Amit kétváltozós egyenletnek nevezünk. Egyenletek két változóban (határozatlan egyenletek)

Téma:Lineáris függvény

Lecke:Lineáris egyenlet két változóban és grafikonja

Megismerkedtünk a koordinátatengely és a koordinátasík fogalmával. Tudjuk, hogy a síkon minden pont egyedileg határoz meg egy számpárt (x; y), ahol az első szám a pont abszcissza, a második pedig az ordináta.

Nagyon gyakran fogunk találkozni két változós lineáris egyenlettel, melynek megoldása a koordinátasíkon ábrázolható számpár.

A forma egyenlete:

Ahol a, b, c számok és

Lineáris egyenletnek nevezzük, amelynek két változója x és y. Egy ilyen egyenlet megoldása bármely olyan x és y számpár lesz, amelyet az egyenletbe behelyettesítve megkapjuk a helyes numerikus egyenlőséget.

Egy számpár pontként jelenik meg a koordinátasíkon.

Az ilyen egyenleteknél sok megoldást fogunk látni, azaz sok számpárt, és az összes megfelelő pont ugyanazon az egyenesen lesz.

Nézzünk egy példát:

Ennek az egyenletnek a megoldásához ki kell választania a megfelelő x és y számpárokat:

Legyen , akkor az eredeti egyenletből egy ismeretlen egyenlet lesz:

,

Vagyis az első számpár, amely egy adott (0; 3) egyenlet megoldása. Megkaptuk az A pontot (0; 3)

Hadd . Az eredeti egyenletet egy változóval kapjuk: , innen kaptuk a B(3; 0) pontot

Tegyük a számpárokat a táblázatba:

Rajzoljunk pontokat a grafikonon, és húzzunk egy egyenest:

Figyeljük meg, hogy egy adott egyenes bármely pontja megoldása lesz az adott egyenletnek. Ellenőrizzük – vegyünk egy pontot koordinátával, és a grafikon segítségével keressük meg a második koordinátáját. Nyilvánvaló, hogy ezen a ponton. Helyettesítsük be ezt a számpárt az egyenletbe. 0=0 - helyes numerikus egyenlőséget kapunk, ami azt jelenti, hogy egy egyenesen fekvő pont megoldás.

Egyelőre nem tudjuk bizonyítani, hogy a megszerkesztett egyenes bármely pontja az egyenlet megoldása, ezért ezt elfogadjuk igaznak, és később be is bizonyítjuk.

2. példa – ábrázolja az egyenletet:

Készítsünk egy táblázatot, csak két pontra van szükségünk az egyenes felépítéséhez, de a vezérléshez egy harmadikat veszünk:

Az első oszlopban egy kényelmeset vettünk, a következőkből fogjuk megtalálni:

, ,

A második oszlopban vettünk egy kényelmeset, keressük meg az x-et:

, , ,

Nézzük és találjuk meg:

, ,

Készítsünk grafikont:

A megadott egyenletet szorozzuk meg kettővel:

Egy ilyen transzformációtól a megoldások halmaza nem változik, és a gráf ugyanaz marad.

Következtetés: megtanultunk két változós egyenleteket megoldani és grafikonjaikat felépíteni, megtanultuk, hogy egy ilyen egyenlet grafikonja egy egyenes, és ezen az egyenes bármely pontja az egyenlet megoldása.

1. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. és mások Algebra 7. 6. kiadás. M.: Felvilágosodás. 2010

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebra 7. M.: VENTANA-GRAF

3. Kolyagin Yu.M., Tkacheva M.V., Fedorova N.E. és mások Algebra 7.M.: Felvilágosodás. 2006

2. Portál családi megtekintéshez ().

1. feladat: Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebra 7, 960. sz., 210. sz.

2. feladat: Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebra 7, 961. sz., 210. sz.

3. feladat: Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebra 7, 962. sz., 210. sz.

1. § Egyenletgyökök kiválasztása valós helyzetekben

Nézzük ezt a valós helyzetet:

A mester és a tanítvány együtt 400 egyedi alkatrészt készített. Ráadásul a mester 3 napig, a diák pedig 2 napig dolgozott. Hány alkatrészt készített egy ember?

Készítsünk egy algebrai modellt erre a helyzetre. Hagyja, hogy a mester 1 nap alatt gyártson le alkatrészeket. A diák pedig a részleteknél van. Ekkor a mester 3 nap alatt 3 részt, a tanuló pedig 2 nap alatt 2 részt készít. Együtt 3 + 2 alkatrészt fognak előállítani. Mivel a feltétel szerint összesen 400 alkatrészt gyártottak, a következő egyenletet kapjuk:

A kapott egyenletet két változóból álló lineáris egyenletnek nevezzük. Itt meg kell találnunk egy x és y számpárt, amelyre az egyenlet valódi numerikus egyenlőség alakját veszi fel. Figyeljük meg, hogy ha x = 90, y = 65, akkor az egyenlőséget kapjuk:

3 ∙ 90 + 65 ∙ 2 = 400

Mivel a helyes numerikus egyenlőséget kaptuk, a 90 és 65 számpár lesz a megoldás erre az egyenletre. De a megtalált megoldás nem az egyetlen. Ha x = 96 és y = 56, akkor megkapjuk az egyenlőséget:

96 ∙ 3 + 56 ∙ 2 = 400

Ez is egy valódi numerikus egyenlőség, ami azt jelenti, hogy a 96-os és 56-os számpár is megoldása erre az egyenletre. De az x = 73 és y = 23 számpár nem lesz megoldás erre az egyenletre. Valójában 3 ∙ 73 + 2 ∙ 23 = 400 a 265 = 400 hibás numerikus egyenlőséget adja. Megjegyzendő, hogy ha az egyenletet ehhez a valós helyzethez viszonyítjuk, akkor lesznek olyan számpárok, amelyek lévén megoldás erre az egyenletre, nem lesz megoldás a problémára. Például egy pár szám:

x = 200 és y = -100

megoldása az egyenletre, de a tanuló nem tud -100 részt készíteni, ezért egy ilyen számpár nem lehet válasz a feladat kérdésére. Így minden konkrét valós helyzetben ésszerű megközelítést kell alkalmazni az egyenlet gyökereinek kiválasztásához.

Foglaljuk össze az első eredményeket:

Az ax + bу + c = 0 alakú egyenletet, ahol a, b, c tetszőleges számok, kétváltozós lineáris egyenletnek nevezzük.

A két változós lineáris egyenlet megoldása egy x-nek és y-nek megfelelő számpár, amelyre az egyenlet valódi numerikus egyenlőséggé alakul.

2. § Lineáris egyenlet grafikonja

Már maga az (x;y) pár rögzítése is elgondolkodtat annak lehetőségéről, hogy egy síkon xy y koordinátájú pontként ábrázoljuk. Ez azt jelenti, hogy egy adott helyzet geometriai modelljét kaphatjuk. Vegyük például az egyenletet:

2x + y - 4 = 0

Válasszunk ki több olyan számpárt, amelyek ennek az egyenletnek a megoldásai lesznek, és a talált koordinátákkal alkossunk pontokat. Legyenek ezek a pontok:

A(0; 4), B(2; 0), C(1; 2), D(-2; 8), E(-1; 6).

Vegye figyelembe, hogy minden pont ugyanazon az egyenesen található. Ezt az egyenest egy kétváltozós lineáris egyenlet grafikonjának nevezzük. Ez egy adott egyenlet grafikus (vagy geometriai) modellje.

Ha egy számpár (x;y) az egyenlet megoldása

ax + vy + c = 0, akkor az M(x;y) pont az egyenlet grafikonjához tartozik. Mondhatjuk fordítva is: ha az M(x;y) pont az ax + y + c = 0 egyenlet gráfjához tartozik, akkor az (x;y) számpár ennek az egyenletnek a megoldása.

A geometria kurzusból tudjuk:

Egy egyenes felrajzolásához 2 pontra van szükség, tehát egy két változós lineáris egyenlet grafikonjának ábrázolásához elég csak 2 pár megoldást tudni. De a gyökerek kitalálása nem mindig kényelmes vagy racionális eljárás. Eljárhat egy másik szabály szerint is. Mivel egy pont abszcisszája (x változó) független változó, bármilyen kényelmes értéket megadhat neki. Ezt a számot behelyettesítve az egyenletbe, megkapjuk az y változó értékét.

Például legyen adott az egyenlet:

Legyen x = 0, akkor 0 - y + 1 = 0 vagy y = 1. Ez azt jelenti, hogy ha x = 0, akkor y = 1. Ennek az egyenletnek egy számpár (0;1) a megoldása. Állítsunk be egy másik értéket az x változóra: x = 2. Ekkor 2 - y + 1 = 0 vagy y = 3 értéket kapunk. A (2;3) számpár is megoldása erre az egyenletre. A talált két pont felhasználásával már meg lehet alkotni az x - y + 1 = 0 egyenlet grafikonját.

Ezt megteheti: először rendeljen bizonyos értéket az y változóhoz, és csak ezután számítsa ki x értékét.

3. § Egyenletrendszer

Keress két természetes számot, amelyek összege 11 és különbsége 1.

Ennek a problémának a megoldására először készítünk egy matematikai modellt (nevezetesen egy algebrai modellt). Legyen az első szám x, a második szám pedig y. Ekkor az x + y = 11 számok összege és az x - y számok különbsége = 1. Mivel mindkét egyenlet ugyanazokkal a számokkal foglalkozik, ezeknek a feltételeknek egyszerre kell teljesülniük. Általában ilyen esetekben speciális rekordot használnak. Az egyenletek egymás alá vannak írva, és kapcsos zárójellel kombinálva.

Az ilyen rekordot egyenletrendszernek nevezzük.

Most alkossunk megoldáshalmazokat minden egyenletre, pl. az egyes egyenletek grafikonjait. Vegyük az első egyenletet:

Ha x = 4, akkor y = 7. Ha x = 9, akkor y = 2.

A (4;7) és (9;2) pontokon keresztül húzzunk egy egyenest.

Vegyük a második egyenletet x - y = 1. Ha x = 5, akkor y = 4. Ha x = 7, akkor y = 6. Az (5;4) és (7;6) pontokon keresztül is húzunk egy egyenest. ). Megkaptuk a feladat geometriai modelljét. A minket érdeklő számpár (x;y) mindkét egyenlet megoldása kell, hogy legyen. Az ábrán egyetlen pontot látunk, amely mindkét egyenesen fekszik, ez az egyenesek metszéspontja.

Koordinátái (6;5). Ezért a probléma megoldása a következő lesz: az első szükséges szám 6, a második 5.

A felhasznált irodalom listája:

1. Mordkovich A.G., Algebra 7. évfolyam 2 részben, 1. rész, Tankönyv általános oktatási intézmények számára / A.G. Mordkovich. – 10. kiadás, átdolgozott – Moszkva, „Mnemosyne”, 2007
2. Mordkovich A.G., Algebra 7. osztály 2 részben, 2. rész, Problémakönyv oktatási intézmények számára / [A.G. Mordkovich és mások]; szerkesztette: A.G. Mordkovich - 10. kiadás, átdolgozott - Moszkva, „Mnemosyne”, 2007
3. NEKI. Tulchinskaya, Algebra 7. osztály. Blitz felmérés: kézikönyv általános oktatási intézmények tanulói számára, 4. kiadás, átdolgozva és bővítve, Moszkva, „Mnemosyne”, 2008
4. Alexandrova L.A., Algebra 7. osztály. Tematikus tesztmunkák új formában általános oktatási intézmények tanulói számára, A.G. szerkesztésében. Mordkovich, Moszkva, „Mnemosyne”, 2011
5. Alexandrova L.A. Algebra 7. osztály. Önálló munkák általános oktatási intézmények tanulói számára, szerkesztette A.G. Mordkovich - 6. kiadás, sztereotip, Moszkva, „Mnemosyne”, 2010

Egyenlőség f(x; y) = 0 két változós egyenletet képvisel. Egy ilyen egyenlet megoldása egy változó értékpár, amely a két változós egyenletet valódi egyenlőséggé alakítja.

Ha van egy kétváltozós egyenletünk, akkor a hagyomány szerint x-et kell az első helyre, y-t a második helyre tenni.

Tekintsük az x – 3y = 10 egyenletet. A (10; 0), (16; 2), (-2; -4) párok a vizsgált egyenlet megoldásai, míg az (1; 5) pár nem megoldás.

Ahhoz, hogy az egyenletre más megoldáspárokat találjunk, egy változót egy másikkal kell kifejezni - például x-et y-val. Ennek eredményeként megkapjuk az egyenletet
x = 10 + 3 év. Számítsuk ki x értékeit y tetszőleges értékeinek kiválasztásával.

Ha y = 7, akkor x = 10 + 3 ∙ 7 = 10 + 21 = 31.

Ha y = -2, akkor x = 10 + 3 ∙ (-2) = 10 – 6 = 4.

Így a (31; 7), (4; -2) párok is megoldásai az adott egyenletnek.

Ha a két változós egyenletnek ugyanaz a gyökere, akkor az ilyen egyenleteket ekvivalensnek nevezzük.

Kétváltozós egyenletek esetén az egyenletek ekvivalens transzformációira vonatkozó tételek érvényesek.

Tekintsük egy kétváltozós egyenlet grafikonját.

Legyen adott egy f(x; y) = 0 változós egyenlet minden megoldása a koordinátasíkon lévő pontokkal ábrázolható, a síkon egy bizonyos ponthalmazt kapunk. Ezt a ponthalmazt a síkon az f(x; y) = 0 egyenlet grafikonjának nevezzük.

Így az y – x 2 = 0 egyenlet grafikonja az y = x 2 parabola; az y – x = 0 egyenlet grafikonja egy egyenes; az y – 3 = 0 egyenlet grafikonja az x tengellyel párhuzamos egyenes stb.

Az ax + by = c alakú egyenletet, ahol x és y változók, a, b és c pedig számok, lineárisnak nevezzük; az a, b számokat a változók együtthatóinak nevezzük, c a szabad tag.

Az ax + by = c lineáris egyenlet grafikonja:

Ábrázoljuk a 2x – 3y = -6 egyenletet.

1. Mert a változók egyik együtthatója sem egyenlő nullával, akkor ennek az egyenletnek a grafikonja egy egyenes lesz.

2. Egy egyenes megszerkesztéséhez legalább két pontját ismernünk kell. Helyettesítse be az x értékeket az egyenletekbe, és kapja meg az y értékeket, és fordítva:

ha x = 0, akkor y = 2; (0 ∙ x – 3y = -6);

ha y = 0, akkor x = -3; (2x – 3 ∙ 0 = -6).

Így két pontot kaptunk a grafikonon: (0; 2) és (-3; 0).

3. A kapott pontokon húzzunk egy egyenest, és készítsük el az egyenlet grafikonját
2x – 3y = -6.

Ha az ax + by = c lineáris egyenlet 0 ∙ x + 0 ∙ y = c alakú, akkor két esetet kell figyelembe vennünk:

1. c = 0. Ebben az esetben bármely (x; y) pár kielégíti az egyenletet, ezért a teljes koordinátasík az egyenlet grafikonja;

2. c ≠ 0. Ebben az esetben az egyenletnek nincs megoldása, ami azt jelenti, hogy a gráfja nem tartalmaz egyetlen pontot sem.

blog.site, az anyag teljes vagy részleges másolásakor az eredeti forrásra mutató hivatkozás szükséges.

Az egyenletek egész számokban történő megoldása az egyik legrégebbi matematikai probléma. Már a Kr.e. 2. évezred elején. e. A babilóniaiak tudták, hogyan kell két változós egyenletrendszert megoldani. A matematikának ez a területe az ókori Görögországban érte el legnagyobb virágzását. Fő forrásunk Diophantus Aritmetika, amely különféle típusú egyenleteket tartalmaz. Ebben Diophantus (neve után az egyenletek neve Diophantine egyenletek) számos olyan módszert vetít előre a 2. és 3. fokú egyenletek tanulmányozására, amelyek csak a 19. században alakultak ki.

A legegyszerűbb diofantin egyenletek: ax + y = 1 (egyenlet két változóval, első fokú) x2 + y2 = z2 (három változós egyenlet, másodfokú)

Az algebrai egyenleteket a legteljesebben tanulmányozták a 16. és 17. században az algebra egyik legfontosabb problémája.

A 19. század elejére P. Fermat, L. Euler, K. Gauss munkái egy ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 alakú diofantin egyenletet vizsgáltak, ahol a, b, c , d, e, f számok; x, y ismeretlen változók.

Ez egy 2. fokú egyenlet két ismeretlennel.

K. Gauss kidolgozta a másodfokú formák általános elméletét, amely bizonyos típusú egyenletek kétváltozós megoldásának alapja (Diofantine-egyenletek). Nagyszámú specifikus diofantin-egyenlet létezik, amelyek elemi módszerekkel megoldhatók. /p>

Elméleti anyag.

Ebben a munkarészben a matematikai alapfogalmak ismertetésére, terminusok meghatározására kerül sor, valamint a kiterjesztési tétel megfogalmazására a határozatlan együtthatók módszerével kerül sor, amelyeket a kétváltozós egyenletek megoldása során tanulmányoztam és figyelembe vettünk.

1. definíció: Ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 alakú egyenlet, ahol a, b, c, d, e, f számok; Az x, y ismeretlen változókat kétváltozós másodfokú egyenletnek nevezzük.

Egy iskolai matematika szakon az ax2 + bx + c = 0 másodfokú egyenletet tanulmányozzák, ahol az x szám a, b, c egy változója, egy változóval. Számos módja van ennek az egyenletnek a megoldására:

1. Gyökerek keresése diszkrimináns segítségével;

2. A páros együttható gyökeinek megkeresése in (D1= szerint);

3. Gyökerek keresése Vieta tételével;

4. Gyökerek keresése a binomiális tökéletes négyzetének elkülönítésével.

Egy egyenlet megoldása azt jelenti, hogy megtaláljuk az összes gyökerét, vagy bebizonyítjuk, hogy nem léteznek.

2. definíció: Az egyenlet gyöke egy olyan szám, amely egyenletbe behelyettesítve valódi egyenlőséget alkot.

3. definíció: Egy kétváltozós egyenlet megoldását számpárnak (x, y) nevezzük, ha az egyenletbe behelyettesítjük, akkor valódi egyenlőséggé alakul.

Az egyenlet megoldásának folyamata nagyon gyakran abból áll, hogy az egyenletet egy ekvivalens egyenlettel helyettesítjük, de egy egyszerűbb megoldással. Az ilyen egyenleteket ekvivalensnek nevezzük.

4. definíció: Két egyenletet ekvivalensnek mondunk, ha az egyik egyenlet minden megoldása a másik egyenlet megoldása, és fordítva, és mindkét egyenletet ugyanabban a tartományban tekintjük.

Kétváltozós egyenletek megoldásához használja az egyenlet teljes négyzetek összegére történő felbontásának tételét (határozatlan együtthatók módszerével).

Az ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 (1) másodrendű egyenlet esetén az a(x + py + q)2 + r(y + s)2 + h (2) kiterjesztést kapjuk.

Fogalmazzuk meg, hogy két változó (1) egyenletére milyen feltételek mellett megy végbe a (2) bővülés.

Tétel: Ha az (1) egyenlet a, b, c együtthatói kielégítik az a0 és 4ab – c20 feltételeket, akkor a (2) kiterjesztést egyedi módon határozzuk meg.

Más szóval, a két változós (1) egyenlet a határozatlan együtthatók módszerével (2)-re redukálható, ha a tétel feltételei teljesülnek.

Nézzünk egy példát a határozatlan együtthatók módszerének megvalósítására.

1. MÓDSZER. Oldja meg az egyenletet a meghatározatlan együtthatók módszerével!

2x2 + y2 + 2xy + 2x +1 = 0.

1. Ellenőrizzük az a=2, b=1, c=2 tétel feltételeinek teljesülését, ami azt jelenti, hogy a=2,4av – c2= 4∙2∙1- 22= 40.

2. A tétel feltételei teljesülnek a (2) képlet szerint;

3. 2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 2(x + py + q)2 + r(y + s)2 + h, a tétel feltételei alapján az azonosság mindkét része ekvivalens. Egyszerűsítsük le az identitás jobb oldalát.

4. 2(x + py + q)2 + r(y +s)2 +h =

2(x2+ p2y2 + q2 + 2pxy + 2pqy + 2qx) + r(y2 + 2sy + s2) + h =

2x2+ 2p2y2 + 2q2 + 4pxy + 4pqy + 4qx + ry2 + 2rsy + rs2 + h =

X2(2) + y2(2p2 + r) + xy(4p) + x(4q) + y(4pq + 2rs) + (2q2 + rs2 + h).

5. Azonos változók együtthatóit a hatványaikkal egyenlővé tesszük.

x2 2 = 2 y21 = 2p2 + r) xy2 = 4p x2 = 4q y0 = 4pq + 2rs x01 = 2q2 + rs2 + h

6. Kapjunk egyenletrendszert, oldjuk meg és keressük meg az együtthatók értékeit.

7. Helyettesítsük be az együtthatókat (2)-be, ekkor az egyenlet a következő alakot veszi fel

2x2 + y2 + 2xy + 2x +1 = 2 (x + 0,5y + 0,5) 2 + 0,5 (y -1) 2 +0

Így az eredeti egyenlet ekvivalens az egyenlettel

2(x + 0,5y + 0,5)2 + 0,5(y -1)2 = 0 (3), ez az egyenlet egy két lineáris egyenletrendszerrel ekvivalens.

Válasz: (-1; 1).

Ha odafigyel a bővítés típusára (3), akkor észreveszi, hogy formailag megegyezik egy teljes négyzet egy változós másodfokú egyenletből való elkülönítésével: ax2 + inx + c = a(x +)2 +.

Alkalmazzuk ezt a technikát egy kétváltozós egyenlet megoldásánál. Oldjunk meg egy teljes négyzet kiválasztásával egy két változós másodfokú egyenletet, amelyet a tétel segítségével már megoldottunk.

2. MÓDSZER: Oldja meg a 2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0 egyenletet.

Megoldás: 1. Képzeljük el a 2x2-t két x2 + x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0 tag összegeként.

2. Csoportosítsuk a tagokat úgy, hogy a teljes négyzet képletével össze tudjuk hajtani őket!

(x2 + y2 + 2xy) + (x2 + 2x +1) = 0.

3. Válassza ki a teljes négyzeteket a zárójelben lévő kifejezések közül.

(x + y)2 + (x + 1)2 = 0.

4. Ez az egyenlet egyenértékű egy lineáris egyenletrendszerrel.

Válasz: (-1;1).

Ha összehasonlítja az eredményeket, láthatja, hogy az 1. módszerrel a tétel és a határozatlan együtthatók módszerével megoldott egyenlet, valamint a 2. módszerrel teljes négyzet kinyerésével megoldott egyenlet gyökerei azonosak.

Következtetés: A két változós másodfokú egyenlet kétféleképpen bővíthető négyzetösszeggé:

➢ Az első módszer a határozatlan együtthatók módszere, amely a tételen és a kiterjesztésen (2) alapul.

➢ A második módszer az identitástranszformációk használata, amelyek lehetővé teszik a szekvenciálisan teljes négyzetek kiválasztását.

Természetesen a feladatok megoldásánál a második módszert részesítjük előnyben, mivel nem igényel memorizálást (2) és feltételeket.

Ez a módszer három változós másodfokú egyenletekhez is használható. Egy tökéletes négyzet elkülönítése ilyen egyenletekben munkaigényesebb. Jövőre ilyen jellegű átalakítást végzek.

Érdekes megjegyezni, hogy az f(x,y) = ax2 + vxy + cy2 + dx + ey + f alakú függvényt két változó másodfokú függvényének nevezzük. A másodfokú függvények fontos szerepet játszanak a matematika különböző ágaiban:

A matematikai programozásban (kvadratikus programozás)

Lineáris algebrában és geometriában (másodfokú formák)

A differenciálegyenletek elméletében (egy másodrendű lineáris egyenlet kanonikus formára redukálása).

E különféle problémák megoldása során lényegében azt az eljárást kell alkalmazni, hogy egy teljes négyzetet egy másodfokú egyenletből (egy, két vagy több változó) izolálunk.

Azokat az egyeneseket, amelyek egyenleteit két változó másodfokú egyenlete írja le, másodrendű görbéknek nevezzük.

Ezek egy kör, egy ellipszis, egy hiperbola.

E görbék grafikonjainak elkészítésekor a teljes négyzet szekvenciális elkülönítésének módszerét is alkalmazzák.

Nézzük meg konkrét példákon keresztül, hogyan működik a teljes négyzet szekvenciális kiválasztásának módszere.

Gyakorlati rész.

Oldja meg az egyenleteket a teljes négyzet szekvenciális elkülönítésének módszerével.

1. 2x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0; x2 + x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0;

(x + 1) 2 + (x + y) 2 = 0;

Válasz:(-1;1).

2. x2 + 5y2 + 2xy + 4y + 1 = 0; x2 + 4y2 + y2 + 2xy + 4y + 1 = 0;

(x + y) 2 + (2y + 1) 2 = 0;

Válasz:(0,5; - 0,5).

3. 3x2 + 4y2 - 6xy - 2y + 1 = 0;

3x2 + 3y2 + y2 – 6xy – 2y +1 = 0;

3x2 +3y2 – 6xy + y2 –2y +1 = 0;

3(x2 - 2xy + y2) + y2 - 2y + 1 = 0;

3(x2 - 2xy + y2)+(y2 - 2y + 1)=0;

3(x-y)2 + (y-1)2 = 0;

Válasz:(-1;1).

Egyenletek megoldása:

1. 2x2 + 3y2 – 4xy + 6y +9 =0

(redukáld a következőre: 2(x-y)2 + (y +3)2 = 0)

Válasz: (-3; -3)

2. – 3x2 – 2y2 – 6xy –2y + 1=0

(redukáld a következőre: -3(x+y)2 + (y –1)2= 0)

Válasz: (-1; 1)

3. x2 + 3y2+2xy + 28y +98 =0

(redukáld a következőre: (x+y)2 +2(y+7)2 =0)

Válasz: (7; -7)

Következtetés.

Ebben a tudományos munkában két másodfokú változót tartalmazó egyenleteket tanulmányoztam és azok megoldási módszereit vizsgáltam. A feladat elkészült, egy rövidebb megoldási mód megfogalmazása és leírása, amely egy teljes négyzet elkülönítésén és az egyenlet ekvivalens egyenletrendszerrel való helyettesítésén alapul, ennek eredményeként a kétváltozós egyenlet gyökereinek megtalálására szolgáló eljárás egyszerűsítették.

A munka fontos pontja, hogy a vizsgált technikát másodfokú függvénnyel kapcsolatos különféle matematikai problémák megoldására, másodrendű görbék készítésére, valamint a kifejezések legnagyobb (legkisebb) értékének megtalálására használják.

Így a két változós másodrendű egyenlet négyzetösszegre bontásának technikájának van a legtöbb alkalmazása a matematikában.

A 7. osztályos matematika szakon találkozunk először két változós egyenletek, de csak két ismeretlennel rendelkező egyenletrendszerrel összefüggésben tanulmányozzák őket. Emiatt olyan problémák egész sora esik ki a szemünk elől, amelyekben bizonyos feltételeket vezetnek be az egyenlet együtthatóira, amelyek korlátozzák őket. Emellett figyelmen kívül hagyják az olyan feladatok megoldási módszereit is, mint az „Egyenlet megoldása természetes vagy egész számokban”, bár az ilyen jellegű problémák egyre gyakrabban találhatók meg az egységes államvizsga anyagokban és a felvételi vizsgákon.

Melyik egyenletet nevezzük kétváltozós egyenletnek?

Így például az 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 vagy xy = 12 egyenletek két változóból álló egyenletek.

Tekintsük a 2x – y = 1 egyenletet. Ez akkor válik igazzá, ha x = 2 és y = 3, tehát ez a változó értékpár a kérdéses egyenlet megoldása.

Így bármely két változós egyenlet megoldása rendezett párok (x; y) halmaza, a változók értékei, amelyek ezt az egyenletet valódi numerikus egyenlőséggé alakítják.

Két ismeretlent tartalmazó egyenlet:

A) van egy megoldás. Például az x 2 + 5y 2 = 0 egyenletnek egyedi megoldása van (0; 0);

b) többféle megoldása van. Például (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0-nak 4 megoldása van: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);

V) nincsenek megoldásai. Például az x 2 + y 2 + 1 = 0 egyenletnek nincs megoldása;

G) végtelenül sok megoldása van. Például x + y = 3. Ennek az egyenletnek a megoldásai olyan számok lesznek, amelyek összege egyenlő 3-mal. Ennek az egyenletnek a megoldási halmaza felírható a (k; 3 – k) formában, ahol k bármely valós szám.

A kétváltozós egyenletek megoldásának fő módszerei a faktorálási kifejezéseken alapuló módszerek, a teljes négyzet elkülönítése, a másodfokú egyenlet tulajdonságait alkalmazó, korlátozott kifejezések és becslési módszerek. Az egyenletet általában olyan formává alakítják, amelyből az ismeretlenek megtalálására szolgáló rendszert kaphatunk.

Faktorizáció

1. példa

Oldja meg az egyenletet: xy – 2 = 2x – y.

Megoldás.

Csoportosítjuk a feltételeket a faktorizálás céljából:

(xy + y) – (2x + 2) = 0. Minden zárójelből kiveszünk egy közös tényezőt:

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1)(y – 2) = 0. Van:

y = 2, x – bármilyen valós szám vagy x = -1, y – bármilyen valós szám.

Így, a válasz az összes (x; 2), x € R és (-1; y), y € R alakú pár.

Nem negatív számok egyenlősége nullával

2. példa

Oldja meg az egyenletet: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

Megoldás.

Csoportosítás:

(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. Most minden konzol összehajtható a négyzetes különbségi képlet segítségével.

(3x – 2) 2 + (2év – 3) 2 = 0.

Két nemnegatív kifejezés összege csak akkor nulla, ha 3x – 2 = 0 és 2y – 3 = 0.

Ez azt jelenti, hogy x = 2/3 és y = 3/2.

Válasz: (2/3; 3/2).

Becslési módszer

3. példa

Oldja meg az egyenletet: (x 2 + 2x + 2) (y 2 – 4y + 6) = 2.

Megoldás.

Minden zárójelben kiválasztunk egy teljes négyzetet:

((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Becsüljünk a zárójelben lévő kifejezések jelentését.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 és (y – 2) 2 + 2 ≥ 2, akkor az egyenlet bal oldala mindig legalább 2. Az egyenlőség akkor lehetséges, ha:

(x + 1) 2 + 1 = 1 és (y – 2) 2 + 2 = 2, ami azt jelenti, hogy x = -1, y = 2.

Válasz: (-1; 2).

Ismerkedjünk meg egy másik módszerrel két másodfokú változójú egyenletek megoldására. Ez a módszer abból áll, hogy az egyenletet úgy kezeljük négyzet valamilyen változóhoz képest.

4. példa

Oldja meg az egyenletet: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.

Megoldás.

Oldjuk meg az egyenletet másodfokú egyenletként x-re. Keressük a diszkriminánst:

D = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4 (√y – 2) 2 . Az egyenletnek csak akkor lesz megoldása, ha D = 0, vagyis ha y = 4. Az y értékét behelyettesítjük az eredeti egyenletbe, és azt találjuk, hogy x = 3.

Válasz: (3; 4).

Gyakran két ismeretlent tartalmazó egyenletekben jeleznek változókra vonatkozó korlátozások.

5. példa.

Oldja meg az egyenletet egész számokkal: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

Megoldás.

Írjuk át az egyenletet x 2 = -5y 2 + 20x + 2 alakba. A kapott egyenlet jobb oldala 5-tel osztva 2 maradékát adja. Ezért x 2 nem osztható 5-tel. 5-tel nem osztható szám 1 vagy 4 maradékát adja. Így az egyenlőség lehetetlen, és nincsenek megoldások.

Válasz: nincs gyökere.

6. példa.

Oldja meg az egyenletet: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.

Megoldás.

Emeljük ki a teljes négyzeteket minden zárójelben:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Az egyenlet bal oldala mindig nagyobb vagy egyenlő, mint 3. Az egyenlőség lehetséges, feltéve, hogy |x| – 2 = 0 és y + 3 = 0. Így x = ± 2, y = -3.

Válasz: (2; -3) és (-2; -3).

7. példa.

Minden olyan negatív egész (x;y) párra, amely kielégíti az egyenletet
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, számítsa ki az összeget (x + y). Kérjük, válaszában a legkisebb összeget tüntesse fel.

Megoldás.

Válasszunk ki teljes négyzeteket:

(x 2 – 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;

(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Mivel x és y egész számok, négyzeteik is egész számok. Két egész szám négyzetösszegét 37-tel kapjuk, ha 1 + 36-ot összeadunk.

(x – y) 2 = 36 és (y + 2) 2 = 1

(x – y) 2 = 1 és (y + 2) 2 = 36.

Ezeket a rendszereket megoldva, és figyelembe véve, hogy x és y negatív, a következő megoldásokat találjuk: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

Válasz: -17.

Ne essen kétségbe, ha nehézségei vannak a két ismeretlennel rendelkező egyenlet megoldásában. Egy kis gyakorlással bármilyen egyenletet kezelhet.

Van még kérdése? Nem tudja, hogyan kell két változós egyenleteket megoldani?
Ha segítséget szeretne kérni egy oktatótól, regisztráljon.
Az első óra ingyenes!

weboldalon, az anyag teljes vagy részleges másolásakor a forrásra mutató hivatkozás szükséges.

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete