Euklidész ie 330 körül született, feltehetően Alexandriában. Egyes arab szerzők úgy vélik, hogy Nocrates gazdag családjából származott. Van egy olyan változat, hogy Eukleidész Tyroszban születhetett, és egész jövőbeli életét Damaszkuszban töltötte. Egyes dokumentumok szerint Eukleidész az ókori athéni Platón iskolában tanult, ami csak a gazdag emberek számára volt lehetséges. Ezt követően az egyiptomi Alexandriába költözött, ahol megalapozta a matematika ma „geometriaként” ismert ágát.

Alexandriai Euklidész életét gyakran összekeverik Meguroi Euklidész életével, ami megnehezíti a matematikus életrajzának megbízható forrásainak megtalálását. Ami bizonyosan ismert, az az, hogy ő volt az, aki felkeltette a közvélemény figyelmét a matematikára, és teljesen új szintre emelte ezt a tudományt, forradalmi felfedezéseket tett ezen a területen, és számos tételt bebizonyított. Alexandria abban az időben nemcsak a világ nyugati részének legnagyobb városa volt, hanem egy nagy, virágzó papiruszipar központja is. Eukleidész ebben a városban dolgozta ki, rögzítette és mutatta be a világnak matematikai és geometriai műveit.

Tudományos tevékenységek

Eukleidészt joggal tekintik a „geometria atyjának”. Ő volt az, aki e tudásterület alapjait lefektette és megfelelő szintre emelte, feltárva a társadalom előtt a matematika akkori egyik legbonyolultabb ágának törvényeit. Miután Alexandriába költözött, Eukleidész, mint sok akkori tudós, bölcsen töltötte ideje nagy részét az Alexandriai Könyvtárban. Ezt az irodalomnak, művészetnek és tudományoknak szentelt múzeumot Ptolemaiosz alapította. Itt Eukleidész elkezdi egyesíteni a geometriai elveket, az aritmetikai elméleteket és az irracionális számokat egyetlen tudományban, a geometriában. Továbbra is bizonyítja tételeit, és összeállítja azokat a „Principia” című kolosszális művében.

Kevéssé kutatott tudományos pályafutása során a tudós az Elements 13 kiadását fejezte be, amelyek a kérdések széles skáláját fedik le, az axiómáktól és kijelentésektől a sztereometriáig és az algoritmusok elméletéig. Különböző elméletek előterjesztésével párhuzamosan bizonyítási és logikai igazolási módszereket kezd kifejleszteni ezekre az elképzelésekre, amelyek igazolni fogják az Eukleidész által javasolt állításokat.

Munkája több mint 467 állítást tartalmaz a planimetriával és sztereometriával kapcsolatban, valamint hipotéziseket és téziseket, amelyek a geometriai fogalmakkal kapcsolatos elméleteit állítják fel és bizonyítják. Bizonyosan ismert, hogy Eukleidész az Elemek egyik példájaként a Pitagorasz-tételt használta, amely megállapította a derékszögű háromszög oldalai közötti kapcsolatot. Eukleidész kijelentette, hogy "a tétel a derékszögű háromszögek minden esetére igaz".

Ismeretes, hogy az „Elvek” fennállása alatt, egészen a 20. századig több példányt adtak el ebből a könyvből, mint a Bibliából. A számtalanszor kiadott és újrakiadott Principiát különféle matematikusok és tudományos munkák szerzői használták munkáik során. Az euklideszi geometria nem ismert határokat, és a tudós folytatta az új tételek bizonyítását egészen más területeken, mint például a „prímszámok”, valamint az alapvető számtani ismeretek területén. Eukleidész a logikai érvelés láncolatán keresztül arra törekedett, hogy titkos tudást tárjon fel az emberiség előtt. Az a rendszer, amelyet a tudós „Elvei”-ben tovább fejlesztett, lesz az egyetlen geometria, amelyet a világ a 19. századig ismer. A modern matematikusok azonban új geometriai tételeket és hipotéziseket fedeztek fel, és a tárgyat „euklideszi geometriára” és „nem euklideszi geometriára” osztották.

Maga a tudós ezt „általánosított megközelítésnek” nevezte, amely nem a próbálkozásokon és tévedéseken alapul, hanem az elméletek vitathatatlan tényeinek bemutatásán. Abban az időben, amikor a tudáshoz való hozzáférés korlátozott volt, Eukleidész teljesen más területeken kezdett foglalkozni, beleértve az „aritmetikát és a számokat”. Arra a következtetésre jutott, hogy a "legnagyobb prímszám" felfedezése fizikailag lehetetlen. Ezt az állítást azzal indokolta, hogy ha a legnagyobb ismert prímszámhoz hozzáadunk egyet, az elkerülhetetlenül új prímszám kialakulásához vezet. Ez a klasszikus példa bizonyítja a tudós gondolkodásának világosságát és pontosságát, tiszteletreméltó kora és élete ellenére.

Axiómák

Eukleidész azt mondta, hogy az axiómák olyan állítások, amelyek nem igényelnek bizonyítást, ugyanakkor megértette, hogy ezeknek a hitre vonatkozó állításoknak a vak elfogadása nem használható matematikai elméletek és képletek felépítésében. Rájött, hogy még az axiómákat is vitathatatlan bizonyítékokkal kell alátámasztani. Ezért a tudós logikus következtetéseket kezdett levonni, amelyek megerősítették geometriai axiómáit és tételeit. Hogy jobban megértse ezeket az axiómákat, két csoportra osztotta őket, amelyeket „posztutumoknak” nevezett. Az első csoport „általános fogalmak” néven ismert, amelyek elfogadott tudományos állításokból állnak. A posztulátumok második csoportja a geometria szinonimája. Az első csoportba olyan fogalmak tartoznak, mint „az egész nagyobb, mint a részek összege” és „ha két mennyiség külön-külön egyenlő a harmadikkal, akkor egyenlők egymással”. Ez csak kettő az Eukleidész által lejegyzett öt posztulátum közül. A második csoport öt posztulátuma közvetlenül a geometriához kapcsolódik, és kimondja, hogy „minden derékszög egyenlő egymással”, és „egy egyenes vonal bármely pontból bármely pontba húzható”.

Eukleidész matematikus tudományos tevékenysége virágzott, és az 1570-es évek elején. Principiáját görögről arabra, majd angolra fordította John Dee. Megírása óta a Principiát 1000-szer újranyomták, és végül a 20. századi tantermekben díszes helyre került. Sok olyan eset van, amikor a matematikusok megpróbálták megkérdőjelezni és megcáfolni Eukleidész geometriai és matematikai elméleteit, de minden próbálkozás mindig kudarccal végződött. Girolamo Saccheri olasz matematikus igyekezett javítani Eukleidész műveit, de felhagyott próbálkozásaival, és nem talált bennük a legkisebb hibát sem. Csak egy évszázaddal később a matematikusok egy új csoportja képes lesz innovatív elméleteket bemutatni a geometria területén.

Egyéb munkák

Anélkül, hogy abbahagyta volna a matematika elméletének megváltoztatásán való munkát, Euklidésznek sikerült számos művet írnia más témában, amelyeket a mai napig használnak és hivatkoznak rájuk. Ezek a munkák színtiszta feltételezések voltak, amelyek megcáfolhatatlan bizonyítékokon alapultak, és vörös fonalként futottak végig az összes „Elveken”. A tudós folytatta tanulmányait, és felfedezte az optika egy új területét - a katoptricát, amely nagymértékben megalapozta a tükrök matematikai funkcióját. Az optika, a matematikai összefüggések, az adatrendszerezés és a kúpszelvények vizsgálata terén végzett munkája az idők homályába veszett. Ismeretes, hogy Eukleidész nyolc kiadást vagy könyvet írt le sikeresen a kúpszeletekre vonatkozó tételekről, de egyik sem maradt fenn a mai napig. A mechanika törvényein és a testek pályáján alapuló hipotéziseket és feltevéseket is megfogalmazott. Nyilvánvalóan ezek a munkák összekapcsolódtak, és a bennük kifejezett elméletek egyetlen gyökérből - a híres „Elvekből” - nőttek ki. Számos euklideszi „konstrukciót” is kifejlesztett – a geometriai konstrukciók végrehajtásához szükséges alapvető eszközöket.

Személyes élet

Bizonyíték van arra, hogy Eukleidész magániskolát nyitott az Alexandriai Könyvtárban, hogy matematikát taníthasson a hozzá hasonló rajongóknak. Arról is van vélemény, hogy élete későbbi szakaszában továbbra is segítette tanítványait saját elméleteik kidolgozásában és művek megírásában. Még csak fogalmunk sincs a tudós megjelenéséről, és Eukleidész összes szobra és portréja, amelyet ma látunk, csak alkotóik képzeletének szüleménye.

Halál és örökség

Eukleidész halálának éve és okai továbbra is rejtélyek maradnak az emberiség számára. A szakirodalomban homályos utalások vannak arra, hogy Kr.e. 260 körül halhatott meg. A tudós hagyatéka sokkal jelentősebb, mint az a benyomás, amelyet élete során keltett. Könyveit és műveit a 19. századig az egész világon árulták. Euklidész öröksége 200 évszázadon át túlélte a tudóst, és olyan személyiségek ihletforrásaként szolgált, mint például Abraham Lincoln. A pletykák szerint Lincoln babonásan mindig magával vitte a „Principiát”, és minden beszédében Eukleidész műveit idézte. Még a tudós halála után is a különböző országok matematikusai folytatták a tételek bizonyítását és az ő neve alatt publikáltak műveket. Általánosságban elmondható, hogy abban az időben, amikor a tudás el volt zárva a nagyközönség előtt, Eukleidész logikai és tudományos módon megalkotta az ókor matematikájának formátumát, amelyet ma „euklideszi geometria” néven ismer a világ.

Életrajzi pontszám

Új funkció!

Az életrajz átlagos értékelése. Értékelés megjelenítése Téma:
"Kezdet" Eukleidésztől

Elkészült:
Murzagalieva A. Kh. 1. szakasz.

1. 
   Történelmi anyag felhasználása Eukleidész „A kezdet” témájában a matematika órákon.

Történelmi anyag Eukleidész kezdeteiről

1. dia

Ahol a Nílus találkozik a tengerrel,

A piramisok ősi forró földjén,

Görög matematikus élt - hozzáértő,

bölcs Eukleidész.

Geometriát tanult.

Geometriát tanított.

Remek művet írt.

Ennek a könyvnek a neve "A kezdet". 2. dia.

Euklidész - egy ókori görög matematikus (Kr. e. 3. század) Alexandriában dolgozott, és számos művet írt, amelyek az oktatás alapjává váltak, és körülbelül 2200 évig használták.

Kétezer éven át a geometriát vagy Euklidész elemeiből, vagy e könyv alapján írt tankönyvekből tanulták. A klasszikus geometriát euklideszinek kezdték nevezni. A történelem olyan kevés információt őrzött meg erről a csodálatos emberről, hogy gyakran kételyek fogalmazódnak meg létével kapcsolatban.3. dia(legenda a geometria tanulásáról)

Az egyik legenda szerint Ptolemaiosz király a geometria tanulmányozása mellett döntött. De kiderült, hogy ezt nem is olyan könnyű megtenni. Aztán felhívta Eukleidészt, és megkérte, mutasson neki egy könnyű utat a matematikához. „Nincs királyi út a geometriához” – válaszolta a tudós. Így jutott el hozzánk ez a népszerű kifejezés legenda formájában. 4. dia

.Eukleidész tanítója – Platón 5. dia

.(Eukleidész matematikai iskolájának megnyitása) Alexandriában Euklidész matematikai iskolát alapított, és nagy művet írt a geometriáról, amelyet az „Elemek” általános cím alatt egyesített – élete fő műve. Feltételezések szerint Kr.e. 325 körül írták.

Eukleidész elődei – Thalész, Püthagorasz, Arisztotelész és mások – sokat tettek a geometria fejlesztéséért. De ezek mind külön töredékek voltak, és nem egyetlen logikai séma. 6. dia.(

Vatikáni kézirat)

Az elemek egészen a modern időkig óriási hatással voltak a matematika fejlődésére. A könyvet a világ számos nyelvére lefordították. Az utánnyomások számát tekintve az „Elvek”-nek nincs párja a világi könyvek között. 7. dia.

Eukleidész kortársait és követőit egyaránt vonzotta a bemutatott információk szisztematikus és logikus jellege. Az „Elvek” tizenhárom könyvből áll, amelyek egyetlen logikai séma szerint épülnek fel. A tizenhárom könyv mindegyike a benne használt fogalmak (pont, egyenes, sík, ábra stb.) meghatározásával kezdődik, majd néhány alapvető rendelkezés (5 axióma és 5 posztulátum) alapján elfogadja. bizonyíték nélkül az egész rendszer geometriailag épül fel.

8. dia.( amit az egyes könyvek tanítanak)

I. könyv - a háromszögek és a paralelogrammák tulajdonságait tanulmányozzák;

II. könyv – a „geometriai algebrának” szentelve;

III-IV. könyv – körvonalazza a körök geometriáját;

V. könyv - bemutatják az arányok általános elméletét;

VI. könyv – a hasonló alakok elméletéhez csatolva;

A VII-IX. könyv a számelméletnek szól;

X. könyv – megalkotják az irracionalitások osztályozását;

XI. könyv - tartalmazza a sztereometria alapjait;

XII. könyv - tételek bizonyítják a körök területei, a piramisok és a kúpok térfogata közötti összefüggéseket;

A XIII. könyv öt szabályos poliéder felépítésével foglalkozik.

9. dia.( Eukleidész első könyvéről)

Eukleidész első könyve 23 definícióval kezdődik, köztük:

A pont az, aminek nincsenek részei;

A vonal hossza szélesség nélkül;

A vonalat pontok határolják;

Az egyenes olyan egyenes, amely minden pontjához képest egyenlően helyezkedik el;

Két, egy síkban fekvő egyenest párhuzamosnak nevezünk, ha nem találkoznak, függetlenül attól, hogy milyen hosszúak.

10. dia(a tér végtelenjéről)

A tér végtelenségét három posztulátum jellemzi:

"Egyenes vonal bármely pontból bármely pontba húzható."

"Egy korlátos egyenes folyamatosan meghosszabbítható egy egyenes mentén."

"Egy kör bármely középpontból és bármilyen megoldással leírható."

11-12. dia.(az ötödik posztulátumról és Proklosz bizonyításáról)
A párhuzamok doktrínája és a híres ötödik posztulátum („Ha egy két egyenesre eső egyenes olyan belső szögeket képez, amelyek az egyik oldalon kisebbek, mint két derékszög, akkor korlátlanul meghosszabbítva ez a két egyenes azon az oldalon találkozik, ahol a szögek kisebbek, mint két derékszög”) határozza meg az euklideszi tér és geometriájának tulajdonságait, amelyek különböznek a nem euklideszi geometriáktól.
Proklosz bizonyítja az V. posztulátumot, azon az általa nyilvánvalónak vett feltevésen alapulva, hogy a hegyesszög egyik oldalán fekvő pont és a másik oldal közötti távolság, amikor ez a pont eltávolodik a szög csúcsától, tetszőlegesen nagyra tehető. Vegye figyelembe, hogy ez a javaslat az abszolút geometriához tartozik.

E feltevés alapján Proklosz a következőképpen bizonyítja az V. posztulátumot.

Legyen szükséges annak bizonyítása, hogy a g" és g" egyenesek egy C pontban metszik egymást.

Rajzoljunk az A ponton egy g"""-vel párhuzamos egyenest. Vegyük a B pontot a g" egyenesen, és ejtsd le onnan

merőleges a g""-re". Mivel a B pont távolodik A-tól, távolsága g"""-től korlátlanul növekszik,

és a g" és g""" párhuzamos egyenesek távolsága véges, akkor a g""-en van egy C pont,

g-hez tartozó". Ezen a ponton a g" és g"" egyenesek metszik egymást. Ami az V. posztulátum érvényességéhez vezet.

De ez csak azért valósul meg, mert a Proclus azt a feltevést használja, hogy a távolság

természetesen párhuzamos vonalak. Ez azonban egy új posztulátum, egyenértékű az V. posztulátummal

13. dia.( Geometriai problémák és megoldásaik (Euklidész)

Az első „Begin” könyvből

1. Vágja félbe ezt az egyenes szöget.

2. Ez a korlátozott egyenes (azaz szakasz)

félbevágjuk.

A „Begin” harmadik könyvből

1. Keresse meg ennek a körnek a középpontját.

2. Vágja félbe ezt az ívet.

A 4. „Begin” könyvből

1.Írj egy adott hosszúságú húrt egy adott körbe.

A hatodik „Begin” könyvből

1. Adott két szegmenshez keresse meg

átlagos arányos.

2. Keresse meg három adott szegmenshez

negyedik átlag arányos.
1. A BAC szög kettéosztásához Euklidész felvesz egy tetszőleges D pontot az AB-re, és az AE = A D-t az AC-re helyezi. Ezután DE-re épít egy DEF egyenlő oldalú háromszöget. Az egyenes vonalú AF felosztja a BAC szöget.

2. Az AB szakasz kettéosztásához Euklidész egy ABC egyenlő oldalú háromszöget szerkeszt rá, az ACB szöget egy CD egyenessel kettévágja. A D pont az AB szakasz közepe.

3. Eukleidész bizonyítása (ellentmondás útján) abban áll, hogy a kör középpontja az akkord közepéről visszaállított merőlegesen fekszik.

4. Euklidész kettévágja az AB húrt egy adott ív mentén. A C pontból, a húr közepéből merőlegest szerkeszt az AB-re, metszi az ívet a kívánt D pontban.

14. dia. (euklideszi algoritmus)

Az eukleidészi algoritmus egy módszer két egész szám, két polinom legnagyobb közös osztójának, valamint két arányos szegmens legnagyobb közös mértékének megtalálására.

Két pozitív egész legnagyobb közös osztójának meghatározásához először el kell osztani a nagyobb számot a kisebb számmal, majd a második számot el kell osztani az első osztás maradékával, majd az első maradékot a másodikkal stb. Ebben a folyamatban az utolsó nem nulla pozitív maradék lesz ezeknek a számoknak a legnagyobb közös osztója. Legyen a=777, b=629. Ekkor 777=629*1+148, 629=148*4+37, 148=37*4 Az utolsó nem nulla maradék 37 a 777 és 629 számok legnagyobb közös osztója.

Hasonló módon járjunk el, hogy megtaláljuk két szegmens legnagyobb közös mértékét. A maradékkal való osztás műveletét annak geometriai analógja váltja fel: a kisebb szegmenst a lehető legtöbbször lerakják a nagyobbra: a nagyobb szegmens fennmaradó részét (az elválasztás maradékának tekintve) a kisebb szegmens stb. ha az a és b szegmensek összemérhetők, akkor az utóbbi nem nulla, a maradék megadja ezeknek a szegmenseknek a legnagyobb közös mértékét. Összehasonlíthatatlan szegmensek esetén a nullától eltérő maradékok sorozata végtelen lesz. Vegyük kezdeti szakasznak az ABC egyenlő szárú háromszög AB és AC oldalait, amelyekben A=C = 72°, B = 36°. Első maradékként az AD szakaszt kapjuk (a C szög CD-felezője), és amint jól látható, a nulla maradékok sorozata végtelen lesz. Ez azt jelenti, hogy az AB és AC szegmensek nem összemérhetők.

Az Euklidész algoritmus régóta ismert. Már több mint 2000 éves. Ez az algoritmus az Euklidész Elemekben van megfogalmazva, ahol a prímszámok tulajdonságait, a legkisebb közös többszöröst stb. Két szegmens legnagyobb közös mérőszámának megtalálásának módszereként az Euklidész-algoritmust (amit néha a váltakozó kivonás módszerének is neveznek) a pitagoreusok ismerték. A 16. század közepére. Az euklidészi algoritmust egy változóból kiterjesztették a polinomokra, később néhány más algebrai objektumra is sikerült meghatározni az Euklidész algoritmust.

Az Euklidész algoritmusnak számos alkalmazása van. Az ezt meghatározó egyenlőségek lehetővé teszik a legnagyobb osztó ábrázolását d számok a És b d=ax+by alakban (x;y egész számok), és ez lehetővé teszi, hogy megoldást találjon a két ismeretlennel rendelkező 1. fokú diofantusi egyenletekre. Az euklideszi algoritmus egy racionális szám folyamatos törtként való ábrázolásának eszköze. Gyakran használják számítógépes programokban.

15. dia.("Kezdet" - ősi emlékmű)

Az Elemekről általában azt mondják, hogy a Biblia után az ókor legnépszerűbb írásos emléke. A könyvnek megvan a maga, nagyon figyelemre méltó története. Kétezer évig referenciakönyv volt az iskolások számára, és kezdeti geometriai kurzusként használták. Az Elemek rendkívül népszerűek voltak, és sok másolatot készítettek belőlük szorgalmas írnokok különböző városokban és országokban. Később az „Elvek” a papiruszról a pergamenre, majd a papírra kerültek. Négy évszázad leforgása alatt az Elemek 2500 alkalommal jelentek meg: évente átlagosan 6-7 kiadás jelent meg. A könyv a 20. századig nemcsak az iskolák, hanem az egyetemek számára is a geometria fő tankönyvének számított.

16. dia.( Eukleidész többi műve)

Az „adatok” geometriai algebra segítségével megoldott feladatok.

„Az ábrák felosztásáról” - építési problémák.

A „jelenségek” egy csillagászati ​​esszé.

"Optika"

A „Sections of the Canon” egy kis értekezés, amely tíz problémakört tartalmaz a zenei intervallumokról.

Mindezen művekben, akárcsak a Principiában, a bemutatás szigorú logikának van alávetve, és a tételek pontosan megfogalmazott fizikai hipotézisekből és matematikai posztulátumokból származnak.

17. dia.( Kiemelkedő geometriák Euklidész után)

Euklides időszámításunk előtt 275 és 270 között halt meg, és a pergai Apollóniosz nagy mértékben hozzájárult a geometria különböző kérdéseinek további tanulmányozásához. Arkhimédész és Apollóniosz műveit túl bonyolultnak tartották, nem olvasták őket, és egy részük elveszett az idők során

18. dia.( példázat a három tudósról)

Tanítványává válni, és megérteni az öreg bölcsességét,

hajózott a tengeren, sétált messziről...

A kérdések pedig nem voltak egyszerűek.

Mi az a pont? -

kérdezte Eukleidész,

körülnézett vendégein.

A lényeg az

amelynek nincsenek részei, -

Archelaus göndör azt mondja.

Helyesen válaszolt.

Gratulálok! -

– mosolygott szeretettel a bölcs. -

Nos, mi a vonal titka?

Van egy hossz

de nincs benne szélesség!

Ismét vissza a lényegre!

Szeretném tudni:

Miért akarsz tudós lenni?

Hiszen a tudáshoz vezető utak nem könnyűek?!

Gazdag akarok lenni

Hogy vagy! hallottam:

a tudomány kincs!

biztos vagyok-

te, Eukleidész, gazdag vagy

A bölcs kivesz két érmét -

egy zavarodott fiatal veszi őket

Minden! Megy! -

– mondja a tudós. -

Gazdagabb vagy, mint Eukleidész...

A meleg szél hirtelen megerősödött,

pálmafák imbolyogtak a parton.

Ki fogja felosztani a kört

öt részre?

Archilochus felállt:

meg tudom csinálni!

A nap megvilágította a sötét arcot.

Az iránytű szilárdan a kezedben van,

ügyesen osztja a kört a homokon.

Az öreg bólintott:

Ekkor Eukleidész megkérdezte:

Mi vonz a tudományhoz?! -

megveregette a fiatalember vállát.

Híres lesz

mint te, én is mindenhol hallom:

– Milyen okos Eukleidész!

Ez azt jelenti, hogy a tudás dicsőséget ígér!

Eukleidész fogta a kihegyezett nádat,

Egy öregember írja a papiruszra:

"Emberek! Okosabb nálam

Eukleidész".

- Tessék, hajrá!

Most már híres vagy!

Nos, a harmadik azt hiszi...

Valamit rajzol

lenyűgöz valami...

mit rajzolsz?

vonalakat húzok.

Bizonyítani akarom a tételt.

De más módon

nem úgy, mint Eukleidész! -

– mondja makacsul a fiatalember.

Könnyek a szememben

az öregtől:

diáknak találta magát.

ki vagy te?

És ezt hallja válaszul:

Syracusából származom.

Arkhimédész vagyok.

Javasoljuk, hogy ezt az anyagot a következő témákról szóló órákon használja:

Kezdeti geometriai információk

A geometria axiómái

Az óra célja: mutassa be az Eukleidész korabeli állítások megfogalmazásait, és hasonlítsa össze a modern megfogalmazással.

Az óra céljai:

- Fejleszti a matematika iránti kognitív érdeklődést, a logikus gondolkodást.

Aktiválja a kognitív tevékenységet.

Bővítse a tanulók látókörét.

A lecke lépései: tudás frissítése vagy új ismeretek „felfedezése”.

diák üzenet , a projekt bemutatása.

Az oktatási tevékenységek típusai:

- szövegének elemzésével és megértésével problémákat old meg;

Tervezett oktatási eredmények:

A matematikai problémák megoldásához szükséges információk megtalálásának és érthető formában történő bemutatásának képessége különböző forrásokból;

A számfogalom fejlesztése, a matematika szimbolikus nyelvének elsajátítása, a gondolatok pontos és hozzáértő kifejezése szóban és írásban, matematikai terminológia és szimbolika használatával.

2. szakasz. Történelmi anyag felhasználása Eukleidész „Kezdet” témában tanórán kívüli órákon.

A tanórán kívüli foglalkozások szervezési formája – matek klub óra.

A történelmi anyag bemutatásának formái: diák üzenet, bemutató bemutató.

Az oktatási tevékenységek típusai:

- problémák megoldása a probléma szövegének elemzésével és megértésével;

Kivonja a szükséges matematikai információkat, építsen fel egy logikai érvelési láncot.

Tervezett oktatási eredmények:

Elképzelés a matematikai tudományról, mint az emberi tevékenység szférájáról, fejlődésének szakaszairól;

A matematikai problémák megoldásához szükséges információk megtalálásának és érthető formában történő bemutatásának képessége különböző forrásokból;

Információforrások:

1.http:// életrajzíró. nettó/ életrajz. php? id=50

2.http:// www- történelem. mcs. st- Andrews. ac. uk/ PictDisplay/ Eukleidész. html

3.referat. ru/ referats/ kilátás/13700

Könnyű beküldeni jó munkáját a tudásbázisba. Használja az alábbi űrlapot

Diákok, végzős hallgatók, fiatal tudósok, akik a tudásbázist tanulmányaikban és munkájukban használják, nagyon hálásak lesznek Önnek.

Feltéve: http://www.allbest.ru

Az Orosz Föderáció Oktatási és Tudományos Minisztériuma

Szövetségi Állami Autonóm Szakmai Felsőoktatási Intézmény "Kazan (Volga Régió) Szövetségi Egyetem"

elnevezésű Matematikai és Mechanikai Intézet. N.I. Lobacsevszkij

Matematika és Számítástechnika Tanításelméleti és Technológiai Tanszék

Irány: (matematika és angol)

„Eukleidész elemeinek jelentősége a matematika történetében”

Diák: Nemkova A.I.

csoport 05-106

Tanár: Shakirova L. R.

Euklidész ókori görög matematika

Kazan 2014

„Az egység az, amelyen keresztül a meglévőket egynek tekintik.

A szám egy egységekből álló halmaz."

ÉLETRAJZ

EUCLID (Euclid c.356-300 VS)

Eukleidész ókori görög matematikus, az első hozzánk eljutott matematikai elméleti értekezések szerzője. Eukleidész életéről és munkásságáról rendkívül korlátozottak az életrajzi információk. Ismeretes, hogy Athénból származott, és Platón tanítványa volt. Tudományos tevékenysége Alexandriában zajlott, ahol matematikai iskolát hozott létre.

EREDMÉNYEK A MATEMATIKÁBAN

Euklidész fő művei, az "Elemek" (latin nyelvű cím - "Elemek") tartalmazzák a planimetria, a sztereometria és számos kérdés bemutatását a számelméletben, az algebrában, az általános összefüggéselméletben, valamint a területek és térfogatok meghatározásának módszerében, beleértve a határelemeket is. (A kimerülés módja). Az Elemekben Eukleidész összefoglalta a görög matematika összes korábbi vívmányát, és megalapozta további fejlődését. Eukleidész elemeinek történelmi jelentősége abban rejlik, hogy elsőként kísérelték meg a geometria axiomatikán alapuló logikai felépítését. Az eukleidészi axiomatika fő hátrányának a hiányosságát kell tekinteni; nincsenek axiómái a folytonosságnak, a mozgásnak és a rendnek, ezért Eukleidésznek gyakran az intuícióra kellett hivatkoznia és bíznia a szemnek. A XIV. és XV. könyvet később egészítették ki, de nem tudni, hogy az első tizenhárom könyv egy ember vagy egy Eukleidész vezette iskola munkája-e. 1482 óta Az Euclid's Elements több mint 500 kiadáson ment keresztül. a világ összes nyelvén.

Az Elemek első négy könyve a síkgeometriával foglalkozik, és az egyenes vonalú alakzatok és körök alapvető tulajdonságait tanulmányozza.

Az I. könyvet a később használt fogalmak definíciói előzik meg. Természetükben intuitívak, mivel a fizikai valóság alapján határozzák meg őket: „A pont az, aminek nincsenek részei.” "A vonal hosszúság szélesség nélkül." "Egy egyenes az, amely egyenlően helyezkedik el a rajta lévő pontokhoz képest." „A felület az, aminek csak hossza és szélessége van” stb.

Ezeket a meghatározásokat öt posztulátum követi: „Tegyük fel:

1) hogy bármely pontból bármely pontba egyenes vonal húzható;

2) és hogy egy határolt vonal egy egyenes mentén folyamatosan meghosszabbítható;

3) és hogy egy kör bármely középpontból és bármilyen megoldással leírható;

4) és hogy minden derékszög egyenlő egymással;

5) és ha egy két egyenesre eső egyenes olyan belső szögeket képez az egyik oldalon, amelyek kisebbek, mint két derékszög, akkor korlátlanul meghosszabbítva ez a két egyenes azon az oldalon találkozik, ahol a szögek kisebbek, mint két derékszög."

Az első három posztulátum biztosítja az egyenes és a kör létezését. Az ötödik, az úgynevezett párhuzamos posztulátum a leghíresebb. A 19. századig mindig is felkeltette a matematikusok érdeklődését, akik megpróbálták az előző négyből származtatni, vagy teljesen elvetni. Felfedezték, hogy más, nem euklideszi geometriák is megszerkeszthetők, és hogy az ötödik posztulátumnak joga van létezni. Ezután Eukleidész olyan axiómákat fogalmazott meg, amelyek a csak geometriára érvényes posztulátumokkal ellentétben általában minden tudományra alkalmazhatók. Továbbá Eukleidész az I. könyvben bizonyítja a háromszögek elemi tulajdonságait, amelyek között szerepel az egyenlőség feltételei. Ezután néhány geometriai konstrukciót ír le, mint például a szög felezőjének, a szakasz felezőpontjának és az egyenesre merőlegesnek a felépítését. Az I. könyvben szerepel még a párhuzamosság elmélete és egyes síkidomok (háromszögek, paralelogrammák és négyzetek) területének kiszámítása. A II. könyv lefekteti az úgynevezett geometriai algebra alapjait, amely Pythagoras iskolájába nyúlik vissza. A benne lévő összes mennyiséget geometrikusan ábrázolják, a számokkal végzett műveleteket pedig geometrikusan hajtják végre. A számokat vonalszakaszok váltják fel. A III. könyv teljes egészében a kör geometriájával foglalkozik, a IV. könyv pedig a körbe írt és körülírt szabályos sokszögeket tanulmányozza.

Az V. könyvben kidolgozott arányelmélet egyformán jól alkalmazható arányos és összemérhetetlen mennyiségekre. Eukleidész a „nagyság” fogalmába beletartozott a hosszúságok, területek, térfogatok, súlyok, szögek, időintervallumok stb. fogalmába. Elutasította a geometriai bizonyítékok használatát, de elkerülte az aritmetika alkalmazását is, ezért nem rendelt számértékeket a mennyiségekhez. Az Eukleidész Elemek V. könyvének első definíciói: 1. Egy rész egy nagyságrend, amely kisebb egy nagyobbnál, ha a nagyobbat méri. 2. A többszörös a nagyobb (tól) a kisebb, ha a kisebbvel mérjük. 3. Az arány két homogén mennyiség bizonyos függése. 4. A mennyiségekről azt mondjuk, hogy kapcsolatban állnak egymással, ha többszörösének tekintve meghaladhatják egymást. 5. Azt mondják, hogy a mennyiségek azonos arányban vannak: az első a másodikhoz és a harmadik a negyedikhez, ha az első és a harmadik egyenlő többszörösei egyszerre nagyobbak, vagy egyidejűleg egyenlőek, vagy ugyanakkor kisebbek, mint a második és a negyedik egyenlő többszörösei bármilyen többszörösség esetén, ha a megfelelő sorrendben veszik őket. 6. Nevezzük arányosnak az azonos arányú mennyiségeket. Az egész könyv elején elhelyezett tizennyolc definícióból és az I. könyvben megfogalmazott általános fogalmakból csodálatra méltó kecsességgel és szinte logikai hibák nélkül Eukleidész (anélkül, hogy posztulátumokhoz folyamodott volna, amelyek tartalma geometrikus volt) húsz tételt vezetett le, amelyekben a mennyiségek tulajdonságait és azok összefüggéseit.

A VI. könyvben az V. könyv arányelméletét egyenes vonalú alakzatokra, síkbeli geometriára és különösen hasonló alakzatokra alkalmazzák, és „hasonló egyenes alakzatok azok, amelyek szögei sorrendben egyenlőek, oldalai pedig egyenlő szöget zárnak be. arányos." A VII., VIII. és IX. könyv a számelméletről szóló értekezést alkot; az arányelméletet a bennük lévő számokra alkalmazzák. A VII. könyv meghatározza az egész számok arányának egyenlőségét, vagy modern szemszögből a racionális számok elméletét építi fel. A számok Eukleidész által vizsgált számos tulajdonsága közül (paritás, oszthatóság stb.) idézzük például a IX. könyv 20. tételét, amely az „elsők” végtelen halmazának létezését állapítja meg, ti. prímszámok: "Több prímszám van, mint bármely javasolt számú prímszám." Ellentmondásos bizonyítása még mindig megtalálható az algebrai tankönyvekben.

Az X könyv nehezen olvasható; tartalmazza a másodfokú irracionális mennyiségek osztályozását, amelyeket ott geometriai vonalakkal és téglalapokkal ábrázolnak. Így van megfogalmazva az 1. állítás Euklidész elemei X. könyvében: „Ha két egyenlőtlen mennyiséget adunk meg, és a nagyobbikból levonunk egy felénél nagyobb részt, a maradékból pedig ismét egy felénél nagyobb részt, és ez folyamatosan ismétlődik, akkor egyszer marad egy mennyiség, amely kisebb, mint a megadott értékek közül a kisebb." Modern nyelven: Ha a és b pozitív valós számok, és a > b, akkor mindig létezik olyan m természetes szám, amelyre mb > a. Euklidész bebizonyította a geometriai transzformációk érvényességét.

A XI. könyv a sztereometriának szól. A XII. könyvben, amely szintén valószínűleg Eudoxusig nyúlik vissza, a görbe vonalú alakzatok területeit a kimerítés módszerével hasonlítják össze a sokszögek területeivel. A XIII. könyv témája a szabályos poliéderek felépítése. A platóni szilárd testek felépítése, amelyek látszólag kiegészítik az Elemeket, okot adott arra, hogy Eukleidészt Platón filozófiájának követői közé soroljuk.

ÉRDEKLŐDÉSI TERÜLETEK

Az „Elemek” mellett Eukleidész következő művei jutottak el hozzánk: egy könyv latin „Adatok” címmel (azon feltételek leírásával, amelyek mellett bármely matematikai kép „adatnak” tekinthető); egy könyv az optikáról (tartalmazza a perspektíva tanát), a katoptriákról (a tükrök torzulásainak elméletét vázolja fel), egy „Alakfelosztás” könyv. Eukleidész „A hamis következtetésekről” (matematika) című pedagógiai munkája nem maradt fenn. Eukleidész csillagászati ​​("jelenségek") és zenei műveket is írt.

AZ EUCLID ÉRDEMEI

EUCLID TÉTELE a prímszámokról: a prímszámok halmaza végtelen (Euklidesz elemei, IX. könyv, 20. tétel). A természetes sorozat prímszámainak halmazáról pontosabb kvantitatív információt tartalmaz Csebisev prímszámokról szóló tétele és az aszimptotikus képlet. prímszámok eloszlásának törvénye.

EUCLIDAN GEOMETRY - a tér axiómarendszerrel leírt geometriája, az első szisztematikus (de nem kellően szigorú) bemutatást Euklidész Elemei című művében adták. Az elektronikus geometriai rendszer terét általában háromféle objektumok halmazaként írják le, amelyeket „pontoknak”, „egyeneseknek” és „síknak” neveznek; viszonyok közöttük: összetartozás, rend („között feküdni”), kongruencia (vagy a mozgás fogalma); folytonosság. Az E. axiomatikájában különleges helyet foglal el a párhuzamok axiómája (ötödik posztulátum). J. g első kellően szigorú axiomatikáját D. Hilbert javasolta (D. Hilbert, lásd Hilbert axiómarendszerét). Léteznek a Hilbert axiómarendszer módosításai és az E.G. axiomatikájának más változatai. Például a vektorpont axiomatikában a vektor fogalmát az egyik alapfogalomnak tekintjük. Pl. axiomatikája a szimmetria reláción alapulhat.

5) A „KEZDET” TÖRTÉNETI JELENTŐSÉGE

Eukleidész elemeinek történelmi jelentősége abban rejlik, hogy elsőként kísérelték meg a geometria axiomatikán alapuló logikai felépítését. A modern matematikában uralkodó axiomatikus módszer eredetét nagymértékben Eukleidész Elemeinek köszönheti.

Az eukleidészi axiomatika fő hátrányának a hiányosságát kell tekinteni; nincsenek axiómái a folytonosságnak, a mozgásnak és a rendnek, ezért Euklidésznek gyakran az intuícióra kell hivatkoznia és a szemnek kell bíznia. Ami a pont, egyenes, egyenes, felület és sík definícióit illeti, jelentőségük abban rejlik, hogy tükrözik e fogalmak természetes kialakulásának folyamatát.

Egyetlen tudományos könyv sem aratott olyan nagy és tartós sikert, mint Eukleidész Elemei. 1482 óta több mint 500 kiadáson ment keresztül a világ összes nyelvén. Az említett „Elvek” mellett Eukleidész következő művei jutottak el hozzánk: egy könyv latin „Adatok” címmel, melynek tartalma, hogy meghatározza azokat a feltételeket, amikor bármely matematikai kép „adatnak” tekinthető; egy optikáról szóló könyv (amely tartalmazza a perspektíva tanát) és egy könyv a katoptriákról (a tükrök torzulásainak elméletét mutatja be), valamint „Alakfelosztás”.

A későbbi idők matematikusai - Pappus és D. Procolus - megemlítik és hivatkoznak Eukleidész hozzánk el nem jutott műveire: négy képregényszakaszról szóló könyvre, amelyek anyagát Pergai Apollóniosz művei tartalmazták; két könyv a felszínen lévő helyekről; három „Porizmusok” című könyv, amelyek tartalmát még mindig nem értjük teljesen.

A „Hamis következtetésekről” (matematika) pedagógiai munka sem maradt fenn. Eukleidész csillagászati ​​("jelenségek") és zenei munkákat is írt. Eukleidész hozzánk eljutott műveit Heiberg és Menge kritikai kiadása (Lipcse, 1883-1916) gyűjti össze, amely tartalmazza a görög eredetiket, latin fordításokat és későbbi szerzők megjegyzéseit.

Közzétéve az Allbest.ru oldalon

...

Hasonló dokumentumok

Esszé a nagy ókori görög tudós, Eukleidész életéről és munkásságáról, a matematika terén elért eredményeiről. Eukleidész főbb műveinek elemzése, alapgondolatai és kialakulásuk forrásai. Geometria negatív görbületű felületen.

absztrakt, hozzáadva: 2010.12.13


A konstans mennyiségek matematika periódusának jellemzői. Aritmetika, algebra, geometria és trigonometria létrehozása. Az ókori Görögország matematikai kultúrájának általános jellemzői. Pitagorasz iskola. Összehasonlíthatatlanság felfedezése, Pitagorasz-táblázatok. Eukleidész "elemei".

bemutató, hozzáadva 2015.09.20


A matematika szerepe a modern világban. A matematika fejlődésének főbb állomásai. Tudományos elmélet felépítésének axiomatikus módszere. Euklidész kezdetei egy tudományos elmélet axiomatikus felépítésének példája. A nemeuklideszi geometria létrejöttének története. Gondolkodási stílusok.

absztrakt, hozzáadva: 2009.02.08


A matematika fejlődésének fő szakaszai az ókori Görögországban. Számok és geometria tanulmányozása a Pitagorasz iskolában. Zénón, Démokritosz, Platón és Eudoxosz hozzájárulása az ókori tudomány fejlődéséhez. Az ókor nagy geometriája, Eukleidész és az „Elemek” című főművének tartalma.

bemutató, hozzáadva: 2013.10.03


A "matematika" kifejezés eredete. A matematika tárgyának egyik első meghatározása Descartes-tól. A matematika lényege Kolmogorov szemszögéből. G. Weyl matematika képességeinek pesszimista értékelése. Bourbaki megfogalmazása a matematika egyes tulajdonságairól.

bemutató, hozzáadva 2012.05.17


A görög matematika és filozófiája. A filozófia és a matematika kapcsolata, közös útja a reneszánsz elejétől a 17. század végéig. Filozófia és matematika a felvilágosodás korában. A német klasszikus filozófia matematikai ismereteinek természetének elemzése.

szakdolgozat, hozzáadva: 2009.09.07


A matematika szerepének elemzése a tárgyak mennyiségi és térbeli kapcsolatainak felmérésében a valós világban. Fermat, Rolle, Lagrange, Cauchy és L'Hopital matematikai tételeinek értelmezése és indoklása. Nagy matematikusok életrajzának, tevékenységének és munkáinak áttekintése.

tanfolyami munka, hozzáadva 2013.08.04


Néhány életrajzi adat és legenda Eukleidész életéből. A matematikai iskola megalapozása és a geometria bemutatása az „Elvek” című műben, a tér és végtelenségének metrikus tulajdonságainak leírása. Az "Optika" és a "Catoptrics" művek és a monokord feltalálása.

bemutató, hozzáadva: 2010.12.21


A matematika megjelenésének előfeltételei az ókori Egyiptomban. Problémák az "aha" kiszámításakor. Az ókori egyiptomiak tudománya. Probléma a Rhind papiruszból. Geometria az ókori Egyiptomban. Nagy tudósok nyilatkozatai a matematika fontosságáról. Az egyiptomi matematika jelentősége korunkban.

absztrakt, hozzáadva: 2012.05.24


A matematika fogalmának jelentése. Szerepe a tudományban. A matematika mint tudomány sokféle matematikai modellen alapul, melynek feladata valós események, jelenségek megjelenítése. A matematikai nyelv jellemzői. Híres mondások a matematikáról.

Különösen gyümölcsözően fejlődtek a természettudományi tudáságak: a fizika, csillagászat, földtudomány, amelyek szorosan kapcsolódnak a matematikához és a geometriához. A leghíresebb hellenisztikus geometrikusok és matematikusok közé tartozott a híres Eukleidész is.

Eukleidész életrajza nagyon kevéssé ismert. Fiatalkorában az Athéni Akadémián tanulhatott, amely nemcsak filozófiai, hanem matematikai és csillagászati ​​iskola is volt (Knidusi Eudoxus az Akadémiához tartozott). Eukleidész ekkor Alexandriában élt I. és II. Ptolemaiosz alatt. Tehát Eukleidész életrajza főként a 3. század első felében zajlott. I.E e. A sok évszázaddal később élt neoplatonista Proklosz azt mondja, hogy amikor I. Ptolemaiosz megkérdezte Eukleidészt, miután megnézte fő művét, van-e rövidebb út a geometriához, Eukleidész állítólag büszkén válaszolta a királynak, hogy a tudományhoz nincs királyi út.

Euklidész olyan alapvető tanulmányokért felelős, mint az „optika” és a „dioptria”. Eukleidész optikájában abból indult ki püthagoraszi elmélet, amely szerint a fénysugarak egyenes vonalak, amelyek a szemtől az észlelt tárgyig terjednek.

Eukleidész "elemei"

Eukleidész fő műve az „Elemek” (vagy „Elemek”, az eredeti „Stoichea”). Az Euclid's Elements 13 könyvből áll. Később még két könyvet adtak hozzájuk.

Az Elemek első hat könyve a síkbeli geometriának – a planimetriának – szól. Filozófiai és elméleti szempontból, a matematika filozófiája szempontjából különösen érdekes az első könyv, amely definíciókkal, posztulátumokkal és axiómákkal kezdődik, amelyek tanát Arisztotelész fektette le.

Eukleidész úgy definiálja a pontot, mint aminek nincsenek részei. Vonal – hosszúság szélesség nélkül. A vonal végei pontok. Egy egyenes egyenlő távolságra van a rajta lévő pontokhoz képest. A felület az, aminek csak hossza és szélessége van. A felület végei vonalak. A sík felület az, amely egyenlően helyezkedik el a rajta lévő vonalakhoz képest. És így tovább. Ezek Eukleidész definíciói.

Eukleidész szobra az Oxfordi Egyetemi Múzeumban

Kövesse a posztulátumokat, vagyis azt, hogy mit szabad. Tegyük fel, hogy tetszőleges pontból tetszőleges pontba húzható egyenes, hogy egy korlátos egyenes egy egyenes mentén folyamatosan meghosszabbítható, hogy bármely középpontnak vett pontból tetszőleges iránytű megoldással kör rajzolható, minden derékszög egyenlő egymással, és ha egy egyenes, amely két egyenesre esik, az egyik oldalon olyan belső szögeket hoz létre, amelyek kisebbek, mint két derékszög, akkor meghosszabbítva ez a két egyenes előbb-utóbb találkozik azon az oldalon, ahol a szögek kisebbek, mint két derékszög.

Eukleidész axiómái azt mondják, hogy a harmadik mennyiséggel egyenlő mennyiségek egyenlőek egymással, hogy ha egyenlőket egyenlőkhez adunk, akkor az egész számok egyenlőek lesznek stb.

Továbbá az Euklidész elemeinek első könyvében a háromszögekről, a párhuzamos egyenesekről és a paralelogrammákról van szó. Az Elemek második könyve geometriai algebrát tartalmaz: a számok és a számarányok térbeli mennyiségekben és azok térbeli kapcsolataiban vannak kifejezve. Az "Elvek" harmadik könyve a kör és a kör geometriáját tárja fel, a negyedik - a sokszögeket. Az ötödik könyv megadja az arányelméletet arányos és összemérhetetlen mennyiségekre egyaránt. A VI. könyvben Eukleidész ezeket az elméleteket a planimetriára alkalmazza. A VII–X. könyv számelméletet tartalmaz, az X. könyv pedig irracionális vonalakat kezel. Az Elemek XI., XII. és XIII. könyve a sztereometriának van szentelve, míg a XII. könyvben a kimerítés módszerét alkalmazzák.

A szó szoros értelmében Eukleidész nem tekinthető a „geometria atyjának”. Khioszi Hippokratésznek megvoltak a maga „elvei” az 5. században. I.E e. A 4. században. I.E e. Leonnak és Magnéziai Theudiusnak voltak „elvei”. A kimerülés módszerét Cnidusi Eudoxosz, Eukleidész lehetséges tanára alkalmazta az Akadémián. Az irracionalitás problémájával Metapontus Pythagoreus Hippasusa, Kürénéi Theodore, Athéni Theaetetus foglalkozott... Eukleidész azonban nem egyszerű továbbítója annak, amit előtte a matematikusok műveltek. Eukleidész Elemeiben a matematika befejezését harmonikus tudományként látjuk, amely definíciókból, posztulátumokból és axiómákból indul ki, és deduktív módon épül fel. Eukleidész matematikája az ókori görög deduktív tudomány csúcsa. A gyakorlati közelítő képletével élesen eltér a közel-keleti matematikától. Nem véletlen, hogy Eukleidész „elemeit” logikai harmóniájukban, világosságukban, kecsességükben és teljességükben hasonlítják össze az athéni Parthenonnal.

Igaz, volt egy legenda, miszerint nem maga Eukleidész volt az egyetlen szerzője a hozzánk jutott Elemeknek, hogy ő maga csak dogmatikusan bemutatta az anyagot, bizonyíték nélkül, hogy a bizonyítékot a már említett alexandriai Theon adta. . Az alexandriai Theon valóban az Elemek problémáival foglalkozott. De nincs egyedül. Proklosz és Simplicius ugyanezt tette. Euklidész elemeit részben Censorinus és Boethius fordította latinra. De ezek a fordítások elvesztek. Nyugaton a 12. század végéig. Eukleidész tézisei bizonyítékok nélkül keringtek.

Ami a Közel-Keletet illeti, Eukleidészt ott görögről szírre és szírről arabra fordították. Az első arab filozófus, aki érdeklődni kezdett Eukleidész iránt, nyilvánvalóan al-Kindi volt (9. század). Érdeklődése az euklideszi „optikára” korlátozódott. Ezt azonban a „Kezdetek”-hez fordítások és megjegyzések tömege követte. Ezeket az arab szövegeket a 13. században fordították le. latinul. Az első latin fordítás a görög eredetiből Európában készült 1493-ban, és 1505-ben nyomtatták ki Velencében. De egészen 1572-ig, amikor Federico Commandino kijavította ezt a hibát latin fordításában, Eukleidész matematikust összetévesztették Euklidész Megaricusszal.

Eukleidész posztulátumai

Euklidész posztulátumaiból világosan kitűnik, hogy Eukleidész a teret üresnek, határtalannak, izotrópnak és háromdimenziósnak képzelte. A tér végtelenségét és határtalanságát olyan eukleidészi posztulátumok feltételezik, mint azok a tézisek, amelyek szerint bármely pontból tetszőleges pontba egyenes vonal húzható, hogy egy korlátozott egyenes egy egyenes mentén folyamatosan meghosszabbítható, hogy egy kör leírható. bármely központból és bármilyen iránytű nyílással.

Különösen híres Eukleidész ötödik posztulátuma, amely szó szerint így hangzik (a fentebb adtunk egy parafrázist): „Ha egy két egyenesre eső egyenes olyan belső szögeket képez az egyik oldalon, amelyek kisebbek, mint két egyenes, akkor ezt a két egyenest korlátlanul kiterjesztjük. a vonalak azon az oldalon találkoznak, ahol a szögek kisebbek, mint két derékszög." Proklosz később a következőképpen fogalmazta meg ezt a posztulátumot: "Ha egy egyenes metszi két párhuzamos egyenes egyikét, akkor a második párhuzamost is metszi." A számunkra ismertebb képlet: „Egy adott ponton keresztül csak egy párhuzamost húzhatsz egy adott egyeneshez” John Playfair-é.

Eukleidész ötödik posztulátumának bizonyítására nem egyszer történtek kísérletek (Ptolemaiosz, Nasir al-Din, Lambert, Legendre). Végül Carl Gauss 1816-ban feltételezte, hogy ez a posztulátum helyettesíthető egy másikkal. Ezt a sejtést N. I. Lobacsevszkij (1792–1856) és Bolyay János (1802–1866) párhuzamos tanulmányokban valósította meg egymástól függetlenül. Azonban mindkét kutató (orosz és magyar) nem kapott elismerést más matematikusoktól, különösen azoktól, akik a kanti apriorizmus álláspontját foglalták el a tér megértésében, amely csak egy teret engedett meg - az euklideszi. Egyedül Bernhard Riemann (1826–1866) sokaságelméletével (1854) bizonyította sokféle nemeuklideszi geometria létezésének lehetőségét. Maga B. Riemann Eukleidész ötödik posztulátumát egy olyan posztulátumra cserélte, amely szerint nincs párhuzamos egyenes, és a háromszög belső szögei több mint két derékszög. Felix Klein (1849–1925) megmutatta a nem-euklideszi és az euklideszi geometriák kapcsolatát. Az euklideszi geometria a nulla görbületű felületeket, a Lobacsevszkij-geometria a pozitív görbületű felületeket, a Riemann-geometria pedig a negatív görbületű felületeket jelenti.

Euklidész (más néven Euklidész) ókori görög matematikus, az első hozzánk eljutott matematikai elméleti értekezés szerzője. Euklidész életrajzi adatai rendkívül szűkösek. Csak annyit tudni, hogy Eukleidész athéni tanárai Platón tanítványai voltak, I. Ptolemaiosz (Kr. e. 306-283) uralkodása alatt pedig az Alexandriai Akadémián tanított. Eukleidész az alexandriai iskola első matematikusa. Euklidész számos csillagászati, optikai, zenei stb. mű szerzője. Az arab szerzők különböző mechanikai értekezéseket is Eukleidésznek tulajdonítanak, köztük a mérlegekről és a fajsúly ​​meghatározásáról szóló munkákat. Euklidész ie 275 és 270 között halt meg. e.

Euklidész elemei

Eukleidész fő műve az Elemek. Azonos című, a geometria és az elméleti aritmetika összes alapvető tényét következetesen bemutató könyveket korábban Khioszi Hippokratész, Leontész és Theudius állított össze. Az Euclid's Elements azonban mindezeket a műveket kiszorította a használatból, és több mint két évezredig a geometria alapvető tankönyve maradt. Tankönyvének megalkotásakor Eukleidész sok mindent belefoglalt abból, amit elődei alkottak, feldolgozva és összerakva ezt az anyagot.

A kezdetek tizenhárom könyvből állnak. Az első és néhány további könyvet definíciók listája előzi meg. Az első könyvet posztulátumok és axiómák listája is megelőzi. Általános szabály, hogy a posztulátumok alapvető konstrukciókat határoznak meg (például: „bármely két ponton keresztül egyenes vonalat kell húzni”), az axiómák pedig általános következtetési szabályokat határoznak meg mennyiségekkel történő műveleteknél (például „ha két mennyiség egyenlőek egyharmaddal, egyenlőek egymással").

Az I. könyvben a háromszögek és a paralelogrammák tulajdonságait tanulmányozzuk; Ezt a könyvet a híres Pitagorasz-tétel koronázza meg a derékszögű háromszögekről. A második könyv a pitagoreusokhoz nyúlik vissza, és az úgynevezett „geometriai algebrának” szól. A III. és IV. könyv a körök geometriáját, valamint a beírt és körülírt sokszögeket írja le; amikor ezeken a könyveken dolgozott, Eukleidész felhasználhatta volna Khiosz Hippokratész írásait. Az V. könyvben a Cnidus Eudoxus által felépített általános arányelmélet kerül bemutatásra, a VI. könyvben pedig a hasonló alakok elméletére alkalmazzák. A VII-IX. könyv a számelméletnek szól, és a pitagoreusokhoz nyúlik vissza; a VIII. könyv szerzője Tarentum Archytas lehetett. Ezek a könyvek az arányokról és a geometriai progresszióról szóló tételeket tárgyalják, bevezetnek egy módszert két szám legnagyobb közös osztójának megtalálására (ma Euklidész algoritmusként ismert), páros tökéletes számokat állítanak össze, és bizonyítják a prímszámok halmazának végtelenségét. A X. könyvben, amely az Elemek legterjedelmesebb és legösszetettebb részét képviseli, az irracionalitások osztályozása épül fel; lehetséges, hogy szerzője az athéni Theaetetus. A XI. könyv a sztereometria alapjait tartalmazza. A XII. könyvben a kimerítés módszerével a körök területének arányaira, valamint a gúlák és kúpok térfogatára vonatkozó tételeket bizonyítanak; E könyv szerzője általában Cnidus Eudoxusa. Végül a XIII. könyvet öt szabályos poliéder felépítésének szenteljük; Úgy tartják, hogy az építmények egy részét az athéni Theaetetus fejlesztette ki.

A hozzánk eljutott kéziratokban ehhez a tizenhárom könyvhöz még két könyv került. A XIV. könyv az alexandriai Hypsicleshez tartozik (i. e. 200 körül), a XV. könyv pedig Milétoszi Izidor, a Szent István-templom építőjének életében keletkezett. Sophia Konstantinápolyban (Kr. u. 6. század eleje).

Az Elemek általános alapot biztosítanak Arkhimédész, Apollonius és más ókori szerzők későbbi geometriai értekezéseihez; a bennük bizonyított állításokat általánosan ismertnek tekintjük. Az ókorban az elemekről írt kommentárokat Heron, Porphyry, Pappus, Proclus és Simplicius. Megmaradt Proklosz kommentárja az I. könyvhöz, valamint Pappus kommentárja a X. könyvhöz (arab fordításban). Az ókori szerzőktől a kommentár hagyomány az arabokhoz, majd a középkori Európához száll át.

A modern tudomány létrejöttében és fejlődésében az Alapelvek is fontos ideológiai szerepet játszottak. Egy matematikai értekezés mintája maradt, szigorúan és szisztematikusan bemutatva egy adott matematikai tudomány főbb rendelkezéseit.

Euklidész második művét az Elemek után általában Datanak nevezik – ez egy bevezetés a geometriai elemzésbe. Euklidész tulajdonában van még az elemi gömbcsillagászatnak szentelt „jelenségek”, „Optika” és „Katoptrika”, egy kis értekezés „A kánon szakaszai” (tíz feladatot tartalmaz zenei intervallumokra), az ábrák területeinek felosztására vonatkozó problémagyűjtemény. A hadosztályokról” (arab fordításban érkezett hozzánk). Mindezen művekben, akárcsak a Principiában, a bemutatás szigorú logikának van alávetve, és a tételek pontosan megfogalmazott fizikai hipotézisekből és matematikai posztulátumokból származnak. Eukleidész munkái közül sok elveszett, csak a más szerzők munkáiban található hivatkozások alapján tudunk a múltról.

Eukleidész, Naokratész fia, akit "Geometra" néven ismertek, a régi idők tudósa, származása szerint görög, lakóhelye szerint szír, eredetileg Tíruszból származik.

Az egyik legenda szerint Ptolemaiosz király a geometria tanulmányozása mellett döntött. De kiderült, hogy ezt nem is olyan könnyű megtenni. Aztán felhívta Eukleidészt, és megkérte, mutasson neki egy könnyű utat a matematikához. „Nincs királyi út a geometriához” – válaszolta a tudós. Így jutott el hozzánk ez a népszerű kifejezés legenda formájában.

I. Ptolemaiosz király államának felmagasztalása érdekében tudósokat és költőket vonzott az országba, létrehozva számukra a múzsák templomát - Museiont. Voltak itt dolgozószobák, botanikus és állatkert, csillagászati ​​iroda, csillagászati ​​torony, magányos munkára alkalmas helyiségek, és ami a legfontosabb, egy pompás könyvtár. A meghívott tudósok között volt Eukleidész is, aki Egyiptom fővárosában, Alexandriában matematikai iskolát alapított, és annak diákjai számára írta alapművét.

Alexandriában alapított Eukleidész egy matematikai iskolát, és írt egy nagyszerű munkát a geometriáról, amelyet az „Elemek” általános cím alatt egyesítettek - élete fő műve. Feltételezések szerint Kr.e. 325 körül írták.

Eukleidész elődei – Thalész, Püthagorasz, Arisztotelész és mások – sokat tettek a geometria fejlesztéséért. De ezek mind külön töredékek voltak, és nem egyetlen logikai séma.

Euklidész elemeiről általában azt mondják, hogy a Biblia után ez az ókor legnépszerűbb írásos emléke. A könyvnek megvan a maga, nagyon figyelemre méltó története. Kétezer évig referenciakönyv volt az iskolások számára, és kezdeti geometriai kurzusként használták. Az Elemek rendkívül népszerűek voltak, és sok másolatot készítettek belőlük szorgalmas írnokok különböző városokban és országokban. Később az „Elvek” a papiruszról a pergamenre, majd a papírra kerültek. Négy évszázad leforgása alatt az Elemek 2500 alkalommal jelentek meg: évente átlagosan 6-7 kiadás jelent meg. A 20. századig a „Principia” könyvet nemcsak az iskolák, hanem az egyetemek fő geometriai tankönyvének tekintették.

Eukleidész "elveit" az arabok, majd az európai tudósok alaposan tanulmányozták. Lefordították őket a világ legjelentősebb nyelveire. Az első eredeti példányokat 1533-ban nyomtatták Bázelben. Érdekes, hogy az első, 1570-ből származó angol fordítást Henry Billingway, egy londoni kereskedő készítette.

Az euklideszi geometria alapjainak ismerete ma már világszerte szükséges eleme az általános oktatásnak.

Az aritmetikában Eukleidész három jelentős felfedezést tett. Először (bizonyítás nélkül) megfogalmazta a maradékkal való osztás tételét. Másodszor, kitalálta az „euklideszi algoritmust” – egy gyors módszert a számok legnagyobb közös osztójának vagy a szegmensek közös mértékének megtalálására (ha összemérhetőek). Végül Eukleidész volt az első, aki a prímszámok tulajdonságait tanulmányozta – és bebizonyította, hogy halmazuk végtelen.

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete