Gödel tétele a formális rendszerek befejezetlenségéről. Gödel tétele a formális aritmetika befejezetlenségéről

Az élet ökológiája. Tudomány és felfedezés: Gödel befejezetlenségi tétele, a matematikai logika egyik leghíresebb tétele, szerencsés és szerencsétlen is. Ebben hasonlít Einstein speciális relativitáselméletére. Egyrészt szinte mindenki hallott már róluk valamit. Egy másik értelmezés szerint Einstein elmélete „azt mondja, hogy a világon minden relatív”.

Tétel Gödel a befejezetlenségről, a matematikai logika egyik leghíresebb tétele, egyszerre szerencsés és balszerencsés. Ebben hasonlít Einstein speciális relativitáselméletére.

Egyrészt szinte mindenki hallott már róluk valamit. Másrészt a népi értelmezésben Einstein elmélete, mint ismeretes, " azt mondja, hogy a világon minden relatív" A Gödel befejezetlenségi tétele(a továbbiakban egyszerűen TGN), megközelítőleg ugyanabban a szabad népi megfogalmazásban, „ bizonyítja, hogy vannak emberi elme számára felfoghatatlan dolgok».

És ezért néhányan megpróbálják a káromkodás elleni érvként adaptálni erializmus , míg mások éppen ellenkezőleg, a segítségével bizonyítják, hogy nincs isten . A vicces nem csak az, hogy nem lehet egyszerre mindkét félnek igaza, hanem az is, hogy sem egyiknek, sem másiknak nem zavarja, hogy kitalálja, mit is mond ez a tétel valójában.

És akkor mi van? Az alábbiakban igyekszem ujjamon mesélni róla. Az előadásom természetesen nem lesz szigorú és intuitív, de megkérem a matematikusokat, hogy ne ítéljenek el szigorúan. Lehetséges, hogy a nem matematikusok számára (akiknek tulajdonképpen én is az vagyok) lesz valami új és hasznos az alábbiakban leírtakban.

A matematikai logika valóban meglehetősen összetett tudomány, és ami a legfontosabb, nem túl ismerős.Óvatos és szigorú manővereket igényel, amelyek során fontos, hogy ne keverjük össze azt, ami valóban bevált, azzal, ami „már világos”. Remélem azonban, hogy az olvasónak csak a középiskolai matematikai/informatikai ismeretekre, logikus gondolkodási készségekre és 15-20 perc időre lesz szüksége a következő „a TGN bizonyításának vázlatának” megértéséhez.

Egy kicsit leegyszerűsítve A TGN azzal érvel, hogy kellően összetett nyelveken vannak bizonyíthatatlan állítások. De ebben a kifejezésben szinte minden szó magyarázatra szorul.

Kezdjük azzal, hogy megpróbáljuk kitalálni, mi a bizonyíték. Vegyünk egy iskolai számtani feladatot. Tegyük fel például, hogy bizonyítania kell a következő egyszerű képlet helyességét: „∀x(x−1)(x−2)−2=x(x−3)” (hadd emlékeztesselek arra, hogy a ∀ szimbólum olvasható „bármelyhez”, és „univerzális kvantornak” hívják). Ezt úgy tudod bebizonyítani, hogy azonos módon átalakítod, mondjuk így:

∀x(x-1)(x-2)-2=x(x-3)

∀xx2−3x+2−2=x2−3x

∀xx2−3x–x2+3x=0

∀x0=0

IGAZ

Az egyik képletről a másikra való átmenet bizonyos jól ismert szabályok szerint történik. A 4. képletről az 5. képletre való átmenet mondjuk azért történt, mert minden szám egyenlő önmagával - ez az aritmetika axiómája. A teljes bizonyítási eljárás tehát a képletet IGAZ logikai értékre fordítja. Az eredmény akár HAZUGSÁG is lehet – ha megcáfolunk valamilyen képletet. Ebben az esetben ennek tagadását bizonyítanánk. El lehet képzelni egy olyan programot (és valóban írtak ilyen programokat), amely emberi beavatkozás nélkül is bizonyítana hasonló (és összetettebb) állításokat.

Mondjuk ki ugyanezt egy kicsit formálisabban. Legyen egy halmazunk, amely valamilyen ábécé karaktersorozataiból áll, és vannak szabályok, amelyek alapján ezekből a karakterláncokból kiválaszthatunk egy S részhalmazt. úgynevezett állítások - azaz nyelvtanilag értelmes kifejezések, amelyek mindegyike igaz vagy hamis. Azt mondhatjuk, hogy van egy P függvény, amely az S-ből származó utasításokhoz két érték egyikét rendeli hozzá: IGAZ vagy HAMIS (vagyis leképezi őket egy két elemből álló B logikai halmazra).

Nevezzük ezt a párost- S utasítások halmaza és P függvény >S-től B-ig - "kijelentések nyelve". Vegyük észre, hogy a hétköznapi értelemben a nyelv fogalma valamivel tágabb. Például az orosz kifejezés „ Gyere ide!"se nem igaz, se nem hamis, vagyis a matematikai logika szempontjából nem állítás.

A továbblépéshez szükségünk lesz az algoritmus fogalmára. Nem adok itt formális definíciót – ez eléggé félrevezetne bennünket. Az informálisra szorítkozom: az „algoritmus” egyértelmû utasítások sorozata („program”), amely véges számú lépésben a kiindulási adatokat eredményvé alakítja.

Alapvetően fontos, hogy mi van dőlt betűvel - ha a program valamilyen kiindulási adaton hurkol, akkor nem írja le az algoritmust. Az egyszerűség kedvéért és a mi esetünkre való alkalmazásunkban az olvasó úgy tekintheti, hogy az algoritmus egy általa ismert programozási nyelven írt program, amely egy adott osztály bármely bemeneti adata esetén garantáltan Boole-féle eredményt ad.

Tegyük fel magunknak a kérdést: minden P függvényhez létezik egy „bizonyító algoritmus” (vagy röviden „ deduktív"), ekvivalens ezzel a függvénnyel, vagyis az egyes utasításokat pontosan ugyanolyan logikai értékké alakítja át? Ugyanez a kérdés tömörebben is megfogalmazható: Kiszámítható minden függvény egy utasításhalmazon?

Ahogy már sejtette, a TGN érvényességéből az következik, hogy nem, nem minden függvény - vannak ilyen típusú nem kiszámítható függvények. Más szavakkal, Nem minden igaz állítás bizonyítható.

De ha jobban belegondolunk, ez egyáltalán nem nyilvánvaló. Egyes tételek bizonyítása meglehetősen egyszerű (például kis számú lehetőség kipróbálásával), míg mások nagyon nehézkesek. Idézzük fel például a híres Nagyot Fermat tétele:

Nincs olyan természetes x,y,z és n>2, hogy xn+yn=zn,

aminek bizonyítékát csak három és fél évszázaddal az első megfogalmazás után találták meg (és ez korántsem elemi). VAL VEL Különbséget kell tenni egy állítás igazsága és bizonyíthatósága között. Sehonnan nem következik, hogy nincsenek igaz, de nem bizonyítható (és nem teljesen ellenőrizhető) állítások.

A második intuitív érv a TGN ellen sokkal finomabb. Tegyük fel, hogy van néhány bizonyíthatatlan (ennek a deduktívnak a keretein belüli) állítása. Mi akadályoz meg bennünket abban, hogy új axiómaként fogadjuk el? Így kissé bonyolítjuk a bizonyítékrendszerünket, de ez nem ijesztő.

Ez az érvelés akkor lenne teljesen helytálló, ha véges számú bizonyíthatatlan állítás lenne. A gyakorlatban a következők fordulhatnak elő: egy új axióma posztulálása után egy új, bizonyíthatatlan állításba botlik. Ha elfogadod egy másik axiómaként, akkor a harmadikba botlik. És így tovább a végtelenségig.

Azt mondják a levonás hiányos marad. Arra is kényszeríthetjük a bizonyító algoritmust, hogy véges számú lépésben fejezze be valamilyen eredménnyel a nyelv bármely megnyilatkozására. De ugyanakkor hazudni kezd - ami helytelen állítások esetén az igazsághoz vezet, vagy hazugsághoz vezet - a hívek számára.

Ilyen esetekben azt mondják, hogy a levonás ellentmondásos. Így a TGN másik megfogalmazása így hangzik: " Vannak olyan propozíciós nyelvek, amelyeknél a teljes következetes deduktív folyamat lehetetlen." - innen ered a tétel neve.

Néha „Gödel-tételnek” nevezett kijelentés az, hogy minden elmélet olyan problémákat tartalmaz, amelyek nem oldhatók meg magának az elméletnek a keretein belül, és általánosítást igényelnek. Bizonyos értelemben ez igaz, bár ez a megfogalmazás inkább elhomályosítja a kérdést, mintsem tisztázza.

Kurt Gödel

Bármely iskolás tudja, hogy mondjuk a sin⁡x függvény esetében nagyon szerencsésnek kell lennie az érveléssel ahhoz, hogy ennek a függvénynek a pontos decimális reprezentációjának kiszámítási folyamata véges számban fejeződjön be. lépések.

De nagy valószínűséggel egy végtelen sorozatból fogja kiszámolni, és ez a számítás soha nem vezet pontos eredményhez, bár olyan közel állhat, amennyire csak akarja - egyszerűen azért, mert a legtöbb érv szinuszértéke irracionális. A TGN egyszerűen azt mondja nekünk, hogy még olyan függvények között is, amelyek argumentumai karakterláncok, és amelyek értéke nulla vagy egy, vannak nem kiszámítható függvények is, bár teljesen más szerkezetűek.

További célból a „formális aritmetika nyelvét” ismertetjük. Tekintsük a véges hosszúságú szövegsorok osztályát, amelyek arab számokból, természetes értékeket felvevő változókból (a latin ábécé betűiből), szóközökből, számtani jelekből, egyenlőségből és egyenlőtlenségből, ∃ („létezik”) és ∀ („bármelyikre”) kvantorokból állnak. és talán néhány más szimbólum is (pontos számuk és összetételük számunkra nem fontos).

Nyilvánvaló, hogy nem minden ilyen sor értelmes (például a „12=+∀x>” nonszensz). Az ebből az osztályból származó értelmes kifejezések részhalmaza (vagyis a közönséges aritmetika szempontjából igaz vagy hamis karakterláncok) lesz az állításkészletünk.

Példák formális aritmetikai állításokra:

1=1

2×2=5

∃xx>3

∀y∀zy×z>y+ z

stb. Nevezzünk most egy „szabad paraméteres képletet” (FSP) egy olyan karakterláncnak, amely akkor válik állítássá, ha egy természetes számot helyettesítünk be ebbe a paraméterbe. Példák az FSP-re (x paraméterrel):

x=0

2×2=x

∃yx+y>x

stb. Más szavakkal, az FSP-k egyenértékűek a logikai értékekkel rendelkező természetes argumentumfüggvényekkel.

Jelöljük az összes FSP halmazát F betűvel. Jól látható, hogy rendezhető (például először az egybetűs képleteket írjuk ki ábécé sorrendben, majd a kétbetűs képleteket stb.; ez nem fontos nekünk melyik ábécé szerint történik a rendelés). Így bármelyik FSP megfelel a k számának a rendezett listában, és ezt Fk-vel jelöljük.

Térjünk át a TGN bizonyításának vázlatára a következő megfogalmazásban:

A formális aritmetika propozíciós nyelve számára nincs teljes következetes deduktív rendszer.

Ellentmondással fogjuk bizonyítani.

Tehát tegyük fel, hogy létezik ilyen deduktív rendszer. Leírjuk a következő A segédalgoritmust, amely logikai értéket rendel egy k természetes számhoz a következőképpen:

1. Keresse meg a k-edik képletet az F listában.

2. Helyettesítsd be a k számot argumentumként!

3. A kapott állításra alkalmazzuk bizonyítási algoritmusunkat (feltevésünk szerint létezik), amely IGAZ-ra vagy HAMIS-ra fordítja.

4. Alkalmazzon logikai tagadást a kapott eredményre.

Egyszerűen fogalmazva, az algoritmus akkor és csak akkor adja az IGAZ értéket, ha a listánkban szereplő FSP-ben a saját számának behelyettesítése hamis állítást ad.

Elérkeztünk az egyetlen helyhez, ahol megkérem az olvasót, fogadjon szót.

Nyilvánvaló, hogy a fenti feltételezés alapján bármely F-ből származó FSP társítható egy olyan algoritmushoz, amely a bemeneten természetes számot, a kimeneten pedig egy logikai értéket tartalmaz.

Az ellenkezője kevésbé nyilvánvaló:

Lemma: Minden olyan algoritmus, amely természetes számot Boole-értékké alakít át, megfelel az F halmaz valamelyik FSP-jének.

Valójában az algoritmusokat algoritmikus nyelveken írják, amelyek között vannak olyan egzotikusak, mint például a nyolc egykarakteres szóból álló Brainfuck, amelyben ennek ellenére bármilyen algoritmus megvalósítható. Furcsa lenne, ha a formális aritmetikai képletek általunk leírt gazdagabb nyelve szegényebbnek bizonyulna - bár kétségtelenül nem nagyon alkalmas a hétköznapi programozásra.

Ezen a csúszós helyen áthaladva gyorsan a végére érünk.

Tehát fentebb leírtuk az A algoritmust. A lemma szerint, amit kértem, hogy higgyen, létezik egyenértékű FSP. Van valami szám az F listában – mondjuk n. Tegyük fel magunknak a kérdést, mi az Fn(n)? Legyen ez az IGAZSÁG. Ekkor az A algoritmus (és ezzel az ekvivalens Fn függvény) felépítése szerint ez azt jelenti, hogy az n szám Fn függvénybe való behelyettesítésének eredménye HAMIS.

A fordított ellenõrzés ugyanígy történik: Fn(n)=FALSE-bõl az következik, hogy Fn(n)=IGAZ. Ellentmondáshoz érkeztünk, ami azt jelenti, hogy az eredeti feltevés hibás. Így nincs teljes következetes deduktív rendszer a formális aritmetikára. Q.E.D.

Itt érdemes felidézni Epimenidészt, aki, mint ismeretes, kijelentette, hogy minden krétai hazug, ő maga krétai. Kijelentésének tömörebb megfogalmazásában (amely „hazug paradoxonként” ismert) a következőképpen fogalmazható meg: „ hazudok" Pontosan ezt a fajta állítást használtuk bizonyításra, amely maga is hamisságát hirdeti.

Végezetül szeretném megjegyezni, hogy a TGN nem állít semmi különösebben meglepőt. Hiszen már régóta megszokta mindenki, hogy nem minden szám ábrázolható két egész szám arányaként (ne feledjük, ennek az állításnak van egy nagyon elegáns, több mint kétezer éves bizonyítéka?).És a racionális együtthatós polinomok gyökerei nem is minden szám . És most kiderült, hogy egy természetes argumentum nem minden függvénye számítható ki.

A megadott bizonyítási vázlat a formális aritmetikára vonatkozik, de könnyen belátható, hogy a TGN sok más propozíciós nyelvre is alkalmazható. Természetesen nem minden nyelv ilyen. Például definiáljunk egy nyelvet a következőképpen:

"Bármely kínai nyelvű kifejezés igaz állítás, ha benne van Mao Ce-tung elvtárs idézetében, és helytelen, ha nincs benne."

Ekkor a megfelelő teljes és konzisztens bizonyítási algoritmus (nevezhetjük „dogmatikus deduktívnak”) valahogy így néz ki:

– Lapozd át Mao Ce-tung elvtárs idézetkönyvét, amíg meg nem találod a keresett mondást. Ha megtalálják, akkor igaz, de ha az idézetkönyv véget ért, és az állítás nem található, akkor az téves."

Itt az ment meg minket, hogy minden idézetkönyv nyilvánvalóan véges, így a „bizonyítás” folyamata óhatatlanul véget ér. Így a TGN nem alkalmazható a dogmatikai kijelentések nyelvére. De bonyolult nyelvekről beszéltünk, igaz? közzétett

09szept

A matematikai axiómák bármely rendszere, egy bizonyos összetettségi szinttől kezdve, belsőleg ellentmondásos, vagy hiányos.

1900-ban Párizsban rendezték meg a Matematikusok Világkonferenciáját, amelyen David Gilbert(David Hilbert, 1862–1943) tézisek formájában mutatta be azt a 23, szerinte legfontosabb feladatot, amelyet a közelgő huszadik század teoretikusainak meg kellett oldaniuk. A listája második helye azon egyszerű problémák egyike volt, amelyekre a válasz nyilvánvalónak tűnik, amíg egy kicsit mélyebbre nem ásunk. Modern szóhasználattal ez volt a kérdés: önellátó-e a matematika? Hilbert második feladata abból fakadt, hogy szigorúan be kell bizonyítani, hogy az axiómarendszer - a matematikában bizonyítási alapként elfogadott alapvető állítások - tökéletes és teljes, vagyis lehetővé teszi, hogy minden létezőt matematikailag leírjunk. Be kellett bizonyítani, hogy meg lehet határozni egy olyan axiómarendszert, amely egyrészt kölcsönösen konzisztens lesz, másrészt ezekből levonható a következtetés bármely állítás igazára vagy hamisságára vonatkozóan.

Vegyünk egy példát az iskolai geometriából. A szabványos euklideszi planimetriában (geometria egy síkon) kétségtelenül igazolható, hogy a „háromszög szögeinek összege 180°” állítás igaz, és a „háromszög szögeinek összege 137” állítás igaz. °” hamis. Lényegében az euklideszi geometriában minden állítás hamis vagy igaz, és nincs harmadik lehetőség. A huszadik század elején pedig a matematikusok naivan azt hitték, hogy minden logikailag konzisztens rendszerben ugyanezt a helyzetet kell megfigyelni.

Aztán 1931-ben valami szemüveges bécsi matematikus Kurt Gödel- vett és közzétett egy rövid cikket, amely egyszerűen felforgatta az úgynevezett „matematikai logika” egész világát. Hosszú és összetett matematikai és elméleti előtagok után szó szerint megállapította a következőket. Vegyünk egy olyan állítást, mint például: „A 247. számú feltételezés ebben az axiómarendszerben logikailag bizonyíthatatlan”, és nevezzük „A állításnak”. Tehát Gödel egyszerűen bebizonyította bármely axiómarendszer következő csodálatos tulajdonságát:

"Ha az A állítás bizonyítható, akkor a nem-A állítás is bizonyítható."

Vagyis ha a „247. feltevés bizonyíthatatlan” állítás igaza bizonyítható, akkor a „247. feltevés bizonyítható” állítás igaza is igazolható. Vagyis visszatérve Hilbert második problémájának megfogalmazásához, ha egy axiómarendszer teljes (vagyis bármely állítás bizonyítható benne), akkor az ellentmondásos.

Az egyetlen kiút ebből a helyzetből egy hiányos axiómarendszer elfogadása. Azaz bele kell tűrnünk, hogy bármely logikai rendszer kontextusában továbbra is lesznek „A” típusú állításaink, amelyek nyilvánvalóan igazak vagy hamisak – és ezek igazságát csak a rendelkezésünkre álló axiomatika keretein kívül tudjuk megítélni. elfogadott. Ha nincsenek ilyen állítások, akkor axiomatikánk ellentmondásos, és ennek keretein belül elkerülhetetlenül lesznek bizonyítható és cáfolható megfogalmazások.

Tehát az első, vagyis gyenge Gödel-tétel megfogalmazása a hiányosságról: "Bármely formális axiómarendszer megfejtetlen feltevéseket tartalmaz". De Gödel nem állt meg itt, megfogalmazta és bebizonyította Gödel második, vagyis erős hiányossági tételét: „E rendszer keretein belül nem bizonyítható egyetlen axiómarendszer logikai teljessége (vagy hiányossága). Ennek bizonyításához vagy cáfolásához további axiómák szükségesek (a rendszer megerősítése).

Biztonságosabb lenne azt gondolni, hogy Gödel tételei absztrakt természetűek, és nem vonatkoznak ránk, hanem csak a magasztos matematikai logika területeire, de valójában kiderült, hogy közvetlenül kapcsolódnak az emberi agy szerkezetéhez. Roger Penrose (szül. 1931) angol matematikus és fizikus kimutatta, hogy Gödel tételei felhasználható annak bizonyítására, hogy alapvető különbségek vannak az emberi agy és a számítógép között. Érvelésének értelme egyszerű. A számítógép szigorúan logikailag cselekszik, és nem tudja eldönteni, hogy az A állítás igaz-e vagy hamis, ha túlmutat az axiomatikán, és az ilyen állítások Gödel tétele szerint elkerülhetetlenül léteznek. Az ember, aki egy ilyen logikailag bizonyíthatatlan és megcáfolhatatlan A állítással szembesül, mindig képes meghatározni annak igazát vagy hamisságát - a mindennapi tapasztalatok alapján. Ebben legalábbis az emberi agy jobb, mint egy tiszta logikai áramkörökhöz kötött számítógép. Az emberi agy képes megérteni a Gödel-tételekben rejlő igazság teljes mélységét, de a számítógépes agy soha nem képes megérteni. Ezért az emberi agy minden, csak nem számítógép. Képes döntéseket hozni, és átmegy a Turing-teszten.

A matematikai logika egyik leghíresebb tétele egyszerre szerencsés és balszerencsés. Ebben hasonlít Einstein speciális relativitáselméletére. Egyrészt szinte mindenki hallott már róluk valamit. Másrészt a népszerű értelmezés szerint Einstein elmélete, mint ismeretes, „Azt mondja, hogy a világon minden relatív”. És Gödel tétele a hiányosságról (továbbiakban egyszerűen TGN), hozzávetőleg ugyanilyen szabad népi megfogalmazásban, "bizonyítja, hogy vannak emberi elme számára felfoghatatlan dolgok". Így egyesek megpróbálják a materializmus elleni érvként adaptálni, míg mások éppen ellenkezőleg, a segítségével bizonyítják, hogy nincs Isten. A vicces nem csak az, hogy nem lehet egyszerre mindkét félnek igaza, hanem az is, hogy sem egyiknek, sem másiknak nem zavarja, hogy kitalálja, mit is mond ez a tétel valójában.

A matematikai logika valóban meglehetősen összetett tudomány, és ami a legfontosabb, nem túl ismerős. Óvatos és szigorú manővereket igényel, amelyek során fontos, hogy ne keverjük össze azt, ami valóban bevált, azzal, ami „már világos”. Remélem azonban, hogy az olvasónak csak a középiskolai matematikai/informatikai ismeretekre, logikus gondolkodási készségekre és 15-20 perc időre lesz szüksége a következő „a TGN bizonyításának vázlatának” megértéséhez.

Némileg leegyszerűsítve a TGN azt állítja, hogy kellően összetett nyelveken vannak bizonyíthatatlan állítások. De ebben a kifejezésben szinte minden szó magyarázatra szorul.

Kezdjük azzal, hogy megpróbáljuk kitalálni, mi a bizonyíték. Vegyünk egy iskolai számtani feladatot. Tegyük fel például, hogy bizonyítania kell a következő egyszerű képlet helyességét: „ ” (hadd emlékeztessem Önöket arra, hogy a szimbólum „bármelyikre”, és „univerzális kvantornak” nevezik). Ezt úgy tudod bebizonyítani, hogy azonos módon átalakítod, mondjuk így:

Mondjuk ki ugyanezt egy kicsit formálisabban. Tegyük fel, hogy van egy halmazunk, amely valamilyen ábécé karaktersoraiból áll, és vannak szabályok, amelyek alapján ezekből a karakterláncokból kiválaszthatjuk az ún. nyilatkozatok- vagyis nyelvtanilag értelmes kifejezések, amelyek mindegyike igaz vagy hamis. Azt mondhatjuk, hogy van egy függvény, amely két érték közül az egyikhez rendeli az utasításokat: TRUE vagy FALSE (vagyis két elemből álló logikai halmazba képezi le őket).

Nevezzünk egy ilyen párt - állítások halmazát és függvényt -tól -ig - "kijelentések nyelve". Vegyük észre, hogy a hétköznapi értelemben a nyelv fogalma valamivel tágabb. Például az orosz kifejezés "Gyere ide!" se nem igaz, se nem hamis, vagyis a matematikai logika szempontjából nem állítás.

A továbblépéshez szükségünk lesz az algoritmus fogalmára. Nem adok itt formális definíciót – ez eléggé félrevezetne bennünket. Az informálisra szorítkozom: "algoritmus" egyértelmű utasítások sorozata („program”), amely véges számú lépésben a forrásadatokat eredményekké alakítja. Alapvetően fontos, hogy mi van dőlt betűvel - ha a program valamilyen kiindulási adaton hurkol, akkor nem írja le az algoritmust. Az egyszerűség kedvéért és a mi esetünkre való alkalmazásunkban az olvasó úgy tekintheti, hogy az algoritmus egy általa ismert programozási nyelven írt program, amely egy adott osztály bármely bemeneti adata esetén garantáltan Boole-féle eredményt ad.

Tegyük fel magunknak a kérdést: minden függvényhez létezik egy „bizonyító algoritmus” (vagy röviden, "deduktív"), ekvivalens ezzel a függvénnyel, vagyis az egyes utasításokat pontosan ugyanolyan logikai értékké alakítja át, mint ez? Ugyanez a kérdés tömörebben is megfogalmazható a következőképpen: minden függvény állítások halmazán van-e kiszámítható? Ahogy már sejtette, a TGN érvényességéből az következik, hogy nem, nem minden függvény - vannak ilyen típusú nem kiszámítható függvények. Más szóval, nem minden igaz állítást lehet bizonyítani.

Nagyon valószínű, hogy ez a kijelentés belső tiltakozást vált ki benned. Ez több körülménynek köszönhető. Először is, amikor iskolai matematikát tanítanak nekünk, néha az a hamis benyomásunk támad, hogy a „tétel igaz” és „a tétel bizonyítható vagy ellenőrizhető” kifejezések szinte teljesen azonosak. De ha jobban belegondolunk, ez egyáltalán nem nyilvánvaló. Egyes tételek bizonyítása meglehetősen egyszerű (például kis számú lehetőség kipróbálásával), míg mások nagyon nehézkesek. Vegyük például Fermat híres utolsó tételét:

aminek bizonyítékát csak három és fél évszázaddal az első megfogalmazás után találták meg (és ez korántsem elemi). Különbséget kell tenni egy állítás igazsága és bizonyíthatósága között. Sehonnan nem következik, hogy nincsenek igaz, de nem bizonyítható (és nem teljesen ellenőrizhető) állítások.

A második intuitív érv a TGN ellen sokkal finomabb. Tegyük fel, hogy van néhány bizonyíthatatlan (ennek a deduktívnak a keretein belüli) állítása. Mi akadályoz meg bennünket abban, hogy új axiómaként fogadjuk el? Így kissé bonyolítjuk a bizonyítékrendszerünket, de ez nem ijesztő. Ez az érvelés akkor lenne teljesen helytálló, ha véges számú bizonyíthatatlan állítás lenne. A gyakorlatban a következő történhet: egy új axióma posztulálása után egy új, bizonyíthatatlan állításba botlik. Ha elfogadod egy másik axiómaként, akkor a harmadikba botlik. És így tovább a végtelenségig. Azt mondják, hogy a levonás megmarad befejezetlen. Arra is kényszeríthetjük a bizonyító algoritmust, hogy véges számú lépésben fejezze be valamilyen eredménnyel a nyelv bármely megnyilatkozására. De ugyanakkor hazudni kezd - ami helytelen állítások esetén az igazsághoz vezet, vagy hazugsághoz vezet - a hívek számára. Ilyenkor azt mondják, hogy levonás ellentmondó. Így a TGN egy másik megfogalmazása így hangzik: „Vannak propozíciós nyelvek, amelyeknél a teljes következetes deduktivitás lehetetlen” - innen származik a tétel neve.

Megjegyzem még, hogy ha ismert függvényekről beszélnénk, amelyek valós számok halmazát képezik le, akkor a függvény „ki nem számíthatósága” senkit sem lepne meg (csak ne keverjük össze a „kiszámítható függvényeket” és a „kiszámítható számokat” ” – ezek különböző dolgok). Minden iskolás tudja, hogy mondjuk egy függvény esetében nagyon szerencsésnek kell lenni az érveléssel ahhoz, hogy ennek a függvénynek az értékének pontos decimális reprezentációját kiszámító folyamat véges számú lépésben fejeződjön be. De nagy valószínűséggel végtelen sorozatból fogja kiszámolni, és ez a számítás soha nem vezet pontos eredményhez, bár olyan közel jöhet, amennyire csak akarja – egyszerűen azért, mert a legtöbb érv szinuszának értéke irracionális. A TGN egyszerűen azt mondja nekünk, hogy még olyan függvények között is, amelyek argumentumai karakterláncok, és amelyek értéke nulla vagy egy, vannak nem kiszámítható függvények is, bár teljesen más szerkezetűek.

További célból a „formális aritmetika nyelvét” ismertetjük. Tekintsünk egy véges hosszúságú szövegsorok osztályát, amelyek arab számokból, változókból (a latin ábécé betűi), természetes értékeket felvevő változókból, szóközökből, számtani jelekből, egyenlőségből és egyenlőtlenségből, kvantorokból ("létezik") és ("bármilyenre") és , esetleg , néhány más szimbólum (pontos számuk és összetételük számunkra lényegtelen). Nyilvánvaló, hogy nem minden ilyen sor értelmes (például a „ ” nonszensz). Az ebből az osztályból származó értelmes kifejezések részhalmaza (vagyis a közönséges aritmetika szempontjából igaz vagy hamis karakterláncok) lesz az állításkészletünk.

Példák formális aritmetikai állításokra:

stb. Más szavakkal, az FSP-k egyenértékűek a logikai értékekkel rendelkező természetes argumentumfüggvényekkel.

Jelöljük az összes FSP halmazát betűvel. Egyértelmű, hogy sorba rendezhető (pl. először ábécé sorrendben írjuk ki az egybetűs képleteket, majd a kétbetűs képleteket stb.; nekünk nem mindegy, hogy melyik ábécé szerint történik a rendezés). Így bármely FSP megfelel a sorszámának a rendezett listában, és ezt jelöljük.

Térjünk át a TGN bizonyításának vázlatára a következő megfogalmazásban:

A formális aritmetika propozíciós nyelve számára nincs teljes következetes deduktív rendszer.

Ellentmondással fogjuk bizonyítani.

Tehát tegyük fel, hogy létezik ilyen deduktív rendszer. Leírjuk a következő segédalgoritmust, amely egy természetes számhoz logikai értéket rendel a következőképpen:

Egyszerűen fogalmazva, az algoritmus akkor és csak akkor adja az IGAZ értéket, ha a listánkban szereplő FSP-ben a saját számának behelyettesítése hamis állítást ad.

Elérkeztünk az egyetlen helyhez, ahol megkérem az olvasót, fogadjon szót.

Nyilvánvaló, hogy a fenti feltevés alapján bármely FSP összehasonlítható egy olyan algoritmussal, amely a bemeneten természetes számot, a kimeneten pedig egy logikai értéket tartalmaz. Az ellenkezője kevésbé nyilvánvaló:

E lemma bizonyításához legalább egy formális, nem pedig intuitív definícióra lenne szükség az algoritmus fogalmának meghatározására. Viszont ha egy kicsit belegondolunk, ez egészen hihető. Valójában az algoritmusokat algoritmikus nyelveken írják, amelyek között vannak olyan egzotikusak, mint például a nyolc egykarakteres szóból álló Brainfuck, amelyben ennek ellenére bármilyen algoritmus megvalósítható. Furcsa lenne, ha a formális aritmetikai képletek általunk leírt gazdagabb nyelve szegényebbnek bizonyulna - bár kétségtelenül nem nagyon alkalmas a hétköznapi programozásra.

Ezen a csúszós helyen áthaladva gyorsan a végére érünk.

Tehát fentebb leírtuk az algoritmust. A lemma szerint, amit kértem, hogy higgye el, létezik egyenértékű FSP. Van néhány szám a listában – mondjuk . Tegyük fel magunknak a kérdést: mivel egyenlő? Legyen ez az IGAZSÁG. Ekkor ez az algoritmus (és így a vele ekvivalens függvény) felépítése szerint azt jelenti, hogy a függvénybe szám behelyettesítésének eredménye HAMIS. Az ellenkezőjét is ugyanúgy ellenőrizzük: a FALSE-ból az IGAZ következik. Ellentmondáshoz érkeztünk, ami azt jelenti, hogy az eredeti feltevés hibás. Így nincs teljes következetes deduktív rendszer a formális aritmetikára. Q.E.D.

Itt érdemes felidézni Epimenidészt (lásd a portrét a címben), aki, mint ismeretes, kijelentette, hogy minden krétai hazug, maga is krétai. Tömörebben fogalmazva kijelentése (amelyet „hazug paradoxonként” ismerünk) a következőképpen fogalmazható meg: „Hazudok”. Pontosan ezt a fajta állítást használtuk bizonyításra, amely maga is hamisságát hirdeti.

Végezetül szeretném megjegyezni, hogy a TGN nem állít semmi különösebben meglepőt. A végén már mindenki megszokta, hogy nem minden szám ábrázolható két egész szám arányaként (ne feledjük, ennek az állításnak van egy nagyon elegáns bizonyítéka, ami több mint kétezer éves?). És nem minden szám gyöke a racionális együtthatós polinomoknak sem. És most kiderült, hogy egy természetes argumentum nem minden függvénye számítható ki.

"Bármely kínai nyelvű kifejezés igaz állítás, ha benne van Mao Ce-tung elvtárs idézetében, és helytelen, ha nincs benne."

Ekkor a megfelelő teljes és konzisztens bizonyítási algoritmus (nevezhetjük „dogmatikus deduktívnak”) valahogy így néz ki:

– Lapozd át Mao Ce-tung elvtárs idézetkönyvét, amíg meg nem találod a keresett mondást. Ha megtalálják, akkor igaz, de ha az idézetkönyv véget ért, és az állítás nem található, akkor az téves."

A matematikai axiómák bármely rendszere, egy bizonyos összetettségi szinttől kezdve, belsőleg ellentmondásos, vagy hiányos.

1900-ban Párizsban rendezték meg a Matematikusok Világkonferenciáját, amelyen David Hilbert (1862–1943) tézisek formájában mutatta be azt a 23, szerinte legfontosabb problémát, amelyet a közelgő huszadik század teoretikusainak meg kellett oldaniuk. A listája második helye azon egyszerű problémák egyike volt, amelyekre a válasz nyilvánvalónak tűnik, amíg egy kicsit mélyebbre nem ásunk. Modern szóhasználattal ez volt a kérdés: önellátó-e a matematika? Hilbert második feladata abból fakadt, hogy szigorúan be kell bizonyítani, hogy az axiómarendszer - a matematikában bizonyítási alapként elfogadott alapvető állítások - tökéletes és teljes, vagyis lehetővé teszi, hogy minden létezőt matematikailag leírjunk. Be kellett bizonyítani, hogy meg lehet határozni egy olyan axiómarendszert, amely egyrészt kölcsönösen konzisztens lesz, másrészt ezekből levonható a következtetés bármely állítás igazára vagy hamisságára vonatkozóan.

Aztán 1931-ben néhány szemüveges bécsi matematikus, Kurt Gödel közzétett egy rövid cikket, amely egyszerűen felforgatta az úgynevezett „matematikai logika” egész világát. Hosszú és összetett matematikai és elméleti előtagok után szó szerint megállapította a következőket. Vegyünk egy olyan állítást, mint például: „A 247. számú feltételezés ebben az axiómarendszerben logikailag bizonyíthatatlan”, és nevezzük „A állításnak”. Tehát Gödel egyszerűen bebizonyította bármely axiómarendszer következő csodálatos tulajdonságát:

"Ha az A állítás bizonyítható, akkor a nem-A állítás is bizonyítható."

Vagyis ha a „247. feltevés bizonyíthatatlan” állítás igaza bizonyítható, akkor a „247. feltevés bizonyítható” állítás igaza is igazolható. Vagyis visszatérve Hilbert második problémájának megfogalmazásához, ha egy axiómarendszer teljes (vagyis bármely állítás bizonyítható benne), akkor az ellentmondásos.

Tehát Gödel első, vagyis gyenge befejezetlenségi tételének megfogalmazása: „Bármely formális axiómarendszer tartalmaz megoldatlan feltevéseket”. De Gödel nem állt meg itt, megfogalmazta és bebizonyította Gödel második, vagyis erős hiányossági tételét: „E rendszer keretein belül nem bizonyítható egyetlen axiómarendszer logikai teljessége (vagy hiányossága). Ennek bizonyításához vagy cáfolásához további axiómák szükségesek (a rendszer megerősítése).

Biztonságosabb lenne azt gondolni, hogy Gödel tételei absztrakt természetűek, és nem vonatkoznak ránk, hanem csak a magasztos matematikai logika területeire, de valójában kiderült, hogy közvetlenül kapcsolódnak az emberi agy szerkezetéhez. Roger Penrose angol matematikus és fizikus (szül. 1931) kimutatta, hogy Gödel tételei felhasználhatók az emberi agy és a számítógép közötti alapvető különbségek bizonyítására. Érvelésének értelme egyszerű. A számítógép szigorúan logikailag cselekszik, és nem tudja eldönteni, hogy az A állítás igaz-e vagy hamis, ha túlmutat az axiomatikán, és az ilyen állítások Gödel tétele szerint elkerülhetetlenül léteznek. Az ember, aki egy ilyen logikailag bizonyíthatatlan és megcáfolhatatlan A állítással szembesül, mindig képes meghatározni annak igazát vagy hamisságát - a mindennapi tapasztalatok alapján. Ebben legalábbis az emberi agy jobb, mint egy tiszta logikai áramkörökhöz kötött számítógép. Az emberi agy képes megérteni a Gödel-tételekben rejlő igazság teljes mélységét, de a számítógépes agy soha nem képes megérteni. Ezért az emberi agy minden, csak nem számítógép. Képes döntéseket hozni, és átmegy a Turing-teszten.

Vajon Hilbertnek volt-e fogalma arról, hogy kérdései meddig visznek bennünket?

Kurt GÖDEL
Kurt Godel, 1906–78

osztrák, majd amerikai matematikus. Brünnben (ma Brno, Csehország) született. A bécsi egyetemen végzett, ahol a matematika tanszék tanára maradt (1930-tól - professzor). 1931-ben publikált egy tételt, amely később a nevét kapta. Tisztán apolitikus emberként rendkívül nehéz dolga volt, amikor egy náci diák meggyilkolta barátját és osztálytársát, és mély depresszióba esett, amelynek visszaesései élete végéig kísértették. Az 1930-as években az Egyesült Államokba emigrált, de visszatért szülővárosába, Ausztriába, és megnősült. 1940-ben, a háború tetőpontján kénytelen volt Amerikába menekülni a Szovjetunión és Japánon keresztül. Egy ideig a Princeton Institute for Advanced Study-ban dolgozott. Sajnos a tudós pszichéje nem bírta, és egy pszichiátriai klinikán halt meg éhségtől, nem volt hajlandó enni, mert meg volt győződve arról, hogy meg fogják mérgezni.

Megjegyzések: 0

Hogyan alakul ki egy tudományos modell a természettudományokban? A mindennapi vagy tudományos tapasztalatok felhalmozódnak, mérföldkövei gondosan posztulátumok formájában vannak megfogalmazva, és a modell alapját képezik: olyan kijelentések halmazát, amelyeket mindenki elfogad, aki ennek a modellnek a keretében dolgozik.

Anatolij Wasserman

1930-ban Kurt Gödel bebizonyított két tételt, amelyek a matematikai nyelvről emberi nyelvre lefordítva hozzávetőlegesen a következőket jelentik: Bármely axiómarendszer, amely elég gazdag ahhoz, hogy az aritmetika meghatározásához felhasználható legyen, vagy hiányos, vagy ellentmondásos. Nem teljes rendszer - ez azt jelenti, hogy a rendszerben megfogalmazható egy olyan állítás, amelyet ezzel a rendszerrel sem bizonyítani, sem cáfolni nem lehet. De definíció szerint Isten minden ok végső oka. A matematika szempontjából ez azt jelenti, hogy az Istenről szóló axióma bevezetése teljessé teszi az egész axiómánkat. Ha van Isten, akkor bármely állítás bizonyítható vagy cáfolható, így vagy úgy, Istenre hivatkozva. De Gödel szerint a teljes axiómarendszer elkerülhetetlenül ellentmondásos. Vagyis ha elhisszük, hogy Isten létezik, akkor kénytelenek vagyunk arra a következtetésre jutni, hogy a természetben lehetségesek az ellentmondások. És mivel nincsenek ellentmondások, különben egész világunk összeomlana ezektől az ellentmondásoktól, arra a következtetésre kell jutnunk, hogy Isten léte összeegyeztethetetlen a természet létezésével.

Szosinszkij A. B.

Gödel tételét a relativitáselmélet, a kvantummechanika és a DNS felfedezéseivel együtt általában a 20. század legnagyobb tudományos vívmányának tekintik. Miért? Mi a lényege? Mi a jelentősége? Ezekkel a kérdésekkel foglalkozik a „Public Lectures „Polit.ru” projekt keretében tartott előadásában Alekszej Bronyiszlavovics Szosinszkij matematikus, a Független Moszkvai Egyetem professzora, a Francia Köztársaság Akadémiai Pálmarendjének tisztje, 2012-ben elnyerte az orosz kormány oktatási díját. Különböző megfogalmazásokban szerepelt, bizonyításának három megközelítését írták le (Kolmogorov, Csaitin és maga Gödel), valamint kifejtették jelentőségét a matematika, a fizika, az informatika és a filozófia szempontjából.

Uszpenszkij V.A.

Az előadást Gödel Befejezetlenségi tételének szintaktikai változatának szenteljük. Gödel maga bizonyította a szintaktikai változatot a konzisztenciánál erősebb feltételezéssel, nevezetesen az úgynevezett omega konzisztenciával.

Uszpenszkij V.A.

Előadások a „Modern Mathematics” nyári iskolában, Dubna.

Régóta érdekel, mi az a szenzációs Gödel-tétel. És mennyire hasznos az életben. És végül sikerült rájönnöm.

A tétel legnépszerűbb megfogalmazása így hangzik:
"Minden matematikai axiómarendszer, egy bizonyos összetettségi szinttől kezdve, vagy belsőleg ellentmondásos, vagy hiányos."

Emberi nem matematikai nyelvre a következőképpen fordítanám le (az axióma egy elmélet kiinduló helyzete, amelyet ennek az elméletnek a keretein belül bizonyítási követelmény nélkül igaznak fogadunk el, és egyéb rendelkezéseinek bizonyítására alapul) . Az életben axióma az egy személy, a társadalom, a tudományos irány és az államok által követett elvek. A vallás képviselői az axiómákat dogmáknak nevezik. Ebből következően bármely alapelvünk, nézetrendszerünk egy bizonyos szintről indulva belsőleg ellentmondásossá vagy hiányossá válik. Ahhoz, hogy meggyõzõdjön egy bizonyos állítás igazságáról, túl kell lépnie ennek a hitrendszernek a keretein, és egy újat kell felépítenie. De az is tökéletlen lesz. Vagyis a MEGISMERÉS FOLYAMATA VÉGTELEN. A világot nem lehet teljesen megérteni, amíg el nem érjük az eredeti forrást.

"...ha a logikus gondolkodás képességét tekintjük az emberi elme fő jellemzőjének, vagy legalábbis fő eszközének, akkor Gödel tétele közvetlenül jelzi agyunk korlátozott képességeit. Egyetértünk abban, hogy ez nagyon nehéz az ember számára a gondolat végtelen erejében való hitre neveltek hatalmának határairól szóló tézist... Sok szakértő úgy véli, hogy a logikus gondolkodás alapjául szolgáló formális-számítási, „arisztotelészi” folyamatok csak egy részét képezik az emberi tudatnak, míg egy másik területet ez, alapvetően „nem számítási”, felelős az olyan megnyilvánulásokért, mint az intuíció, a kreatív belátás és a megértés. még tovább ment. Felvetette néhány nem számítási jellegű kvantumhatás létezését, amelyek biztosítják a tudatosság teremtő aktusainak megvalósítását. A Penrose-hipotézis számos következménye közül különösen az lehet az a következtetés, hogy alapvetően az. lehetetlen mesterséges intelligenciát létrehozni modern számítástechnikai eszközökön, még akkor sem, ha a kvantumszámítógépek megjelenése jelentős áttörést jelent a számítástechnika területén. Az tény, hogy bármely számítógép csak egyre részletesebben tudja modellezni az emberi tudat formális-logikai, „számítási” tevékenységének munkáját, de az értelem „nem számítási” képességei hozzáférhetetlenek számára.

Gödel tételének egyik fontos következménye az a következtetés, hogy nem lehet szélsőségekben gondolkodni. Egy létező elmélet keretein belül mindig lesz olyan állítás, amelyet sem bizonyítani, sem cáfolni nem lehet. Vagy más szóval, bizonyos állításoknál mindig lesz egy pár, amely megcáfolja.

Következő következtetés. A jó és a rossz ugyanannak az éremnek csak két oldala, amelyek nélkül nem létezhet. És abból az elvből fakad, hogy az Univerzumban mindennek csak egy forrása van: jó és rossz, szeretet és gyűlölet, élet és halál.

A rendszer teljességére vonatkozó minden nyilatkozat hamis. Nem lehet dogmákra hagyatkozni, mert előbb-utóbb meg lesznek cáfolva.

Ebben az értelemben a modern vallások kritikus helyzetben vannak: az egyház dogmái ellenállnak a világról alkotott elképzeléseink fejlődésének. Megpróbálnak mindent merev fogalmak keretei közé szorítani. De ez oda vezet, hogy az egyistenhitből, minden természetes folyamat egyetlen forrásából a pogányságba költöznek, ahol a jó és a gonosz erői vannak, valahol messze a mennyekben van a jó istene, és ott van. ördög (a gonosz istene), aki már régóta rátette a mancsát mindenre, ami a Földön van. Ez a megközelítés ahhoz vezet, hogy minden ember barátokra és ellenségekre, igazokra és bűnösökre, hívőkre és eretnekekre, barátokra és ellenségekre oszlik.

Íme egy másik rövid szöveg, amely népszerűen felfedi a Gödel-tételből következő lényeget:
„Számomra úgy tűnik, hogy ennek a tételnek fontos filozófiai jelentése van. Csak két lehetőség van:

a) Az elmélet hiányos, i.e. Elméletileg olyan kérdést lehet megfogalmazni, amelyre az elmélet axiómáiból/posztulátumaiból sem pozitív, sem negatív válasz nem vezethető le. Sőt, minden ilyen kérdésre egy átfogóbb elmélet keretein belül adható a válasz, amelyben a régi speciális eset lesz. Ennek az új elméletnek azonban meglesznek a maga „megválaszolatlan kérdései” és így tovább a végtelenségig.

b) Teljes, de ellentmondásos. Bármilyen kérdésre meg lehet válaszolni, de néhány kérdésre egyszerre lehet pozitív és negatív választ is adni.

A tudományos elméletek az első típusba tartoznak. Következetesek, de ez azt jelenti, hogy nem fednek le mindent. Nem lehet "végső" tudományos elmélet. Bármely elmélet hiányos és nem ír le valamit, még akkor sem, ha még nem tudjuk pontosan, hogy mit. Csak egyre átfogóbb elméleteket lehet alkotni. Nekem személy szerint ez optimizmusra ad okot, mert ez azt jelenti, hogy a tudomány előrehaladása soha nem fog megállni.

A "Mindenható Isten" a második típusba tartozik. A mindenható Isten a válasz minden kérdésre. Ez pedig automatikusan azt jelenti, hogy logikai abszurditáshoz vezet. Az olyan paradoxonokat, mint az „elsöprő kő”, tételesen fel lehet találni.

Általában a tudományos ismeretek helyesek (konzisztensek), de nem írnak le mindent egy adott időpontban. Ugyanakkor semmi sem akadályoz meg bennünket abban, hogy az ismert határait a végtelenségig feszegessük, és előbb-utóbb minden ismeretlen válik ismertté. A vallás azt állítja, hogy a „jelenlegi” világ teljes leírása, ugyanakkor automatikusan helytelen (abszurd).

Egy időben, amikor még csak felnőtt életemet kezdtem, programozással foglalkoztam. És volt egy ilyen elv: ha sok javítás történik a programon, akkor újra át kell írni. Ez az elv véleményem szerint megfelel Gödel tételének. Ha egy program bonyolultabbá válik, inkonzisztenssé válik. És nem fog megfelelően működni.

Még egy példa az életből. Olyan korszakban élünk, amikor a hivatalnokok kijelentik, hogy a lét fő elve a törvény legyen. Azaz a jogrendszer. De amint a jogalkotás kezd bonyolultabbá válni és a szabályalkotás virágzik, a törvények kezdenek ellentmondani egymásnak. Ezt látjuk most. Soha nem lehet olyan jogrendszert létrehozni, amely az élet minden területét szabályozná. Másrészt pedig mindenkivel igazságos lenne. Mert a világ megértésének korlátai mindig előjönnek. És az emberi törvények valamikor elkezdenek ütközni az Univerzum törvényeivel. Sok mindent megértünk intuitív módon. Más emberek cselekedeteit is intuitív módon kell megítélnünk. Elég, ha egy államnak van alkotmánya. És ennek az alkotmánynak a cikkei alapján szabályozza a társadalmi kapcsolatokat. De előbb-utóbb az alkotmányt meg kell változtatni.

Az egységes államvizsga egy újabb példa arra, hogy az emberi képességekkel kapcsolatos elképzeléseink tévesek. Az agy számítási képességeit próbáljuk tesztelni a vizsgán. De az intuitív képességeket már nem fejlesztették ki az iskolában. De az ember nem biorobot. Lehetetlen olyan pontozási rendszert létrehozni, amely képes azonosítani az emberben, tudatában, tudatalattijában és pszichéjében rejlő összes lehetőséget.

Majdnem 100 évvel ezelőtt Gödel hihetetlen lépéseket tett az univerzum törvényeinek megértésében. Ezt azonban még mindig nem tudtuk kihasználni, mivel ezt a tételt egy nagyon speciális matematikai problémának tekintjük a körükben néhány absztrakt témával foglalkozó szűk kör számára. Gödel tétele a kvantumelmélettel és Krisztus tanításaival együtt lehetővé teszi számunkra, hogy kitörjünk a hamis dogmák fogságából, leküzdjük a világképünkben még mindig fennálló válságot. És egyre kevesebb idő van hátra.

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete