Logaritmikus egyenletek megoldása logaritmus módszerrel. Logaritmikus egyenletek! A Shkolkovo oktatási portál segítségével sikeresen teljesítse a minősítési tesztet

Algebra 11. évfolyam

Téma: „Logaritmikus egyenletek megoldási módszerei”

Az óra céljai:

nevelési: ismeretek fejlesztése a logaritmikus egyenletek megoldásának különböző módjairól, azok alkalmazásának képessége az egyes helyzetekben, és bármilyen megoldási mód kiválasztása;

fejlesztés: képességek fejlesztése az ismeretek megfigyelésére, összehasonlítására, új helyzetben történő alkalmazására, minták azonosítására, általánosításra; a kölcsönös kontroll és önkontroll készségeinek fejlesztése;

nevelési: az oktató-nevelő munkához való felelősségteljes hozzáállás, a tanórai anyag figyelmes felfogása, gondos jegyzetelés elősegítése.

Az óra típusa : lecke az új anyag bevezetéséről.

"A logaritmusok feltalálása, miközben csökkentette a csillagász munkáját, meghosszabbította életét."
francia matematikus és csillagász P.S. Laplace

Az órák alatt

I. Az óra céljának kitűzése

A vizsgált logaritmus definíció, a logaritmusok tulajdonságai és a logaritmikus függvény lehetővé teszi logaritmikus egyenletek megoldását. Minden logaritmikus egyenletet, bármilyen bonyolult is, egységes algoritmusok segítségével oldanak meg. A mai leckében ezeket az algoritmusokat nézzük meg. Nem sok van belőlük. Ha elsajátítja őket, akkor bármelyik logaritmusos egyenlet megvalósítható lesz mindannyiótok számára.

Írd le a lecke témáját a füzetedbe: „Logaritmikus egyenletek megoldási módszerei”. Mindenkit együttműködésre hívok.

II. Referencia ismeretek frissítése

Készüljünk fel az óra témájának tanulmányozására. Minden feladatot megoldasz, és leírod a választ; nem kell leírnod ​​a feltételt. Párokban dolgozni.

1) Milyen x értékei esetén van értelme a függvénynek:

A)

b)

V)

d)

(A válaszokat minden diánál ellenőrizzük, a hibákat pedig kiszűrjük)

2) Egybeesnek-e a függvények grafikonjai?

a) y = x és

b)És

3) Írja át az egyenlőségeket logaritmikus egyenlőségekké:

4) Írja fel a számokat logaritmusként 2-es bázissal:

4 =

2 =

0,5 =

1 =

5) Számítsa ki :

6) Próbálja meg helyreállítani vagy kiegészíteni a hiányzó elemeket ezekben az egyenlőségekben.

III. Bevezetés az új anyagba

A következő állítás jelenik meg a képernyőn:

"Az egyenlet az arany kulcs, amely minden matematikai szezámot megnyit."
S. Kowal modern lengyel matematikus

Próbáld meg megfogalmazni a logaritmikus egyenlet definícióját. (Ismeretlent tartalmazó egyenlet a logaritmusjel alatt ).

Mérlegeljüka legegyszerűbb logaritmikus egyenlet: log A x = b (ahol a>0, a ≠ 1). Mivel a logaritmikus függvény növekszik (vagy csökken) a pozitív számok halmazán, és felveszi az összes valós értéket, akkor a gyöktételből az következik, hogy bármely b esetén ennek az egyenletnek van, és csak egy, megoldása és pozitív.

Emlékezzen a logaritmus definíciójára. (Az x szám logaritmusa az a bázishoz annak a hatványnak a mutatója, amelyre az a bázist fel kell emelni, hogy megkapjuk az x számot ). A logaritmus definíciójából rögtön az következikA V ilyen megoldás.

Írd le a címet:Logaritmikus egyenletek megoldási módszerei

1. A logaritmus definíciója szerint .

Így oldódnak meg az alak legegyszerűbb egyenletei.

MérlegeljükNo. 514(a) ): Oldja meg az egyenletet

Hogyan javasolja a megoldást? (A logaritmus definíciója szerint )

Megoldás . , így 2x – 4 = 4; x = 4.

Válasz: 4.

Ebben a feladatban 2x – 4 > 0, hiszen> 0, így nem jelenhetnek meg idegen gyökök, ésnem kell ellenőrizni . Ebben a feladatban nem kell kiírni a 2x – 4 > 0 feltételt.

2. Potencizálás (átmenet egy adott kifejezés logaritmusáról magára a kifejezésre).

Mérlegeljük519(g): log 5 ( x 2 +8)- log 5 ( x+1)=3 log 5 2

Milyen tulajdonságot vettél észre?(Az alapok azonosak és a két kifejezés logaritmusa egyenlő) . Mit lehet tenni?(Potencizálni).

Figyelembe kell venni, hogy minden olyan megoldás benne van az összes x között, amelyre a logaritmikus kifejezések pozitívak.

Megoldás: ODZ:

x 2 +8>0 szükségtelen egyenlőtlenség

log 5 ( x 2 +8) = log 5 2 3 + log 5 ( x+1)

log 5 ( x 2 +8)= log 5 (8 x+8)

Potencírozzuk az eredeti egyenletet

x 2 +8= 8 x+8

megkapjuk az egyenletetx 2 +8= 8 x+8

Oldjuk meg:x 2 -8 x=0

x=0, x=8

Válasz: 0; 8

Általábanegyenértékű rendszerre való átállás :

Az egyenlet

(A rendszer redundáns feltételt tartalmaz – az egyik egyenlőtlenséget nem kell figyelembe venni).

Kérdés az osztályhoz : A három megoldás közül melyik tetszett a legjobban? (Módszerek megbeszélése).

Jogod van bármilyen módon dönteni.

3. Új változó bevezetése .

MérlegeljükNo. 520(g) . .

mit vettél észre? (Ez egy másodfokú egyenlet a log3x-hez képest) Az Ön javaslatai? (Új változó bevezetése)

Megoldás . ODZ: x > 0.

Hadd, akkor az egyenlet a következő alakot veszi fel:. Diszkriminans D > 0. Gyökerek Vieta tétele szerint:.

Térjünk vissza a cseréhez:vagy.

A legegyszerűbb logaritmikus egyenletek megoldása után a következőt kapjuk:

; .

Válasz : 27;

4. Logaritálja az egyenlet mindkét oldalát!

Oldja meg az egyenletet:.

Megoldás : ODZ: x>0, vegyük a 10. bázis egyenletének mindkét oldalának logaritmusát:

. Alkalmazzuk egy hatvány logaritmusának tulajdonságát:

(lgx + 3) lgx =

(logx + 3) logx = 4

Legyen logx = y, akkor (y + 3)y = 4

, (D > 0) gyökök Vieta tétele szerint: y1 = -4 és y2 = 1.

Térjünk vissza a cseréhez, ezt kapjuk: lgx = -4,; logx = 1,. . Ez a következő: ha az egyik funkció y = f(x) növekszik, és a másik y = g(x) csökken az X intervallumon, majd az egyenlet f(x)= g(x) legfeljebb egy gyöke van az X intervallumon .

Ha van gyökér, akkor kitalálható. .

Válasz : 2

„A módszerek helyes alkalmazása megtanulható
csak úgy, hogy különféle példákra alkalmazzuk őket.”
G. G. Zeiten dán matematikatörténész

én V. Házi feladat

39. o. fontolja meg a 3. példát, oldja meg: 514(b), 529(b), 520(b), 523(b)

V. A lecke összegzése

Milyen logaritmikus egyenletek megoldási módszereit néztük meg az órán?

A következő leckékben bonyolultabb egyenletekkel fogunk foglalkozni. Megoldásukra a vizsgált módszerek hasznosak lesznek.

Utoljára bemutatott dia:

„Mi több mindennél a világon?
Hely.
Mi a legbölcsebb dolog?
Idő.
Mi a legjobb rész?
Érd el, amit akarsz."
Thales

Mindenkinek azt kívánom, hogy érje el, amit akar. Köszönjük együttműködését és megértését.

Tudniillik a kifejezések hatványokkal való szorzásakor a kitevőik mindig összeadódnak (a b *a c = a b+c). Ezt a matematikai törvényt Arkhimédész vezette le, majd később, a 8. században Virasen matematikus elkészítette az egész kitevők táblázatát. Ők voltak azok, akik a logaritmusok további felfedezését szolgálták. Szinte mindenhol találunk példákat ennek a függvénynek a használatára, ahol egyszerű összeadással kell leegyszerűsíteni a nehézkes szorzást. Ha 10 percet tölt ennek a cikknek a elolvasásával, elmagyarázzuk Önnek, mik azok a logaritmusok, és hogyan kell velük dolgozni. Egyszerű és érthető nyelven.

Definíció a matematikában

A logaritmus a következő formájú kifejezés: log a b=c, azaz bármely nem negatív szám (vagyis bármely pozitív) „b” logaritmusa az „a” bázisához a „c” hatvány. ”, amelyre az „a” alapot fel kell emelni, hogy végül megkapjuk a „b” értéket. Elemezzük a logaritmust példákon keresztül, mondjuk van egy log 2 kifejezés 8. Hogyan találjuk meg a választ? Nagyon egyszerű, olyan hatványt kell találnod, hogy 2-től a szükséges teljesítményig 8-at kapj. Néhány fejben végzett számítás után megkapjuk a 3-as számot! És ez igaz, mert a 2 a 3 hatványára 8-nak adja a választ.

A logaritmusok fajtái

Sok diák és diák számára ez a téma bonyolultnak és érthetetlennek tűnik, de valójában a logaritmusok nem olyan ijesztőek, a lényeg az, hogy megértsük általános jelentésüket, és emlékezzünk tulajdonságaikra és néhány szabályra. A logaritmikus kifejezéseknek három különböző típusa van:

1. Természetes logaritmus ln a, ahol az alap az Euler-szám (e = 2,7).
2. Tizedes a, ahol az alap 10.
3. Bármely b szám logaritmusa a>1 bázishoz.

Mindegyiket szabványos módon oldják meg, beleértve az egyszerűsítést, a redukciót és az azt követő redukciót egyetlen logaritmusra logaritmikus tételek segítségével. A logaritmusok helyes értékeinek megszerzéséhez emlékeznie kell tulajdonságaikra és a műveletek sorrendjére a megoldásuk során.

Szabályok és néhány korlátozás

A matematikában több olyan szabály-megkötés létezik, amelyeket axiómaként fogadnak el, vagyis nem vita tárgya, és ez az igazság. Például lehetetlen a számokat nullával osztani, és a negatív számok páros gyökét sem lehet kivonni. A logaritmusoknak is megvannak a saját szabályai, amelyek betartásával könnyedén megtanulhatod, hogyan kell dolgozni még hosszú és terjedelmes logaritmikus kifejezésekkel is:

• Az „a” alapnak mindig nagyobbnak kell lennie nullánál, és nem egyenlő 1-gyel, különben a kifejezés értelmét veszti, mert az „1” és a „0” bármilyen mértékben mindig megegyezik az értékükkel;
• ha a > 0, akkor a b >0, akkor kiderül, hogy „c”-nek is nagyobbnak kell lennie nullánál.

Hogyan lehet logaritmusokat megoldani?

Például az a feladat, hogy megtaláljuk a választ a 10 x = 100 egyenletre. Ez nagyon egyszerű, ki kell választani egy hatványt a tízes szám emelésével, amelyre 100-at kapunk. Ez természetesen 10 2 = 100.

Most ábrázoljuk ezt a kifejezést logaritmikus formában. Log 10 100 = 2-t kapunk. A logaritmusok megoldása során gyakorlatilag minden művelet konvergál, hogy megtalálja azt a hatványt, amelyre a logaritmus alapját kell megadni egy adott szám megszerzéséhez.

Az ismeretlen fok értékének pontos meghatározásához meg kell tanulnia, hogyan kell dolgozni egy foktáblázattal. Ez így néz ki:

Amint látja, néhány kitevő intuitív módon kitalálható, ha rendelkezik technikai elmével és ismeri a szorzótáblát. Nagyobb értékekhez azonban szüksége lesz egy tápasztalra. Azok is használhatják, akik egyáltalán nem tudnak az összetett matematikai témákról. A bal oldali oszlop számokat tartalmaz (a bázis), a felső számsor annak a c hatványnak az értéke, amelyre az a számot emeljük. A metszéspontban a cellák azokat a számértékeket tartalmazzák, amelyek a választ jelentik (a c =b). Vegyük például a legelső 10-es számú cellát, és négyzetre emeljük, megkapjuk a 100-as értéket, amit a két cellánk metszéspontjában jelez. Minden olyan egyszerű és könnyű, hogy még a legigazabb humanista is megérti!

Egyenletek és egyenlőtlenségek

Kiderül, hogy bizonyos feltételek mellett a kitevő a logaritmus. Ezért bármilyen matematikai numerikus kifejezés felírható logaritmikus egyenlőségként. Például a 3 4 =81 felírható 81 4-es 3-as bázis logaritmusaként (log 3 81 = 4). Negatív hatványokra ugyanazok a szabályok: 2 -5 = 1/32 logaritmusként írjuk, log 2 (1/32) = -5-öt kapunk. A matematika egyik legérdekesebb része a „logaritmusok” témája. Az alábbiakban példákat és megoldásokat tekintünk meg az egyenletekre, közvetlenül tulajdonságaik tanulmányozása után. Most nézzük meg, hogyan néznek ki az egyenlőtlenségek, és hogyan lehet megkülönböztetni őket az egyenletektől.

A következő kifejezést adjuk meg: log 2 (x-1) > 3 - ez logaritmikus egyenlőtlenség, mivel az ismeretlen „x” érték a logaritmikus előjel alatt van. És a kifejezésben is két mennyiséget hasonlítanak össze: a kívánt szám logaritmusa a kettőhöz nagyobb, mint a három.

A legfontosabb különbség a logaritmikus egyenletek és az egyenlőtlenségek között az, hogy a logaritmusos egyenletek (például a logaritmus 2 x = √9) egy vagy több konkrét számértéket tartalmaznak a válaszban, míg egy egyenlőtlenség megoldása során mindkét elfogadható tartományt. értékek és a pontok meghatározása ennek a függvénynek a megszakításával történik. Következésképpen a válasz nem egyedi számok egyszerű halmaza, mint az egyenletre adott válaszban, hanem folyamatos számsor vagy számhalmaz.

Alaptételek a logaritmusokról

A logaritmus értékeinek megtalálásával kapcsolatos primitív feladatok megoldása során előfordulhat, hogy tulajdonságai nem ismertek. Amikor azonban logaritmikus egyenletekről vagy egyenlőtlenségekről van szó, mindenekelőtt tisztán kell érteni és a gyakorlatban alkalmazni kell a logaritmus összes alapvető tulajdonságát. Az egyenletekre később tekintünk meg példákat, először nézzük meg részletesebben az egyes tulajdonságokat.

1. A fő azonosság így néz ki: a logaB =B. Csak akkor érvényes, ha a nagyobb, mint 0, nem egyenlő eggyel, és B nagyobb, mint nulla.
2. A szorzat logaritmusa a következő képlettel ábrázolható: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Ebben az esetben a kötelező feltétel: d, s 1 és s 2 > 0; a≠1. Ezt a logaritmikus képletet példákkal és megoldással bizonyíthatja. Legyen log a s 1 = f 1 és log a s 2 = f 2, akkor a f1 = s 1, a f2 = s 2. Azt kapjuk, hogy s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (tulajdonságai fok ), majd definíció szerint: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, amit bizonyítani kellett.
3. A hányados logaritmusa így néz ki: log a (s 1/s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. A képlet formájú tétel a következő alakot ölti: log a q b n = n/q log a b.

Ezt a képletet „a logaritmus fokának tulajdonságának” nevezik. Hasonlít a közönséges fokok tulajdonságaira, és ez nem meglepő, mert minden matematika természetes posztulátumokon alapul. Nézzük a bizonyítékot.

Legyen log a b = t, kiderül, hogy a t =b. Ha mindkét részt m hatványra emeljük: a tn = b n ;

de mivel a tn = (a q) nt/q = b n, ezért log a q b n = (n*t)/t, majd log a q b n = n/q log a b. A tétel bizonyítást nyert.

Példák problémákra és egyenlőtlenségekre

A logaritmusokkal kapcsolatos leggyakoribb problémák az egyenletek és egyenlőtlenségek példái. Szinte minden feladatfüzetben megtalálhatók, és a matematika vizsgák kötelező részét is képezik. Az egyetemre való belépéshez vagy a matematikai felvételi vizsgák letételéhez tudnia kell, hogyan kell helyesen megoldani az ilyen feladatokat.

Sajnos nincs egyetlen terv vagy séma a logaritmus ismeretlen értékének megoldására és meghatározására, de bizonyos szabályokat minden matematikai egyenlőtlenségre vagy logaritmikus egyenletre alkalmazni lehet. Először is meg kell találnia, hogy a kifejezés egyszerűsíthető-e vagy általános formára redukálható-e. Leegyszerűsítheti a hosszú logaritmikus kifejezéseket, ha helyesen használja a tulajdonságaikat. Ismerkedjünk meg velük gyorsan.

A logaritmikus egyenletek megoldásánál meg kell határoznunk, hogy milyen típusú logaritmusunk van: egy példakifejezés tartalmazhat természetes logaritmust vagy decimális logaritmust.

Itt vannak példák az ln100, ln1026. Megoldásuk abban rejlik, hogy meg kell határozniuk azt a teljesítményt, amelyre a 10-es alap 100, illetve 1026 lesz. A természetes logaritmusok megoldásához logaritmikus azonosságokat vagy azok tulajdonságait kell alkalmazni. Nézzünk példákat különféle típusú logaritmikus problémák megoldására.

A logaritmusképletek használata: példákkal és megoldásokkal

Tehát nézzünk példákat a logaritmusokkal kapcsolatos alaptételek használatára.

1. A szorzat logaritmusának tulajdonsága olyan feladatokban használható, ahol a b szám nagy értékét egyszerűbb tényezőkre kell bontani. Például log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. A válasz 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - mint látható, a logaritmus hatványának negyedik tulajdonságát felhasználva sikerült megoldanunk egy bonyolultnak tűnő és megoldhatatlan kifejezést. Csak az alapot kell figyelembe vennie, majd ki kell vennie a kitevő értékeket a logaritmus előjeléből.

Feladatok az egységes államvizsgáról

A felvételi vizsgákon gyakran megtalálhatók a logaritmusok, különösen sok logaritmikus feladat az egységes államvizsgánál (államvizsga minden érettségizett számára). Ezek a feladatok jellemzően nemcsak az A részben (a vizsga legkönnyebb tesztrésze), hanem a C részben is (a legösszetettebb és legterjedelmesebb feladatok) is jelen vannak. A vizsga megköveteli a „Természetes logaritmusok” témakör pontos és tökéletes ismeretét.

A példák és a problémák megoldásai az Egységes Államvizsga hivatalos verzióiból származnak. Lássuk, hogyan oldják meg az ilyen feladatokat.

Adott log 2 (2x-1) = 4. Megoldás:
írjuk át a kifejezést, kicsit leegyszerűsítve log 2 (2x-1) = 2 2, a logaritmus definíciójával azt kapjuk, hogy 2x-1 = 2 4, tehát 2x = 17; x = 8,5.

• A legjobb az összes logaritmust ugyanarra az alapra redukálni, hogy a megoldás ne legyen nehézkes és zavaró.
• Minden logaritmus előjel alatti kifejezés pozitívnak van jelölve, ezért ha egy olyan kifejezés kitevőjét, amely a logaritmus előjele alatt van és annak bázisaként kivesszük szorzóként, a logaritmus alatt maradó kifejezésnek pozitívnak kell lennie.

Fontos számunkra az Ön személyes adatainak védelme. Emiatt kidolgoztunk egy adatvédelmi szabályzatot, amely leírja, hogyan használjuk és tároljuk az Ön adatait. Kérjük, tekintse át adatvédelmi gyakorlatunkat, és tudassa velünk, ha kérdése van.

Személyes adatok gyűjtése és felhasználása

A személyes adatok olyan adatokra vonatkoznak, amelyek felhasználhatók egy adott személy azonosítására vagy kapcsolatfelvételre.

Amikor kapcsolatba lép velünk, bármikor megkérhetjük személyes adatainak megadására.

Az alábbiakban bemutatunk néhány példát arra, hogy milyen típusú személyes adatokat gyűjthetünk, és hogyan használhatjuk fel ezeket az információkat.

Milyen személyes adatokat gyűjtünk:

• Amikor jelentkezik az oldalon, különféle információkat gyűjthetünk, beleértve az Ön nevét, telefonszámát, e-mail címét stb.

Hogyan használjuk fel személyes adatait:

• Az általunk gyűjtött személyes adatok lehetővé teszik, hogy egyedi ajánlatokkal, promóciókkal és egyéb eseményekkel és közelgő eseményekkel kapcsolatba léphessünk Önnel.
• Időről időre felhasználhatjuk személyes adatait fontos értesítések és közlemények küldésére.
• A személyes adatokat belső célokra is felhasználhatjuk, például auditok lefolytatására, adatelemzésre és különféle kutatásokra annak érdekében, hogy javítsuk szolgáltatásainkat, és javaslatokat adjunk Önnek szolgáltatásainkkal kapcsolatban.
• Ha nyereményjátékban, versenyben vagy hasonló promócióban vesz részt, az Ön által megadott információkat felhasználhatjuk az ilyen programok lebonyolítására.

Információk közlése harmadik fél számára

Az Öntől kapott információkat nem adjuk ki harmadik félnek.

Kivételek:

• Szükség esetén - a törvénynek, a bírósági eljárásnak, a bírósági eljárásoknak megfelelően és/vagy az Orosz Föderáció területén található állami kérelmek vagy kormányzati hatóságok kérelmei alapján - az Ön személyes adatainak nyilvánosságra hozatala. Felfedhetünk Önnel kapcsolatos információkat is, ha úgy ítéljük meg, hogy az ilyen nyilvánosságra hozatal biztonsági, bűnüldözési vagy egyéb közérdekű célból szükséges vagy megfelelő.
• Átszervezés, egyesülés vagy eladás esetén az általunk gyűjtött személyes adatokat átadhatjuk a megfelelő jogutód harmadik félnek.

Személyes adatok védelme

Óvintézkedéseket teszünk – beleértve az adminisztratív, technikai és fizikai intézkedéseket is –, hogy megvédjük személyes adatait az elvesztéstől, lopástól és visszaéléstől, valamint a jogosulatlan hozzáféréstől, nyilvánosságra hozataltól, megváltoztatástól és megsemmisítéstől.

A magánélet tiszteletben tartása vállalati szinten

Személyes adatai biztonságának biztosítása érdekében az adatvédelmi és biztonsági előírásokat közöljük alkalmazottainkkal, és szigorúan betartjuk az adatvédelmi gyakorlatokat.

Bevezetés

A logaritmusokat a számítások felgyorsítására és egyszerűsítésére találták ki. A logaritmus ötlete, vagyis a számok ugyanazon alap hatványaiként való kifejezése Mikhail Stiefelé. De Stiefel idejében a matematika nem volt annyira fejlett, és a logaritmus ötlete sem alakult ki. A logaritmusokat később egyidejűleg és egymástól függetlenül találta fel a skót tudós, John Napier (1550-1617) és a svájci Jobst Burgi (1552-1632) volt az első, aki 1614-ben publikálta a művet. „Egy elképesztő logaritmustáblázat leírása” címmel Napier logaritmuselmélete meglehetősen teljes terjedelmében, a logaritmusszámítás módszere kapott a legegyszerűbbet, ezért Napier érdemei a logaritmusok feltalálásában nagyobbak voltak, mint Bürgié. Burgi Napier-rel egy időben dolgozott a táblákon, de sokáig titokban tartotta, és csak 1620-ban adta ki. Napier 1594 körül sajátította el a logaritmus ötletét. bár a táblázatok 20 évvel később jelentek meg. Eleinte „mesterséges számoknak” nevezte logaritmusait, majd csak azután javasolta, hogy ezeket „mesterséges számokat” egy szóval „logaritmusnak” nevezze, ami görögül „korrelált számokat” jelent, az egyiket egy aritmetikai sorozatból, a másikat pedig egy speciálisan ehhez kiválasztott geometriai progresszió. Az első orosz nyelvű táblázatok 1703-ban jelentek meg. századi csodálatos tanár közreműködésével. L. F. Magnyitszkij. Leonhard Euler szentpétervári akadémikus munkái nagy jelentőséggel bírtak a logaritmuselmélet kialakításában. Ő volt az első, aki a logaritmusokat a hatványra emelés inverzének tekintette, ő vezette be a „logaritmusalap” és a „mantissza” kifejezéseket. egyszerűbb, mint a Napier-féle logaritmus . Ezért a decimális logaritmusokat néha Briggs-logaritmusnak is nevezik. A "jellemzés" kifejezést Briggs vezette be.

Azokban a távoli időkben, amikor a bölcsek először kezdtek gondolkodni az ismeretlen mennyiségeket tartalmazó egyenlőségekről, valószínűleg nem voltak érmék vagy pénztárcák. De voltak halmok, valamint edények és kosarak, amelyek tökéletesek voltak az ismeretlen számú tárgy tárolására alkalmas tároló-gyorsítótár szerepére. Mezopotámia, India, Kína, Görögország ókori matematikai problémáiban az ismeretlen mennyiségek a kertben lévő pávák számát, az állományban lévő bikák számát és a vagyon megosztásánál figyelembe vett dolgok összességét fejezték ki. A titkos tudásba beavatott, a számadástudományban jól képzett írástudók, tisztviselők és papok meglehetősen sikeresen megbirkóztak az ilyen feladatokkal.

A hozzánk eljutott források azt mutatják, hogy az ókori tudósoknak volt néhány általános technikája ismeretlen mennyiségekkel kapcsolatos problémák megoldására. Ezekről a technikákról azonban egyetlen papirusz vagy agyagtábla sem tartalmaz leírást. A szerzők csak néha mellékelték számszerű számításaikat olyan szűkszavú megjegyzésekkel, mint: „Nézd!”, „Csináld ezt!”, „Megtaláltad a megfelelőt”. Ebben az értelemben kivétel az Alexandriai Diophantus görög matematikus (III. század) „Aritmetikája” - az egyenletek összeállítására vonatkozó problémák gyűjteménye, megoldásaik szisztematikus bemutatásával.

Az első, széles körben ismertté vált problémamegoldó kézikönyv azonban a 9. századi bagdadi tudós munkája volt. Mohamed bin Musza al-Khwarizmi. Az értekezés arab nevéből származó "al-jabr" szó - "Kitab al-jaber wal-mukabala" ("A helyreállítás és az ellenzék könyve") - idővel a jól ismert "algebra" szóvá alakult, és al- Maga Khwarizmi munkája kiindulópontként szolgált az egyenletmegoldás tudományának fejlődésében.

Logaritmikus egyenletek és egyenlőtlenségek

1. Logaritmikus egyenletek

Az olyan egyenletet, amely a logaritmus előjele alatt vagy az alapján ismeretlent tartalmaz, logaritmikus egyenletnek nevezzük.

A legegyszerűbb logaritmikus egyenlet a forma egyenlete

log a x = b . (1)

Nyilatkozat 1. Ha a > 0, a≠ 1, az (1) egyenlet bármely valóshoz b egyedi megoldása van x = a b .

1. példa Oldja meg az egyenleteket:

a) napló 2 x= 3, b) log 3 x= -1, c)

Megoldás. Az 1. állítás felhasználásával megkapjuk a) x= 2 3 vagy x= 8; b) x= 3 -1 vagy x= 1/3; c)

vagy x = 1.

Mutassuk be a logaritmus alapvető tulajdonságait.

P1. Alapvető logaritmikus azonosság:

Ahol a > 0, a≠ 1 és b > 0.

P2. A pozitív tényezők szorzatának logaritmusa egyenlő ezen tényezők logaritmusainak összegével:

log a N 1 · N 2 = log a N 1 + napló a N 2 (a > 0, a ≠ 1, N 1 > 0, N 2 > 0).

Megjegyzés. Ha N 1 · N 2 > 0, akkor a P2 tulajdonság alakot ölt

log a N 1 · N 2 = log a |N 1 | + napló a |N 2 | (a > 0, a ≠ 1, N 1 · N 2 > 0).

P3. Két pozitív szám hányadosának logaritmusa egyenlő az osztó és az osztó logaritmusa közötti különbséggel

(a > 0, a ≠ 1, N 1 > 0, N 2 > 0).

Megjegyzés. Ha

, (ami egyenértékű N 1 N 2 > 0), akkor a P3 tulajdonság alakot ölt (a > 0, a ≠ 1, N 1 N 2 > 0).

P4. Egy pozitív szám hatványának logaritmusa egyenlő a kitevő és a szám logaritmusának szorzatával:

log a N k = k log a N (a > 0, a ≠ 1, N > 0).

Megjegyzés. Ha k- páros szám ( k = 2s), Ez

log a N 2s = 2s log a |N | (a > 0, a ≠ 1, N ≠ 0).

P5. Képlet a másik bázisra költözéshez:

(a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1, N > 0),

különösen ha N = b, kapunk

(a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1). (2)

A P4 és P5 tulajdonságok használatával könnyen megszerezhetjük a következő tulajdonságokat

(a > 0, a ≠ 1, b > 0, c ≠ 0), (3) (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c ≠ 0), (4) (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c ≠ 0), (5)

és ha az (5) c- páros szám ( c = 2n), bekövetkezik

(b > 0, a ≠ 0, |a | ≠ 1). (6)

Soroljuk fel a logaritmikus függvény főbb tulajdonságait f (x) = log a x :

1. A logaritmikus függvény definíciós tartománya a pozitív számok halmaza.

2. A logaritmikus függvény értéktartománya a valós számok halmaza.

3. Mikor a> 1 logaritmikus függvény szigorúan növekszik (0< x 1 < x 2log a x 1 < loga x 2), és 0-nál< a < 1, - строго убывает (0 < x 1 < x 2log a x 1 > napló a x 2).

4.napló a 1 = 0 és log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1).

5. Ha a> 1, akkor a logaritmikus függvény negatív, amikor x(0;1) és pozitív at x(1;+∞), és ha 0< a < 1, то логарифмическая функция положительна при x (0;1) és negatív at x (1;+∞).

6. Ha a> 1, akkor a logaritmikus függvény felfelé konvex, és ha a(0;1) - lefelé domború.

A következő állításokat (lásd például) a logaritmikus egyenletek megoldása során használjuk.

Logaritmikus egyenletek. Továbbra is megvizsgáljuk a matematika egységes államvizsga B részéből származó problémákat. Néhány egyenlet megoldását már megvizsgáltuk a „”, „”” cikkekben. Ebben a cikkben megvizsgáljuk a logaritmikus egyenleteket. Azonnal megmondom, hogy nem lesznek bonyolult átalakítások az ilyen egyenletek megoldása során az egységes államvizsgán. Egyszerűek.

Elég ismerni és megérteni az alapvető logaritmikus azonosságot, ismerni a logaritmus tulajdonságait. Kérjük, vegye figyelembe, hogy a megoldás után egy ellenőrzést KELL elvégeznie - a kapott értéket be kell cserélnie az eredeti egyenletbe, és ki kell számolnia, a végén megkapja a helyes egyenlőséget.

Meghatározás:

Egy szám logaritmusa b bázishoz a kitevő,amelyre b-t kell emelni, hogy megkapjuk a.

Például:

Napló 3 9 = 2, mivel 3 2 = 9

A logaritmus tulajdonságai:

A logaritmusok speciális esetei:

Oldjuk meg a problémákat. Az első példában ellenőrzést végzünk. A jövőben ellenőrizze saját maga.

Keresse meg az egyenlet gyökerét: log 3 (4–x) = 4

Mivel log b a = x b x = a, akkor

3 4 = 4 – x

x = 4-81

x = – 77

Vizsgálat:

log 3 (4–(–77)) = 4

log 3 81 = 4

3 4 = 81 Helyes.

Válasz: 77

Döntsd el magad:

Keresse meg az egyenlet gyökerét: log 2 (4 – x) = 7

Keresse meg a log 5 egyenlet gyökerét(4 + x) = 2

Az alapvető logaritmikus azonosságot használjuk.

Mivel log a b = x b x = a, akkor

5 2 = 4 + x

x =5 2 – 4

x = 21

Vizsgálat:

log 5 (4 + 21) = 2

log 5 25 = 2

5 2 = 25 Helyes.

Válasz: 21

Keresse meg a log 3 (14 – x) = log 3 5 egyenlet gyökerét.

A következő tulajdonság játszódik le, jelentése a következő: ha az egyenlet bal és jobb oldalán azonos bázisú logaritmusok vannak, akkor a logaritmusok előjelei alá sorolhatjuk a kifejezéseket.

14 – x = 5

x=9

Csinálj egy ellenőrzést.

Válasz: 9

Döntsd el magad:

Keresse meg a log 5 (5 – x) = log 5 3 egyenlet gyökerét.

Keresse meg az egyenlet gyökerét: log 4 (x + 3) = log 4 (4x – 15).

Ha log c a = log c b, akkor a = b

x + 3 = 4x – 15

3x = 18

x = 6

Csinálj egy ellenőrzést.

Válasz: 6

Keresse meg a log 1/8 (13 – x) = – 2 egyenlet gyökerét.

(1/8) –2 = 13 – x

8 2 = 13 – x

x = 13-64

x = – 51

Csinálj egy ellenőrzést.

Egy kis kiegészítés - az ingatlan itt használatos

fok ().

Válasz: 51

Döntsd el magad:

Keresse meg az egyenlet gyökerét: log 1/7 (7 – x) = – 2

Keresse meg a log 2 (4 – x) = 2 log 2 5 egyenlet gyökerét.

Alakítsuk át a jobb oldalt. Használjuk az ingatlant:

log a b m = m∙log a b

log 2 (4 – x) = log 2 5 2

Ha log c a = log c b, akkor a = b

4 – x = 5 2

4 – x = 25

x = – 21

Csinálj egy ellenőrzést.

Válasz: 21

Döntsd el magad:

Keresse meg az egyenlet gyökerét: log 5 (5 – x) = 2 log 5 3

Oldja meg a log 5 (x 2 + 4x) = log 5 (x 2 + 11) egyenletet

Ha log c a = log c b, akkor a = b

x 2 + 4x = x 2 + 11

4x = 11

x = 2,75

Csinálj egy ellenőrzést.

Válasz: 2,75

Döntsd el magad:

Keresse meg a log 5 (x 2 + x) = log 5 (x 2 + 10) egyenlet gyökerét!

Oldja meg a log 2 (2 – x) = log 2 (2 – 3x) +1 egyenletet.

Meg kell szerezni az egyenlet jobb oldalán lévő forma kifejezését:

napló 2 (......)

Az 1-et 2-es bázis logaritmusként ábrázoljuk:

1 = log 2 2

log c (ab) = log c a + log c b

log 2 (2 – x) = log 2 (2 – 3x) + log 2 2

Kapunk:

log 2 (2 – x) = log 2 2 (2 – 3x)

Ha log c a = log c b, akkor a = b, akkor

2 – x = 4 – 6x

5x = 2

x = 0,4

Csinálj egy ellenőrzést.

Válasz: 0.4

Döntsd el magad: Ezután meg kell oldania a másodfokú egyenletet. Apropó,

a gyökerek 6 és – 4.

Gyökér "-A 4" nem megoldás, mivel a logaritmus alapjának nagyobbnak kell lennie nullánál, és a "– 4" egyenlő a " – 5" A megoldás a gyökér 6.Csinálj egy ellenőrzést.

Válasz: 6.

R egyél egyedül:

Oldja meg a log x –5 49 = 2 egyenletet. Ha az egyenletnek több gyöke van, válaszoljon a kisebbel.

Mint láthatta, nincs bonyolult transzformáció logaritmikus egyenletekkelNem. Elég, ha ismeri a logaritmus tulajdonságait, és tudja alkalmazni azokat. A logaritmikus kifejezések transzformációjával kapcsolatos USE problémáknál komolyabb transzformációkat hajtanak végre, és elmélyültebb megoldási készségekre van szükség. Megnézünk ilyen példákat, ne hagyd ki!Sok sikert!!!

Üdvözlettel: Alexander Krutitskikh.

P.S: Hálás lennék, ha mesélne az oldalról a közösségi oldalakon.

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete