Milyen erő okozza a forgó test gyorsulását. A test forgó mozgása
Alapfogalmak.
A hatalom pillanata a forgástengelyhez képest - ez a sugárvektor és az erő vektorszorzata.
Az erőnyomaték vektor , melynek irányát a karmantyú (jobboldali csavar) szabálya határozza meg a testre ható erő irányától függően. Az erőnyomaték a forgástengely mentén irányul, és nincs konkrét alkalmazási pontja.
Ennek a vektornak a számértékét a következő képlet határozza meg:
M=r×F× sina(1.15),
hol egy - a sugárvektor és az erő iránya közötti szög.
Ha a=0 vagy p, a hatalom pillanata M=0, azaz a forgástengelyen áthaladó vagy azzal egybeeső erő nem okoz elfordulást.
A legnagyobb modulusú nyomaték akkor jön létre, ha az erő szögben hat a=p/2 (M > 0) vagy a=3p/2 (M< 0).
A tőkeáttétel fogalmának használata d- ez a forgásközéppontból az erő hatásvonalára süllyesztett merőleges), az erőnyomaték képlete a következőképpen alakul:
Ahol 
(1.16)
Az erők pillanatainak szabálya(egy rögzített forgástengelyű test egyensúlyi feltétele):
Ahhoz, hogy egy rögzített forgástengelyű test egyensúlyban legyen, szükséges, hogy a testre ható erők nyomatékainak algebrai összege nullával egyenlő legyen.
S M i =0(1.17)
Az erőnyomaték SI mértékegysége [N × m]
A forgó mozgás során a test tehetetlensége nemcsak a tömegétől, hanem a forgástengelyhez viszonyított térbeli eloszlásától is függ.
A forgás közbeni tehetetlenséget a testnek a forgástengelyhez viszonyított tehetetlenségi nyomatéka jellemzi J.
Tehetetlenségi nyomaték Az anyagi pont a forgástengelyhez viszonyítva olyan érték, amely egyenlő a pont tömegének a forgástengelytől való távolságának négyzetével szorzatával:
J i =m i × r i 2(1.18)
A test tehetetlenségi nyomatéka egy tengelyhez képest a testet alkotó anyagi pontok tehetetlenségi nyomatékainak összege:
J=S m i × r i 2(1.19)
A test tehetetlenségi nyomatéka a tömegétől és alakjától, valamint a forgástengely megválasztásától függ. A test tehetetlenségi nyomatékának egy bizonyos tengelyhez viszonyított meghatározásához a Steiner-Huygens-tételt használják:
J = J 0 + m × d 2(1.20),
Ahol J 0– a test tömegközéppontján átmenő párhuzamos tengely körüli tehetetlenségi nyomaték, d– két párhuzamos tengely távolsága . A tehetetlenségi nyomaték SI-ben mérve [kg × m 2 ]
Az emberi test forgó mozgása során a tehetetlenségi nyomatékot kísérleti úton határozzák meg, és hozzávetőlegesen számítják ki egy hengerre, kerek rúdra vagy golyóra vonatkozó képletekkel.
Az ember tehetetlenségi nyomatéka a függőleges forgástengelyhez képest, amely átmegy a tömegközépponton (az emberi test tömegközéppontja a szagittalis síkban kissé a második keresztcsonti csigolya előtt helyezkedik el), attól függően, hogy a személy helyzete a következő értékekkel rendelkezik: figyelem közben - 1,2 kg × m 2; „arabeszk” pózzal – 8 kg × m 2; vízszintes helyzetben – 17 kg × m 2.
Dolgozzon forgó mozgásban akkor fordul elő, amikor egy test külső erők hatására forog.
Az erő elemi munkája forgó mozgásban egyenlő az erőnyomaték és a test elemi forgásszögének szorzatával:
dA i =M i × dj(1.21)
Ha egy testre több erő hat, akkor az összes alkalmazott erő eredőjének elemi munkáját a következő képlet határozza meg:
dA=M×dj(1.22),
Ahol M– a testre ható összes külső erő összmomentuma.
Forgó test kinetikus energiájaW to a test tehetetlenségi nyomatékától és forgási szögsebességétől függ:
Impulzusszög (impulzusimpulzus) – olyan mennyiség, amely számszerűen egyenlő a test lendületének és forgási sugarának szorzatával.
L=p× r=m× V× r(1.24).
A megfelelő átalakítások után a szögimpulzus meghatározásának képletét a következő formában írhatja fel:
(1.25).
A szögimpulzus olyan vektor, amelynek irányát a jobb oldali csavarszabály határozza meg. A szögimpulzus SI mértékegysége [kg × m 2 /s]
A forgó mozgás dinamikájának alaptörvényei.
A forgó mozgás dinamikájának alapegyenlete:
A forgó mozgásban lévő test szöggyorsulása egyenesen arányos az összes külső erő össznyomatékával és fordítottan arányos a test tehetetlenségi nyomatékával.
(1.26).
Ez az egyenlet ugyanazt a szerepet játszik a forgó mozgás leírásában, mint Newton második törvénye a transzlációs mozgásra. Az egyenletből világos, hogy külső erők hatására minél nagyobb a szöggyorsulás, annál kisebb a test tehetetlenségi nyomatéka.
Newton második törvénye a forgó mozgás dinamikájára más formában is felírható:
(1.27),
azok. a test impulzusimpulzusának első deriváltja az idő függvényében egyenlő az adott testre ható összes külső erő össznyomatékával.
A test impulzusának megmaradásának törvénye:
Ha a testre ható összes külső erő össznyomatéka nulla, azaz.
S M i =0, Akkor dl/dt=0 (1.28).
Ez azt jelenti, hogy (1.29).
Ez az állítás alkotja a test impulzus-megmaradási törvényének lényegét, amely a következőképpen fogalmazódik meg:
Egy test impulzusimpulzusa állandó marad, ha a forgó testre ható külső erők össznyomatéka nulla.
Ez a törvény nem csak egy abszolút merev testre érvényes. Példa erre egy műkorcsolyázó, aki egy függőleges tengely körül forog. Kezének megnyomásával a korcsolyázó csökkenti a tehetetlenségi nyomatékot és növeli a szögsebességet. A forgás lassítására éppen ellenkezőleg, szélesre tárja a karját; Ennek eredményeként nő a tehetetlenségi nyomaték, és csökken a forgási szögsebesség.
Befejezésül bemutatjuk a transzlációs és forgó mozgások dinamikáját jellemző főbb mennyiségek és törvényszerűségek összehasonlító táblázatát.
1.4. táblázat.
| Előre mozgás | Forgó mozgás | ||
| Fizikai mennyiség | Képlet | Fizikai mennyiség | Képlet |
| Súly | m | Tehetetlenségi nyomaték | J=m×r 2 |
| Kényszerítés | F | A hatalom pillanata | M=F×r, ha |
| Testimpulzus (a mozgás mennyisége) | p=m×V | Egy test lendülete | L=m×V×r; L=J×w |
| Kinetikus energia | Kinetikus energia | ||
| Gépészeti munka | dA=FdS | Gépészeti munka | dA=Mdj |
| A transzlációs mozgásdinamika alapegyenlete | A forgó mozgás dinamikájának alapegyenlete | , | |
| A test lendületének megmaradásának törvénye |
vagy  Ha
| A test impulzusimpulzusának megmaradásának törvénye | vagy SJ i w i = állandó, Ha |
Centrifugálás.
A különböző sűrűségű részecskékből álló inhomogén rendszerek szétválasztása a gravitáció és az Arkhimédész-erő (felhajtóerő) hatására végezhető el. Ha különböző sűrűségű részecskék vizes szuszpenziója van, akkor nettó erő hat rájuk
F r =F t – F A =r 1 ×V×g – r×V×g, azaz
F r =(r 1 - r)× V ×g(1.30)
ahol V a részecske térfogata, r 1És r– a részecske és a víz anyagának sűrűsége. Ha a sűrűségek kissé eltérnek egymástól, akkor a keletkező erő kicsi, és a szétválás (lerakódás) meglehetősen lassan megy végbe. Ezért a részecskék kényszerleválasztását alkalmazzák az elválasztott közeg forgása miatt.
Centrifugálás A centrifugális tehetetlenségi erő hatására különböző tömegű részecskékből álló heterogén rendszerek, keverékek vagy szuszpenziók szétválási (leválasztási) folyamata.
A centrifuga alapja egy zárt házban elhelyezett, kémcsövek számára kialakított fészkekkel ellátott rotor, amelyet elektromos motor hajt meg. Amikor a centrifuga rotor kellően nagy sebességgel forog, a különböző tömegű lebegő részecskék a centrifugális tehetetlenségi erő hatására különböző mélységű rétegekben oszlanak el, és a legnehezebbek a kémcső alján rakódnak le.
Megmutatható, hogy azt az erőt, amelynek hatása alatt a szétválás megtörténik, a következő képlet határozza meg:
(1.31)
Ahol w- a centrifuga forgási szögsebessége, r– távolság a forgástengelytől. Minél nagyobb a különbség az elválasztott részecskék és a folyadék sűrűsége között, annál nagyobb a centrifugálás hatása, és jelentősen függ a forgási szögsebességtől is.
A körülbelül 10 5–10 6 percenkénti forgórész fordulatszámmal működő ultracentrifugák képesek a 100 nm-nél kisebb méretű, folyadékban szuszpendált vagy oldott részecskék szétválasztására. Széleskörű alkalmazást találtak az orvosbiológiai kutatásokban.
Az ultracentrifugálással a sejteket organellumokra és makromolekulákra lehet szétválasztani. Először nagyobb részek (magok, citoszkeleton) ülepednek (üledék). A centrifugálási sebesség további növelésével a kisebb részecskék egymás után leülepednek - először mitokondriumok, lizoszómák, majd mikroszómák és végül riboszómák és nagy makromolekulák. A centrifugálás során a különböző frakciók különböző sebességgel ülepednek, külön sávokat képezve a kémcsőben, amelyek elkülöníthetők és vizsgálhatók. A frakcionált sejtkivonatokat (sejtmentes rendszereket) széles körben használják az intracelluláris folyamatok tanulmányozására, például a fehérje bioszintézisének tanulmányozására és a genetikai kód megfejtésére.
A fogászatban a kézidarabok sterilizálásához centrifugával ellátott olajsterilizátort használnak a felesleges olaj eltávolítására.
A centrifugálás használható a vizeletben szuszpendált részecskék ülepítésére; a képződött elemek elválasztása a vérplazmától; biopolimerek, vírusok és szubcelluláris struktúrák szétválasztása; a gyógyszer tisztaságának ellenőrzése.
A tudás önkontrollának feladatai.
1. Feladat . Kérdések az önkontrollhoz.
Mi a különbség az egyenletes körmozgás és az egyenletes lineáris mozgás között? Milyen feltételek mellett fog egy test egyenletesen körben mozogni?
Magyarázza meg, miért történik egyenletes mozgás a körben gyorsulással!
Megtörténhet-e a görbe vonalú mozgás gyorsulás nélkül?
Milyen feltétel mellett egyenlő az erőnyomaték nullával? a legnagyobb értéket veszi fel?
Adja meg az impulzus és a szögimpulzus megmaradásának törvényének alkalmazhatósági határait!
Jelölje be a gravitáció hatására bekövetkező szétválás jellemzőit!
Miért végezhető el a különböző molekulatömegű fehérjék elválasztása centrifugálással, de a frakcionált desztilláció módszere elfogadhatatlan?
2. feladat . Önkontroll tesztek.
Pótold a hiányzó szót:
A szögsebesség előjelének változása a forgómozgás_ _ _ _ _ változását jelzi.
A szöggyorsulás előjelének változása a forgómozgás változását jelzi
A szögsebesség egyenlő a sugárvektor időhöz viszonyított forgásszögének _ _ _ _ _deriváltjával.
A szöggyorsulás egyenlő a sugárvektor időhöz viszonyított elfordulási szögének _ _ _ _ _ _deriváltjával.
Az erőnyomaték egyenlő_ _ _ _ _ ha a testre ható erő iránya egybeesik a forgástengellyel.
Keresse meg a helyes választ:
Az erőnyomaték csak az erő alkalmazási pontjától függ.
Egy test tehetetlenségi nyomatéka csak a test tömegétől függ.
Az egyenletes körkörös mozgás gyorsulás nélkül történik.
A. Helyes. B. Helytelen.
A fenti mennyiségek mindegyike skaláris, kivéve
A. erőnyomaték;
B. gépészeti munka;
C. potenciális energia;
D. tehetetlenségi nyomaték.
A vektormennyiségek a
A. szögsebesség;
B. szöggyorsulás;
C. erőnyomaték;
D. szögimpulzus.
Válaszok: 1 – irányok; 2 – karakter; 3 – első; 4 – második; 5 – nulla; 6 – B; 7 – B; 8 – B; 9 – A; 10 – A, B, C, D.
3. feladat. Keresse meg a mértékegységek közötti összefüggést :
lineáris sebesség cm/perc és m/s;
szöggyorsulás rad/min 2 és rad/s 2;
erőnyomaték kN×cm és N×m;
testimpulzus g×cm/s és kg×m/s;
g×cm 2 és kg×m 2 tehetetlenségi nyomaték.
4. feladat. Orvosi és biológiai tartalmú feladatok.
1. számú feladat. Miért van az, hogy egy ugrás repülési szakaszában a sportoló semmilyen mozdulattal nem tudja megváltoztatni a test súlypontjának pályáját? Dolgoznak-e a sportoló izmai, amikor megváltozik a testrészek helyzete a térben?
Válasz: Egy parabola mentén szabadrepüléssel a sportoló csak a testének és egyes részeinek elhelyezkedését tudja megváltoztatni a súlypontjához képest, amely jelen esetben a forgási középpont. A sportoló munkát végez a test forgási kinetikus energiájának megváltoztatása érdekében.
2. feladat. Mekkora átlagos teljesítmény fejlődik ki az emberben járás közben, ha a lépés időtartama 0,5 s? Vegyük figyelembe, hogy a munkát az alsó végtagok gyorsítására és lassítására fordítják. A lábak szögelmozdulása kb. Dj=30 o. Az alsó végtag tehetetlenségi nyomatéka 1,7 kg × m 2. A lábak mozgását egyenletesen váltakozó forgásnak kell tekinteni.
Megoldás:
1) Írjuk le a probléma rövid feltételét: Dt= 0,5 s; DJ=30 0 =p/ 6; én= 1,7 kg × m 2
2) Határozza meg a munkát egy lépésben (jobb és bal láb): A= 2×Iw 2 / 2=Iw 2 .
Az átlagos szögsebesség képlet segítségével w av =Dj/Dt, kapunk: w= 2w av = 2×Dj/Dt; N=A/Dt= 4×I×(Dj) 2 /(Dt) 3
3) Cserélje be a számértékeket: N=4× 1,7× (3,14) 2 /(0,5 3 × 36) = 14,9 (W)
Válasz: 14,9 W.
3. feladat. Mi a szerepe a karmozgásnak járás közben?
Válasz: Az egymástól bizonyos távolságra elhelyezkedő két párhuzamos síkban mozgó lábak mozgása olyan erőnyomatékot hoz létre, amely az emberi testet egy függőleges tengely körül forgatja. Az ember a karját a lába mozgása felé lendíti, ezzel ellentétes előjelű erőnyomatékot hozva létre.
4. feladat. A fogászatban használt fúrók fejlesztésének egyik területe a fúró forgási sebességének növelése. A bórhegy forgási sebessége lábfúrókban 1500 ford./perc, álló elektromos fúrókban - 4000 ford., turbinás fúrókban - már eléri a 300 000 ford./perc értéket. Miért fejlesztik ki az időegységenkénti nagy fordulatszámú fúrók új módosításait?
Válasz: A dentin több ezerszer érzékenyebb a fájdalomra, mint a bőr: a bőr 1 mm-ére 1-2, a metszőfog dentinére pedig akár 30 000 fájdalompont jut. A fordulatok számának növelése a fiziológusok szerint csökkenti a fájdalmat a szuvas üreg kezelésekor.
Z feladat 5 . Töltse ki a táblázatokat:
1. számú táblázat. Rajzoljon analógiát a forgómozgás lineáris és szögjellemzői között, és jelezze a köztük lévő kapcsolatot!
táblázat 2. sz.
6. feladat. Töltse ki az indikatív akciókártyát:
| Fő küldetések | Útvonalak | Válaszok |
| Miért hajlítja be a térdét és nyomja a mellkasához a tornász a bukfenc végrehajtásának kezdeti szakaszában, és miért egyenesíti ki a testét a forgatás végén? | A folyamat elemzéséhez használja a szögimpulzus fogalmát és a szögimpulzus megmaradásának törvényét. | |
| Magyarázza el, miért olyan nehéz lábujjhegyen állni (vagy nehéz terhet tartani)? | Tekintsük az erők egyensúlyának feltételeit és nyomatékukat. | |
| Hogyan változik a szöggyorsulás a test tehetetlenségi nyomatékának növekedésével? | Elemezze a forgó mozgásdinamika alapegyenletét! | |
| Hogyan függ a centrifugálás hatása a folyadék és az elválasztott részecskék sűrűsége közötti különbségtől? | Tekintsük a centrifugálás során fellépő erőket és a köztük lévő kapcsolatokat |
2. fejezet A biomechanika alapjai.
Kérdések.
Karok és ízületek az emberi mozgásszervi rendszerben. A szabadságfokok fogalma.
Az izomösszehúzódás típusai. Az izomösszehúzódásokat leíró alapvető fizikai mennyiségek.
Az ember motoros szabályozásának alapelvei.
Biomechanikai jellemzők mérési módszerei és műszerei.
2.1. Karok és ízületek az emberi mozgásszervi rendszerben.
Az emberi mozgásszervi rendszer anatómiája és fiziológiája a következő jellemzőkkel rendelkezik, amelyeket figyelembe kell venni a biomechanikai számításoknál: a test mozgását nemcsak az izomerők, hanem a külső reakcióerők, a gravitáció, a tehetetlenségi erők, valamint a rugalmas erők is meghatározzák. és súrlódás; a mozgásszerv felépítése kizárólag rotációs mozgásokat tesz lehetővé. A kinematikai láncok elemzésével a transzlációs mozgások az ízületek forgó mozgásaira redukálhatók; a mozdulatokat egy nagyon bonyolult kibernetikai mechanizmus irányítja, így a gyorsulás állandóan változik.
Az ember mozgásszervi rendszere egymással artikulált vázcsontokból áll, amelyekhez bizonyos pontokon izmok kapcsolódnak. A csontváz csontjai karként működnek, amelyek az ízületeknél támaszponttal rendelkeznek, és az izomösszehúzódások által generált vonóerő hajtja őket. Megkülönböztetni háromféle kar:
1) Kar, amelyre a ható erő Fés ellenállási erő R a támaszpont ellentétes oldalain alkalmazzák. Ilyen karra példa a koponya szagittális síkban nézve.
2) Aktív erővel rendelkező kar Fés ellenállási erő R a támaszpont egyik oldalán alkalmazott erő és az erő F a kar végére alkalmazzuk, és az erőt R- közelebb a támaszponthoz. Ez a kar erőnövekedést és távolságcsökkenést ad, i.e. van erőkar. Példa erre a lábboltozat hatása a félujjakra, a maxillofacialis régió karjaira emeléskor (2.1. ábra). A rágókészülék mozgása nagyon összetett. A száj zárásakor az alsó állkapocs felemelése a maximális süllyesztés helyzetéből a fogainak a felső állkapocs fogaival történő teljes záródásáig az alsó állkapocsot felemelő izmok mozgásával történik. Ezek az izmok az alsó állkapocsra másodlagos karként hatnak, támaszponttal az ízületben (ez növeli a rágóerőt).
3) Egy kar, amelyben a ható erő közelebb kerül a támaszponthoz, mint az ellenállási erő. Ez a kar az sebesség kar, mert erőcsökkenést, de mozgásnövekedést ad. Példa erre az alkar csontjai.
Rizs. 2.1. A maxillofacialis régió karjai és a lábboltozat.
A csontváz legtöbb csontja több izom hatása alatt áll, amelyek különböző irányú erőket fejlesztenek ki. Eredőjüket a paralelogramma szabálya szerinti geometriai összeadással találjuk meg.
A mozgásszervi rendszer csontjai ízületekben vagy ízületekben kapcsolódnak egymáshoz. Az ízületet alkotó csontok végeit az őket szorosan körülvevő ízületi tok, valamint a csontokhoz kapcsolódó szalagok tartják össze. A súrlódás csökkentése érdekében a csontok érintkező felületeit sima porc borítja, és vékony ragadós folyadékréteg van közöttük.
A motoros folyamatok biomechanikai elemzésének első szakasza a kinematikájuk meghatározása. Egy ilyen elemzés alapján absztrakt kinematikai láncokat szerkesztenek, amelyek mobilitása vagy stabilitása geometriai megfontolások alapján ellenőrizhető. Vannak zárt és nyitott kinematikai láncok, amelyeket ízületek és a közöttük elhelyezkedő merev láncszemek alkotnak.
Egy szabad anyagi pont állapotát a háromdimenziós térben három független koordináta adja meg - x, y, z. A mechanikai rendszer állapotát jellemző független változókat nevezzük szabadsági fokokat. Bonyolultabb rendszerek esetén a szabadsági fokok száma magasabb lehet. Általánosságban elmondható, hogy a szabadsági fokok száma nemcsak a független változók számát határozza meg (ami egy mechanikai rendszer állapotát jellemzi), hanem a rendszer független mozgásainak számát is.
A fokozatok száma a szabadság az ízület fő mechanikai jellemzője, i.e. meghatározza tengelyek száma, amely körül az ízületi csontok kölcsönös forgása lehetséges. Főleg az ízületben érintkező csontok felületének geometriai alakja határozza meg.
Az ízületekben a szabadságfok maximális száma 3.
Az emberi test egytengelyű (lapos) ízületei például a humeroulnaris, a supracalcanealis és a phalangealis ízületek. Csak egy szabadságfokkal teszik lehetővé a hajlítást és nyújtást. Így az ulna egy félköríves bevágás segítségével a humeruson egy hengeres kiemelkedést takar, amely az ízület tengelyeként szolgál. Az ízületben a mozgások hajlítás és nyújtás az ízület tengelyére merőleges síkban.
A csuklóízület, amelyben hajlítás és nyújtás, valamint addukció és abdukció történik, két szabadságfokú ízületek közé sorolható.
A három szabadságfokú (térbeli artikuláció) ízületek közé tartozik a csípő és a lapocka-humerális ízület. Például a lapocka-humerális ízületnél a felkarcsont gömb alakú feje illeszkedik a lapocka kiemelkedésének gömbölyű üregébe. Az ízületben a mozgások a következők: hajlítás és nyújtás (sagittalis síkban), addukció és abdukció (frontális síkban), valamint a végtag hossztengelye körüli forgatása.
A zárt lapos kinematikai láncok számos szabadságfokkal rendelkeznek f F, amelyet a linkek száma alapján számítanak ki n a következő módon:
A térbeli kinematikai láncok helyzete összetettebb. Itt a viszony érvényesül
(2.2)
Ahol f i - szabadságfok-korlátozások száma én- link.
Bármely testben kiválaszthat olyan tengelyeket, amelyek forgási iránya speciális eszközök nélkül megmarad. Nevük van szabad forgástengelyek
Ez a cikk a fizika egy fontos részét írja le - „A forgó mozgás kinematikája és dinamikája”.
A forgó mozgás kinematikai alapfogalmai
Anyagi pont fix tengely körüli forgómozgásának nevezzük azt a mozgást, amelynek pályája a tengelyre merőleges síkban elhelyezkedő kör, középpontja pedig a forgástengelyen van.
A merev test forgó mozgása olyan mozgás, amelyben a test minden pontja koncentrikus (amelynek középpontja ugyanazon a tengelyen van) körök mentén mozog az anyagi pont forgómozgására vonatkozó szabálynak megfelelően.
Forogjon egy tetszőleges T merev test az O tengely körül, amely merőleges a rajz síkjára. Jelöljük ki az M pontot ezen a testen Ha elforgatjuk, ez a pont egy O tengely körüli sugarú kört ír le r.
Egy idő után a sugár az eredeti helyzetéhez képest Δφ szöggel elfordul.
A jobb oldali csavar iránya (az óramutató járásával megegyezően) a pozitív forgásirány. A forgásszög időbeli változását merev test forgási egyenletének nevezzük:
φ = φ(t).
Ha φ-t radiánban mérjük (1 rad a sugarával egyenlő hosszúságú ívnek megfelelő szög), akkor annak a ΔS körívnek a hossza, amelyen az M anyagi pont Δt időben áthalad, egyenlő:
ΔS = Δφr.
Az egyenletes forgómozgás kinematikájának alapelemei
Egy anyagi pont rövid idő alatti mozgásának mértéke dt elemi forgásvektorként szolgál dφ.
Egy anyagi pont vagy test szögsebessége olyan fizikai mennyiség, amelyet egy elemi forgás vektorának a forgás időtartamához viszonyított aránya határoz meg. A vektor irányát a jobb oldali csavar szabálya határozza meg az O tengely mentén Skaláris formában:
ω = dφ/dt.
Ha ω = dφ/dt = állandó, akkor az ilyen mozgást egyenletes forgómozgásnak nevezzük. Ezzel a szögsebességet a képlet határozza meg
ω = φ/t.
Az előzetes képlet szerint a szögsebesség dimenziója
[ω] = 1 rad/s.
Egy test egyenletes forgómozgása a forgási periódussal írható le. A T forgási periódus egy fizikai mennyiség, amely meghatározza azt az időt, amely alatt egy test egy teljes fordulatot tesz a forgástengely körül ([T] = 1 s). Ha a szögsebesség képletében t = T, φ = 2 π (egy teljes r sugarú fordulat) veszünk fel, akkor
ω = 2π/T,
Ezért a forgási periódust a következőképpen határozzuk meg:
T = 2π/ω.
A test által egységnyi idő alatt megtett fordulatok számát ν forgási frekvenciának nevezzük, amely egyenlő:
ν = 1/T.
Frekvencia mértékegységei: [ν] = 1/s = 1 s -1 = 1 Hz.
Összehasonlítva a szögsebesség és a forgási frekvencia képleteit, az alábbi mennyiségeket összekötő kifejezést kapunk:
ω = 2πν.
Az egyenetlen forgómozgás kinematikájának alapelemei
A merev test vagy anyagpont egyenetlen forgási mozgását egy rögzített tengely körül a szögsebessége jellemzi, amely idővel változik.
Vektor ε A szögsebesség változási sebességét jellemző szöggyorsulási vektornak nevezzük:
ε = dω/dt.
Ha egy test forog, gyorsul, az dω/dt > 0, a vektor iránya a tengely mentén azonos irányú, mint ω.
Ha a forgási mozgás lassú - dω/dt< 0 , akkor az ε és ω vektorok ellentétes irányúak.
Megjegyzés. Egyenetlen forgási mozgás esetén az ω vektor nemcsak nagyságrendjében, hanem irányában is változhat (a forgástengely elforgatásakor).
A transzlációs és forgó mozgást jellemző mennyiségek kapcsolata
Ismeretes, hogy az ív hosszát a sugár elfordulási szögével és annak értékével összefügg az összefüggés
ΔS = Δφ r.
Ekkor a forgó mozgást végző anyagi pont lineáris sebessége
υ = ΔS/Δt = Δφr/Δt = ωr.
A forgó transzlációs mozgást végző anyagi pont normál gyorsulását a következőképpen határozzuk meg:
a = υ 2 /r = ω 2 r 2 /r.
Tehát skaláris formában
a = ω 2 r.
Tangenciálisan gyorsított anyagpont, amely forgó mozgást végez
a = ε r.
Anyagi pont lendülete
Az m i tömegű anyagi pont pályájának sugárvektorának és impulzusának vektorszorzatát e pont forgástengely körüli impulzusimpulzusának nevezzük. A vektor iránya a jobb oldali csavarszabály segítségével határozható meg.
Egy anyagi pont lendülete ( L i) merőleges az r i-n és υ i-n keresztül húzott síkra, és ezekkel vektorok jobb oldali hármasát alkotja (vagyis amikor a vektor végétől elmozdulunk r i Nak nek υ i a jobb oldali csavar mutatja a vektor irányát Lén).
Skaláris formában
L = m i υ i r i sin(υ i, r i).
Figyelembe véve, hogy a körben való mozgás során az i-edik anyagpont sugárvektora és lineáris sebességvektora egymásra merőleges,
sin(υ i , r i) = 1.
Tehát egy anyagi pont szögimpulzusa a forgó mozgáshoz felveszi a formát
L = m i υ i r i.
Az i-edik anyagi pontra ható erőnyomaték
Az erő alkalmazási pontjára húzott sugárvektor vektorszorzatát és ezt az erőt az i-edik anyagi pontra ható erőnyomatéknak nevezzük a forgástengelyhez képest.
Skaláris formában
M i = r i F i sin(r i, F i).
Tekintve, hogy r i sinα = l i ,M i = l i F i .
Nagyságrend l i, amely egyenlő a forgáspontból az erő hatásirányába süllyesztett merőleges hosszával, az erő karjának nevezzük F i.
A forgó mozgás dinamikája
A forgó mozgás dinamikájának egyenlete a következőképpen van felírva:
M = dl/dt.
A törvény megfogalmazása a következő: egy rögzített tengely körül forgó test impulzusimpulzusának változási sebessége egyenlő a testre ható összes külső erő e tengelyéhez viszonyított eredő nyomatékkal.
Impulzusnyomaték és tehetetlenségi nyomaték
Ismeretes, hogy az i-edik anyagi pontra a szögimpulzus skaláris formában a következő képlettel adódik
L i = m i υ i r i .
Ha a lineáris sebesség helyett a kifejezését szögsebességgel helyettesítjük:
υ i = ωr i ,
akkor a szögimpulzus kifejezése olyan formát ölt
L i = m i r i 2 ω.
Nagyságrend I i = m i r i 2 Egy abszolút merev test tömegközéppontján átmenő i-edik anyagi pont tengelyéhez viszonyított tehetetlenségi nyomatéknak nevezzük. Ezután felírjuk az anyagi pont szögimpulzusát:
L i = I i ω.
Egy abszolút merev test impulzusimpulzusát a testet alkotó anyagi pontok szögimpulzusának összegeként írjuk fel:
L = Iω.
Erőnyomaték és tehetetlenségi nyomaték
A forgó mozgás törvénye kimondja:
M = dl/dt.
Ismeretes, hogy egy test szögimpulzusa a tehetetlenségi nyomatékon keresztül ábrázolható:
L = Iω.
M = Idω/dt.
Figyelembe véve, hogy a szöggyorsulást a kifejezés határozza meg
ε = dω/dt,
képletet kapunk az erőnyomatékra, amelyet a tehetetlenségi nyomatékon keresztül ábrázolunk:
M = Iε.
Megjegyzés. Az erőnyomatékot akkor tekintjük pozitívnak, ha az azt okozó szöggyorsulás nagyobb, mint nulla, és fordítva.
Steiner tétele. A tehetetlenségi nyomatékok összeadásának törvénye
Ha egy test forgástengelye nem megy át a tömegközéppontján, akkor ehhez a tengelyhez viszonyítva Steiner tételével meghatározhatjuk a tehetetlenségi nyomatékát:
I = I 0 + ma 2 ,
Ahol én 0- a test kezdeti tehetetlenségi nyomatéka; m- testtömeg; a- a tengelyek közötti távolság.
Ha egy rögzített tengely körül forgó rendszer abból áll n testek, akkor az ilyen típusú rendszer teljes tehetetlenségi nyomatéka egyenlő lesz összetevői nyomatékainak összegével (a tehetetlenségi nyomatékok összeadásának törvénye).
A vízszintes korong tengelyétől R távolságra van egy test, amelynek a súrlódási együtthatója a korongon egyenlő k. A korong ω szögsebességgel forog.Három erő hat a testre:
gravitáció m, támasztó reakcióerő és súrlódási erő tr.
A Földhöz kapcsolódó inerciális vonatkoztatási rendszerben Newton második törvényeígy fog kinézni: 
Egy testnek a Földhöz viszonyított mozgása egy R sugarú kör mentén vízszintes síkban történő mozgás. A rá ható függőleges irányú erők kiegyenlítésre kerülnek. A gyorsulásvektor a vízszintes síkban van, maga a gyorsulás pedig centripetális. Értékét a következő képlet határozza meg:
Egy vektoregyenlet X és Y koordinátatengelyre vetítése két skaláris egyenletet eredményez: 
Az első egyenlet azt mutatja, hogy a centripetális erő szerepe a súrlódási erő, a második azt, hogy a függőleges erők kölcsönösen kiegyensúlyozottak.
A statikus súrlódási erő engedelmeskedik az egyenlőtlenségnek:
ezért mikor
Itt van egy fiú, aki követ fon egy kötélen. Egyre gyorsabban forgatja ezt a követ, amíg el nem szakad a kötél. Akkor a kő valahova oldalra repül. Milyen erő szakította el a kötelet? Végül is egy követ tartott, aminek a súlya természetesen nem változott. A kötélen centrifugális erő hat, válaszolták a tudósok már korábban is. Jóval Newton előtt a tudósok rájöttek, hogy ahhoz, hogy egy test forogjon, erőnek kell hatnia rá. De ez különösen jól látszik Newton törvényeiből. Newton volt az első tudós. Megállapította a bolygók Nap körüli forgási mozgásának okát. Ezt a mozgást a gravitációs erő okozta.
Centripetális erő
Mivel a kő körben mozog, ez azt jelenti, hogy erő hat rá, megváltoztatva a mozgását. Végül a tehetetlenség hatására a kőnek egyenes vonalban kell mozognia. A mozgás első törvényének ezt a fontos részét néha elfelejtik. Coasting mindig egyenes. És a kötelet elszakító kő is egyenesen fog repülni. A kő útját korrigáló erő addig hat rá, amíg forog. Ezt az állandó erőt ún centripetális réteg. A kőhöz van rögzítve. De akkor a szerint egy erőnek kell megjelennie, amely a kő oldaláról hat a kötélre, és egyenlő a centripetális erővel. Ezt az erőt centrifugális erőnek nevezzük. Minél gyorsabban forog a kő, annál nagyobb erőt fejt ki rá a kötél. És természetesen minél erősebben húzza a kő - elszakítja a kötelet. Végül előfordulhat, hogy a biztonsági ráhagyása nem lesz elég, a kötél elszakad, és a kő tehetetlenségből most egyenesen repül. Mivel megtartja sebességét, nagyon messzire tud repülni.Ősi emberi fegyver - heveder
Talán a legtöbbet ősi emberi fegyver - heveder. A bibliai legenda szerint a pásztor Dávid ebből a parittyából származó kővel megölte az óriás Góliátot. A heveder pedig pontosan ugyanúgy működik, mint a kötél és a kő. Csak benne a korábban kicsavart kő egyszerűen kiszabadul a megfelelő időben.
A stadionokban gyakran találkozhatunk sportolókkal – diszkosz- vagy kalapácsvetőkkel. És itt van egy ismerős kép. A sportoló egyre gyorsabban pörög, kezében tartja a korongot, végül kiengedi a kezéből. A korong hatvan-hetven métert repül. Nyilvánvaló, hogy nagyon nagy sebességnél nagyon nagy erők fejlődnek a forgó testekben. Ezek az erők a forgástengelytől való távolság növekedésével nőnek. Rotor központosítás
Ha a forgó test jól középre van állítva - a forgástengely pontosan egybeesik a test szimmetriatengelyével -, ez nem olyan ijesztő. A feltörekvő erők kiegyensúlyozottak lesznek. De a rossz beállításnak a legkellemetlenebb következményei lehetnek. Ebben az esetben a forgó gép tengelyére állandóan kiegyensúlyozatlan erő hat, amely nagy fordulatszámon akár el is törheti ezt a tengelyt.
A gőzturbina rotorjainak forgási sebessége eléri a harmincezer fordulatot percenként. A gyári próbatesztek során a működő turbinát nagyjából ugyanúgy hallgatják, mint az orvost a beteg ember szívére. Ha a rotor rosszul van központosítva, ez azonnal észrevehető lesz - riasztó kopogás és zajok csatlakoznak a gyorsan forgó rotor egyenletes énekéhez, előrevetítve a közelgő balesetet. A turbinát leállítjuk, a rotort megvizsgáljuk, és gondoskodunk arról, hogy forgása teljesen egyenletes legyen. Centrifugális erők kiegyensúlyozása
Centrifugális erők kiegyensúlyozása a mérnökök és tervezők állandó aggodalma tárgya. Ezek az erők a gépek legveszélyesebb ellenségei, általában pusztítóan hatnak. A figyelemre méltó szovjet hajóépítő tudós, Alekszej Nyikolajevics Krilov akadémikus, miközben a hallgatóknak tartott előadást, példát hozott egy ilyen pusztító akcióra. 1890-ben egy gőzhajó több mint ezer utassal a fedélzetén Angliából Amerikába tartott. Ezt a hajót két, egyenként kilencezer lóerős motorral szerelték fel. A mérnökök, akik ezeket a gépeket építették, láthatóan nem voltak elég tapasztaltak vagy hozzáértők, és figyelmen kívül hagyták Newton harmadik törvényét. A nyílt tengeren, amikor a motor teljes teljesítménnyel járt, az egyik autó szó szerint darabokra repült, széttépték a forgás során keletkező erők. A töredékek egy másik autót megrongáltak, és az aljába fúródtak. A gépteret elöntötte a víz. Az óceángőzös úszóvá változott, tehetetlenül ringott a hullámokon. Egy másik gőzhajó vitte magával, amely a centrifugális erők áldozatát a legközelebbi kikötőbe szállította.A merev test legegyszerűbb mozgása egy rögzített tengely körüli forgás: a testet egy tengelyre szerelik fel, amelynek térbeli helyzetét csapágyak rögzítik. A test helyzetét egy paraméter határozza meg - a forgásszög vö. Ennek a szögnek a változási sebességét ω = d(p/d/) idővel a test forgási szögsebességének nevezzük. A test minden pontja körben mozog v = dél sebességgel, ahol G- távolság a ponttól a forgástengelyig.
Bontsuk a testet apró elemekre, Nál nél.- az i-edik elem tömege, g - távolsága a tengelytől. Ennek az elemnek a sebessége v, = c vagy.. Van (lásd a (2.43) képletet):
Itt Fxt- az elemre ható érintőleges külső erő, AF.- érintőleges belső erő. Szorozzuk meg a (3.102) egyenletet g p Fejezzük ki az elem sebességét a szögsebességgel, és a kapott egyenletet összegezzük az összes elemre. Kapunk
Ennek az egyenlőségnek a bal oldalán lévő összeg
hívott a test tehetetlenségi nyomatéka egy adott tengelyhez képest, az első összeg a jobb oldalon
hívott a külső erők nyomatéka adott tengelyhez képest.
Jegyzet. A hozzájárulás ebben a pillanatban csak a külső erők érintőleges összetevőiből származik, azaz az erőknek a kör érintőjére való vetületéből az erő alkalmazási pontján. Ez azt jelenti, hogy a tengelyre merőleges vagy a tengellyel párhuzamos erők nem járulnak hozzá a nyomatékhoz.
A (3.103) jobb oldalán lévő második összeg nullával egyenlő (a belső erők nem befolyásolják a test forgását a tengelye körül). Így kapunk egy merev test adott tengely körüli mozgásegyenlete:
Az e = ~ mennyiséget nevezzük szöggyorsulás.
Jegyzet. A (3.106) egyenlet skaláris. Az egyenletben szereplő mennyiségek előjeleit azonban figyelembe kell venni. Ez a következőképpen történik: beállítjuk (tetszőlegesen) a forgásszög pozitív irányát; a testet pozitív irányba forgató erőnyomatékokat pluszjellel, ellenkező irányban mínuszjellel írjuk.
3.24. probléma. Homogén korong sugárral R a középpontján átmenő vízszintes tengely körül foroghat. Seb a lemezen
menet, amelynek végén erőt fejtünk ki F. A menet ennek az erőnek a hatására letekerődik a korongról (3.5. ábra). Határozza meg a lemezről letekert szál hosszát / időpontban.
Megoldás. Ha a korong szögben forog d
Rdtp. Innen
egy ds = /?d hosszú menetdarab belefér
A probléma abból adódik, hogy meg kell találni azt a szöget, amelyen keresztül a lemez időben el fog forogni /. Térjünk rá a (3.106) egyenletre. A menet feszítőereje azon a ponton hat a tárcsára, ahol a cérna elhagyja a korongot. Ha a szál tömege az
nulla, ez az erő egyenlő az erővel F. Ez az erő érintőleges, és a forgástengelyhez viszonyított nyomatéka A/= FR. Az egyenlet azzá válik
jegyzet. A (3.106) egyenlet matematikai szerkezetében megegyezik a részecske egydimenziós mozgására vonatkozó második törvénnyel (a matematikus azt mondaná, hogy az egyenletek a jelölésig azonosak), ezért az egyenlet megoldási módszerei (a jelölésig) ugyanazok, mint a 2.2.8.
mivel a kezdeti szögsebesség nulla. További,
Megtaláltuk a korong elfordulási szögét az idő függvényében. Ez volt egy példa az egyenletesen gyorsított forgó mozgásra.
A tárcsa forgástengelye egybeesik az egyik főtengellyel, tehát
/ = /, = úr 72.
3.25. probléma. Az előző feladat lemeze tehetetlenséggel forog, amikor t= 0 szögsebessége egyenlő co(0). A tárcsára a sebességgel arányos súrlódási erők hatnak (a levegő körül): M= szem. Mekkora lesz a lemez sebessége / időpontban?
Megoldás. Mi írunk:
És így,
(Ezt célszerű összehasonlítani a 2.30. feladat megoldásával.)
3.26. probléma. Hány fordulatot fog megtenni az előző feladatból származó lemez addigra P
Megoldás. A probléma nyilvánvalóan az, hogy egy forradalom ideje változó. Sebesség n(t)= (ср(г) - ф(0))/2я, és az időbeli elfordulás szögének meghatározása t. Mi írunk:
ami megoldja a problémát. Ellenőrzés: kicsi / esetén az exponenciális kiterjesztésével megkapjuk
megkapjuk, ha / -»: Df = co(0)-.
Hozzászólások. A 3.25. feladatban kapott szögsebesség megoldása nem teljesen felel meg a valóságnak: e megoldás szerint a szögsebesség aszimptotikusan nullázódik, de nyilvánvalóan a korong egy véges idő elteltével valóban megáll. Ez azt jelenti, hogy a súrlódási erőkre vonatkozó elfogadott törvényt kellően kis szögsebességnél megsértik. Az eredmény azonban a teljes elforgatási szögre ésszerű (miért?)
Térjünk vissza a (3.106) egyenlethez. Szorozzuk meg ezt az egyenletet co = dtp/d-vel t. Kapunk
Fr.i1F t ds., de ez az összes külső erő által végzett munka összege, amikor a test dtp szöggel elfordul. Az energiamegmaradás törvényéből (lásd a (3.30) képletet) az következik, hogy a (3.107) bal oldalán zárójelben lévő kifejezés egy forgó szilárd test mozgási energiája (mivel a szilárd test részecskéi közötti távolságok nem változik, a szilárd test belső potenciálenergiája állandó és a munka belső erői nem hatnak). A (3.107) képletből kapjuk
A forgó test mozgási energiájának változása megegyezik a külső erők munkájával. Ez az energiamegmaradás törvényének egy speciális esete. Ebben az esetben a forgó merev test mozgási energiája rögzített tengely körül, egyenlő
külső erők munkája
3.27. probléma. A lemezhez a 3.24-es feladatból, szöggel forgatva
sebességgel, nyomd meg erővel F fékbetét. Hány fordulatot tesz meg a lemez, mielőtt megáll? Súrlódási együttható a tárcsa és a betét között Nak nek.
Megoldás. A 3.25. feladat megoldásához hasonlóan a korong mozgásának teljes kinematikáját megtalálhatjuk, de a feltett kérdésre a (3.108) képlet alapján azonnal megadható a válasz. A korongra súrlódási erő /^ (tangenciális erő!) hat egy pillanattal M= - kFR. Nincsenek más pillanatok. Nekünk van:
3.28. probléma. A forgó lendkerék egy példa a mechanikai energiatároló eszközre. Becsülje meg, mekkora szögsebességgel kell megpörgetnie egy sugarú korongot R= 0,3 m és 100 kg tömegű, így ennek az energiának köszönhetően az autó 20 km-t tud megtenni.
Megoldás. Feltételezzük, hogy egy 80 LE motorteljesítményű autó. s., vagyis 60 kW, ezt a távolságot 20 perc alatt teszi meg. A motor működik A = Nt. Ha a lendkerék energiája miatt történik a munka, akkor
A számokat behelyettesítve azt kapjuk
vagy 900 rps. (Az ilyen energiaforrással rendelkező autókat gyakorlatilag tesztelték.)
Térjünk vissza ismét a (3.106) egyenlethez. Mint már láttuk, ez az egyenlet lehetővé teszi, hogy meghatározzuk a test mozgásának teljes kinematikáját egy rögzített tengely körül. Felmerül a kérdés: ez az egyenlet lehetővé teszi-e, hogy megválaszoljuk az ilyen mozgásokkal kapcsolatos összes kérdést, és milyen kapcsolatban áll ez az egyenlet az egyenletekkel?
Az első kérdésre a válasz nemleges. Az egyenlet csak a testet egy tengely körül forgató erők nyomatékait veszi figyelembe (amelyek a tengelyre merőleges síkban helyezkednek el úgy, hogy hatásvonalaik ne menjenek át a tengelyen). Az egyenlet nem teszi lehetővé a tengelyre ható erők meghatározását.
Ami a második kérdésre adott választ illeti, még egyszer hangsúlyozzuk, hogy a merev test mozgását a törvények határozzák meg.
Itt V- a tömegközéppont sebessége; ?„ - belső szögimpulzus (a tömegközépponthoz viszonyítva); a (3.86) képlet határozza meg, M 0- a tömegközépponthoz viszonyított erőnyomaték. A test mozgási energiáját a (3.99) képlet határozza meg. Ez alapvető (mindig igazságos) törvények. Alkalmazzuk ezeket a képleteket a vizsgált esetre.
Válasszuk ki a koordináták origóját a forgási tengely valamely pontján.
Hadd R- a test tömegközéppontjának sugárvektora és l - egységvektor a forgástengely mentén, egybeesik a vektorral
szögsebesség. Van: co = lo>, |k| = |wxl| = aso, hol A - távolság a forgástengelytől a tömegközéppontig.
A test kinetikus energiája
(Az utolsó egyenlőséget a (3.109) képlet alapján kaptuk.) Ha A - 0 (a tengely átmegy a tömegközépponton),
hol / 0 - a test tehetetlenségi nyomatéka a tömegközépponton átmenő tengely körül.
Nagyságrendű vagyok? 0 a test saját impulzusimpulzusának vetülete a forgástengelyre. A (3.113) képletből kapjuk
Visszatérve a (3.112) képlethez, a (3.114) figyelembevételével meglesz
Innen megtaláljuk az összefüggést az adott tengely körüli tehetetlenségi nyomatékok és a vele párhuzamos, tömegközépponton átmenő tengely között:
(az úgynevezett Steiner-tétel).
Vessünk egy pillantást a szögimpulzusra. Válasszuk ki a koordináták origóját a forgástengelyen a tengely metszéspontjában a tömegközéppont forgási síkjával (ez nem szükséges, de megkönnyíti az elemzést). Nekünk van:
A jobb oldalon lévő első tag (pályamomentum) megadja a forgástengely mentén irányított vektort: pta 2 a>. Belső szögimpulzus 
vagy mivel co = szója,
A bázisvektorok a testtel együtt forognak, így például cl/ _ r
mer, - = co x /, tehát
(figyelembe vettük, hogy th egy állandó vektor és dn/dt= 0). Ez az eredmény azt jelenti, hogy a d vektor komponensei állandóak, és ez viszont
fordulat, azt jelenti (a (3.117) képlet szerint), hogy a Z 0 vektor a testtel együtt forog és idővel változik, még akkor is, ha a test forgási szögsebessége állandó (a Z 0 vektor kúpos felületet ír le, a tengelye amelyet a d) vektor határoz meg. A (3.117) képletből kapjuk
(Emlékezzünk vissza, hogy bármely testté „fagyasztott” vektor esetén ^ = c oh ha.)
A (3.111) egyenletek közül az első ilyen alakot vesz fel
(eredete a kör közepén |l| = A, amely mentén a tömegközéppont mozog), a második -
Ez a két egyenlet határozza meg a rögzített tengely körül forgó testre ható erőket és erőnyomatékokat. Ha a test állandó szögsebességgel forog, és a tengelyen kívüli erők nem hatnak rá, akkor a (3.119) és (3.120) képletek határozzák meg a testre ható erők tengelyről ható nyomatékát és nyomatékát a ellenkező előjel - a test oldalaitól a tengely felé. Az egyenletek közül az első megadja a tengelyre merőleges „centrifugális erőt”. Ha a tengely áthalad a tömegközépponton, ez az erő nulla. A második felveszi a formát
Látjuk, hogy az erőnyomaték vektora merőleges arra a síkra, amelyben a forgástengely és az impulzusnyomaték fekszik, és a testtel együtt forog. Ez a nyomaték hajlamos a tengelyt az erőnyomatékra merőleges síkban elforgatni, és a tengelyt tartó csapágyakban lévő erőkkel kell kompenzálni. Ez a nyomaték eltűnik, ha a forgástengely és a szögimpulzusvektor párhuzamos, és ez csak akkor lehetséges, ha a forgástengely párhuzamos a tehetetlenségi tenzor egyik fő tengelyével. A technikában nagyon fontos a gyorsan forgó lendkerekek kiegyensúlyozásának problémája.
A (3.116) képletre térve írjuk
Ezt az egyenlőséget skalárisan megszorozva a H vektorral és figyelembe véve a (3.114), (3.115) képleteket, megkapjuk
Így a (3.106) egyenlőség bal oldalán megjelenő mennyiség az a teljes szögimpulzus vetülete a test forgástengelyére. Ekkor ennek az egyenlőségnek a jobb oldala a teljes projekciója
erőnyomaték a forgástengelyen: M= I M(ez közvetlenül ellenőrizhető). Így a bekezdés elején levezetett (3.106) egyenlet egyszerűen az alapegyenlet következménye.
következtetéseket
A merev test fix tengely körüli forgásának kinematikáját a (3.106) képlet határozza meg. A tengely körüli tehetetlenségi nyomatékot a (3.105) képlet határozza meg, és összetett módon kapcsolódik a tehetetlenségi tenzorhoz. Az erők tengelyhez viszonyított nyomatéka ((3.105) képlet) az erőnyomatéknak a forgástengelyre való vetülete. Egy rögzített tengely körül forgó test mozgási energiáját a (3.109) képlet határozza meg, amely a (3.9) általános képlet következménye. A tengelyre ható erőket a (3.111) képletekből találhatjuk meg.
Jegyzet. Különbséget kell tenni az „impulzus pillanatai és a tengelyhez viszonyított erők” és egyszerűen a „pillanatok…” fogalmak között. Az első a skaláris mennyiség, a második a vektor. Az előbbi meghatározásához meg kell adni egy tengelyt, az utóbbihoz egy pontot.
3.29. probléma. A merev test olyan vízszintes tengely körül foroghat, amely nem megy át a tömegközépponton. A test tehetetlenségi nyomatéka a tengelyhez viszonyítva /, távolság a tengelytől a tömegközéppontig /, testtömeg T. A test egy szöggel eltér egyensúlyi helyzetétől 
Megoldás. Tengely x- vízszintes tengely nál nél- függőlegesen lefelé, a tömegközéppont a síkban mozog xOu, a forgástengely az origón halad át, R- a tömegközéppont, R és tengely sugárvektora u. A test erőknek van kitéve: az F tengelytől és a gravitációs erőtől. Ha a testet egy M = -wg/sincp szöggel elhajlik (itt / a tengely és a tömegközéppont távolsága). A (3.106) egyenletből lesz
Ez az egyenlet, egészen a jelölésig, megegyezik a (2.149) egyenlettel, és pontosan ugyanúgy megoldható (tegye ezt). Kis elhajlási szögeknél kapjuk
Ez egy harmonikus rezgés.
3.30. feladat. Az inga egy /? sugarú, tömegű korong T hosszúságú súlytalan rúdon /. A korong síkja az inga kilengésének síkjában van. Hogyan fog egy ilyen inga mozogni kis elhajlási szögeknél?
Megoldás. A (3.123) képlet megadja a választ, de meg kell határozni ennek a rendszernek a forgástengelyhez viszonyított tehetetlenségi nyomatékát. A forgástengely párhuzamos a tárcsa egyik főtengelyével, e tengely körül tehetetlenségi nyomatékkal /. = - tYa 2. Ez az érték egyenlő lesz a rendszer tehetetlenségi nyomatékával / 0 a tömegközépponton áthaladó tengelyhez képest. Az inga tehetetlenségi nyomatékát a Steiner-tétel segítségével találjuk meg: / = / n + ta 2 = tYa 2 /2 + m(l + I/2) Ezt az értéket be kell cserélni a (3.123) képletbe. Ebben a képletben a / helyett a / + jelet kell helyettesíteni ÉN/ 2.
3.31. probléma. Megváltozik-e az előző feladat eredménye, ha a korongot úgy forgatjuk, hogy a síkja merőleges legyen az inga lengésének síkjára?
Válasz. Meg fog változni. Ebben az esetben a rendszer forgástengelye kisebb (fél) tehetetlenségi nyomatékkal párhuzamos a tárcsa másik főtengelyével.
3.32. probléma. Hogyan változik a 3.30. feladat megoldása, ha figyelembe vesszük a rúd /i tömegét?
Megoldás. A tengely körüli tehetetlenségi nyomaték additív mennyiség: egy test tehetetlenségi nyomatéka egyenlő a részei tehetetlenségi nyomatékainak összegével. Ezért a 3.30. feladatban található tárcsa tehetetlenségi nyomatékához hozzá kell adni a rúd tehetetlenségi nyomatékát a rúdra merőleges végén átmenő tengelyhez viszonyítva. Ez a tengely párhuzamos a rúd egyik főtengelyével / 2 = / 3 = nyomatékkal ml 2/12. Steiner tételét felhasználva azt találjuk, hogy a rúd végére vonatkozó nyomaték egyenlő lesz ml 2 /3.
3.33. probléma. A 3.29. feladat feltételei között határozzuk meg az inga tengelyére ható erőt!
Megoldás. Két külső erő hat az ingára: Fx a tengelytől és a gravitációtól mg. Van (a jelöléshez lásd a 3.29. feladatot):
A (3.119) egyenletből lesz
A 3.29. feladat megoldása azt mutatja, hogy - = 1 -sintp.
Ez a szögsebesség megállapítása. Térjünk rá az energiamegmaradás törvényére. Nyilvánvaló, hogy a súrlódási erők hiányában, amelyeket nem veszünk figyelembe, a rendszer mechanikai energiája megmarad: W k + Wn= konst. Helyzeti energia W n - ez energia
inga a gravitációs térben. Nekünk van: R= /7 sintp + jl költség,
Az energiamegmaradás törvénye adja az egyenletet
(jobb oldalon a rendszer kezdeti energiája). Innen
Megtaláltuk a szögsebességet az inga helyzetének függvényében. Visszatérve az erő (3.124) képletéhez, azt kapjuk
Ez az inga tengelyére ható erő. Látjuk, hogy az erő vízszintes összetevője nem nulla, de egyensúlyi helyzetben egyenlő nullával. A függőleges komponens egyensúlyi helyzetben a legnagyobb. Nyilvánvaló, hogy a matematikai inga (egy súlytalan rúd végén lévő anyagi pont) a vizsgált rendszer speciális esete. Feltételezve, hogy /= ml 2, matematikai ingára kapjuk az eredményt.
3.34. probléma. NAK NEK egy függőleges falnak támaszkodik egy 1/2 hosszúságú és tömegű deszka T. Az idő egy pillanatában t= 0 a tábla esni kezd. Keresse meg a tábla támasztó végére ható erőt.
a tábla tömege a síkban mozog xOy, R= / -jsin
tömegközéppont sugárvektora (
- - g dtp g
- (O = -k- =-xo. A táblán külső erők hatnak: F az aljára nál nél
vége és a gravitáció mg tömegközéppontban. A (3.119) egyenletből lesz
A szögsebesség az előző feladathoz hasonlóan az energiamegmaradás törvényéből lesz meghatározva:
(Figyelembe vették, hogy a tábla tehetetlenségi nyomatéka, mint egy vékony rúd,
t t 1 g
egyenlő én = -^-.)
A szöggyorsulás meghatározásához a (3.106) egyenletre kell hivatkozni. A tábla tömegközéppontja, amelyre a gravitációs erő hat, körben mozog, a gravitációs erő érintőleges összetevője egyenlő /ngsin
tengelyek M =-^-sincp, nincs más pont. Így a (3.126) egyenlet lesz
ahol m a tömegközéppont pályájának egységnyi érintővektora. Ezt behelyettesítve a (3.127) képletbe és megoldva a kapott erőegyenletet, megkapjuk
Ez a tábla alsó végére ható erő. Az erő vízszintes összetevője at
akkor csökkenni kezd, és mikor
Ez azt jelenti, hogy a tábla ekkor elveszíti kapcsolatát a fallal, és nagy szögben a megoldás helytelen. (Ha a tábla alsó vége csuklós lenne, a megoldás bármely szögben helyes lenne.) Sőt, a numerikus elemzés azt mutatja, hogy a szögben álló erő függőleges összetevője
Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete