Téglalap alakú háromszög prizma tulajdonságai. Szabályos prizma tulajdonságai

Általános információk az egyenes prizmáról

A prizma oldalfelületét (pontosabban az oldalfelületét) ún összeg oldalfelületek területei. A prizma teljes felülete egyenlő az oldalfelület és az alapok területeinek összegével.

19.1. Tétel. Az egyenes prizma oldalfelülete egyenlő az alap kerületének és a prizma magasságának szorzatával, azaz az oldalél hosszával.

Bizonyíték. Az egyenes prizma oldallapjai téglalapok. Ezeknek a téglalapoknak az alapja a sokszög oldalai, amelyek a prizma alapjában helyezkednek el, és a magasságuk megegyezik az oldalélek hosszával. Ebből következik, hogy a prizma oldalfelülete egyenlő

S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,

ahol a 1 és n az alapélek hossza, p a prizma alapjának kerülete, I pedig az oldalélek hossza. A tétel bizonyítást nyert.

Gyakorlati feladat

Probléma (22) . Ferde prizmában hajtják végre szakasz, merőleges az oldalbordákra és metszi az összes oldalbordát. Határozzuk meg a prizma oldalfelületét, ha a keresztmetszeti kerülete egyenlő p-vel és az oldalélek egyenlőek l-lel.

Megoldás. A megrajzolt metszet síkja a prizmát két részre osztja (411. ábra). Vegyünk egyet párhuzamos fordításnak, kombinálva a prizma alapjait. Ebben az esetben egy egyenes prizmát kapunk, melynek alapja az eredeti prizma keresztmetszete, oldalélei pedig l-el egyenlők. Ennek a prizmának az oldalfelülete megegyezik az eredetivel. Így az eredeti prizma oldalfelülete egyenlő pl.

Az érintett téma összefoglalása

Most próbáljuk meg összefoglalni a prizmákkal kapcsolatos témát, és emlékezzünk arra, hogy milyen tulajdonságai vannak a prizmának.

A prizma tulajdonságai

Először is, a prizmának minden alapja egyenlő sokszög;
Másodszor, egy prizmában az összes oldallapja paralelogramma;
Harmadszor, egy ilyen sokoldalú ábrán, mint egy prizma, minden oldalél egyenlő;

Emlékeztetni kell arra is, hogy a poliéderek, például a prizmák lehetnek egyenesek vagy ferdeek.

Melyik prizmát nevezzük egyenes prizmának?

Ha egy prizma oldaléle merőleges az alapja síkjára, akkor az ilyen prizmát egyenesnek nevezzük.

Nem lenne felesleges felidézni, hogy az egyenes prizma oldallapjai téglalapok.

Milyen típusú prizmát nevezünk ferde prizmának?

De ha egy prizma oldaléle nem merőleges az alapja síkjára, akkor nyugodtan mondhatjuk, hogy ferde prizma.

Melyik prizmát nevezzük helyesnek?

Ha egy szabályos sokszög egy egyenes prizma alapjában fekszik, akkor az ilyen prizma szabályos.

Most pedig emlékezzünk a szabályos prizmák tulajdonságaira.

Szabályos prizma tulajdonságai

Először is, a szabályos sokszögek mindig egy szabályos prizma alapjaként szolgálnak;
Másodszor, ha figyelembe vesszük egy szabályos prizma oldallapjait, akkor ezek mindig egyenlő téglalapok;
Harmadszor, ha összehasonlítja az oldalbordák méretét, akkor egy szabályos prizmában mindig egyenlőek.
Negyedszer, a helyes prizma mindig egyenes;
Ötödször, ha egy szabályos prizmában az oldallapok négyzet alakúak, akkor az ilyen alakzatot általában félig szabályos sokszögnek nevezik.

Prizma keresztmetszete

Most nézzük a prizma keresztmetszetét:

Házi feladat

Most próbáljuk meg a tanult témát problémák megoldásával megszilárdítani.

Rajzoljunk egy ferde háromszög alakú prizmát, amelynek élei közötti távolság: 3 cm, 4 cm és 5 cm, ennek a prizmának az oldalfelülete pedig 60 cm2 lesz. Ezen paraméterek birtokában keresse meg ennek a prizmának az oldalélét.

Tudja-e, hogy a geometriai alakzatok folyamatosan körülvesznek bennünket, nemcsak a geometria órákon, hanem a mindennapi életben is vannak olyan tárgyak, amelyek egy-egy geometrikus alakra hasonlítanak.

Minden otthonban, iskolában vagy munkahelyen van egy számítógép, amelynek rendszeregysége egyenes prizma alakú.

Ha felvesz egy egyszerű ceruzát, látni fogja, hogy a ceruza fő része egy prizma.

A város központi utcáján sétálva látjuk, hogy a lábunk alatt hatszögletű hasáb alakú cserép hever.

A. V. Pogorelov, Geometria 7-11. osztályosoknak, Tankönyv oktatási intézmények számára

A párhuzamos síkban fekvő ABCDE és FHKMP sokszögeket a prizma alapjainak, az alap bármely pontjáról egy másik síkjába süllyesztett OO 1 merőlegest a prizma magasságának nevezzük. Az ABHF, BCKH paralelogrammák stb. a prizma oldallapjainak, az alapok megfelelő csúcsait összekötő SC, DM stb. oldalaikat pedig oldaléleknek nevezzük. A prizmában az összes oldalél egyenlő egymással párhuzamos síkok közé zárt párhuzamos egyenesek szakaszaiként.
A prizmát egyenesnek nevezzük ( 282. ábra, b) vagy ferde ( 282,c ábra) attól függően, hogy oldalbordái merőlegesek vagy ferdeek az alapokhoz képest. Az egyenes prizma téglalap alakú oldalfelületekkel rendelkezik. Az oldalsó él egy ilyen prizma magasságának tekinthető.
A derékszögű prizmát szabályosnak nevezzük, ha alapjai szabályos sokszögek. Egy ilyen prizmában minden oldallap egyenlő téglalap.
A prizma összetett rajzon való ábrázolásához ismernie kell és tudnia kell ábrázolni azokat az elemeket, amelyekből áll (pont, egyenes vonal, lapos ábra).
és képük az összetett rajzban (283. ábra, a - i)

a) Prizma összetett rajza. A prizma alapja a P 1 vetítési síkon található; a prizma egyik oldallapja párhuzamos a P 2 vetítési síkkal.
b) A DEF prizma alsó alapja egy lapos alak - egy szabályos háromszög, amely a P 1 síkban található; a DE háromszög oldala párhuzamos az x tengellyel 12 - A vízszintes vetület összeolvad az adott alappal, és ezért megegyezik a természetes méretével; A frontális vetület összeolvad az x 12 tengellyel, és egyenlő a prizma alapjának oldalával.
c) Az ABC prizma felső alapja egy lapos ábra - egy vízszintes síkban elhelyezkedő háromszög. A vízszintes vetület összeolvad az alsó alap vetületével és lefedi azt, mivel a prizma egyenes; frontális vetítés - egyenes, párhuzamos az x 12 tengellyel, a prizma magasságától távol.
d) Az ABED prizma oldallapja egy lapos alakzat - egy téglalap, amely a frontális síkban fekszik. Frontális vetítés - az arc természetes méretével megegyező téglalap; A vízszintes vetítés a prizma alapjának oldalával egyenlő egyenes.
e) és f) Az ACFD és CBEF prizmák oldallapjai lapos alakzatok - téglalapok, amelyek vízszintes vetületi síkban helyezkednek el, és 60°-os szöget zárnak be a P 2 vetítési síkkal. A vízszintes vetületek egyenes vonalak, amelyek az x 12 tengelyhez képest 60°-os szöget zárnak be, és megegyeznek a prizma alapja oldalainak természetes méretével; A frontális vetületek olyan téglalapok, amelyek képei kisebbek az életnagyságnál: minden téglalap két oldala megegyezik a prizma magasságával.
g) A prizma AD éle egy egyenes, merőleges a P 1 vetítési síkra. Vízszintes vetítés - pont; frontális - egyenes, merőleges az x 12 tengelyre, egyenlő a prizma oldalsó élével (prizma magassága).
h) A felső alap AB oldala egyenes, párhuzamos a P 1 és P 2 síkkal. A vízszintes és frontális vetületek egyenesek, párhuzamosak az x 12 tengellyel és egyenlőek a prizma adott alapjának oldalával. A frontális vetület az x 12 tengelytől a prizma magasságával egyenlő távolságra van.
i) A prizma csúcsai. E pont - az alsó alap teteje a P 1 síkon található. A vízszintes vetület magával a ponttal esik egybe; frontális - az x 12 tengelyen fekszik a C pont - a felső alap teteje - a térben található. A vízszintes vetítésnek mélysége van; frontális - magassága megegyezik ennek a prizmának a magasságával.
Ez a következőket jelenti: Bármely poliéder tervezésekor gondolatban fel kell osztani alkotóelemeire, és meg kell határozni az ábrázolás sorrendjét, amely egymást követő grafikus műveletekből áll. A 284. és 285. ábra a prizmák összetett rajzának és vizuális ábrázolásának (axonometriájának) végrehajtásakor szekvenciális grafikus műveletekre mutat be példákat.
(284. ábra).

Adott:
1. Az alap a P 1 vetítési síkon található.
2. Az alap egyik oldala sem párhuzamos a 12 x tengellyel.
I. Összetett rajz.
Én, a.
Megtervezzük az alsó alapot - egy sokszöget, amely feltétel szerint a P1 síkban fekszik.
én, b.
Megtervezzük a felső alapot - az alsó alappal megegyező sokszöget, amelynek oldalai párhuzamosak az alsó alappal, az alsó alaptól az adott prizma H magasságával elválasztva.
I, c.
Megtervezzük a prizma oldaléleit - párhuzamosan elhelyezkedő szegmenseket; vízszintes vetületeik az alapok csúcsainak vetületeivel összeolvadó pontok; frontális - szegmensek (párhuzamos), amelyek az azonos nevű alapok csúcsainak vetületeinek egyenes vonalakkal történő összekapcsolásából származnak. A bordák elülső vetületei, amelyeket az alsó alap B és C csúcsainak vetületeiből rajzoltak ki, szaggatott vonalak láthatatlanként ábrázolják.
én, g. Adott: az F pont F 1 vízszintes vetülete a felső alapon és a K pont K 2 frontális vetülete az oldallapon. Meg kell határozni a második vetületük helyét. Az F ponthoz. Az F pont második (frontális) F 2 vetülete egybeesik a felső alap vetületével, mint ennek az alapnak a síkjában fekvő pontjával; helyét a függőleges kommunikációs vonal határozza meg.
A vetületeken feltárulnak a kiépítés kialakításához szükséges lapok alapjainak és oldalainak természetes méretei; építünk rájuk; Egy egyenes vonalon egymás után ábrázoljuk a sokszög AB, BC, CD, DE és EA oldalait - a prizma alapjait a vízszintes vetületből. Az A, B, C, D, E és A pontokból húzott merőlegeseken ábrázoljuk ennek a prizmának a frontális vetületből vett H magasságát, és a jeleken keresztül húzunk egy egyenest. Ennek eredményeként megkapjuk a prizma oldallapjainak letapogatását.
Ha ehhez a kifejlődéshez csatoljuk a prizma alapjait, akkor a prizma teljes felületének kifejlődését kapjuk. A prizma alapjait háromszögelési módszerrel kell a megfelelő oldalfelülethez rögzíteni.
A prizma felső alján az R és R 1 sugarak segítségével meghatározzuk az F pont helyét, az oldallapon pedig az R 3 és H 1 sugár segítségével a K pontot.
III. A prizma vizuális ábrázolása dimetriában.
III, a.
A prizma alsó alapját az A, B, C, D és E pontok koordinátái szerint ábrázoljuk (284. ábra I, a).
III, b.
A felső alapot az alsóval párhuzamosan ábrázoljuk, attól távol, a prizma H magasságával.
III, c.
Az oldaléleket úgy ábrázoljuk, hogy az alapok megfelelő csúcsait egyenes vonalakkal összekötjük. Meghatározzuk a prizma látható és láthatatlan elemeit, és a megfelelő vonalakkal körvonalazzuk,

Adott:
III, d Meghatározzuk az F és K pontokat a prizma felületén - az F pontot a felső alapon határozzuk meg i és e méretekkel; K pont - az oldalsó felületen i 1 és H" segítségével.
A prizma izometrikus képéhez és az F és K pontok helyének meghatározásához ugyanezt a sorrendet kell követni.
285. ábra).
I. Összetett rajz.
1. Az alap a P 1 síkon található.
2. Az oldalbordák párhuzamosak a P 2 síkkal.
3. Az alap egyik oldala sem párhuzamos az x 12 tengellyel
Én, a.
I, g Adott a Q pont Q 2 frontális vetülete az oldallap A 2 K 2 F 2 D 2 vetületére; meg kell találnia a vízszintes vetületét. Ehhez húzzon egy segédvonalat a prizmalap A 2 K 2 F 2 D 2 vetületében a Q 2 ponton keresztül, párhuzamosan ennek a lapnak az oldaléleivel. Megkeressük a segédvonal vízszintes vetületét, és ezen egy függőleges összekötő vonal segítségével meghatározzuk a Q pont kívánt Q 1 vízszintes vetületének helyét.
II. Prizma felületfejlesztés.
A vízszintes vetületen az alap oldalainak természetes, a frontális vetületen a bordák méreteinek birtokában lehetőség nyílik egy adott prizma felületének teljes kidolgozására.
Megforgatjuk a prizmát, minden alkalommal az oldalél körül forgatva, majd a prizma minden oldalfelülete a síkon a természetes méretével megegyező nyomot (párhuzamot) hagy. Az oldalszkennelést a következő sorrendben készítjük el:
a) az A 2, B 2, D 2 pontokból. . . E 2 (az alapok csúcsainak frontális vetületei) a bordák vetületeire merőleges segédegyeneseket rajzolunk;
b) R sugarú (amely megegyezik a CD alaplap oldalával) a D pontban egy bevágást készítünk a D2 pontból húzott segédegyenesen; a C 2 és D egyenes pontok összekapcsolásával, valamint az E 2 C 2 és C 2 D-vel párhuzamos egyenesek húzásával megkapjuk a CEFD oldallapot;
c) majd a következő oldallapok hasonló elrendezésével megkapjuk a prizma oldallapjainak kidolgozását. A prizma felületének teljes kidolgozásához rögzítjük az alap megfelelő felületeihez.
III. A prizma vizuális ábrázolása izometriában.
III, a.

A prizma alsó alapját és a CE élt ábrázoljuk a (

1. A tetraédernek van a legkisebb élszáma - 6.

2. Egy prizmának n lapja van. Melyik sokszög van az alapjában?

(n - 2) - négyzet.

3. Egyenes-e egy prizma, ha két szomszédos oldallapja merőleges az alap síkjára?

Igen, ez az.

4. Melyik prizmában az oldalélek párhuzamosak a magasságával?

Egyenes prizmában.

5. Szabályos-e egy prizma, ha minden éle egyenlő egymással?

Nem, lehet, hogy nem közvetlen.

6. Lehet-e egy ferde prizma egyik oldallapjának magassága a prizma magassága is?

Igen, ha ez az oldal merőleges az alapra.

7. Létezik-e olyan prizma, amelyben: a) az oldalél csak az alap egyik élére merőleges; b) csak az egyik oldallap merőleges az alapra?

8. A szabályos háromszög alakú prizmát az alapok középvonalain átmenő sík két prizmára osztja. Mennyi ezeknek a prizmáknak az oldalfelületeinek aránya?

A 27. tétel alapján azt találjuk, hogy az oldalfelületek aránya 5:3

9. Szabályos lesz-e a piramis, ha oldallapjai szabályos háromszögek?

10. Hány lapja lehet egy piramisnak az alap síkjára merőlegesen?

11. Van-e olyan négyszögletű gúla, amelynek szemközti oldalai merőlegesek az alapra?

Nem, különben legalább két egyenes haladna át a piramis tetején, merőlegesen az alapokra.

12. Lehet-e egy háromszög alakú piramis összes lapja derékszögű háromszög?

Igen (183. ábra).

Poliéder

A sztereometria kutatásának fő tárgya a térbeli testek. Test a térnek egy bizonyos felület által határolt részét képviseli.

Poliéder olyan test, amelynek felülete véges számú lapos sokszögből áll. Egy poliédert konvexnek nevezünk, ha felületén minden sík sokszög síkjának egyik oldalán helyezkedik el. Egy ilyen sík és egy poliéder felületének közös részét ún él. A konvex poliéder lapjai lapos konvex sokszögek. Az arcok oldalait ún a poliéder élei, és a csúcsok a poliéder csúcsai.

Például egy kocka hat négyzetből áll, amelyek a lapjai. 12 élt (a négyzetek oldalát) és 8 csúcsot (a négyzetek tetejét) tartalmaz.

A legegyszerűbb poliéderek a prizmák és a piramisok, amelyeket tovább fogunk vizsgálni.

Prizma

A prizma meghatározása és tulajdonságai

Prizma egy poliéder, amely két párhuzamos síkban elhelyezkedő sík sokszögből áll, amelyeket párhuzamos transzláció kombinál, és ezeknek a sokszögeknek a megfelelő pontjait összekötő összes szakaszból. A sokszögeket hívják prizma alapok, és a sokszögek megfelelő csúcsait összekötő szakaszok a prizma oldalsó élei.

Prizma magassága alapjai síkjai közötti távolságnak nevezzük (). A prizma két, nem ugyanahhoz a laphoz tartozó csúcsát összekötő szakaszt nevezzük prizma átlós(). A prizmát ún n-szén, ha az alapja n-szöget tartalmaz.

Bármely prizma a következő tulajdonságokkal rendelkezik, abból a tényből adódóan, hogy a prizma alapjait párhuzamos fordítással kombinálják:

1. A prizma alapjai egyenlők.

2. A prizma oldalélei párhuzamosak és egyenlőek.

A prizma felülete alapokból és oldalsó felület. A prizma oldalfelülete paralelogrammákból áll (ez a prizma tulajdonságaiból következik). A prizma oldalfelületének területe az oldallapok területének összege.

Egyenes prizma

A prizmát ún egyenes, ha oldalélei merőlegesek az alapokra. Ellenkező esetben a prizmát hívják hajlamos.

A derékszögű prizma lapjai téglalapok. Egy egyenes prizma magassága megegyezik az oldallapjaival.

Teljes prizma felület az oldalfelületek és az alapok területének összegének nevezzük.

A megfelelő prizmával derékszögű prizmának nevezzük, amelynek alapjában szabályos sokszög található.

13.1. Tétel. Az egyenes prizma oldalfelületének területe megegyezik a prizma kerületének és magasságának szorzatával (vagy, ami megegyezik, az oldalsó élével).

Bizonyíték. A derékszögű prizma oldallapjai téglalapok, amelyek alapjai a prizma alapjain lévő sokszögek oldalai, a magasságok pedig a prizma oldalélei. Ekkor definíció szerint az oldalfelület:

,

ahol az egyenes prizma alapjának kerülete.

Paralelepipedon

Ha egy prizma alapjain paralelogrammák fekszenek, akkor az ún paralelepipedon. A paralelepipedon minden lapja paralelogramma. Ebben az esetben a paralelepipedon szemközti oldalai párhuzamosak és egyenlőek.

13.2. Tétel. A paralelepipedon átlói egy pontban metszik egymást, és a metszésponttal kettéosztják.

Bizonyíték. Vegyünk például két tetszőleges átlót, és . Mert a paralelepipedon lapjai paralelogrammák, akkor és , ami azt jelenti, hogy To szerint van két egyenes párhuzamos a harmadikkal. Ezen túlmenően ez azt jelenti, hogy az egyenes vonalak és a fekszenek ugyanabban a síkban (síkban). Ez a sík párhuzamos síkokat metszi és párhuzamos egyenesek mentén és . Így a négyszög paralelogramma, és a paralelogramma tulajdonsága alapján az átlói metszik egymást, és a metszésponttal kettéosztják, amit bizonyítani kellett.

Olyan derékszögű paralelepipedont nevezünk, amelynek alapja téglalap téglalap alakú paralelepipedon. A téglalap alakú paralelepipedon minden lapja téglalap. A téglalap alakú paralelepipedon nem párhuzamos éleinek hosszát lineáris méreteinek (dimenzióknak) nevezzük. Három ilyen méret létezik (szélesség, magasság, hosszúság).

13.3. Tétel. Egy téglalap alakú paralelepipedonban bármely átló négyzete egyenlő a három dimenziójának négyzeteinek összegével (a Pythagorean T kétszeri alkalmazásával bizonyítva).

Olyan téglalap alakú paralelepipedont nevezünk, amelynek minden éle egyenlő kocka.

Feladatok

13.1 Hány átlója van? n-szén prizma

13.2 Egy ferde háromszög prizmában az oldalélek távolsága 37, 13 és 40. Határozza meg a nagyobb oldalél és a szemközti oldalél közötti távolságot!

13.3 Egy szabályos háromszög alakú prizma alsó alaplapjának oldalán egy síkot húzunk, amely metszi az oldallapokat szegmensek mentén, köztük szöget zárva. Határozza meg ennek a síknak a dőlésszögét a prizma alapjához képest.

A különböző prizmák különböznek egymástól. Ugyanakkor sok a közös bennük. A prizma alapterületének meghatározásához meg kell értenie, hogy milyen típusú.

Általános elmélet

Prizma minden olyan poliéder, amelynek oldalai paralelogramma alakúak. Sőt, alapja bármilyen poliéder lehet - a háromszögtől az n-szögig. Ráadásul a prizma alapjai mindig egyenlőek egymással. Ami nem vonatkozik az oldalfelületekre, az az, hogy méretük jelentősen eltérhet.

A problémák megoldása során nem csak a prizma alapterületével találkozunk. Szükség lehet az oldalsó felület ismeretére, vagyis minden olyan lapra, amely nem alap. A teljes felület a prizmát alkotó összes lap egyesülése lesz.

Néha a problémák a magassággal kapcsolatosak. Az alapokra merőleges. A poliéder átlója egy olyan szakasz, amely páronként összeköt két olyan csúcsot, amelyek nem tartoznak ugyanahhoz a laphoz.

Meg kell jegyezni, hogy az egyenes vagy ferde prizma alapterülete nem függ a köztük és az oldallapok közötti szögtől. Ha ugyanazok az ábrák vannak a felső és az alsó oldalon, akkor területük egyenlő lesz.

Háromszög prizma

Az alján egy három csúcsú alak, azaz egy háromszög van. Mint tudod, lehet másképp is. Ha igen, akkor elég megjegyezni, hogy a területét a lábak szorzatának fele határozza meg.

A matematikai jelölés így néz ki: S = ½ av.

Az alap területének általános meghatározásához hasznosak a képletek: Gém és az, amelyikben az oldal felét a hozzá húzott magasság veszi.

Az első képletet a következőképpen kell felírni: S = √(р (р-а) (р-в) (р-с)). Ez a jelölés egy fél kerületet (p) tartalmaz, azaz három oldal összegét osztva kettővel.

Második: S = ½ n a * a.

Ha szeretné megtudni egy háromszög alakú prizma alapterületét, amely szabályos, akkor a háromszög egyenlő oldalú. Van rá egy képlet: S = ¼ a 2 * √3.

Négyszögletű prizma

Alapja az ismert négyszögek bármelyike. Lehet téglalap vagy négyzet, paralelepipedon vagy rombusz. A prizma alapterületének kiszámításához minden esetben saját képletre lesz szüksége.

Ha az alap téglalap, akkor területét a következőképpen határozzuk meg: S = ab, ahol a, b a téglalap oldalai.

Ha négyszögű prizmáról van szó, a szabályos prizma alapterületét a négyzet képletével számítják ki. Mert ő az, aki az alapoknál fekszik. S = a 2.

Abban az esetben, ha az alap paralelepipedon, a következő egyenlőségre lesz szükség: S = a * n a. Előfordul, hogy egy paralelepipedon oldala és az egyik szög adott. Ezután a magasság kiszámításához egy további képletet kell használnia: n a = b * sin A. Ezenkívül az A szög szomszédos a „b” oldallal, és az n magasság ezzel a szöggel ellentétes.

Ha a prizma alján rombusz van, akkor a területének meghatározásához ugyanarra a képletre lesz szükség, mint a paralelogrammánál (mivel ez egy speciális eset). De ezt is használhatod: S = ½ d 1 d 2. Itt d 1 és d 2 a rombusz két átlója.

Szabályos ötszögletű prizma

Ebben az esetben a sokszöget háromszögekre osztjuk, amelyek területét könnyebb kideríteni. Bár előfordul, hogy a figuráknak különböző számú csúcsa lehet.

Mivel a prizma alapja szabályos ötszög, öt egyenlő oldalú háromszögre osztható. Ezután a prizma alapterülete egyenlő egy ilyen háromszög területével (a képlet fent látható), megszorozva öttel.

Szabályos hatszögletű prizma

Az ötszögletű prizmánál leírt elv szerint az alap hatszöge 6 egyenlő oldalú háromszögre osztható. Az ilyen prizma alapterületének képlete hasonló az előzőhöz. Csak azt kell hattal szorozni.

A képlet így fog kinézni: S = 3/2 a 2 * √3.

Feladatok

1. sz. Adott egy szabályos egyenes, az átlója 22 cm, a poliéder magassága 14 cm. Számítsa ki a prizma alapterületét és a teljes felületet.

Megoldás. A prizma alapja négyzet, oldala azonban ismeretlen. Értékét a négyzet átlójából (x), amely a prizma átlójához (d) és magasságához (h) viszonyít. x 2 = d 2 - n 2. Másrészt ez az „x” szakasz egy olyan háromszög hipotenusza, amelynek lábai egyenlők a négyzet oldalával. Vagyis x 2 = a 2 + a 2. Így kiderül, hogy a 2 = (d 2 - n 2)/2.

Cserélje be a d helyett a 22-es számot, és cserélje ki az „n”-et annak értékére - 14, akkor kiderül, hogy a négyzet oldala 12 cm Most csak megtudja az alap területét: 12 * 12 = 144 cm 2.

A teljes felület területének meghatározásához hozzá kell adni az alapterület kétszeresét, és négyszereznie kell az oldalfelületet. Ez utóbbi könnyen megtalálható a téglalap képletével: szorozzuk meg a poliéder magasságát és az alap oldalát. Vagyis 14 és 12, ez a szám 168 cm 2 lesz. A prizma teljes felülete 960 cm2.

Válasz. A prizma alapfelülete 144 cm2. A teljes felület 960 cm2.

2. sz. Adott Az alapnál egy 6 cm-es oldalfelület található. Ebben az esetben az oldallap átlója 10 cm. Számítsa ki a területeket: az alap és az oldalfelület.

Megoldás. Mivel a prizma szabályos, az alapja egy egyenlő oldalú háromszög. Ezért a területe egyenlő a 6 négyzetével, megszorozva ¼-vel és 3 négyzetgyökével. Egyszerű számítással a következő eredményt kapjuk: 9√3 cm 2. Ez a prizma egyik alapterülete.

Minden oldallap egyforma, és téglalapok, amelyek oldalai 6 és 10 cm-esek A területük kiszámításához csak szorozza meg ezeket a számokat. Majd szorozd meg hárommal, mert a prizmának pontosan ennyi oldallapja van. Ezután a seb oldalsó felületének területe 180 cm 2 -nek bizonyul.

Válasz. Területek: alap - 9√3 cm 2, a prizma oldalfelülete - 180 cm 2.