Lemma. Ha két valós szám négyzetösszege egyenlő eggyel, akkor az egyik szám koszinusznak, a másik pedig valamilyen szög szinuszának tekinthető.

Más szóval, ha A 2 + b 2 = 1 , akkor van egy szög φ , oly módon, hogy

A = cosφ; b= sinφ.

Mielőtt bizonyítanánk ezt a lemmát, illusztráljuk a következő példával:

$$ (\frac(\sqrt3)(2))^2 + (\frac(1)(2)) = \frac(3)(4) + \frac(1)(4) = 1 $$

Ezért van egy szög φ , így \(\frac(\sqrt3)(2) \) = cos φ ; 1/2 = bűn φ .

Mint φ ebben az esetben a 30°, 30° ± 360°, 30° ± 2 360° stb. szögek bármelyikét kiválaszthatja.

A lemma bizonyítéka:

Tekintsünk egy vektort \(\vec(0A)\) koordinátákkal ( a, b ). Mert a A 2 + b 2 = 1 , ennek a vektornak a hossza 1. De ebben az esetben a koordinátáinak egyenlőnek kell lenniük kötözősaláta φ És sinφ, Ahol φ - az a szög, amelyet egy adott vektor az abszcissza tengellyel bezár.

Így, A = cosφ; b=sinφ, amit bizonyítani kellett.

A bevált lemma lehetővé teszi a kifejezés átalakítását a sin x + b cos x tanulás számára kényelmesebb formába.

Először is vegyük ki a \(\sqrt(a^2 + b^2)\) kifejezést a zárójelekből

$$ a sinx + b cosx = \sqrt(a^2 + b^2)(\frac(a)(\sqrt(a^2 + b^2))sinx + \frac(b)(\sqrt(a) ^2 + b^2))cosx) $$

Mert a

$$ (\frac(a)(\sqrt(a^2 + b^2)))^2 + (\frac(b)(\sqrt(a^2 + b^2)))^2 = 1 $ $

az első a \(\frac(a)(\sqrt(a^2 + b^2)) \) és \(\frac(b)(\sqrt(a^2 + b^2)) \) valamely szög koszinuszának tekinthető φ , a második pedig ugyanazon szög szinuszaként φ :

$$ \frac(a)(\sqrt(a^2 + b^2)) = cos\phi, \;\; \frac(b)(\sqrt(a^2 + b^2)) = sin\phi $$

De abban az esetben

a sin x + b cos x = \(\sqrt(a^2 + b^2)\)(cos φ sin x + sin φ cos x) = \(\sqrt(a^2 + b^2)\) sin (x + φ )

a sin x + b cos x = \(\sqrt(a^2 + b^2)\) sin (x + φ), ahol a φ szöget a feltételekből határozzuk meg

$$ sin\phi = \frac(b)(\sqrt(a^2 + b^2)) \;\; cos\phi = \frac(a)(\sqrt(a^2 + b^2)) $$

Példák.

1) \(sin x + cos x = \sqrt2 (\frac(1)(\sqrt2) sin x + \frac(1)(\sqrt2)cos x) = \sqrt2 (cos\frac(\pi)(4 )sin x + sin\frac(\pi)(4)cos x) =\\= \sqrt2(sinx + \frac(\pi)(4)) \)

A kapott képlet bűn x+cos x= \(\sqrt2(sinx + \frac(\pi)(4))\) hasznos megjegyezni.

2) Ha az egyik szám A És b pozitív és a másik negatív, majd a kifejezés
a sin x + b cos x Kényelmesebb nem az összeg szinuszára konvertálni, hanem két szög különbségének szinuszára. Így,

$$ 3sinx - 4cosx = \sqrt(9+16)(\frac(3)(\sqrt(9+16))sinx - \frac(4)(\sqrt(9+16))cosx) =\\= 5(sinx\cdot\frac(3)(5) - cosx\cdot\frac(4)(5)) = 5sin(x - \phi), $$

hol alatt φ bármely olyan szöget érthetünk, amely megfelel a következő feltételeknek:

kötözősaláta φ = 3/5, bűn φ = 4 / 5

Különösen lehet tenni φ = arctán 4/3. Akkor kapjuk:

3 sin x - 4 cos x = 5 sin (x - arctan 4/3).

Képlet egy további (segéd) argumentumhoz

Tekintsük az űrlap egy kifejezését

amelyben a és a számok egyszerre nem egyenlők nullával. Szorozzuk meg és osszuk el az egyes tagokat, és vegyük ki a közös tényezőt a zárójelekből:

Ezt könnyű ellenőrizni

ami azt jelenti, hogy a 2. Tétel szerint létezik olyan valós szög

Így az összegképlet szinuszát felhasználva azt kapjuk

ahol az olyan szöget, mint a és a segédargumentum-formula, és inhomogén lineáris egyenletek és egyenlőtlenségek megoldására használják.

Inverz trigonometrikus függvények

Definíciók

Eddig megoldottuk az adott szögek trigonometrikus függvényeinek meghatározását. De mi van, ha a probléma az ellenkezője: bármely trigonometrikus függvény ismeretében határozza meg a megfelelő szöget.

arcszinusz

Tekintsük azt a kifejezést, ahol ismert valós szám. Definíció szerint a szinusz az abszcissza tengellyel és a trigonometrikus körrel szöget bezáró sugár metszéspontjának ordinátája. Így az egyenlet megoldásához meg kell találni egy egyenes és egy trigonometrikus kör metszéspontját.

Nyilvánvaló, hogy -nél az egyenesnek és a körnek nincs közös pontja, ezért az egyenletnek nincs megoldása. Vagyis lehetetlen olyan szöget találni, amelynek szinusza abszolút értékben nagyobb lenne 1-nél.

Amikor egy egyenesnek és egy körnek van metszéspontja, például és (lásd az ábrát). Így minden szögnek, amelyik egész számú teljes fordulatszámmal különbözik tőlük, adott szinusza lesz, pl. , - végtelen számú szög. Hogyan válasszunk egy szöget e végtelen sokféleség közül?

A számnak megfelelő szög egyedi meghatározásához egy további feltétel teljesítését kell megkövetelni: ennek a szögnek a szakaszhoz kell tartoznia. Ezt a szöget a szám arcszinuszának nevezzük. szög trigonometrikus függvény azonossága

arcszinusz a valós szám olyan valós szám, amelynek szinusza egyenlő. Ez a szám van kijelölve.

ív koszinusz

Tekintsük most a forma egyenletét. Megoldásához meg kell találni a trigonometrikus kör összes pontját, amelynek van abszcissza, azaz. metszéspontok egy egyenessel. Az előző esethez hasonlóan a vizsgált egyenletnek nincsenek megoldásai. És ha vannak egy egyenesnek és egy körnek végtelen számú szögnek megfelelő metszéspontja, .

Az adott koszinusznak megfelelő szög egyedi meghatározásához egy további feltételt vezetünk be: ennek a szögnek a szakaszhoz kell tartoznia; az ilyen szöget a szám ív koszinuszának nevezzük.

ív koszinusz A valós szám olyan valós szám, amelynek koszinusza egyenlő. Ez a szám van kijelölve.

Arctangens és arccotangens

Nézzük a kifejezést. Megoldásához meg kell találni a körön az összes metszéspontot az egyenessel, amelynek szögegyütthatója megegyezik az egyenes dőlésszögének az abszcissza tengely pozitív irányához viszonyított érintőjével. Egy ilyen egyenes minden valós érték esetén két pontban metszi a trigonometrikus kört. Ezek a pontok szimmetrikusak az origóra és megfelelnek a szögeknek, .

Egy adott érintővel rendelkező szög egyértelmű meghatározásához az intervallumból kell kiválasztani.

Arktangens Tetszőleges valós szám olyan valós szám, amelynek érintője egyenlő. Ez a szám van kijelölve.

Egy szög arctangensének meghatározásához hasonló érvelést használnak, azzal a különbséggel, hogy a körnek az egyenessel való metszéspontját veszik figyelembe, és a szöget az intervallumból választják ki.

Arccotangens Tetszőleges valós szám olyan valós szám, amelynek kotangense egyenlő. Ez a szám van kijelölve.

Inverz trigonometrikus függvények tulajdonságai

Domain és Domain

Páros Páratlan

Inverz trigonometrikus függvények konvertálása

Az inverz trigonometrikus függvényeket tartalmazó kifejezések átalakításához gyakran a függvények definíciójából következő tulajdonságokat használjuk:

Bármilyen valós számra vonatkozik

és fordítva:

Hasonlóképpen bármely valós számra vonatkozik

és fordítva:

Trigonometrikus és inverz trigonometrikus függvények grafikonjai

Trigonometrikus függvények grafikonjai

Kezdjük azzal, hogy egy függvény grafikonját ábrázoljuk egy szakaszon. Ehhez a szinusz definícióját fogjuk használni egy trigonometrikus körön. Osszuk fel a trigonometrikus kört (jelen esetben 16) egyenlő részre, és helyezzünk el a közelébe egy koordinátarendszert, ahol a tengelyen lévő szakaszt is egyenlő részekre osztjuk. Ha a kör elválasztó pontjain keresztül a tengellyel párhuzamos egyeneseket húzunk, ezeknek az egyeneseknek a metszéspontjában a tengely megfelelő osztópontjaiból visszaállított merőlegesekkel, olyan pontokat kapunk, amelyek koordinátái definíció szerint megegyeznek a kör szinuszaival. a megfelelő szögeket. Ezeken a pontokon sima görbét rajzolva megkapjuk a függvény grafikonját. Egy függvény grafikonjának elkészítéséhez a teljes számegyenesen használja a szinusz periodicitását: , .

A függvény grafikonjának elkészítéséhez a redukciós képletet használjuk. Így egy függvény grafikonját egy függvény grafikonjából egy hosszúságú szegmenssel balra történő párhuzamos fordítással kapjuk meg.

A trigonometrikus függvények grafikonjainak használata egy másik egyszerű módot kínál a redukciós képletek előállítására. Nézzünk néhány példát.

Egyszerűsítsük a kifejezést. A tengelyen jelöljük a szöget, és jelöljük a szinuszát és a koszinuszát rendre, ill. Keressük meg a tengelyen a szöget, és állítsuk vissza a szinuszgrafikonnal való metszéspontra merőlegeset. Az ábrán jól látszik, hogy.

Feladat: egyszerűsítsd a kifejezést.

Térjünk át a függvény grafikonjának megszerkesztésére. Először is ne feledje, hogy egy szög esetében az érintő a szakasz hossza AB. A szinuszgráf megszerkesztésével, a jobb oldali félkör egyenlő részekre osztásával és a kapott érintőértékek ábrázolásával az ábrán látható grafikont kapjuk. Más értékek esetén a grafikont a tangens periodicitás tulajdonság használatával kapjuk meg.

A grafikonon a pontozott vonalak az aszimptotákat jelölik. Aszimptota a görbe olyan egyenes, amelyhez a görbe a kívánt közelébe közelít, amikor a végtelenbe mozog, de nem metszi azt.

Érintő esetén az aszimptoták egyenesek, amelyek megjelenése ezeken a pontokon a nullává való konverzióhoz kapcsolódik.

Hasonló okfejtéssel kapjuk meg a függvény grafikonját. Számára az aszimptoták egyenesek, . Ezt a grafikont a redukciós képlet segítségével is megkaphatjuk, pl. a szimmetria átalakítása a tengely körül és eltolás jobbra.

A trigonometrikus függvények tulajdonságai

Inverz trigonometrikus függvények grafikonjai

Először bemutatjuk az inverz függvény fogalmát.

Ha egy függvény monoton növekszik vagy csökken, akkor létezik inverz függvény. Az inverz függvény grafikonjának elkészítéséhez a gráfot szimmetria-transzformációnak kell alávetni az egyeneshez képest. Az ábrákon egy példa látható az inverz függvény grafikonjának előállítására.

Mivel az arcszinusz, arccosinusz, arctangens és arckotangens függvények a szinusz, koszinusz, tangens és kotangens függvények inverzei, grafikonjaikat a fent leírt transzformációval kapjuk. Az ábrákon az eredeti függvények grafikonjai árnyékoltak.

A fenti ábrákból kitűnik az inverz trigonometrikus függvények egyik fő tulajdonsága: az azonos számú társfüggvények összege adja.

Tantárgy:"Módszerek trigonometrikus egyenletek megoldására."

Az óra céljai:

nevelési:

Készségek fejlesztése a trigonometrikus egyenletek típusai közötti különbségtételre;

A trigonometrikus egyenletek megoldási módszereinek elmélyítése;

nevelési:

Az oktatási folyamat iránti kognitív érdeklődés ápolása;

Adott feladat elemzési képességének kialakítása;

fejlesztés:

Fejleszteni azt a képességet, hogy elemezzen egy helyzetet, majd válassza ki a legracionálisabb kiutat abból.

Felszerelés: poszter alapvető trigonometrikus képletekkel, számítógép, projektor, képernyő.

Kezdjük a leckét azzal, hogy megismételjük bármely egyenlet megoldásának alapvető technikáját: redukáljuk szabványos formára. Transzformációk révén a lineáris egyenletek ax = b, a másodfokú egyenletek a következőre redukálódnak fejsze 2 +bx +c =0. A trigonometrikus egyenletek esetében ezeket a legegyszerűbbre kell redukálni, a következő formájúra: sinx = a, cosx = a, tgx = a, ami könnyen megoldható.

Ehhez természetesen mindenekelőtt a poszteren szereplő alapvető trigonometrikus képleteket kell használni: összeadási képleteket, kettős szögképleteket, csökkentve az egyenlet többszörösét. Már tudjuk, hogyan kell megoldani az ilyen egyenleteket. Ismételjünk meg néhányat közülük:

Ugyanakkor vannak olyan egyenletek, amelyek megoldásához néhány speciális technika ismerete szükséges.

Leckénk témája ezen technikák átgondolása és a trigonometrikus egyenletek megoldási módszereinek rendszerezése.

Trigonometrikus egyenletek megoldási módszerei.

1. Konvertálás másodfokú egyenletté valamilyen trigonometrikus függvény alapján, amelyet változó változás követ.

Nézzük meg a felsorolt ​​módszerek mindegyikét példákkal, de térjünk ki részletesebben az utolsó kettőre, mivel az első kettőt már használtuk az egyenletek megoldása során.

1. Konvertálás másodfokú egyenletté valamilyen trigonometrikus függvény alapján.

2. Egyenletek megoldása faktorizációs módszerrel.

3. Homogén egyenletek megoldása.

Az első és második fokú homogén egyenletek a következő alakú egyenletek:

rendre (a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0).

Homogén egyenletek megoldásánál az egyenlettag mindkét oldalát ossza el cosx-al az (1) egyenlethez és cos-szal 2 x-hez a (2) egyenlethez. Ez a felosztás azért lehetséges, mert a sinx és a cosx nem egyenlő nullával egyszerre - különböző pontokon nullává válnak. Nézzünk példákat az első és második fokú homogén egyenletek megoldására.

Emlékezzünk erre az egyenletre: a következő módszer – egy segédérv bevezetése – mérlegelésekor oldjuk meg más módon.

4. Segédérv bevezetése.

Tekintsük az előző módszerrel már megoldott egyenletet:

Mint látható, ugyanazt az eredményt kapjuk.

Nézzünk egy másik példát:

A vizsgált példákban általában világos volt, hogy az eredeti egyenletet mivel kell felosztani egy segédérv bevezetéséhez. De előfordulhat, hogy nem egyértelmű, hogy melyik osztót válasszuk. Erre van egy speciális technika, amelyet most általánosságban fogunk megvizsgálni. Legyen adott az egyenlet:

Elosztjuk az egyenletet a (3) kifejezés négyzetgyökével, így kapjuk:

asinx + bcosx = c ,

akkor a 2 + b 2 = 1 és ezért a = sinx és b = cosx. A differenciális koszinusz képlet segítségével megkapjuk a legegyszerűbb trigonometrikus egyenletet:

ami könnyen megoldható.

Oldjunk meg még egy egyenletet:

Csökkentsük az egyenletet egy argumentumra - 2 x a kettős szög és a redukciós képlet segítségével:

Az előző egyenletekhez hasonlóan, az összegképlet szinuszát használva a következőket kapjuk:

ami szintén könnyen megoldható.

Döntse el Ön, miután korábban meghatározta a megoldási módot:

Az óra eredménye a megoldás ellenőrzése és a tanulók értékelése.

Házi feladat: 11. bekezdés, jegyzetek, 164. sz. b, d, 167. b, d, 169. a, b, 174. a, c.

Az elemi trigonometrikus egyenletek olyan alakú egyenletek, ahol --- az egyik trigonometrikus függvény: , .

Az elemi trigonometrikus egyenleteknek végtelen sok gyöke van. Például a következő értékek kielégítik az egyenletet: stb. Az általános képlet, amellyel az egyenlet összes gyökere megtalálható, ahol:

Itt bármilyen egész értéket vehet fel, mindegyik az egyenlet egy adott gyökének felel meg; ebben a képletben (valamint más képletekben, amelyekkel elemi trigonometrikus egyenleteket oldanak meg) ún. paraméter. Általában azért írják őket, hogy hangsúlyozzák, hogy a paraméter bármilyen egész értéket elfogadhat.

A hol egyenlet megoldásait a képlet találja meg

Az egyenletet a képlet segítségével oldjuk meg

és az egyenlet a képlet szerint

Külön említsük meg az elemi trigonometrikus egyenletek néhány speciális esetét, amikor a megoldás általános képletek használata nélkül is felírható:

A trigonometrikus egyenletek megoldásánál fontos szerepet játszik a trigonometrikus függvények periódusa. Ezért két hasznos tételt mutatunk be:

Tétel Ha --- a függvény főperiódusa, akkor a szám a függvény főperiódusa.

A és függvények periódusait összemérhetőnek mondjuk, ha vannak természetes számok és az.

Tétel Ha a és periódusos függvényeknek összemérhető és van, akkor van közös periódusuk, ami a függvények periódusa, .

A tétel kimondja, hogy mi a függvény periódusa, és nem feltétlenül a főperiódus. Például a függvények és --- főperiódusa, illetve termékük főperiódusa --- .

Egy segédérv bemutatása

A formakifejezések átalakításának standard módja a következő technika: legyen --- az egyenlőségekkel megadott szög, . Bármelyiknél létezik ilyen szög. És így. Ha, vagy más esetekben.

Séma trigonometrikus egyenletek megoldására

A trigonometrikus egyenletek megoldása során követendő alapséma a következő:

adott egyenlet megoldása elemi egyenletek megoldására redukálódik. A megoldás jelentése: transzformációk, faktorizálás, ismeretlenek helyettesítése. A vezérelv az, hogy ne veszítsd el a gyökereidet. Ez azt jelenti, hogy amikor a következő egyenlet(ek)re lépünk, nem félünk a plusz (idegen) gyökök megjelenésétől, hanem csak arra ügyelünk, hogy „láncunk” (elágazás esetén egyenlethalmaz) minden további egyenlete ) az előző következménye. A gyökerek kiválasztásának egyik lehetséges módja a tesztelés. Rögtön megjegyezzük, hogy a trigonometrikus egyenletek esetében a gyökök kiválasztásával és az ellenőrzéssel járó nehézségek általában erősen megnövekednek az algebrai egyenletekhez képest. Hiszen végtelen számú tagból álló sorozatokat kell ellenőriznünk.

Külön ki kell emelni a trigonometrikus egyenletek megoldásánál az ismeretlenek helyettesítését. A legtöbb esetben a szükséges behelyettesítés után algebrai egyenletet kapunk. Az egyenletek ráadásul nem is olyan ritkák, hogy bár megjelenésükben trigonometrikusak, lényegében nem azok, hiszen az első lépés – a változók megváltoztatása – után algebraivá alakulnak át, és a trigonometriához való visszatérés csak az elemi megoldási szakasz után következik be. trigonometrikus egyenletek.

Emlékeztessünk még egyszer: az ismeretlen pótlását az első adandó alkalommal meg kell tenni a pótlás után kapott egyenletet a végsőkig, beleértve a gyökök kiválasztásának szakaszát is, és csak ezután térjünk vissza az eredeti ismeretlenhez.

A trigonometrikus egyenletek egyik jellemzője, hogy a válasz sok esetben többféleképpen is felírható. Még az egyenlet megoldásához is a következőképpen írható fel a válasz:

1) két sorozat formájában: , ;

2) szabványos formában, amely a fenti sorozatok kombinációja: , ;

3) mivel a válasz a következő alakban írható fel. (A jövőben egy paraméter jelenléte, vagy egy válaszrekordban automatikusan azt jelenti, hogy ez a paraméter az összes lehetséges egész értéket elfogadja. A kivételek megadásra kerülnek.)

Nyilvánvalóan a felsorolt ​​három eset nem meríti ki az összes lehetőséget a vizsgált egyenletre adott válasz megírására (végtelenül sok van).

Például amikor az egyenlőség igaz. Ezért az első két esetben, ha, helyettesíthetjük ezzel.

A választ általában a 2. pont alapján írjuk. Hasznos megjegyezni a következő ajánlást: ha a munka nem ér véget az egyenlet megoldásával, akkor is szükséges a kutatás és a gyökér kiválasztása, akkor a rögzítés legkényelmesebb formája. pontban van feltüntetve. (Hasonló ajánlást kell adni az egyenlethez is.)

Nézzünk egy példát, amely illusztrálja az elhangzottakat.

Példa Oldja meg az egyenletet.

Megoldás. A legkézenfekvőbb módszer a következő. Ez az egyenlet két részre oszlik: és. Mindegyiket megoldva és a kapott válaszokat kombinálva megtaláljuk.

Egy másik módja. Azóta a fokozatcsökkentési képletek cseréje és használata. Kisebb átalakítások után eljutunk hova.

Első pillantásra a második képletnek nincs különösebb előnye az elsőhöz képest. Ha azonban vesszük például, akkor kiderül, hogy i.e. az egyenletnek van megoldása, míg az első módszer elvezet minket a válaszhoz. Az egyenlőséget „látni” és bizonyítani nem olyan egyszerű.

Óraösszefoglaló a 10-11

1. téma : Segédérv bevezetésének módja. Képletek származtatása.

Célok:

Olyan trigonometriai feladatok megoldására szolgáló új módszer ismereteinek kialakítása, amelyekben annak alkalmazása lehetséges vagy szükséges;

Készségek kialakítása a problémakörülmények elemzésére, a különbségek összehasonlítására és megtalálására;

A gondolkodás fejlesztése, az állítások logikája és érvényessége, a következtetés és az általánosítás képessége;

A beszéd fejlesztése, a szókincs gazdagítása és bonyolítása, a nyelv kifejező tulajdonságainak a tanulók általi elsajátítása;

A tantárgyhoz való viszonyulás kialakítása, a tudás iránti szenvedély, a feltételek megteremtése az ismeretszerzés kreatív, nem szabványos megközelítéséhez.

Szükséges ismeretek, készségek és képességek:

Legyen képes trigonometrikus képletek levezetésére és további munkáiban való felhasználására;

Képes legyen trigonometrikus problémák megoldására, vagy legyen elképzelése a trigonometrikus problémák megoldásáról;

Ismerje az alapvető trigonometrikus képleteket.

A tanulók felkészültsége a tudatos észlelésre:

Felszerelés: AWS, prezentáció feladatfeltételekkel, megoldásokkal és szükséges képletekkel, kártyák feladatokkal és válaszokkal.

Az óra felépítése:

1. Az óra céljának meghatározása (2

Felkészülés új anyag tanulmányozására (12 perc).

Új anyag bemutatása (15 perc).

A tanultak kezdeti megértése és alkalmazása (10 perc).

Házi feladat elkészítése (3 perc).

A lecke összegzése (3 perc).

Az órák alatt.

1. Az óra céljának kitűzése.

Ellenőrizze a tanulók és a felszerelések felkészültségét az órára. Célszerű előre elkészíteni a házi feladatot a táblán, hogy megbeszéljük a megoldást. Vegye figyelembe, hogy az óra célja néhány trigonometriai feladat megoldási módszereivel kapcsolatos ismeretek bővítése és ezek elsajátítása.

2. Felkészülés az új anyag tanulmányozására.

Beszélje meg a házi feladatot: emlékezzen az alapvető trigonometrikus képletekre, a trigonometrikus függvények értékeire az egyszerű érvekhez. Ismételje meg a házi feladat megfogalmazását!

Képletek:

; ;

; ;

Feladat: Tekintsd a kifejezést terméknek.

A hallgatók valószínűleg a következő megoldást találják ki:

Mert ismerik a trigonometrikus függvények összegének szorzattá alakításának képleteit.

Javasoljunk egy másik megoldást a problémára: . Itt a megoldás a koszinusz képletet használja két argumentum különbségére, ahol az segédérték. Megjegyzendő, hogy ezen módszerek mindegyikében más hasonló képletek is használhatók.

3. Új anyaggal való ismerkedés.

Felmerül a kérdés, honnan jött a segédérv?

Hogy erre választ kapjunk, tekintsük a probléma általános megoldását, alakítsuk át a kifejezést szorzattá, ahol és tetszőleges nem nulla számok.

vezessünk be egy további szöget (segéd argumentum), ahol , akkor a kifejezésünk a következő alakot ölti:

Így a következő képletet kaptuk: .

Ha beírjuk a szöget a , képletekkel, akkor a kifejezés a következő alakot veszi fel, és a képlet egy másik alakját kapjuk: .

Levezettünk kiegészítő szögképleteket, amelyeket segédargumentum-képleteknek nevezünk:

A képletek eltérő formájúak lehetnek (erre különös figyelmet kell fordítani, és példákkal kell bemutatni).

Vegye figyelembe, hogy a legegyszerűbb esetekben a segédargumentum bevezetésének módja a számok cseréjére esik le; ; ; ; 1; a megfelelő szögek trigonometrikus függvényei.

4. A tanultak kezdeti megértése és alkalmazása .

Az anyag megszilárdítása érdekében javasoljuk, hogy vegyen figyelembe néhány további példafeladatot:

Képzelje el ezt a kifejezés eredményeként:

A 3. és 4. feladatokat célszerű átnézni az órán (a feladatok elemzését az órai anyagok tartalmazzák). Az 1., 2. és 5. feladat önálló megoldásra vehető (a válaszok megadva).

A tipikus feladatok körülményeinek jellemzőinek elemzésére, amelyekben a szóban forgó megoldási módszer alkalmazható, különféle módszerek alkalmazhatók. Vegye figyelembe, hogy az 1. feladat többféleképpen is végrehajtható, és a 2-5. feladatok elvégzéséhez kényelmesebb a segédszög bevezetésének módszere.

Személyes beszélgetés során meg kell beszélni, hogy ezek a feladatok és az óra elején tárgyalt példa milyen hasonlóságokat mutat, mik a különbségek, ezek megoldására használható-e a javasolt módszer, és miért kényelmesebb a használata .

Hasonlóság: az összes javasolt példában használható a segédérv bevezetésének módszere, és ez egy kényelmesebb módszer, amely közvetlenül az eredményhez vezet.

Különbség: az első példában más megközelítést is használhatunk, de az összes többiben nem egy, hanem több képlet felhasználásával lehet segédargumentumot használni.

A feladatok megbeszélése után felkérheted a gyerekeket, hogy otthon oldják meg a megmaradtakat.

5. Házi feladat beállítása.

Otthon arra biztatjuk, hogy alaposan tanulmányozza át a jegyzeteket, és próbálja meg megoldani a következő gyakorlatokat.