A) A test két harmonikus rezgésben vesz részt, azonos körfrekvenciájúw , de különböző amplitúdókkal és kezdeti fázisokkal.

Ezen oszcillációk egyenlete a következőképpen lesz felírva:

x 1 = a 1 cos(wt + j 1)

x 2 = a 2 cos(wt + j 2),

Ahol x 1És x 2- elmozdulás; egy 1És a 2- amplitúdók; w- mindkét rezgés körfrekvenciája; j 1És j 2- az oszcilláció kezdeti fázisai.

Adjuk össze ezeket az oszcillációkat vektordiagram segítségével. Mindkét rezgést ábrázoljuk amplitúdóvektorként. Ehhez a tengelyen fekvő tetszőleges O pontból x, ábrázoljunk két 1-es és 2-es vektort szögben j 1És j 2 ehhez a tengelyhez (2. ábra).

Ezen vektorok vetületei a tengelyre x egyenlő lesz az eltolásokkal x 1És x 2 a (2) kifejezés szerint. Amikor mindkét vektor az óramutató járásával ellentétes irányban forog szögsebességgel w végeik vetületei a tengelyre x harmonikus rezgéseket fog végrehajtani. Mivel mindkét vektor azonos szögsebességgel forog w, majd a köztük lévő szöget j=j 1-j 2állandó marad. Az 1-es és 2-es vektorokat a paralelogramma-szabály szerint összeadva a kapott vektort kapjuk. Amint a 2. ábrán látható, ennek a vektornak a vetülete a tengelyre x egyenlő a vektorok elemeinek vetületeinek összegével x=x 1 +x 2. A másik oldalon: x=a·cos(wt+j o).

Következésképpen a vektor ugyanolyan szögsebességgel forog, mint az 1. és 2. vektor, és harmonikus rezgést hajt végre, ugyanazon az egyenes mentén, mint az oszcillációk összetevői, és az eredeti rezgések frekvenciájával megegyező frekvenciával. Itt j o - a keletkező rezgés kezdeti fázisa.

Amint a 2. ábrán látható, az eredő rezgés amplitúdójának meghatározásához használhatja a koszinusztételt, amely szerint:

a 2 = a 1 2 + a 2 2 - 2a 1 a 2 cos

a = a 1 2 + a 2 2 + 2a 1 a 2 cos(j 2 - j 1)(3)

A (3) kifejezésből világos, hogy az eredő oszcilláció amplitúdója függ a kezdeti fázisok különbségétől ( j 2 - j 1) rezgések összetevői. Ha a kezdeti fázisok egyenlőek ( j 2 = j 1), akkor a (3) képletből jól látható, hogy az amplitúdó A egyenlő az összeggel egy 1És a 2. Ha a fáziskülönbség ( j 2 - j 1) egyenlő ±180 o-val (azaz mindkét rezgés ellenfázisú), akkor a keletkező rezgés amplitúdója megegyezik a komponensrezgések amplitúdóinak különbségének abszolút értékével. : a = |a 1 - a 2 |.

b) A test két, azonos amplitúdójú, nullával egyenlő kezdeti fázisú és eltérő frekvenciájú rezgésben vesz részt..

Ezeknek az oszcillációknak az egyenletei így fognak kinézni:

x 1 = а·sinw 1 t,

x 2 = a·sinw 2 t.

Feltételezhető, hogy w 1 méretében alig tér el ettől w 2. Ezeket a kifejezéseket hozzáadva a következőket kapjuk:

x=x 1 +x 2 =2a cos[(w 1 - w 2)/2]t+sin[(w 1 + w 2)/2]t=

=2a cos[(w 1 - w 2)/2]t sin wt (4)

Az így létrejövő mozgás egy összetett rezgés, ún veri(3. ábra) Mivel az érték w 1 - w 2 méretéhez képest kicsi w 1 + w 2, akkor ez a mozgás harmonikus rezgésnek tekinthető, amelynek frekvenciája megegyezik a hozzáadott oszcillációk frekvenciáinak összegének felével w=(w 1 +w 2)/2, és változó amplitúdójú.

A (4)-ből az következik, hogy az eredő rezgés amplitúdója a periodikus koszinusz törvény szerint változik. A koszinuszfüggvény értékeinek megváltoztatásának teljes ciklusa akkor következik be, amikor az argumentum 360 0-val változik, miközben a függvény +1-től -1-ig terjedő értékeken halad át. A (4) képletben a koszinuszfüggvény jelzett értékeinek megfelelő időközönként verő rendszer állapota nem különbözik. Más szóval, az ütemciklusok olyan periodikussággal fordulnak elő, amely megfelel a (4) képlet koszinusz argumentumának 180 0-val történő változásának. Így az időszak T a az amplitúdó ütemben bekövetkező változásait (ütési periódus) a következő feltétel határozza meg:

Ta = 2p/(w 1 - w 2).

Tekintve, hogy w=2pn, kapunk:

Ta = 2 p /2 p (n 1 - n 2) = 1/(n 1 - n 2). (5)

Az eredményül kapott rezgés amplitúdójának változási gyakorisága megegyezik a hozzáadott rezgések frekvenciáinak különbségével:

n=1/Ta=n1-n2.

Egyirányú harmonikus rezgések összeadása.

Beats

Tekintsünk egy egy szabadságfokú oszcillációs rendszert, amelynek állapotát egy bizonyos mennyiség időfüggősége határozza meg. Legyen az oszcilláció ebben a rendszerben két azonos frekvenciájú, de eltérő amplitúdójú és kezdeti fázisú harmonikus rezgés összege, pl.

Mivel az oszcillációs rendszer „elmozdulása” az egyensúlyi helyzetből egyetlen „irány” mentén történik, ezért ebben az esetben egyirányú harmonikus rezgések összeadásáról beszélnek. A vektordiagramon a hozzáadott rezgéseket két vektor formájában ábrázoljuk, és egymáshoz képest egy szöggel elforgatva (6.1. ábra). Mivel a hozzáadott rezgések frekvenciái azonosak, relatív helyzetük bármikor változatlan marad, és az így létrejövő rezgést a és a vektorok összegével megegyező vektor reprezentálja. A paralelogramma-szabály szerint vektorokat összeadva és a koszinusztételt felhasználva azt kapjuk

. (6.3)

És így, két azonos irányú, azonos frekvenciájú harmonikus rezgést összeadva azonos frekvenciájú harmonikus rezgést kapunk, melynek amplitúdóját és kezdeti fázisát a kifejezések határozzák meg.(6.2), (6.3).

Két azonos frekvencián fellépő, állandó fáziskülönbséggel rendelkező harmonikus rezgést nevezünk összefüggő. Következésképpen koherens rezgések összeadásakor azonos frekvenciájú harmonikus rezgést kapunk, amelynek amplitúdóját és kezdeti fázisát a hozzáadott rezgések amplitúdói és kezdeti fázisai határozzák meg.

Ha a hozzáadott rezgések eltérő frekvenciájúak és de azonos amplitúdójúak , akkor a trigonometriából ismert kifejezést használva két szög koszinuszának összegére kapjuk

A kapott kifejezésből világos, hogy az eredő oszcilláció nem harmonikus.

Legyenek a hozzáadott rezgések frekvenciái közel egymáshoz úgy, hogy és . Ezt az esetet ún két frekvencia üteme.

Miután kijelölte , És , tudunk írni

. (6.5)

A (6.5) kifejezésből az következik, hogy a keletkező rezgés egy bizonyos átlagos frekvenciájú harmonikus rezgésként ábrázolható, amelynek amplitúdója lassan (frekvenciával) idővel változik. Idő hívott ütemidőszak, A – ütem frekvenciája. Az ütem grafikonja a 6.2. ábrán látható. A verés akkor következik be, amikor két azonos tónusú hangvilla egyidejű megszólaltatása. Oszcilloszkóppal figyelhetők meg két azonos frekvenciára hangolt generátor harmonikus rezgésének összeadásával. Mindkét esetben a rezgésforrások frekvenciája kissé eltérő lesz, ami ütéseket eredményez.

Mivel az oszcillációk különböző frekvenciájúak, a hozzáadott rezgések fáziskülönbsége idővel változik, ezért a rezgések nem koherensek. A keletkező rezgések amplitúdójának időbeni változása a hozzáadott rezgések inkoherenciájának jellegzetes következménye..

Az elektromos áramkörökben és különösen a rádiókommunikációs eszközökben gyakran megfigyelhető az oszcillációk hozzáadódása. Bizonyos esetekben ez céltudatosan történik annak érdekében, hogy a megadott paraméterekkel jelet kapjunk. Például egy heterodin vevőben a vett jelet hozzáadják (keverik) a helyi oszcillátor jeléhez, hogy a későbbi feldolgozás eredményeként köztes frekvenciájú oszcillációt kapjanak. Más esetekben az oszcillációk összeadása spontán módon történik, amikor a hasznos jel mellett valamilyen interferencia érkezik a készülék bemenetére. Valójában az elektromos jelformák sokfélesége két vagy több harmonikus rezgés összeadásának eredménye.

3/6. oldal

41. Az oszcillációs áramkör egy L = 0,1 H induktivitású tekercsből és egy C = 39,5 μF kapacitású kondenzátorból áll. A kondenzátor töltése Q m = 3 µC. Az áramkör ellenállását figyelmen kívül hagyva írja fel az egyenletet: 1) az áramerősség változása az áramkörben az idő függvényében; 2) a kondenzátor feszültségének változása az idő függvényében.

42. L = 0,1 H induktivitású tekercset és kondenzátort tartalmazó oszcillációs áramkörben az áramerősség idővel változik az I = - 0,1 sin 200πt, A egyenlet szerint. Határozza meg: 1) a rezgés periódusát; 2) kondenzátor kapacitása; 3) maximális feszültség a kondenzátorlapokon; 4) maximális mágneses mező energia; 5) az elektromos tér maximális energiája.

43. Az oszcillációs körben fellépő szabad csillapítatlan rezgések energiája 0,2 mJ. Amikor a kondenzátorlemezeket lassan elmozdították egymástól, az oszcillációs frekvencia n = 2-szeresére nőtt. Határozza meg az elektromos térerőkkel szemben végzett munkát!

44. Egy C kapacitású kondenzátort U m feszültségre töltöttünk, és egy L induktivitású tekercsre csatlakoztattuk. Az áramkör ellenállását figyelmen kívül hagyva határozzuk meg az áram amplitúdóértékét ebben az oszcilláló áramkörben.

45. Az oszcilláló áramkör tartalmaz egy tekercset, amelynek teljes menetszáma N = 100, induktivitása L = 10 μH és egy kondenzátort, amelynek kapacitása C = 1 nF. A kondenzátorlapokon a maximális U m feszültség 100 V. Határozza meg a tekercsen áthaladó maximális mágneses fluxust.

46. ​​Két azonos irányú, azonos periódusú, A 1 = 4 cm és A 2 = 8 cm amplitúdójú harmonikus rezgés fáziskülönbsége φ = 45°. Határozza meg a keletkező rezgés amplitúdóját!

47. A két azonos irányú, 60°-os fáziskülönbségű harmonikus rezgés összeadásából eredő rezgés amplitúdója egyenlő: A = 6 cm Határozzuk meg a második rezgés A 2 amplitúdóját, ha A! 1 = 5 cm.

48. Határozza meg két azonos irányú, azonos frekvenciájú és amplitúdójú harmonikus rezgés fáziskülönbségét, ha az eredő rezgések amplitúdója megegyezik a hozzáadott rezgések amplitúdójával!

49. Két azonos irányú T = 4 s időtartamú és azonos amplitúdójú A = 5 cm harmonikus rezgés közötti fáziskülönbség π/4. Írja fel a mozgásegyenletet, amely ezen rezgések összeadásából adódik, ha az egyik kezdeti fázisa nulla!

50. Összeadunk két azonos irányú harmonikus rezgést, amelyeket az x 1 = 3 cos 2πt, cm és x 2 = 3 cos (2πt + π/4), cm egyenletekkel írunk le. 2) kezdeti fázis. Írja fel a kapott rezgés egyenletét, és mutassa be az amplitúdók összeadásának vektordiagramját!

51. Egy pont egyidejűleg n azonos irányú, azonos frekvenciájú harmonikus rezgésben vesz részt: A 1 cos(ωt + φ 1), A 2 cos(ωt + φ 2), A n cos(ωt)/ + φ n. A forgó amplitúdóvektor módszerrel határozza meg az eredő oszcillációhoz: 1) amplitúdót; 2) kezdeti fázis.

52. Két egyidejűleg hangzó hangvilla rezgési frekvenciái 560 és 560,5 Hz-re épülnek. Határozza meg az ütemidőt.

53. Két rezgés összeadása eredményeként, amelyek közül az egyik periódusa T 1 = 0,02 s. ütemeket kapunk T 6 = 0,2 s periódussal. Határozzuk meg a második hajtogatott rezgés T 2 periódusát!

54. Két azonos irányú harmonikus rezgést adunk hozzá, azonos amplitúdókkal és azonos kezdeti fázisokkal, T 1 = 2 s és T 2 = 2,05 s periódusokkal. Határozzuk meg: 1) a keletkező rezgés periódusát; 2) verési időszak.

55. A két azonos irányú harmonikus rezgés összeadásával létrejövő rezgést az x = A költség cos45t (t - másodpercben) alakú egyenlet írja le. Határozza meg: 1) a hozzáadott rezgések ciklikus frekvenciáit; 2) az eredő rezgés ütemének periódusa.

56. Egy pont egyidejűleg részt vesz két egymásra merőleges irányú harmonikus rezgésben, amelyeket az x = 3 cos ωt, cm és az y = 4 cos ωt, cm egyenletek írnak le. Határozzuk meg a pont pályájának egyenletét, és rajzoljuk meg a-val! skála.

57. Egy pont egyszerre vesz részt két egymásra merőleges irányú harmonikus rezgésben, amelyeket az x = 3 cos 2ωt, cm és y = 4 cos(2ωt + n), cm egyenletek írnak le. Határozzuk meg a pont pályájának egyenletét és! skálával rajzold meg.

58. Egy pont egyidejűleg két, egymásra merőleges irányú harmonikus rezgésben vesz részt, amelyeket az x = A sin ωt és y = B cos ωt egyenletek írnak le, ahol A, B és ω pozitív állandók. Határozza meg a pont pályájának egyenletét, rajzolja meg skálával, jelezve a mozgás irányát ezen a pályán!

59. Egy pont egyidejűleg két azonos frekvenciájú harmonikus rezgésben vesz részt, amelyek egymásra merőleges irányúak és az x = A sin(ωt + π/2) és y = A sin πt egyenletekkel írhatók le. Határozza meg a pont pályájának egyenletét, és rajzolja meg skálával, jelezve a mozgás irányát ezen a pályán!

60. A pont két egymásra merőleges irányú harmonikus rezgésben vesz részt, amelyeket az x = cos 2π/ és az y = cos πt egyenletek írnak le. Határozza meg a pont pályájának egyenletét, és rajzolja meg skálával!

Rezgések hozzáadása

Két azonos amplitúdójú és frekvenciájú harmonikus rezgés összeadása

Tekintsük a hanghullámok példáját, amikor két forrás azonos A amplitúdójú és azonos frekvenciájú hullámokat hoz létre?. Érzékeny membránt helyezünk el a forrásoktól távol. Amikor a hullám „áthalad” a forrástól a membránig, a membrán vibrálni kezd. Az egyes hullámok membránra gyakorolt ​​hatása a következő összefüggésekkel írható le oszcillációs függvények segítségével:

x1(t) = A cos(?t + ?1),

x2(t) = A cos(?t + ?2).

x(t) = x1 (t) + x2 (t) = A (1,27)

A zárójelben lévő kifejezés a koszinuszok trigonometrikus összege függvényében másképp írható:

Az (1.28) függvény egyszerűsítése érdekében új A0 és?0 mennyiségeket vezetünk be, amelyek kielégítik a feltételt:

A0 = ?0 = (1,29)

Ha az (1.29) kifejezéseket behelyettesítjük az (1.28) függvénybe, megkapjuk

Tehát az azonos frekvenciájú harmonikus rezgések összege? van-e azonos frekvenciájú harmonikus rezgés?. Ebben az esetben a teljes rezgés A0 amplitúdóját és a kezdeti fázist?0 az (1.29) összefüggések határozzák meg.

Két azonos frekvenciájú, de eltérő amplitúdójú és kezdeti fázisú harmonikus rezgés összeadása

Tekintsük most ugyanezt a helyzetet, változtatjuk meg az oszcilláció amplitúdóit az (1.26) függvényben. Az x1 (t) függvénynél az A amplitúdót A1-re, az x2 (t) függvényre az A-t A2-re cseréljük. Ekkor az (1.26) függvények a következő formában lesznek kiírva

x1 (t) = A1 cos (a t + ?1), x2 (t) = A2 cos (a t + ?2); (1,31)

Határozzuk meg a harmonikus függvények összegét (1.31)

x= x1 (t) + x2 (t) = A1 cos(?t + ?1) + A2 cos (?t + ?2) (1,32)

Az (1.32) kifejezést az összeg koszinuszának trigonometrikus függvényével másképp is felírhatjuk:

x(t) = (A1cos(?1) + A2cos(?2)) cos(?t) - (A1sin(?1) + A2sin(?2)) sin(?t) (1,33)

Az (1.33) függvény egyszerűsítése érdekében új A0 és?0 mennyiségeket vezetünk be, amelyek kielégítik a feltételt:

Nézzük négyzetre az (1.34) rendszer minden egyenletét, és adjuk össze a kapott egyenleteket. Ekkor a következő összefüggést kapjuk az A0 számra:

Tekintsük az (1.35) kifejezést. Bizonyítsuk be, hogy a gyök alatti mennyiség nem lehet negatív. Mivel a cos(?1 - ?2) ? -1, ami azt jelenti, hogy ez az egyetlen mennyiség, ami befolyásolhatja a gyök alatti szám előjelét (A12 > 0, A22 > 0 és 2A1A2 > 0 (az amplitúdó definíciójából)). Tekintsük a kritikus esetet (a koszinusz egyenlő mínusz eggyel). A gyök alatt található a különbség négyzetének képlete, ami mindig pozitív mennyiség. Ha elkezdjük fokozatosan növelni a koszinuszát, akkor a koszinuszot tartalmazó tag is növekedni kezd, akkor a gyök alatti érték nem változtatja az előjelét.

Most számoljuk ki a?0 mennyiség összefüggését úgy, hogy az (1.34) rendszer második egyenletét elosztjuk az elsővel, és kiszámítjuk az arctangensét:

Most cseréljük be az (1.34) rendszer értékeit az (1.33) függvénybe.

x = A0(cos(?0) cos?t - sin(?0) sin?t) (1,37)

A zárójelben lévő kifejezést a koszinuszösszeg képlettel átalakítva a következőt kapjuk:

x(t) = A0 cos(?t + ?0) (1,38)

És ismét kiderült, hogy az (1.31) alak két harmonikus függvényének összege is egy azonos típusú harmonikus függvény. Pontosabban: két azonos frekvenciájú harmonikus rezgés összeadása? azonos frekvenciájú harmonikus rezgés is?. Ebben az esetben a keletkező rezgés amplitúdóját az (1,35) összefüggés, a kezdeti fázist pedig az (1,36) összefüggés határozza meg.

Legyen egy pont egyidejűleg két azonos periódusú, egy egyenes mentén irányított harmonikus rezgésben.

Az oszcillációkat a vektordiagram módszerrel fogjuk összeadni (2.2. ábra). Adják meg az oszcillációkat az egyenletek

És

(2.2.1)

Halasszuk el a lényeget RÓL RŐL egy vektort, amely φ 1 szöget zár be a referenciavonallal, és egy vektort, amely φ 2 szöget zár be. Mindkét vektor azonos ω szögsebességgel forog az óramutató járásával ellentétes irányba, így fáziskülönbségük nem függ az időtől (). Az ilyen rezgéseket koherensnek nevezzük.

Tudjuk, hogy egy vektor teljes vetülete megegyezik az ugyanazon a tengelyen lévő vetületek összegével. Ezért a keletkező rezgés egy pont körül forgó amplitúdóvektorral ábrázolható RÓL RŐL ugyanolyan ω szögsebességgel, mint , és . Az így létrejövő rezgésnek is harmonikusnak kell lennie ω frekvenciával:

.

A vektorösszeadási szabály segítségével megtaláljuk a teljes amplitúdót:

A kapott amplitúdót a képlet segítségével találjuk meg

Így egy test, amely két azonos irányú és frekvenciájú harmonikus rezgésben vesz részt, egy harmonikus rezgést is végrehajt ugyanabban az irányban és ugyanolyan frekvenciával, mint a hozzáadott rezgések.

A (2.2.2)-ből az következik, hogy az amplitúdó A Az így létrejövő oszcilláció a kezdeti fázisok különbségétől függ. Lehetséges értékek A tartományba esik (az amplitúdó nem lehet negatív).

Nézzünk néhány egyszerű esetet.

1. A fáziskülönbség nulla vagy páros számπ, azaz ahol . Akkor

mivel, azaz az eredő rezgés amplitúdója A egyenlő a hozzáadott rezgések (oszcillációk) amplitúdóinak összegével fázisban) (2.3. ábra).

2. A fáziskülönbség páratlan számπ , vagyis , Ahol . Akkor . Innen

ábrán. A 2.4 a keletkező rezgés amplitúdóját mutatja A, egyenlő a hozzáadott rezgések amplitúdóinak különbségével (oszcillációk in antifázis).

3. A fáziskülönbség idővel tetszőleges módon változik:

(2.2.6)

A (2.2.6) egyenletből az következik, hogy és az értéknek megfelelően fog változni. Ezért az inkoherens rezgések összeadásakor nincs értelme amplitúdók összeadásáról beszélni, de bizonyos esetekben egészen határozott mintázatok figyelhetők meg. A gyakorlat szempontjából különösen érdekes az az eset, amikor két azonos irányú rezgés frekvenciája kismértékben különbözik. Ezen rezgések összeadásával periodikusan változó amplitúdójú oszcillációkat kapunk.

Az oszcillációk amplitúdójának időszakos változásai, amelyek két hasonló frekvenciájú harmonikus rezgés összeadásakor jelentkeznek, hívják veri . Szigorúan véve ezek már nem harmonikus rezgések.

Legyen a hozzáadott rezgések amplitúdója egyenlő A, és a frekvenciák egyenlők ω és , és . A referenciapontot úgy választjuk meg, hogy mindkét rezgés kezdeti fázisa nulla legyen:

Adjuk hozzá ezeket a kifejezéseket, figyelmen kívül hagyva a , mivel .

A függőség természetét (2.2.8) az ábra mutatja. 2.5, ahol a folytonos vastag vonalak a keletkező rezgés grafikonját, a burkológörbeik pedig a (2.2.7) egyenlet szerint lassan változó amplitúdó grafikonját adják.

A referencia és a mért rezgések közötti ütemek hangfrekvenciájának (bizonyos magasságú hangjának) meghatározása a gyakorlatban a legszélesebb körben alkalmazott módszer a mért érték és a referencia összehasonlítására. Az ütemmódszert hangszerek hangolására, halláselemzésre stb.

Általában az ilyen típusú rezgéseket ún modulált . Különleges esetek: amplitúdómoduláció és fázis- vagy frekvenciamoduláció. Kifut– a modulált rezgések legegyszerűbb típusa.

Bármilyen komplex periodikus rezgés ábrázolható egyidejűleg fellépő harmonikus rezgések szuperpozíciójaként, különböző amplitúdókkal, kezdeti fázisokkal, valamint az ω ciklikus frekvenciájának többszörösei frekvenciájával:

.

A periodikus függvény ábrázolása ebben a formában a fogalomhoz kapcsolódik komplex periodikus oszcilláció harmonikus elemzése, vagy Fourier-tágítás(azaz összetett modulált rezgések ábrázolása egyszerű harmonikus rezgések sorozata (összege) formájában). Az ω, 2ω, 3ω, ... frekvenciájú harmonikus rezgéseket meghatározó Fourier-sor feltételeit ún. első(vagy fő), második, harmadik stb. harmonikusok komplex periodikus oszcilláció.