Rendszeregyenletek megoldása mátrix módszerrel online. Lineáris egyenletrendszerek megoldása inverz mátrix segítségével

Az inverz mátrix módszer egy speciális eset mátrix egyenlet

Oldja meg a rendszert mátrix módszerrel!

Megoldás: A rendszert mátrix alakban írjuk A képlet segítségével megtaláljuk a rendszer megoldását (lásd az utolsó képletet)

Az inverz mátrixot a következő képlettel találjuk meg:
, ahol a mátrix megfelelő elemeinek algebrai komplementereinek transzponált mátrixa.

Először nézzük a meghatározót:

Itt a determináns az első sorban bővül.

Figyelem! Ha, akkor az inverz mátrix nem létezik, és a rendszer mátrix módszerrel megoldhatatlan. Ebben az esetben a rendszert az ismeretlenek kiküszöbölésével (Gauss-módszer) oldjuk meg.

Most ki kell számítanunk 9 kiskorút, és be kell írni őket a minors mátrixba

Referencia: Hasznos tudni a kettős alsó indexek jelentését a lineáris algebrában. Az első számjegy annak a sornak a száma, amelyben az elem található. A második számjegy annak az oszlopnak a száma, amelyben az elem található:

Azaz a dupla alsó index azt jelzi, hogy az elem az első sorban, a harmadik oszlopban van, és például az elem a 3 sorban, 2 oszlopban van.

A megoldás során célszerű részletesen leírni a kiskorúak számítását, bár némi tapasztalat birtokában meg lehet szokni a szóbeli hibás számításokat.

A kiskorúak számítási sorrendje teljesen lényegtelen, itt balról jobbra számoltam őket soronként. A kiskorúakat oszloponként lehetett számolni (ez még kényelmesebb).

És így:

– a mátrix megfelelő elemeinek minor mátrixa.

– algebrai összeadások mátrixa.

– algebrai összeadások transzponált mátrixa.

Ismétlem, a leckében részletesen megbeszéltük az elvégzett lépéseket. Hogyan találjuk meg a mátrix inverzét?

Most írjuk fel az inverz mátrixot:

Semmi esetre se írjuk be a mátrixba, ez komolyan megnehezíti a további számításokat. Az osztást akkor kell végrehajtani, ha a mátrixban szereplő összes szám maradék nélkül osztható 60-nal. De ebben az esetben nagyon szükséges egy mínusz hozzáadása a mátrixhoz, ellenkezőleg, ez leegyszerűsíti a további számításokat.

Már csak a mátrixszorzás elvégzése van hátra. Az órán megtanulhatod a mátrixok szorzását. Műveletek mátrixokkal. Egyébként pontosan ugyanezt a példát elemzik ott.

Vegye figyelembe, hogy a 60-zal való osztás megtörtént legvégül.
Előfordulhat, hogy nem válik el teljesen, pl. Előfordulhat, hogy „rossz” törteket kap. Már elmondtam, hogy mit kell ilyen esetekben tenni, amikor megvizsgáltuk Cramer szabályát.

Válasz:

12. példa

Oldja meg a rendszert az inverz mátrix segítségével!

Ez egy példa egy független megoldásra (minta a végső tervből és a válasz a lecke végén).

A rendszer megoldásának leguniverzálisabb módja az ismeretlenek kiküszöbölésének módszere (Gauss-módszer). Nem olyan egyszerű világosan elmagyarázni az algoritmust, de megpróbáltam!

Sok sikert!

Válaszok:

3. példa:

6. példa:

8. példa: , . Megtekintheti vagy letöltheti a példa mintamegoldását (az alábbi link).

10., 12. példa:

Továbbra is figyelembe vesszük a lineáris egyenletrendszereket. Ez a lecke a harmadik a témában. Ha van homályos elképzelése arról, hogy mi a lineáris egyenletrendszer általában, ha úgy érzi, mint egy teáskanna, akkor azt javaslom, hogy kezdje az alapokkal a Következő oldalon, hasznos tanulmányozni a leckét.

A Gauss-módszer egyszerű! Miért? A híres német matematikus, Johann Carl Friedrich Gauss életében megkapta az elismerést minden idők legnagyobb matematikusaként, zseniként, sőt a „Matematika királya” becenevet is. És minden zseniális, mint tudod, egyszerű! Egyébként nem csak a balekok kapnak pénzt, hanem a zsenik is - Gauss portréja a 10 német márkás bankjegyen volt (az euró bevezetése előtt), Gauss pedig még mindig titokzatosan mosolyog a németekre a közönséges postai bélyegekről.

A Gauss-módszer annyiban egyszerű, hogy elsajátításához ELÉG EGY ÖTÖDÉLYES TANULÓ TUDÁSA. Tudnia kell összeadni és szorozni! Nem véletlen, hogy a tanárok gyakran fontolgatják az ismeretlenek szekvenciális kizárásának módszerét az iskolai matematika választható tantárgyaiban. Paradoxon, de a hallgatók a Gauss-módszert tartják a legnehezebbnek. Semmi meglepő - minden a módszertanról szól, és megpróbálok hozzáférhető formában beszélni a módszer algoritmusáról.

Először is rendszerezzünk egy kis ismeretet a lineáris egyenletrendszerekről. Egy lineáris egyenletrendszer:

1) Legyen egyedi megoldása.
2) Végtelen sok megoldásod legyen.
3) Nincsenek megoldásai (legyen nem ízületi).

A Gauss-módszer a legerősebb és leguniverzálisabb eszköz a megoldás megtalálására Bármi lineáris egyenletrendszerek. Ahogy emlékszünk, Cramer-szabály és mátrix módszer nem megfelelőek olyan esetekben, amikor a rendszer végtelen sok megoldást tartalmaz, vagy inkonzisztens. És az ismeretlenek szekvenciális megszüntetésének módszere Akárhogyan is elvezet minket a válaszhoz! Ebben a leckében ismét megvizsgáljuk a Gauss-módszert az 1. esetre (a rendszer egyetlen megoldása), egy cikket szentelünk a 2-3. pontok helyzeteinek. Megjegyzem, maga a módszer algoritmusa mindhárom esetben ugyanúgy működik.

Térjünk vissza a leckéből a legegyszerűbb rendszerhez Hogyan lehet lineáris egyenletrendszert megoldani?
és a Gauss-módszerrel oldja meg.

Az első lépés az írás kiterjesztett rendszermátrix:
. Szerintem mindenki látja, hogy milyen elv alapján írják az együtthatókat. A mátrixon belüli függőleges vonalnak nincs matematikai jelentése – ez egyszerűen áthúzás a könnyebb tervezés érdekében.

Referencia: Azt javaslom, emlékezzenfeltételeket lineáris algebra.Rendszermátrix egy mátrix, amely csak ismeretlenek együtthatóiból áll, ebben a példában a rendszer mátrixa: . Kiterjesztett rendszermátrix – ez a rendszer ugyanazon mátrixa plusz egy szabad kifejezések oszlopa, ebben az esetben: . A rövidség kedvéért bármelyik mátrixot egyszerűen mátrixnak nevezhetjük.

A kiterjesztett mátrixrendszer felírása után végre kell hajtani vele néhány műveletet, amelyeket szintén ún elemi átalakulások.

A következő elemi transzformációk léteznek:

1) Húrok mátrixok átrendezhető néhány helyen. Például a vizsgált mátrixban fájdalommentesen átrendezheti az első és a második sort:

2) Ha a mátrixban vannak (vagy jelentek meg) arányos (különleges esetben - azonos) sorok, akkor töröl Ezek a sorok egy kivételével a mátrixból származnak. Vegyük például a mátrixot . Ebben a mátrixban az utolsó három sor arányos, így elég csak egyet hagyni belőlük: .

3) Ha a transzformációk során egy nulla sor jelenik meg a mátrixban, akkor annak is lennie kell töröl. Természetesen nem húzom, a nulla vonal az a vonal, amelyben csupa nulla.

4) A mátrix sor lehet szorozni (osztani) tetszőleges számra nem nulla. Vegyük például a mátrixot. Itt célszerű az első sort –3-mal elosztani, a második sort pedig 2-vel megszorozni: . Ez a művelet nagyon hasznos, mert leegyszerűsíti a mátrix további átalakításait.

5) Ez az átalakítás okozza a legtöbb nehézséget, de valójában nincs is semmi bonyolult. Egy mátrix sorához lehet adjunk hozzá egy másik karakterláncot egy számmal szorozva, nullától eltérő. Nézzük a mátrixunkat egy gyakorlati példából: . Először részletesen leírom az átalakulást. Szorozzuk meg az első sort -2-vel: , És a második sorhoz hozzáadjuk az első sort –2-vel szorozva: . Most az első sor „vissza” osztható –2-vel: . Mint látható, a sor, amely HOZZÁADVA LI – nem változott. Mindig megváltozik a sor, HOGY HOZZÁADVA UT.

A gyakorlatban persze nem írják le ilyen részletesen, hanem röviden:

Még egyszer: a második sorra hozzáadta az első sort –2-vel szorozva. Egy sort rendszerint szóban vagy piszkozaton szoroznak meg, a mentális számítási folyamat a következőképpen zajlik:

"Átírom a mátrixot és átírom az első sort: "

„Első oszlop. Az alján nullát kell kapnom. Ezért a felül lévőt megszorzom –2-vel: , és az elsőt a második sorba adom: 2 + (–2) = 0. Az eredményt a második sorba írom: »

„Most a második oszlop. Felül a -1-et megszorzom -2-vel: . Az elsőt hozzáadom a második sorhoz: 1 + 2 = 3. Az eredményt a második sorba írom: "

– És a harmadik oszlop. Felül a -5-öt megszorzom -2-vel: . Az elsőt hozzáadom a második sorhoz: –7 + 10 = 3. Az eredményt a második sorba írom: »

Kérjük, alaposan értelmezze ezt a példát, és értse meg a szekvenciális számítási algoritmust, ha ezt megérti, akkor a Gauss-módszer gyakorlatilag a zsebében van. De természetesen még dolgozunk ezen az átalakításon.

Az elemi transzformációk nem változtatják meg az egyenletrendszer megoldását

! FIGYELEM: megfontolt manipulációk nem használható, ha olyan feladatot ajánlanak, ahol a mátrixok „maguktól” vannak megadva. Például a „klasszikus” kifejezéssel műveletek mátrixokkal Semmilyen körülmények között ne rendezzen át semmit a mátrixokon belül!

Térjünk vissza a rendszerünkhöz. Majdnem megoldódott.

Írjuk fel a rendszer kiterjesztett mátrixát, és elemi transzformációkkal redukáljuk le lépcsős nézet:

(1) Az első sort hozzáadtuk a másodikhoz, megszorozva –2-vel. Egyébként miért szorozzuk meg az első sort –2-vel? Annak érdekében, hogy nulla legyen az alján, ami azt jelenti, hogy megszabadulunk egy változótól a második sorban.

(2) Osszuk el a második sort 3-mal.

Az elemi transzformációk célja– csökkentse a mátrixot lépcsőzetes formára: . A feladat megtervezésekor csak egy egyszerű ceruzával jelölik ki a „lépcsőket”, és karikázzák be a „lépcsőkön” található számokat is. Maga a „lépcsőzetes nézet” kifejezés nem teljesen elméleti a tudományos és oktatási irodalomban trapéz alakú nézet vagy háromszög nézet.

Az elemi átalakítások eredményeként azt kaptuk egyenértékű eredeti egyenletrendszer:

Most a rendszert az ellenkező irányba kell „letekerni” - alulról felfelé ezt a folyamatot hívják a Gauss-módszer inverze.

Az alsó egyenletben már van egy kész eredményünk: .

Tekintsük a rendszer első egyenletét, és cseréljük be a már ismert „y” értékét:

Tekintsük a legáltalánosabb helyzetet, amikor a Gauss-módszer egy három lineáris egyenletrendszer megoldását igényli három ismeretlennel.

1. példa

Oldja meg az egyenletrendszert Gauss módszerrel:

Írjuk fel a rendszer kiterjesztett mátrixát:

Most azonnal lerajzolom az eredményt, amelyre a megoldás során eljutunk:

És ismétlem, az a célunk, hogy a mátrixot elemi transzformációk segítségével lépésenkénti formába hozzuk. Hol kezdjem?

Először nézze meg a bal felső számot:

Szinte mindig itt kell lennie Mértékegység. Általánosságban elmondható, hogy a –1 (és néha más számok is) megteszik, de valahogy hagyományosan megtörtént, hogy egyet általában oda helyeznek. Hogyan szervezzünk egy egységet? Megnézzük az első oszlopot - kész egységünk van! Első átalakítás: cserélje fel az első és a harmadik sort:

Most az első sor változatlan marad a megoldás végéig. Most jól.

A bal felső sarokban lévő egység rendezett. Most nullákat kell kapnia ezeken a helyeken:

Egy „nehéz” transzformáció segítségével nullákat kapunk. Először a második sorral (2, –1, 3, 13) foglalkozunk. Mit kell tenni, hogy nulla legyen az első pozícióban? Kell a második sorhoz adjuk hozzá az első sort –2-vel szorozva. Gondolatban vagy piszkozatban szorozza meg az első sort –2-vel: (–2, –4, 2, –18). És következetesen végrehajtjuk (ismét mentálisan vagy vázlatosan) kiegészítést, a második sorhoz hozzáadjuk az első sort, már –2-vel megszorozva:

Az eredményt a második sorba írjuk:

Ugyanígy foglalkozunk a harmadik sorral is (3, 2, –5, –1). Ahhoz, hogy az első pozícióban nullát kapjon, szüksége van a harmadik sorhoz adjuk hozzá az első sort –3-mal szorozva. Gondolatban vagy piszkozatban szorozza meg az első sort –3-mal: (–3, –6, 3, –27). ÉS a harmadik sorhoz hozzáadjuk az első sort –3-mal szorozva:

Az eredményt a harmadik sorba írjuk:

A gyakorlatban ezeket a műveleteket általában szóban hajtják végre, és egy lépésben írják le:

Nem kell mindent egyszerre és egyszerre számolni. A számítások sorrendje és az eredmények „beírása”. következetesés általában ez így van: először átírjuk az első sort, és lassan pöffeszkedünk magunkra - KÖVETKEZTETESEN és FIGYELMESEN:

Magának a számításnak a mentális folyamatát pedig már fentebb tárgyaltam.

Ebben a példában ez könnyen megtehető, a második sort elosztjuk –5-tel (mivel ott minden szám osztható 5-tel, maradék nélkül). Ugyanakkor a harmadik sort elosztjuk –2-vel, mert minél kisebbek a számok, annál egyszerűbb a megoldás:

Az elemi átalakítások végső szakaszában itt egy másik nullát kell kapnia:

Ezért a harmadik sorhoz hozzáadjuk a második sort –2-vel szorozva:

Próbáld meg kitalálni ezt a műveletet – gondolatban szorozd meg a második sort –2-vel, és hajtsd végre az összeadást.

Az utolsó végrehajtott művelet az eredmény frizurája, a harmadik sort el kell osztani 3-mal.

Az elemi transzformációk eredményeként egy ekvivalens lineáris egyenletrendszert kaptunk:

Menő.

Most a Gauss-módszer fordítottja lép életbe. Az egyenletek alulról felfelé „letekernek”.

A harmadik egyenletben már van egy kész eredmény:

Nézzük a második egyenletet: . A "zet" jelentése már ismert, így:

És végül az első egyenlet: . Az „Igrek” és a „zet” ismert, csak apróságokról van szó:

Válasz:

Amint már többször megjegyeztük, bármely egyenletrendszernél lehetséges és szükséges a megtalált megoldás ellenőrzése, szerencsére ez egyszerűen és gyorsan megy.

2. példa

Ez egy példa egy független megoldásra, egy minta a végleges tervből és egy válasz a lecke végén.

Meg kell jegyezni, hogy az Ön a döntés előrehaladását lehet, hogy nem esik egybe a döntési folyamatommal, és ez a Gauss-módszer sajátossága. De a válaszoknak ugyanazoknak kell lenniük!

3. példa

Oldjon meg egy lineáris egyenletrendszert Gauss módszerrel!

Írjuk fel a rendszer kiterjesztett mátrixát, és elemi transzformációkkal hozzuk lépésenkénti formába:

Nézzük a bal felső „lépést”. Nekünk kellene egy ott. A probléma az, hogy az első oszlopban egyáltalán nincsenek egységek, így a sorok átrendezése nem old meg semmit. Ilyen esetekben az egységet elemi transzformációval kell megszervezni. Ez általában többféleképpen is megtehető. Ezt csináltam: (1) Az első sorhoz hozzáadjuk a második sort –1-gyel megszorozva. Vagyis a második sort gondolatban megszoroztuk –1-gyel, és összeadtuk az első és a második sort, míg a második sor nem változott.

Most a bal felső sarokban a -1, ami nekünk pont megfelel. Aki szeretne +1-et kapni, további mozgást végezhet: az első sort szorozza meg –1-gyel (változtassa előjelét).

(2) Az első sort 5-tel szorozva hozzáadtuk a második sorhoz.

(3) Az első sort –1-gyel szoroztuk, ez elvileg a szépség miatt van. A harmadik vonal jelzése is megváltozott, és a második helyre került, így a második „lépcsőn” megvolt a szükséges egység.

(4) A második sort hozzáadtuk a harmadikhoz, megszorozva 2-vel.

(5) A harmadik sort elosztottuk 3-mal.

A rossz jel, amely számítási hibára (ritkábban elírásra) utal, a „rossz” lényeg. Vagyis ha valami olyasmit kapunk, mint , lent, és ennek megfelelően , akkor nagy valószínűséggel azt mondhatjuk, hogy az elemi átalakítások során hiba történt.

Mi fordítva terheljük, a példák tervezésénél sokszor nem magát a rendszert írják át, hanem az egyenleteket „közvetlenül az adott mátrixból veszik”. A fordított lépés, emlékeztetlek, működik, alulról felfelé:
Igen, itt az ajándék:

Válasz: .

4. példa

Oldjon meg egy lineáris egyenletrendszert Gauss módszerrel!

Ez egy példa, amelyet egyedül kell megoldania, ez valamivel bonyolultabb. Nem baj, ha valaki összezavarodik. Teljes megoldás és mintaterv az óra végén. Az Ön megoldása eltérhet az én megoldásomtól.

Az utolsó részben a Gauss-algoritmus néhány jellemzőjét tekintjük át.
Az első jellemző, hogy néha néhány változó hiányzik a rendszeregyenletekből, például:

Hogyan kell helyesen írni a kiterjesztett rendszermátrixot? Erről már beszéltem az órán. Cramer szabálya. Mátrix módszer. A rendszer kiterjesztett mátrixában a hiányzó változók helyére nullákat teszünk:

Ez egyébként egy elég egyszerű példa, hiszen az első oszlopban már van egy nulla, és kevesebb elemi transzformációt kell végrehajtani.

A második jellemző ez. Az összes vizsgált példában a „lépésekre” vagy –1-et vagy +1-et tettünk. Lehetnek ott más számok is? Bizonyos esetekben megtehetik. Fontolja meg a rendszert: .

Itt a bal felső „lépésben” van egy kettőnk. De észrevesszük azt a tényt, hogy az első oszlopban lévő összes szám maradék nélkül osztható 2-vel - a másik pedig kettő és hat. És a bal felső sarokban lévő kettő megfelel nekünk! Első lépésben a következő átalakításokat kell végrehajtania: a második sorhoz adja hozzá az első sort –1-gyel szorozva; a harmadik sorhoz adjuk hozzá az első sort –3-mal szorozva. Így az első oszlopban megkapjuk a szükséges nullákat.

Vagy egy másik hagyományos példa: . Itt a második „lépésben” a három is megfelel nekünk, hiszen a 12 (az a hely, ahol nullát kell kapnunk) maradék nélkül osztható 3-mal. A következő átalakítást kell végrehajtani: a harmadik sorhoz adjuk hozzá a második sort –4-gyel megszorozva, aminek eredményeként megkapjuk a szükséges nullát.

Gauss módszere univerzális, de van egy sajátossága. Magabiztosan megtanulhatja a rendszerek megoldását más módszerekkel (Cramer módszer, mátrix módszer) szó szerint az első alkalommal - nagyon szigorú algoritmusuk van. De ahhoz, hogy magabiztosan érezze magát a Gauss-módszerben, „be kell fognia”, és legalább 5-10 tíz rendszert kell megoldania. Ezért eleinte zűrzavar és számítási hibák adódhatnak, és ebben nincs semmi szokatlan vagy tragikus.

Az ablakon kívül esős őszi idő.... Ezért mindenkinek, aki összetettebb példát szeretne önállóan megoldani:

5. példa

Oldjon meg egy 4 lineáris egyenletrendszert négy ismeretlennel Gauss módszerrel!

Egy ilyen feladat nem olyan ritka a gyakorlatban. Azt hiszem, még egy teáskanna is, aki alaposan áttanulmányozta ezt az oldalt, meg fogja érteni egy ilyen rendszer intuitív megoldásának algoritmusát. Alapvetően minden ugyanaz – csak több művelet van.

A leckében azokat az eseteket tárgyaljuk, amikor a rendszernek nincs megoldása (inkonzisztens), vagy végtelen sok megoldása van. Inkompatibilis rendszerek és rendszerek közös megoldással. Itt rögzítheti a Gauss-módszer figyelembe vett algoritmusát.

Sok sikert!

Megoldások és válaszok:

2. példa: Írjuk fel a rendszer kiterjesztett mátrixát, és elemi transzformációkkal hozzuk lépésenkénti formába.

Elvégzett elemi átalakítások:
(1) Az első sort hozzáadtuk a másodikhoz, megszorozva –2-vel. Az első sort hozzáadtuk a harmadikhoz, megszorozva –1-gyel.Figyelem! Itt lehet a kísértés, hogy kivonja az elsőt a harmadik sorból. Erősen ajánlom, hogy ne vonja ki - a hiba kockázata jelentősen megnő. Csak hajtsd össze!
(2) A második sor előjele megváltozott (-1-gyel szorozva). A második és a harmadik sor felcserélődött.jegyzet , hogy a „lépcsőkön” nem csak eggyel elégszünk meg, hanem –1-gyel is, ami még kényelmesebb.
(3) A második sort hozzáadtuk a harmadikhoz, megszorozva 5-tel.
(4) A második sor előjele megváltozott (-1-gyel szorozva). A harmadik sort 14-gyel osztották.

Fordított:

Válasz: .

4. példa: Írjuk fel a rendszer kibővített mátrixát, és elemi transzformációkkal hozzuk lépésenkénti formába:

Végrehajtott konverziók:
(1) Az első sorhoz egy második sor került. Így a kívánt egység a bal felső „lépésben” van elrendezve.
(2) Az első sort 7-tel szorozva hozzáadtuk a második sorhoz.

A második „lépéssel” minden rosszabb lesz , a „jelöltek” a 17-es és a 23-as számok, és vagy egy vagy –1 kell. A (3) és (4) átalakítások célja a kívánt egység elérése

(3) A második sort hozzáadtuk a harmadikhoz, megszorozva –1-gyel.
(4) A harmadik sort hozzáadtuk a másodikhoz, megszorozva –3-mal.
A második lépéshez szükséges tétel megérkezett. .
(5) A második sort hozzáadtuk a harmadikhoz, megszorozva 6-tal.
(6) A második sort –1-gyel, a harmadikat –83-mal szoroztuk. Nyilvánvaló, hogy a síkot három különböző pont határozza meg egyértelműen, amelyek nem ugyanazon az egyenesen helyezkednek el. Ezért a síkok hárombetűs megnevezései meglehetősen népszerűek - a hozzájuk tartozó pontok szerint, például ; .Ha szabad tagok

Ez egy olyan fogalom, amely általánosítja a mátrixokkal végrehajtott összes lehetséges műveletet. Matematikai mátrix - elemek táblázata. Egy asztalról, ahol m vonalak és n oszlopokban, ennek a mátrixnak állítólag a mérete van m tovább n.

A mátrix általános képe:

Mert mátrix megoldások Meg kell érteni, mi a mátrix, és ismerni kell a fő paramétereit. A mátrix fő elemei:

A főátló, amely elemekből áll a 11, a 22…a mn.
Elemekből álló oldalátló a 1n , a 2n-1 .....a m1.

A mátrixok fő típusai:

A négyzet egy mátrix, ahol a sorok száma = az oszlopok száma ( m=n).
Nulla - ahol minden mátrixelem = 0.
Transzponált mátrix - mátrix BAN BEN, amelyet az eredeti mátrixból kaptunk A sorok oszlopokkal való helyettesítésével.
Egység - a főátló összes eleme = 1, az összes többi = 0.
Az inverz mátrix olyan mátrix, amelyet az eredeti mátrixszal megszorozva identitásmátrixot kapunk.

A mátrix lehet szimmetrikus a fő- és másodlagos átlóhoz képest. Vagyis ha a 12 = a 21, a 13 =a 31,…a 23 =a 32…. a m-1n =a mn-1, akkor a mátrix szimmetrikus a főátlóra. Csak a négyzetmátrixok lehetnek szimmetrikusak.

Mátrixok megoldási módszerei.

Szinte minden mátrix megoldási módszerek meghatározójának megtalálásából áll n-edik rend és a legtöbb elég körülményes. A 2. és 3. rend determinánsának megtalálására más, racionálisabb módszerek is vannak.

Másodrendű determinánsok keresése.

Egy mátrix determinánsának kiszámítása A 2. sorrendben le kell vonni a másodlagos átló elemeinek szorzatát a főátló elemeinek szorzatából:

3. rendű determinánsok megtalálásának módszerei.

Az alábbiakban a 3. rendű determináns megtalálásának szabályait ismertetjük.

A háromszög egyszerűsített szabálya, mint az egyik mátrix megoldási módszerek, így ábrázolható:

Más szóval, az első determinánsban lévő, egyenes vonallal összekötött elemek szorzatát egy „+” jellel vesszük; Ezenkívül a 2. determináns esetében a megfelelő termékeket a „-” jellel veszik, vagyis a következő séma szerint:

Nál nél mátrixok megoldása Sarrus szabályával, a determinánstól jobbra adjuk hozzá az első 2 oszlopot, és a megfelelő elemek szorzatait a főátlón és a vele párhuzamos átlókon egy „+” jellel vesszük; valamint a másodlagos átló és a vele párhuzamos átlók megfelelő elemeinek szorzata „-” jellel:

A sorban vagy oszlopban lévő determináns bontása mátrixok megoldásánál.

A determináns egyenlő a determináns sorának elemeinek és algebrai komplementereik szorzatának összegével. Általában a nullákat tartalmazó sor/oszlop kerül kiválasztásra. Nyíl jelzi azt a sort vagy oszlopot, amely mentén a bontás történik.

Mátrixok megoldásánál a determináns háromszög alakra redukálása.

Nál nél mátrixok megoldása A determináns háromszög alakúra redukálásának módszere a következőképpen működik: a sorokon vagy oszlopokon végzett legegyszerűbb transzformációk segítségével a determináns háromszög alakúvá válik, majd értéke a determináns tulajdonságainak megfelelően a szorzattal lesz egyenlő. a főátlón lévő elemek közül.

Laplace-tétel mátrixok megoldására.

A Laplace-tételt használó mátrixok megoldása során magát a tételt kell ismerni. Laplace tétele: Legyen Δ - ez meghatározó n-edik sorrend. Bármelyiket kiválasztjuk k sorok (vagy oszlopok), feltéve k≤ n-1. Ebben az esetben az összes kiskorú termékeinek összege k-a kiválasztott sorrendben k sorok (oszlopok), algebrai komplementereik alapján egyenlők lesznek a determinánssal.

Az inverz mátrix megoldása.

A műveletek sorrendje: inverz mátrix megoldások:

Határozza meg, hogy egy adott mátrix négyzet alakú-e. Ha a válasz nemleges, akkor világossá válik, hogy nem lehet rá inverz mátrix.
Algebrai komplementereket számolunk.
Összeállítunk egy unió (kölcsönös, adjunkt) mátrixot C.
Az inverz mátrixot algebrai összeadásokból állítjuk össze: az adjungált mátrix összes elemét C osztjuk a kezdeti mátrix determinánsával. A végső mátrix az adotthoz képest szükséges inverz mátrix lesz.
Ellenőrizzük az elvégzett munkát: szorozzuk meg a kezdeti mátrixot és a kapott mátrixot, az eredmény egy identitásmátrix legyen.

Mátrixrendszerek megoldása.

Mert mátrixrendszerek megoldásai Leggyakrabban a Gauss-módszert alkalmazzák.

A Gauss-módszer egy standard módszer a lineáris algebrai egyenletrendszerek (SLAE) megoldására, és abból áll, hogy a változókat szekvenciálisan elimináljuk, azaz elemi változtatások segítségével az egyenletrendszert egy ekvivalens háromszögrendszerbe hozzák, és ebből szekvenciálisan, az utóbbiból kiindulva (szám szerint) keresse meg a rendszer egyes elemeit.

Gauss módszer a legsokoldalúbb és legjobb eszköz a mátrix megoldások megtalálásához. Ha egy rendszernek végtelen számú megoldása van, vagy a rendszer nem kompatibilis, akkor nem oldható meg a Cramer-szabállyal és a mátrix módszerrel.

A Gauss-módszer magában foglalja a közvetlen (a kiterjesztett mátrix lépcsőzetes formára való redukálását, azaz nullák beszerzését a főátló alatt) és fordított (nullák beszerzése a kiterjesztett mátrix főátlója felett) elmozdulásokat is. Az előrelépés a Gauss-módszer, a fordított mozgás a Gauss-Jordan módszer. A Gauss-Jordan módszer csak a változók eliminálásának sorrendjében tér el a Gauss-módszertől.

M lineáris egyenletrendszer n ismeretlennel formarendszernek nevezzük

Ahol a ijÉs b i (én=1,…,m; b=1,…,n) néhány ismert szám, és x 1,…,x n– ismeretlen. Az együtthatók kijelölésében a ij első index én jelöli az egyenlet számát, és a második j– az ismeretlen száma, amelyen ez az együttható áll.

Az ismeretlenek együtthatóit mátrix formájában írjuk fel , amit majd hívunk a rendszer mátrixa.

Az egyenletek jobb oldalán található számok b 1 ,…,b m hívják ingyenes tagok.

Totalitás n számok c 1 ,…,c n hívott döntés egy adott rendszerre, ha a rendszer minden egyenlete egyenlőséggé válik, miután számokat helyettesítünk bele c 1 ,…,c n a megfelelő ismeretlenek helyett x 1,…,x n.

A mi feladatunk az lesz, hogy megoldásokat találjunk a rendszerre. Ebben az esetben három helyzet állhat elő:

Olyan lineáris egyenletrendszert nevezünk, amelynek legalább egy megoldása van közös. Ellenkező esetben, pl. ha a rendszernek nincsenek megoldásai, akkor ún nem ízületi.

Nézzük meg, hogyan lehet megoldást találni a rendszerre.

MÁTRIX MÓDSZER LINEÁRIS EGYENLETRENDSZER MEGOLDÁSÁRA

A mátrixok lehetővé teszik egy lineáris egyenletrendszer rövid leírását. Adjunk meg egy három egyenletrendszert három ismeretlennel:

Tekintsük a rendszermátrixot valamint ismeretlen és szabad kifejezések mátrixoszlopait

Keressük a munkát

azok. a szorzat eredményeként megkapjuk ennek a rendszernek az egyenleteinek bal oldalát. Ezután a mátrixegyenlőség definícióját használva ez a rendszer a formába írható

vagy rövidebb A∙X=B.

Itt vannak a mátrixok AÉs B ismertek, és a mátrix x ismeretlen. Meg kell találni, mert... elemei jelentik a megoldást erre a rendszerre. Ezt az egyenletet ún mátrix egyenlet.

Legyen a mátrix determináns különbözik nullától | A| ≠ 0. Ekkor a mátrixegyenletet a következőképpen oldjuk meg. Szorozzuk meg a bal oldali egyenlet mindkét oldalát a mátrixszal A-1, a mátrix inverze A: . Mert a A -1 A = EÉs E∙X = X, akkor a mátrixegyenlet megoldását kapjuk a formában X = A -1 B .

Vegye figyelembe, hogy mivel az inverz mátrix csak négyzetes mátrixokra található, a mátrix módszer csak azokat a rendszereket tudja megoldani, amelyekben az egyenletek száma egybeesik az ismeretlenek számával. A rendszer mátrixos rögzítése azonban lehetséges abban az esetben is, ha az egyenletek száma nem egyenlő az ismeretlenek számával, akkor a mátrix A nem lesz négyzet alakú, és ezért lehetetlen megoldást találni a rendszerre a formában X = A -1 B.

Példák. Egyenletrendszerek megoldása.

CRAMER SZABÁLYA

Tekintsünk egy 3 lineáris egyenletrendszert három ismeretlennel:

A rendszermátrixnak megfelelő harmadrendű determináns, azaz. ismeretlenek együtthatóiból áll,

hívott a rendszer meghatározója.

Állítsunk össze három további determinánst a következőképpen: cseréljük le egymás után a D determináns 1, 2 és 3 oszlopát egy szabad tagokból álló oszlopra.

Ekkor a következő eredményt tudjuk bizonyítani.

Tétel (Cramer-szabály). Ha a rendszer determinánsa Δ ≠ 0, akkor a vizsgált rendszernek csak egy megoldása van, és

Bizonyíték. Tehát vegyünk egy 3 egyenletrendszert három ismeretlennel. Szorozzuk meg a rendszer 1. egyenletét az algebrai komplementerrel A 11 elem egy 11, 2. egyenlet – be A 21és 3. – on A 31:

Adjuk hozzá ezeket az egyenleteket:

Nézzük meg ennek az egyenletnek mindegyik zárójelét és jobb oldalát. Az 1. oszlop elemeiben a determináns kiterjesztésének tételével

Hasonlóképpen kimutatható, hogy és .

Végül is ezt könnyű észrevenni

Így megkapjuk az egyenlőséget: .

Ennélfogva, .

Hasonlóan származnak a és egyenlőségek, amiből a tétel állítása következik.

Megjegyezzük tehát, hogy ha a rendszer determinánsa Δ ≠ 0, akkor a rendszernek egyedi megoldása van, és fordítva. Ha a rendszer determinánsa egyenlő nullával, akkor a rendszernek vagy végtelen számú megoldása van, vagy nincs megoldása, pl. összeegyeztethetetlen.

Példák. Egyenletrendszer megoldása

GAUSS MÓDSZER

A korábban tárgyalt módszerekkel csak azokat a rendszereket lehet megoldani, amelyekben az egyenletek száma egybeesik az ismeretlenek számával, és a rendszer determinánsának nullától eltérőnek kell lennie. A Gauss-módszer univerzálisabb, és tetszőleges számú egyenletű rendszerekhez alkalmas. Ez az ismeretlenek következetes kiiktatásából áll a rendszer egyenleteiből.

Tekintsünk ismét egy három egyenletrendszert három ismeretlennel:

Az első egyenletet változatlanul hagyjuk, a 2. és 3. egyenlettől pedig kizárjuk a x 1. Ehhez el kell osztani a második egyenletet A 21 és szorozzuk meg – A 11, majd add hozzá az 1. egyenlethez. Hasonlóképpen elosztjuk a harmadik egyenletet A 31 és szorozzuk meg – A 11, majd add hozzá az elsőhöz. Ennek eredményeként az eredeti rendszer a következő formában lesz:

Most az utolsó egyenletből kiküszöböljük a tartalmazó kifejezést x 2. Ehhez osszuk el a harmadik egyenletet, szorozzuk meg és adjuk össze a másodikkal. Ekkor lesz egy egyenletrendszerünk:

Innen az utolsó egyenletből könnyű megtalálni x 3, majd a 2. egyenletből x 2és végül 1-től - x 1.

A Gauss-módszer használatakor az egyenletek szükség esetén felcserélhetők.

Gyakran ahelyett, hogy új egyenletrendszert írnának fel, a rendszer kiterjesztett mátrixának kiírására szorítkoznak:

majd elemi transzformációk segítségével hozza háromszög vagy átló formába.

NAK NEK elemi átalakulások A mátrixok a következő transzformációkat tartalmazzák:

sorok vagy oszlopok átrendezése;
egy karakterlánc szorzása nullától eltérő számmal;
további sorok hozzáadása egy sorhoz.

Példák: Egyenletrendszerek megoldása Gauss módszerrel.

Így a rendszernek végtelen számú megoldása van.

Az egyenletek általában, a lineáris algebrai egyenletek és rendszereik, valamint a megoldásukra szolgáló módszerek különleges helyet foglalnak el a matematikában, mind elméleti, mind alkalmazott értelemben.

Ez annak köszönhető, hogy a fizikai, gazdasági, műszaki, sőt pedagógiai problémák túlnyomó többsége sokféle egyenlet és rendszerük segítségével leírható és megoldható. A közelmúltban a matematikai modellezés különös népszerűségre tett szert a kutatók, tudósok és gyakorlati szakemberek körében szinte minden tématerületen, ami azzal magyarázható, hogy nyilvánvaló előnyei vannak a különböző természetű objektumok tanulmányozásának más jól ismert és bevált módszereivel szemben, különösen az ún. rendszerek. A matematikai modellnek nagyon sokféle definíciója létezik a tudósok által különböző időpontokban, de véleményünk szerint a legsikeresebb a következő állítás. A matematikai modell egy egyenlettel kifejezett elképzelés. Így az egyenletek és rendszereik összeállításának és megoldásának képessége a modern szakember szerves jellemzője.

Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldására a leggyakrabban használt módszerek a Cramer, a Jordan-Gauss és a mátrix módszer.

A mátrixmegoldási módszer egy nem nulla determinánsú lineáris algebrai egyenletrendszer inverz mátrix segítségével történő megoldására szolgáló módszer.

Ha az A mátrixban kiírjuk az xi ismeretlen értékek együtthatóit, az X vektoroszlopba gyűjtjük az ismeretlen értékeket, a B vektoroszlopba pedig a szabad tagokat, akkor a lineáris algebrai egyenletrendszer felírható az alábbi A · X = B mátrixegyenlet alakja, amelynek csak akkor van egyedi megoldása, ha az A mátrix determinánsa nem egyenlő nullával. Ebben az esetben az egyenletrendszer megoldását a következő módon találhatjuk meg x = A-1 · B, Ahol A-1 az inverz mátrix.

A mátrix megoldási módszer a következő.

Adjunk meg egy lineáris egyenletrendszert azzal n ismeretlen:

Átírható mátrix formában: FEJSZE = B, Ahol A- a rendszer fő mátrixa, BÉs x- a rendszer szabad kifejezéseinek és megoldásainak oszlopai:

Szorozzuk meg ezt a bal oldali mátrixegyenletet ezzel A-1 - mátrix mátrix inverze A: A -1 (FEJSZE) = A -1 B

Mert A -1 A = E, kapunk x=A -1 B. Ennek az egyenletnek a jobb oldala adja meg az eredeti rendszer megoldási oszlopát. A módszer alkalmazhatóságának feltétele (valamint annak, hogy egy inhomogén lineáris egyenletrendszerre általában létezik megoldás, ahol az egyenletek száma egyenlő az ismeretlenek számával) a mátrix nem degeneráltsága. A. Ennek szükséges és elégséges feltétele, hogy a mátrix determinánsa ne legyen egyenlő nullával A:det A≠ 0.

Egy homogén lineáris egyenletrendszerre, vagyis amikor a vektor B = 0 , sőt az ellenkező szabály: a rendszer FEJSZE = A 0-nak csak akkor van nem triviális (vagyis nem nulla) megoldása, ha det A= 0. Az ilyen kapcsolatot a homogén és inhomogén lineáris egyenletrendszerek megoldásai között Fredholm-alternatívának nevezzük.

Példa inhomogén lineáris algebrai egyenletrendszer megoldásai.

Győződjön meg arról, hogy a lineáris algebrai egyenletrendszer ismeretleneinek együtthatóiból álló mátrix determinánsa nem egyenlő nullával.

A következő lépés az ismeretlenek együtthatóiból álló mátrix elemeinek algebrai komplementereinek kiszámítása. Szükség lesz rájuk az inverz mátrix megtalálásához.

Az egyenletek használata széles körben elterjedt életünkben. Számos számításnál, szerkezetek építésénél és még sportolásnál is használják. Az ember az ókorban használt egyenleteket, azóta használatuk csak nőtt. A mátrix módszer lehetővé teszi, hogy bármilyen összetettségű SLAE-re (lineáris algebrai egyenletrendszerre) találjon megoldást. Az SLAE megoldásának teljes folyamata két fő műveletből áll:

Az inverz mátrix meghatározása a főmátrix alapján:

A kapott inverz mátrixot megszorozzuk a megoldások oszlopvektorával.

Tegyük fel, hogy a következő formájú SLAE-t kapjuk:

\[\left\(\begin(mátrix) 5x_1 + 2x_2 & = & 7 \\ 2x_1 + x_2 & = & 9 \end(mátrix)\jobbra.\]

Kezdjük az egyenlet megoldását a rendszermátrix felírásával:

Jobb oldali mátrix:

Határozzuk meg az inverz mátrixot. A 2. rendű mátrixot a következőképpen találhatja meg: 1 - magának a mátrixnak nem szingulárisnak kell lennie; 2 - a főátlón lévő elemeit felcseréljük, és a másodlagos átló elemeinél az előjelet az ellenkezőjére cseréljük, majd a kapott elemeket elosztjuk a mátrix determinánsával. Kapunk:

\[\begin(pmatrix) 7 \\ 9 \end(pmatrix)=\begin(pmatrix) -11 \\ 31 \end(pmatrix)\Rightarrow \begin(pmatrix) x_1 \\ x_2 \end(pmatrix) =\ kezdő(pmátrix) -11 \\ 31 \end(pmátrix) \]

2 mátrix akkor tekinthető egyenlőnek, ha a hozzájuk tartozó elemeik egyenlőek. Ennek eredményeként a következő választ kapjuk az SLAE megoldásra:

Hol tudok online egyenletrendszert megoldani mátrix módszerrel?

Weboldalunkon meg tudja oldani az egyenletrendszert. Az ingyenes online megoldó segítségével pillanatok alatt megoldhat bármilyen bonyolultságú online egyenletet. Mindössze annyit kell tennie, hogy egyszerűen beírja adatait a megoldóba. Honlapunkon megtudhatja, hogyan kell megoldani az egyenletet. És ha továbbra is kérdései vannak, felteheti őket a VKontakte csoportunkban.

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete