Aritmetikai progresszió nevezzen meg egy számsorozatot (egy progresszió tagját)

Amelyben minden következő tag egy új taggal különbözik az előzőtől, amit szintén ún lépés vagy progresszió különbség.

Így a progresszió lépésének és első tagjának megadásával a képlet segítségével bármelyik elemét megtalálhatja

A számtani sorozat tulajdonságai

1) Egy számtani sorozat minden tagja a második számtól kezdve a sorozat előző és következő tagjának számtani átlaga

Ennek fordítva is igaz. Ha egy progresszió szomszédos páratlan (páratlan) tagjainak számtani átlaga egyenlő a közöttük lévő taggal, akkor ez a számsorozat egy számtani sorozat. Ezzel az állítással nagyon könnyen ellenőrizhető bármilyen sorrend.

Ezenkívül az aritmetikai progresszió tulajdonsága alapján a fenti képlet a következőkre általánosítható

Ez könnyen ellenőrizhető, ha a kifejezéseket az egyenlőségjel jobb oldalára írja

A gyakorlatban gyakran használják a feladatok egyszerűsítésére.

2) Egy aritmetikai sorozat első n tagjának összegét a képlet segítségével számítjuk ki

Emlékezzen jól az aritmetikai progresszió összegének képletére, amely nélkülözhetetlen a számításokban, és meglehetősen gyakran megtalálható egyszerű élethelyzetekben.

3) Ha nem a teljes összeget, hanem a sorozat egy részét kell megtalálnia a k-edik tagjától kezdve, akkor a következő összegképlet hasznos lesz

4) Gyakorlatilag érdekes egy aritmetikai sorozat n tagjának összegének megtalálása a k-adik számtól kezdve. Ehhez használja a képletet

Ezzel lezárul az elméleti anyag, és áttér a gyakori problémák gyakorlati megoldására.

Példa 1. Keresse meg a 4;7 számtani sorozat negyvenedik tagját;...

Megoldás:

Az állapotunk szerint

Határozzuk meg a haladási lépést

Egy jól ismert képlet segítségével megtaláljuk a progresszió negyvenedik tagját

2. példa A számtani progressziót a harmadik és a hetedik tag adja. Keresse meg a progresszió első tagját és a tíz összegét!

Megoldás:

Írjuk fel a haladás adott elemeit a képletek segítségével

Kivonjuk az elsőt a második egyenletből, így megkapjuk a progressziós lépést

A talált értéket behelyettesítjük bármelyik egyenletbe, hogy megtaláljuk az aritmetikai sorozat első tagját

Kiszámoljuk a progresszió első tíz tagjának összegét

Bonyolult számítások nélkül minden szükséges mennyiséget megtaláltunk.

3. példa Egy aritmetikai sorozatot a nevező és annak egyik tagja ad meg. Keresse meg a progresszió első tagját, annak 50-től kezdődő 50 tagjának összegét és az első 100 összegét.

Megoldás:

Írjuk fel a progresszió századik elemének képletét

és találd meg az elsőt

Az első alapján megtaláljuk a progresszió 50. tagját

A progresszió részének összegének megkeresése

és az első 100 összege

A progresszió összege 250.

4. példa

Határozza meg egy aritmetikai sorozat tagok számát, ha:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

Megoldás:

Írjuk fel az egyenleteket az első tag és a haladási lépés szerint, és határozzuk meg őket

A kapott értékeket behelyettesítjük az összegképletbe, hogy meghatározzuk az összegben szereplő tagok számát

Egyszerűsítéseket végzünk

és oldja meg a másodfokú egyenletet

A két talált érték közül csak a 8-as szám felel meg a problémakörülményeknek. Így a progresszió első nyolc tagjának összege 111.

5. példa

Oldja meg az egyenletet

1+3+5+...+x=307.

Megoldás: Ez az egyenlet egy aritmetikai progresszió összege. Írjuk ki az első tagját, és keressük meg a progresszió különbségét

Az algebra középiskolai tanulmányozása során (9. osztály) az egyik fontos téma a numerikus sorozatok tanulmányozása, amelyek magukban foglalják a progressziót - geometriát és aritmetikát. Ebben a cikkben egy aritmetikai progressziót és megoldási példákat tekintünk meg.

Mi az aritmetikai progresszió?

Ennek megértéséhez meg kell határozni a szóban forgó progressziót, valamint meg kell adni azokat az alapképleteket, amelyeket a későbbiekben a problémák megoldása során használni fogunk.

Ismeretes, hogy bizonyos algebrai progresszióban az 1. tag egyenlő 6-tal, a 7. tag pedig 18-cal. Meg kell találni a különbséget, és vissza kell állítani ezt a sorozatot a 7. tagra.

Használjuk a képletet az ismeretlen tag meghatározásához: a n = (n - 1) * d + a 1 . Helyettesítsük be a feltételből ismert adatokat, vagyis az a 1 és a 7 számokat, így kapjuk: 18 = 6 + 6 * d. Ebből a kifejezésből könnyen kiszámítható a különbség: d = (18 - 6) /6 = 2. Így a feladat első részét megválaszoltuk.

A sorozat 7. tagjára való visszaállításához az algebrai progresszió definícióját kell használni, azaz a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d és így tovább. Ennek eredményeként a teljes sorozatot visszaállítjuk: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2 = 8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.

3. példa: progresszió készítése

Bonyolítsuk még jobban a problémát. Most azt a kérdést kell megválaszolnunk, hogyan találhatunk számtani sorozatot. A következő példa megadható: két szám van megadva, például - 4 és 5. Létre kell hozni egy algebrai progressziót úgy, hogy ezek közé még három tag kerüljön.

Mielőtt elkezdené megoldani ezt a problémát, meg kell értenie, hogy az adott számok milyen helyet foglalnak el a jövőbeni fejlődésben. Mivel még három tag lesz közöttük, akkor a 1 = -4 és egy 5 = 5. Ennek megállapítása után áttérünk az előzőhöz hasonló feladatra. Az n-edik tagra ismét a képletet használjuk, így kapjuk: a 5 = a 1 + 4 * d. Ebből: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Amit itt kaptunk, az nem a különbség egész értéke, hanem egy racionális szám, így az algebrai haladás képlete változatlan marad.

Most adjuk hozzá a talált különbséget 1-hez, és állítsuk vissza a progresszió hiányzó tagjait. A következőt kapjuk: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, amelyek egybeesnek a probléma körülményeivel.

4. példa: a progresszió első tagja

Adjunk továbbra is példákat a megoldásokkal való aritmetikai progresszióra. Minden korábbi feladatban ismert volt az algebrai progresszió első száma. Most nézzünk meg egy más típusú problémát: legyen két szám, ahol egy 15 = 50 és egy 43 = 37. Meg kell találni, hogy melyik számmal kezdődik ez a sorozat.

Az eddig használt képletek egy 1 és d ismeretét feltételezik. A problémafelvetésben ezekről a számokról nem tudunk semmit. Mindazonáltal minden olyan kifejezéshez felírunk kifejezéseket, amelyekről információ áll rendelkezésre: a 15 = a 1 + 14 * d és a 43 = a 1 + 42 * d. Két egyenletet kaptunk, amelyben 2 ismeretlen mennyiség van (a 1 és d). Ez azt jelenti, hogy a feladat egy lineáris egyenletrendszer megoldására redukálódik.

A rendszer legegyszerűbb megoldása, ha minden egyenletben 1-et fejezünk ki, majd összehasonlítjuk a kapott kifejezéseket. Első egyenlet: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; második egyenlet: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Ezeket a kifejezéseket egyenlővé téve a következőt kapjuk: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, innen a különbség d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (csak 3 tizedesjegy van megadva).

A d ismeretében a fenti 2 kifejezés bármelyikét használhatja 1-hez. Például először: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.

Ha kétségei vannak a kapott eredménnyel kapcsolatban, ellenőrizheti, például meghatározhatja a progresszió 43. tagját, amely a feltételben van megadva. A következőt kapjuk: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Az apró hiba abból adódik, hogy a számításoknál ezredrészekre kerekítést alkalmaztak.

5. számú példa: összeg

Most nézzünk meg néhány példát egy aritmetikai sorozat összegének megoldásával.

Legyen a következő alakú numerikus progresszió: 1, 2, 3, 4, ...,. Hogyan lehet kiszámítani ezeknek a számoknak a 100 összegét?

A számítástechnika fejlődésének köszönhetően meg lehet oldani ezt a problémát, vagyis az összes számot egymás után hozzáadni, amit a számítógép azonnal megtesz, amint valaki megnyomja az Enter billentyűt. A probléma azonban mentálisan megoldható, ha odafigyelünk arra, hogy a bemutatott számsor egy algebrai progresszió, és a különbsége egyenlő 1-gyel. Az összeg képletét alkalmazva a következőt kapjuk: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Érdekes megjegyezni, hogy ezt a problémát „gaussi”-nak nevezik, mert a 18. század elején a még csak 10 éves híres német fejében néhány másodperc alatt meg tudta oldani. A fiú nem ismerte az algebrai haladás összegének képletét, de észrevette, hogy ha páronként összeadja a sorozat végén lévő számokat, mindig ugyanazt az eredményt kapja, azaz 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., és mivel ezek az összegek pontosan 50 (100 / 2) lesznek, akkor a helyes válaszhoz elegendő 50-et megszorozni 101-gyel.

6. példa: tagok összege n-től m-ig

A számtani progresszió összegének egy másik tipikus példája a következő: adott egy számsor: 3, 7, 11, 15, ..., meg kell találni, hogy mekkora lesz a 8-tól 14-ig terjedő tagok összege .

A probléma kétféleképpen oldható meg. Az első közülük 8-tól 14-ig ismeretlen kifejezéseket keres, majd egymás után összegzi őket. Mivel kevés a kifejezés, ez a módszer nem elég munkaigényes. Ennek ellenére azt javasolják, hogy ezt a problémát egy második módszerrel oldják meg, amely univerzálisabb.

Az ötlet az, hogy egy képletet kapjunk az m és n tagok közötti algebrai haladás összegére, ahol n > m egész számok. Mindkét esetben két kifejezést írunk az összegre:

1. S m = m * (a m + a 1) / 2.
2. S n = n * (a n + a 1) / 2.

Mivel n > m, nyilvánvaló, hogy a 2. összeg tartalmazza az elsőt. Az utolsó következtetés azt jelenti, hogy ha felvesszük ezen összegek különbségét, és hozzáadjuk az a m tagot (különbözet ​​felvétele esetén levonjuk az S n összegből), akkor megkapjuk a feladatra a szükséges választ. Van: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- m/2). Ebbe a kifejezésbe n és m képleteket kell behelyettesíteni. Ekkor a következőt kapjuk: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

A kapott képlet kissé körülményes, azonban az S mn összeg csak n, m, a 1 és d függvénye. Esetünkben a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Ezeket a számokat behelyettesítve a következőt kapjuk: S mn = 301.

Amint a fenti megoldásokból látható, minden probléma az n-edik tag kifejezésének és az első tagok összegének képletének ismeretén alapul. Mielőtt elkezdené megoldani ezeket a problémákat, javasoljuk, hogy figyelmesen olvassa el a feltételt, értse meg egyértelműen, mit kell találnia, és csak ezután folytassa a megoldást.

Egy másik tipp, hogy törekedjünk az egyszerűségre, vagyis ha bonyolult matematikai számítások használata nélkül tud válaszolni egy kérdésre, akkor ezt meg kell tennie, hiszen ebben az esetben kisebb a tévedés valószínűsége. Például a 6-os megoldású aritmetikai sorozat példájában megállhatunk az S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m képletnél, és ossza fel az átfogó problémát külön részfeladatokra (ebben az esetben először keresse meg az a n és a m kifejezéseket).

Ha kétségei vannak az elért eredménnyel kapcsolatban, javasoljuk, hogy ellenőrizze azt, ahogyan az egyes példákban is megtörtént. Megtudtuk, hogyan találhatunk számtani sorozatot. Ha rájössz, nem is olyan nehéz.

Igen, igen: a számtani progresszió nem játékszer neked :)

Nos, barátaim, ha ezt a szöveget olvassátok, akkor a belső zárójelek azt sugallják, hogy még nem tudjátok, mi az a számtani progresszió, de nagyon (nem, így: NAGYON!) szeretnétek tudni. Ezért nem gyötörlek hosszú bevezetőkkel, és rögtön a lényegre térek.

Először is egy-két példa. Nézzünk meg néhány számkészletet:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Mi a közös ezekben a készletekben? Első pillantásra semmi. De valójában van valami. Ugyanis: minden következő elem ugyanazzal a számmal tér el az előzőtől.

Ítélje meg maga. Az első halmaz egyszerűen egymást követő számokból áll, mindegyik következő eggyel több, mint az előző. A második esetben a szomszédos számok különbsége már öt, de ez a különbség továbbra is állandó. A harmadik esetben gyökerek vannak. Azonban $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, és $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, azaz. és ebben az esetben minden következő elem egyszerűen növekszik $\sqrt(2)$-val (és ne félj attól, hogy ez a szám irracionális).

Tehát: minden ilyen sorozatot aritmetikai progressziónak nevezünk. Adjunk egy szigorú definíciót:

Meghatározás. Aritmetikai sorozatnak nevezzük azt a számsorozatot, amelyben minden következő pontosan ugyanannyival különbözik az előzőtől. Pont azt az összeget, amellyel a számok különböznek, progressziós különbségnek nevezzük, és leggyakrabban $d$ betűvel jelöljük.

Jelölés: $\left(((a)_(n)) \right)$ maga a progresszió, $d$ a különbsége.

És csak néhány fontos megjegyzés. Először is csak a progressziót veszik figyelembe elrendelte számsor: szigorúan a beírásuk sorrendjében olvashatóak - és semmi más. A számokat nem lehet átrendezni vagy felcserélni.

Másodszor, maga a sorozat lehet véges vagy végtelen. Például az (1; 2; 3) halmaz nyilvánvalóan véges aritmetikai sorozat. De ha leírsz valamit a szellemben (1; 2; 3; 4; ...) - ez már végtelen fejlődés. A négyes utáni ellipszis arra utal, hogy még jó néhány szám jön. Például végtelenül sok. :)

Azt is szeretném megjegyezni, hogy a progresszió növekedhet vagy csökkenhet. Láttunk már növekvőeket - ugyanaz a halmaz (1; 2; 3; 4; ...). Íme, példák a progresszió csökkenésére:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

Oké, oké: az utolsó példa túl bonyolultnak tűnhet. De a többit szerintem érted. Ezért új definíciókat vezetünk be:

Meghatározás. Az aritmetikai progressziót nevezzük:

1. növekszik, ha minden következő elem nagyobb, mint az előző;
2. csökken, ha éppen ellenkezőleg, minden következő elem kisebb, mint az előző.

Ezen kívül vannak úgynevezett „stacionárius” sorozatok - ezek ugyanabból az ismétlődő számból állnak. Például (3; 3; 3; ...).

Csak egy kérdés marad: hogyan lehet megkülönböztetni a növekvő progressziót a csökkenőtől? Szerencsére itt minden csak a $d$ szám előjelén múlik, pl. Előrehaladási különbségek:

1. Ha $d \gt 0$, akkor a progresszió növekszik;
2. Ha $d \lt 0$, akkor a progresszió nyilvánvalóan csökken;
3. Végül ott van a $d=0$ eset – ebben az esetben a teljes progresszió azonos számok stacionárius sorozatára redukálódik: (1; 1; 1; 1; ...) stb.

Próbáljuk meg kiszámítani a $d$ különbséget a fent megadott három csökkenő progresszióhoz. Ehhez elegendő bármely két szomszédos elemet (például az elsőt és a másodikat) kivenni, és kivonni a bal oldali számot a jobb oldali számból. Így fog kinézni:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Amint látjuk, a különbség mindhárom esetben negatívnak bizonyult. És most, hogy többé-kevésbé kitaláltuk a definíciókat, ideje kitalálni, hogyan írják le a progressziót, és milyen tulajdonságaik vannak.

Progressziós tagok és ismétlődési képlet

Mivel sorozataink elemei nem cserélhetők fel, ezért számozhatók:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3) )),... \jobb\)\]

Ennek a halmaznak az egyes elemeit egy progresszió tagjainak nevezzük. Egy szám jelzi őket: első tag, második tag stb.

Ezenkívül, mint már tudjuk, a progresszió szomszédos tagjai a következő képlettel kapcsolódnak egymáshoz:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Jobbra ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Röviden, egy progresszió $n$-edik tagjának megtalálásához ismernünk kell az $n-1$-edik tagot és a $d$ különbséget. Ezt a képletet ismétlődőnek nevezzük, mert segítségével bármely számot csak az előző (és valójában az összes korábbi) ismeretében találhat meg. Ez nagyon kényelmetlen, ezért van egy ravaszabb képlet, amely minden számítást az első tagra és a különbségre redukál:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d\]

Valószínűleg már találkoztál ezzel a képlettel. Szeretik mindenféle segédkönyvekben, megoldási könyvekben megadni. És minden értelmes matematikai tankönyvben az elsők között van.

Azt javaslom azonban, hogy gyakoroljon egy kicsit.

1. számú feladat. Írja fel a $\left(((a)_(n)) \right)$ aritmetikai sorozat első három tagját, ha $((a)_(1))=8,d=-5$.

Megoldás. Tehát ismerjük az első tagot $((a)_(1))=8$ és a progresszió különbségét a $d=-5$. Használjuk az imént megadott képletet, és cseréljük be a $n=1$, $n=2$ és $n=3$ értékeket:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(igazítás)\]

Válasz: (8; 3; -2)

Ez minden! Figyelem: fejlődésünk csökken.

Természetesen a $n=1$ nem helyettesíthető – az első kifejezést már ismerjük. Az egységet helyettesítve azonban meggyőződtünk arról, hogy a képletünk már az első ciklusban is működik. Más esetekben minden a banális aritmetikára dőlt el.

2. feladat. Írja fel egy aritmetikai sorozat első három tagját, ha hetedik tagja -40, tizenhetedik tagja pedig -50.

Megoldás. Írjuk le a probléma feltételét ismerős kifejezésekkel:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(igazítás) \jobbra.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(igazítás) \jobb.\]

Azért tettem fel a rendszerjelet, mert ezeknek a követelményeknek egyszerre kell teljesülniük. Most jegyezzük meg, hogy ha kivonjuk az elsőt a második egyenletből (jogunk van erre, hiszen van rendszerünk), ezt kapjuk:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(igazítás)\]

Így könnyű megtalálni a haladási különbséget! Nem marad más hátra, mint behelyettesíteni a talált számot a rendszer bármely egyenletébe. Például az elsőben:

\[\begin(mátrix) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(mátrix)\]

Most, az első kifejezés és a különbség ismeretében, meg kell találni a második és a harmadik kifejezést:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(igazítás)\]

Kész! A probléma megoldódott.

Válasz: (-34; -35; -36)

Figyeljük meg a progresszió érdekes tulajdonságát, amit felfedeztünk: ha kivesszük a $n$-edik és a $m$-edik tagot, és kivonjuk őket egymástól, akkor megkapjuk a progresszió különbségét megszorozva a $n-m$ számmal:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]

Egy egyszerű, de nagyon hasznos tulajdonság, amit feltétlenül ismerned kell - segítségével jelentősen felgyorsíthatod számos progressziós probléma megoldását. Íme egy világos példa erre:

3. feladat. Egy aritmetikai sorozat ötödik tagja 8,4, tizedik tagja 14,4. Keresse meg ennek a progressziónak a tizenötödik tagját.

Megoldás. Mivel $((a)_(5))=8,4$, $((a)_(10))=14,4$, és meg kell találnunk a $((a)_(15))$-t, a következőket jegyezzük meg:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(igazítás)\]

De feltétellel $((a)_(10))-((a)_(5))=14,4-8,4=6$, tehát $5d=6$, amiből a következő:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end(igazítás)\]

Válasz: 20.4

Ez minden! Nem kellett egyenletrendszert létrehoznunk, és kiszámolni az első tagot és a különbséget - minden csak néhány sorban megoldódott.

Most nézzünk meg egy másik típusú problémát – keressük a progresszió negatív és pozitív feltételeit. Nem titok, hogy ha egy progresszió növekszik, és az első tagja negatív, akkor előbb-utóbb pozitív kifejezések jelennek meg benne. És fordítva: a csökkenő progresszió feltételei előbb-utóbb negatívvá válnak.

Ugyanakkor nem mindig lehet „fejjel” megtalálni ezt a pillanatot úgy, hogy egymás után végigjárjuk az elemeket. A feladatokat gyakran úgy írják le, hogy a képletek ismerete nélkül a számítások több papírlapot vennének igénybe – egyszerűen elalszunk, miközben megtaláljuk a választ. Ezért próbáljuk meg gyorsabban megoldani ezeket a problémákat.

4. feladat. Hány negatív tag van a számtani sorozatban −38,5; −35,8; ...?

Megoldás. Tehát $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, ahonnan azonnal megtaláljuk a különbséget:

Vegye figyelembe, hogy a különbség pozitív, így a progresszió növekszik. Az első tag negatív, tehát valamikor valóban pozitív számokba botlunk. A kérdés csak az, hogy ez mikor fog megtörténni.

Próbáljuk meg kideríteni, meddig (azaz hány $n$ természetes számig) marad meg a tagok negativitása:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Jobbra ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \jobbra. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Jobbra ((n)_(\max ))=15. \\ \end(igazítás)\]

Az utolsó sor némi magyarázatot igényel. Tehát tudjuk, hogy $n \lt 15\frac(7)(27)$. Másrészt megelégszünk a számnak csak egész értékeivel (sőt: $n\in \mathbb(N)$), így a legnagyobb megengedett szám pontosan $n=15$, semmi esetre sem 16 .

5. feladat. Aritmetikai haladásban $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Keresse meg ennek a progressziónak az első pozitív tagjának számát.

Ez pontosan ugyanaz a probléma lenne, mint az előző, de nem tudjuk, hogy $((a)_(1))$. De a szomszédos tagok ismertek: $((a)_(5))$ és $((a)_(6))$, így könnyen megtalálhatjuk a progresszió különbségét:

Ezenkívül próbáljuk meg kifejezni az ötödik tagot az elsőn és a különbséget a standard képlet segítségével:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(igazítás)\]

Most az előző feladat analógiájával folytatjuk. Nézzük meg, hogy sorozatunk melyik pontján jelennek meg a pozitív számok:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Jobbra ((n)_(\min ))=56. \\ \end(igazítás)\]

Ennek az egyenlőtlenségnek a minimális egész számú megoldása az 56.

Figyelem: az utolsó feladatban minden a szigorú egyenlőtlenséghez vezetett, így a $n=55$ opció nem felel meg nekünk.

Most, hogy megtanultuk az egyszerű problémák megoldását, térjünk át a bonyolultabbakra. De először tanulmányozzuk az aritmetikai progresszió egy másik nagyon hasznos tulajdonságát, amely sok időt és egyenlőtlen cellákat takarít meg a jövőben :)

Számtani átlag és egyenlő behúzások

Tekintsük a $\left(((a)_(n)) \right)$ növekvő számtani progresszió több egymást követő tagját. Próbáljuk meg megjelölni őket a számegyenesen:

A számegyenes számtani sorozatának feltételei

Kifejezetten tetszőleges kifejezéseket jelöltem meg $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, és nem néhány $((a)_(1)) ,\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ stb. Mert a szabály, amelyről most elmondom, ugyanúgy működik minden „szegmensre”.

És a szabály nagyon egyszerű. Emlékezzünk az ismétlődő képletre, és írjuk le az összes megjelölt kifejezésre:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(igazítás)\]

Ezeket az egyenlőségeket azonban másképpen is át lehet írni:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(igazítás)\]

Nos, és mi van? És az a tény, hogy a $((a)_(n-1))$ és $((a)_(n+1))$ kifejezések azonos távolságra vannak a $((a)_(n)) $-tól . És ez a távolság egyenlő $d$-val. Ugyanez mondható el a $((a)_(n-2))$ és $((a)_(n+2))$ kifejezésekről is - ezek szintén kikerülnek a $((a)_(n) )$ ugyanolyan távolságban, mint $2d$. A végtelenségig folytathatjuk, de a jelentést jól szemlélteti a kép

A progresszió feltételei azonos távolságra vannak a középponttól

Mit jelent ez számunkra? Ez azt jelenti, hogy a $((a)_(n))$ megtalálható, ha a szomszédos számok ismertek:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Kiváló állítást kaptunk: egy számtani sorozat minden tagja egyenlő a szomszédos tagok számtani átlagával! Sőt: a $((a)_(n))$-unkból balra és jobbra nem egy, hanem $k$ lépéssel visszaléphetünk - és a képlet továbbra is helyes lesz:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Azok. könnyen találhatunk néhány $((a)_(150))$-t, ha ismerjük $((a)_(100))$ és $((a)_(200))$, mert $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Első pillantásra úgy tűnhet, hogy ez a tény nem ad nekünk semmi hasznosat. A gyakorlatban azonban sok feladatot kifejezetten a számtani átlag használatára szabnak. Nézd meg:

6. feladat. Keresse meg a $x$ összes olyan értékét, amelyeknél a $-6((x)^(2))$, $x+1$ és a $14+4((x)^(2))$ számok egymást követő tagjai egy aritmetikai sorozat (a jelzett sorrendben).

Megoldás. Mivel ezek a számok egy progresszió tagjai, a számtani átlag feltétele teljesül rájuk: a $x+1$ központi elem a szomszédos elemekkel fejezhető ki:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(igazítás)\]

Az eredmény egy klasszikus másodfokú egyenlet. Gyökerei: $x=2$ és $x=-3$ a válaszok.

Válasz: −3; 2.

7. feladat. Keresse meg a $$ azon értékeit, amelyeknél a $-1;4-3;(()^(2))+1$ számok aritmetikai sorozatot alkotnak (ebben a sorrendben).

Megoldás. A középső tagot ismét fejezzük ki a szomszédos tagok számtani átlagán keresztül:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2 \right.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(igazítás)\]

Megint másodfokú egyenlet. És megint két gyök van: $x=6$ és $x=1$.

Válasz: 1; 6.

Ha egy probléma megoldása során brutális számokat talál ki, vagy nem vagy teljesen biztos a talált válaszok helyességében, akkor van egy csodálatos technika, amely lehetővé teszi, hogy ellenőrizze: helyesen oldottuk meg a problémát?

Tegyük fel, hogy a 6. feladatban −3-as és 2-es választ kaptunk. Hogyan ellenőrizhetjük, hogy ezek a válaszok helyesek-e? Csak csatlakoztassuk őket az eredeti állapotba, és meglátjuk, mi történik. Hadd emlékeztesselek arra, hogy három számunk van ($-6(()^(2))$, $+1$ és $14+4(()^(2))$), amelyeknek számtani sorozatot kell alkotniuk. Helyettesítsük a $x=-3$-t:

\[\begin(align) & x=-3\Jobbra \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(igazítás)\]

Megkaptuk a −54 számokat; −2; Az 50, amely 52-vel különbözik, kétségtelenül egy aritmetikai progresszió. Ugyanez történik $x=2$ esetén is:

\[\begin(align) & x=2\Jobbra \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(igazítás)\]

Ismét egy progresszió, de 27-es különbséggel. Így a probléma helyesen megoldódott. Aki szeretné, a második problémát saját maga is leellenőrizheti, de rögtön leszögezem: ott is minden rendben van.

Általánosságban elmondható, hogy az utolsó feladatok megoldása során egy másik érdekes ténnyel találkoztunk, amelyet szintén emlékezni kell:

Ha három szám olyan, hogy a második az első és az utolsó számtani átlaga, akkor ezek a számok számtani sorozatot alkotnak.

A jövőben ennek az állításnak a megértése lehetővé teszi számunkra, hogy a probléma körülményei alapján szó szerint „megkonstruáljuk” a szükséges előrelépéseket. Mielőtt azonban belevágnánk egy ilyen „konstrukcióba”, még egy tényre kell figyelnünk, amely közvetlenül következik a már tárgyaltakból.

Elemek csoportosítása és összegzése

Térjünk vissza ismét a számtengelyhez. Jegyezzük meg ott a progresszió több tagját, amelyek között talán. megér sok más tagot:

A számegyenesen 6 elem található

Próbáljuk meg kifejezni a „bal farkát” $((a)_(n))$ és $d$, a „jobb farok” pedig $((a)_(k))$ és $d$ között. Nagyon egyszerű:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(igazítás)\]

Most vegye figyelembe, hogy a következő összegek egyenlőek:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(igazítás)\]

Egyszerűen fogalmazva, ha a progresszió két elemét tekintjük kezdetnek, amelyek összesen megegyeznek valamilyen $S$ számmal, majd ezektől az elemektől ellentétes irányban (egymás felé vagy fordítva távolodni) kezdünk lépni, akkor azoknak az elemeknek az összegei is egyenlőek lesznek, amelyekbe belebotlunk$S$. Ez a legvilágosabban grafikusan ábrázolható:

Az egyenlő behúzások egyenlő összegeket adnak

Ennek a ténynek a megértése lehetővé teszi számunkra, hogy alapvetően magasabb szintű bonyolultságú problémákat oldjunk meg, mint amelyeket fentebb vizsgáltunk. Például ezek:

8. feladat. Határozzuk meg egy olyan aritmetikai sorozat különbségét, amelyben az első tag 66, a második és a tizenkettedik tag szorzata pedig a lehető legkisebb!

Megoldás. Írjunk le mindent, amit tudunk:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(igazítás)\]

Tehát nem ismerjük a $d$ progresszió különbséget. Valójában a teljes megoldás a különbség köré épül fel, mivel a $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ szorzat a következőképpen írható át:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end(igazítás)\]

A tankban lévőknek: a második zárójelből kivettem a 11-es teljes szorzót. Így a kívánt szorzat egy másodfokú függvény a $d$ változóhoz képest. Ezért tekintsük a $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ függvényt - a grafikonja egy parabola lesz felfelé ágazva, mert ha kibővítjük a zárójeleket, a következőket kapjuk:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

Mint látható, a legmagasabb tag együtthatója 11 - ez egy pozitív szám, tehát valóban felfelé ágazó parabolával van dolgunk:

egy másodfokú függvény grafikonja - parabola

Figyelem: ez a parabola minimális értékét a $((d)_(0))$ abszcissza csúcsánál veszi fel. Természetesen ezt az abszcisszát a standard séma segítségével is kiszámíthatjuk (van a $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$ képlet), de sokkal ésszerűbb lenne megjegyezni hogy a kívánt csúcs a parabola tengelyszimmetriáján fekszik, ezért a $((d)_(0))$ pont egyenlő távolságra van a $f\left(d \right)=0$ egyenlet gyökétől:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(igazítás)\]

Éppen ezért nem siettem különösebben a zárójelek kinyitásával: eredeti formájukban a gyökereket nagyon-nagyon könnyű megtalálni. Ezért az abszcissza egyenlő a -66 és -6 számok számtani átlagával:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Mit ad nekünk a felfedezett szám? Vele a szükséges szorzat felveszi a legkisebb értéket (egyébként soha nem számoltunk $((y)_(\min ))$ - ezt nem követelik meg tőlünk). Ugyanakkor ez a szám az eredeti progressziótól való eltérés, azaz. megtaláltuk a választ :)

Válasz: −36

9. feladat. A $-\frac(1)(2)$ és $-\frac(1)(6)$ számok közé illesszen be három számot úgy, hogy ezekkel a számokkal együtt aritmetikai sorozatot képezzenek.

Megoldás. Lényegében öt számból álló sorozatot kell készítenünk, az első és az utolsó szám már ismert. Jelöljük a hiányzó számokat a $x$, $y$ és $z$ változókkal:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

Vegye figyelembe, hogy a $y$ szám a sorozatunk „közepe” - egyenlő távolságra van a $x$ és $z$ számoktól, valamint a $-\frac(1)(2)$ és $-\frac számoktól (1)(6)$. És ha jelenleg nem tudjuk megkapni az $y$-t a $x$ és a $z$ számokból, akkor a progresszió végeinél más a helyzet. Emlékezzünk a számtani átlagra:

Most $y$ ismeretében megtaláljuk a fennmaradó számokat. Ne feledje, hogy $x$ a $-\frac(1)(2)$ és az általunk talált $y=-\frac(1)(3)$ számok között található. Ezért

Hasonló érveléssel megtaláljuk a fennmaradó számot:

Kész! Mindhárom számot megtaláltuk. Írjuk be őket a válaszba abban a sorrendben, ahogyan az eredeti számok közé kerüljenek.

Válasz: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

10. feladat. A 2 és 42 számok közé illesszen be több olyan számot, amelyek ezekkel a számokkal együtt aritmetikai sorozatot alkotnak, ha tudja, hogy a beszúrt számok első, második és utolsó összege 56.

Megoldás. Egy még összetettebb probléma, amelyet azonban az előzőekkel megegyező séma szerint oldanak meg - a számtani átlagon keresztül. A probléma az, hogy nem tudjuk pontosan, hány számot kell beszúrni. Ezért a határozottság kedvéért tegyük fel, hogy minden beillesztés után pontosan $n$ számok lesznek, amelyek közül az első 2, az utolsó pedig 42. Ebben az esetben a szükséges aritmetikai progresszió a következő formában ábrázolható:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \jobbra\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Megjegyzendő azonban, hogy a $((a)_(2))$ és $((a)_(n-1))$ számokat a 2 és 42 számokból kapjuk egymás felé egy lépéssel az éleken, azaz . a sorozat közepére. Ez pedig azt jelenti

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

De akkor a fent írt kifejezés a következőképpen írható át:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(igazítás)\]

$((a)_(3))$ és $((a)_(1))$ ismeretében könnyen megtalálhatjuk a progresszió különbségét:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Jobbra d=5. \\ \end(igazítás)\]

Már csak a fennmaradó feltételeket kell megtalálni:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(igazítás)\]

Így már a 9. lépésnél elérkezünk a sorozat bal végéhez - a 42-es számhoz. Összesen csak 7 számot kellett beszúrni: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Válasz: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Szóproblémák progressziókkal

Befejezésül néhány viszonylag egyszerű problémát szeretnék megvizsgálni. Nos, ilyen egyszerű: a legtöbb olyan diák számára, aki matematikát tanul az iskolában, és nem olvasta el a fent leírtakat, ezek a problémák nehéznek tűnhetnek. Ennek ellenére az OGE-ben és a matematika egységes államvizsgájában ilyen típusú problémák jelennek meg, ezért javaslom, hogy ismerkedjen meg velük.

11. számú feladat. A csapat januárban 62 alkatrészt gyártott le, minden következő hónapban pedig 14 alkatrészt gyártottak többet, mint az előző hónapban. Hány alkatrészt gyártott a csapat novemberben?

Megoldás. Nyilvánvaló, hogy a hónaponként felsorolt ​​részek száma növekvő számtani progressziót jelent. Ráadásul:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]

November az év 11. hónapja, ezért meg kell találnunk $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Ezért novemberben 202 alkatrész készül.

12. feladat. A könyvkötő műhely januárban 216 könyvet kötött be, minden további hónapban pedig 4 könyvvel többet kötött be, mint az előző hónapban. Hány könyvet kötött be decemberben a műhely?

Megoldás. Minden a régi:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$

December az év utolsó, 12. hónapja, ezért keresünk $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Ez a válasz – decemberben 260 könyvet kötnek be.

Nos, ha idáig olvastad, sietve gratulálok: sikeresen elvégezted a „fiatal harcos tanfolyamot” számtani sorozatokban. Nyugodtan továbbléphet a következő leckére, ahol tanulmányozzuk a haladás összegének képletét, valamint annak fontos és nagyon hasznos következményeit.

Mielőtt dönteni kezdenénk aritmetikai progressziós problémák, nézzük meg, mi is az a számsorozat, mivel az aritmetikai sorozat a számsorozat speciális esete.

A számsorozat egy számkészlet, amelynek minden eleme saját sorozatszámmal rendelkezik. Ennek a halmaznak az elemeit a sorozat tagjainak nevezzük. A sorozatelem sorozatszámát index jelzi:

A sorozat első eleme;

A sorozat ötödik eleme;

- a sorozat „n-edik” eleme, azaz. "sorban álló" elem az n számon.

Egy sorelem értéke és sorszáma között kapcsolat van. Ezért egy sorozatot tekinthetünk függvénynek, amelynek argumentuma a sorozat elemének sorszáma. Más szóval ezt mondhatjuk a sorozat a természetes argumentum függvénye:

A sorrend háromféleképpen állítható be:

1 . A sorrend táblázat segítségével adható meg. Ebben az esetben egyszerűen beállítjuk a sorozat minden tagjának értékét.

Például valaki úgy döntött, hogy személyes időgazdálkodásba kezd, és először megszámolja, mennyi időt tölt a VKontakte-on a héten. Az időt a táblázatban rögzítve hét elemből álló sorozatot kap:

A táblázat első sora a hét napjának számát, a második az időt percekben jelzi. Azt látjuk, hogy hétfőn Valaki 125 percet töltött a VKontakte-on, azaz csütörtökön - 248 percet, azaz pénteken csak 15 percet.

2 . A sorozat az n-edik tag képletével adható meg.

Ebben az esetben egy sorozatelem értékének a számától való függését közvetlenül egy képlet formájában fejezzük ki.

Például ha , akkor

Egy adott számú sorozatelem értékének meghatározásához az elemszámot behelyettesítjük az n-edik tag képletébe.

Ugyanezt tesszük, ha meg kell találnunk egy függvény értékét, ha az argumentum értéke ismert. Az argumentum értékét behelyettesítjük a függvényegyenletbe:

Ha pl. , Azt

Hadd jegyezzem meg még egyszer, hogy egy sorozatban, egy tetszőleges numerikus függvénytől eltérően, az argumentum csak természetes szám lehet.

3 . A sorozat egy képlettel adható meg, amely kifejezi az n számú sortag értékének az előző tagok értékétől való függését. Ebben az esetben nem elég, ha csak a sorozattag számát ismerjük, hogy megtaláljuk az értékét. Meg kell adnunk a sorozat első vagy első néhány tagját.

Vegyük például a sorrendet ,

Megtaláljuk a sorozattagok értékeit sorban, a harmadiktól kezdve:

Vagyis minden alkalommal, hogy megtaláljuk a sorozat n-edik tagjának értékét, visszatérünk az előző kettőhöz. A sorozat megadásának ezt a módszerét ún visszatérő, a latin szóból recurro- Gyere vissza.

Most már definiálhatunk egy aritmetikai progressziót. Az aritmetikai sorozat egy számsorozat egyszerű speciális esete.

Aritmetikai progresszió egy numerikus sorozat, amelynek minden tagja a másodiktól kezdve egyenlő az előzővel, amely ugyanahhoz a számhoz van hozzáadva.

A számot hívják aritmetikai progresszió különbsége. Az aritmetikai sorozat különbsége lehet pozitív, negatív vagy egyenlő nullával.

If title="d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} növekvő.

Például 2; 5; 8; tizenegy;...

Ha , akkor egy aritmetikai sorozat minden tagja kisebb, mint az előző, és a progresszió igen csökkenő.

Például 2; -1; -4; -7;...

Ha , akkor a progresszió minden tagja azonos számmal, és a progresszió az helyhez kötött.

Például 2;2;2;2;...

Az aritmetikai sorozat fő tulajdonsága:

Nézzük a rajzot.

Ezt látjuk

, és ugyanakkor

Ezt a két egyenlőséget összeadva a következőt kapjuk:

.

Osszuk el az egyenlőség mindkét oldalát 2-vel:

Tehát a számtani sorozat minden tagja a másodiktól kezdve egyenlő a két szomszédos szám számtani átlagával:

Ráadásul mivel

, és ugyanakkor

, Azt

, és ezért

Egy aritmetikai sorozat minden tagja title="k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

A th tag képlete.

Látjuk, hogy az aritmetikai progresszió feltételei kielégítik a következő összefüggéseket:

és végül

Kaptunk az n-edik tag képlete.

FONTOS! Egy aritmetikai sorozat bármely tagja kifejezhető a és segítségével. Ismerve az első tagot és a számtani sorozat különbségét, bármelyik tagját megtalálhatja.

Egy aritmetikai sorozat n tagjának összege.

Egy tetszőleges aritmetikai sorozatban a szélsőségektől egyenlő távolságra lévő tagok összegei egyenlők egymással:

Tekintsünk egy n tagú aritmetikai sorozatot. Legyen ennek a progressziónak n tagjának összege egyenlő.

Rendezzük a haladás feltételeit először növekvő, majd csökkenő sorrendbe:

Tegyük hozzá párban:

A zárójelben szereplő összeg , a párok száma n.

Kapunk:

Így, egy aritmetikai sorozat n tagjának összegét a következő képletekkel találhatjuk meg:

Mérlegeljük számtani progressziós feladatok megoldása.

1 . A sorozatot az n-edik tag képlete adja meg: . Bizonyítsuk be, hogy ez a sorozat egy aritmetikai sorozat.

Bizonyítsuk be, hogy a sorozat két szomszédos tagja közötti különbség azonos számmal egyenlő.

Megállapítottuk, hogy a sorozat két szomszédos tagja közötti különbség nem függ azok számától, és állandó. Ezért definíció szerint ez a sorozat egy aritmetikai sorozat.

2 . Adott egy aritmetikai sorozat -31; -27;...

a) Keresse meg a progresszió 31 tagját!

b) Határozza meg, hogy a 41-es szám szerepel-e ebben a haladásban!

A) Azt látjuk ;

Írjuk fel a haladásunk n-edik tagjának képletét.

Általában

A mi esetünkben , Ezért

Kapunk:

b) Tegyük fel, hogy a 41 a sorozat tagja. Keressük a számát. Ehhez oldjuk meg az egyenletet:

Megkaptuk n természetes értékét, tehát igen, a 41-es szám a progresszió tagja. Ha n talált értéke nem természetes szám lenne, akkor azt válaszolnánk, hogy a 41 szám NEM tagja a progressziónak.

3 . a) A 2 és 8 számok közé írjon be 4 számot úgy, hogy ezekkel a számokkal együtt számtani sorozatot alkossanak.

b) Határozza meg az eredményül kapott haladás tagjainak összegét!

A) Szúrjunk be négy számot a 2 és 8 közé:

6 tagú számtani sorozatot kaptunk.

Keressük meg ennek a haladásnak a különbségét. Ehhez az n-edik tag képletét használjuk:

Most már könnyű megtalálni a számok jelentését:

3,2; 4,4; 5,6; 6,8

b)

Válasz: a) igen; b) 30

4. A teherautó 240 tonna tömegű zúzottkő rakományt szállít, naponta ugyanannyi tonnával növelve a szállítási sebességet. Ismeretes, hogy az első napon 2 tonna zúzott követ szállítottak. Határozza meg, hány tonna zúzott követ szállítottak a tizenkettedik napon, ha az összes munkát 15 nap alatt végezték el.

A probléma állapotának megfelelően naponta ugyanannyival növekszik a kamion által szállított zúzottkő mennyisége. Ezért számtani progresszióval van dolgunk.

Fogalmazzuk meg ezt a problémát aritmetikai progresszióval.

Az első nap során 2 tonna zúzott követ szállítottak: a_1=2.

Minden munka 15 nap alatt készült el: .

A teherautó 240 tonna tömegű zúzottkő tételt szállít:

Meg kell találnunk.

Először is nézzük meg a progresszió különbségét. Használjuk a képletet egy progresszió n tagjának összegére.

A mi esetünkben:

Az aritmetikai progresszióval kapcsolatos problémák már az ókorban is léteztek. Megjelentek és megoldást követeltek, mert gyakorlati igényük volt.

Így az ókori Egyiptom egyik matematikai tartalmú papirusza, a Rhind papirusz (Kr. e. 19. század) a következő feladatot tartalmazza: osszon el tíz mérték kenyeret tíz ember között, feltéve, hogy a különbség egy nyolcad intézkedés."

Az ókori görögök matematikai munkáiban pedig elegáns tételek találhatók az aritmetikai progresszióval kapcsolatban. Így az alexandriai Hypsicles (2. század, aki sok érdekes problémát állított össze, és a tizennegyedik könyvvel egészítette ki Euklidész elemeit) így fogalmazta meg a gondolatot: „Páros számú tagú aritmetikai sorozatban a 2. fele tagjainak összege. nagyobb, mint a tagok számának 1/2 négyzetének 1. elemének összege."

A sorozatot an jelöli. A sorozat számait tagjainak nevezzük, és általában betűkkel jelölik, amelyek a tag sorozatszámát jelzik (a1, a2, a3 ... olvasható: „a 1.”, „a 2.”, „a 3.” stb ).

A sorozat lehet végtelen vagy véges.

Mi az aritmetikai progresszió? Ez alatt azt értjük, amelyet az előző (n) azonos d számú tag összeadásával kapunk, ami a progresszió különbsége.

Ha d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, akkor ezt a progressziót növekvőnek tekintjük.

Egy aritmetikai sorozatot végesnek nevezünk, ha csak az első néhány tagját vesszük figyelembe. Nagyon sok taglétszám mellett ez már végtelen előrelépés.

Bármely aritmetikai progressziót a következő képlet határoz meg:

an =kn+b, míg b és k néhány szám.

Az ellenkező állítás teljesen igaz: ha egy sorozatot hasonló képlettel adunk meg, akkor az pontosan egy aritmetikai sorozat, amelynek a tulajdonságai vannak:

1. A progresszió minden tagja az előző és a következő tag számtani átlaga.
2. Fordítva: ha a 2.-tól kezdve minden tag az előző és a következő tag számtani középértéke, i.e. ha a feltétel teljesül, akkor ez a sorozat egy aritmetikai sorozat. Ez az egyenlőség a progresszió jele is, ezért szokás a progresszió jellegzetes tulajdonságának nevezni.
   Ugyanígy igaz az a tétel, amely ezt a tulajdonságot tükrözi: egy sorozat csak akkor aritmetikai progresszió, ha ez az egyenlőség a sorozat bármely tagjára igaz, a 2.-tól kezdve.

Egy aritmetikai sorozat tetszőleges négy számának jellemző tulajdonsága kifejezhető az an + am = ak + al képlettel, ha n + m = k + l (m, n, k progressziós számok).

Egy aritmetikai sorozatban bármely szükséges (N-edik) tag megtalálható a következő képlettel:

Például: az első tag (a1) egy aritmetikai sorozatban adott és egyenlő hárommal, a különbség (d) pedig négy. Meg kell találnia ennek a folyamatnak a negyvenötödik tagját. a45 = 1+4(45-1)=177

Az an = ak + d(n - k) képlet lehetővé teszi egy aritmetikai sorozat n-edik tagjának meghatározását bármely k-edik tagján keresztül, feltéve, hogy ez ismert.

Az aritmetikai sorozat tagjainak összegét (ami egy véges haladás első n tagját jelenti) a következőképpen számítjuk ki:

Sn = (a1+an) n/2.

Ha az 1. tag is ismert, akkor egy másik képlet kényelmes a számításhoz:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

Az n tagot tartalmazó aritmetikai progresszió összegét a következőképpen számítjuk ki:

A számítási képletek kiválasztása a feladatok körülményeitől és a kezdeti adatoktól függ.

Bármely szám természetes sorozata, például 1,2,3,...,n,..., a legegyszerűbb példa a számtani sorozatra.

A számtani haladás mellett létezik egy geometriai haladás is, amelynek megvannak a maga tulajdonságai és jellemzői.

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete