A szórás mutatja az eredményt. Szórás számítása Microsoft Excelben

Anyag a Wikipédiából - a szabad enciklopédiából

Szórás(szinonimák: szórás, szórás, négyzetes eltérés; kapcsolódó kifejezések: szórás, standard spread) - a valószínűségszámításban és a statisztikában egy valószínűségi változó értékeinek a matematikai elvárásaihoz viszonyított szóródásának leggyakoribb mutatója. Az értékek korlátozott tömbjeinél a matematikai elvárás helyett a mintakészlet számtani átlagát használjuk.

Alapinformációk

A szórást magának a valószínűségi változónak egységeiben mérjük, és a számtani átlag standard hibájának számításakor, konfidenciaintervallumok felépítésénél, hipotézisek statisztikai tesztelésekor, a valószínűségi változók közötti lineáris kapcsolat mérésénél használjuk. Egy valószínűségi változó varianciájának négyzetgyöke.

Szórás:

$\backslash sigma=\backslash sqrt(\backslash frac(1)(n)\backslash sum\_(i=1)^n\backslash left(x\_i-\backslash bar(x)\backslash right)^2).$

Szórás(egy valószínűségi változó szórásának becslése x a variancia elfogulatlan becslésén alapuló matematikai várakozásához képest) $s$:

$s=\backslash sqrt(\backslash frac(n)(n-1)\backslash sigma^2)=\backslash sqrt(\backslash frac(1)(n-1)\backslash sum\_(i=1)^n\backslash left(x\_i-\backslash bar\; (x)\backslash jobbra)^2);$

Három szigma szabály

Három szigma szabály ($3\backslash sigma$) - egy normális eloszlású valószínűségi változó szinte minden értéke az intervallumban található $\backslash left(\backslash bar(x)-3\backslash sigma;\backslash bar(x)+3\backslash sigma\backslash right)$. Pontosabban: körülbelül 0,9973 valószínűséggel egy normális eloszlású valószínűségi változó értéke a megadott intervallumban található (feltéve, hogy az érték $\backslash bar(x)$ igaz, és nem a mintafeldolgozás eredményeként került elő).

Ha a valódi érték $\backslash bar(x)$ ismeretlen, akkor ne használja $\backslash sigma$, A s. Így a három szigma szabálya átalakul három szigma szabályává s .

A szórásérték értelmezése

A nagyobb szórásérték nagyobb értékek szórását mutatja a bemutatott halmazban a halmaz átlagértékével; egy kisebb érték ennek megfelelően azt mutatja, hogy a halmazban lévő értékek az átlagérték köré csoportosulnak.

Például három számkészletünk van: (0, 0, 14, 14), (0, 6, 8, 14) és (6, 6, 8, 8). Mindhárom halmaz átlagértéke 7, a szórása pedig 7, 5 és 1. Az utolsó halmaznak kicsi a szórása, mivel a halmazban lévő értékek az átlagérték köré csoportosulnak; az első készlet rendelkezik a legnagyobb szórással - a készleten belüli értékek nagymértékben eltérnek az átlagos értéktől.

Általános értelemben a szórást a bizonytalanság mértékének tekinthetjük. Például a fizikában a szórással határozzák meg valamilyen mennyiség egymást követő méréseinek sorozatának hibáját. Ez az érték nagyon fontos a vizsgált jelenség valószínûségének meghatározásához az elmélet által megjósolt értékhez képest: ha a mérések átlagértéke nagymértékben eltér az elmélet által megjósolt értékektõl (nagy szórás), akkor a kapott értékeket vagy azok megszerzésének módját újra kell ellenőrizni.

Gyakorlati használat

A gyakorlatban a szórás lehetővé teszi annak becslését, hogy egy halmaz értékei mennyiben térhetnek el az átlagos értéktől.

Gazdaság és pénzügy

A portfólió hozamának szórása $\backslash sigma\; =\backslash sqrt(D[X])$ portfóliókockázattal azonosítják.

Éghajlat

Tegyük fel, hogy két város azonos átlagos napi maximumhőmérsékletű, de az egyik a tengerparton, a másik a síkságon található. Ismeretes, hogy a tengerparton található városokban sok különböző maximális nappali hőmérséklet van, amelyek alacsonyabbak, mint a szárazföldön található városok. Ezért a maximális napi hőmérséklet szórása egy tengerparti város esetében kisebb lesz, mint a második városé, annak ellenére, hogy ennek az értéknek az átlagértéke megegyezik, ami a gyakorlatban azt jelenti, hogy annak valószínűsége, hogy a maximális levegő hőmérséklet az év bármely adott napja magasabb lesz az átlagos értéktől, magasabb egy belterületen található város esetében.

Sport

Tételezzük fel, hogy több olyan futballcsapat is van, amelyet bizonyos paraméterek alapján minősítenek, például a szerzett és kapott gólok száma, a gólhelyzetek stb. több paraméteren. Minél kisebb a csapat szórása az egyes bemutatott paramétereknél, annál kiszámíthatóbb a csapat eredménye; Másrészt egy nagy szórással rendelkező csapatnak nehéz megjósolni az eredményt, ami viszont az egyensúlytalansággal magyarázható, például erős védekezés, de gyenge támadás.

A csapatparaméterek szórása lehetővé teszi, hogy bizonyos fokig előre jelezzük két csapat mérkőzésének eredményét, felmérve a csapatok erősségeit és gyengeségeit, így a választott harci módszereket.

Lásd még

Írjon véleményt a "Gyök átlagos négyzetes eltérés" című cikkről

Irodalom

• Borovikov V. STATISTIKA. Az adatelemzés művészete számítógépen: Szakembereknek / V. Borovikov. - Szentpétervár. : Péter, 2003. - 688 p. - ISBN 5-272-00078-1..

Statisztikai mutatók Leíró statisztika Statisztikai kimenet és vizsgálat hipotéziseket Összesített értékelés Összefüggés és regresszió Grafikus mód

A szórást jellemző részlet

És gyorsan kinyitva az ajtót, határozott léptekkel kilépett az erkélyre. A beszélgetés hirtelen abbamaradt, levették a kalapot és a sapkát, és minden szem a grófra szegeződött, aki kijött.
- Helló srácok! - mondta a gróf gyorsan és hangosan. - Köszönöm, hogy eljöttek. Most kijövök hozzád, de mindenekelőtt a gazemberrel kell foglalkoznunk. Meg kell büntetnünk azt a gonosztevőt, aki megölte Moszkvát. Várj meg! – És a gróf ugyanolyan gyorsan visszatért a szobájába, és határozottan becsapta az ajtót.
Az élvezet moraja futott át a tömegen. „Ez azt jelenti, hogy ő irányítani fogja az összes gonosztevőt! És azt mondod, hogy franciául... ő megadja a teljes távolságot! - mondták az emberek, mintha szemrehányást tennének egymásnak hitetlenségük miatt.
Néhány perccel később egy tiszt sietve kilépett a bejárati ajtón, parancsolt valamit, és a dragonyosok felálltak. Az erkélyről érkező tömeg lelkesen indult a tornác felé. Rostopchin dühös, gyors léptekkel kisétált a verandára, és sietve körülnézett, mintha keresne valakit.
- Hol van? - mondta a gróf, és ugyanabban a percben, amikor ezt kimondta, meglátott a ház sarka mögül két dragonyos között kijönni egy hosszú vékony nyakú, félig leborotvált, benőtt fejű fiatalembert. Ez a fiatalember egykor díszes, kék ruhával borított, kopott róka báránybőr kabátot és piszkos fogolyháremnadrágot viselt, tisztítatlan, kopott vékony csizmába tömve. Vékony, gyenge lábain a bilincsek erősen lógtak, megnehezítve a fiatalember tétova járását.
- A! - mondta Rastopchin, sietve elfordítva a tekintetét a rókabőrkabátos fiatalemberről, és a veranda alsó lépcsőjére mutatott. - Tedd ide! „A fiatal férfi béklyóit csapkodva, nehézkesen rálépett a jelzett lépcsőfokra, báránybőr kabátja nyomógallérját ujjával fogva, hosszú nyakát kétszer elfordította, és sóhajtva összefonta vékony, nem működő kezét a gyomra előtt. alázatos mozdulattal.
A csend néhány másodpercig tartott, míg a fiatalember felállt a lépcsőn. Csak a leghátsó, egy helyre szorító emberek soraiban hallatszott a nyögések, a nyögések, a remegés és a mozgó lábak csavargása.
Rastopchin arra várva, hogy megálljon a jelzett helyen, összeráncolta a homlokát, és kezével megdörzsölte az arcát.
- Srácok! - mondta Rasztopcsin fémesen csengő hangon - ez az ember, Verescsagin, ugyanaz a gazember, akitől Moszkva elpusztult.
Egy róka báránybőr kabátot viselő fiatalember alázatos pózban állt, összekulcsolta a kezét a hasa előtt, és kissé meghajolt. Lesoványodott, reménytelen arckifejezésű fiatal arca, amelyet borotvált fej csúfított el, lesütött. A gróf első szavaira lassan felemelte a fejét, és lenézett a grófra, mintha mondani akarna neki valamit, vagy legalább a tekintetével találkozni. De Rastopchin nem nézett rá. A fiatal férfi hosszú vékony nyakán, mint egy kötél, a fül mögötti ér megfeszült és kék lett, az arca pedig hirtelen vörös lett.
Minden szem rá szegeződött. A tömegre nézett, és mintha az emberek arcáról olvasott arckifejezéstől felbátorodna, szomorúan és félénken mosolygott, és ismét lehajtotta a fejét, és megigazította a lábát a lépcsőn.
„Elárulta cárját és hazáját, átadta magát Bonaparte-nak, az oroszok közül egyedül ő gyalázta meg az orosz nevét, és Moszkva elvész tőle” – mondta Rasztopcsin egyenletes, éles hangon; de hirtelen gyorsan lenézett Verescsaginra, aki továbbra is ugyanabban az alázatos pózban állt. Mintha ez a pillantás kirobbantotta volna, kezét felemelve szinte kiabált, és az emberekhez fordult: „Bízzatok vele ítéletetekkel!” Neked adom!
Az emberek elhallgattak, és csak egyre közelebb szorították egymást. Egymás tartása, lélegzetvétel ebben a fertőzött fülledtségben, nem volt erejük mozogni és várni valami ismeretlenre, érthetetlenre és szörnyűre elviselhetetlenné vált. Az első sorokban állók, akik látták és hallották mindazt, ami előttük történt, félelmetesen tágra nyílt szemmel, tátott szájjal, minden erejüket megfeszítve, visszatartották a hátukon a mögöttük lévők nyomását.
- Verje meg!.. Haljon meg az áruló, és ne szégyenítse meg az orosz nevét! - kiáltotta Rastopchin. - Ruby! Rendelek! „Nem a szavakat, hanem Rastopchin hangjának dühös hangjait hallva a tömeg felnyögött és előreindult, de ismét megállt.
„Gróf!...” – szólalt meg Verescsagin félénk és egyben teátrális hangja az ismét beállt pillanatnyi csend közepette. - Gróf úr, egy isten van felettünk... - mondta Verescsagin, felemelve a fejét, és vékony nyakán a vastag ér ismét megtelt vérrel, és a szín gyorsan megjelent és elszaladt az arcáról. Nem fejezte be, amit mondani akart.
- Vágd le! Parancsolom!.. - kiáltotta Rasztopcsin, hirtelen elsápadva, akárcsak Verescsagin.
- Szablyák ki! - kiáltott a tiszt a dragonyosoknak, és maga is előhúzta a szablyáját.
Egy másik, még erősebb hullám söpört végig az embereken, és az első sorokat elérve ez a hullám tántorogva megmozgatta az első sorokat, és a tornác legfelső fokáig vitte őket. Egy magas fickó, megkövült arckifejezéssel, megállt felemelt kézzel állt Verescsagin mellett.
- Ruby! - Szinte egy tiszt súgta a dragonyosoknak, és az egyik katona hirtelen, haragtól eltorzult arccal, tompa széles karddal Verescsagin fejét ütötte.
"A!" - kiáltott fel Verescsagin röviden és meglepetten, félve körülnézett, és mintha nem értené, miért tették ezt vele. Ugyanaz a meglepetés és rémület nyögése futott át a tömegen.
"Istenem!" – hallatszott valaki szomorú felkiáltása.
De a meglepetés felkiáltása után, amely Verescsagint elkerülte, szánalmasan felkiáltott a fájdalomtól, és ez a kiáltás elpusztította. Az emberi érzésnek az a legmagasabb fokig feszített gátja, amely még megtartotta a tömeget, azonnal áttört. A bűncselekményt elkezdték, be kellett fejezni. A szemrehányás szánalmas nyögését elnyomta a tömeg fenyegető és dühös üvöltése. Mint az utolsó hetedik hullámtörő hajók, ez az utolsó megállíthatatlan hullám a hátsó sorokból emelkedett ki, elérte az elsőket, ledöntötte őket és mindent elnyelt. A dragonyos, aki lecsapott, meg akarta ismételni a csapását. Verescsagin rémült kiáltással, kezeivel védve magát, az emberek felé rohant. A magas fickó, akibe ütközött, kezeivel megragadta Verescsagin vékony nyakát, és vad kiáltással együtt az ordító embertömeg lába alá esett.
Néhányan megverték és megtépték Verescsagint, mások magasak és kicsik voltak. Az összezúzott emberek és a magas fickót megmenteni próbálók kiáltása pedig csak felkeltette a tömeg dühét. A dragonyosok sokáig nem tudták kiszabadítani a véres, félig agyonvert gyári munkást. És sokáig, minden lázas sietség ellenére, amellyel a tömeg megpróbálta befejezni az egykor megkezdett munkát, azok az emberek, akik megverték, megfojtották és tépték Verescsagint, nem tudták megölni; de a tömeg minden oldalról szorította őket, középen, mint egy tömeg, egyik oldalról a másikra imbolygott, és nem adott nekik lehetőséget, hogy akár végezzenek vele, akár eldobják.

Elvárás és eltérés

Mérjünk meg egy valószínűségi változót N alkalommal például tízszer mérjük meg a szélsebességet, és meg akarjuk találni az átlagértéket. Hogyan kapcsolódik az átlagérték az eloszlásfüggvényhez?

Sokszor dobjuk a kockát. Az egyes dobásoknál a kockán megjelenő pontok száma egy véletlenszerű változó, és bármilyen természetes értéket vehet fel 1-től 6-ig. Az összes kockadobásra kiszámított kiesett pontok számtani átlaga szintén egy valószínűségi változó, de nagy dobások esetén N egy nagyon konkrét számra – matematikai elvárásra – hajlik Mx. Ebben az esetben Mx = 3,5.

Hogyan szerezted ezt az értéket? Beengedni N tesztek, egyszer kapsz 1 pontot, egyszer kapsz 2 pontot, és így tovább. Akkor mikor N→ ∞ azoknak az eredményeknek a száma, amelyekben egy pontot dobtak, Hasonlóképpen, így

Modell 4.5. Dobókocka

Tegyük fel, hogy ismerjük a valószínűségi változó eloszlási törvényét x, azaz tudjuk, hogy a valószínűségi változó xértékeket vehet fel x 1 , x 2 , ..., x k valószínűségekkel p 1 , p 2 , ..., p k.

Várható érték Mx valószínűségi változó x egyenlő:

Válasz. 2,8.

A matematikai elvárás nem mindig valamely valószínűségi változó ésszerű becslése. Így az átlagkereset becsléséhez célszerűbb a medián fogalmát használni, vagyis olyan értéket, hogy a mediánnál alacsonyabb és magasabb fizetést kapók száma egybeessen.

Középső a valószínűségi változó egy szám x 1/2 ilyen p (x < x 1/2) = 1/2.

Más szóval a valószínűség p 1, hogy a valószínűségi változó x kisebb lesz x 1/2, és a valószínűség p 2, hogy a valószínűségi változó x nagyobb lesz x 1/2 azonos és egyenlő 1/2-vel. A medián nem minden eloszlásra van egyértelműen meghatározva.

Térjünk vissza a valószínűségi változóhoz x, amely értékeket vehet fel x 1 , x 2 , ..., x k valószínűségekkel p 1 , p 2 , ..., p k.

Variancia valószínűségi változó x Egy valószínűségi változó matematikai elvárásától való négyzetes eltérésének átlagos értékét nevezzük:

2. példa

Az előző példa feltételei szerint számítsa ki a valószínűségi változó szórását és szórását! x.

Válasz. 0,16, 0,4.

Modell 4.6. Célba lövés

3. példa

Határozza meg az első kockadobáskor kapott pontok számának valószínűségi eloszlását, a mediánt, a matematikai elvárást, a variancia és a szórást!

Bármely él ugyanolyan valószínűséggel esik ki, így az eloszlás így fog kinézni:

Szórás Látható, hogy az érték eltérése az átlagértéktől igen nagy.

A matematikai elvárás tulajdonságai:

• A független valószínűségi változók összegének matematikai elvárása megegyezik a matematikai várakozásaik összegével:

4. példa

Határozza meg a két kockára dobott pontok összegének és szorzatának matematikai elvárását!

A 3. példában azt találtuk, hogy egy kockára M (x) = 3,5. Tehát két kockára

Diszperziós tulajdonságok:

• A független valószínűségi változók összegének szórása egyenlő az eltérések összegével:

Dx + y = Dx + Dy.

Engedd érte N gurul a dobott kockán y pontokat. Akkor

Ez az eredmény nem csak a kockadobásokra igaz. Sok esetben empirikusan határozza meg a matematikai elvárás mérésének pontosságát. Látható, hogy a mérések számának növekedésével N az átlag körüli értékek szórása, vagyis a szórás arányosan csökken

Egy valószínűségi változó varianciája a következő összefüggéssel van összefüggésben a valószínűségi változó négyzetének matematikai elvárásával:

Keressük meg ennek az egyenlőségnek mindkét oldalának matematikai elvárásait. A-priory,

Az egyenlőség jobb oldalának matematikai elvárása a matematikai elvárások tulajdonsága szerint egyenlő

Szórás

Szórás egyenlő a variancia négyzetgyökével:
A vizsgált sokaság kellően nagy mennyiségű (n > 30) szórásának meghatározásakor a következő képleteket kell használni:

Kapcsolódó információ.

A bölcs matematikusok és statisztikusok megbízhatóbb mutatót találtak ki, bár kissé más célból - átlagos lineáris eltérés. Ez a mutató egy adatkészlet értékeinek átlagos értékük körüli szóródásának mértékét jellemzi.

Az adatszóródás mértékének megjelenítéséhez először el kell döntenie, hogy ez a szóródás mi alapján kerül kiszámításra - általában ez az átlagérték. Ezután ki kell számítania, hogy az elemzett adatkészlet értékei milyen messze vannak az átlagtól. Nyilvánvaló, hogy minden érték egy bizonyos eltérési értéknek felel meg, de minket az átfogó, a teljes sokaságra kiterjedő értékelés érdekel. Ezért az átlagos eltérést a szokásos számtani középképlet segítségével számítjuk ki. De! De az eltérések átlagának kiszámításához először össze kell őket adni. És ha pozitív és negatív számokat adunk össze, akkor ezek kioltják egymást, és összegük nullára fog esni. Ennek elkerülése érdekében minden eltérést modulo vesszük, azaz minden negatív szám pozitívvá válik. Most az átlagos eltérés az értékek terjedésének általános mértékét mutatja. Ennek eredményeként az átlagos lineáris eltérést a következő képlet segítségével számítjuk ki:

a- átlagos lineáris eltérés,

x– az elemzett mutatót, kötőjellel felette – a mutató átlagértékét,

n– az elemzett adatkészletben található értékek száma,

Remélem az összegző operátor nem ijeszt meg senkit.

A megadott képlettel számított átlagos lineáris eltérés egy adott populáció átlagos abszolút értékétől való átlagos abszolút eltérését tükrözi.

A képen a piros vonal az átlagérték. Az egyes megfigyelések átlagtól való eltérését kis nyilak jelzik. Modulo veszik és összegzik. Ezután mindent elosztunk az értékek számával.

Hogy teljes legyen a kép, egy példát kell adnunk. Tegyük fel, hogy van olyan cég, amelyik lapáthoz való dugványokat gyárt. Minden vágásnak 1,5 méter hosszúnak kell lennie, de ami még fontosabb, mindegyiknek egyformának kell lennie, vagy legalább plusz-mínusz 5 cm-nek. A gondatlan dolgozók azonban 1,2 vagy 1,8 métert vágnak le. A cég igazgatója úgy döntött, hogy statisztikai elemzést készít a vágások hosszáról. Kiválasztottam 10 darabot és megmértem a hosszukat, megállapítottam az átlagot és kiszámítottam az átlagos lineáris eltérést. Az átlag pont a szükségesnek bizonyult - 1,5 m, de az átlagos lineáris eltérés 0,16 m volt, így kiderül, hogy minden vágás átlagosan 16 cm-rel hosszabb vagy rövidebb munkások. Valójában ennek a mutatónak nem láttam érdemi felhasználását, ezért magam találtam ki egy példát. A statisztikákban azonban van ilyen mutató.

Diszperzió

Az átlagos lineáris eltéréshez hasonlóan a variancia is tükrözi az adatok átlagérték körüli terjedésének mértékét.

A variancia kiszámításának képlete a következőképpen néz ki:

(variációs sorozatokhoz (súlyozott eltérés))

(csoportosítatlan adatokhoz (egyszerű eltérés))

ahol: σ 2 – diszperzió, Xi– elemezzük a négyzetmutatót (a jellemző értéke), – a mutató átlagértékét, f i – az elemzett adatsor értékeinek számát.

A diszperzió az eltérések átlagos négyzete.

Először az átlagértéket számítják ki, majd az egyes eredeti és átlagos értékek közötti különbséget veszik, négyzetre emelik, megszorozzák a megfelelő attribútumérték gyakoriságával, összeadják, majd elosztják a sokaságban lévő értékek számával.

Tiszta formájában azonban, például a számtani átlagban vagy indexben, a diszperziót nem használják. Ez inkább egy segéd- és közbenső mutató, amelyet más típusú statisztikai elemzésekhez használnak.

A variancia kiszámításának egyszerűsített módja

Szórás

A variancia adatelemzéshez való felhasználásához a variancia négyzetgyökét kell venni. Kiderül az ún szórás.

A szórást egyébként szigmának is nevezik - az azt jelölő görög betűből.

A szórás természetesen az adatok szórásának mértékét is jellemzi, de most (a variancia helyett) összevethető az eredeti adatokkal. A statisztika négyzetes középértékei általában pontosabb eredményeket adnak, mint a lineárisak. Ezért a szórás pontosabb mértéke az adatok szórásának, mint a lineáris átlagos eltérés.

Szórás(szinonimák: szórás, szórás, négyzetes eltérés; kapcsolódó kifejezések: szórás, standard spread) - a valószínűségszámításban és a statisztikában egy valószínűségi változó értékeinek a matematikai elvárásaihoz viszonyított szóródásának leggyakoribb mutatója. Az értékek korlátozott tömbjeinél a matematikai elvárás helyett a mintakészlet számtani átlagát használjuk.

Enciklopédiai YouTube

• 1 / 5

  A szórást magának a valószínűségi változónak a mértékegységében mérjük, és a számtani átlag standard hibájának számításakor, konfidenciaintervallumok felépítésénél, hipotézisek statisztikai tesztelésekor, a valószínűségi változók közötti lineáris kapcsolat mérésénél használjuk. Egy valószínűségi változó varianciájának négyzetgyöke.

  Szórás:

  s = n n − 1 σ 2 = 1 n − 1 ∑ i = 1 n (x i − x ¯) 2 ;
  • (\displaystyle s=(\sqrt ((\frac (n)(n-1))\sigma ^(2)))=(\sqrt ((\frac (1)(n-1))\sum _( i=1)^(n)\left(x_(i)-(\bar (x))\right)^(2)));)

  Szórás(egy valószínűségi változó szórásának becslése x Megjegyzés: Nagyon gyakran vannak eltérések az MSD (Root Mean Square Deviation) és az STD (Standard Deviation) elnevezései képleteivel. Például a Python programozási nyelv numPy moduljában az std() függvényt „szórással” írják le, míg a képlet a szórást tükrözi (osztás a minta gyökével). Az Excelben a STANDARDEVAL() függvény más (osztás n-1 gyökével). a variancia elfogulatlan becslésén alapuló matematikai várakozásához képest):

  s (\displaystyle s)

  σ = 1 n ∑ i = 1 n (x i − x ¯) 2 . (\displaystyle \sigma =(\sqrt ((\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)\left(x_(i)-(\bar (x))\right) ^(2))).) Ahol σ 2 (\displaystyle \sigma ^(2)) - - diszperziós; x i (\displaystyle x_(i)) én a kiválasztás th eleme;

  n (\displaystyle n)

  - minta nagysága; - a minta számtani átlaga:

  x ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + … + x n) .

  Három szigma szabály

  Három szigma szabály ((\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+\lpont +x_(n)).) Meg kell jegyezni, hogy mindkét becslés elfogult. Általános esetben lehetetlen torzítatlan becslést készíteni. Az elfogulatlan varianciabecslésen alapuló becslés azonban konzisztens. A GOST R 8.736-2011 szerint a szórást a jelen szakasz második képletével számítják ki. Kérjük, ellenőrizze az eredményeket.. Pontosabban: körülbelül 0,9973 valószínűséggel egy normális eloszlású valószínűségi változó értéke a megadott intervallumban található (feltéve, hogy az érték x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) igaz, és nem a mintafeldolgozás eredményeként került elő).

  Ha a valódi érték x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) ismeretlen, akkor ne használja σ (\displaystyle \sigma ), A s. Így a három szigma szabálya átalakul három szigma szabályává s .

  A szórásérték értelmezése

  A nagyobb szórásérték nagyobb értékek szórását mutatja a bemutatott halmazban a halmaz átlagértékével; egy kisebb érték ennek megfelelően azt mutatja, hogy a halmazban lévő értékek az átlagérték köré csoportosulnak.

  Például három számkészletünk van: (0, 0, 14, 14), (0, 6, 8, 14) és (6, 6, 8, 8). Mindhárom halmaz átlagértéke 7, a szórása pedig 7, 5 és 1. Az utolsó halmaznak kicsi a szórása, mivel a halmazban lévő értékek az átlagérték köré csoportosulnak; az első készlet rendelkezik a legnagyobb szórással - a készleten belüli értékek nagymértékben eltérnek az átlagos értéktől.

  Általános értelemben a szórást a bizonytalanság mértékének tekinthetjük. Például a fizikában a szórással határozzák meg valamilyen mennyiség egymást követő méréseinek sorozatának hibáját. Ez az érték nagyon fontos a vizsgált jelenség valószínûségének meghatározásához az elmélet által megjósolt értékhez képest: ha a mérések átlagértéke nagymértékben eltér az elmélet által megjósolt értékektõl (nagy szórás), akkor a kapott értékeket vagy azok megszerzésének módját újra kell ellenőrizni. portfóliókockázattal azonosítják.

  Éghajlat

  Tegyük fel, hogy két város azonos átlagos napi maximumhőmérsékletű, de az egyik a tengerparton, a másik a síkságon található. Ismeretes, hogy a tengerparton található városokban sok különböző maximális nappali hőmérséklet van, amelyek alacsonyabbak, mint a szárazföldön található városok. Ezért a maximális napi hőmérséklet szórása egy tengerparti város esetében kisebb lesz, mint a második városé, annak ellenére, hogy ennek az értéknek az átlagértéke megegyezik, ami a gyakorlatban azt jelenti, hogy annak valószínűsége, hogy a maximális levegő hőmérséklet az év bármely adott napja magasabb lesz az átlagos értéktől, magasabb egy belterületen található város esetében.

  Sport

  Tételezzük fel, hogy több olyan futballcsapat is van, amelyet bizonyos paraméterek alapján minősítenek, például a szerzett és kapott gólok száma, a gólhelyzetek stb. több paraméteren. Minél kisebb a csapat szórása az egyes bemutatott paramétereknél, annál kiszámíthatóbb a csapat eredménye; Másrészt egy nagy szórással rendelkező csapatnak nehéz megjósolni az eredményt, ami viszont az egyensúlytalansággal magyarázható, például erős védekezés, de gyenge támadás.

  A csapatparaméterek szórása lehetővé teszi, hogy bizonyos fokig előre jelezzük két csapat mérkőzésének eredményét, felmérve a csapatok erősségeit és gyengeségeit, így a választott harci módszereket.

  Érdemes megjegyezni, hogy ennek a varianciaszámításnak van egy hátránya - kiderül, hogy elfogult, pl. matematikai elvárása nem egyenlő a variancia valódi értékével. Olvasson erről bővebben. Ugyanakkor nem minden olyan rossz. A minta méretének növekedésével továbbra is megközelíti elméleti analógját, azaz. aszimptotikusan elfogulatlan. Ezért, ha nagy mintamérettel dolgozik, használhatja a fenti képletet.

  Hasznos a jelek nyelvét a szavak nyelvére fordítani. Kiderül, hogy a szórás az eltérések átlagos négyzete. Ez azt jelenti, hogy először az átlagértéket számítják ki, majd az egyes eredeti és átlagos értékek közötti különbséget veszik, négyzetbe vonják, összeadják, majd elosztják a sokaságban lévő értékek számával. Az egyéni érték és az átlag közötti különbség az eltérés mértékét tükrözi. Négyzetes, hogy minden eltérés kizárólag pozitív szám legyen, és elkerüljük a pozitív és negatív eltérések kölcsönös megsemmisítését az összegzéskor. Ezután a négyzetes eltérések ismeretében egyszerűen kiszámítjuk a számtani átlagot. Átlagos - négyzetes - eltérések. Az eltéréseket négyzetre emeljük, és kiszámítjuk az átlagot. A megoldás mindössze három szóban rejlik.

  Tiszta formájában azonban, például a számtani átlagban vagy indexben, a diszperziót nem használják. Inkább egy segéd- és közbenső mutató, amely más típusú statisztikai elemzésekhez szükséges. Még normál mértékegysége sincs. A képletből ítélve ez az eredeti adatok mértékegységének négyzete. Palack nélkül, ahogy mondják, nem lehet kitalálni.

  (111. modul)

  Ahhoz, hogy a variancia visszakerüljön a valóságba, vagyis hogy hétköznapibb célokra is felhasználhassuk, kivonják belőle a négyzetgyököt. Kiderül az ún szórás (RMS). Vannak „szórás” vagy „szigma” nevek (a görög betű nevéből). A szórás képlete a következő:

  

  A minta mutatójának megszerzéséhez használja a következő képletet:

  

  Akárcsak a variancia esetében, itt is van egy kissé eltérő számítási lehetőség. De ahogy nő a minta, a különbség eltűnik.

  A szórás természetesen az adatok szórásának mértékét is jellemzi, de most már (a szórással ellentétben) összevethető az eredeti adatokkal, mivel azonos mértékegységekkel rendelkeznek (ez a számítási képletből kiderül). De ez a mutató tiszta formájában nem túl informatív, mivel túl sok köztes számítást tartalmaz, amelyek zavaróak (eltérés, négyzet, összeg, átlag, gyök). A szórással azonban már közvetlenül is lehet dolgozni, mert ennek a mutatónak a tulajdonságai jól tanulmányozottak és ismertek. Például van ilyen három szigma szabály, amely szerint az 1000 adatérték közül 997 ±3 szigmán belül van a számtani átlagtól. A szórást, mint a bizonytalanság mértékét, számos statisztikai számításban is szerepet kapnak. Segítségével meghatározható a különböző becslések és előrejelzések pontosságának mértéke. Ha nagyon nagy a szórás, akkor a szórás is nagy lesz, ezért az előrejelzés pontatlan lesz, ami például nagyon széles konfidencia intervallumokban fog kifejeződni.

  A variációs együttható

  A szórás abszolút becslést ad a diszperzió mértékére. Ezért ahhoz, hogy megértsük, mekkora a szórás magukhoz az értékekhez képest (azaz függetlenül azok mértékétől), relatív mutatóra van szükség. Ezt a mutatót hívják variációs együtthatóés a következő képlettel számítják ki:

  A variációs együtthatót százalékban mérjük (ha megszorozzuk 100%-kal). Ezzel a mutatóval sokféle jelenséget összehasonlíthat, függetlenül azok mértékétől és mértékegységétől. Ez a tény teszi olyan népszerűvé a variációs együtthatót.

  A statisztikában elfogadott, hogy ha a variációs együttható értéke kisebb, mint 33%, akkor a sokaságot homogénnek tekintjük, ha nagyobb, mint 33%, akkor heterogénnek. Nehéz itt bármit is kommentálni. Nem tudom, ki határozta meg ezt és miért, de axiómának számít.

  Úgy érzem, elragad a száraz elmélet, és valami vizuálist és figuratívat kell hoznom. Másrészt az összes variációs mutató megközelítőleg ugyanazt írja le, csak máshogyan számolják. Ezért nehéz különféle példákat bemutatni. Csak a mutatók értékei különbözhetnek, de a lényegük nem. Hasonlítsuk össze tehát, hogyan térnek el a különböző variációs mutatók értékei ugyanazon adathalmaz esetén. Vegyük például az átlagos lineáris eltérés kiszámítását (tól). Íme a forrás adatok:

  

  És egy menetrend, amely emlékezteti Önt.

  

  Ezen adatok felhasználásával különféle variációs mutatókat számítunk ki.

  Az átlagérték a szokásos számtani átlag.

  Az eltérés tartománya a maximum és a minimum közötti különbség:

  Az átlagos lineáris eltérést a következő képlet segítségével számítjuk ki:

  Szórás:

  Foglaljuk össze táblázatban a számítást.

  

  Mint látható, a lineáris átlag és a szórás hasonló értékeket ad az adatok eltérésének mértékére. A szórás szigma négyzet, tehát mindig viszonylag nagy szám lesz, ami valójában nem jelent semmit. A variáció tartománya az extrém értékek közötti különbség, és sokat beszél.

  Összefoglalunk néhány eredményt.

  Egy indikátor változása egy folyamat vagy jelenség változékonyságát tükrözi. Mértéke többféle mutató segítségével mérhető.

  1. Variációs tartomány - a maximum és minimum közötti különbség. A lehetséges értékek tartományát tükrözi.
  2. Átlagos lineáris eltérés – az elemzett sokaság összes értékének az átlagos értéktől való abszolút (modulo) eltérésének átlagát tükrözi.
  3. Diszperzió - az eltérések átlagos négyzete.
  4. A szórás a szórás gyöke (az eltérések átlagos négyzete).
  5. A variációs együttható a leguniverzálisabb mutató, amely az értékek szórásának mértékét tükrözi, függetlenül azok skálájától és mértékegységétől. A variációs együtthatót százalékban mérjük, és a különböző folyamatok és jelenségek variációinak összehasonlítására használható.

  A statisztikai elemzésben tehát létezik egy olyan mutatórendszer, amely a jelenségek homogenitását és a folyamatok stabilitását tükrözi. A variációs mutatók gyakran nem rendelkeznek önálló jelentéssel, és további adatelemzésre (konfidenciaintervallumok kiszámítására) használják őket

  
  
  Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete