Egyszerű és összetett kijelentések. Egy állítás tagadása

Az állítás összetettebb formáció, mint egy név. Amikor az állításokat egyszerűbb részekre bontjuk, mindig kapunk egy vagy másik nevet. Tegyük fel, hogy a „Nap egy csillag” kijelentés részeként a „Nap” és a „csillag” neveket tartalmazza.

Nyilatkozat - nyelvtanilag helyes mondat, az általa kifejezett jelentéssel (tartalommal) együtt, igaz vagy hamis.

Az állítás fogalma a modern logika egyik kezdeti, kulcsfogalma. Mint ilyen, nem tesz lehetővé egy olyan pontos meghatározást, amely a különböző szakaszaiban egyaránt alkalmazható.

Egy állítás igaznak tekinthető, ha az általa adott leírás megfelel a valós helyzetnek, és hamisnak, ha nem felel meg annak. Az „igaz” és a „hamis” „állítások igazságértékeinek” nevezik.

Az egyes állításokból új állítások konstruálhatók különböző módon. Például a „Fúj a szél” és az „Esik az eső” állításokból összetettebb állítások alkothatók: „Fúj a szél és esik az eső”, „Vagy fúj a szél, vagy esik”, „Ha esik az eső, akkor fúj a szél” stb.

Az állítás ún egyszerű, kivéve, ha részeként más kijelentéseket is tartalmaz.

Az állítás ún összetett, ha más egyszerűbb állításokból származó logikai konnektívumok segítségével kapjuk meg.

Nézzük meg az összetett állítások felépítésének legfontosabb módjait.

Negatív állítás kezdő állításból és tagadásból áll, általában a „nem”, „nem igaz, hogy ez” szavakkal fejezik ki. A tagadó állítás tehát összetett állítás: részeként tartalmaz egy ettől eltérő állítást. Például a „10 páros szám” állítás tagadása a „10 nem páros szám” állítás (vagy: „Nem igaz, hogy a 10 páros szám”).

Jelöljük az állításokat betűkkel! A, B, C,... Az állítás tagadása fogalmának teljes jelentését a feltétel adja: ha az állítás A igaz, tagadása hamis, és ha A hamis, tagadása igaz. Például, mivel az „1 pozitív egész szám” állítás igaz, az „1 nem pozitív egész szám” tagadása hamis, és mivel az „1 egy prímszám” hamis, az „1 nem prímszám” tagadása. ” igaz.

Két utasítás összekapcsolása az „és” szó használatával egy összetett utasítást eredményez, az úgynevezett kötőszó. Az így összekapcsolt állításokat „egy kötőszó tagjainak” nevezzük.

Például, ha a „Ma meleg van” és a „Tegnap hideg volt” állításokat ilyen módon kombináljuk, akkor a „Ma meleg van, tegnap pedig hideg volt” kötőszót kapja.

Egy kötőszó csak akkor igaz, ha mindkét benne szereplő állítás igaz; ha legalább egy tagja hamis, akkor az egész kötőszó hamis.

A hétköznapi nyelvben két állítást az „és” kötőszó köt össze, ha tartalmilag vagy jelentésükben kapcsolódnak egymáshoz. Ennek a kapcsolatnak a természete nem teljesen világos, de az egyértelmű, hogy az „Ő kabátban járt, én meg az egyetemre” kötőszót nem tekintenénk olyan kifejezésnek, amelynek van jelentése, és lehet igaz vagy hamis. Bár a „2 prímszám” és „Moszkva egy nagyváros” állítások igazak, nem vagyunk hajlamosak igaznak tekinteni a „2 prímszám és Moszkva nagyváros” kötőszót sem, mivel az alkotóelem az állítások jelentésükben nem kapcsolódnak egymáshoz. Azáltal, hogy leegyszerűsíti a kötőszó és más logikai konnektívumok jelentését, és ebből a célból feladja a „kijelentések jelentés szerinti összekapcsolása” tisztázatlan fogalmát, a logika e konnektívumok jelentését tágabbá és konkrétabbá teszi.

Két állítás összekapcsolása a "vagy" szó használatával ad diszjunkció ezeket a kijelentéseket. Azokat az állításokat, amelyek diszjunkciót alkotnak, „a diszjunkció tagjainak” nevezik.

A "vagy" szónak két különböző jelentése van a hétköznapi nyelvben. Néha azt jelenti, hogy „az egyik vagy a másik vagy mindkettő”, néha pedig „az egyik vagy a másik, de nem mindkettő”. Például az „Ebben a szezonban a Pákdámanőhöz vagy Aidához szeretnék menni” kijelentés lehetővé teszi, hogy kétszer is meglátogassam az Onát. A „Moszkvai vagy Jaroszlavli Egyetemen tanul” kijelentés arra utal, hogy az említett személy csak az egyik egyetemen tanul.

A „vagy” első értelme az ún nem kizárólagos. Ebben az értelemben két állítás diszjunkciója azt jelenti, hogy ezen állítások közül legalább az egyik igaz, függetlenül attól, hogy mindkettő igaz-e vagy sem. A másodikban készült kizárólagos vagy szoros értelemben két állítás diszjunkciója azt mondja ki, hogy az egyik állítás igaz, a másik hamis.

Egy nem kizáró diszjunkció akkor igaz, ha legalább az egyik alkotó állítása igaz, és hamis csak akkor, ha mindkét tagja hamis.

Egy kizárólagos diszjunkció akkor igaz, ha csak az egyik feltétele igaz, és hamis, ha mindkét feltétele igaz, vagy mindkettő hamis.

A logikában és a matematikában a „vagy” szót szinte mindig nem kizárólagos jelentésben használják.

Feltételes nyilatkozat -összetett állítás, amelyet általában a „ha..., akkor...” kötőszó használatával fogalmaznak meg, és megállapítják azt az egy eseményt, állapotot stb. ilyen vagy olyan értelemben a másik alapja vagy feltétele.

Például: „Ha tűz van, akkor füst van”, „Ha egy szám osztható 9-cel, osztható 3-mal” stb.

Egy feltételes utasítás két egyszerűbb állításból áll. Azt, amelyik előtt a „ha” szó szerepel, azt hívják alapon, vagy előzmény(előző), az „az” szó után következő állítást hívják következmény, vagy következményes(későbbi).

A feltételes állítás megerősítésével mindenekelőtt azt értjük, hogy nem fordulhat elő, hogy az alapjában elmondottak megtörténnek, a következményben elmondottak pedig hiányoznak. Vagyis nem fordulhat elő, hogy az előzmény igaz, a következmény pedig hamis.

A feltételes állítás szempontjából általában az elégséges és a szükséges feltételek fogalmát definiálják: az előzmény (föld) elégséges feltétele a következménynek (következmény), a konzekvens pedig az előzmény szükséges feltétele. Például a „Ha a választás racionális, akkor a rendelkezésre álló alternatívák közül a legjobbat választják” feltételes állítás igazsága azt jelenti, hogy a racionalitás elegendő ok arra, hogy a rendelkezésre álló lehetőségek közül a legjobbat válasszuk, és hogy egy ilyen lehetőség választása racionalitásának szükséges feltétele.

A feltételes állítás tipikus funkciója, hogy egy állítást egy másik utasításra hivatkozva igazoljon. Például az a tény, hogy az ezüst elektromosan vezető, igazolható azzal a ténnyel, hogy fémről van szó: „Ha az ezüst fém, akkor elektromosan vezető.”

A megalapozott és a megalapozott (alap és következmény) feltételes kijelentéssel kifejezett kapcsolata nehezen jellemezhető általánosan, és csak néha viszonylag egyértelmű a természete. Ez az összefüggés lehet egyrészt logikai konzekvenciás kapcsolat, amely a premisszák és a helyes következtetés következtetése között jön létre ("Ha minden élő többsejtű lény halandó, és a medúza is ilyen, akkor halandó"); másodszor a természet törvénye szerint („Ha egy test súrlódásnak van kitéve, akkor felmelegszik”); harmadszor ok-okozati összefüggés („Ha a Hold újholdkor pályája csomópontján van, napfogyatkozás következik be”); negyedszer a társadalmi szabályszerűség, szabály, hagyomány stb. („Ha a társadalom változik, az ember is változik”, „Ha a tanács ésszerű, meg kell valósítani”).

A feltételes kijelentéssel kifejezett összefüggést általában az a hiedelem kíséri, hogy a következmény bizonyos szükségszerűséggel „következik” az okból, és van valami általános törvény, amelynek megfogalmazása után az okból logikusan következtethetünk a következményre. .

Például a „Ha a bizmut fém, az műanyag” feltételes kijelentés feltételezi a „Nem fém műanyag” általános törvényt, ami ennek az állításnak a következménye az előzményének logikus következménye.

A feltételes állítás mind a köznyelvben, mind a tudomány nyelvén az igazolás funkciója mellett számos egyéb feladatot is elláthat: olyan feltétel megfogalmazására, amely nem kapcsolódik semmilyen ráutalt általános törvényhez vagy szabályhoz („Ha Akarom, levágom a köpenyemet”); rögzítsen bármilyen sorozatot ("Ha a tavalyi nyár száraz volt, akkor az idén esős"); sajátos formában fejezze ki hitetlenségét ("Ha megoldod ezt a problémát, bebizonyítom Fermat utolsó tételét"); ellenzék („Ha bodza nő a kertben, akkor egy srác lakik Kijevben”) stb. Egy feltételes állítás funkcióinak sokfélesége és heterogenitása jelentősen megnehezíti elemzését.

A feltételes állítások használata bizonyos pszichológiai tényezőkkel jár. Így általában csak akkor fogalmazunk meg ilyen állítást, ha nem tudjuk biztosan, hogy az előzménye és a következménye igaz vagy hamis. Egyébként használata természetellenesnek tűnik („Ha a vatta fém, akkor elektromos vezető”).

A feltételes állítás igen széles körben alkalmazható az érvelés minden területén. A logikában általában a implicatív kijelentés, vagy következményei. A logika ugyanakkor tisztázza, rendszerezi és leegyszerűsíti a „ha..., akkor...” használatát, megszabadítva a pszichológiai tényezők hatása alól.

A logika különösen elvonatkoztatott attól, hogy a feltételes kijelentésre jellemző ok és következmény kapcsolata a kontextustól függően nemcsak a „ha..., akkor...” kifejezéssel fejezhető ki, hanem más módon is kifejezhető. nyelvi eszközökkel. Például: „Mivel a víz folyékony, minden irányba egyenletesen adja át a nyomást”, „Bár a gyurma nem fém, de műanyag”, „Ha a fa fém lenne, elektromosan vezető lenne” stb. Ezeket és a hasonló kijelentéseket a logika nyelvén értelemszerűen ábrázolják, bár a „ha..., akkor...” használata bennük nem lenne teljesen természetes.

Egy implikáció állításával azt állítjuk, hogy nem fordulhat elő, hogy az alapja jelen van, a következménye pedig hiányzik. Más szóval, egy implikáció csak akkor hamis, ha az oka igaz, a következménye pedig hamis.

Ez a definíció a konnektívumok korábbi definícióihoz hasonlóan azt feltételezi, hogy minden állítás igaz vagy hamis, és hogy egy összetett állítás igazságértéke csak az alkotó állítások igazságértékeitől és az összekapcsolásuk módjától függ.

Egy implikáció akkor igaz, ha mind az oka, mind a következménye igaz vagy hamis; akkor igaz, ha az oka hamis és a következménye igaz. Csak a negyedik esetben, amikor az ok igaz, a következmény pedig hamis, az implikáció hamis.

Ez nem jelenti azt, hogy az állítások AÉs IN tartalmilag valamilyen módon kapcsolódnak egymáshoz. Ha igaz IN kijelentés „ha A, Hogy IN" attól függetlenül igaz A igaz vagy hamis, és jelentésben összefügg azzal IN vagy nem.

Például a következő állításokat tekintik igaznak: „Ha van élet a Napon, akkor kettő és kettő egyenlő négy”, „Ha a Volga tó, akkor Tokió nagy falu” stb. A feltételes állítás akkor is igaz, amikor A hamis, és ismét közömbös, igaz IN vagy sem, és tartalmilag kapcsolódik-e ahhoz A vagy nem. Az igaz állítások közé tartozik: „Ha a Nap egy kocka, akkor a Föld háromszög”, „Ha kettő és kettő egyenlő öt, akkor Tokió egy kis város” stb.

A közönséges érvelésben ezek az állítások valószínűleg nem tekinthetők értelmesnek, és még kevésbé igaznak.

Bár az implikáció számos célra hasznos, nem teljesen összhangban van a feltételes kapcsolat szokásos értelmezésével. Az implikáció egy feltételes állítás logikai viselkedésének számos fontos jellemzőjét lefedi, ugyanakkor nem kellően adekvát leírása annak.

Az elmúlt fél évszázadban erőteljes kísérletek történtek az implikáció elméletének reformjára. Ugyanakkor nem az implikáció leírt fogalmának feladásáról volt szó, hanem egy másik fogalom bevezetéséről, amely nemcsak az állítások igazságértékeit veszi figyelembe, hanem tartalmi összefüggésüket is.

Szorosan kapcsolódik az implikációhoz egyenértékűség, néha "kettős implikációnak" nevezik.

Az ekvivalencia egy összetett állítás „A akkor és csak akkor, ha B”, amely Li B állításaiból áll, és két implikációra bomlik: „ha A, akkor B", és "ha B, akkor A". Például: "A háromszög akkor és csak akkor egyenlő oldalú, ha egyenlő szögű." Az „ekvivalencia” kifejezés jelöli a „..., akkor és csak akkor, ha...” kötőszót is, amelynek segítségével két állításból egy adott összetett állítás alakul ki. A „ha és csak akkor” helyett használhatók erre a célra a „ha és csak akkor”, „ha és csak akkor” stb.

Ha a logikai konnektívumokat az igazság és a hamisság szempontjából határozzuk meg, akkor az ekvivalencia akkor és csak akkor igaz, ha mindkét alkotó állításnak azonos az igazságértéke, azaz. amikor mindkettő igaz vagy hamis. Ennek megfelelően egy ekvivalencia hamis, ha a benne szereplő állítások egyike igaz, a másik hamis.

Egyszerű és összetett utasítások, logikai változók és logikai állandók, logikai tagadás, logikai szorzás, logikai összeadás, igazságtáblázatok logikai műveletekhez

Az információs folyamatok automatizálásához nemcsak a különböző típusú (numerikus, szöveges, grafikus, hangos) információk egységes ábrázolására van szükség nullák és egyesek sorozataként, hanem a végrehajtható műveletek meghatározására is. az információt. Az ilyen cselekvések végrehajtása a gondolkodási folyamatot szabályozó szabályokkal összhangban történik. Más szóval, a logika törvényeinek megfelelően. A "logika" kifejezés az ókori görög szóból származik1 O§08 , jelentése: „gondolat, érvelés, törvény”. Tudománylogikáktanulmányozza a gondolkodás törvényszerűségeit és formáit, a bizonyítási módszereket.

Az érvelés és az információval végzett műveletek szabályainak leírására a matematikai logikában elfogadott speciális nyelvet használnak. Az érvelés speciális mondatokon, úgynevezett állításokon alapul. Az állítások mindig állítanak vagy tagadnak valamit az objektumokról, tulajdonságaikról és az objektumok közötti kapcsolatokról. Az állítás minden olyan állítás, amelyről meg lehet mondani, hogy igaz vagy hamis. Az állítások csak kijelentő mondatok lehetnek. A kérdő vagy motiváló mondatok nem állítások.

Nyilatkozat - kijelentő mondat formájában megfogalmazott állítás, amelyről meg lehet mondani, hogy igaz vagy hamis.

Például kérdő mondatok: „Milyen évben említik először a krónikák Moszkvát?” és "Mi a számítógép külső memóriája?" vagy a „Tartsa be a biztonsági szabályokat a számítógépes laborban” ösztönző mondat nem kijelentés. A „Moszkva első krónikai említése 1812-ben volt”, „A véletlen elérésű memória a számítógép külső memóriája” és a „Számítógéposztályon nem kell betartani a biztonsági szabályokat” kijelentő mondatok kijelentések, mivel ezek ítéletek, amelyek mindegyike hamisnak mondható. Az igaz állítások a következő állítások lesznek: „Moszkva első krónikai említése 1147-ben volt”, „A merev mágneslemez a számítógép külső memóriája”.

Mindegyik állítás csak az egyiknek felel meg a két jelentés közül: „igaz” vagy „hamis”, amelyek ezeklogikai állandók.A valódi értéket általában 1-es számmal, a hamis értéket 0-val jelöljük. Az állításokat alogikai változók,amelyeket nagy latin betűkkel használnak. A logikai változók két lehetséges érték közül csak egyet vehetnek fel: igaz vagy hamis. Például a „Számítógépben lévő információ két karakterrel van kódolva” állítás logikai változóval jelölhető.A,a „A nyomtató tárolóeszköz” kijelentés pedig logikai változóval jelölhetőIN.Mivel az első állítás igaz, akkorA= 1. Ez a jelölés azt jelenti, hogy az állításAigaz. Mivel a második állítás nem igaz, akkorB =0. Ez a bejegyzés azt jelenti, hogy az in állítás hamis.

Az állítások lehetnek egyszerűek vagy összetettek. Az állítás únegyszerű,ha egyik része sem állítás. Eddig egyszerű állításokra adtak példákat, amelyeket logikai változtatásokkal jelölünk. Az érvelési lánc felépítésével az ember logikai műveleteket használva egyszerű állításokat egyesítnehezebb" kijelentéseket.Egy összetett állítás jelentésének megismeréséhez nem kell a tartalmán gondolkodni. Elég, ha ismerjük az összetett állítást alkotó egyszerű állítások jelentését és a logikai műveletek végrehajtásának szabályait.

Logikai működés - olyan művelet, amely lehetővé teszi, hogy egyszerű állításokból összetett állítást állítson össze.

Minden emberi érvelés, valamint a modern technikai eszközök működése szabványos információs műveleteken alapul - három logikai művelet: logikai negáció (inverzió), logikai szorzás (konjunkció) és logikai összeadás (disjunkció).

Logikai tagadás szavak hozzáadásával egyszerű állítást kapunk"Ez nem igaz" egy egyszerű kijelentés elején.

■ 1. PÉLDAVan egy egyszerű mondás: "A krokodilok tudnak repülni." A logikai tagadás eredménye az állítás lesz„Ez nem igaz a krokodilok tudnak repülni." Az eredeti állítás jelentése „hamis”, az újé pedig „igaz”.

■ 2. PÉLDA.Van egy egyszerű kijelentés: "A fájlnak névvel kell rendelkeznie." A logikai tagadás eredménye az állítás lesz„Ez nem igaz a fájlnak nevet kell adni." Az eredeti állítás jelentése „igaz”, az újé pedig „hamis”.

Megjegyezhető, hogy egy állítás logikai tagadása igaz, ha az eredeti állítás hamis, és fordítva, egy állítás logikai tagadása hamis, ha az eredeti állítás igaz.

Logikai negáció (inverzió) - olyan logikai művelet, amely egy egyszerű állítást egy új kijelentéshez társít, amelynek jelentése ellentétes az eredeti állítás jelentésével.

Jelöljük egy logikai változó egyszerű kijelentésétA.Ezután ennek az állításnak a logikai tagadását NEM-ként jelöljükA. Írjuk fel a logikai változó összes lehetséges értékétAés a logikai tagadás megfelelő eredményei NEMA nevű táblázat formájábanigazságtáblázat a logikai tagadáshoz (40. táblázat).

IGAZSÁGTÁBLÁZAT A LOGIKAI TAGADÁSHOZ

Ha/1 = 0, akkorNEM A= 1 (lásd az 1. példát). HaA= 1, akkorNEM A= 0 (lásd a 2. példát)

nem A

Észreveheti, hogy a logikai tagadás igazságtáblázatában a nulla eggyel, az egyik pedig nullává változik.

Logikai szorzáskét egyszerű állítást kapunk, ha ezeket az állításokat a kötőszóval kombináljukÉs.Nézzük meg a 3-6. példát, hogy megtudjuk, mi lesz a logikai szorzás eredménye.

■ PÉLDA3. Két egyszerű állítás létezik. Egy kijelentés: "Carlson az alagsorban él." Egy másik mondás: „Carlsont fagylalttal kezelik”.

Ezeknek az egyszerű állításoknak a logikai szorzásának eredménye egy összetett állítás lesz: „Carlson a pincében él,ÉsCarlsont fagylalttal kezelik. Az új kijelentést rövidebben is megfogalmazhatja: „Carlson a pincében lakikÉsFagylalttal kezelve." Mindkét eredeti állítás hamis. Az új összetett állítás jelentése is „hamis”.

■ 4. PÉLDA.Két egyszerű állítás létezik. Az első kijelentés: „Carlson a pincében lakik”. A második állítás: „Carlsont lekvárral kezelik”.

Ezeknek az egyszerű állításoknak a logikai szorzásának eredménye egy összetett állítás lesz: „Carlson a pincében élÉsLekvárral kezelve." Az első eredeti állítás hamis, a második pedig igaz. Az új összetett állítás jelentése „hazugság”.

■ 5. PÉLDA.Két egyszerű állítás létezik. Az első kijelentés: „Carlson a tetőn él”. A második állítás: „Carlsont fagylalttal kezelik”.

Ezeknek az egyszerű állításoknak a logikai szorzásának eredménye a „Carlson a tetőn élÉsFagylalttal kezelve." Az első kezdeti állítás igaz, a második hamis. A "hazugság" új összetett állítás jelentése.

* PÉLDAb. Két egyszerű állítás létezik. Az egyik mondás: "Carlson a tetőn él." Egy másik mondás: "Carlsont lekvárral kezelik."

Ezeknek az egyszerű állításoknak a logikai megszorzásának eredménye egy összetett állítás lesz: „Carlson a tetőn él, és lekvárral kezelik”. Mindkét eredeti állítás igaz. Egy új összetett állítás jelentése is az „igazság”.

Megjegyzendő, hogy két állítás logikai szorzása csak egy esetben igaz - amikor mindkét eredeti állítás igaz.s.

Logikai szorzás (kötőszó) - logikai művelet, amely két egyszerű állítást társít egy új állításhoz, amelynek jelentése akkor és csak akkor igaz, ha mindkét eredeti állítás igaz.

IGAZSÁGTÁBLÁZAT A LOGIKAI SZORZATHOZ

41. táblázat

		AÉsB

HaA = 0, IN =0, majd A és B-0 (lásd a 3. példát). HaA = 0,7? = 1, akkorAÉSIN -0 (lásd a 4. példát). Ha/1 = 1,B =0, akkorAÉs d=0 (lásd az 5. példát). Ha L= \, B = \, majd A\\ B = \(lásd a 6. példát).

Észre fogja venni, hogy a logikai szorzás eredménye megegyezik a nullák és egyesek közönséges szorzásának eredményeivel.

Logikus kiegészítéskét egyszerű állítást kapunk, ha ezeket az állításokat a kötőszóval kombináljukvagy.Nézzük meg a 7-10. példát, hogy meglássuk, mi lesz a logikai összeadás eredménye.

PÉLDA 7 . Két egyszerű állítás létezik. Egy nyilatkozat - „A főfelügyelő című vígjátékot M. Yu Lermontov írta. Egy másik nyilatkozat - "A főfelügyelő című vígjátékot I. A. Krylov írta."

Ezen egyszerű kijelentések logikus kiegészítésének eredménye a „A főfelügyelő” című komédiát M. Yu írtavagyI. A. Krilov." Mindkét eredeti állítás hamis. Az új összetett állítás jelentése is „hamis”.

8. PÉLDA. Két egyszerű állítás létezik. Az első kijelentés: „A főfelügyelő” című vígjátékot M. Yu Lermontov írta. A második kijelentés: „A főfelügyelő című vígjátékot N. V. Gogol írta”.

Ezen egyszerű állítások logikai összeadásának eredményenylesz egy összetett kijelentés „A főfelügyelő című vígjátékot M, K írta). LermontovvagyN. V. Gogol." Először te vagyAz állítás hamis, a második pedig igaz. Az új összetett állítás jelentése „igazság”.

9. PÉLDA . Két egyszerű állítás létezik. Az első kijelentés: „A „Mtsyri” verset M. Yu írta. A második kijelentés: „A „Mtsyri” verset N. V. Gogol írta. Ezeknek az egyszerű kijelentéseknek a logikus kiegészítésének eredménye egy összetett kijelentés lesz: „A „Mtsyri” verset M. Yu vagy N. V. Gogol írta. Az első eredeti állítás igaz, a második hamis. Az új összetett állítás jelentése „igazság”.

10. PÉLDA . Két egyszerű állítás létezik. Egy kijelentés – „A. S. Puskin verset írt" Egy másik kijelentés - "A. Sz. Puskin prózát írt.” Ezen egyszerű állítások logikai összeadásának eredménye az „A. Sz. Puskin verset vagy prózát írt.” Mindkét eredeti állítás igaz. Az új összetett állítás jelentése is „igazság”.

Megjegyzendő, hogy két állítás logikai összeadása csak egy esetben hamis - amikor mindkét kiinduló állítás hamis.

Logikai összeadás (disjunkció)- olyan logikai művelet, amely két egyszerű állítást társít egy új állításhoz, amelynek jelentése akkor és csak akkor hamis, ha mindkét eredeti állítás hamis.

Jelöljük az egyik egyszerű állítást az A logikai változóval, a másik egyszerű állítást pedig a B logikai változóval.

Ezután ezeknek az állításoknak a logikai összeadását jelöljük A VAGY IN

Írjuk fel az A, B logikai változók összes lehetséges értékét, valamint az A VAGY B logikai összeadás megfelelő eredményét egy igazságtáblázatnak nevezett táblázat formájában.

A bináris előjelekkel végzett műveletek a logikai összeadás igazságtáblázatai szerint kerülnek végrehajtásra

Ha A=0, B=0, akkor A VAGY B=0 (lásd a 7. példát) Ha A = 0, B = 1, akkor A VAGY B = 1 (lásd a 8. példát) Ha A = 1, B = 0, akkor A VAGY B = 1 (lásd a 9. példát) Ha A=1, B =1, akkor A VAGY B =1 (lásd a 10. példát)

A VAGY B

Észre fogja venni, hogy a logikai összeadás eredménye az utolsó sor kivételével egybeesik a nullák és egyesek szokásos összeadásának eredményeivel.

Így a logika nyelvezetét használva az érvelést kijelentésekkel ellátott cselekvések helyettesíthetik. Az állításokhoz pedig bináris előjel rendelhető - 0 vagy 1. A kettős előjelű műveletek végrehajtása a logikai tagadás, logikai szorzás és logikai összeadás alapvető logikai műveleteinek igazságtáblázatai szerint történik (lásd a 40-42. táblázatokat).

23. Nyilatkozatok. Logikai műveletek

Két állítás logikai összeadása (disjunkciója) hamis

1) akkor és csak akkor, ha mindkét állítás igaz

2) akkor és csak akkor, ha mindkét állítás hamis

3) ha legalább egy állítás igaz

4) ha legalább egy állítás hamis

Logikai kifejezések. Logikai műveletek végrehajtása

A logikai kifejezések írása, a logikai műveletek végrehajtásának prioritása, a logikai kifejezés értékének megtalálása, a logikai műveletek végrehajtása különböző típusú információkkal A logikai tagadás, logikai szorzás és logikai összeadás egy teljes logikai műveletrendszert alkot, melynek segítségével. alkotjon meg bármilyen összetett állítást, és határozza meg annak igazságát. Az érvelés matematikai logika nyelvén történő leírásakor az egyszerű állításokat logikai változókkal (latin betűkkel), az állítások jelentését logikai állandókkal (nullákkal vagy egyesekkel), a logikai műveleteket speciális konnektívákkal (NOT, AND, VAGY). Az ilyen változók, konstansok és konnektorok felhasználásával összeállított rekordot logikai kifejezésnek nevezzük.

A logikai kifejezés egy szimbolikus jelölés a matematikai logika nyelvén, amely logikai változókból vagy logikai állandókból áll, amelyeket logikai műveletek (kapcsolatok) egyesítenek.

Egy logikai kifejezés értékének megtalálásakor a logikai műveletek meghatározott sorrendben, prioritásuk szerint kerülnek végrehajtásra - először logikai tagadás, majd logikai szorzás és csak ezután logikai összeadás. Az azonos prioritású logikai műveletek balról jobbra haladva hajtódnak végre. A zárójelek a logikai műveletek végrehajtási sorrendjének megváltoztatására szolgálnak.

■ 1. PÉLDA Adott egy egyszerű igaz állítás A = „Arisztotelész ókori görög filozófus” és egy egyszerű hamis állítás B = „Arisztotelész ókori orosz filozófus.”

Információkkal kapcsolatos intézkedések. Alapműveletek

összetett állítások jelentése, amelyek megfelelnek a következő logikai kifejezéseknek:

1) NEM A;

2) A VAGY B;

3) A I (NEV).

Megoldás. 1) Az A állítás logikai tagadásának eredménye a következő állítás lesz: „Nem igaz, hogy Arisztotelész ókori görög filozófus.” Mivel az eredeti „igaz” állítás értéke A = 1, ezért ezen állítás „hamis” logikai tagadásának értéke NEM A = 0 (lásd a 40. táblázatot). 2) Két állítás logikai összeadásának eredménye a következő állítás lesz: „Arisztotelész ókori görög vagy Arisztotelész ókori orosz filozófus”. Mivel az első kezdeti „igaz” állítás értéke A = 1, a második kezdeti állítás értéke „hamis” B = 0, így ezen állítások logikai összeadásának értéke „igaz” A VAGY B = 1 (lásd 42. táblázat). 3) Az A állítás logikai szorzásának és a B állítás logikai tagadásának eredménye a következő állítás lesz: „Arisztotelész ókori görög filozófus, és nem igaz, hogy Arisztotelész ókori orosz filozófus.” Először a B állítás logikai tagadását hajtjuk végre. Mivel az eredeti „hamis” állítás értéke B = 0, ezért ennek az állításnak az „igaz” logikai tagadásának értéke NEM B = 1 (lásd a 40. táblázatot). Mivel az első „igaz” kezdeti állítás értéke A = 1 és a második „igaz” kezdeti állítás logikai tagadásának értéke NEM B = 1, akkor ezen állítások logikai szorzatának értéke „igaz” A ÉS ( NEM B) =1

(lásd a 41. táblázatot)

Válasz. 1) „Hazugság”; 2) „igazság”; 3) „igazság”. Egy összetett állítás jelentésének megtalálásához elegendő ismerni az összetett utasításban szereplő egyszerű állítások jelentését, valamint az ezeket az egyszerű állításokat kombináló logikai műveletek végrehajtásának szabályait.

■ 2. PÉLDA Keresse meg a NEM A VAGY (0 VAGY 1) ÉS (NEM B ÉS 1) logikai kifejezés értékét, ha az A logikai változók értékei A =1, B =0.

Megoldás. 1) Cseréljük le egy logikai kifejezésben szereplő logikai változókat logikai állandókra. NEAILI(0VAGY 1)ÉS(NEVI 1)= =NOT1OR(0OR1)AND(NOTAND1).

2) Határozza meg a logikai műveletek sorrendjét prioritásuknak megfelelően! HE4 1 OR6 (0 OR1 1) ÉS 5 (HEG 0 AND3 1).

Nyilatkozat- igaznak vagy hamisnak mondható kijelentő mondat. Az algebrában az egyszerű állításokhoz logikai változókat rendelünk (A, B, C stb.)

Logikai változó egy egyszerű kijelentés.
A logikai változókat nagy- és kisbetűs latin betűk (a-z, A-Z) jelölik, és csak két értéket vehetnek fel - 1-et, ha az állítás igaz, vagy 0-t, ha az állítás hamis.

Példa állítások:

Logikai függvény egy összetett utasítás, amelyet az egyszerű utasításokon végzett logikai műveletek eredményeként kapunk.

Összetett állítások kialakítására leggyakrabban ezeket használják alapvető logikai műveletek, amelyet logikai „és”, „vagy”, „nem” kapcsolókkal fejeznek ki.
Például,

Sokan nem szeretik a nedves időt.

Legyen A = „Sok ember szereti a nedves időt.” Logikai függvényt kapunk F(A) = nem A.

szalagok „NEM”, „ÉS”, „VAGY” logikai műveletekkel helyettesítik inverzió , kötőszó , diszjunkció . Ez alapvető logikai műveletek, amellyel bármilyen logikai kifejezést írhat.

Logikai képlet (logikai kifejezés) – csak logikai mennyiségeket és logikai műveletek jeleit tartalmazó képlet. A logikai képlet eredménye IGAZ (1) vagy HAMIS (0).

Egy logikai függvény értéke a benne szereplő logikai változók értékétől függ. Ezért egy logikai függvény értéke egy speciális táblázat segítségével határozható meg ( igazságtáblázatok), amely felsorolja a bejövő logikai változók összes lehetséges értékét és a hozzájuk tartozó függvényértékeket.

Alapvető (alap) logikai műveletek:

1. Logikai szorzás (kötőszó), lat. konjunctio - Csatlakozom:
Két (vagy több) utasítás egyesítése az ÉS kötőszó használatával;
programozási nyelvekben – És.
Elfogadott jelölések: /\ , , и és.
A halmazalgebrában a konjunkció a halmazok metszéspontja műveletének felel meg.

Egy kötőszó akkor és csak akkor igaz, ha minden benne szereplő állítás igaz.

Példa:
Tekintsük a „2 2 = 4 és 3 3 = 10” összetett állítást. Kiemeljük az egyszerű állításokat:

B = "3 3 = 10" = 0 (mivel ez hamis állítás)
Ezért az F(A, B) = A /\ B = 1 /\ 0 = 0 logikai függvény (az igazságtáblázatnak megfelelően), vagyis ez az összetett állítás hamis.

2. Logikai összeadás (disjunkció), lat. disjunctio – megkülönböztetem:
Két (vagy több) utasítás egyesítése az VAGY kötőszó használatával;
programozási nyelvekben – Or.
Megnevezés: \/, +, vagy, vagy.
A halmazalgebrában a diszjunkció a halmazok kombinálásának műveletét jelenti.

A diszjunkció akkor és csak akkor hamis, ha minden benne szereplő állítás hamis.

Példa:
Tekintsük a „2 2 = 4 vagy 2 2 = 5” összetett állítást. Kiemeljük az egyszerű állításokat:
A = "2 2 = 4" = 1 (mivel ez igaz állítás)
B = "2 2 = 5" = 0 (mivel ez hamis állítás)
Ezért az F(A, B) = A \/ B = 1 \/ 0 = 1 logikai függvény (az igazságtáblázatnak megfelelően), vagyis ez az összetett állítás igaz.

3. Megtagadás (inverzió), lat. InVersion – megfordítom:

Megfelel a NEM részecskének, a NOT TRUE, THAT vagy NOT TRUE, THAT kifejezéseknek;
programozási nyelvekben – Nem;
Megnevezés: nem A, ¬A, nem
A halmazalgebrában a logikai negáció az univerzális halmazhoz való összeadás műveletének felel meg.

Inverz Egy logikai változó i értéke igaz, ha maga a változó hamis, és fordítva, az inverze hamis, ha a változó igaz.

Példa:

A = (kétszer kettő egyenlő négy) = 1.

¬A= ( Ez nem igaz kétszer kettő egyenlő négy) = 0.

Tekintsük az A állítást: „ Hold – a Föld műholdja“; akkor ¬A a következőképpen lesz megfogalmazva: " A Hold nem a Föld műholdja“.

Fontolja meg a következő állítást: „Nem igaz, hogy a 4 osztható 3-mal.” Jelöljük A-val azt az egyszerű állítást, hogy „4 osztható 3-mal”. Ekkor ennek az állításnak a tagadásának logikai alakja ¬A

A logikai műveletek prioritása:

A logikai kifejezésekben a műveletek balról jobbra haladva, a zárójelek figyelembevételével kerülnek végrehajtásra V következő Rendben:
1. inverzió;
2. kötőszó;
3. diszjunkció;
A logikai műveletek meghatározott sorrendjének megváltoztatásához zárójeleket használunk.

Összetett Boole-kifejezések propozíciós algebrákat nevezünk képletek.
A képlet igaz vagy hamis értéke meghatározható a logikai algebra törvényeivel anélkül, hogy a jelentésre utalnánk:
F = (0 \/ 1) /\ (¬0 \/ ¬1) = (0 \/ 1) /\ (1 \/ 0) =1 /\ 1=1 – igaz
F = (¬0 /\ ¬1) \/ (¬1 \/ ¬1) = (1 /\ 0) \/ (0 \/ 0) = 0 \/ 0 = 0 – hamis

Vissza Előre

Figyelem! A dia-előnézetek csak tájékoztató jellegűek, és nem feltétlenül képviselik a prezentáció összes jellemzőjét. Ha érdekli ez a munka, töltse le a teljes verziót.

• Oktatási: bővítse a tanulók propozíciós algebrával kapcsolatos ismereteit, mutasson be logikai műveleteket és igazságtáblázatokat.
• Fejlődési:
fejlessze a tanulók képességét a matematikai logika fogalmaival és szimbolikájával való operációra; a logikus gondolkodás kialakításának folytatása; kognitív tevékenység fejlesztése; a tanulók látókörének szélesítése.
• Nevelési:
fejlessze a véleménynyilvánítás képességét; önálló munkavégzési készségek elsajátítása.

ÓRA TÍPUSA: összevont óra - új tananyag ismertetése, majd a megszerzett ismeretek megszilárdítása.

ÓRA IDŐTARTAMA: 40 perc.

ANYAG ÉS MŰSZAKI ALAP:

• Interaktív tábla SmartBoard.
• MS Windows alkalmazás – PowerPoint 2007.
• Az elektronikus óra tanár által készített változata (prezentáció PowerPoint 2007-ben).
• A tanár által készített feladatkártyák.

ÓRATERV:

I. Szervezési pillanat - 1 perc.

II. Óracélok kitűzése - 2 perc.

III. Tudásfrissítés - 9 perc.

IV. Új anyag bemutatása - 15 perc.

V. A vizsgált anyag összevonása - 8 perc.

VI. Reflexió "Befejezetlen mondatok" - 3 perc.

VII. Következtetés. Házi feladat – 2 perc.

AZ ÓRA ELŐREhaladása

I. Szervezési mozzanat.

Üdvözlet, az óráról hiányzók megjelölése.

1. dia

Folytatjuk a szakasz tanulmányozását "Logikai nyelv". Ma leckénket a „Logikai kijelentések” témának szenteljük. A munkát a házi feladat ellenőrzésével kezdjük (olvassák fel a tanulók verseit, amelyek sok logikai összefüggést (műveletet) tartalmaznak, és arra a következtetésre jutunk, hogy a logikai algebra alapján tetszőleges információ egyértelműen értelmezhető).

Leckénk célja tehát a logikai műveletek tanulmányozása és annak megállapítása, hogy a logikai algebra alapján tetszőleges információ egyértelműen értelmezhető. De először át kell tekintenie az utolsó leckében tanult anyagot.

III. Ismeretek felfrissítése (frontális felmérés).

1. Feladat. Munka kártyákkal (röviden válaszoljon a feltett kérdésekre A gondolkodás törvényszerűségeit és formáit vizsgáló tudomány).

(Logika)

Egy állandó, amelyet "1" jelöl. (Igaz)

Egy "0"-val jelölt állandó. (Hazugság)

Kijelentő mondat, amelyről elmondható, hogy igaz vagy hamis.

(Mondás)

• Az állítások típusai (egyszerű és összetett)
• Az alábbi mondatok közül melyek állítások?
• Helló!
• Az axióma nem igényel bizonyítást.
• Esik az eső.
• Milyen a hőmérséklet kint?
• A rubel Oroszország monetáris egysége.
• Még egy halat sem lehet nehézség nélkül kihúzni a tóból.

A 2-es szám nem osztója a 9-nek.

• Az x szám nem több 2-nél.
• 7. Határozza meg az állítás igazát vagy hamisságát:
• A számítástechnikát középiskolai tanfolyamon tanulják.
• Az "E" az ábécé hatodik betűje.
• A négyzet rombusz.
• 12+14 > 30.
• A hipotenusz négyzete egyenlő a lábak négyzeteinek összegével.
• 23+12=5*7.

Egy háromszög szögeinek összege 1900.

A pingvinek a Föld északi sarkán élnek.

Tehát mi az a kijelentés? (Egy kijelentő mondat, amely igaznak vagy hamisnak mondható.)

Mi az egyszerű kijelentés? (Egy állítást akkor nevezünk egyszerűnek (eleminek), ha egyetlen része sem állítás.) Mi az összetett állítás? (Egy összetett utasítás egyszerű állításokból áll, amelyeket logikai konnektívumok (műveletek) kapcsolnak össze.)

2. feladat.

3. feladat. A következő állításokban emelje ki az egyszerű állításokat, mindegyiket betűvel jelölve:

1. Télen a gyerekek korcsolyázni vagy síelni mennek. (3. dia)
2. Nem igaz, hogy a Nap körbejárja a Földet. (4. dia)
3. A 15 akkor és csak akkor osztható 3-mal, ha a 15 számjegyeinek összege osztható 3-mal. (5. dia)
4. Ha tegnap vasárnap volt, akkor Dima tegnap nem volt iskolában, és egész nap sétált. (6. dia)

IV. Előadásúj anyag.

A korábbi feladatokban különféle logikai összekötőket használtak: „és”, „vagy”, „nem”, „ha: akkor:”, „ha és csak ha:”. Az algebrai logikában a logikai konnektívumoknak és a hozzájuk tartozó logikai műveleteknek speciális neveik vannak. Nézzünk meg 3 alapvető logikai műveletet - inverziót, konjunkciót és diszjunkciót, amelyek segítségével összetett utasításokat kaphat. (7. dia)

Minden logikai műveletet egy igazságtáblázatnak nevezett tábla határoz meg. A logikai kifejezés igazságtáblázata egy olyan táblázat, ahol a forrásadatok értékeinek összes lehetséges kombinációja a bal oldalon, a jobb oldalon pedig az egyes kombinációk kifejezésének értéke van írva.

A negáció egy logikai művelet, amely minden egyszerű (elemi) állítást egy új kijelentéshez társít, amelynek jelentése ellentétes az eredetivel. ( csúszik 8)

Tekintsük az egyszerű állítás tagadásának megalkotásának szabályát.

Szabály: Amikor egy egyszerű állítás tagadását állítjuk össze, vagy a „nem igaz, hogy” kifejezést használjuk, vagy a tagadást állítmányra építjük, majd a „nem” részecske hozzáadódik az állítmányhoz, és a „minden” szót helyébe „néhány” és fordítva.

4. feladat. Szerkesszünk inverziót (negációt) egy egyszerű utasításra:

1. A = Van otthon számítógépem. ( csúszik 9)
2. A = Minden 11. osztályos fiú kiváló tanuló.
3. Tagadás lesz-e a kijelentés: „A 11. osztályos fiúk közül nem mindegyik kiváló tanuló?” ( csúszik 10)

A „Minden 11. osztályos fiú nem kiváló tanuló” állítás nem tagadja a „Minden 11. osztályos fiú kiváló tanuló” állítást. A „Minden 11. osztályos fiú kiváló tanuló” állítás hamis, a hamis állítás tagadása pedig igaz állítás kell, hogy legyen. De a „nem minden 11. osztályos fiú kitűnő tanuló” állítás nem igaz, hiszen a 11. osztályosok között vannak kitűnő tanulók és nem kitűnő tanulók is.

A negáció grafikusan halmazként ábrázolható. ( dia 11)

Tekintsük a következő logikai műveletet - konjunkció. Az olyan állítást, amely két állításból áll össze úgy, hogy összevonja őket egy „és”-vel, kötőszónak vagy logikai szorzásnak nevezzük (a mellett konnektívumokat is használunk - a, de, bár).

Konjunkció- egy logikai művelet, amely minden két elemi állítást egy új utasítással társít, amely akkor és csak akkor igaz, ha mindkét kezdeti állítás igaz. ( csúszik 12)

Grafikusan egy kötőszó halmazként ábrázolható. ( csúszik 13)

Tekintsük a következő logikai műveletet - diszjunkció. Azt az állítást, amely két állításból áll, amelyeket a konnektív „vagy” egyesít, diszjunkciónak vagy logikai összeadásnak nevezzük.

Diszjunkció- egy logikai művelet, amely minden két elemi állítást új utasítással társít, amely akkor és csak akkor hamis, ha mindkét kezdeti állítás hamis. ( csúszik 14)

Grafikusan egy diszjunkció halmazként ábrázolható. ( csúszik 15)

Tehát mi az a három alapvető művelet, amelyet megtanultunk? ( csúszik 16)

Próbáljuk meg új ismereteinket alkalmazni a teszt során.

V. A tanult anyag konszolidálása (testületi munka).

5. feladat Párosítsa a diagramot és annak jelölését!( csúszik 17)

6. feladat Két egyszerű állítás létezik: A = „A 10 páros szám”, B = „A farkas növényevő.” Alkoss belőlük minden lehetséges összetett állítást, és határozd meg az igazságukat.

Válasz: 1-2; 2-6; 3-5; 4-1; 5-4; 6-3; 7-7.

8. feladat Két egyszerű állítást adunk: A = „A rubel Oroszország pénzneme”, B = „A hrivnya az Egyesült Államok pénzneme”. Mely állítások igazak?

4)A v B

Válaszok: 1) 0; 2) 1; 3) 0; 4) 1.

VI. Visszaverődés – Befejezetlen mondatok.

• Érdekesnek találtam a leckét, mert:
• Ami a legjobban tetszett az órán:
• Ami új volt számomra:

VII. Következtetés. Házi feladat.

Az osztály egészének és az órán kimagasló tanulók munkáját értékelik.

Házi feladat:

1) Ismerje meg az alapvető definíciókat, ismerje a jelöléseket.

2) Találj ki egyszerű mondásokat. (Összesen két állításból 5 halmaznak kell lennie). Állítson össze belőlük mindenféle összetett állítást, és határozza meg az igazságukat.

Felhasznált anyagok listája:

1. Számítástechnika és IKT. 10-11 évfolyam. Profil szint.
2. 1. rész: 10. évfolyam: tankönyv általános oktatási intézmények számára / M.E. Fioshin, A.A. Ressin - M.: Túzok, 2008
3. A számítástechnika matematikai alapjai. Tankönyv /E.V. Andreeva, L.L. Bosova, I.N. Falina - M.: BINOM. Tudáslaboratórium, 2007
4. K. Yu Polyakov számítástechnika tanár előadásának töredékei.

Propozíciós logika , más néven propozíciós logika, a matematika és logika egyik ága, amely az egyszerű vagy elemi állításokból logikai műveletek segítségével felépített összetett állítások logikai formáit vizsgálja.

A propozíciós logika elvonatkoztat az állítások tartalmától, és megvizsgálja azok igazságértékét, vagyis azt, hogy az állítás igaz-e vagy hamis.

A fenti kép a hazug paradoxonként ismert jelenséget szemlélteti. Ugyanakkor a projekt szerzője szerint ilyen paradoxonok csak politikai problémáktól nem mentes környezetben lehetségesek, ahol valakit eleve hazugnak lehet bélyegezni. A természetes többrétegű világban az „igazság” vagy „hamis” alanya csak az egyes állításokat értékeli . És később ebben a leckében bemutatják neked lehetőséget arra, hogy a témával kapcsolatos számos kijelentést saját maga értékelje (majd nézd meg a helyes válaszokat). Beleértve az összetett utasításokat, amelyekben az egyszerűbbeket logikai műveletek jelei kapcsolják össze. De először nézzük meg ezeket a műveleteket magukon az állításokon.

A kijelentéslogikát a számítástechnikában és a programozásban használják logikai változók deklarálása és „hamis” vagy „igaz” logikai értékek hozzárendelése formájában, amelyektől a program további végrehajtásának menete függ. Azokban a kis programokban, ahol csak egy logikai változó szerepel, a logikai változónak gyakran olyan nevet adnak, mint a "zászló", és a jelentése "jelző fel van", amikor a változó értéke "true" és "flag is down" ennek a változónak az értéke "false". A nagy programokban, amelyekben több vagy akár sok logikai változó van, a szakembereknek olyan elnevezéseket kell kitalálniuk a logikai változóknak, amelyeknek van olyan kijelentésformájuk és szemantikai jelentése, amely megkülönbözteti őket a többi logikai változótól, és érthető más szakemberek számára, akik felolvassa ennek a programnak a szövegét.

Így egy „UserRegistered” nevű logikai változó (vagy annak angol nyelvű analógja) deklarálható utasítás formájában, amelyhez „true” logikai értéket rendelhetünk, ha a regisztrációs adatok elküldésének feltételei teljesülnek. a felhasználó által, és ezeket az adatokat a program érvényesnek ismeri el. A további számításoknál a változók értéke a UserRegistered változó logikai értékétől (igaz vagy hamis) függően változhat. Más esetekben egy változóhoz, például „Több mint három nappal hátravan a nap előtt” nevű változóhoz egy bizonyos számítási blokk előtt „True” értéket lehet rendelni, és a program további végrehajtása során ez az érték megadható. mentve vagy „hamis”-ra változtatva, és a további végrehajtás előrehaladása a változó programok értékétől függ.

Ha egy program több logikai változót használ, amelyek neve utasítás formájú, és ezekből összetettebb utasítások épülnek fel, akkor sokkal könnyebb a program fejlesztése, ha a fejlesztés előtt az összes műveletet leírjuk a állításokat az utasításlogikában használt képletek formájában, mint amennyit ebben a leckében teszünk.

Logikai műveletek állításokon

A matematikai állítások esetében mindig lehet választani két különböző alternatíva, az „igaz” és a „hamis” között, de a „verbális” nyelven tett állítások esetében az „igazság” és a „hamis” fogalma valamivel homályosabb. Azonban például az olyan verbális formák, mint a „Menj haza” és „Esik az eső?”, nem kijelentések. Ezért egyértelmű, hogy Az állítások olyan verbális formák, amelyekben valami elhangzik . A kérdő vagy felkiáltó mondatok, a fellebbezések, valamint a kívánságok vagy követelések nem kijelentések. Nem értékelhetők „igaz” és „hamis” értékkel.

Ezzel szemben az állítások olyan mennyiségeknek tekinthetők, amelyek két jelentést kaphatnak: „igaz” és „hamis”.

Például a következő ítéletek születnek: „a kutya állat”, „Párizs Olaszország fővárosa”, „3

Ezen állítások közül az első az „igaz”, a második „hamis”, a harmadik „igaz”, a negyedik pedig „hamis” jellel értékelhető. Az állítások ezen értelmezése a propozíciós algebra tárgya. Az állításokat nagybetűvel fogjuk jelölni A, B, ..., és jelentésük, azaz igaz és hamis, ill ÉSÉs L. A hétköznapi beszédben az „és”, a „vagy” és a többi kijelentés közötti kapcsolatokat használják.

Ezek a kapcsolatok lehetővé teszik a különböző állítások egymással való összekapcsolásával új állítások kialakítását - összetett állítások . Például az összekötő "és". Legyenek az állítások: " π több mint 3" és a " π kevesebb, mint 4". Új - összetett utasítást rendezhet " π több mint 3 és π kevesebb, mint 4". Kijelentés "ha π akkor irracionális π ² is irracionális" két állítás összekapcsolásával kapjuk meg az "if - akkor" kapcsolót. Végül bármely állításból kaphatunk egy újat - egy összetett állítást - az eredeti állítás tagadásával.

Az állításokat jelentést felvevő mennyiségnek tekinteni ÉSÉs L, tovább fogjuk határozni logikai műveletek állításokon , amelyek lehetővé teszik, hogy ezekből az állításokból új összetett állításokat kapjunk.

Legyen két tetszőleges állítás AÉs B.

1 . Az első logikai művelet ezeken az állításokon - a konjunkció - egy új állítás létrehozását jelenti, amelyet jelölni fogunk A ∧ Bés ami akkor és csak akkor igaz AÉs B igazak. A hétköznapi beszédben ez a művelet megfelel az állítások összekapcsolásának az „és” kötőszóval.

Igazságtáblázat a kötőszóhoz:

A	B	A ∧ B
ÉS	ÉS	ÉS
ÉS	L	L
L	ÉS	L
L	L	L

2 . Második logikai művelet állításokon AÉs B- diszjunkció kifejezve A ∨ B, a következőképpen definiálható: akkor és csak akkor igaz, ha az eredeti állítások közül legalább egy igaz. A közönséges beszédben ez a művelet megfelel az állítások összekapcsolásának a „vagy” kötőszóval. Itt azonban van egy nem osztó „vagy”, amely a „vagy vagy” mikor értelemben értendő AÉs B mindkettő nem lehet igaz. A propozíciós logika meghatározásában A ∨ B igaz akkor is, ha csak az egyik állítás igaz, és akkor is, ha mindkét állítás igaz AÉs B.

Igazságtáblázat a diszjunkcióhoz:

A	B	A ∨ B
ÉS	ÉS	ÉS
ÉS	L	ÉS
L	ÉS	ÉS
L	L	L

3 . A harmadik logikai művelet állításokon AÉs B, mint A → B; az így kapott állítás akkor és csak akkor hamis A igaz, de B hamis. A hívott csomaggal , B - következmény , és a nyilatkozat A → B - következő implikációnak is nevezik. A hétköznapi beszédben ez a művelet a „ha-akkor” kötőszónak felel meg: „ha A, Azt B De a propozíciós logika definíciójában ez az állítás mindig igaz, függetlenül attól, hogy az állítás igaz vagy hamis B. Ez a körülmény röviden így fogalmazható meg: „a hamisból minden következik”. Viszont ha A igaz, de B hamis, akkor a teljes állítás A → B hamis. Akkor és csak akkor lesz igaz A, És B igazak. Röviden ezt így lehet megfogalmazni: „az igazból nem következhet hamis”.

Követendő igazságtáblázat (következmény):

A	B	A → B
ÉS	ÉS	ÉS
ÉS	L	L
L	ÉS	ÉS
L	L	ÉS

4 . Az állításokkal, pontosabban egy utasítással kapcsolatos negyedik logikai műveletet egy állítás tagadásának nevezzük Aés ~ jelöli A(nem a ~, hanem a ¬ szimbólum használatát is megtalálhatod, valamint egy felülírást is fent A). ~ A van egy állítás, ami hamis, amikor A igaz, és igaz, amikor A hamis.

Igazságtáblázat a tagadáshoz:

A	~ A
L	ÉS
ÉS	L

5 . Végül pedig az állításokra vonatkozó ötödik logikai műveletet ekvivalenciának nevezzük, és jelöljük A ↔ B. Az eredményül kapott kijelentés A ↔ B egy állítás akkor és csak akkor igaz AÉs B mindkettő igaz vagy mindkettő hamis.

Igazságtáblázat az egyenértékűséghez:

A	B	A → B	B → A	A ↔ B
ÉS	ÉS	ÉS	ÉS	ÉS
ÉS	L	L	ÉS	L
L	ÉS	ÉS	L	L
L	L	ÉS	ÉS	ÉS

A legtöbb programozási nyelvnek speciális szimbólumai vannak az állítások logikai jelentésének jelölésére, szinte minden nyelven igaznak és hamisnak vannak írva.

Foglaljuk össze a fentieket. Propozíciós logika olyan összefüggéseket vizsgál, amelyeket teljesen meghatároz az a mód, ahogyan egyes állítások másokból épülnek fel, ezeket eleminek nevezzük. Ebben az esetben az elemi állításokat egésznek tekintjük, és nem bonthatók részekre.

Rendszerezzük az alábbi táblázatban az állításokon végrehajtott logikai műveletek nevét, jelöléseit és jelentését (hamarosan ismét szükségünk lesz rájuk a példák megoldásához).

Csokor	Kijelölés	Művelet neve
Nem		tagadás
És		kötőszó
vagy		diszjunkció
ha... akkor...		implikáció
akkor és csak akkor		egyenértékűség

Igaz a logikai műveletekre Az algebrai logika törvényei, amely a logikai kifejezések egyszerűsítésére használható. Meg kell jegyezni, hogy a propozíciós logikában az ember elvonatkoztat egy állítás szemantikai tartalmától, és arra korlátozódik, hogy azt abból a pozícióból tekintse, hogy az igaz vagy hamis.

1. példa

1) (2 = 2) ÉS (7 = 7) ;

2) Nem(15;

3) ("fenyő" = "tölgy") VAGY ("Cseresznye" = "juhar");

4) Nem("fenyő" = "tölgy") ;

5) (Nem(15 20) ;

6) ("A szemek láthatják") És ("A harmadik emelet alatt van a második emelet");

7) (6/2 = 3) VAGY (7*5 = 20) .

1) Az első zárójelben lévő állítás jelentése „igaz”, a második zárójelben lévő kifejezés jelentése is igaz. Mindkét állítást az „ÉS” logikai művelet köti össze (a művelet szabályait lásd fent), ezért ennek a teljes állításnak a logikai értéke „igaz”.

2) A zárójelben lévő állítás jelentése „hamis”. Ez előtt az állítás előtt létezik a tagadás logikai művelete, ezért ennek az egész állításnak a logikai jelentése „igaz”.

3) Az első zárójelben lévő állítás jelentése „hamis”, a második zárójelben lévő állítás jelentése is „hamis”. Az állításokat az "OR" logikai művelet köti össze, és egyik állításnak sincs "true" értéke. Ezért ennek az egész állításnak a logikai jelentése „hamis”.

4) A zárójelben lévő állítás jelentése „hamis”. Ezt az állítást a tagadás logikai művelete előzi meg. Ezért ennek az egész állításnak a logikai jelentése „igaz”.

5) A belső zárójelben lévő állítást az első zárójelben tagadjuk. Ennek a belső zárójelben lévő állításnak a jelentése "hamis", ezért tagadása logikai "igaz" jelentésű lesz. A második zárójelben lévő állítás azt jelenti, hogy "hamis". Ezt a két állítást az „ÉS” logikai művelet köti össze, vagyis az „igaz ÉS hamis” eredményt kapjuk. Ezért ennek az egész állításnak a logikai jelentése „hamis”.

6) Az első zárójelben lévő állítás jelentése „igaz”, a második zárójelben lévő állítás jelentése is „igaz”. Ezt a két állítást az „ÉS” logikai művelet köti össze, vagyis megkapjuk az „igaz ÉS igazságot”. Ezért ennek az egész állításnak a logikai jelentése „igaz”.

7) Az első zárójelben szereplő állítás jelentése „igaz”. A második zárójelben szereplő állítás jelentése "hamis". Ezt a két állítást az "OR" logikai művelet köti össze, vagyis az eredmény "igaz VAGY hamis". Ezért ennek az egész állításnak a logikai jelentése „igaz”.

2. példaÍrja le a következő összetett állításokat logikai műveletekkel:

1) „A felhasználó nincs regisztrálva”;

2) „Ma vasárnap van, és néhány alkalmazott dolgozik”;

3) „A felhasználó akkor és csak akkor van regisztrálva, ha a felhasználó által megadott adatok érvényesek.”

1) p- egyetlen utasítás „A felhasználó regisztrálva van”, logikai művelet: ;

2) p- egyetlen kijelentés: „Ma vasárnap van”, q- "Néhány alkalmazott dolgozik", logikai művelet: ;

3) p- egyetlen nyilatkozat „A felhasználó regisztrálva van”, q- „A felhasználó által küldött adatokat érvényesnek találtuk”, logikai művelet: .

Oldjon meg példákat a propozíciós logikára, majd nézze meg a megoldásokat

3. példa Számítsa ki a következő állítások logikai értékeit:

1) ("70 másodperc van egy percben") VAGY ("A futó óra mutatja az időt");

2) (28 > 7) ÉS (300/5 = 60) ;

3) („A TV egy elektromos készülék”) ÉS („Az üveg az fa”);

4) Nem((300 > 100) VAGY ("A szomjat vízzel olthatod"));

5) (75 < 81) → (88 = 88) .

4. példaÍrja le a következő összetett állításokat logikai műveletekkel, és számítsa ki logikai értéküket:

1) „Ha az óra rosszul mutatja az időt, akkor előfordulhat, hogy rosszkor érkezel az órára”;

2) „A tükörben láthatod a tükörképedet és Párizst, az USA fővárosát”;

5. példa Határozza meg egy kifejezés logikai értékét

(p → q) ↔ (r → s) ,

p = "278 > 5" ,

q= "Alma = narancs",

p = "0 = 9" ,

s= "A kalap fedi a fejet".

Propozíciós logikai képletek

Az összetett állítás logikai formájának fogalmát a fogalom segítségével tisztázzuk propozíciós logikai képletek .

Az 1. és 2. példában megtanultunk összetett utasításokat írni logikai műveletek segítségével. Valójában ezeket propozíciós logikai formuláknak nevezik.

Az állítások jelölésére, mint az említett példában, továbbra is a betűket fogjuk használni

p, q, r, ..., p 1 , q 1 , r 1 , ...

Ezek a betűk olyan változók szerepét töltik be, amelyek az „igaz” és a „hamis” igazságértékeket veszik értékként. Ezeket a változókat propozíciós változóknak is nevezik. A továbbiakban hívjuk őket elemi képletek vagy atomok .

A propozíciós logikai képletek elkészítéséhez a fent jelzett betűk mellett logikai műveletek jeleit is használják

~, ∧, ∨, →, ↔,

valamint a képletek egyértelmű olvasásának lehetőségét biztosító szimbólumok - bal és jobb zárójelek.

Koncepció propozíciós logikai képletek definiáljuk a következőképpen:

1) az elemi formulák (atomok) a propozíciós logika képletei;

2) ha AÉs B- propozíciós logikai képletek, majd ~ A , (A ∧ B) , (A ∨ B) , (A → B) , (A ↔ B) a propozíciós logika képletei is;

3) csak azok a kifejezések propozíciós logikai képletek, amelyekre ez következik az 1) és 2).

A propozíciós logikai formula definíciója tartalmazza e képletek kialakításának szabályait. A definíció szerint minden propozíciós logikai formula vagy atom, vagy a 2. szabály következetes alkalmazása eredményeként atomokból jön létre.

6. példa. Hadd p- egyetlen állítás (atom) „Minden racionális szám valós”, q- "Néhány valós szám racionális szám" r- "néhány racionális szám valós." Fordítsa le a következő propozíciós logikai képleteket verbális állítások formájába:

6) .

1) „nincs racionális valós szám”;

2) „ha nem minden racionális szám valós, akkor nincs valós racionális szám”;

3) „ha minden racionális szám valós, akkor néhány valós szám racionális szám, és néhány racionális szám valós”;

4) „minden valós szám racionális szám, és néhány valós szám racionális szám, néhány racionális szám pedig valós szám”;

5) „minden racionális szám akkor és csak akkor valós, ha nem minden racionális szám valós”;

6) „nem az a helyzet, hogy nem minden racionális szám valós, és nincsenek racionális számok, vagy nincsenek valós racionális számok.”

7. példa. Hozzon létre igazságtáblázatot a propozíciós logikai képlethez , amely a táblázatban kijelölhető f .

Megoldás. Az igazságtáblázat összeállítását az egyes állítások (atomok) értékeinek ("igaz" vagy "hamis") rögzítésével kezdjük. p , qÉs r. Az összes lehetséges érték a táblázat nyolc sorába van írva. Továbbá az implikációs művelet értékeinek meghatározásakor és a táblázatban jobbra haladva emlékezzünk arra, hogy az érték egyenlő a „false”-val, amikor a „false” az „igaz”-ból következik.

p	q	r					f
ÉS	ÉS	ÉS	ÉS	ÉS	ÉS	ÉS	ÉS
ÉS	ÉS	L	ÉS	ÉS	ÉS	L	ÉS
ÉS	L	ÉS	ÉS	L	L	L	L
ÉS	L	L	ÉS	L	L	ÉS	ÉS
L	ÉS	ÉS	L	ÉS	L	ÉS	ÉS
L	ÉS	L	L	ÉS	L	ÉS	L
L	L	ÉS	ÉS	ÉS	ÉS	ÉS	ÉS
L	L	L	ÉS	ÉS	ÉS	L	ÉS

Vegyük észre, hogy egyetlen atomnak sincs ~ alakja A , (A ∧ B) , (A ∨ B) , (A → B) , (A ↔ B) . Az összetett képleteknek van ilyen típusa.

A propozíciós logikai képletekben a zárójelek száma csökkenthető, ha ezt elfogadjuk

1) egy összetett képletből kihagyjuk a külső zárójelpárt;

2) rendezzük a logikai műveletek jeleit „elsőbbségi sorrendbe”:

↔, →, ∨, ∧, ~ .

Ebben a listában a ↔ jel rendelkezik a legnagyobb, a ~ jel pedig a legkisebb hatókörrel. A műveleti jel hatóköre a propozíciós logika képletének azon részeire vonatkozik, amelyekre a szóban forgó jel előfordulása vonatkozik (amelyekre hat). Így bármelyik képletből ki lehet hagyni azokat a zárójelpárokat, amelyek visszaállíthatók, figyelembe véve az „elsőbbségi sorrendet”. A zárójelek visszaállításakor pedig először a ~ jel minden előfordulásához kapcsolódó összes zárójel kerül elhelyezésre (balról jobbra haladunk), majd a ∧ jel összes előfordulásához, és így tovább.

8. példa.Állítsa vissza a zárójeleket a propozíciós logikai képletben B ↔ ~ C ∨ D ∧ A .

Megoldás. A zárójelek visszaállítása lépésről lépésre az alábbiak szerint történik:

B ↔ (~ C) ∨ D ∧ A

B ↔ (~ C) ∨ (D ∧ A)

B ↔ ((~ C) ∨ (D ∧ A))

(B ↔ ((~ C) ∨ (D ∧ A)))

Nem minden propozíciós logikai képlet írható fel zárójel nélkül. Például képletekben A → (B → C) és ~( A → B) a zárójelek további kizárása nem lehetséges.

Tautológiák és ellentmondások

A logikai tautológiák (vagy egyszerűen tautológiák) a propozíciós logika képletei, amelyek szerint ha a betűket tetszőlegesen állításokkal (igaz vagy hamis) helyettesítjük, az eredmény mindig igaz állítás lesz.

Mivel az összetett állítások igazsága vagy hamissága csak a jelentésétől függ, és nem az állítások tartalmától, amelyek mindegyike egy-egy betűnek felel meg, így annak ellenőrzése, hogy egy adott állítás tautológia-e, a következő módon végezhető el. A vizsgált kifejezésben az 1 és a 0 (illetve „igaz” és „hamis”) értékeket minden lehetséges módon helyettesítjük a betűkkel, és a kifejezések logikai értékeit logikai műveletekkel számítjuk ki. Ha ezek az értékek 1-gyel egyenlőek, akkor a vizsgált kifejezés tautológia, és ha legalább egy helyettesítés 0-t ad, akkor ez nem tautológia.

Így egy propozíciós logikai képlet, amely az „igaz” értéket veszi fel az ebben a képletben szereplő atomok értékeinek bármely eloszlására, az ún. azonos a valódi képlettel vagy tautológia .

Az ellenkező jelentés logikai ellentmondás. Ha az állítások összes értéke 0, akkor a kifejezés logikai ellentmondás.

Így egy propozíciós logikai képlet, amely a „hamis” értéket veszi fel az ebben a képletben szereplő atomok értékeinek bármely eloszlására, az ún. azonosan hamis képlet vagy ellentmondás .

A tautológiákon és a logikai ellentmondásokon kívül vannak olyan propozíciós logikai képletek, amelyek sem nem tautológiák, sem nem ellentmondások.

9. példa. Készítsen igazságtáblázatot egy propozíciós logikai képlethez, és határozza meg, hogy tautológia, ellentmondás vagy egyik sem.

Megoldás. Készítsünk igazságtáblázatot:

ÉS	ÉS	ÉS	ÉS	ÉS
ÉS	L	L	L	ÉS
L	ÉS	L	ÉS	ÉS
L	L	L	L	ÉS

Az implikáció jelentései között nem találunk olyan sort, amelyben az „igaz”-ból „hamis” következne. Az eredeti állítás összes értéke egyenlő az "igaz" értékkel. Következésképpen a propozíciós logika ezen formulája tautológia.

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete