Tehát nyugodtan felírhatunk néhány progressziós paramétert:
Mi lesz a szám? n utolsó tag? Aki azt hiszi, hogy a 99, az végzetesen téved... A számok mindig sorban mennek, de tagjaink három fölé ugranak. Nem egyeznek.
Itt két megoldás létezik. Az egyik út a szuper szorgalmasak. Felírhatod a haladást, a teljes számsort, és az ujjaddal megszámolhatod a tagok számát.) A második út a megfontoltak számára. Emlékezned kell az n-edik tag képletére. Ha a képletet alkalmazzuk a problémánkra, azt találjuk, hogy 99 a progresszió harmincadik tagja. Azok. n = 30.
Nézzük meg az aritmetikai progresszió összegének képletét:
Nézzük és örülünk.) A problémafelvetésből kihúztunk mindent, ami az összeg kiszámításához szükséges:
egy 1= 12.
egy 30= 99.
S n = S 30.
Már csak az elemi aritmetika van hátra. Behelyettesítjük a számokat a képletbe, és kiszámítjuk:
Válasz: 1665
Egy másik népszerű rejtvénytípus:
4. Adott egy aritmetikai progresszió:
-21,5; -20; -18,5; -17; ...
Határozza meg a tagok összegét huszadiktól harmincnégyig!
Megnézzük az összeg képletét és... kiborulunk.) A képlet, hadd emlékeztessem önöket, kiszámolja az összeget az elsőtől tag. És a feladatban ki kell számítania az összeget huszadik óta... A képlet nem fog működni.
Természetesen kiírhatod a teljes folyamatot egy sorozatba, és hozzáadhatod a 20-tól 34-ig terjedő kifejezéseket. De... ez valahogy hülyeség és sokáig tart, nem?)
Van ennél elegánsabb megoldás is. Osszuk két részre sorozatunkat. Az első rész lesz az első ciklustól a tizenkilencedikig. Második rész - húsztól harmincnégyig. Világos, hogy ha az első rész feltételeinek összegét számoljuk ki S 1-19, adjuk hozzá a második rész feltételeinek összegével S 20-34, megkapjuk az első tagtól a harmincnegyedig terjedő progresszió összegét S 1-34. Mint ez:
S 1-19 + S 20-34 = S 1-34
Ebből láthatjuk, hogy találja meg az összeget S 20-34 egyszerű kivonással elvégezhető
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19
A jobb oldalon mindkét összeget figyelembe veszik az elsőtől tag, azaz. a standard összegképlet egészen alkalmazható rájuk. Kezdjük el?
Kivonjuk a progresszió paramétereit a problémanyilatkozatból:
d = 1,5.
egy 1= -21,5.
Az első 19 és az első 34 tag összegének kiszámításához szükségünk lesz a 19. és a 34. tagra. Kiszámítjuk őket az n-edik tag képletével, mint a 2. feladatban:
egy 19= -21,5 +(19-1) 1,5 = 5,5
egy 34= -21,5 +(34-1) 1,5 = 28
Nem maradt semmi. A 34 tag összegéből vonjuk le a 19 tag összegét:
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5
Válasz: 262,5
Egy fontos megjegyzés! Van egy nagyon hasznos trükk a probléma megoldására. Közvetlen számítás helyett amire szüksége van (S 20-34), megszámoltuk valami, amire úgy tűnik, nincs szükség - S 1-19.És akkor elhatározták S 20-34, a szükségtelent kidobva a teljes eredményből. Ez a fajta „fülcsalás” gyakran kíméli meg gonosz problémáktól.)
Ebben a leckében olyan feladatokat vizsgáltunk, amelyekhez elég megérteni egy számtani sorozat összegének jelentését. Nos, tudnod kell néhány képletet.)
Gyakorlati tanácsok:
Bármilyen aritmetikai progresszió összegével kapcsolatos probléma megoldásakor azt javaslom, hogy azonnal írjuk ki ebből a témából a két fő képletet.
Az n-edik tag képlete:
Ezek a képletek azonnal megmondják, mit kell keresni, és milyen irányba kell gondolkodni a probléma megoldása érdekében. Segít.
És most az önálló megoldás feladatai.
5. Határozza meg az összes hárommal nem osztható kétjegyű szám összegét!
Menő?) A 4. feladatra vonatkozó megjegyzés rejtve van. Nos, a 3. feladat segít.
6. A számtani progressziót a következő feltétel adja: a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Keresse meg az első 24 tagjának összegét.
Szokatlan?) Ez egy visszatérő képlet. Erről az előző leckében olvashat. Ne hagyja figyelmen kívül a linket, ilyen problémák gyakran megtalálhatók az Állami Tudományos Akadémián.
7. Vasya pénzt spórolt az ünnepre. Akár 4550 rubel! És úgy döntöttem, hogy a kedvencemnek (magamnak) adok néhány nap boldogságot). Élj szépen anélkül, hogy megtagadnál magadtól semmit. Költsön el 500 rubelt az első napon, és minden további napon 50 rubel többet költ, mint az előző! Amíg el nem fogy a pénz. Hány nap volt a boldogságban Vasya?
Nehéz?) A 2. feladat kiegészítő képlete segít.
Válaszok (rendetlenségben): 7, 3240, 6.
Ha tetszik ez az oldal...
Egyébként van még néhány érdekes oldalam az Ön számára.)
Gyakorolhatod a példák megoldását, és megtudhatod a szintedet. Tesztelés azonnali ellenőrzéssel. Tanuljunk – érdeklődéssel!)
Megismerkedhet a függvényekkel, deriváltokkal.
Mi a képlet fő lényege?
Ez a képlet lehetővé teszi, hogy megtalálja Bármi SZÁMA SZERINT " n" .
Természetesen az első kifejezést is ismerni kell egy 1és progressziós különbség d, nos, ezek nélkül a paraméterek nélkül nem lehet felírni egy konkrét progressziót.
Ennek a képletnek a memorizálása (vagy lesiklása) nem elég. Meg kell értenie a lényegét, és alkalmaznia kell a képletet különféle problémákban. És azt is, hogy a megfelelő pillanatban ne felejtsd el, igen...) Hogyan ne felejtsd- Nem tudom. És itt hogyan kell emlékezni Ha kell, mindenképpen tanácsot adok. Azoknak, akik a leckét a végéig befejezik.)
Tehát nézzük meg az aritmetikai sorozat n-edik tagjának képletét.
Mi a képlet általában? Egyébként nézd meg, ha nem olvastad. Ott minden egyszerű. Még ki kell deríteni, mi az n-edik tag.
A haladás általában számsorként írható fel:
1, 2, 3, 4, 5, .....
egy 1- egy aritmetikai sorozat első tagját jelöli, a 3- harmadik tag, egy 4- a negyedik és így tovább. Ha érdekel minket az ötödik ciklus, mondjuk, hogy dolgozunk egy 5, ha százhuszad - s egy 120.
Hogyan határozhatjuk meg általánosságban? Bármi egy aritmetikai sorozat tagja, azzal Bármi szám? Nagyon egyszerű! Mint ez:
a n
Az az ami egy aritmetikai sorozat n-edik tagja. Az n betű egyszerre elrejti az összes tagszámot: 1, 2, 3, 4 stb.
És mit ad nekünk egy ilyen rekord? Gondolj csak bele, szám helyett egy betűt írtak le...
Ez a jelölés hatékony eszközt ad az aritmetikai progresszióval való munkavégzéshez. A jelölés használata a n, gyorsan megtaláljuk Bármi tag Bármi aritmetikai progresszió. És megoldjon egy csomó további progressziós problémát. Majd meglátod magad a továbbiakban.
Az aritmetikai sorozat n-edik tagjának képletében:
| a n = a 1 + (n-1)d |
egy 1- egy aritmetikai sorozat első tagja;
n- tag szám.
A képlet összekapcsolja bármely progresszió fő paramétereit: a n; a 1; dÉs n. Minden progressziós probléma ezen paraméterek körül forog.
Az n-edik tag képlete egy adott progresszió írásához is használható. Például a probléma azt mondhatja, hogy a progressziót a következő feltétel határozza meg:
a n = 5 + (n-1) 2.
Egy ilyen probléma zsákutca is lehet... Nincs se sorozat, se különbség... De a feltételt a képlettel összevetve könnyen érthető, hogy ebben a progresszióban a 1 = 5 és d = 2.
És lehet még rosszabb is!) Ha ugyanazt a feltételt vesszük: a n = 5 + (n-1) 2, Igen, nyisd ki a zárójelet és hozz hasonlókat? Kapunk egy új képletet:
a n = 3 + 2n.
Ez Csak nem általános, hanem egy konkrét előrehaladásra. Itt lapul a buktató. Vannak, akik úgy gondolják, hogy az első tag egy három. Bár a valóságban az első tag öt... Kicsit lejjebb egy ilyen módosított képlettel fogunk dolgozni.
A progressziós problémáknál van egy másik jelölés - a n+1. Ez, ahogy sejtette, a progresszió „n plusz első” tagja. Jelentése egyszerű és ártalmatlan.) Ez a progresszió olyan tagja, amelynek száma eggyel nagyobb, mint n. Például, ha valamilyen problémában vesszük a n akkor az ötödik ciklus a n+1 lesz a hatodik tagja. Stb.
Leggyakrabban a megnevezés a n+1 ismétlődési képletekben találhatók. Ne félj ettől az ijesztő szótól!) Ez csak egy számtani sorozat tagjának kifejezése. az előzőn keresztül. Tegyük fel, hogy kapunk egy aritmetikai progressziót ebben a formában, egy ismétlődő képlet segítségével:
a n+1 = a n +3
a 2 = a 1 + 3 = 5 + 3 = 8
a 3 = a 2 + 3 = 8 + 3 = 11
A negyedik - a harmadikon keresztül, az ötödik - a negyediken keresztül, és így tovább. Hogyan számolhatjuk azonnal, mondjuk a huszadik tagot? egy 20? De nincs rá mód!) Amíg meg nem találjuk a 19. tagot, addig nem számolhatjuk a 20-at. Ez az alapvető különbség a visszatérő képlet és az n-edik tag képlete között. Ismétlődő működik csak keresztül előző tag, és az n-edik tag képlete végig elsőés megengedi azonnal megtalálja bármelyik tagot a száma alapján. Anélkül, hogy a teljes számsort sorban kiszámolnánk.
A aritmetikai sorozatban könnyű egy ismétlődő képletet szabályossá alakítani. Számoljon meg egy pár egymást követő tagot, számolja ki a különbséget d, ha szükséges, keresse meg az első kifejezést egy 1, írja le a képletet a szokásos formában, és dolgozzon vele. Az Állami Tudományos Akadémián gyakran találkoznak ilyen feladatokkal.
Egy aritmetikai sorozat n-edik tagjának képletének alkalmazása.
Először nézzük meg a képlet közvetlen alkalmazását. Az előző óra végén volt egy probléma:
Adott egy aritmetikai progresszió (a n). Keressen 121-et, ha 1 = 3 és d = 1/6.
Ezt a feladatot képletek nélkül is meg lehet oldani, egyszerűen egy aritmetikai sorozat jelentése alapján. Add és add... Egy-két óra.)
És a képlet szerint a megoldás kevesebb mint egy percet vesz igénybe. Időzítheti.) Döntsük el.
A feltételek megadják az összes adatot a képlet használatához: a 1 = 3, d = 1/6. Azt kell kitalálni, hogy mi az egyenlő n. Nincs mit! Meg kell találnunk egy 121. Tehát ezt írjuk:
Kérjük figyeljen oda! Index helyett n konkrét szám jelent meg: 121. Ami egészen logikus.) A számtani sorozat tagja érdekel minket. százhuszonegy. Ez a miénk lesz n. Ez a jelentése n= 121 behelyettesítjük a képletbe, zárójelben. Az összes számot behelyettesítjük a képletbe, és kiszámítjuk:
a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23
Ez az. Ugyanilyen gyorsan meg lehet találni az ötszáztizedik tagot, és az ezerharmadik tagot is. Helyette tesszük n a kívánt szám a betű indexében a"és zárójelben, és számolunk.
Hadd emlékeztesselek a lényegre: ez a képlet lehetővé teszi, hogy megtaláld Bármi aritmetikai progressziós tag SZÁMA SZERINT " n" .
Oldjuk meg a problémát ravaszabb módon. Találkozzunk a következő problémával:
Határozzuk meg az aritmetikai sorozat első tagját (a n), ha a 17 =-2; d=-0,5.
Ha nehézségei vannak, elmondom az első lépést. Írja fel egy számtani sorozat n-edik tagjának képletét! Igen igen. Írd le a kezeddel, közvetlenül a füzetedbe:
| a n = a 1 + (n-1)d |
És most, a képlet betűit nézve, megértjük, milyen adatokkal rendelkezünk és mi hiányzik? Elérhető d=-0,5, van egy tizenhetedik tag... Ez az? Ha úgy gondolja, hogy ez az, akkor nem oldja meg a problémát, igen...
Még mindig van számunk n! Állapotban a 17 =-2 rejtett két paraméter. Ez egyben a tizenhetedik tag értéke (-2) és száma (17). Azok. n=17. Ez az „apróság” sokszor elsiklik a fej mellett, és enélkül (az „apróság”, nem a fej nélkül!) nem lehet megoldani a problémát. Bár... és fej nélkül is.)
Most egyszerűen behelyettesíthetjük adatainkat a képletbe:
a 17 = a 1 + (17-1)·(-0,5)
Ó, igen, egy 17 tudjuk, hogy -2. Oké, cseréljük ki:
-2 = a 1 + (17-1)·(-0,5)
Lényegében ennyi. Marad a képletből az aritmetikai progresszió első tagjának kifejezése és kiszámítása. A válasz a következő lesz: a 1 = 6.
Ez a technika - egy képlet felírása és az ismert adatok egyszerű helyettesítése - nagy segítség az egyszerű feladatokban. Hát persze, hogy egy változót képletből kell tudni kifejezni, de mit tegyek!? E készség nélkül a matematikát egyáltalán nem lehet tanulni...
Egy másik népszerű rejtvény:
Határozzuk meg az aritmetikai sorozat (a n) különbségét, ha a 1 =2; a 15 = 12.
Mit csinálunk? Meg fogsz lepődni, mi írjuk a képletet!)
| a n = a 1 + (n-1)d |
Nézzük, mit tudunk: a 1=2; a 15 = 12; és (különösen kiemelem!) n=15. Nyugodtan helyettesítse be ezt a képletbe:
12=2 + (15-1)d
Mi számolunk.)
12=2 + 14d
d=10/14 = 5/7
Ez a helyes válasz.
Tehát a feladatok a n, a 1És d határozott. Nincs más hátra, mint megtanulni, hogyan találja meg a számot:
A 99-es szám az aritmetikai sorozat (a n) tagja, ahol a 1 =12; d=3. Keresse meg ennek a tagnak a számát.
Az általunk ismert mennyiségeket behelyettesítjük az n-edik tag képletébe:
a n = 12 + (n-1) 3
Első pillantásra két ismeretlen mennyiség van itt: a n és n. De a n- ez a progresszió néhány tagja számmal n...És ismerjük a progressziónak ezt a tagját! 99. Nem tudjuk a számát. n, Tehát ezt a számot kell megtalálnia. A 99-es progresszió tagját behelyettesítjük a képletbe:
99 = 12 + (n-1) 3
A képletből fejezzük ki n, azt gondoljuk. Megkapjuk a választ: n=30.
És most egy probléma ugyanabban a témában, de kreatívabb):
Határozza meg, hogy a 117-es szám tagja-e az aritmetikai sorozatnak (a n):
-3,6; -2,4; -1,2 ...
Írjuk fel újra a képletet. Mi van, nincsenek paraméterek? Hm... Miért kapunk szemet?) Látjuk a progresszió első tagját? Látjuk. Ez -3,6. Nyugodtan írhatod: a 1 = -3,6. Különbség d Meg tudod mondani a sorozatból? Könnyű, ha tudja, mi a különbség az aritmetikai sorozat között:
d = -2,4 - (-3,6) = 1,2
Tehát a legegyszerűbb dolgot csináltuk. Már csak az ismeretlen számmal kell foglalkozni nés az érthetetlen 117-es szám. Az előző feladatnál legalább lehetett tudni, hogy a progresszió tagját adták meg. De itt nem is tudjuk... Mit tegyünk!? Nos, hogy legyen, hogyan legyen... Kapcsolja be kreatív képességeit!)
Mi tegyük fel hogy a 117 végül is a fejlődésünk tagja. Ismeretlen számmal n. És az előző feladathoz hasonlóan próbáljuk meg megtalálni ezt a számot. Azok. felírjuk a képletet (igen, igen!)) és behelyettesítjük a számainkat:
117 = -3,6 + (n-1) 1,2
Ismét a képletből fejezzük kin, megszámoljuk és megkapjuk:
Hoppá! Kiderült a szám töredékes! Százegy és fél. És törtszámok progresszióban nem lehet. Milyen következtetést vonhatunk le? Igen! 117. szám nem fejlődésünk tagja. Valahol a százelső és a százmásodik kifejezés között van. Ha a szám természetesnek bizonyult, pl. pozitív egész szám, akkor a szám a talált számmal való progresszió tagja lenne. És esetünkben a probléma válasza a következő lesz: Nem.
A GIA valós verzióján alapuló feladat:
Az aritmetikai progressziót a következő feltétel adja meg:
a n = -4 + 6,8n
Keresse meg a progresszió első és tizedik tagját!
Itt a progresszió szokatlan módon van beállítva. Valamiféle képlet... Előfordul.) Ez a képlet azonban (ahogy fentebb írtam) - egy aritmetikai sorozat n-edik tagjának képletét is! Azt is megengedi keresse meg a progresszió bármely tagját a száma alapján.
Keressük az első tagot. Aki gondolkodik. hogy az első tag mínusz négy, végzetesen téved!) Mivel a feladatban szereplő képlet módosul. A számtani sorozat első tagja benne rejtett. Rendben van, most megkeressük.)
Csakúgy, mint az előző problémáknál, helyettesítjük n=1 ebbe a képletbe:
a 1 = -4 + 6,8 1 = 2,8
Itt! Az első tag 2,8, nem -4!
Ugyanígy keressük a tizedik tagot:
a 10 = -4 + 6,8 10 = 64
Ez az.
És most azoknak, akik elolvasták ezeket a sorokat, a beígért bónusz.)
Tegyük fel, hogy az államvizsga vagy az egységes államvizsga nehéz harci helyzetében elfelejtette az aritmetikai sorozat n-edik tagjának hasznos képletét. Emlékszem valamire, de valahogy bizonytalanul... Vagy n ott, ill n+1, vagy n-1... Hogyan legyen!?
Nyugodt! Ez a képlet könnyen levezethető. Nem túl szigorú, de a magabiztossághoz és a helyes döntéshez mindenképpen elég!) A következtetés levonásához elég emlékezni a számtani sorozat elemi jelentésére, és van néhány percnyi időnk. Csak egy képet kell rajzolnia. Az egyértelműség kedvéért.
Rajzolj egy számegyenest, és jelöld meg rajta az elsőt. második, harmadik stb. tagjai. És megjegyezzük a különbséget d tagok között. Mint ez:
Nézzük a képet, és elgondolkodunk: mit jelent a második tag? Második egy d:
a 2 =a 1 + 1 d
Mi a harmadik kifejezés? Harmadik kifejezés egyenlő az első tag plusz kettő d.
a 3 =a 1 + 2 d
Érted? Nem hiába emelek ki néhány szót félkövérrel. Oké, még egy lépés).
Mi a negyedik kifejezés? Negyedik kifejezés egyenlő az első tag plusz három d.
a 4 =a 1 + 3 d
Ideje belátni, hogy a rések száma, i.e. d, Mindig eggyel kevesebb, mint a keresett tag száma n. Vagyis a számra n, szóközök száma akarat n-1. Ezért a képlet a következő lesz (változatok nélkül!):
| a n = a 1 + (n-1)d |
Általában a vizuális képek nagyon hasznosak számos matematikai probléma megoldásában. Ne hagyja figyelmen kívül a képeket. De ha nehéz képet rajzolni, akkor... csak egy képlet!) Ezenkívül az n-edik tag képlete lehetővé teszi, hogy a matematika teljes hatalmas arzenálját összekapcsolja a megoldással - egyenletek, egyenlőtlenségek, rendszerek stb. Nem lehet képet beilleszteni az egyenletbe...
Önálló megoldási feladatok.
Bemelegíteni:
1. Számtani folyamatban (a n) a 2 =3; a 5 = 5,1. Keress egy 3-ast.
Tipp: a kép szerint 20 másodperc alatt megoldható a probléma... A képlet szerint nehezebbnek bizonyul. De a képlet elsajátításához hasznosabb.) Az 555. szakaszban ezt a problémát a kép és a képlet segítségével is megoldjuk. Érezd a különbséget!)
És ez már nem bemelegítés.)
2. Számtani folyamatban (a n) a 85 =19,1; a 236 =49, 3. Keressen egy 3-at.
Mi van, nem akarsz képet rajzolni?) Természetesen! A képlet szerint jobb, igen...
3. A számtani progressziót a következő feltétel adja meg:a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Keresse meg ennek a progressziónak a százhuszonötödik tagját.
Ebben a feladatban a progresszió ismétlődő módon van megadva. De a százhuszonötödik tagig számolva... Ilyen bravúrra nem mindenki képes.) De az n-edik tag képlete mindenkinek megvan!
4. Adott egy aritmetikai progresszió (a n):
-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....
Keresse meg a progresszió legkisebb pozitív tagjának számát!
5. A 4. feladat feltételei szerint keresse meg a haladás legkisebb pozitív és legnagyobb negatív tagjának összegét!
6. Egy növekvő aritmetikai sorozat ötödik és tizenkettedik tagjának szorzata -2,5, a harmadik és tizenegyedik tag összege pedig nulla. Keress egy 14-et.
Nem a legkönnyebb feladat, igen...) Az „ujjbegy” módszer itt nem fog működni. Képleteket kell írnia és egyenleteket kell megoldania.
Válaszok (rendetlenségben):
3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5
Megtörtént? Ez szép!)
Nem minden sikerül? Megtörténik. Egyébként van egy finom pont az utolsó feladatban. Óvatosságra lesz szükség a probléma olvasásakor. És a logika.
Mindezen problémák megoldását az 555. szakasz tárgyalja részletesen. És a fantázia eleme a negyediknél, és a finom pont a hatodiknál, valamint az n-edik tag képletével kapcsolatos problémák megoldásának általános megközelítései - minden le van írva. Ajánlom.
Ha tetszik ez az oldal...
Egyébként van még néhány érdekes oldalam az Ön számára.)
Gyakorolhatod a példák megoldását, és megtudhatod a szintedet. Tesztelés azonnali ellenőrzéssel. Tanuljunk – érdeklődéssel!)
Megismerkedhet a függvényekkel, deriváltokkal.
Például a \(2\); \(5\); \(8\); \(tizenegy\); A \(14\)... egy aritmetikai sorozat, mert minden következő elem hárommal különbözik az előzőtől (három hozzáadásával kapható meg az előzőtől):
Ebben a progresszióban a \(d\) különbség pozitív (egyenlő: \(3\)), ezért minden következő tag nagyobb, mint az előző. Az ilyen progressziókat ún növekvő.
A \(d\) azonban negatív szám is lehet. Például, aritmetikai sorozatban \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... a \(d\) progressziókülönbség mínusz hat.
És ebben az esetben minden következő elem kisebb lesz, mint az előző. Ezeket a progressziókat ún csökkenő.
Aritmetikai progressziós jelölés
A haladást egy kis latin betű jelzi.
A progressziót alkotó számokat nevezzük tagjai(vagy elemek).
Ugyanazzal a betűvel vannak jelölve, mint aritmetikai progresszió, de a numerikus index megegyezik az elem számával.
Például az \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) aritmetikai sorozat a \(a_1=2\) elemekből áll; \(a_2=5\); \(a_3=8\) és így tovább.
Más szavakkal, a \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)
Aritmetikai progressziós feladatok megoldása
Elvileg a fent bemutatott információk már szinte minden számtani progressziós probléma megoldására elegendőek (beleértve az OGE-nél felkínáltakat is).
Példa (OGE).
Az aritmetikai progressziót a \(b_1=7; d=4\) feltételek határozzák meg. Keresse meg a \(b_5\).
Megoldás:
Válasz: \(b_5=23\)
Példa (OGE).
Adott egy aritmetikai sorozat első három tagja: \(62; 49; 36…\) Határozza meg a folyamat első negatív tagjának értékét.
Megoldás:
|
Megadjuk a sorozat első elemeit, és tudjuk, hogy ez egy aritmetikai sorozat. Vagyis minden elem ugyanazzal a számmal különbözik szomszédjától. Nézzük meg, melyiket, ha a következő elemből kivonjuk az előzőt: \(d=49-62=-13\). |
|
|
Most visszaállíthatjuk a haladást az (első negatív) elemre, amelyre szükségünk van. |
|
|
Kész. Választ írhatsz. |
Válasz: \(-3\)
Példa (OGE).
Adott egy aritmetikai sorozat több egymást követő eleme: \(…5; x; 10; 12,5...\) Határozza meg az \(x\) betűvel jelölt elem értékét!
Megoldás:
|
|
Az \(x\) kereséséhez tudnunk kell, hogy a következő elem mennyiben tér el az előzőtől, más szóval a progresszió különbségétől. Keressük meg két ismert szomszédos elemből: \(d=12,5-10=2,5\). |
|
|
És most könnyen megtaláljuk, amit keresünk: \(x=5+2.5=7.5\). |
|
|
Kész. Választ írhatsz. |
Válasz: \(7,5\).
Példa (OGE).
Az aritmetikai progressziót a következő feltételek határozzák meg: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Határozza meg a folyamat első hat tagjának összegét.
Megoldás:
|
Meg kell találnunk a progresszió első hat tagjának összegét. De nem ismerjük a jelentésüket, csak az első elemet kapjuk. Ezért először egyenként számítjuk ki az értékeket a kapott adatok alapján: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) |
|
|
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) |
A szükséges mennyiséget megtaláltuk. |
Válasz: \(S_6=9\).
Példa (OGE).
Aritmetikai progresszióban \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Keresse meg ennek a haladásnak a különbségét.
Megoldás:
Válasz: \(d=7\).
A számtani progresszió fontos képletei
Amint láthatja, az aritmetikai progresszióval kapcsolatos számos probléma megoldható egyszerűen a fő dolog megértésével - hogy az aritmetikai progresszió számok lánca, és ennek a láncnak minden további elemét úgy kapjuk meg, hogy ugyanazt a számot hozzáadjuk az előzőhöz (a a progresszió különbsége).
Néha azonban vannak olyan helyzetek, amikor a „fejjel” döntés nagyon kényelmetlen. Például képzeljük el, hogy a legelső példában nem az ötödik \(b_5\) elemet kell keresnünk, hanem a háromszáznyolcvanhatodik \(b_(386)\). Adjunk hozzá négyszer \(385\)? Vagy képzeld el, hogy az utolsó előtti példában meg kell találnod az első hetvenhárom elem összegét. Belefáradsz a számolásba...
Ezért ilyenkor nem „fejjel” oldják meg a dolgokat, hanem speciális, számtani haladásra levezetett képleteket használnak. A főbbek pedig a progresszió n-edik tagjának képlete és az \(n\) első tagok összegének képlete.
A \(n\)-edik tag képlete: \(a_n=a_1+(n-1)d\), ahol \(a_1\) a progresszió első tagja;
\(n\) – a szükséges elem száma;
\(a_n\) – a \(n\) számú progresszió tagja.
Ez a képlet lehetővé teszi, hogy gyorsan megtaláljuk a háromszázadik vagy milliomodik elemet is, csak az elsőt és a progresszió különbségét ismerve.
Példa.
Az aritmetikai progressziót a következő feltételek határozzák meg: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Keresse meg a \(b_(246)\).
Megoldás:
Válasz: \(b_(246)=1850\).
Az első n tag összegének képlete: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), ahol
\(a_n\) – az utolsó összegzett tag;
Példa (OGE).
Az aritmetikai progressziót a \(a_n=3,4n-0,6\) feltételek határozzák meg. Keresse meg ennek a progressziónak az első \(25\) tagjának összegét.
Megoldás:
|
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\) |
Az első huszonöt tag összegének kiszámításához ismernünk kell az első és a huszonötödik tag értékét. |
|
|
\(n=1;\) \(a_1=3,4·1-0,6=2,8\) |
Most keressük meg a huszonötödik tagot úgy, hogy \(n\) helyett huszonötöt helyettesítünk. |
|
|
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4·25-0,6=84,4\) |
Nos, most már könnyedén kiszámolhatjuk a szükséges mennyiséget. |
|
|
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) |
A válasz kész. |
Válasz: \(S_(25)=1090\).
Az első tagok \(n\) összegére egy másik képletet kaphat: csak annyit kell tennie, hogy \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) \(a_n\) helyett cserélje ki a képletet \(a_n=a_1+(n-1)d\). Kapunk:
Az első n tag összegének képlete: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), ahol
\(S_n\) – \(n\) első elem szükséges összege;
\(a_1\) – az első összegzett tag;
\(d\) – progresszió különbség;
\(n\) – elemek száma összesen.
Példa.
Határozzuk meg az aritmetikai sorozat első \(33\)-ex tagjának összegét: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Megoldás:
Válasz: \(S_(33)=-231\).
Bonyolultabb aritmetikai progressziós feladatok
Mostantól minden olyan információ birtokában van, amelyre szinte minden aritmetikai progressziós probléma megoldásához szüksége van. Fejezzük be a témát azokkal a problémákkal, amelyekben nem csak képleteket kell alkalmazni, hanem egy kicsit gondolkodni is (matematikában ez hasznos lehet ☺)
Példa (OGE).
Keresse meg a progresszió összes negatív tagjának összegét: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Megoldás:
|
\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\) |
A feladat nagyon hasonló az előzőhöz. Ugyanezt kezdjük megoldani: először megtaláljuk a \(d\). |
|
|
\(d=a_2-a_1=-19-(-19,3)=0,3\) |
Most szeretném behelyettesíteni a \(d\)-t az összeg képletébe... és itt egy kis árnyalat jelenik meg - nem tudjuk, hogy \(n\). Más szóval, nem tudjuk, hány kifejezést kell hozzáadni. Hogyan lehet megtudni? Gondolkozzunk. Leállítjuk az elemek hozzáadását, amikor elérjük az első pozitív elemet. Vagyis meg kell találnia ennek az elemnek a számát. Hogyan? Írjuk fel a képletet egy aritmetikai sorozat bármely elemének kiszámításához: \(a_n=a_1+(n-1)d\) esetünkben. |
|
|
\(a_n=a_1+(n-1)d\) |
||
|
\(a_n=-19,3+(n-1)·0,3\) |
Szükségünk van arra, hogy \(a_n\) nagyobb legyen nullánál. Nézzük meg, hogy \(n\) ez mikor fog történni. |
|
|
\(-19,3+(n-1)·0,3>0\) |
||
|
\((n-1)·0,3>19,3\) \(|:0,3\) |
Az egyenlőtlenség mindkét oldalát elosztjuk \(0,3\). |
|
|
\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) |
Mínusz egyet továbbítunk, nem felejtve el megváltoztatni a jeleket |
|
|
\(n>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) \(+1\) |
Számoljunk... |
|
|
\(n>65 333…\) |
...és kiderül, hogy az első pozitív elem \(66\) lesz. Ennek megfelelően az utolsó negatív értéke \(n=65\). Minden esetre nézzük meg ezt. |
|
|
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1)·0,3=-0,1\) |
Tehát hozzá kell adnunk az első \(65\) elemeket. |
|
|
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19.3)+(65-1)0.3)(2)\)\(\cdot 65\) |
A válasz kész. |
Válasz: \(S_(65)=-630,5\).
Példa (OGE).
Az aritmetikai progressziót a következő feltételek határozzák meg: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Keresse meg az összeget a \(26\)-ediktől a \(42\) elemig.
Megoldás:
|
\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\) |
Ebben a feladatban is meg kell találni az elemek összegét, de nem az elsőtől, hanem a \(26\)-ediktől kezdve. Ilyen esetre nincs képletünk. Hogyan döntsünk? |
|
|
A \(a_1=-33\) progressziónkhoz és a \(d=4\) különbséghez (végül is hozzáadjuk a négyet az előző elemhez, hogy megtaláljuk a következőt). Ennek ismeretében megtaláljuk az első \(42\)-y elemek összegét. |
|
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) |
Most az első \(25\) elemek összege. |
|
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) |
És végül kiszámítjuk a választ. |
|
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\) |
Válasz: \(S=1683\).
Az aritmetikai progresszióhoz számos további képlet létezik, amelyeket ebben a cikkben nem vettünk figyelembe, mivel alacsony gyakorlati hasznosságuk volt. Azonban könnyen megtalálhatja őket.
Mielőtt dönteni kezdenénk aritmetikai progressziós problémák, nézzük meg, mi is az a számsorozat, mivel az aritmetikai sorozat a számsorozat speciális esete.
A számsorozat egy számkészlet, amelynek minden eleme saját sorozatszámmal rendelkezik. Ennek a halmaznak az elemeit a sorozat tagjainak nevezzük. A sorozatelem sorozatszámát index jelzi:
A sorozat első eleme;
A sorozat ötödik eleme;
- a sorozat „n-edik” eleme, azaz. "sorban álló" elem az n számon.
Egy sorelem értéke és sorszáma között kapcsolat van. Ezért egy sorozatot tekinthetünk függvénynek, amelynek argumentuma a sorozat elemének sorszáma. Más szóval ezt mondhatjuk a sorozat a természetes argumentum függvénye:
A sorrend háromféleképpen állítható be:
1 . A sorrend táblázat segítségével adható meg. Ebben az esetben egyszerűen beállítjuk a sorozat minden tagjának értékét.
Például valaki úgy döntött, hogy személyes időgazdálkodásba kezd, és először megszámolja, mennyi időt tölt a VKontakte-on a héten. Az időt a táblázatban rögzítve hét elemből álló sorozatot kap:
A táblázat első sora a hét napjának számát, a második az időt percekben jelzi. Azt látjuk, hogy hétfőn Valaki 125 percet töltött a VKontakte-on, azaz csütörtökön - 248 percet, azaz pénteken csak 15 percet.
2 . A sorozat az n-edik tag képletével adható meg.
Ebben az esetben egy sorozatelem értékének a számától való függését közvetlenül egy képlet formájában fejezzük ki.
Például ha , akkor
Egy adott számú sorozatelem értékének meghatározásához az elemszámot behelyettesítjük az n-edik tag képletébe.
Ugyanezt tesszük, ha meg kell találnunk egy függvény értékét, ha az argumentum értéke ismert. Az argumentum értékét behelyettesítjük a függvényegyenletbe:
Ha pl. 
, Azt
Hadd jegyezzem meg még egyszer, hogy egy sorozatban, egy tetszőleges numerikus függvénytől eltérően, az argumentum csak természetes szám lehet.
3 . A sorozat egy képlettel adható meg, amely kifejezi az n számú sortag értékének az előző tagok értékétől való függését. Ebben az esetben nem elég, ha csak a sorozattag számát ismerjük, hogy megtaláljuk az értékét. Meg kell adnunk a sorozat első vagy első néhány tagját.
Vegyük például a sorrendet 
, 
Megtaláljuk a sorozattagok értékeit sorban, a harmadiktól kezdve:
Vagyis minden alkalommal, hogy megtaláljuk a sorozat n-edik tagjának értékét, visszatérünk az előző kettőhöz. A sorozat megadásának ezt a módszerét ún visszatérő, a latin szóból recurro- Gyere vissza.
Most már definiálhatunk egy aritmetikai progressziót. Az aritmetikai sorozat egy számsorozat egyszerű speciális esete.
Aritmetikai progresszió egy numerikus sorozat, amelynek minden tagja a másodiktól kezdve egyenlő az előzővel, amely ugyanahhoz a számhoz van hozzáadva.
A számot hívják a számtani progresszió különbsége. Az aritmetikai sorozat különbsége lehet pozitív, negatív vagy egyenlő nullával.
If title="d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} növekvő.
Például 2; 5; 8; tizenegy;...
Ha , akkor egy aritmetikai sorozat minden tagja kisebb, mint az előző, és a progresszió igen csökkenő.
Például 2; -1; -4; -7;...
Ha , akkor a progresszió minden tagja azonos számmal, és a progresszió az helyhez kötött.
Például 2;2;2;2;...
Az aritmetikai sorozat fő tulajdonsága:
Nézzük a képet.
Ezt látjuk
, és ugyanakkor
Ezt a két egyenlőséget összeadva a következőt kapjuk:
.
Oszd el az egyenlőség mindkét oldalát 2-vel:
Tehát a számtani sorozat minden tagja a másodiktól kezdve egyenlő a két szomszédos szám számtani átlagával:
Ráadásul mivel
, és ugyanakkor
, Azt
, és ezért
Egy aritmetikai sorozat minden tagja title="k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих.
!}
A th tag képlete.
Látjuk, hogy az aritmetikai progresszió feltételei kielégítik a következő összefüggéseket:
és végül
Kaptunk az n-edik tag képlete.
FONTOS! Egy aritmetikai sorozat bármely tagja kifejezhető a és segítségével. Ismerve az első tagot és a számtani sorozat különbségét, bármelyik tagját megtalálhatja.
Egy aritmetikai sorozat n tagjának összege.
Egy tetszőleges aritmetikai sorozatban a szélsőségektől egyenlő távolságra lévő tagok összegei egyenlők egymással:
Tekintsünk egy n tagú aritmetikai sorozatot. Legyen ennek a progressziónak n tagjának összege egyenlő.
Rendezzük a haladás feltételeit először a számok növekvő, majd csökkenő sorrendjében:
Tegyük hozzá párban:
A zárójelben szereplő összeg , a párok száma n.
Kapunk:
Így, egy aritmetikai sorozat n tagjának összegét a következő képletekkel találhatjuk meg:
Mérlegeljük számtani progressziós feladatok megoldása.
1 . A sorozatot az n-edik tag képlete adja meg: . Bizonyítsuk be, hogy ez a sorozat egy aritmetikai sorozat.
Bizonyítsuk be, hogy a sorozat két szomszédos tagja közötti különbség azonos számmal egyenlő.
Megállapítottuk, hogy a sorozat két szomszédos tagja közötti különbség nem függ azok számától, és állandó. Ezért definíció szerint ez a sorozat egy aritmetikai sorozat.
2 . Adott egy aritmetikai sorozat -31; -27;...
a) Keresse meg a progresszió 31 tagját!
b) Határozza meg, hogy a 41-es szám benne van-e ebben a haladásban!
A) Azt látjuk ;
Írjuk fel a haladásunk n-edik tagjának képletét.
Általában 
A mi esetünkben 
, Ezért 
Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete