Koszinusz tétel. Vizuális útmutató (2019)

Fontos számunkra az Ön személyes adatainak védelme. Emiatt kidolgoztunk egy adatvédelmi szabályzatot, amely leírja, hogyan használjuk és tároljuk az Ön adatait. Kérjük, tekintse át adatvédelmi gyakorlatunkat, és tudassa velünk, ha kérdése van.

Személyes adatok gyűjtése és felhasználása

A személyes adatok olyan adatokra vonatkoznak, amelyek felhasználhatók egy adott személy azonosítására vagy kapcsolatfelvételre.

Amikor kapcsolatba lép velünk, bármikor megkérhetjük személyes adatainak megadására.

Az alábbiakban bemutatunk néhány példát arra, hogy milyen típusú személyes adatokat gyűjthetünk, és hogyan használhatjuk fel ezeket az információkat.

Milyen személyes adatokat gyűjtünk:

• Amikor jelentkezik az oldalon, különféle információkat gyűjthetünk, beleértve az Ön nevét, telefonszámát, e-mail címét stb.

Hogyan használjuk fel személyes adatait:

• Az általunk gyűjtött személyes adatok lehetővé teszik számunkra, hogy egyedi ajánlatokkal, promóciókkal és egyéb eseményekkel és közelgő eseményekkel kapcsolatba léphessünk Önnel.
• Időről időre felhasználhatjuk személyes adatait fontos értesítések és közlemények küldésére.
• A személyes adatokat belső célokra is felhasználhatjuk, például auditok lefolytatására, adatelemzésre és különféle kutatásokra annak érdekében, hogy javítsuk szolgáltatásainkat, és javaslatokat adjunk Önnek szolgáltatásainkkal kapcsolatban.
• Ha nyereményjátékban, versenyben vagy hasonló promócióban vesz részt, az Ön által megadott információkat felhasználhatjuk az ilyen programok lebonyolítására.

Információk közlése harmadik fél számára

Az Öntől kapott információkat nem adjuk ki harmadik félnek.

Kivételek:

• Szükség esetén - a törvénynek, a bírósági eljárásnak, a bírósági eljárásoknak megfelelően és/vagy az Orosz Föderáció területén található állami kérelmek vagy kormányzati hatóságok kérelmei alapján - az Ön személyes adatainak nyilvánosságra hozatala. Felfedhetünk Önnel kapcsolatos információkat is, ha úgy ítéljük meg, hogy az ilyen nyilvánosságra hozatal biztonsági, bűnüldözési vagy egyéb közérdekű célból szükséges vagy megfelelő.
• Átszervezés, egyesülés vagy eladás esetén az általunk gyűjtött személyes adatokat átadhatjuk a megfelelő jogutód harmadik félnek.

Személyes adatok védelme

Óvintézkedéseket teszünk – beleértve az adminisztratív, technikai és fizikai intézkedéseket is –, hogy megvédjük személyes adatait az elvesztéstől, lopástól és visszaéléstől, valamint a jogosulatlan hozzáféréstől, nyilvánosságra hozataltól, megváltoztatástól és megsemmisítéstől.

A magánélet tiszteletben tartása vállalati szinten

Személyes adatai biztonságának biztosítása érdekében az adatvédelmi és biztonsági előírásokat közöljük alkalmazottainkkal, és szigorúan betartjuk az adatvédelmi gyakorlatokat.

Bizonyítás: 1. Tekintsük a C 1 derékszögű A 1 B 1 C 1-et, amelyben A 1 C 1 = AC, B 1 C 1 = BC. 2. A Pitagorasz-elv szerint A 1 B 1 2 = A 1 C B 1 C De AB 2 = AC 2 + BC 2 (a tétel feltételei szerint). Ez azt jelenti, hogy AB 2 = A 1 B 1 2, amelyből AB = A 1 B A 1 B 1 C 1 = ABC (három oldalon), ezért C = C Tehát az ABC téglalap alakú, S derékszögű. Ch., stb. S A B

Az 1,2,3,... természetes számok halmazát feltárva az ókori görögök voltak az elsők, akik felismerték a matematika által vizsgált tárgyak végtelenségének gondolatát. A fordulópont az a 2 + b 2 = c 2 tétel bizonyítása volt. A legenda szerint Pythagoras hálája jeléül 100 bikát áldozott fel az isteneknek. A pythagoreusok (Püthagorasz követői és tanítványai) ismerték a hármasokat (3,4,5), (5,12,13), (7,24,25).

N. Ellenőrizze az m és n különböző értékeit. Ráadásul Pythagoras vagy egyik tanítványa P-ből érkezett hozzánk" title=" Pythagoras vagy egyik tanítványa képleteket talált az ilyen hármasok végtelen halmazának megtalálására: a = 2mn, b = m 2 – n 2 , c =m 2 + n 2, ahol m és n olyan természetes számok, amelyeknél m>n ellenőrizzük a P-től eltérő értékeket." class="link_thumb"> 5 !} Pythagoras vagy egyik tanítványa talált egy képletet ilyen hármasok végtelen halmazának megtalálására: a = 2mn, b = m 2 – n 2, c =m 2 + n 2, ahol m és n olyan természetes számok, amelyekre m >n . Ellenőrizze az m és n különböző értékeit. Ezenkívül a következő kifejezések érkeztek hozzánk Pythagorastól: „négyzet” az n 2 számokhoz és kocka az n 3 számokhoz. n. Ellenőrizze az m és n különböző értékeit. Ezenkívül a következő kifejezések érkeztek hozzánk P"> n-től. Ellenőrizze m és n különböző értékeit. Ezen kívül a következő kifejezések érkeztek hozzánk Pitagorasztól: „négyzet” az n 2 számokhoz és kocka az n számokhoz 3."> n. Ellenőrizze az m és n különböző értékeit. Ezenkívül P" title=" Pythagoras vagy egyik tanítványa talált egy olyan képletet, amellyel végtelen számú hármashalmazt találhat: a = 2mn, b = m 2 – n 2, c =m 2 + n 2, ahol m és n olyan természetes számok, amelyeknél m>n ellenőrizze, hogy vannak-e m és n különböző értékek."> title="Pythagoras vagy egyik tanítványa talált egy képletet ilyen hármasok végtelen halmazának megtalálására: a = 2mn, b = m 2 – n 2, c =m 2 + n 2, ahol m és n olyan természetes számok, amelyekre m >n . Ellenőrizze az m és n különböző értékeit. Ezenkívül vegye fel velünk a kapcsolatot P"> !}

Koszinusztétel Tétel (a koszinuszokról). A háromszög bármely oldalának négyzete egyenlő a másik két oldal négyzeteinek összegével, anélkül, hogy ezeknek az oldalaknak a szorzata kétszerese a közöttük lévő szög koszinuszával, c 2 = a 2 + b 2 – 2ab cos C. Bizonyítás: Jelöljük AB = c, BC = a, AC = b. Az A csúcsból leeresztünk egy merőleges AD-t. Ekkor AD = b sin C, CD = b cos C, BD = a – b cos C. A Pitagorasz-tétel alapján c 2 = (a – b cos C) 2 + (b sin C) 2 = a 2 – 2ab cos C + b 2 cos 2 C + b 2 sin 2 C = a 2 + b 2 – 2ab cos C. Tekintsük a C derékszög és tompaszög eseteit.

12. gyakorlat Válasz: a) akut; Az A szög mekkora értékeinél a háromszög ezzel a szöggel ellentétes oldalának négyzete: a) kisebb, mint a másik két oldal négyzetösszege; b) egyenlő a másik két oldal négyzeteinek összegével; c) nagyobb, mint a másik két oldal négyzetösszege? b) egyenes;

17. feladat Bizonyítsuk be, hogy egy paralelogramma átlóinak négyzetösszege egyenlő az oldalai négyzetösszegével. Bizonyíték. A koszinusztétel alapján a következőt kapjuk: Ezeket az egyenlőségeket összeadva, és figyelembe véve, hogy az ADC szög koszinusza egyenlő mínusz a BAD szög koszinuszával, megkapjuk a szükséges állítást.

Legyen AB = c, AC = b, BC = a az ABC háromszögben. Bizonyítsuk be, hogy a C csúcsból húzott m c mediánra érvényes a képlet Bizonyítás. Az ACD és BCD háromszögekre alkalmazott koszinusztétel alapján a következőket kapjuk: Ezeket az egyenlőségeket összeadva egy egyenlőséget kapunk, amelyből közvetlenül következik a szükséges képlet. 19. gyakorlat

Legyen AC = b, BC = a az ABC háromszögben. Bizonyítsuk be, hogy a C csúcsból húzott l c felezőre érvényes a képlet, ahol c, c azok a szakaszok, amelyekre a felező felosztja az AB oldalt Bizonyítás. Az ACD és BCD háromszögekre alkalmazott koszinusztétel alapján a következőt kapjuk: Az első egyenlőséget megszorozzuk a-val, a másodikat b-vel, és kivonjuk a másodikat az első egyenlőségből. Azonos transzformációkat végrehajtva egy egyenlőséget kapunk, amelyből közvetlenül következik a kívánt képlet. 22. gyakorlat

27. gyakorlat Leírható-e egy kör egy négyszög körül, amelynek oldalai 1 cm, 2 cm, 3 cm, 4 cm? Egy pontosabb megfogalmazás: van-e olyan négyszög, amelynek oldalai 1 cm, 2 cm, 3 cm, 4 cm, amely körül kör írható le? Megoldás. Az ABCD négyszög körül egy kör írható le, ha A koszinusz tétellel Honnan tehát létezik ilyen négyszög.

A háromszög oldalai és az oldallal ellentétes szög.

Következmény 1. Következmény a koszinusztételből (a paralelogramma átlóinak és oldalainak kapcsolatáról A paralelogramma átlóinak négyzeteinek összege egyenlő az összes oldalának négyzetösszegével).

d 1 2 + d 2 2 = 2 a 2 + 2 b 2

Következmény 2. Következmény a koszinusztételből a háromszög típusának meghatározására.

Hadd Val vel- a háromszög leghosszabb oldala.

Ha c 2 = a 2 + b 2, akkor a c-vel szemközti szög = 90 fok és a háromszög derékszögű.

Ha 2-vel<а 2 +b 2 , то угол против с<90 градусов и треугольник остроугольный.

Ha c 2 >a 2 +b 2, akkor a c>90 fokos háromszöggel bezárt szög tompaszögű.

1. képlet. Képletek a háromszög mediánjának hosszának kiszámításához.

vagy

Forma 2. , a szög a szemközti oldalon van.

9. Szinusztétel. A szinusztétel (a körülírt kör sugaráról) következménye.

1. tétel. Szinusztétel - a háromszög oldalai arányosak az ellentétes szögek szinuszaival.

ahol , , a háromszög oldalai, illetve a velük szemközti szögek.

Következmény 1. Következmény a szinusztételből (a körülírt kör sugaráról). A háromszög körül körülírt kör átmérője megegyezik a háromszög oldalának és a szemközti szög szinuszának arányával.

ahol , , a háromszög oldalai, a velük szemközti szögek, illetve a háromszög köré körülírt kör sugara.

10. Derékszögű háromszög tulajdonságai

Pitagorasz tétel. Bármely derékszögű háromszögben a lábak négyzeteinek összege egyenlő a befogó négyzetével.

Az x szög szinusza az ellenkező oldal és a hipotenusz aránya.

Az x szög koszinusza a szomszédos láb és a hypotenus aránya.

Szögtangens x – e vagyis az ellenkező oldal és a szomszédos oldal aránya.

Az x szög kotangense- ez a szomszédos oldal és az ellenkező oldal aránya.

Egy derékszögű háromszög magasságának tulajdonsága a hipotenuszra esett.

Tulajdonság: 1. Bármely derékszögű háromszögben a derékszögből felvett magasság (a hipotenusz által) a derékszögű háromszöget három hasonló háromszögre osztja.

Ingatlan: 2. A derékszögű háromszög magassága, leengedve a hipotenuszra, megegyezik a lábak hipotenuszra való vetületeinek geometriai átlagával (vagy azoknak a szakaszoknak a geometriai átlagával, amelyekre a magasság felosztja a hipotenuszt).

Ingatlan: 3. A láb egyenlő a befogónyílás geometriai átlagával és ennek a lábnak a hipotenuszra való vetületével.

Ingatlan: 4. A 30 fokos szöggel szemben lévő láb egyenlő a hipotenúza felével.

Forma-1. , hol van a hypotenusa;

Forma 2. , hol van a hypotenusa; , lábak.

Ingatlan: 5. Egy derékszögű háromszögben a befogóhoz húzott medián egyenlő annak felével és egyenlő a körülírt kör sugarával.

Tulajdonság: 6. Egy derékszögű háromszög oldalai és szögei közötti kapcsolat:

11. A húrra merőleges átmérő tulajdonsága.

Tulajdonság: 1. A húrra merőleges átmérő ezt a húrt kettéosztja.

12. Párhuzamos húrok közé zárt ívek tulajdonsága.

Tulajdonság: 1. A párhuzamos húrok közötti ívek egyenlőek.

13. Egy érintő tulajdonságai.

Meghatározás. Az érintő olyan egyenes, amelynek csak egy metszéspontja van a körrel.

Tulajdonság: 1. A kör érintője merőleges az érintési pont sugarára.

Ingatlan: 2. Egy pontból egy körbe húzott két érintő egyenlő.

14. Beírt szög, középszög definíciója. Értékeik mérése. Beírt szög tulajdonsága, kapcsolata egy ugyanazon a húron nyugvó központi szöggel.

1. definíció. Beírt szög az a szög, amelynek csúcsa egy körön fekszik, és amelynek oldalai ezt a kört metszik.

2. definíció. A kör középső szöge olyan síkszög, amelynek középpontjában egy csúcs található.

A körbe írt szög egyenlő a megfelelő középponti szög felével.

Ívfok mértéke egy kört a megfelelő középponti szög fokszámának nevezzük.

Tulajdonság: 1. Az ugyanazon az íven alapuló összes beírt szög egyenlő egymással.

Ingatlan: 2. Egy egyenes átmérőjével bezárt beírt szög.

15. Szög egy körön belüli csúcsgal; szög, amelynek csúcsa a körön kívül van; az érintő és a húr közötti szög. Értékeik mérése.

Tulajdonság: 1. Azt a szöget, amelynek csúcsa egy körön belül van, két ív fele összegével mérjük, amelyek közül az egyik az oldalai között, a másik pedig az oldalak meghosszabbításai között van.

Ingatlan: 2. Egy szöget, amelynek csúcsa a körön kívül van, az oldalai között lévő két ív fele-különbségével mérjük.

Ingatlan: 3. Az érintő és egy húr által alkotott szöget a benne lévő ív felével mérjük.

16. Körben metsző akkordok tulajdonsága.

Tulajdonság: 1. Ha a kör AB és CD húrjai az S pontban metszik egymást, akkor AS ВS=DS CS.

17. Egy pontból húzott szekáns és érintő tulajdonsága.

Tulajdonság: 1. Egy szekáns kör szakaszainak szorzata egyenlő az ugyanabból a pontból húzott érintőszakasz négyzetével.

18. Egy pontból húzott szekánsok tulajdonsága.

Ha egy P pontból két szekánst húzunk egy körbe, amelyek a kört az A, B, C, D pontokban metszik, akkor AP BP = CP DP.

19. A beírt és körülírt négyszögek tulajdonságai.

Tulajdonság: 1. Egy négyszög akkor és csak akkor írható be a körbe, ha szemközti szögeinek összege 180 fokkal.

Ingatlan: 2. Egy négyszög akkor és csak akkor írható le egy kör körül, ha a szemközti oldalainak hosszának összege egyenlő.

20. Szabályos poliéder. Képletek a beírt és körülírt kör sugarának kiszámításához.

1. definíció. A szabályos sokszög olyan konvex sokszög, amelynek minden oldala egyenlő, és minden szöge egyenlő. Szabályos sokszög területe

Formula 1. Egy szabályos n-szögre körülírt kör sugarára.

Pitagorasz tétel- az euklideszi geometria egyik alaptétele, az összefüggés megállapítása

derékszögű háromszög oldalai között.

Úgy tartják, hogy Pythagoras görög matematikus bizonyította be, akiről nevezték el.

A Pitagorasz-tétel geometriai megfogalmazása.

A tétel eredetileg a következőképpen fogalmazódott meg:

Egy derékszögű háromszögben a hipotenuszra épített négyzet területe egyenlő a négyzetek területének összegével,

lábakra épült.

A Pitagorasz-tétel algebrai megfogalmazása.

Egy derékszögű háromszögben a befogó hosszának négyzete egyenlő a lábak hosszának négyzeteinek összegével.

Ez azt jelenti, hogy a háromszög befogójának hosszát jelöli c, és a lábak hossza át aÉs b:

Mindkét készítmény Pitagorasz tétel egyenértékűek, de a második megfogalmazás elemibb, nem

terület fogalmát igényli. Vagyis a második állítás igazolható anélkül, hogy bármit is tudnánk a területről és

csak egy derékszögű háromszög oldalainak hosszát mérve.

Fordított Pitagorasz-tétel.

Ha egy háromszög egyik oldalának négyzete egyenlő a másik két oldal négyzetösszegével, akkor

derékszögű háromszög.

Vagy más szóval:

A pozitív számok minden hármasára a, bÉs c, oly módon, hogy

van egy derékszögű háromszög lábakkal aÉs bés hypotenusa c.

Pitagorasz-tétel egyenlő szárú háromszögre.

Pitagorasz-tétel egyenlő oldalú háromszögre.

A Pitagorasz-tétel bizonyításai.

Tovább Ebben a pillanatban Ennek a tételnek 367 bizonyítását rögzítették a tudományos irodalomban. Valószínűleg a tétel

Pitagorasz az egyetlen tétel, amely ilyen lenyűgöző számú bizonyítással rendelkezik. Ilyen sokszínűség

csak a tétel geometria szempontjából való alapvető jelentőségével magyarázható.

Természetesen fogalmilag mindegyik kis számú osztályra osztható. A leghíresebb közülük:

bizonyíték terület módszere, magától értetődőÉs egzotikus bizonyíték(Például,

használva differenciál egyenletek).

1. A Pitagorasz-tétel bizonyítása hasonló háromszögekkel.

Az algebrai megfogalmazás következő bizonyítása a legegyszerűbb a megszerkesztett bizonyítások közül

közvetlenül az axiómákból. Különösen nem használja az ábra területének fogalmát.

Hadd ABC van derékszögű derékszögű háromszög C. Rajzoljuk le a magasságot Cés jelöljük

az alapozását keresztül H.

Háromszög ACH háromszöghöz hasonló AB C két sarokban. Hasonlóképpen, háromszög CBH hasonló ABC.

A jelölés bevezetésével:

kapunk:

,

ami megfelel -

Összehajtva a 2 és b 2, kapjuk:

vagy , amit bizonyítani kellett.

2. A Pitagorasz-tétel bizonyítása területmódszerrel.

Az alábbi bizonyítások látszólagos egyszerűségük ellenére egyáltalán nem ilyen egyszerűek. Mindegyikük

olyan terület tulajdonságait használja, amelyek bizonyítása összetettebb, mint magának a Pitagorasz-tételnek a bizonyítása.

• Bizonyítás az ekvikomplementaritáson keresztül.

Rendezzünk el négy egyforma téglalapot

háromszög az ábrán látható módon

jobb oldalon.

Négyszög oldalakkal c- négyzet,

mivel két hegyesszög összege 90°, és

kihajtott szög - 180°.

A teljes ábra területe egyrészt

egy négyzet területe oldalával ( a+b), másrészt pedig négy háromszög területének összege és

Q.E.D.

3. A Pitagorasz-tétel bizonyítása infinitezimális módszerrel.

​

Az ábrán látható rajzot nézve és

az oldalváltást figyelvea, tudunk

írd le a következő összefüggést a végtelenre

kicsi oldalsó lépésekbenVal velÉs a(hasonlóságot használva

háromszögek):

A változó elválasztási módszerrel a következőket kapjuk:

Egy általánosabb kifejezés a hipotenúzus változására mindkét oldali növekmény esetén:

Ezt az egyenletet integrálva és a kezdeti feltételek felhasználásával kapjuk:

Így elérkeztünk a kívánt válaszhoz:

Amint az könnyen látható, a végső képletben a másodfokú függés a lineárisnak köszönhető

arányosság a háromszög oldalai és a növekmény között, míg az összeg a függetlenhez kapcsolódik

a különböző lábak növekedéséből származó hozzájárulások.

Egyszerűbb bizonyítékot kaphatunk, ha feltételezzük, hogy az egyik láb nem tapasztal növekedést

(ebben az esetben a láb b). Ekkor az integrációs állandóhoz kapjuk:

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete