Mit jelent a törtek hiánya és túlsúlya? A „többlethiány” problémáinak megoldásának módszertana az alapközépiskola során
Barátok! A matematika egységes államvizsga valós példákon alapuló szöveges feladatokat tartalmaz, amelyeket a mindennapi életben kell megoldani. A számítás után a választ egész számra kell kerekítenie felfelé vagy lefelé. A problémákat két típusba soroljuk: lefelé és felfelé kerekítésre.
A következő tanácsokat lehetne adni: ha az egységes államvizsga-probléma a túrós túróról, csokoládéról, tulipánról, a szekrényben lévő könyvekről szól, akkor kerekítse le a választ, ha utasokról, csomagos papírról, gyógyszerekről, pácról stb. majd felfelé kerekítik az oldalt.
De azt javaslom, hogy távolítsa el a fejéből a „hiány” és a „felesleg” kifejezéseket, hogy ne keverje össze magát, és jobb, ha az egyszerű józan ész vezérelné. Magának a vizsgának a feladatai teljesen különböző témákról szólhatnak, és az ilyen információk memorizálása egyszerűen értelmetlen és nem praktikus.
Nézzük a feladatokat:
A sajt ára 6 rubel 60 kopecka. Hány sajttortát vásárolhat a legtöbb 80 rubelért?
Tekintsük az első módszert:
Nyilvánvaló, hogy 80 rubelt el kell osztani 6p60koppal, és megkapjuk a 80 rubelért megvásárolható sajttorták számát:
Tizenkét pont nyolc hatvanhatod sajtot kaptunk. Egyértelmű, hogy a sajtok egy részét nem árulják a boltban, ezért a választ lefelé kerekítjük. Ez azt jelenti, hogy a megvásárolható sajttorták maximális száma 12.
Egy másik módja:
Az ilyen problémákat felsorolással lehet megoldani. A 80 rubel mennyisége és a sajt ára alapján egyértelmű, hogy 10 sajtot biztosan lehet vásárolni, kezdjük tehát tízzel:
Ebből a döntésből az következik, hogy 80 rubel csak 12 sajttortára elegendő.
Válasz: 12
Egy csokoládé ára 20 rubel. Vasárnap akciós a szupermarket: két csokoládé fizetésével a vásárló hármat kap (egyet ingyen). Hány csokit lehet kapni 310 rubelért vasárnap?
Határozzuk meg, hány csokoládét vásárolhat 310 rubelért:
Lefelé kerekítünk, hiszen a tábla csoki fele nem eladó. Vagyis 310 rubelért 15 db csokoládét lehet venni (310=15∙20+10, 10 rubel aprópénz). Vasárnap minden két vásárolt után egy harmadikat adunk.
Az egyértelműség kedvéért azt javaslom, hogy írja le az összeget az ilyen problémákban az alábbiak szerint:
15=2+2+2+2+2+2+2+1
Látható, hogy 7 csokit adnak (páronként egyet). Ez azt jelenti, hogy összesen 15+7=22 darabot vásárolhatsz.
Válasz: 22
Születésnapon az embereknek páratlan számú virágot kell adniuk. A tulipán ára 60 rubel darabonként. Vanyának 400 rubel van. Hány tulipánt tud a legtöbb tulipánból venni egy csokrot Másának a születésnapjára?
Határozzuk meg a Vanya által megvásárolható tulipánok maximális számát:
Ványa lefelé kerekítve maximum 6 tulipánt vásárolhat, hiszen a tulipánok négyhatodát nem adják el neki. De állítólag páratlan számú virágot ad, így maximum 5 darab tulipánt tud adni.
Válasz: 5
Az 1-3. kurzushoz új geometria tankönyvek kerültek az egyetemi könyvtárba, kurzusonként 410 db. Minden könyv egyforma méretű. A könyvespolc 8 polcos, minden polcon 20 tankönyv fér el. Hány szekrényt lehet teljesen megtölteni új tankönyvekkel?
Először is határozzuk meg, hány tankönyv fér el egy szekrényben:
8∙20 = 160 darab
Meghatározzuk, hogy hány tankönyvet szállítottak ki. T3 kurzus, egyenként 410 tankönyvvel, ez van
3∙410=1230 tankönyv.
Most meg kell találnunk, hogy hány szekrény lesz kitöltve, és el kell osztani a tankönyvek teljes számát az egy szekrénybe elhelyezett tankönyvek számával:
Ez azt jelenti, hogy 7 kabinet és a nyolcadik kabinet egy másik része teljesen tele lesz tankönyvekkel.
Válasz: 7
7,265; 11,638; 0,23; 8,5; 300,499; 6,5108; 0,8.
1273. Az ősi orosz pud tömegmértéke 16,38 kg. Kerekítse ezt az értéket egész tizedekre. Az ősi orosz hosszmérték 1067 m. Kerekítsük tízre vagy százra. Az ősi orosz hosszmérték, a sazhen, 2,13 m, kerekítse ezt az értéket egészre, tizedekre.
1274. A törtek kerekítése:
a) 2,781; 3,1423; 203,962; 80,46 tizedre;
b) 0,07268; 1,35506; 10,081; 76,544; 4,455 századig;
c) 167,1; 2085,04; 444,4; 300,7; 137-től tízig.
1275. Az egyik rész tömege 13,26 kg, a második - 14,43 kg, a harmadik - 1,66 kg, a negyedik - 15,875 kg. Határozza meg ennek a négy résznek a teljes tömegét, és kerekítse az eredményt a legközelebbi kilogramm tizedére. Hasonlítsa össze a választ a kapott eredménnyel, ha először tizedére kerekíti a feladat adatait, majd megoldja.
1276. A sífutó útvonal 4 szakaszból áll. Az első szakasz 4,35 km, a második 5,75 km, a harmadik 6,95 km, a negyedik pedig 2,8 km hosszú. Keresse meg a teljes útvonal hosszát, és kerekítse le a választ:
a) tizedkilométerig;
b) egész kilométerig.
1277. Határozza meg az ABCD négyszög kerületét, ha AB = 6,2 dm, CD 3,14 dm-rel nagyobb, mint AB, de 2,31 dm-rel kisebb, mint BC; Az AD 1,2 dm-rel nagyobb, mint a Kr. e. Kerekítse válaszát:
a) tized deciméterig;
b) egész deciméterig.
1278. Számíts szóban:
1279. Állítsa vissza a számítási láncot:
1) 24 tonna szenet szállítottak az iskolába. Télen elhasználtuk a hozott szenet. Hány tonna szén maradt?
2) A festők a vásárolt festéket az iskola felújítására használták fel. Mennyi festék marad, ha 300 kg-ot vásárolsz belőle?
1297. A törtek kerekítése:
a) 1,69; 1,198; 37,444; 37,5444; 802,3022 egész számokhoz;
b) 0,3691; 0,8218; 0,9702; 81,3501 a tizedekre.
1298. Mindegyik számhoz keresse meg a természetes közelítő értékeket hiány és többlet mellett: 3,97; 21,609; 10,394; 1.057.
1299. Írja le a számot, amely:
a) tízszer kevesebb, mint egymillió; 10-én;
b) több mint egymillió 10-szer; 10-én;
c) 100-szor nagyobb, mint a 709; 1000 alkalommal;
d) 10-szer kisebb, mint a 623 100 000; 1000 alkalommal; 100.000 alkalommal.
1300. Keresse meg a kifejezés jelentését:
a) 8000 60 000; c) 250 000 600 40;
b) 1700 800 000; d) 19 000 20 000 50.
1301. A hajó saját sebessége 21,6 km/h. Jelenlegi sebessége 4,9 km/h. Határozza meg a hajó sebességét az áramlás irányában és az árammal szemben.
1302. A motoros hajó 3 órán keresztül haladt a tó mentén 27 km/h sebességgel, majd 4 órán keresztül a tóba ömlő folyó mentén. Határozza meg a hajó által ez alatt a 7 óra alatt megtett teljes távolságot, ha a folyó áramlási sebessége 3 km/h.
1303. Halhatatlan Koscsej kincstárában 32 000 koporsó található, minden ládikában 210 azonos súlyú arany és ezüst tuskó található. Mekkora Koscsej arany- és ezüsttartalékainak tömege, ha egy tucat rúd tömege 900 g?
1304. Cserélje ki a csillagokat a hiányzó számokkal:
A tudományban és az iparban, a mezőgazdaságban a számításokban decimális a frakciókat sokkal gyakrabban használják, mint a közönséges frakciókat.
Ez a tizedes törtekkel történő számítások egyszerűségéből és a természetes számokkal végzett műveletekre vonatkozó szabályokhoz való hasonlóságból adódik.
A tizedes törtekkel való számítás szabályait a híres tudós Középkori al-Kashp Dzhemshid Ibn Masud, aki Szamarkand városában, az Ulugbek Obszervatóriumban dolgozott a 15. század elején.
Al-Kashi a tizedes törteket a manapság megszokott módon írta le, de nem használt vesszőt: a tört részt piros tintával írta fel, vagy függőleges vonallal választotta el.
Ám ezt akkoriban Európában nem tudták, és csak 150 évvel később találta fel újra a tizedes törteket Simon Stevin flamand mérnök és tudós. Stevin tizedesjegyek írása meglehetősen nehéz volt.
Például a 24,56 szám így nézett ki: 
- vessző helyett nulla körben (vagy 0 a teljes rész fölött), az 1, 2, 3, ... számok a megmaradt karakterek helyét jelölték.
A 17. század óta használnak vesszőt vagy pontot az egész rész elválasztására.
Oroszországban a tizedes törtek tanát Leonty Filippovich Magnyickij vázolta fel 1703-ban az első matematikai tankönyvben, „Aritmetika, a számok tudománya”.
N.Ya. VILENKIN, V. I. ZHOHOV, A. S. CSESNOKOV, S. I. SHVARTSBURD, Matematika 5. évfolyam, Tankönyv általános oktatási intézmények számára
1. § A számok közelítő jelentésének fogalma
Az emberi életben kétféle szám létezik: pontos és közelítő.
Például egy négyzetnek négy oldala van, a 4-es szám pontos.
Egy másik helyzet, amikor megkérdezik, hány éves vagy, 12-et válaszol, ez egy hozzávetőleges érték, nem mondjuk, hogy 12 év 7 hónap 26 nap.
A gyakorlatban gyakran nem ismerjük a mennyiségek pontos értékét. Bármilyen jól is van beállítva, egyetlen mérleg sem képes abszolút pontos súlyt mutatni. Bármely hőmérő némi hibával mutatja a hőmérsékletet. Szemünk nem képes tisztán látni a műszer leolvasását, ezért ahelyett, hogy az érték pontos értékével foglalkoznánk, kénytelenek vagyunk a hozzávetőleges értékével operálni.
A hozzávetőleges szám ismerete azonban már megérti a dolog lényegét, ráadásul a pontos érték nem mindig szükséges.
A számok hozzávetőleges értékei a matematikában a következőkre oszlanak:
1. közelítő értékek felesleggel;
2. közelítő értékek hátrányokkal.
Például egy 9 kg 280 g súlyú görögdinnyéről azt mondhatjuk, hogy körülbelül 9 kg. Ez egy közelítés egy hátránnyal. És ha a súlya 9 kg 980 gramm lenne, akkor 10 kg-ot mondanánk - ez egy hozzávetőleges érték többlettel.
Egy másik példa - ha egy szegmens hossza 25 cm 3 mm, akkor a 25 cm a hiányos szegmens hosszának hozzávetőleges értéke, és a 26 cm a szegmens hosszának hozzávetőleges értéke felesleggel.
Tehát, ha az X nagyobb, mint az A szám, de kisebb, mint a B, akkor A az X szám közelítő értéke hiányos, a B pedig az X szám közelítő értéke többlettel.
2. § Számok kerekítése
Nézzük ezeket a példákat:
1) az 58,79 több mint 58, de kisebb, mint 59. Az 58,79 szám közelebb áll az 59-es természetes számhoz;
2) a 181, 123 szám nagyobb, mint 181, de kisebb, mint 182. A 181 123 szám közelebb van a 181 természetes számhoz. Azt a természetes számot, amelyhez a tört közelebb van, e szám kerekített értékének nevezzük.
A számok kerekítése egy matematikai művelet, amely egy hozzávetőleges értékre cserélve csökkenti a számjegyek számát.
Egy szám kerekítése egy vagy több számjegy eltávolítását jelenti egy szám decimális ábrázolásából. Egy szám lecserélését a legközelebbi természetes számra vagy nullára a szám egész számokra való kerekítésének nevezzük.
Például az 58,79-es szám 59-re van kerekítve, mert az 59-es közelebb van, a 181,123-as pedig 181-re.
3. § A számok kerekítésének szabálya
De mi a teendő, ha a hiányos és többletszám közelítő értékének távolsága egyenlő, például 23,5? Kiderült, hogy felkerekednek! Azok. kiderül, hogy 24
Biztosan van egy kérdése: "Lehetséges-e egész számra kerekíteni?" Biztosan! Kerekíthet más számjegyekre, például tizedekre, századokra, ezredekre vagy tízekre, százokra, ezrekre stb.
Van egy egyértelmű szabály a számok kerekítésére:
Egy szám tetszőleges számjegyre kerekítéséhez ennek a számjegynek a számjegyét aláhúzzuk, majd az aláhúzott utáni összes számjegyet nullára cseréljük, és ha a tizedesvessző után vannak, akkor eldobjuk. Ha a nullára cserélt vagy elvetett első számjegy 0, 1, 2, 3 vagy 4, akkor az aláhúzott számjegy változatlan marad. Ha az aláhúzott számot 5, 6, 7, 8 vagy 9 követi, akkor az aláhúzott szám 1-gyel nő.
Most már világossá válik, hogy a 23,5-öt miért kerekítették 24-re.
Mert az eldobott számjegy az 5.
Kerekítsük a 86,275-ös számot a legközelebbi tizedre.
Hangsúlyozzuk a 2-es számot, a tizedik helyet követő 7-es és 5-ös számokat dobjuk el. Az aláhúzott 2-es szám mögött a 7-es áll, így a 2-es számot 1-gyel növeljük. 86,3-at kapunk. Írd le így:
Kerekítsük a 6,6739-es számot a legközelebbi századra.
Hangsúlyozzuk a 7-es számot, a századik hely utáni 3-as és 9-es számokat elvetjük. Az aláhúzott 7-es szám mögött a 3-as szám található, így a 7-es számot változatlanul hagyjuk. 6,67-et kapunk.
Írd le így:
Így biztos lehet benne, hogy ha egy tizedes törtet valamilyen számjegyre kerekítünk, akkor az ezt követő összes számjegyet el kell hagyni.
A 8154-es számot kerekítsük százra.
Aláhúzzuk az 1-et, majd az 5-öt, ami azt jelenti, hogy az 1-et 2-re cseréljük, az összes következő számot pedig nullára, azaz 8200-at kapunk.
Írd le így:
Arra a következtetésre jutunk, hogy ha egy természetes számot egy bizonyos számjegyre kerekítünk, akkor a következő számjegyek minden számjegyét nullák helyettesítik.
Tehát itt van egy egyszerű algoritmus, amely lehetővé teszi bármely szám helyes kerekítését:
Először: keresse meg a kívánt számjegyet, és húzza alá a benne lévő számot.
Másodszor: írd át az összes előtte lévő számot.
Harmadszor: cserélje ki az összes számjegyet a kiemelt után nullákkal a teljes rész végéig, vagy hagyja el a kiemelt utáni összes számjegyet, ha a tizedesvessző után jelenik meg.
Negyedszer: növelje meg a kiválasztott számjegyet eggyel, ha ezt a számjegyet az 5,6,7,8,9 szám követi, vagy írja át változtatás nélkül a kiválasztott számjegyet, ha a 0,1,2,3,4 szám következik.
Így ebben a leckében megtanulta, hogy mi a hiányos és többletszámú számok hozzávetőleges értéke, a számok kerekítése, és egy világos algoritmust is szerzett, amely lehetővé teszi bármely szám helyes kerekítését!
A felhasznált irodalom listája:
- Matematika 5. osztály. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I. és mások 31. kiadás, törölve. - M: 2013.
- Didaktikai anyagok matematikához 5. osztály. Szerző - Popov M.A. - 2013-as év
- Hiba nélkül számolunk. Önellenőrzéssel végzett munka matematika 5-6. évfolyamon. Szerző - Minaeva S.S. - 2014-es év
- Didaktikai anyagok matematikához 5. osztály. Szerzők: Dorofeev G.V., Kuznetsova L.V. - 2010
- Matematika tesztek és önálló munkavégzés 5. évfolyam. Szerzők - Popov M.A. - 2012-es év
- Matematika. 5. évfolyam: oktatási. általános iskolai tanulók számára. intézmények / I. I. Zubareva, A. G. Mordkovich. - 9. kiadás, törölve. - M.: Mnemosyne, 2009
Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete