Az algebra középiskolai tanulmányozása során (9. osztály) az egyik fontos téma a numerikus sorozatok tanulmányozása, amelyek magukban foglalják a progressziót - geometriát és aritmetikát. Ebben a cikkben egy aritmetikai progressziót és megoldási példákat tekintünk meg.

Mi az aritmetikai progresszió?

Ennek megértéséhez meg kell határozni a szóban forgó progressziót, valamint meg kell adni azokat az alapképleteket, amelyeket a későbbiekben a problémák megoldása során használni fogunk.

Az aritmetika vagy olyan rendezett racionális számok halmaza, amelyek minden tagja valamilyen állandó értékkel különbözik az előzőtől. Ezt az értéket különbségnek nevezzük. Vagyis egy rendezett számsor bármely tagjának és a különbségnek a ismeretében visszaállíthatja a teljes aritmetikai sorozatot.

Mondjunk egy példát. A következő számsorozat egy aritmetikai sorozat lesz: 4, 8, 12, 16, ..., mivel a különbség ebben az esetben 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). De a 3, 5, 8, 12, 17 számok halmaza már nem tulajdonítható a vizsgált progresszió típusának, mivel a különbség nem állandó érték (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17-12).

Fontos képletek

Most mutassuk be azokat az alapvető képleteket, amelyekre szükség lesz a feladatok számtani progresszióval történő megoldásához. Jelöljük a n szimbólummal a sorozat n-edik tagját, ahol n egész szám. A különbséget a latin d betűvel jelöljük. Ekkor a következő kifejezések érvényesek:

1. Az n-edik tag értékének meghatározására a következő képlet alkalmas: a n = (n-1)*d+a 1 .
2. Az első n tag összegének meghatározásához: S n = (a n +a 1)*n/2.

Ahhoz, hogy megértsük a 9. osztályban a megoldásokkal végzett aritmetikai haladás példáit, elég megjegyezni ezt a két képletet, mivel a szóban forgó típusú problémák ezek használatán alapulnak. Ne feledje azt is, hogy a progresszió különbségét a következő képlet határozza meg: d = a n - a n-1.

1. példa: ismeretlen tag keresése

Adjunk egy egyszerű példát egy aritmetikai sorozatra és a megoldáshoz szükséges képletekre.

Legyen adott a 10, 8, 6, 4, ... sorozat, öt tagot kell találni benne.

A feladat feltételeiből már az is következik, hogy az első 4 tag ismert. Az ötödik kétféleképpen határozható meg:

1. Először számoljuk ki a különbséget. Van: d = 8 - 10 = -2. Hasonlóképpen, elvihet bármely két másik tagot egymás mellett. Például d = 4 - 6 = -2. Mivel ismert, hogy d = a n - a n-1, akkor d = a 5 - a 4, amiből kapjuk: a 5 = a 4 + d. Az ismert értékeket behelyettesítjük: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. A második módszer a kérdéses progresszió különbségének ismeretét is megköveteli, ezért először meg kell határozni a fentiek szerint (d = -2). Tudva, hogy az első tag a 1 = 10, a sorozat n számának képletét használjuk. Van: a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2*n. Az utolsó kifejezésbe n = 5-öt behelyettesítve a következőt kapjuk: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Mint látható, mindkét megoldás ugyanarra az eredményre vezetett. Vegye figyelembe, hogy ebben a példában a d progressziókülönbség negatív érték. Az ilyen sorozatokat csökkenőnek nevezzük, mivel minden következő tag kisebb, mint az előző.

2. példa: progresszió különbség

Most bonyolítsuk egy kicsit a feladatot, mutassunk példát arra, hogyan találjuk meg egy aritmetikai sorozat különbségét.

Ismeretes, hogy bizonyos algebrai progresszióban az 1. tag egyenlő 6-tal, a 7. tag pedig 18-cal. Meg kell találni a különbséget, és vissza kell állítani ezt a sorozatot a 7. tagra.

Használjuk a képletet az ismeretlen tag meghatározásához: a n = (n - 1) * d + a 1 . Helyettesítsük be a feltételből ismert adatokat, vagyis az a 1 és a 7 számokat, így kapjuk: 18 = 6 + 6 * d. Ebből a kifejezésből könnyen kiszámítható a különbség: d = (18 - 6) /6 = 2. Így a feladat első részét megválaszoltuk.

A sorozat 7. tagjára való visszaállításához az algebrai progresszió definícióját kell használni, azaz a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d és így tovább. Ennek eredményeként a teljes sorozatot visszaállítjuk: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2 = 8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.

3. példa: progresszió készítése

Bonyolítsuk még jobban a problémát. Most azt a kérdést kell megválaszolnunk, hogyan találhatunk számtani sorozatot. A következő példa megadható: két szám van megadva, például - 4 és 5. Létre kell hozni egy algebrai progressziót úgy, hogy ezek közé még három tag kerüljön.

Mielőtt elkezdené megoldani ezt a problémát, meg kell értenie, hogy az adott számok milyen helyet foglalnak el a jövőbeni fejlődésben. Mivel még három tag lesz közöttük, akkor a 1 = -4 és egy 5 = 5. Ennek megállapítása után áttérünk az előzőhöz hasonló feladatra. Az n-edik tagra ismét a képletet használjuk, így kapjuk: a 5 = a 1 + 4 * d. Ebből: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Amit itt kaptunk, az nem a különbség egész értéke, hanem egy racionális szám, így az algebrai haladás képlete változatlan marad.

Most adjuk hozzá a talált különbséget 1-hez, és állítsuk vissza a progresszió hiányzó tagjait. A következőt kapjuk: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, amelyek egybeesnek a probléma körülményeivel.

4. példa: a progresszió első tagja

Adjunk továbbra is példákat a megoldásokkal való aritmetikai progresszióra. Minden korábbi feladatban ismert volt az algebrai progresszió első száma. Most nézzünk meg egy más típusú problémát: legyen két szám, ahol egy 15 = 50 és egy 43 = 37. Meg kell találni, hogy melyik számmal kezdődik ez a sorozat.

Az eddig használt képletek egy 1 és d ismeretét feltételezik. A problémafelvetésben ezekről a számokról nem tudunk semmit. Mindazonáltal minden olyan kifejezéshez felírunk kifejezéseket, amelyekről információ áll rendelkezésre: a 15 = a 1 + 14 * d és a 43 = a 1 + 42 * d. Két egyenletet kaptunk, amelyben 2 ismeretlen mennyiség van (a 1 és d). Ez azt jelenti, hogy a feladat egy lineáris egyenletrendszer megoldására redukálódik.

A rendszer legegyszerűbb megoldása, ha minden egyenletben 1-et fejezünk ki, majd az eredményül kapott kifejezéseket összehasonlítjuk. Első egyenlet: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; második egyenlet: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Ezeket a kifejezéseket egyenlővé téve a következőt kapjuk: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, innen a különbség d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (csak 3 tizedesjegy van megadva).

A d ismeretében a fenti 2 kifejezés bármelyikét használhatja 1-hez. Például először: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.

Ha kétségei vannak a kapott eredménnyel kapcsolatban, ellenőrizheti, például meghatározhatja a progresszió 43. tagját, amely a feltételben van megadva. A következőt kapjuk: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Az apró hiba abból adódik, hogy a számításoknál ezredrészekre kerekítést alkalmaztak.

5. számú példa: összeg

Most nézzünk meg néhány példát egy aritmetikai sorozat összegének megoldásával.

Legyen a következő alakú numerikus progresszió: 1, 2, 3, 4, ...,. Hogyan lehet kiszámítani ezeknek a számoknak a 100 összegét?

A számítástechnika fejlődésének köszönhetően meg lehet oldani ezt a problémát, vagyis az összes számot egymás után hozzáadni, amit a számítógép azonnal megtesz, amint valaki megnyomja az Enter billentyűt. A probléma azonban mentálisan megoldható, ha odafigyelünk arra, hogy a bemutatott számsor egy algebrai progresszió, és a különbsége egyenlő 1-gyel. Az összeg képletét alkalmazva a következőt kapjuk: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Érdekes megjegyezni, hogy ezt a problémát „gaussi”-nak nevezik, mert a 18. század elején a még csak 10 éves híres német fejében néhány másodperc alatt meg tudta oldani. A fiú nem ismerte az algebrai haladás összegének képletét, de észrevette, hogy ha páronként összeadja a sorozat végén lévő számokat, mindig ugyanazt az eredményt kapja, azaz 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., és mivel ezek az összegek pontosan 50 (100 / 2) lesznek, akkor a helyes válaszhoz elegendő 50-et megszorozni 101-gyel.

6. példa: tagok összege n-től m-ig

A számtani progresszió összegének egy másik tipikus példája a következő: adott egy számsor: 3, 7, 11, 15, ..., meg kell találni, hogy mekkora lesz a 8-tól 14-ig terjedő tagok összege .

A probléma kétféleképpen oldható meg. Az első közülük 8-tól 14-ig ismeretlen kifejezéseket keres, majd egymás után összegzi őket. Mivel kevés a kifejezés, ez a módszer nem elég munkaigényes. Ennek ellenére azt javasolják, hogy ezt a problémát egy második módszerrel oldják meg, amely univerzálisabb.

Az ötlet az, hogy egy képletet kapjunk az m és n tagok közötti algebrai haladás összegére, ahol n > m egész számok. Mindkét esetben két kifejezést írunk az összegre:

1. S m = m * (a m + a 1) / 2.
2. S n = n * (a n + a 1) / 2.

Mivel n > m, nyilvánvaló, hogy a 2. összeg tartalmazza az elsőt. Az utolsó következtetés azt jelenti, hogy ha felvesszük ezen összegek különbségét, és hozzáadjuk az a m tagot (különbözet ​​felvétele esetén levonjuk az S n összegből), akkor megkapjuk a feladatra a szükséges választ. Van: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- m/2). Ebbe a kifejezésbe n és m képleteket kell behelyettesíteni. Ekkor a következőt kapjuk: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

A kapott képlet kissé körülményes, azonban az S mn összeg csak n, m, a 1 és d függvénye. Esetünkben a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Ezeket a számokat behelyettesítve a következőt kapjuk: S mn = 301.

Amint a fenti megoldásokból látható, minden probléma az n-edik tag kifejezésének és az első tagok összegének képletének ismeretén alapul. Mielőtt elkezdené megoldani ezeket a problémákat, javasoljuk, hogy figyelmesen olvassa el a feltételt, értse meg egyértelműen, mit kell találnia, és csak ezután folytassa a megoldást.

Egy másik tipp, hogy törekedjünk az egyszerűségre, vagyis ha bonyolult matematikai számítások használata nélkül tud válaszolni egy kérdésre, akkor ezt meg kell tennie, hiszen ebben az esetben kisebb a tévedés valószínűsége. Például a 6-os megoldású aritmetikai sorozat példájában megállhatunk az S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m képletnél, és ossza fel az átfogó problémát külön részfeladatokra (ebben az esetben először keresse meg az a n és a m kifejezéseket).

Ha kétségei vannak a kapott eredménnyel kapcsolatban, javasoljuk, hogy ellenőrizze azt, ahogyan az egyes példákban is megtörtént. Megtudtuk, hogyan találhatunk számtani sorozatot. Ha rájössz, nem is olyan nehéz.

Online számológép.
Számtani sorozat megoldása.
Adott: a n , d, n
Keresse meg: a 1

Ez a matematikai program a felhasználó által megadott \(a_n, d\) és \(n\) számok alapján megkeresi a \(a_1\) számtani sorozatot.
Az \(a_n\) és \(d\) számok nem csak egész számként, hanem törtként is megadhatók. Ezenkívül a törtszám beírható tizedes tört (\(2,5\)) és közönséges tört (\(-5\tört(2)(7)\)) formájában is.

A program nem csak a problémára ad választ, hanem megjeleníti a megoldás keresésének folyamatát is.

Ez az online számológép a középiskolás középiskolások számára hasznos lehet a vizsgákra, vizsgákra való felkészüléskor, az egységes államvizsga előtti tudásfelméréshez, a szülőknek pedig számos matematikai és algebrai feladat megoldásának kézben tartásához.

Vagy talán túl drága önnek oktatót felvenni vagy új tankönyveket vásárolni? Vagy csak a matematikai vagy algebrai házi feladatot szeretné a lehető leggyorsabban elvégezni? Ebben az esetben részletes megoldásokkal is használhatja programjainkat.

Ily módon Ön saját és/vagy öccsei képzését tudja lebonyolítani, miközben a problémamegoldás területén növekszik a képzettség.

Ha nem ismeri a számok bevitelére vonatkozó szabályokat, javasoljuk, hogy ismerkedjen meg velük.

Az \(a_n\) és \(d\) számok nem csak egész számként, hanem törtként is megadhatók.
A \(n\) szám csak pozitív egész szám lehet.

A tizedes törtek bevitelének szabályai.
A tizedes tört egész és tört részeit ponttal vagy vesszővel lehet elválasztani.
Például megadhat tizedes törteket, például 2,5-öt vagy 2,5-öt

A közönséges törtek bevitelének szabályai.
Csak egy egész szám lehet tört számlálója, nevezője és egész része.

A nevező nem lehet negatív.

Törtszám beírásakor a számlálót osztásjel választja el a nevezőtől: /
Bemenet:
Eredmény: \(-\frac(2)(3)\)

A teljes részt az és jel választja el a törttől: &
Bemenet:
Eredmény: \(-1\frac(2)(3)\)

Írja be az a n, d, n számokat

Keress egy 1

Kiderült, hogy a probléma megoldásához szükséges néhány szkript nem lett betöltve, és előfordulhat, hogy a program nem működik.
Lehetséges, hogy az AdBlock engedélyezve van.
Ebben az esetben kapcsolja ki és frissítse az oldalt.

A JavaScript le van tiltva a böngészőjében.
A megoldás megjelenítéséhez engedélyeznie kell a JavaScriptet.
Íme a JavaScript engedélyezése a böngészőben.

Mert Nagyon sokan vannak, akik hajlandóak megoldani a problémát, kérései sorba kerültek.
Néhány másodperc múlva megjelenik a megoldás lent.
Kérjük, várjon mp...

Ha te hibát észlelt a megoldásban, akkor erről írhatsz a Visszajelzési űrlapon.
Ne felejtsd el jelezze, melyik feladatot te döntöd el, mit írja be a mezőkbe.

Játékaink, rejtvényeink, emulátoraink:

Egy kis elmélet.

Számsorozat

A mindennapi gyakorlatban a különféle objektumok számozását gyakran használják az elrendezésük sorrendjének jelzésére. Például minden utcában a házakat számozzák. A könyvtárban az olvasói előfizetéseket számozzák, majd a hozzárendelt számok sorrendjében speciális kártyafájlokba rendezik.

Takarékpénztárban a betétes személyes számlaszámával könnyedén megtalálhatja ezt a számlát, és megnézheti, hogy milyen betét van rajta. Az 1-es számla tartalmazzon a1 rubelt, a 2-es számla a2 rubelt, stb. számsor
a 1, a 2, a 3, ..., a N
ahol N az összes fiók száma. Itt minden n természetes szám 1-től N-ig egy a n számhoz van társítva.

Matematikából is tanult végtelen számsorozatok:
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... .
Az a 1 számot hívják a sorozat első tagja, a 2-es szám - a sorozat második tagja, a 3-as szám - a sorozat harmadik tagja stb.
Az a n számot hívják a sorozat n-edik (n-edik) tagja, és az n természetes szám annak szám.

Például az 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2, (n + 1) 2, ... és 1 = 1 természetes számok négyzeteinek sorozatában a sorozat első tagja; és n = n 2 a sorozat n-edik tagja; a n+1 = (n + 1) 2 a sorozat (n + 1)-edik (n plusz első) tagja. Egy sorozat gyakran megadható az n-edik tagjának képletével. Például az \(a_n=\frac(1)(n), \; n \in \mathbb(N) \) képlet határozza meg a \(1, \; \frac(1)(2) , \; \frac(1)(3) , \frac(1)(4) , \pontok,\frac(1)(n) , \pontok \;

Aritmetikai progresszió

Az év hossza hozzávetőlegesen 365 nap. A pontosabb érték \(365\frac(1)(4)\) nap, így négyévente egy napos hiba halmozódik fel.

A hiba elhárítására minden negyedik évhez hozzáadunk egy napot, a meghosszabbított évet pedig szökőévnek nevezzük.

Például a harmadik évezredben szökőévek a 2004, 2008, 2012, 2016, ....

Ebben a sorozatban minden tag a másodiktól kezdve egyenlő az előzővel, hozzá kell adni ugyanahhoz a 4-hez. Az ilyen sorozatokat ún. aritmetikai progressziók.

Meghatározás.
Az a 1, a 2, a 3, ..., a n, ... számsort nevezzük aritmetikai progresszió, ha minden természetes n az egyenlőség
\(a_(n+1) = a_n+d, \)
ahol d valamilyen szám.

Ebből a képletből az következik, hogy a n+1 - a n = d. A d számot különbségnek nevezzük aritmetikai progresszió.

Az aritmetikai progresszió definíciója szerint:
\(a_(n+1)=a_n+d, \quad a_(n-1)=a_n-d, \)
ahol
\(a_n= \frac(a_(n-1) +a_(n+1))(2) \), ahol \(n>1 \)

Így a számtani sorozat minden tagja, a másodiktól kezdve, egyenlő a két szomszédos tag számtani átlagával. Ez magyarázza az "aritmetikai" progresszió elnevezést.

Vegyük észre, hogy ha a 1 és d adott, akkor az aritmetikai progresszió fennmaradó tagjait az a n+1 = a n + d ismétlődő képlettel lehet kiszámítani. Ily módon nem nehéz kiszámítani a progresszió első néhány tagját, de például egy 100-hoz már sok számításra lesz szükség. Általában az n-edik képlet kifejezést használják erre. A számtani progresszió definíciója szerint
\(a_2=a_1+d, \)
\(a_3=a_2+d=a_1+2d, \)
\(a_4=a_3+d=a_1+3d \)
stb.
Egyáltalán,
\(a_n=a_1+(n-1)d, \)
mivel egy aritmetikai sorozat n-edik tagját az első tagból kapjuk a d szám (n-1)-szeresének hozzáadásával.
Ezt a képletet ún egy aritmetikai sorozat n-edik tagjának képlete.

Egy aritmetikai sorozat első n tagjának összege

Keresse meg az összes természetes szám összegét 1 és 100 között.
Ezt az összeget kétféleképpen írjuk fel:
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
Adjuk hozzá ezeket az egyenlőségeket tagonként:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
Ez az összeg 100 kifejezésből áll
Ezért 2S = 101 * 100, tehát S = 101 * 50 = 5050.

Tekintsünk most egy tetszőleges aritmetikai sorozatot
a 1 , a 2 , a 3 , ... , a n , ...
Legyen S n ennek a haladásnak az első n tagjának összege:
S n = a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n
Majd egy aritmetikai sorozat első n tagjának összege egyenlő
\(S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) \)

Mivel \(a_n=a_1+(n-1)d\), akkor ebben a képletben egy n-t lecserélve egy másik képletet kapunk egy aritmetikai sorozat első n tagjának összege:
\(S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) \)

Könyvek (tankönyvek) Az egységes államvizsga és az egységes államvizsga online tesztek kivonata Játékok, rejtvények Funkciógrafikonok rajzolása Orosz nyelv helyesírási szótára Ifjúsági szlengszótár Orosz iskolák katalógusa Oroszország középfokú oktatási intézményeinek katalógusa Orosz egyetemek katalógusa feladatokról

I. V. Jakovlev | Matematikai anyagok | MathUs.ru

Aritmetikai progresszió

Az aritmetikai sorozat egy speciális sorozat. Ezért az aritmetikai (majd a geometriai) progresszió meghatározása előtt röviden meg kell tárgyalnunk a számsorozat fontos fogalmát.

Utóbbi

Képzeljünk el egy készüléket, amelynek képernyőjén bizonyos számok egymás után jelennek meg. mondjuk 2; 7; 13; 1; 6; 0; 3; : : : Ez a számkészlet pontosan egy példa egy sorozatra.

Meghatározás. A számsorozat olyan számkészlet, amelyben minden számhoz egyedi szám rendelhető (vagyis egyetlen természetes számhoz társítható)1. Az n számot a sorozat n-edik tagjának nevezzük.

Tehát a fenti példában az első szám 2, ez a sorozat első tagja, amelyet a1-gyel jelölhetünk; Az ötös szám a 6-os szám a sorozat ötödik tagja, amelyet a5-tel jelölhetünk. Általában egy sorozat n-edik tagját an (vagy bn, cn stb.) jelöljük.

Nagyon kényelmes helyzet az, amikor a sorozat n-edik tagja valamilyen képlettel megadható. Például az an = 2n 3 képlet a következő sorrendet adja meg: 1; 1; 3; 5; 7; : : : Az an = (1)n képlet a következő sorrendet adja meg: 1; 1; 1; 1; : : :

Nem minden számhalmaz egy sorozat. Így egy szegmens nem sorozat; „túl sok” számot tartalmaz az újraszámozáshoz. Az összes valós szám R halmaza szintén nem sorozat. Ezeket a tényeket a matematikai elemzés során bizonyítjuk.

Aritmetikai progresszió: alapdefiníciók

Most készen állunk egy aritmetikai progresszió meghatározására.

Meghatározás. A számtani sorozat egy olyan sorozat, amelyben minden tag (a másodiktól kezdve) egyenlő az előző tag és valamilyen rögzített szám (az aritmetikai sorozat különbségének) összegével.

Például a 2. szekvencia; 5; 8; 11; : : : egy aritmetikai sorozat az első taggal 2 és a különbséggel 3. Sorozat 7; 2; 3; 8; : : : egy aritmetikai progresszió az első taggal 7 és a különbséggel 5. Sorozat 3; 3; 3; : : : egy aritmetikai sorozat, amelynek különbsége nulla.

Egyenértékű definíció: az an sorozatot aritmetikai progressziónak nevezzük, ha az an+1 an különbség konstans (n-től független).

Az aritmetikai progressziót növekvőnek nevezzük, ha a különbsége pozitív, és csökkenőnek, ha a különbsége negatív.

1 De itt van egy tömörebb definíció: a sorozat a természetes számok halmazán meghatározott függvény. Például egy valós számsorozat egy f függvény: N ! R.

Alapértelmezés szerint a sorozatokat végtelennek tekintjük, azaz végtelen számú számot tartalmaznak. De senki sem zavar bennünket, hogy véges sorozatokat vegyünk figyelembe; valójában minden véges számhalmaz nevezhető véges sorozatnak. Például a végsorozat 1; 2; 3; 4; Az 5 öt számból áll.

Egy aritmetikai sorozat n-edik tagjának képlete

Könnyen megérthető, hogy az aritmetikai progressziót teljesen két szám határozza meg: az első tag és a különbség. Felmerül tehát a kérdés: az első tag és a különbség ismeretében hogyan találhatunk egy aritmetikai sorozat tetszőleges tagját?

Nem nehéz megszerezni a szükséges képletet egy aritmetikai sorozat n-edik tagjára. Legyen egy

aritmetikai progresszió különbséggel d. Nálunk:
an+1 = an + d (n = 1; 2; : : :):
Konkrétan ezt írjuk:
a2 = a1 + d;
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d;
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d;
és most világossá válik, hogy an képlete:
an = a1 + (n 1)d:

1. feladat A 2. számtani sorozatban; 5; 8; 11; : : : keresse meg az n-edik tag képletét és számítsa ki a századik tagot.

Megoldás. Az (1) képlet szerint a következőket kapjuk:

an = 2 + 3(n 1) = 3n 1:

a100 = 3 100 1 = 299:

A számtani progresszió tulajdonsága és jele

A számtani progresszió tulajdonsága. A számtani progresszióban an bármely

Más szóval, egy aritmetikai sorozat minden tagja (a másodiktól kezdve) a szomszédos tagok számtani átlaga.

	Bizonyíték. Nálunk:
	a n 1+ a n+1		(an d) + (an + d)

ami kellett.

Általánosságban elmondható, hogy az an aritmetikai progresszió kielégíti az egyenlőséget

a n = a n k+ a n+k

bármely n > 2 és bármely természetes k esetén< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

Kiderült, hogy a (2) képlet nemcsak szükséges, hanem elégséges feltétele is annak, hogy a sorozat számtani sorozat legyen.

Aritmetikai progresszió jele. Ha a (2) egyenlőség minden n > 2-re teljesül, akkor az an sorozat egy aritmetikai sorozat.

Bizonyíték. Írjuk át a (2) képletet a következőképpen:

a na n 1= a n+1a n:

Ebből láthatjuk, hogy az an+1 an különbség nem függ n-től, és ez pontosan azt jelenti, hogy az an sorozat egy aritmetikai sorozat.

Egy aritmetikai progresszió tulajdonsága és előjele egy állítás formájában is megfogalmazható; A kényelem kedvéért ezt három számra tesszük (ez a helyzet gyakran előfordul a problémáknál).

Egy aritmetikai sorozat jellemzése. Három a, b, c szám akkor és csak akkor alkot számtani sorozatot, ha 2b = a + c.

2. feladat (MSU, Közgazdaságtudományi Kar, 2007) Három szám 8x, 3 x2 és 4 a jelzett sorrendben csökkenő számtani sorozatot alkot. Keresse meg x-et, és jelölje meg ennek a haladásnak a különbségét.

Megoldás. Az aritmetikai progresszió tulajdonsága alapján:

2(3x2) = 8x4, 2x2 + 8x10 = 0, x2 + 4x5 = 0, x = 1; x = 5:

Ha x = 1, akkor 8, 2, 4 csökkenő progressziót kapunk 6 különbséggel. Ha x = 5, akkor 40, 22, 4 növekvő progressziót kapunk; ez az eset nem megfelelő.

Válasz: x = 1, a különbség 6.

Egy aritmetikai sorozat első n tagjának összege

A legenda szerint egy nap a tanár azt mondta a gyerekeknek, hogy találják meg a számok összegét 1-től 100-ig, és csendben leültek újságot olvasni. Néhány percen belül azonban az egyik fiú azt mondta, hogy megoldotta a problémát. Ez volt a 9 éves Carl Friedrich Gauss, aki később a történelem egyik legnagyobb matematikusa.

A kis Gauss ötlete a következő volt. Hadd

S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:

Írjuk fel ezt az összeget fordított sorrendben:

S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;

és add hozzá ezt a két képletet:

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

Minden zárójelben lévő kifejezés 101-et jelent, és összesen 100 ilyen kifejezés van

2S = 101 100 = 10100;

Ezt az ötletet használjuk az összegképlet származtatására

S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)

A (3) képlet hasznos módosítását kapjuk, ha behelyettesítjük az an = a1 + (n 1)d n-edik tag képletét:

		2a1 + (n 1)d

3. feladat. Határozzuk meg az összes pozitív háromjegyű szám 13-mal osztható összegét!

Megoldás. A 13 többszörösei háromjegyű számok egy aritmetikai sorozatot alkotnak, ahol az első tag 104, a különbség pedig 13; Ennek a progressziónak az n-edik tagja a következő formában van:

an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n:

Nézzük meg, hány tagot tartalmaz a progressziónk. Ehhez oldjuk meg az egyenlőtlenséget:

egy 6 999; 91 + 13n 6 999;

n 6 908 13 = 6911 13; n 6 69:

Tehát 69 tag van a fejlődésünkben. A (4) képlet segítségével megtaláljuk a szükséges mennyiséget:

S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2

Igen, igen: a számtani progresszió nem játékszer neked :)

Nos, barátaim, ha ezt a szöveget olvassátok, akkor a belső zárójelek azt mondják nekem, hogy még nem tudjátok, mi az aritmetikai progresszió, de nagyon (nem, így: NAGYON!) szeretnétek tudni. Ezért nem gyötörlek hosszú bevezetőkkel, és rögtön a lényegre térek.

Először is egy-két példa. Nézzünk meg néhány számkészletet:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Mi a közös ezekben a készletekben? Első pillantásra semmi. De valójában van valami. Ugyanis: minden következő elem ugyanazzal a számmal tér el az előzőtől.

Ítélje meg maga. Az első halmaz egyszerűen egymást követő számokból áll, mindegyik következő eggyel több, mint az előző. A második esetben a szomszédos számok különbsége már öt, de ez a különbség továbbra is állandó. A harmadik esetben gyökerek vannak. Azonban $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, és $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, azaz. és ebben az esetben minden következő elem egyszerűen növekszik $\sqrt(2)$-val (és ne félj attól, hogy ez a szám irracionális).

Tehát: minden ilyen sorozatot aritmetikai progressziónak nevezünk. Adjunk egy szigorú definíciót:

Meghatározás. Aritmetikai sorozatnak nevezzük azt a számsorozatot, amelyben minden következő pontosan ugyanannyival különbözik az előzőtől. Pont azt az összeget, amellyel a számok különböznek, progressziós különbségnek nevezzük, és leggyakrabban $d$ betűvel jelöljük.

Jelölés: $\left(((a)_(n)) \right)$ maga a progresszió, $d$ a különbsége.

És csak néhány fontos megjegyzés. Először is csak a progressziót veszik figyelembe elrendelte számsor: szigorúan a beírásuk sorrendjében olvashatóak - és semmi más. A számokat nem lehet átrendezni vagy felcserélni.

Másodszor, maga a sorozat lehet véges vagy végtelen. Például az (1; 2; 3) halmaz nyilvánvalóan véges aritmetikai sorozat. De ha leírsz valamit a szellemben (1; 2; 3; 4; ...) - ez már végtelen fejlődés. A négyes utáni ellipszis arra utal, hogy még jó néhány szám jön. Például végtelenül sok. :)

Azt is szeretném megjegyezni, hogy a progresszió növekedhet vagy csökkenhet. Láttunk már növekvőeket - ugyanaz a halmaz (1; 2; 3; 4; ...). Íme, példák a progresszió csökkenésére:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

Oké, oké: az utolsó példa túl bonyolultnak tűnhet. De a többit szerintem érted. Ezért új definíciókat vezetünk be:

Meghatározás. Az aritmetikai progressziót nevezzük:

1. növekszik, ha minden következő elem nagyobb, mint az előző;
2. csökken, ha éppen ellenkezőleg, minden következő elem kisebb, mint az előző.

Ezen kívül vannak úgynevezett „stacionárius” sorozatok - ezek ugyanabból az ismétlődő számból állnak. Például (3; 3; 3; ...).

Csak egy kérdés marad: hogyan lehet megkülönböztetni a növekvő progressziót a csökkenőtől? Szerencsére itt minden csak a $d$ szám előjelén múlik, pl. Előrehaladási különbségek:

1. Ha $d \gt 0$, akkor a progresszió növekszik;
2. Ha $d \lt 0$, akkor a progresszió nyilvánvalóan csökken;
3. Végül ott van a $d=0$ eset – ebben az esetben a teljes progresszió azonos számok stacionárius sorozatára redukálódik: (1; 1; 1; 1; ...) stb.

Próbáljuk meg kiszámítani a $d$ különbséget a fent megadott három csökkenő progresszióhoz. Ehhez elegendő bármely két szomszédos elemet (például az elsőt és a másodikat) kivenni, és kivonni a bal oldali számot a jobb oldali számból. Így fog kinézni:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Amint látjuk, a különbség mindhárom esetben negatívnak bizonyult. És most, hogy többé-kevésbé kitaláltuk a definíciókat, ideje kitalálni, hogyan írják le a progressziót, és milyen tulajdonságaik vannak.

Progressziós tagok és ismétlődési képlet

Mivel sorozataink elemei nem cserélhetők fel, ezért számozhatók:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3) )),... \jobbra\)\]

Ennek a halmaznak az egyes elemeit egy progresszió tagjainak nevezzük. Egy szám jelzi őket: első tag, második tag stb.

Ezenkívül, mint már tudjuk, a progresszió szomszédos tagjai a következő képlettel kapcsolódnak egymáshoz:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Jobbra ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Röviden, egy progresszió $n$-edik tagjának megtalálásához ismernünk kell az $n-1$-edik tagot és a $d$ különbséget. Ezt a képletet ismétlődőnek nevezzük, mert segítségével bármely számot csak az előző (és valójában az összes korábbi) ismeretében találhat meg. Ez nagyon kényelmetlen, ezért van egy ravaszabb képlet, amely minden számítást az első tagra és a különbségre redukál:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d\]

Valószínűleg már találkoztál ezzel a képlettel. Szeretik mindenféle segédkönyvekben, megoldási könyvekben megadni. És minden értelmes matematikai tankönyvben az elsők között van.

Azt javaslom azonban, hogy gyakoroljon egy kicsit.

1. számú feladat. Írja fel a $\left(((a)_(n)) \right)$ aritmetikai sorozat első három tagját, ha $((a)_(1))=8,d=-5$.

Megoldás. Tehát ismerjük az első tagot $((a)_(1))=8$ és a progresszió különbségét a $d=-5$. Használjuk az imént megadott képletet, és cseréljük be a $n=1$, $n=2$ és $n=3$ értékeket:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(igazítás)\]

Válasz: (8; 3; -2)

Ennyi! Figyelem: fejlődésünk csökken.

Természetesen a $n=1$ nem helyettesíthető – az első kifejezést már ismerjük. Az egységet helyettesítve azonban meggyőződtünk arról, hogy a képletünk már az első ciklusban is működik. Más esetekben minden a banális aritmetikára dőlt el.

2. feladat. Írja fel egy aritmetikai sorozat első három tagját, ha a hetedik tagja -40, a tizenhetedik tagja pedig -50.

Megoldás. Írjuk le a probléma feltételét ismerős kifejezésekkel:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(igazítás) \jobbra.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(igazítás) \jobbra.\]

Azért tettem fel a rendszerjelet, mert ezeknek a követelményeknek egyszerre kell teljesülniük. Most jegyezzük meg, hogy ha kivonjuk az elsőt a második egyenletből (jogunk van erre, hiszen van rendszerünk), ezt kapjuk:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(igazítás)\]

Így könnyű megtalálni a haladási különbséget! Nem marad más hátra, mint behelyettesíteni a talált számot a rendszer bármely egyenletébe. Például az elsőben:

\[\begin(mátrix) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(mátrix)\]

Most, az első kifejezés és a különbség ismeretében, meg kell találni a második és a harmadik kifejezést:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(igazítás)\]

Kész! A probléma megoldódott.

Válasz: (-34; -35; -36)

Figyeljük meg a progresszió érdekes tulajdonságát, amit felfedeztünk: ha kivesszük a $n$-edik és a $m$-edik tagot, és kivonjuk őket egymástól, akkor megkapjuk a progresszió különbségét megszorozva a $n-m$ számmal:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]

Egy egyszerű, de nagyon hasznos tulajdonság, amit feltétlenül ismerned kell - segítségével jelentősen felgyorsíthatod számos progressziós probléma megoldását. Íme egy világos példa erre:

3. feladat. Egy aritmetikai sorozat ötödik tagja 8,4, tizedik tagja 14,4. Keresse meg ennek a progressziónak a tizenötödik tagját.

Megoldás. Mivel $((a)_(5))=8,4$, $((a)_(10))=14,4$, és meg kell találnunk a $((a)_(15))$-t, a következőket jegyezzük meg:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(igazítás)\]

De feltétellel $((a)_(10))-((a)_(5))=14,4-8,4=6$, tehát $5d=6$, amiből a következő:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end(igazítás)\]

Válasz: 20.4

Ennyi! Nem kellett egyenletrendszert létrehoznunk, és kiszámolni az első tagot és a különbséget - minden csak néhány sorban megoldódott.

Most nézzünk meg egy másik típusú problémát – keressük a progresszió negatív és pozitív feltételeit. Nem titok, hogy ha egy progresszió növekszik, és az első tagja negatív, akkor előbb-utóbb pozitív kifejezések jelennek meg benne. És fordítva: a csökkenő progresszió feltételei előbb-utóbb negatívvá válnak.

Ugyanakkor nem mindig lehet „fejjel” megtalálni ezt a pillanatot az elemek szekvenciális végighaladásával. A feladatokat gyakran úgy írják le, hogy a képletek ismerete nélkül a számítások több papírlapot vennének igénybe – egyszerűen elalszunk, miközben megtaláljuk a választ. Ezért próbáljuk meg gyorsabban megoldani ezeket a problémákat.

4. feladat. Hány negatív tag van a számtani sorozatban –38,5; −35,8; ...?

Megoldás. Tehát $((a)_(1))=-38,5$, $((a)_(2))=-35,8$, ahonnan azonnal megtaláljuk a különbséget:

Vegye figyelembe, hogy a különbség pozitív, így a progresszió növekszik. Az első tag negatív, tehát valamikor valóban pozitív számokba botlunk. A kérdés csak az, hogy ez mikor fog megtörténni.

Próbáljuk meg kideríteni, meddig (azaz hány $n$ természetes számig) marad meg a tagok negativitása:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Jobbra ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \jobbra. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Jobbra ((n)_(\max ))=15. \\ \end(igazítás)\]

Az utolsó sor némi magyarázatot igényel. Tehát tudjuk, hogy $n \lt 15\frac(7)(27)$. Másrészt megelégszünk a számnak csak egész értékeivel (sőt: $n\in \mathbb(N)$), így a legnagyobb megengedett szám pontosan $n=15$, semmi esetre sem 16 .

5. feladat. Aritmetikai haladásban $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Keresse meg ennek a progressziónak az első pozitív tagjának számát.

Ez pontosan ugyanaz a probléma lenne, mint az előző, de nem tudjuk, hogy $((a)_(1))$. De a szomszédos tagok ismertek: $((a)_(5))$ és $((a)_(6))$, így könnyen megtalálhatjuk a progresszió különbségét:

Ezenkívül próbáljuk meg kifejezni az ötödik tagot az elsőn és a különbséget a standard képlettel:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(igazítás)\]

Most az előző feladat analógiájával folytatjuk. Nézzük meg, hogy sorozatunk melyik pontján jelennek meg a pozitív számok:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Jobbra ((n)_(\min ))=56. \\ \end(igazítás)\]

Ennek az egyenlőtlenségnek a minimális egész számú megoldása az 56.

Figyelem: az utolsó feladatban minden a szigorú egyenlőtlenséghez vezetett, így a $n=55$ opció nem felel meg nekünk.

Most, hogy megtanultuk az egyszerű problémák megoldását, térjünk át a bonyolultabbakra. De először tanulmányozzuk az aritmetikai progresszió egy másik nagyon hasznos tulajdonságát, amely sok időt és egyenlőtlen cellákat takarít meg a jövőben :)

Számtani átlag és egyenlő behúzások

Tekintsük a $\left(((a)_(n)) \right)$ növekvő számtani progresszió több egymást követő tagját. Próbáljuk meg megjelölni őket a számegyenesen:

A számegyenes számtani sorozatának feltételei

Kifejezetten tetszőleges kifejezéseket jelöltem meg $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, és nem néhány $((a)_(1)) ,\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ stb. Mert a szabály, amelyről most elmondom, ugyanúgy működik minden „szegmensre”.

És a szabály nagyon egyszerű. Emlékezzünk az ismétlődő képletre, és írjuk fel az összes megjelölt kifejezésre:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(igazítás)\]

Ezeket az egyenlőségeket azonban másképpen is át lehet írni:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(igazítás)\]

Szóval mi van? És az a tény, hogy a $((a)_(n-1))$ és $((a)_(n+1))$ kifejezések azonos távolságra vannak a $((a)_(n)) $-tól . És ez a távolság egyenlő: $d$. Ugyanez mondható el a $((a)_(n-2))$ és $((a)_(n+2))$ kifejezésekről is - ezek szintén kikerülnek a $((a)_(n) )$ ugyanolyan távolságban, mint $2d$. A végtelenségig folytathatjuk, de a jelentést jól szemlélteti a kép

A progresszió feltételei azonos távolságra vannak a középponttól

Mit jelent ez számunkra? Ez azt jelenti, hogy a $((a)_(n))$ megtalálható, ha a szomszédos számok ismertek:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Kiváló állítást kaptunk: egy számtani sorozat minden tagja egyenlő a szomszédos tagok számtani átlagával! Sőt: a $((a)_(n))$-unkból balra és jobbra nem egy, hanem $k$ lépéssel visszaléphetünk - és a képlet továbbra is helyes lesz:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Azok. könnyen találhatunk néhány $((a)_(150))$-t, ha ismerjük $((a)_(100))$ és $((a)_(200))$, mert $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Első pillantásra úgy tűnhet, hogy ez a tény nem ad nekünk semmi hasznosat. A gyakorlatban azonban sok feladatot kifejezetten a számtani átlag használatára szabnak. Nézze meg:

6. feladat. Keresse meg a $x$ összes olyan értékét, amelyeknél a $-6((x)^(2))$, $x+1$ és a $14+4((x)^(2))$ számok egymást követő tagjai egy aritmetikai sorozat (a jelzett sorrendben).

Megoldás. Mivel ezek a számok egy progresszió tagjai, a számtani átlag feltétele teljesül rájuk: a $x+1$ központi elem a szomszédos elemekkel fejezhető ki:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(igazítás)\]

Az eredmény egy klasszikus másodfokú egyenlet. Gyökerei: $x=2$ és $x=-3$ a válaszok.

Válasz: −3; 2.

7. feladat. Keresse meg a $$ azon értékeit, amelyeknél a $-1;4-3;(()^(2))+1$ számok aritmetikai sorozatot alkotnak (ebben a sorrendben).

Megoldás. A középső tagot ismét fejezzük ki a szomszédos tagok számtani átlagán keresztül:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2 \right.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(igazítás)\]

Megint másodfokú egyenlet. És megint két gyök van: $x=6$ és $x=1$.

Válasz: 1; 6.

Ha egy probléma megoldása során brutális számokat talál ki, vagy nem vagy teljesen biztos a talált válaszok helyességében, akkor van egy csodálatos technika, amely lehetővé teszi, hogy ellenőrizze: helyesen oldottuk meg a problémát?

Tegyük fel, hogy a 6. feladatban −3-as és 2-es választ kaptunk. Hogyan ellenőrizhetjük, hogy ezek a válaszok helyesek-e? Csak csatlakoztassuk őket az eredeti állapotba, és meglátjuk, mi történik. Hadd emlékeztesselek arra, hogy három számunk van ($-6(()^(2))$, $+1$ és $14+4(()^(2))$), amelyeknek számtani sorozatot kell alkotniuk. Helyettesítsük $x=-3$:

\[\begin(align) & x=-3\Jobbra \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(igazítás)\]

Megkaptuk a −54 számokat; −2; Az 50, amely 52-vel különbözik, kétségtelenül egy aritmetikai progresszió. Ugyanez történik $x=2$ esetén is:

\[\begin(align) & x=2\Jobbra \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(igazítás)\]

Ismét egy progresszió, de 27-es különbséggel. Így a probléma helyesen megoldódott. Aki szeretné, a második problémát saját maga is leellenőrizheti, de rögtön leszögezem: ott is minden rendben van.

Általánosságban elmondható, hogy az utolsó feladatok megoldása során egy másik érdekes ténnyel találkoztunk, amelyet szintén emlékezni kell:

Ha három szám olyan, hogy a második az első és az utolsó számtani átlaga, akkor ezek a számok számtani sorozatot alkotnak.

A jövőben ennek az állításnak a megértése lehetővé teszi számunkra, hogy a probléma körülményei alapján szó szerint „megkonstruáljuk” a szükséges előrelépéseket. Mielőtt azonban belevágnánk egy ilyen „konstrukcióba”, még egy tényre kell figyelnünk, amely közvetlenül következik a már tárgyaltakból.

Elemek csoportosítása és összegzése

Térjünk vissza ismét a számtengelyhez. Jegyezzük meg ott a progresszió több tagját, amelyek között talán. megér sok más tagot:

A számegyenesen 6 elem található

Próbáljuk meg kifejezni a „bal farkát” $((a)_(n))$ és $d$, a „jobb farok” pedig $((a)_(k))$ és $d$ között. Nagyon egyszerű:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(igazítás)\]

Most vegye figyelembe, hogy a következő összegek egyenlőek:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(igazítás)\]

Egyszerűen fogalmazva, ha a progresszió két elemét tekintjük kezdetnek, amelyek összesen megegyeznek valamilyen $S$ számmal, majd ezektől az elemektől ellentétes irányban (egymás felé vagy fordítva távolodni) kezdünk lépni, majd azoknak az elemeknek az összegei is egyenlőek lesznek, amelyekbe belebotlunk$S$. Ez a legvilágosabban grafikusan ábrázolható:

Az egyenlő behúzások egyenlő összegeket adnak

Ennek a ténynek a megértése lehetővé teszi számunkra, hogy alapvetően magasabb szintű bonyolultságú problémákat oldjunk meg, mint amelyeket fentebb vizsgáltunk. Például ezek:

8. feladat. Határozzuk meg egy olyan aritmetikai sorozat különbségét, amelyben az első tag 66, a második és a tizenkettedik tag szorzata pedig a lehető legkisebb!

Megoldás. Írjunk le mindent, amit tudunk:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(igazítás)\]

Tehát nem ismerjük a $d$ progresszió különbséget. Valójában a teljes megoldás a különbség köré épül fel, mivel a $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ szorzat a következőképpen írható át:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end(igazítás)\]

A tankban lévőknek: a második zárójelből kivettem a 11-es teljes szorzót. Így a kívánt szorzat egy másodfokú függvény a $d$ változóhoz képest. Ezért tekintsük a $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ függvényt - a grafikonja egy parabola lesz felfelé ágazva, mert ha kibővítjük a zárójeleket, a következőket kapjuk:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

Mint látható, a legmagasabb tag együtthatója 11 - ez egy pozitív szám, tehát valóban felfelé ágazó parabolával van dolgunk:

egy másodfokú függvény grafikonja - parabola

Figyelem: ez a parabola minimális értékét a $((d)_(0))$ abszcissza csúcsánál veszi fel. Természetesen ezt az abszcisszát a standard séma segítségével is kiszámíthatjuk (van a $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$ képlet), de sokkal ésszerűbb lenne megjegyezni hogy a kívánt csúcs a parabola tengelyszimmetriáján fekszik, ezért a $((d)_(0))$ pont egyenlő távolságra van a $f\left(d \right)=0$ egyenlet gyökétől:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(igazítás)\]

Éppen ezért nem siettem különösebben a zárójelek kinyitásával: eredeti formájukban a gyökereket nagyon-nagyon könnyű megtalálni. Ezért az abszcissza egyenlő a -66 és -6 számok számtani átlagával:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Mit ad nekünk a felfedezett szám? Vele a szükséges szorzat felveszi a legkisebb értéket (egyébként soha nem számoltunk $((y)_(\min ))$ - ezt nem követelik meg tőlünk). Ugyanakkor ez a szám az eredeti progresszió különbsége, azaz. megtaláltuk a választ :)

Válasz: −36

9. számú feladat. A $-\frac(1)(2)$ és $-\frac(1)(6)$ számok közé illesszen be három számot úgy, hogy ezekkel a számokkal együtt aritmetikai sorozatot alkossanak.

Megoldás. Lényegében öt számból álló sorozatot kell készítenünk, az első és az utolsó szám már ismert. Jelöljük a hiányzó számokat a $x$, $y$ és $z$ változókkal:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

Vegye figyelembe, hogy a $y$ szám a sorozatunk „közepe” - egyenlő távolságra van a $x$ és $z$ számoktól, valamint a $-\frac(1)(2)$ és $-\frac számoktól (1) (6) $. És ha jelenleg nem tudjuk megkapni az $y$-t a $x$ és a $z$ számokból, akkor a progresszió végeinél más a helyzet. Emlékezzünk a számtani átlagra:

Most $y$ ismeretében megtaláljuk a fennmaradó számokat. Ne feledje, hogy $x$ a $-\frac(1)(2)$ és az általunk talált $y=-\frac(1)(3)$ számok között található. azért

Hasonló érveléssel megtaláljuk a fennmaradó számot:

Kész! Mindhárom számot megtaláltuk. Írjuk be őket a válaszba abban a sorrendben, ahogyan az eredeti számok közé kerüljenek.

Válasz: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

10. feladat. A 2 és 42 számok közé illesszen be több olyan számot, amelyek ezekkel a számokkal együtt aritmetikai sorozatot alkotnak, ha tudja, hogy a beszúrt számok első, második és utolsó összege 56.

Megoldás. Egy még összetettebb probléma, amelyet azonban az előzőekkel megegyező séma szerint oldanak meg - a számtani átlagon keresztül. A probléma az, hogy nem tudjuk pontosan, hány számot kell beszúrni. Ezért a határozottság kedvéért tegyük fel, hogy minden beillesztés után pontosan $n$ számok lesznek, amelyek közül az első 2, az utolsó pedig 42. Ebben az esetben a szükséges aritmetikai progresszió a következő formában ábrázolható:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \jobbra\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Megjegyzendő azonban, hogy a $((a)_(2))$ és $((a)_(n-1))$ számokat a 2 és 42 számokból kapjuk egymás felé egy lépéssel az éleken, azaz . a sorozat közepére. Ez pedig azt jelenti

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

De akkor a fent írt kifejezés a következőképpen írható át:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(igazítás)\]

$((a)_(3))$ és $((a)_(1))$ ismeretében könnyen megtalálhatjuk a progresszió különbségét:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Jobbra d=5. \\ \end(igazítás)\]

Már csak a fennmaradó feltételeket kell megtalálni:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(igazítás)\]

Így már a 9. lépésnél elérkezünk a sorozat bal végéhez - a 42-es számhoz. Összesen csak 7 számot kellett beszúrni: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Válasz: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Szóproblémák progressziókkal

Befejezésül néhány viszonylag egyszerű problémát szeretnék megvizsgálni. Nos, ilyen egyszerű: a legtöbb olyan diák számára, aki matematikát tanul az iskolában, és nem olvasta el a fent leírtakat, ezek a problémák nehéznek tűnhetnek. Ennek ellenére az OGE-ben és a matematika egységes államvizsgájában ilyen típusú problémák jelennek meg, ezért javaslom, hogy ismerkedjen meg velük.

11. számú feladat. A csapat januárban 62 alkatrészt gyártott le, minden következő hónapban pedig 14 alkatrészt gyártottak többet, mint az előző hónapban. Hány alkatrészt gyártott a csapat novemberben?

Megoldás. Nyilvánvaló, hogy a hónaponként felsorolt ​​részek száma növekvő számtani progressziót jelent. Ráadásul:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]

November az év 11. hónapja, ezért meg kell találnunk $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Ezért novemberben 202 alkatrész készül.

12. feladat. A könyvkötő műhely januárban 216 könyvet kötött be, minden további hónapban pedig 4 könyvvel többet kötött be, mint az előző hónapban. Hány könyvet kötött be decemberben a műhely?

Megoldás. Minden ugyanaz:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$

December az év utolsó, 12. hónapja, ezért keresünk $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Ez a válasz – decemberben 260 könyvet kötnek be.

Nos, ha idáig olvastad, sietve gratulálok: sikeresen elvégezted a „fiatal harcos tanfolyamot” számtani sorozatokban. Nyugodtan továbbléphet a következő leckére, ahol tanulmányozzuk a haladás összegének képletét, valamint annak fontos és nagyon hasznos következményeit.

Vagy az aritmetika egyfajta rendezett numerikus sorozat, amelynek tulajdonságait iskolai algebratanfolyamon tanulmányozzák. Ez a cikk részletesen tárgyalja azt a kérdést, hogy hogyan találjuk meg az aritmetikai progresszió összegét.

Milyen progresszió ez?

Mielőtt rátérnénk a kérdésre (hogyan találjuk meg az aritmetikai progresszió összegét), érdemes megérteni, miről beszélünk.

A valós számok bármely sorozatát, amelyet úgy kapunk, hogy minden előző számból hozzáadunk (kivonunk) valamilyen értéket, algebrai (számtani) progressziónak nevezzük. Ez a meghatározás matematikai nyelvre fordítva a következő formát ölti:

Itt i az a i sor elemének sorszáma. Így egyetlen kezdő szám ismeretében könnyedén visszaállíthatja a teljes sorozatot. A képletben szereplő d paramétert progressziós különbségnek nevezzük.

Könnyen kimutatható, hogy a vizsgált számsorra a következő egyenlőség áll fenn:

a n = a 1 + d* (n - 1).

Vagyis az n-edik elem értékének sorrendben történő megtalálásához a d különbséget hozzá kell adni az első a elemhez 1 n-1 alkalommal.

Mennyi egy számtani progresszió összege: képlet

Mielőtt megadná a képletet a feltüntetett mennyiségre, érdemes megfontolni egy egyszerű speciális esetet. Adott a természetes számok progressziója 1-től 10-ig, meg kell találnia az összegüket. Mivel kevés tag van a (10) progresszióban, lehetséges a feladat eleve megoldása, vagyis az összes elem sorban összegzése.

S 10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.

Érdemes megfontolni egy érdekességet: mivel minden tag ugyanazzal a d = 1 értékkel különbözik a következőtől, akkor az első páronkénti összegzése a tizeddel, a második a kilenceddel és így tovább ugyanazt az eredményt adja. Igazán:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Mint látható, ebből az összegből csak 5 van, vagyis pontosan kétszer kevesebb, mint a sorozat elemeinek száma. Ezután megszorozva az összegek számát (5) az egyes összegek eredményével (11), akkor az első példában kapott eredményhez jutunk.

Ha ezeket az argumentumokat általánosítjuk, a következő kifejezést írhatjuk fel:

S n = n * (a 1 + a n) / 2.

Ez a kifejezés azt mutatja, hogy egyáltalán nem szükséges az összes elemet egy sorban összegezni, elég ismerni az első a 1 és az utolsó a n értékét, valamint az n tagok számát.

Úgy gondolják, hogy Gauss akkor gondolt először erre az egyenlőségre, amikor az iskolai tanára által adott problémára keresett megoldást: összegezze az első 100 egész számot.

Elemek összege m-től n-ig: képlet

Az előző bekezdésben megadott képlet választ ad arra a kérdésre, hogy hogyan találjuk meg a számtani sorozat összegét (az első elemeket), de a feladatokban gyakran szükséges egy számsort összegezni a haladás közepén. Hogyan kell ezt csinálni?

A kérdés megválaszolásának legegyszerűbb módja a következő példa: legyen szükség az m-ediktől az n-edikig terjedő tagok összegére. A feladat megoldásához új számsor formájában kell bemutatni a progresszió adott m-től n-ig tartó szakaszát. Ebben az ábrázolásban az a m m-edik tag lesz az első, egy n pedig n-(m-1) lesz számozva. Ebben az esetben az összeg standard képletét alkalmazva a következő kifejezést kapjuk:

S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

Példa képletek használatára

Az aritmetikai progresszió összegének megtalálásának ismeretében érdemes megfontolni egy egyszerű példát a fenti képletek használatára.

Az alábbiakban egy numerikus sorozat látható, amelynek tagjainak összegét kell megtalálnia, az 5.-től kezdve és a 12.-ig:

A megadott számok azt jelzik, hogy a d különbség egyenlő 3-mal. Az n-edik elemre vonatkozó kifejezést használva megtalálhatja a progresszió 5. és 12. tagjának értékét. Kiderül:

a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;

a 12 = a 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.

A vizsgált algebrai progresszió végén lévő számok értékének ismeretében, valamint annak tudatában, hogy a sorozatban milyen számokat foglalnak el, használhatja az előző bekezdésben kapott összeg képletét. Ki fog derülni:

S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.

Érdemes megjegyezni, hogy ezt az értéket másképpen is megkaphatjuk: először keressük meg az első 12 elem összegét a standard képlet segítségével, majd számítsuk ki az első 4 elem összegét ugyanazzal a képlettel, majd vonjuk ki a másodikat az első összegből.

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete