Matematikai és geometriai progresszió. Mi az aritmetikai progresszió? A számtani és a geometriai progresszió kapcsolata
Mi a képlet fő lényege?
Ez a képlet lehetővé teszi, hogy megtalálja Bármi SZÁMA SZERINT " n" .
Természetesen az első kifejezést is ismerni kell egy 1és progressziós különbség d, nos, ezek nélkül a paraméterek nélkül nem lehet leírni egy konkrét progressziót.
Ennek a képletnek a memorizálása (vagy lesiklása) nem elég. Meg kell értenie a lényegét, és alkalmaznia kell a képletet különféle problémákban. És azt is, hogy a megfelelő pillanatban ne felejtsük el, igen...) Hogyan ne felejtsd- Nem tudom. És itt hogyan kell emlékezni Ha kell, mindenképpen tanácsot adok. Azoknak, akik a leckét a végéig befejezik.)
Tehát nézzük meg az aritmetikai sorozat n-edik tagjának képletét.
Mi a képlet általában? Egyébként nézd meg, ha nem olvastad. Ott minden egyszerű. Még ki kell deríteni, mi az n-edik tag.
A haladás általában számsorként írható fel:
1, 2, 3, 4, 5, .....
egy 1- egy aritmetikai sorozat első tagját jelöli, a 3- harmadik tag, egy 4- a negyedik és így tovább. Ha érdekel minket az ötödik ciklus, mondjuk, hogy dolgozunk egy 5, ha százhuszad - s egy 120.
Hogyan határozhatjuk meg általánosságban? Bármi egy aritmetikai sorozat tagja, azzal Bármi szám? Nagyon egyszerű! Mint ez:
a n
Az az ami egy aritmetikai sorozat n-edik tagja. Az n betű egyszerre elrejti az összes tagszámot: 1, 2, 3, 4 stb.
És mit ad nekünk egy ilyen rekord? Gondolj csak bele, szám helyett egy betűt írtak le...
Ez a jelölés hatékony eszközt ad az aritmetikai progresszióval való munkavégzéshez. A jelölés használata a n, gyorsan megtaláljuk Bármi tag Bármi aritmetikai progresszió. És megoldjon egy csomó további progressziós problémát. Majd meglátod magad a továbbiakban.
Az aritmetikai sorozat n-edik tagjának képletében:
| a n = a 1 + (n-1)d |
egy 1- egy aritmetikai sorozat első tagja;
n- tag szám.
A képlet összekapcsolja bármely progresszió fő paramétereit: a n; a 1; dÉs n. Minden progressziós probléma ezen paraméterek körül forog.
Az n-edik tag képlete egy adott progresszió írásához is használható. Például a probléma azt mondhatja, hogy a progressziót a következő feltétel határozza meg:
a n = 5 + (n-1) 2.
Egy ilyen probléma zsákutca lehet... Nincs se sorozat, se különbség... De a feltételt a képlettel összevetve könnyen érthető, hogy ebben a progresszióban a 1 = 5 és d = 2.
És lehet még rosszabb is!) Ha ugyanazt a feltételt vesszük: a n = 5 + (n-1) 2, Igen, nyisd ki a zárójelet és adj hasonlókat? Kapunk egy új képletet:
a n = 3 + 2n.
Ez Csak nem általános, hanem egy konkrét előrehaladásra. Itt lapul a buktató. Vannak, akik úgy gondolják, hogy az első tag egy három. Bár a valóságban az első tag öt... Kicsit lejjebb egy ilyen módosított képlettel fogunk dolgozni.
A progressziós problémáknál van egy másik jelölés - a n+1. Ez, ahogy sejtette, a progresszió „n plusz első” tagja. Jelentése egyszerű és ártalmatlan.) Ez a progresszió olyan tagja, amelynek száma eggyel nagyobb, mint n. Például ha valamilyen problémában vesszük a n akkor az ötödik ciklus a n+1 lesz a hatodik tagja. Stb.
Leggyakrabban a megnevezés a n+1 ismétlődési képletekben található. Ne félj ettől az ijesztő szótól!) Ez csak egy számtani sorozat tagjának kifejezése. az előzőn keresztül. Tegyük fel, hogy kapunk egy aritmetikai progressziót ebben a formában, egy ismétlődő képlet segítségével:
a n+1 = a n +3
a 2 = a 1 + 3 = 5 + 3 = 8
a 3 = a 2 + 3 = 8 + 3 = 11
A negyedik - a harmadikon keresztül, az ötödik - a negyediken keresztül, és így tovább. Hogyan számolhatjuk azonnal mondjuk a huszadik tagot? egy 20? De nincs rá mód!) Amíg meg nem találjuk a 19. tagot, addig nem számolhatjuk a 20-at. Ez az alapvető különbség a visszatérő képlet és az n-edik tag képlete között. Ismétlődő működik csak keresztül előző tag, és az n-edik tag képlete végig elsőés megengedi azonnal megtalálja bármelyik tagot a száma alapján. Anélkül, hogy a teljes számsort sorban kiszámolnánk.
A aritmetikai sorozatban könnyű egy ismétlődő képletet szabályossá alakítani. Számoljon meg egy pár egymást követő tagot, számolja ki a különbséget d, keresse meg, ha szükséges, az első kifejezést egy 1, írja le a képletet a szokásos formában, és dolgozzon vele. Ilyen feladatokkal gyakran találkoznak az Állami Tudományos Akadémián.
Egy aritmetikai sorozat n-edik tagjának képletének alkalmazása.
Először nézzük meg a képlet közvetlen alkalmazását. Az előző óra végén volt egy probléma:
Adott egy aritmetikai progresszió (a n). Keressen 121-et, ha 1 = 3 és d = 1/6.
Ezt a feladatot képletek nélkül is meg lehet oldani, egyszerűen egy aritmetikai sorozat jelentése alapján. Add és add... Egy-két óra.)
És a képlet szerint a megoldás kevesebb mint egy percet vesz igénybe. Időzítheti.) Döntsük el.
A feltételek megadják a képlet használatához szükséges összes adatot: a 1 = 3, d = 1/6. Azt kell kitalálni, mi az egyenlő n. Nincs mit! Meg kell találnunk egy 121. Tehát ezt írjuk:
Kérjük figyeljen oda! Index helyett n konkrét szám jelent meg: 121. Ami egészen logikus.) A számtani progresszió tagja érdekel minket. százhuszonegy. Ez a miénk lesz n. Ez a jelentése n= 121 behelyettesítjük a képletbe, zárójelben. Az összes számot behelyettesítjük a képletbe, és kiszámítjuk:
a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23
Ez az. Ugyanilyen gyorsan meg lehet találni az ötszáztizedik tagot, és az ezerharmadik tagot is. Helyette tesszük n a kívánt szám a betű indexében a"és zárójelben, és számolunk.
Hadd emlékeztesselek a lényegre: ez a képlet lehetővé teszi, hogy megtaláld Bármi aritmetikai progressziós tag SZÁMA SZERINT " n" .
Oldjuk meg a problémát ravaszabb módon. Találkozzunk a következő problémával:
Határozzuk meg az aritmetikai sorozat első tagját (a n), ha a 17 =-2; d=-0,5.
Ha nehézségei vannak, elmondom az első lépést. Írja fel egy számtani sorozat n-edik tagjának képletét! Igen igen. Írd le a kezeddel, közvetlenül a füzetedbe:
| a n = a 1 + (n-1)d |
És most, a képlet betűit nézve, megértjük, milyen adatokkal rendelkezünk és mi hiányzik? Elérhető d=-0,5, van egy tizenhetedik tag... Ez az? Ha úgy gondolja, hogy ez az, akkor nem oldja meg a problémát, igen...
Még mindig van számunk n! Állapotban a 17 =-2 rejtett két paraméter. Ez egyben a tizenhetedik tag értéke (-2) és száma (17). Azok. n=17. Ez az „apróság” sokszor elsiklik a fej mellett, és enélkül (az „apróság”, nem a fej nélkül!) nem lehet megoldani a problémát. Bár... és fej nélkül is.)
Most egyszerűen behelyettesíthetjük adatainkat a képletbe:
a 17 = a 1 + (17-1)·(-0,5)
Ó, igen, egy 17 tudjuk, hogy -2. Oké, cseréljük ki:
-2 = a 1 + (17-1)·(-0,5)
Lényegében ennyi. Marad a képletből az aritmetikai progresszió első tagjának kifejezése és kiszámítása. A válasz a következő lesz: a 1 = 6.
Ez a technika - egy képlet felírása és az ismert adatok egyszerű helyettesítése - nagy segítség az egyszerű feladatokban. Hát persze, hogy egy változót képletből kell tudni kifejezni, de mit tegyek!? E készség nélkül lehet, hogy egyáltalán nem tanulsz matematikát...
Egy másik népszerű rejtvény:
Határozzuk meg az aritmetikai sorozat (a n) különbségét, ha a 1 =2; a 15 =12.
Mit csinálunk? Meg fogsz lepődni, mi írjuk a képletet!)
| a n = a 1 + (n-1)d |
Gondoljuk át, mit tudunk: a 1=2; a 15 = 12; és (különösen kiemelem!) n=15. Bátran cserélje be ezt a képletbe:
12=2 + (15-1)d
Mi számolunk.)
12=2 + 14d
d=10/14 = 5/7
Ez a helyes válasz.
Tehát a feladatok a n, a 1És d határozott. Nincs más hátra, mint megtanulni, hogyan találja meg a számot:
A 99-es szám az aritmetikai sorozat (a n) tagja, ahol a 1 =12; d=3. Keresse meg ennek a tagnak a számát.
Az általunk ismert mennyiségeket behelyettesítjük az n-edik tag képletébe:
a n = 12 + (n-1) 3
Első pillantásra két ismeretlen mennyiség van itt: a n és n. De a n- ez a progresszió néhány tagja számmal n...És ismerjük a progressziónak ezt a tagját! 99. Nem tudjuk a számát. n, Tehát ezt a számot kell megtalálnia. A 99-es progresszió tagját behelyettesítjük a képletbe:
99 = 12 + (n-1) 3
A képletből fejezzük ki n, azt gondoljuk. Megkapjuk a választ: n=30.
És most egy probléma ugyanabban a témában, de kreatívabb):
Határozza meg, hogy a 117-es szám tagja-e az aritmetikai sorozatnak (a n):
-3,6; -2,4; -1,2 ...
Írjuk fel újra a képletet. Mi van, nincsenek paraméterek? Hm... Miért kapunk szemet?) Látjuk a progresszió első tagját? Látjuk. Ez -3,6. Nyugodtan írhatod: a 1 = -3,6. Különbség d sorozatból meg tudod határozni? Könnyű, ha tudja, mi a különbség az aritmetikai progresszió között:
d = -2,4 - (-3,6) = 1,2
Tehát a legegyszerűbb dolgot csináltuk. Már csak az ismeretlen számmal kell foglalkozni nés az érthetetlen 117-es szám. Az előző feladatnál legalább azt lehetett tudni, hogy a progresszió tagját adták meg. De itt nem is tudjuk... Mit tegyünk!? Nos, hogyan legyél, hogyan legyél... Kapcsold be kreatív képességeidet!)
Mi tegyük fel hogy a 117 végül is a fejlődésünk tagja. Ismeretlen számmal n. És az előző feladathoz hasonlóan próbáljuk meg megtalálni ezt a számot. Azok. felírjuk a képletet (igen, igen!)) és behelyettesítjük a számainkat:
117 = -3,6 + (n-1) 1,2
Ismét a képletből fejezzük kin, megszámoljuk és megkapjuk:
Hoppá! Kiderült a szám töredékes! Százegy és fél. És törtszámok progresszióban nem lehet. Milyen következtetést vonhatunk le? Igen! 117. szám nem fejlődésünk tagja. Valahol a százelső és a százmásodik kifejezés között van. Ha a szám természetesnek bizonyult, pl. pozitív egész szám, akkor a szám a talált számmal rendelkező progresszió tagja lenne. És esetünkben a probléma válasza a következő lesz: Nem.
A GIA valós verzióján alapuló feladat:
Az aritmetikai progressziót a következő feltétel adja meg:
a n = -4 + 6,8n
Keresse meg a progresszió első és tizedik tagját!
Itt a progresszió szokatlan módon van beállítva. Valamiféle képlet... Előfordul.) Ez a képlet azonban (ahogy fentebb írtam) - egy aritmetikai sorozat n-edik tagjának képletét is! Azt is megengedi keresse meg a progresszió bármely tagját a száma alapján.
Keressük az első tagot. Aki gondolkodik. hogy az első tag mínusz négy, végzetesen téved!) Mivel a feladatban szereplő képlet módosul. A számtani sorozat első tagja benne rejtett. Rendben van, most megkeressük.)
Csakúgy, mint az előző problémáknál, helyettesítjük n=1 ebbe a képletbe:
a 1 = -4 + 6,8 1 = 2,8
Itt! Az első tag 2,8, nem -4!
Ugyanígy keressük a tizedik tagot:
a 10 = -4 + 6,8 10 = 64
Ez az.
És most azoknak, akik elolvasták ezeket a sorokat, a beígért bónusz.)
Tegyük fel, hogy az államvizsga vagy az egységes államvizsga nehéz harci helyzetében elfelejtette az aritmetikai sorozat n-edik tagjának hasznos képletét. Emlékszem valamire, de valahogy bizonytalanul... Illetve n ott, ill n+1, vagy n-1... Hogyan legyen!?
Nyugodt! Ez a képlet könnyen levezethető. Nem túl szigorú, de a magabiztossághoz és a helyes döntéshez mindenképpen elég!) A következtetés levonásához elég emlékezni a számtani sorozat elemi jelentésére, és van néhány percnyi időnk. Csak egy képet kell rajzolnia. Az egyértelműség kedvéért.
Rajzolj egy számegyenest, és jelöld meg rajta az elsőt. második, harmadik stb. tagjai. És megjegyezzük a különbséget d tagok között. Mint ez:
Nézzük a képet, és elgondolkodunk: mit jelent a második tag? Második egy d:
a 2 =a 1 + 1 d
Mi a harmadik kifejezés? Harmadik kifejezés egyenlő az első tag plusz kettő d.
a 3 =a 1 + 2 d
Érted? Nem hiába emelek ki néhány szót félkövérrel. Oké, még egy lépés).
Mi a negyedik kifejezés? Negyedik kifejezés egyenlő az első tag plusz három d.
a 4 =a 1 + 3 d
Ideje belátni, hogy a hézagok száma, i.e. d, Mindig eggyel kevesebb, mint a keresett tag száma n. Vagyis a számra n, szóközök száma akarat n-1. Ezért a képlet a következő lesz (változatok nélkül!):
| a n = a 1 + (n-1)d |
Általában véve a vizuális képek nagyon hasznosak számos matematikai probléma megoldásában. Ne hagyja figyelmen kívül a képeket. De ha nehéz képet rajzolni, akkor... csak egy képlet!) Ezenkívül az n-edik tag képlete lehetővé teszi, hogy a matematika teljes hatalmas arzenálját összekapcsolja a megoldással - egyenletek, egyenlőtlenségek, rendszerek stb. Nem lehet képet beilleszteni az egyenletbe...
Önálló megoldási feladatok.
Bemelegíteni:
1. Számtani folyamatban (a n) a 2 =3; a 5 = 5,1. Keress egy 3-ast.
Tipp: a kép szerint 20 másodperc alatt megoldható a probléma... A képlet szerint nehezebbnek bizonyul. De a képlet elsajátításához hasznosabb.) Az 555. szakaszban ezt a problémát a kép és a képlet segítségével is megoldjuk. Érezd a különbséget!)
És ez már nem bemelegítés.)
2. Számtani folyamatban (a n) a 85 =19,1; a 236 =49, 3. Keressen egy 3-at.
Mi van, nem akarsz képet rajzolni?) Természetesen! A képlet szerint jobb, igen...
3. A számtani progressziót a következő feltétel adja meg:a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Keresse meg ennek a progressziónak a százhuszonötödik tagját.
Ebben a feladatban a progresszió ismétlődő módon van megadva. De a százhuszonötödik tagig számolva... Ilyen bravúrra nem mindenki képes.) De az n-edik tag képlete mindenkinek megvan!
4. Adott egy aritmetikai progresszió (a n):
-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....
Keresse meg a progresszió legkisebb pozitív tagjának számát!
5. A 4. feladat feltételei szerint keresse meg a haladás legkisebb pozitív és legnagyobb negatív tagjának összegét!
6. Egy növekvő aritmetikai sorozat ötödik és tizenkettedik tagjának szorzata -2,5, a harmadik és tizenegyedik tag összege pedig nulla. Keress egy 14-et.
Nem a legkönnyebb feladat, igen...) Az „ujjbegy” módszer itt nem fog működni. Képleteket kell írnia és egyenleteket kell megoldania.
Válaszok (rendetlenségben):
3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5
Megtörtént? Ez szép!)
Nem minden sikerül? Megtörténik. Egyébként van egy finom pont az utolsó feladatban. Óvatosságra lesz szükség a probléma olvasásakor. És logika.
Mindezen problémák megoldását az 555. szakasz tárgyalja részletesen. És a fantázia eleme a negyediknél, és a finom pont a hatodiknál, valamint az n-edik tag képletével kapcsolatos problémák megoldásának általános megközelítései - minden le van írva. Ajánlom.
Ha tetszik ez az oldal...
Egyébként van még néhány érdekes oldalam az Ön számára.)
Gyakorolhatod a példák megoldását, és megtudhatod a szintedet. Tesztelés azonnali ellenőrzéssel. Tanuljunk – érdeklődéssel!)
Megismerkedhet a függvényekkel, deriváltokkal.
Vannak, akik óvatosan kezelik a „progresszió” szót, mint egy nagyon összetett kifejezést a magasabb matematika ágaiból. Eközben a legegyszerűbb számtani progresszió a taxióra munkája (ahol még léteznek). És egy számtani sorozat lényegének megértése (és a matematikában nincs fontosabb, mint a „lényeg megértése”) nem is olyan nehéz, néhány elemi fogalom elemzése után.
Matematikai számsor
A numerikus sorozatot általában számsorozatnak nevezik, amelyek mindegyikének saját száma van.
a 1 a sorozat első tagja;
és 2 a sorozat második tagja;
és 7 a sorozat hetedik tagja;
és n a sorozat n-edik tagja;
Azonban nem bármilyen tetszőleges szám- és számhalmaz érdekel bennünket. Figyelmünket egy olyan numerikus sorozatra összpontosítjuk, amelyben az n-edik tag értéke matematikailag egyértelműen megfogalmazható összefüggéssel kapcsolódik a sorszámához. Más szóval: az n-edik szám számértéke n valamilyen függvénye.
a egy numerikus sorozat egy tagjának értéke;
n a sorozatszáma;
f(n) egy függvény, ahol az n numerikus sorozat sorszáma az argumentum.
Meghatározás
Az aritmetikai progressziót általában olyan numerikus sorozatnak nevezik, amelyben minden következő tag azonos számmal nagyobb (kisebb), mint az előző. Egy aritmetikai sorozat n-edik tagjának képlete a következő:
a n - az aritmetikai sorozat aktuális tagjának értéke;
a n+1 - a következő szám képlete;
d - különbség (bizonyos szám).
Könnyen megállapítható, hogy ha a különbség pozitív (d>0), akkor a vizsgált sorozat minden következő tagja nagyobb lesz, mint az előző, és ez a számtani progresszió növekszik.
Az alábbi grafikonon jól látható, hogy miért nevezik a számsort „növekvőnek”.
Azokban az esetekben, amikor a különbség negatív (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.
Megadott tagérték
Néha meg kell határozni egy aritmetikai sorozat tetszőleges a n tagjának értékét. Ezt úgy lehet megtenni, hogy az aritmetikai progresszió összes tagjának értékét szekvenciálisan kiszámítjuk, az elsőtől a kívántig. Ez az út azonban nem mindig elfogadható, ha például meg kell találni az ötezredik vagy nyolcmilliomodik tag értékét. A hagyományos számítások sok időt vesznek igénybe. Egy adott aritmetikai progresszió azonban tanulmányozható bizonyos képletekkel. Az n-edik tagra is van egy képlet: egy aritmetikai sorozat bármely tagjának értéke meghatározható a progresszió első tagjának összegeként a progresszió különbségével, szorozva a kívánt tag számával, csökkentve egy.
A képlet univerzális a progresszió növelésére és csökkentésére.
Példa egy adott kifejezés értékének kiszámítására
Oldjuk meg a következő feladatot egy aritmetikai sorozat n-edik tagjának értékének meghatározására.
Feltétel: van egy aritmetikai progresszió a következő paraméterekkel:
A sorozat első tagja 3;
A számsor különbsége 1,2.
Feladat: meg kell találni 214 kifejezés értékét
Megoldás: egy adott tag értékének meghatározásához a következő képletet használjuk:
a(n) = a1 + d(n-1)
A problémafelvetés adatait a kifejezésbe behelyettesítve a következőt kapjuk:
a(214) = a1 + d(n-1)
a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6
Válasz: A sorozat 214. tagja egyenlő 258,6-tal.
Ennek a számítási módszernek az előnyei nyilvánvalóak - a teljes megoldás legfeljebb 2 sort vesz igénybe.
Adott számú kifejezés összege
Nagyon gyakran egy adott számtani sorozatban meg kell határozni egyes szegmenseinek értékeinek összegét. Ehhez nincs szükség az egyes kifejezések értékeinek kiszámítására, majd összeadására. Ez a módszer akkor alkalmazható, ha kevés azon kifejezések száma, amelyek összegét meg kell találni. Más esetekben kényelmesebb a következő képlet használata.
Az 1-től n-ig terjedő aritmetikai haladás tagjainak összege egyenlő az első és az n-edik tag összegével, megszorozva az n tag számával és elosztva kettővel. Ha a képletben az n-edik tag értékét a cikk előző bekezdésében szereplő kifejezéssel helyettesítjük, a következőt kapjuk:
Számítási példa
Például oldjunk meg egy problémát a következő feltételekkel:
A sorozat első tagja nulla;
A különbség 0,5.
A probléma megoldásához meg kell határozni az 56-tól 101-ig terjedő sorozat tagjainak összegét.
Megoldás. Használjuk a képletet a progresszió mértékének meghatározásához:
s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2
Először meghatározzuk a progresszió 101 tagjának értékeinek összegét úgy, hogy a feladatunk adott feltételeit behelyettesítjük a képletbe:
s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2525
Nyilvánvalóan ahhoz, hogy megtudjuk az 56-tól a 101-ig terjedő haladás tagjainak összegét, ki kell vonni S 55-öt S 101-ből.
s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5
Így ennek a példának az aritmetikai progressziójának összege:
s 101 - s 55 = 2525 - 742,5 = 1782,5
Példa az aritmetikai progresszió gyakorlati alkalmazására
A cikk végén térjünk vissza az első bekezdésben megadott számtani sorozat példájához - egy taxióra (taxi mérő). Tekintsük ezt a példát.
A taxiba való beszállás (amely 3 km-es utazást tartalmaz) 50 rubelbe kerül. Minden további kilométert 22 rubel/km áron kell fizetni. Az utazási távolság 30 km. Számolja ki az utazás költségét.
1. Dobjuk el az első 3 km-t, aminek az árát a leszállás költsége tartalmazza.
30 - 3 = 27 km.
2. A további számítás nem más, mint egy számtani számsor elemzése.
Tagszám - a megtett kilométerek száma (mínusz az első három).
A tag értéke az összeg.
Ebben a feladatban az első tag 1 = 50 rubel lesz.
Progressziós különbség d = 22 r.
a minket érdeklő szám a számtani progresszió (27+1) tagjának értéke - a mérőállás a 27. kilométer végén 27.999... = 28 km.
a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644
A tetszőlegesen hosszú időszakra vonatkozó naptári adatok számításai bizonyos numerikus sorozatokat leíró képleteken alapulnak. A csillagászatban a pálya hossza geometriailag függ az égitest és a világítótest távolságától. Emellett a különböző számsorokat sikeresen alkalmazzák a statisztikában és a matematika egyéb alkalmazott területein.
A számsorok másik típusa a geometriai
A geometriai progressziót nagyobb változási sebesség jellemzi, mint az aritmetikai progresszió. Nem véletlen, hogy a politikában, a szociológiában, az orvostudományban egy adott jelenség, például egy járvány idején előforduló betegség nagy sebességű terjedésének kimutatására azt mondják, hogy a folyamat geometriai progresszióban fejlődik ki.
A geometriai számsor N-edik tagja abban különbözik az előzőtől, hogy megszorozzák valamilyen állandó számmal - a nevező például az első tag 1, a nevező ennek megfelelően egyenlő 2-vel, majd:
n=1: 1 ∙ 2 = 2
n=2: 2 ∙ 2 = 4
n = 3: 4 ∙ 2 = 8
n=4: 8 ∙ 2 = 16
n = 5: 16 ∙ 2 = 32,
b n - a geometriai progresszió aktuális tagjának értéke;
b n+1 - a geometriai progresszió következő tagjának képlete;
q a geometriai progresszió nevezője (konstans szám).
Ha egy aritmetikai sorozat grafikonja egy egyenes, akkor a geometriai haladás kissé eltérő képet fest:
Akárcsak az aritmetika esetében, a geometriai progressziónak is van egy képlete egy tetszőleges tag értékére. Egy geometriai progresszió bármely n-edik tagja egyenlő az első tag és az n eggyel csökkentett hatványának nevezőjének szorzatával:
Példa. Van egy geometriai progressziónk, amelynek első tagja 3, a progresszió nevezője pedig 1,5. Keressük meg a progresszió 5. tagját
b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875
Adott számú tag összegét is egy speciális képlet segítségével számítjuk ki. Egy geometriai sorozat első n tagjának összege egyenlő a haladás n-edik tagjának és nevezőjének szorzata, valamint a haladás első tagja közötti különbséggel, osztva az eggyel csökkentett nevezővel:
Ha b n-t a fentebb tárgyalt képlettel helyettesítjük, akkor a szóban forgó számsor első n tagjának összege a következőképpen alakul:
Példa. A geometriai haladás az 1-gyel egyenlő első taggal kezdődik. A nevező 3. Határozzuk meg az első nyolc tag összegét.
s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280
Példák az aritmetikai és geometriai progresszióra a Lesya Ukrainka Volyn Állami Egyetem által 2001-ben kiadott "Problémagyűjtemény jelentkezők számára. Matematika" című kiadványból. Olvassa el figyelmesen a válaszokat, és válassza ki, mire van leginkább szüksége.
A csoport (1. szint)
1. példa Számítsd ki a 21.3 számtani sorozat hatodik tagját; 22,4; ... ,
Megoldás: Keresse meg a progresszió különbségét (lépését).
d=a2-a1=22,4-21,3=1,1.
Ezután kiszámítjuk az aritmetikai sorozat hatodik tagját
a 6 =a 1 +(6-1)d=21,3+5*1,1=26,8.
2. példa Számítsa ki az 5 geometriai haladás hatodik tagját; 10; 20; ...
Megoldás: Keresse meg a geometriai progresszió nevezőjét
q=b2/b1=10/5=2.
A geometriai progresszió hatodik tagjának kiszámítása
b 6 = b 1 q 6-1 = 5*25=5*32=160.
3. példa Egy aritmetikai sorozatban a 1 =2,1 a 10 =12,9. Számítsa ki a progresszió különbségét.
Megoldás: ábrázoljuk képletként a progresszió tizedik tagját
a 10 =a 1 +(10-1)d= a 1 +9d.
Helyettesítsük be az ismert értékeket és oldjuk meg
12,9=2,1+9d;
9d = 12,9-2,1 = 10,8;
d=10,8/9=1,2.
Válasz: progressziókülönbség d=1,2.
4. példa Geometriai haladásban b 1 =2,56; b4 = 4,42368. Számítsa ki a progresszió nevezőjét!
Megoldás: Keresse meg a progresszió nevezőjét
q=b2/b1=4,42368/2,56=1,728.
Itt nem nélkülözheti a számológépet.
Válasz: a progresszió nevezője q=1,728.
5. példa Egy aritmetikai sorozatban a 1 =20,1, d=1,3. Számítsa ki a progresszió első nyolc tagjának összegét!
Megoldás: A képlet segítségével megtaláljuk a számtani progresszió összegét
Számítások elvégzése
S 8 =(2*20,1+(8-1)*1,3)*8/2=197,2.
Válasz: S 8 =197,2.
6. példa. Geometriai haladásban b 1 =1,5; q=1,2. Számítsa ki a progresszió első négy tagjának összegét!
Megoldás: A képlet segítségével kiszámítjuk a geometriai progresszió összegét
A progresszió összegének meghatározása 
Válasz: S 8 =8,052.
7. példa. A számtani haladásban a 1 =1,35 d=-2,4. Számítsa ki a -25,05-tel egyenlő progressziós tag számát.
Megoldás: Egy aritmetikai sorozat tagját a képlet segítségével találjuk meg
a n =a 1 +(n-1)d.
Az adott feltétel szerint a sorozatszámon kívül minden ismert, keressük meg
-25,05=1,35+(n-1)(-2,4); 
Válasz: n=12.
8. példa Számítsd ki a 23,5 progresszió hetedik tagját; 24,82; 26,14; ...
Megoldás: Mivel a feltétel nem határozza meg, hogy milyen progresszió van megadva, először be kell állítania azt. Fogadd el ezt az aritmetikát
d=a2-a1=24,82-23,5=1,32;
d=a3-a2=26,14-24,82=1,32.
A progresszió hetedik tagjának megtalálása
a 7 =a 1 +(7-1)d=23,5+6*1,32=31,42.
Válasz: a 7 = 31,42.
9. példa Számítsa ki a 2,1 progresszió tagjának számát; 3,3; 4,5; ... egyenlő: 11,7.
Megoldás: Könnyen ellenőrizhető, hogy adott-e a számtani progresszió. Keressük a progresszió különbségét
d=a2-a1=3,3-2,1=1,2.
A progressziós tag képlete szerint
a n =a 1 +(n-1)d
keressük meg a számot
11,7=2,1+(n-1)*1,2; 
Válasz: n = 9.
10. példa Számítsd ki az 1,5 progresszió negyedik tagját; 1,8; 2,16; ... .
Megoldás: Ellenőrzés nélkül azt mondhatjuk, hogy a progresszió geometriai. Keressük a nevezőjét
q=b2/b1=1, 8/1,5=1,2.
Számítsuk ki a geometriai progresszió 4. tagját a képlet segítségével!
b 4 = b 1 q 3 = 1,5 * 1,2 3 = 2,592.
Válasz: b 4 =2,592.
11. példa Számítsa ki az 1,2 progresszió tagjának számát; 1,8; 2,16; ... egyenlő 4,05-tel.
Megoldás: Van egy geometriai progresszió. Keressük meg a progresszió nevezőjét
q=b2/b1=1, 8/1,2=1,5.
Keressük meg a függőségből a progressziószámot
b n = b 1 q n-1.
4,05=1,2*1,5 n-1;
1,5 n-1 = 4,05/1,2 = 3,375 = 1,53;
n-1=3; n=4.
Válasz: n=4.
12. példa A számtani folyamatban a 5 =14,91 a 9 =20,11. Számíts ki egy 1-et.
Megoldás: Fejezd ki a progresszió 9. tagját 5-tel
a 9 = a 5 +(9-5)d
és keresse meg a haladási lépést
20,11=14,91+4d;
4d = 5,2; d=5,2/4=1,3.
Adjuk meg az 1-ig terjedő haladás 5. tagját, és számítsuk ki az elsőt
a 5 = a 1 +4d;
14,91 = a 1 +5,2;
a 1 = 14,91-5,2 = 9,71.
Válasz: a 1 =9,71.
13. példa. A számtani haladásban a 7 =12,01; a 11 =17,61. Számítsa ki a progresszió különbségét.
Megoldás: Fejezd ki a progresszió 11. tagját 7-tel
a 11 = a 7 + (11-7)d.
Innen számítjuk ki a haladási lépést
17,61=12,01+4d;
4d = 5,6; d=5,6/4=1,4.
Válasz: d=1,4.
14. példa Geometriai haladásban b 5 =64; b 8 =1. Számítsd ki b 3 .
Megoldás: Fejezd ki a progresszió 8. tagját 5-tel
b 8 = b 5 q 8-5.
Innentől megtaláljuk a progresszió nevezőjét
1 = 64 q 3;
q 3 = 1/64 = (1/4) 3;
q=1/4.
Hasonlóképpen találjuk b 3-tól b 5-ig
b 3 = b 5 /q 2 = 64 * 4 2 = 1024.
Válasz: b 3 =1024.
15. példa Az aritmetikai sorozatban a 9 + a 15 = 14,8. Számíts ki egy 12-t
Megoldás: Ebben a példában figyelembe kell venni, hogy a progresszió 12. tagja félúton van a 9 és 15 között. Ezért a progresszió szomszédos tagjai (9, 15) a következőképpen fejezhetők ki 12-vel:
a 9 = a 12-(12-9)d;
a 15 = a 12 +(15-9)d;
a 9 = a 12-3d;
a 15 = a 12 +3d.
Foglaljuk össze a progresszió szélső feltételeit
a 9 + a 15 = a 12 -3d+ a 12 +3d=2a 12.
Innen a progresszió 12. tagját találjuk
a 12 =(a 9 +a 15)/2=14,8/2=7,4.
Válasz: a 12 =7,4.
16. példa Geometriai haladásban b 10 * b 14 =289. Számítsa ki a | progresszió 12. tagjának modulusát b 12 |.
Megoldás: A probléma megoldására szolgáló algoritmust az előző példa tartalmazza. A geometriai progresszió 10. és 14. tagját 12-vel kell kifejezni. A geometriai progresszió tulajdonságait felhasználva azt kapjuk
b 10 = b 12/q 2; b 14 = b 12 * q 2 .
Könnyen észrevehető, hogy amikor előállnak, a progresszió jele eltűnik
b 10 * b 14 = (b 12) 2 = 289 = 17 2 .
Innen találjuk a modult | b 12 |
(b 12) 2 =289=17 2 -> | b 12 |=17.
Válasz: | b 12 |=17.
17. példa Geometriai haladásban b 8 =1,3. Számítsd ki b 6 *b 10 !
Megoldás: A számítási séma hasonló az előző példához - a 8-ig terjedő haladás 6. és 10. tagját fejezzük ki.
b6 = b8/q2; b 10 = b 8 * q 2 .
Szorzásukkor a nevezők törlődnek, és megkapjuk a progresszió ismert tagjának négyzetét
b 6 * b 10 = (b 8) 2 = 1,3 2 = 1,69.
Válasz: b 6 * b 10 =1,69.
18. példa Egy aritmetikai sorozatban a 10 =3,6: a 12 =8. Számíts ki egy 8-at
Megoldás: Írjuk fel a haladás feltételeit a 8, a 10, a 12 sorozatba. Ugyanaz a lépés van köztük, keressük meg
a 12 = a 10 +2d;
2d = a 12 - a 10 =8-3,6 = 4,4.
Ugyanezt a módszert használva találunk egy 8-at
a 10 = a 8 +2d;
a 8 = a 10 -2d = 3,6-4,4 = -0,8.
Íme néhány egyszerű számítás.
Válasz: a 8 = -0,8.
19. példa Geometriai haladásban b 14 =8; b 16 =2. Számítsd ki a b 12-t.
Megoldás: A részletes magyarázatok kihagyásával írjuk a progresszió 14. és 16. tagjának szorzatát
b 14 *b 16 = (b 12) 2 .
Ez megegyezik a geometriai átlaggal. Miután megtaláltuk a kifejezések szorzatának gyökerét, megkapjuk a kívánt értéket
(b 12) 2 = 8*2=16; b 12 =4.
Válasz: b 12 =4.
20. példa A számtani folyamatban a 5 =3,4; a 11 =6,9. Számíts ki egy 17-et.
Megoldás: A progresszió 5,11 és 17 tagja között ugyanaz a lépés van, és egyenlő 6d-vel. Ezért a végleges megoldás formába írható
a 17 = a 11 +6d= a 11 +(a 11 - a 5)=2*6,9-3,4=10,4.
Szerintem érted, miért készült ez a bejegyzés. Ha nem, próbálja meg felírni az 5-ig való haladás 11. tagját, és elforgatni a 6d-t.
Válasz: a 17 = 10,4.
21. példa Számítsd ki a 3 geometriai progresszió 6. tagját; 12;... .
Megoldás: Keresse meg a progresszió nevezőjét
q=b2/b1=12/3=4.
Használjuk a geometriai progresszió tagjának általános képletét
b n = b 1 *q n-1.
Innen kapunk
b 6 = b 1 * q 5 = b 2 * q 4 .
Mint látható, a jelölésben az a lényeg, hogy az index (2) és a fokozat (4) összege megfeleljen a progressziós tag (6) sorszámának. Számítások elvégzése
b 6 = 12 * 4 4 = 12 * 256 = 3072.
Nagy számot kaptunk, de a geometriai progresszió annyiban különbözik, hogy tagjai vagy gyorsan nőnek, vagy eltűnnek.
Válasz: b 6 =3072.
22. példa Aritmetikai progresszióban a 3 =48; a 5 =42. Számíts ki egy 7-et.
Megoldás: Mivel a megadott és a kívánt tagok közötti progresszió különbsége egyenlő 2d-vel, akkor a progresszió 7. tagjának képlete így fog kinézni
a 7 = a 5 +2d = a 5 + (a 5 - a 3);
és 7 =2*42-48=36.
Válasz: a 7 =36.
Az aritmetikai progresszióval kapcsolatos problémák már az ókorban is léteztek. Megjelentek és megoldást követeltek, mert gyakorlati igényük volt.
Így az ókori Egyiptom egyik matematikai tartalmú papirusza, a Rhind papirusz (Kr. e. 19. század) a következő feladatot tartalmazza: osszon el tíz mérték kenyeret tíz ember között, feltéve, hogy ezek között a különbség egy nyolcad intézkedés."
Az ókori görögök matematikai munkáiban pedig elegáns tételek találhatók az aritmetikai progresszióval kapcsolatban. Így az alexandriai Hypsicles (2. század, aki sok érdekes problémát állított össze, és Euklidész elemeihez a tizennegyedik könyvet adta) így fogalmazta meg a gondolatot: „Páros számú tagú aritmetikai sorozatban a 2. fele tagjainak összege. nagyobb, mint a tagok számának 1/2 négyzetének 1. elemének összege."
A sorozatot an jelöli. A sorozat számait tagjainak nevezzük, és általában betűkkel jelölik, amelyek a tag sorozatszámát jelzik (a1, a2, a3 ... olvasható: „a 1.”, „a 2.”, „a 3.” stb ).
A sorozat lehet végtelen vagy véges.
Mi az aritmetikai progresszió? Ez alatt azt értjük, amelyet az előző (n) azonos d számú tag összeadásával kapunk, ami a progresszió különbsége.
Ha d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, akkor az ilyen előrehaladást növekvőnek tekintjük.
Egy aritmetikai sorozatot végesnek nevezünk, ha csak az első néhány tagját vesszük figyelembe. Nagyon sok taglétszám mellett ez már végtelen előrelépés.
Bármely aritmetikai progressziót a következő képlet határoz meg:
an =kn+b, míg b és k néhány szám.
Az ellenkező állítás teljesen igaz: ha egy sorozatot hasonló képlettel adunk meg, akkor az pontosan egy aritmetikai sorozat, amelynek a tulajdonságai vannak:
- A progresszió minden tagja az előző és a következő tag számtani átlaga.
- Fordítva: ha a 2.-tól kezdve minden tag az előző és a következő tag számtani középértéke, i.e. ha a feltétel teljesül, akkor ez a sorozat egy aritmetikai sorozat. Ez az egyenlőség a progresszió jele is, ezért szokás a progresszió jellegzetes tulajdonságának nevezni.
Ugyanígy igaz az a tétel, amely ezt a tulajdonságot tükrözi: egy sorozat csak akkor aritmetikai progresszió, ha ez az egyenlőség a sorozat bármely tagjára igaz, a 2.-tól kezdve.
Egy aritmetikai sorozat tetszőleges négy számának jellemző tulajdonsága kifejezhető az an + am = ak + al képlettel, ha n + m = k + l (m, n, k progressziós számok).
Egy aritmetikai progresszióban bármely szükséges (N-edik) tag megtalálható a következő képlettel:
Például: az első tag (a1) egy aritmetikai sorozatban adott és egyenlő hárommal, a különbség (d) pedig négy. Meg kell találnia ennek a folyamatnak a negyvenötödik tagját. a45 = 1+4(45-1)=177
Az an = ak + d(n - k) képlet lehetővé teszi egy aritmetikai sorozat n-edik tagjának meghatározását bármely k-edik tagján keresztül, feltéve, hogy ez ismert.
Az aritmetikai sorozat tagjainak összegét (ami egy véges haladás első n tagját jelenti) a következőképpen számítjuk ki:
Sn = (a1+an) n/2.
Ha az 1. tag is ismert, akkor egy másik képlet kényelmes a számításhoz:
Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.
Az n tagot tartalmazó aritmetikai progresszió összegét a következőképpen számítjuk ki:
A számítási képletek kiválasztása a feladatok körülményeitől és a kezdeti adatoktól függ.
Bármely szám természetes sorozata, például 1,2,3,...,n,..., a legegyszerűbb példa a számtani sorozatra.
A számtani haladás mellett létezik egy geometriai haladás is, amelynek megvannak a maga tulajdonságai és jellemzői.
Aritmetikai és geometriai progressziók
Elméleti információk
Elméleti információk
Aritmetikai progresszió |
Geometriai progresszió |
|
Meghatározás |
Aritmetikai progresszió a n olyan sorozat, amelyben minden egyes tag a másodiktól kezdve egyenlő az ugyanahhoz a számhoz hozzáadott előző taggal d (d- progresszió különbség) |
Geometriai progresszió b n nem nulla számok sorozata, amelyek minden tagja a másodiktól kezdve egyenlő az előző taggal, megszorozva ugyanazzal a számmal q (q- progresszió nevezője) |
Ismétlődési képlet |
Bármilyen természetes n |
Bármilyen természetes n |
Formula n-edik tag |
a n = a 1 + d (n – 1) |
b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0 |
| Jellegzetes tulajdonság |  |
|
| Az első n tag összege |  |
 |
Példák feladatokra megjegyzésekkel
1. Feladat
aritmetikai progresszióban ( a n) egy 1 = -6, a 2
Az n-edik tag képlete szerint:
a 22 = egy 1+ d (22 - 1) = egy 1+ 21 d
Feltétel szerint:
egy 1= -6, akkor a 22= -6 + 21 d.
Meg kell találni a progressziók különbségét:
d = a 2-1 = -8 – (-6) = -2
a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.
Válasz: a 22 = -48.
2. feladat
Keresse meg a geometriai progresszió ötödik tagját: -3; 6;...
1. módszer (az n-tag képlet használatával)
A geometriai progresszió n-edik tagjának képlete szerint:
b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.
Mert b 1 = -3,
2. módszer (ismétlődő képlet használatával)
Mivel a progresszió nevezője -2 (q = -2), akkor:
b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;
b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;
b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.
Válasz: b 5 = -48.
3. feladat
aritmetikai progresszióban ( a n ) a 74 = 34; egy 76= 156. Keresse meg ennek a progressziónak a hetvenötödik tagját!
Egy aritmetikai progresszió esetén a jellemző tulajdonságnak van alakja 
.
Ebből adódóan:
.
Helyettesítsük be az adatokat a képletbe:
Válasz: 95.
4. feladat
aritmetikai progresszióban ( a n ) a n= 3n - 4. Határozzuk meg az első tizenhét tag összegét!
Egy aritmetikai sorozat első n tagjának összegének meghatározásához két képletet használunk:
.
Melyikük kényelmesebb ebben az esetben?
Feltétel szerint az eredeti progresszió n-edik tagjának képlete ismert ( a n) a n= 3n - 4. Azonnal megtalálhatja és egy 1, És egy 16 anélkül, hogy megtalálná d. Ezért az első képletet fogjuk használni.
Válasz: 368.
5. feladat
aritmetikai progresszióban ( a n) egy 1 = -6; a 2= -8. Keresse meg a progresszió huszonkettedik tagját.
Az n-edik tag képlete szerint:
a 22 = a 1 + d (22 – 1) = egy 1+ 21d.
Feltétel szerint, ha egy 1= -6, akkor a 22= -6 + 21d. Meg kell találni a progressziók különbségét:
d = a 2-1 = -8 – (-6) = -2
a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.
Válasz: a 22 = -48.
6. feladat
A geometriai progresszió több egymást követő tagja van felírva:
Keresse meg az x-szel jelölt progresszió tagját.
Megoldáskor az n-edik tag képletét használjuk b n = b 1 ∙ q n - 1 geometriai progressziókhoz. A progresszió első tagja. A q progresszió nevezőjének megtalálásához vegyük a progresszió bármely megadott tagját, és el kell osztani az előzővel. Példánkban vehetünk és oszthatunk vele. Azt kapjuk, hogy q = 3. A képletben n helyett 3-at cserélünk be, mivel meg kell találni egy adott geometriai haladás harmadik tagját.
A talált értékeket behelyettesítve a képletbe, a következőt kapjuk:
.
Válasz: .
7. feladat
Az n-edik tag képletével megadott számtani progressziók közül válassza ki azt, amelyre a feltétel teljesül a 27 > 9:
Mivel az adott feltételnek teljesülnie kell a progresszió 27. tagjára, ezért mind a négy progresszióban n helyett 27-et cserélünk. A negyedik lépésben a következőket kapjuk:
.
Válasz: 4.
8. feladat
Számtani haladásban egy 1= 3, d = -1,5. Adja meg n legnagyobb értékét, amelyre az egyenlőtlenség érvényes a n > -6.
Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete