A pisai Leonardo, Fibonacci néven ismert, Európa első nagy matematikusa volt a késő középkorban. Jómódú kereskedő családban született Pisában, és pusztán gyakorlati igényből érkezett a matematikába, hogy üzleti kapcsolatokat létesítsen. Fiatal korában Leonardo sokat utazott, és elkísérte apját üzleti utakra. Például tudjuk, hogy hosszú ideig tartózkodott Bizáncban és Szicíliában. Az ilyen utazások során sokat kommunikált a helyi tudósokkal.

A ma nevét viselő számsorozat abból a nyúlproblémából nőtt ki, amelyet Fibonacci vázolt fel 1202-ben írt Liber abacci című könyvében:

Egy férfi egy pár nyulat egy karámba helyezett, amelyet minden oldalról fal vett körül. Hány pár nyulat teremhet ez a pár egy évben, ha tudjuk, hogy minden hónapban, a másodiktól kezdődően, minden nyúl pár hoz egy párat?

Biztos lehet benne, hogy a párok száma a következő tizenkét hónap mindegyikében lesz

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

Más szóval, a nyúlpárok száma egy sorozatot hoz létre, amelyben minden tag az előző kettő összege. Úgy ismerik Fibonacci sorozatés maguk a számok - Fibonacci számok. Kiderült, hogy ennek a sorozatnak matematikai szempontból számos érdekes tulajdonsága van. Íme egy példa: feloszthat egy vonalat két szegmensre, így a nagyobb és a kisebb szakasz aránya arányos a teljes vonal és a nagyobb szakasz arányával. Ez az arányossági tényező, amely megközelítőleg egyenlő 1,618-cal, az úgynevezett aranymetszés. A reneszánsz idején azt hitték, hogy éppen ez az építészeti struktúrákban megfigyelt arány volt a legkellemesebb a szemnek. Ha a Fibonacci sorozatból egymás után párokat veszünk, és az egyes párok nagyobb számát elosztjuk a kisebb számmal, az eredmény fokozatosan megközelíti az aranymetszés mértékét.

Mióta Fibonacci felfedezte sorozatát, még olyan természeti jelenségeket is találtak, amelyekben úgy tűnik, ez a szekvencia fontos szerepet játszik. Egyikük - filotaxis(levélelrendezés) - az a szabály, amellyel például a magvakat napraforgóvirágzatba rendezik. A magvak két spirálsorban vannak elrendezve, amelyek közül az egyik az óramutató járásával megegyező, a másik az óramutató járásával ellentétes irányban halad. És mennyi a magok száma minden esetben? 34 és 55.

Fibonacci sorozat. Ha felülről nézzük a növény leveleit, észrevehetjük, hogy spirálisan virágoznak. A szomszédos levelek közötti szögek egy szabályos matematikai sorozatot alkotnak, amelyet Fibonacci-sorozatként ismerünk. Ennek köszönhetően minden egyes fán növekvő levél a rendelkezésre álló maximális hő- és fénymennyiséget kapja.

Piramisok Mexikóban

Nemcsak az egyiptomi piramisokat építették az aranymetszés tökéletes arányai szerint, ugyanezt a jelenséget a mexikói piramisoknál is megtalálták. Felmerül az ötlet, hogy az egyiptomi és a mexikói piramist is megközelítőleg egy időben emelték közös származású emberek.
A piramis keresztmetszete egy lépcsőhöz hasonló alakot mutat. Az első szint 16, a második 42, a harmadik pedig 68 lépcsőből áll.
Ezek a számok a következő Fibonacci-arányon alapulnak:
16 x 1,618 = 26
16 + 26 = 42
26 x 1,618 = 42
42 + 26 = 68

A sorozat első néhány száma után bármelyik tagjának aránya a következőhöz képest körülbelül 0,618, az előzőhöz pedig 1,618. Minél nagyobb a sorozat egy tagjának sorszáma, annál közelebb van az arány a phi számhoz, amely irracionális szám, és egyenlő 0,618034-gyel... A sorozat azonos számmal elválasztott tagjai közötti arány megközelítőleg egyenlő 0,382, fordított száma pedig 2,618. ábrán. A 3-2. ábra az összes Fibonacci-szám arányát mutatja 1-től 144-ig.

F az egyetlen szám, amely 1-hez hozzáadva az inverzét adja: 1 + 0,618 = 1: 0,618. Az összeadási és szorzási eljárások közötti kapcsolat a következő egyenletsorozathoz vezet:

Ha ezt a folyamatot folytatjuk, 13 x 21, 21 x 34 stb. téglalapokat fogunk létrehozni.

Most nézd meg. Ha a 13-at elosztod 8-cal, akkor 1,625-öt kapsz. És ha a nagyobb számot elosztja a kisebb számmal, ezek az arányok egyre közelebb kerülnek az 1,618-hoz, amelyet sokan Arany arányként ismernek, és ez a szám évszázadok óta lenyűgözi a matematikusokat, tudósokat és művészeket.

Fibonacci arány táblázat

Ahogy az új progresszió növekszik, a számok egy harmadik sorozatot alkotnak, amely a négy és a Fibonacci-szám szorzatához hozzáadott számokból áll. Ez ennek köszönhetően lehetséges. hogy a sorozat két pozíciónyi távolságra lévő tagjai közötti arány 4.236. ahol a 0,236 szám a 4,236 reciproka és. emellett a 4,236 és a 4 közötti különbség. Más tényezők más szekvenciákhoz vezetnek, amelyek mindegyike Fibonacci-arányokon alapul.

1. Nincs két egymást követő Fibonacci-számnak közös tényezője.

2. Ha a Fibonacci-sorozat tagjait 1-re, 2-re, 3-ra, 4-re, 5-re, 6-ra, 7-re stb. számozzuk, azt találjuk, hogy a negyedik tag (a 3-as szám) kivételével bármely Az a Fibonacci-szám, amely prímszám (azaz önmagán és egyen kívül nincs osztója), szintén egyszerű tiszta. Hasonlóképpen, a Fibonacci-sorozat negyedik tagjának (3-as szám) kivételével a sorozattagok összes összetett száma (vagyis azoké, amelyeknek legalább két osztója van, kivéve önmagát és egyet) az összetett Fibonacci-számoknak felel meg, mivel a az alábbi táblázat mutatja. Ennek a fordítottja nem mindig igaz.

3. A sorozat bármely tíz tagjának összegét elosztjuk tizeneggyel.

4. Az összes Fibonacci-szám összege a sorozat egy bizonyos pontjáig plusz egy megegyezik a Fibonacci-számmal, amely két pozícióval van távolabb az utolsó hozzáadott számtól.

5. Az első 1-gyel kezdődő, egymást követő tagok négyzetösszege mindig egyenlő lesz a sorozat utolsó (egy adott mintából vett) számával megszorozva a következő taggal.

6. A Fibonacci-szám négyzete mínusz a sorozat második tagjának négyzete csökkenő irányban mindig a Fibonacci-szám lesz.

7. Bármely Fibonacci-szám négyzete egyenlő a sorozat előző tagjával, megszorozva a sorozat következő számával, plusz vagy mínusz eggyel. Egy alternatív összeadása és kivonása a sorozat előrehaladtával.

8. Az Fn szám négyzetének és a következő F Fibonacci-szám négyzetének összege egyenlő az F, Fibonacci-számmal. Az F - + F 2 = F„ képlet derékszögű háromszögekre vonatkozik, ahol a két rövidebb oldal négyzetösszege megegyezik a leghosszabb oldal négyzetével. A jobb oldalon egy példa látható az F5, F6 és az Fn négyzetgyökének használatára.

10. Az egyik elképesztő jelenség, amelyről tudomásunk szerint még nem esett szó, hogy a Fibonacci-számok közötti arányok megegyeznek más Fibonacci-számok ezredrészéhez közel álló számokkal, a különbség ezredrészével egyenlő egy másik Fibonacci szám (lásd 3-2. ábra). Így emelkedő irányban két azonos Fibonacci-szám aránya 1, vagyis 0,987 plusz 0,013: a szomszédos Fibonacci-számok aránya 1,618. vagy 1,597 plusz 0,021; A sorozat valamely tagjának mindkét oldalán elhelyezkedő Fibonacci-számok aránya 2,618, vagy 2,584 plusz 0,034, és így tovább. Ellenkező irányban a szomszédos Fibonacci-számok aránya 0,618. vagy 0,610 plusz 0,008: a sorozat valamely tagjának mindkét oldalán elhelyezkedő Fibonacci-számok aránya 0,382 vagy 0,377 plusz 0,005; Azon Fibonacci-számok, amelyek között a sorozat két tagja található, aránya 0,236 vagy 0,233 plusz 0,003: A Fibonacci-számok, amelyek között a sorozat három tagja található, aránya 0,146. vagy 0,144 plusz 0,002: Fibonacci-számok, amelyek között négy A sorozat tagjainak aránya 0,090, vagy 0,089 plusz 0,001: A Fibonacci-számok, amelyek között a sorozat öt tagja található, aránya 0,056. vagy 0,055 plusz 0,001; A Fibonacci-számok, amelyek között a sorozat hat-tizenkét tagja helyezkedik el, maguk is a Fibonacci-számok ezredrészei, 0,034-től kezdve. Érdekes módon ebben az elemzésben a Fibonacci-számokat összekötő együttható, amelyek között a sorozat tizenhárom tagja található, ismét a 0,001-es számmal kezdi a sorozatot, a kezdeti szám ezredrészétől! Az összes számítással tulajdonképpen egy hasonlóságot vagy „önreprodukciót végtelen sorozatban” kapunk, amely felfedi „a matematikai összefüggések legerősebb kapcsolatának” tulajdonságait.

Végül vegye figyelembe, hogy (V5 + 1)/2 = 1,618 és [\^5- 1)/2 = 0,618. ahol V5 = 2,236. Az 5 a hullámelv legfontosabb számának bizonyul, négyzetgyöke pedig az f szám matematikai kulcsa.

Az 1,618 (vagy 0,618) számot aranymetszésnek vagy aranyátlagnak nevezik. A hozzá kapcsolódó arányosság szemnek és fülnek kellemes. Megnyilvánul a biológiában, a zenében, a festészetben és az építészetben. A Smithsonian Magazine 1975 decemberében megjelent cikkében William Hoffer ezt mondta:

„...A 0,618034:1 arány a matematikai alapja a játékkártya és a Parthenon, a napraforgó és a kagyló, a görög vázák és a világűr spirálgalaxisainak alakjának. Ez az arány a görögök számos műalkotásának és építészetének az alapja. "Arany középútnak" hívták.

A termékeny Fibonacci nyuszik a legváratlanabb helyeken bukkannak fel. A Fibonacci számok kétségtelenül egy misztikus természetes harmónia részei, amely jól érzi magát, jól néz ki, sőt még jól is hangzik. A zene például egy nyolchangú oktávra épül. A zongorán ezt 8 fehér és 5 fekete billentyű képviseli - összesen 13. Nem véletlen, hogy a legnagyobb örömet okozó zenei intervallum a hatodik. Az "E" hang 0,62500 arányban rezeg a "C" hanghoz képest. Ez csak 0,006966 távolságra van a pontos arany középúttól. A hatodik aránya kellemes rezgéseket közvetít a középfül csigájához - egy olyan szervhez, amely logaritmikus spirál alakú is.

A Fibonacci-számok és az aranyspirál állandó előfordulása a természetben pontosan megmagyarázza, miért olyan kellemes a 0,618034:1 arány a műalkotásokban. Az ember a művészetben az élet tükörképét látja, amelynek középpontjában az arany középút áll.”

A természet az aranymetszetet használja a legtökéletesebb alkotásaiban – az agy és a DNS-molekulák mikrokonvolúcióitól (lásd a 3. 9. ábrát) egészen a galaxisok méretéig. Olyan különféle jelenségekben nyilvánul meg, mint a kristályok növekedése, a fénysugár törése az üvegben, az agy és az idegrendszer szerkezete, a zenei struktúrák, valamint a növények és állatok szerkezete. A tudomány egyre több bizonyítékot szolgáltat arra vonatkozóan, hogy a természetnek megvan az arányosság alapelve. Egyébként ezt a könyvet az öt ujja közül kettővel tartja, és mindegyik ujja három részből áll. Összesen: öt egység, amelyek mindegyike három részre oszlik - 5-3-5-3 progresszió, hasonló a hullámelv alapjául szolgálóhoz.

A szimmetrikus és arányos forma elősegíti a legjobb vizuális érzékelést, valamint a szépség és a harmónia érzését kelti. A teljes kép mindig különböző méretű részekből áll, amelyek bizonyos kapcsolatban állnak egymással és az egésszel. Az aranymetszés az egész és részei tökéletességének legmagasabb megnyilvánulása a tudományban, a művészetben és a természetben.

Egy egyszerű példával élve, az Aranymetszés egy szegmens két részre osztása olyan arányban, hogy a nagyobb rész a kisebbhez kapcsolódik, mivel az összegük (a teljes szegmens) a nagyobbhoz.

Ha a teljes c szakaszt 1-nek vesszük, akkor az a szegmens 0,618, a b szegmens 0,382 lesz, csak így teljesül az aranymetszés feltétele (0,618/0,382=1,618; 1/0,618=1,618) . c és a aránya 2,618, c és b aránya 1,618. Ezek ugyanazok a Fibonacci-arányok, amelyeket már ismerünk.

Természetesen van arany téglalap, arany háromszög és még arany téglalap is. Az emberi test arányai sok tekintetben közel állnak az Aranymetszethez.

De a móka akkor kezdődik, amikor egyesítjük a megszerzett tudásunkat. Az ábrán jól látható a kapcsolat a Fibonacci-sorozat és az aranyarány között. Az első méretű két négyzetből indulunk ki. Adjunk a tetejére egy második méretű négyzetet. Rajzolj mellé egy négyzetet, amelynek oldala megegyezik az előző kettő, harmadik méret oldalainak összegével. Hasonlatosan egy ötös méretű négyzet jelenik meg. És így tovább, amíg el nem fárad, a lényeg az, hogy minden következő négyzet oldalának hossza egyenlő legyen az előző két négyzet oldalhosszának összegével. Egy sor téglalapot látunk, amelyek oldalhossza Fibonacci-szám, és furcsa módon Fibonacci-téglalapoknak hívják őket.

Ha sima vonalakat húzunk a négyzeteink sarkain, nem kapunk mást, mint egy Arkhimédész-spirált, melynek növekménye mindig egyenletes.

Az arany logaritmikus sorozat minden tagja az aranyarány hatványa ( z). A sorozat egy része valahogy így néz ki: ... z -5 ; z 4 ; z-3; z-2; z-1; z 0; z 1; z 2; z 3; z 4 ; z 5... Ha három tizedesjegyre kerekítjük az aranyarány értékét, akkor azt kapjuk z=1,618, akkor a sorozat így néz ki: ... 0,090 0,146; 0,236; 0,382; 0,618; 1; 1,618; 2,618; 4,236; 6,854; 11,090 ... Minden következő tag nem csak az előzőt megszorozva szerezhető meg 1,618 , hanem a két előző hozzáadásával is. Így egy sorozatban az exponenciális növekedés két szomszédos elem egyszerű hozzáadásával érhető el. Ez egy sorozat eleje és vége nélkül, és a Fibonacci-szekvencia is erre igyekszik hasonlítani. Nagyon határozott kezdetű, az ideálisra törekszik, de soha nem éri el. Ez az élet.

És mégis, mindazzal kapcsolatban, amit láttunk és olvastunk, egészen logikus kérdések merülnek fel:
Honnan jöttek ezek a számok? Ki ez a világegyetem építésze, aki megpróbálta ideálissá tenni? Minden úgy volt, ahogy akarta? És ha igen, miért romlott el? Mutációk? Szabad választás? Mi lesz ezután? A spirál göndörödik vagy letekercselődik?

Ha megtalálta a választ egy kérdésre, megkapja a következőt. Ha megoldod, kapsz két újat. Ha megbirkózik velük, megjelenik még három. Ha ezeket is megoldotta, akkor öt megoldatlan marad. Aztán nyolc, majd tizenhárom, 21, 34, 55...

ÁLLAMI OKTATÁSI INTÉZMÉNY

"Krivlyanskaya Középiskola"

ZSABINKOVSZKIJ KERÜLET

FIBONACCI SZÁMOK ÉS AZ ARANYARÁNY

Kutatás

Elkészült munka:

10. osztályos tanuló

Sadovnichik Valeria Alekseevna

Felügyelő:

Lavrenyuk Larisa Nikolaevna,

informatika tanár és

Matematika 1 képesítés

Fibonacci számok és természet

A növények felépítésére és fejlődésükre jellemző a spiralitás. Még Goethe is, aki nemcsak nagy költő volt, hanem természettudós is, a spiralitást minden organizmus egyik jellemző vonásának, az élet legbensőbb lényegének megnyilvánulásának tartotta. A növények indái spirálisan csavarodnak, a fatörzsekben a szövetnövekedés spirálisan, a napraforgóban a magvak spirálisan helyezkednek el, a gyökerek és hajtások növekedése során spirális mozgások (nutációk) figyelhetők meg.

Első pillantásra úgy tűnhet, hogy a levelek és virágok száma nagyon tág határok között változhat, és bármilyen értéket felvehet. De egy ilyen következtetés tarthatatlannak bizonyul. A kutatások kimutatták, hogy az azonos nevű szervek száma a növényekben nem önkényes, vannak olyan értékek, amelyek gyakran megtalálhatók, és olyan értékek, amelyek nagyon ritkák.

Az élő természetben elterjedtek az ötszögletű szimmetrián alapuló formák - tengeri csillag, tengeri sün, virág.

13. fénykép. Boglárka

A kamilla 55 vagy 89 szirmú.

14. fénykép. Kamilla

A piretrumnak 34 szirmja van.

Fot. 15. Piretrum

Nézzünk egy fenyőtobozt. A felületén lévő mérlegek szigorúan szabályosan vannak elrendezve - két spirál mentén, amelyek körülbelül derékszögben metszik egymást. Az ilyen spirálok száma a fenyőtobozokban 8 és 13 vagy 13 és 21.

16. fénykép. Kúp

A napraforgókosarakban is két spirálban helyezkednek el a magok, számuk általában 34/55, 55/89.

17. fénykép. Napraforgó

Nézzük meg közelebbről a kagylókat. Ha megszámolja az első héj „merevítő bordáinak” számát, véletlenszerűen 21-et kapunk. Vegyük a második, harmadik, ötödik, tizedik héjat - mindegyiknek 21 bordája lesz a felületén. Úgy tűnik, a puhatestűek nemcsak jó mérnökök voltak, hanem „tudták” a Fibonacci-számokat.

18. fénykép. Héj

Itt ismét a közelben elhelyezkedő Fibonacci-számok természetes kombinációját látjuk: 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21, 21/34, 34/55, 55/89. Arányuk a határban az arany arányba hajlik, a 0,61803 számmal kifejezve...

Fibonacci számok és állatok

A tengeri csillag sugarainak száma megfelel a Fibonacci-számok sorozatának, vagy nagyon közel van hozzájuk, és egyenlő: 5,8, 13,21,34,55.

19. fotó. Tengeri csillag

A modern ízeltlábúak nagyon változatosak. A homárnak is öt pár lába van, a farkán öt toll található, a hasa öt részre oszlik, és mindegyik láb öt részből áll.

Fot. 20. homár

Egyes rovaroknál a has nyolc szegmensből áll, három végtagpár nyolc részből áll, a szájnyíláson pedig nyolc különböző antennaszerű szerv emelkedik ki. Jól ismert szúnyogunknak három pár lába van, a has nyolc részre tagolódik, a fején öt antenna található. A szúnyoglárva 12 szegmensre oszlik.

Fot. 21. Szúnyog

A káposztalégy hasa öt részre oszlik, három pár lába van, a lárva nyolc részre oszlik. A két szárny mindegyikét vékony erek osztják nyolc részre.

Számos rovar hernyója 13 szegmensre oszlik, például a bőrbogár, a nyálkahártya és a mór booger. A legtöbb kártevő bogárban a hernyó 13 szegmensre oszlik. A bogarak lábának szerkezete nagyon jellegzetes. Minden láb három részből áll, mint a magasabb állatoknál - a vállból, az alkarból és a mancsból. A bogarak vékony, áttört lábai öt részre oszlanak.

A szitakötő áttört, átlátszó, súlytalan szárnyai a természet „mérnöki” mesteri alkotásai. Milyen arányok alapján tervezték ezt az apró repülő izomrepülőt? A szárnyfesztávolság és a testhossz aránya sok szitakötőnél 4/3. A szitakötő teste két fő részre oszlik: egy masszív testre és egy hosszú, vékony farokra. A test három részből áll: fej, mellkas, has. A has öt részre oszlik, a farok nyolc részből áll. Itt is hozzá kell adni három pár lábat, három részre osztva.

Fot. 22. Szitakötő

Nem nehéz az egészet részekre bontani ebben a sorozatban a Fibonacci-számok sorozatának kibontakozását. A szitakötő farkának, testének és teljes hosszának aránya az aranymetszéssel van összefüggésben: a farok és a test hosszának aránya megegyezik a teljes hossz és a farok hosszának arányával.

Nem meglepő, hogy a szitakötő olyan tökéletesnek tűnik, mert az aranymetszés törvényei szerint jött létre.

Egy teknős látványa a repedésekkel borított takyr hátterében csodálatos jelenség. A héj közepén egy nagy ovális mező található, nagy összeolvadt kanos lemezekkel, a szélek mentén pedig kisebb lemezek szegélye.

Fot. 23. Teknősbéka

Vegyünk egy tetszőleges teknőst - a hozzánk közeli mocsári teknőstől az óriás tengeri teknősig -, és meg fog győződni arról, hogy a héjukon a minta hasonló: az ovális mezőn 13 összenőtt kanos lemez található - 5 lemez a közepén és 8 a széleken, a peremen pedig körülbelül 21 lemez (a chilei teknősnek pontosan 21 lemeze van a héja szélén). A teknősök lábán 5 lábujj van, a gerincoszlop 34 csigolyából áll. Könnyen belátható, hogy az összes feltüntetett érték megfelel a Fibonacci-számoknak. Ebből következően a teknős fejlesztése, testének kialakítása, az egész részekre bontása a Fibonacci-számsor törvénye szerint történt.

A bolygó legmagasabb fajtája az emlősök. A bordák száma sok állatfajban eléri a tizenhármat, vagy megközelíti azt. Teljesen különböző emlősöknél - bálnánál, tevénél, szarvasnál, ürgéknél - a bordák száma 13 ± 1. A csigolyák száma nagyon változó, különösen a farok miatt, amely akár ugyanazon állatfajnál is eltérő hosszúságú lehet. De sokuknál a csigolyák száma egyenlő vagy közelít 34-hez és 55-höz. Tehát egy óriási szarvasnak 34, a bálnának 55 csigolyája van.

A háziállatok végtagjainak váza három azonos csontból áll: a felkarcsontból (medencecsont), az alkarcsontból (tibia) és a mancscsontból (láb). A láb pedig három csontból áll.

A fogak száma sok háziállatnál a Fibonacci-számokhoz igazodik: egy nyúlnak 14 pár, a kutyának, a sertésnek és a lónak 21 ± 1 pár foga van. A vadon élő állatokban a fogak száma szélesebb körben változik: egy erszényes ragadozóban 54, hiénában - 34, egy delfinfajban eléri a 233-at. A háziállatok csontvázában lévő csontok teljes száma (beleértve a fogakat is) az egyik csoportban közel 230, egy másikban pedig 300. Meg kell jegyezni, hogy a csontváz csontjainak száma nem tartalmazza a kis hallócsontokat és az instabil csontokat. Ezeket figyelembe véve az összes állat csontvázának száma megközelíti a 233-at, másoknál pedig meghaladja a 300-at. Amint látjuk, a test osztódását, a csontváz fejlődésével együtt, az jellemzi, hogy a csontok számának diszkrét változása az állatok különböző szerveiben, és ezek a számok megfelelnek a Fibonacci-számoknak, vagy nagyon közel állnak hozzájuk, egy 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 sort alkotva. A legtöbb csirketojás méretaránya 4:3 (néhány 3/2), a tökmagé 3:2, a görögdinnyemagé 3/2. A fenyőtobozok hosszának és átmérőjüknek az aránya 2:1. A nyírlevél mérete átlagosan nagyon közel van a makkhoz, és 5:2.

Úgy gondolják, hogy ha a virágpázsitot két részre kell osztani (fű és virág), akkor ezeket a csíkokat nem szabad egyenlő szélességűvé tenni, akkor szebb lesz, ha 5: 8 arányban veszi őket 8:13, azaz használja az „aranymetszés”-nek nevezett arányt.

Fibonacci számok és fotózás

A fotóművészetre alkalmazva az aranymetszés 9 egyenlőtlen téglalapra osztja a keretet két vízszintes és két függőleges vonallal. A fotósok, hogy könnyebben készíthessenek kiegyensúlyozott képeket, leegyszerűsítették a feladatot, és a Fibonacci-számoknak megfelelően 9 egyenlő téglalapra osztották a keretet. Így az aranymetszés szabálya a harmad szabályává alakult át, ami a kompozíció egyik alapelvére utal.

Fot. 24. Keret és aranymetszés

A modern digitális fényképezőgépek keresőjében a fókuszpontok 2/8 pozícióban, vagy a keretet aranymetszés szerint elválasztó képzeletbeli vonalakon helyezkednek el.

25. fénykép. Digitális fényképezőgép és fókuszpontok

26. fotó.

27. fénykép. Fényképezés és fókuszpontok

A harmadszabály minden tárgykompozícióra vonatkozik: akár tájképet, akár portrét, csendéletet vagy riportot készít. Amíg a harmóniaérzéked megszerzett és tudattalanná válik, a harmad egyszerű szabályának betartása lehetővé teszi, hogy kifejező, harmonikus és kiegyensúlyozott képeket készítsen.

28. fotó. A fényképezés és az ég és a föld aránya 1:2.

A demonstráció legsikeresebb példája a tájkép. A kompozíció elve az, hogy az ég és a föld (vagy vízfelület) aránya 1:2 legyen. A keret egyharmadát az égboltnak, kétharmadát a földnek kell kiosztani, vagy fordítva.

29. fotó. Fénykép egy spirálban csavarodó virágról

Fibonacci és az űr

A víz és a szárazföld aránya a Földön 62% és 38%.

A Föld és a Hold mérete aranymetszésben van.

30. fotó. A Föld és a Hold méretei

Az ábra a Föld és a Hold egymáshoz viszonyított méretét mutatja.

Rajzoljuk meg a Föld sugarát. Rajzoljunk egy szakaszt a Föld középpontjától a Hold középpontjáig, melynek hossza egyenlő lesz). Rajzoljunk egy szakaszt, amely a két adott szakaszt összeköti háromszöget alkotva. Kapunk egy arany háromszöget.

A Szaturnusz több dimenziójában is mutatja az aranymetszést

31. fénykép. A Szaturnusz és gyűrűi

A Szaturnusz átmérője nagyon szorosan összefügg az aranymetszés és a gyűrűk átmérőjével, amint azt a zöld vonalak mutatják.Sugár beA gyűrűk belső része nagyon közel van a gyűrűk külső átmérőjéhez, amint azt a kék vonal mutatja.

A bolygók Naptól való távolsága is az aranymetszés szerint alakul.

32. fénykép. A bolygók távolsága a Naptól

Aranymetszés a mindennapokban

Az aranyarányt a mindennapi fogyasztási cikkek marketingjében és tervezésében is stílus és vonzerő kölcsönzésére használják. Sok példa van, de csak néhányat mutatunk be.

33. fénykép. EmblémaToyota

34. fénykép. Aranymetszés és ruházat

34. fénykép. Az aranymetszés és az autótervezés

35. fénykép. Emblémaalma

36. fénykép. EmblémaGoogle

Esettanulmányok

Most a megszerzett tudást a gyakorlatban is alkalmazzuk. Vegyünk először méréseket a 8. osztályos tanulók körében.

A kísérletben 7 8. osztályos tanuló, 5 lány és 2 fiú vett részt. Megmérték a magasságot és a köldök és a padló közötti távolságot. Az eredményeket a táblázatok tükrözik. Egy diák számára ideális a testalkat, a magasság és a talaj közötti távolság aránya 1,6185. Egy másik diák nagyon közel áll az aranymetszéshez, . A mérések eredményeként a résztvevők 29%-a rendelkezik ideális paraméterekkel. Ezek a százalékos eredmények is közel állnak a 68%-os és a 32%-os aranymetszethez. Az első alanynál azt látjuk, hogy az 5-ből 3 arány közel van az aranymetszethez, százalékban ez 60% és 40% között van. A másodiknál ​​pedig 4 az 5-ből, azaz 80-20%.

Ha alaposan megnézzük a televíziós képet, annak méretei 16-9 vagy 16-10-esek lesznek, ami szintén közel áll az aranymetszéshez.

Mérések, kivitelezések végzése ben A CorelDRAW X4 és a Russia 24 hírcsatorna keretét használva a következőket találja:

a) a keret hosszának és szélességének aránya 1,7.

b) a képben szereplő személy pontosan a 3/8-os távolságra lévő fókuszpontokban helyezkedik el.

Ezután térjünk át az Izvesztyija újság hivatalos mikroblogjára, más szóval a Twitter oldalára. A 4:3 oldalarányú monitor képernyőjén azt látjuk, hogy az oldal „fejléce” az oldal teljes magasságának 3/8-a.

Ha alaposan megnézzük a katonai sapkákat, a következőket találhatja:

a) az Orosz Föderáció védelmi miniszterének felső határának a feltüntetett részek aránya 21,73-15,52, ami 1,4.

b) a Fehérorosz Köztársaság határőrének sapkája a jelzett részek méretei 44,42-21,33, ami egyenlő a 2,1-gyel.

c) a Szovjetunió idejéből származó sapka a feltüntetett részek méretei 49,67-31,04, ami 1,6-nak felel meg.

Ennél a modellnél a ruha hossza 113,13 mm.

Ha „elkészítjük” a ruhát az „ideális” hosszúságra, akkor egy ilyen képet kapunk.

Minden mérésnek van némi hibája, mivel fényképekből készültek, ami nem zavarja a trend látását - minden, ami ideális, bizonyos fokig tartalmazza az aranymetszést.

Következtetés

Az élő természet világa teljesen másnak tűnik számunkra - mozgékonynak, változékonynak és meglepően sokszínűnek. Az élet a kreatív kombinációk sokszínűségének és egyediségének fantasztikus karneválját mutatja be! Az élettelen természet világa mindenekelőtt a szimmetria világa, amely alkotásainak stabilitást és szépséget ad. A természeti világ mindenekelőtt a harmónia világa, amelyben az „aranymetszés törvénye” működik.

“Úgy tűnik, az „aranymetszés” az igazság pillanata, amely nélkül általában semmi sem lehetséges. Bármit vegyünk is a kutatás elemének, az „aranymetszés” mindenhol ott lesz; még ha nincs is látható betartása, akkor is energetikai, molekuláris vagy sejtszinten megy végbe.

Valójában a természet egyhangúnak (és ezért egységesnek) bizonyul alapvető törvényeinek megnyilvánulásában. Az általa talált „legsikeresebb” megoldások a legkülönfélébb tárgyakra és a szervezeti formák legkülönbözőbb formáira vonatkoznak. A szerveződés folytonossága és diszkrétsége az anyag kettős egységéből fakad - korpuszkuláris és hullámtermészete, behatol a kémiába, ahol megadja az egész sztöchiometria törvényeit, állandó és változó összetételű kémiai vegyületeket. A botanikában a folytonosság és a diszkrétség a filotaxisban, a diszkrétség kvantumában, a növekedés kvantumában, a diszkrétség egységében és a tér-idő szerveződés folytonosságában találja meg sajátos kifejeződését. És most a növényi szervek számarányaiban megjelenik az A. Gursky által bevezetett „több arány elve” - a kémia alaptörvényének teljes megismétlése.

Természetesen túl hangosan hangzik az a kijelentés, hogy mindezek a jelenségek a Fibonacci-szekvencián alapulnak, de a tendencia nyilvánvaló. Ráadásul ő maga messze nem tökéletes, mint minden ezen a világon.

Van egy olyan feltételezés, hogy a Fibonacci-sorozat a természet kísérlete arra, hogy alkalmazkodjon egy alapvetőbb és tökéletesebb aranymetszésű logaritmikus sorozathoz, amely szinte ugyanaz, csak a semmiből indul ki és tart a semmibe. A természetnek mindenképpen szüksége van valamiféle egész kezdetre, amelyből kiindulhat, nem tud a semmiből létrehozni valamit. A Fibonacci-sorozat első tagjainak arányai messze vannak az aranyaránytól. De minél tovább haladunk rajta, annál inkább kisimulnak ezek az eltérések. Bármely sorozat meghatározásához elég ismerni a három, egymás után következő kifejezést. De nem az aranysorozathoz, elég neki kettő, ez egy geometriai és egyben számtani sorozat. Azt gondolhatnánk, hogy ez az alapja az összes többi sorozatnak.

Az arany logaritmikus sorozat minden tagja az Aranyarány () hatványa. A sorozat egy része valahogy így néz ki:... ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ... Ha három tizedesjegyre kerekítjük az aranyarány értékét, akkor azt kapjuk=1,618 , akkor a sorozat így néz ki:... 0,090 0,146; 0,236; 0,382; 0,618; 1; 1,618; 2,618; 4,236; 6,854; 11,090 ... Minden következő tag nem csak az előzőt megszorozva szerezhető meg1,618 , hanem a két előző hozzáadásával is. Így az exponenciális növekedés két szomszédos elem egyszerű hozzáadásával érhető el. Ez egy sorozat eleje és vége nélkül, és a Fibonacci-szekvencia is erre igyekszik hasonlítani. Nagyon határozott kezdetű, az ideálisra törekszik, de soha nem éri el. Ez az élet.

És mégis, mindazzal kapcsolatban, amit láttunk és olvastunk, egészen logikus kérdések merülnek fel:
Honnan jöttek ezek a számok? Ki ez a világegyetem építésze, aki megpróbálta ideálissá tenni? Minden úgy volt, ahogy akarta? És ha igen, miért romlott el? Mutációk? Szabad választás? Mi lesz ezután? A spirál göndörödik vagy letekercselődik?

Ha megtalálta a választ egy kérdésre, megkapja a következőt. Ha megoldod, kapsz két újat. Ha megbirkózik velük, megjelenik még három. Ha ezeket is megoldotta, akkor öt megoldatlan marad. Aztán nyolc, majd tizenhárom, 21, 34, 55...

A felhasznált források listája

Vasyutinsky, N. Arany arány / Vasyutinsky N, Moszkva, Ifjú Gárda, 1990, - 238 p. - (Eureka).

Vorobjov, N.N. Fibonacci számok,

Hozzáférési mód: . Hozzáférés dátuma: 2015.11.17.

Hozzáférési mód: . Hozzáférés dátuma: 2015.11.16.

Hozzáférési mód: . Hozzáférés dátuma: 2015.11.13.

• Fordítás

Bevezetés

A programozóknak mostanra elegük kell a Fibonacci-számokból. Számításukra mindvégig példákat használunk. Ez azért van, mert ezek a számok adják a rekurzió legegyszerűbb példáját. Ezek is jó példái a dinamikus programozásnak. De szükséges-e ezeket így kiszámítani egy valós projektben? Nincs szükség. Sem a rekurziós, sem a dinamikus programozás nem ideális választás. És nem egy lebegőpontos számokat használó zárt képlet. Most elmondom, hogyan kell helyesen csinálni. De először nézzük meg az összes ismert megoldási lehetőséget.

A kód Python 3-hoz készült, bár a Python 2-vel is működnie kell.

Először is hadd emlékeztesselek a definícióra:

Fn = Fn-1 + Fn-2

És F 1 = F 2 =1.

Zárt képlet

A részleteket kihagyjuk, de az érdeklődők megismerkedhetnek a képlet levezetésével. Az ötlet az, hogy feltételezzük, hogy van olyan x, amelyre F n = x n, majd keressük meg x-et.

Mit jelent

Csökkentse x n-2

A másodfokú egyenlet megoldása:

Itt nő az „aranymetszés” ϕ=(1+√5)/2. Az eredeti értékeket behelyettesítve és további számításokat végezve a következőket kapjuk:

Ezt használjuk az Fn kiszámításához.

__jövő__ import részlegből import math def fib(n): SQRT5 = math.sqrt(5) PHI = (SQRT5 + 1) / 2 return int(PHI ** n / SQRT5 + 0,5)

Jó:
Gyors és egyszerű kis n
A rossz:
Lebegőpontos műveletek szükségesek. A nagy n nagyobb pontosságot igényel.
Gonosz:
A komplex számok használata az F n kiszámításához matematikai szempontból szép, de számítógépes szempontból csúnya.

Rekurzió

A legkézenfekvőbb megoldás az, amelyet már sokszor látott, valószínűleg a rekurzió példájaként. A teljesség kedvéért még egyszer megismétlem. Pythonban egy sorba írható:

Fib = lambda n: fib(n - 1) + fib(n - 2), ha n > 2 különben 1

Jó:
Egy nagyon egyszerű megvalósítás, amely követi a matematikai definíciót
A rossz:
Exponenciális végrehajtási idő. Nagy n esetén nagyon lassú
Gonosz:
Stack Overflow

Memorizálás

A rekurziós megoldásnak van egy nagy problémája: az átfedő számítások. A fib(n) meghívásakor a fib(n-1) és a fib(n-2) megszámlálódik. De amikor a fib(n-1)-t megszámoljuk, a fib(n-2)-t ismét függetlenül számolja – vagyis a fib(n-2)-t kétszer számolja. Ha folytatjuk az érvelést, látni fogjuk, hogy a fib(n-3) háromszor lesz megszámolva stb. Túl sok kereszteződés.

Ezért csak emlékeznie kell az eredményekre, hogy ne számolja újra. Ez a megoldás lineárisan időt és memóriát fogyaszt. A megoldásomban szótárt használok, de egy egyszerű tömb is használható.

M = (0:0, 1:1) def fib(n): ha n az M-ben: visszatérés M[n] M[n] = fib(n - 1) + fib(n - 2) visszatérés M[n]

(Pythonban ez a functools.lru_cache dekorátorral is megtehető.)

Jó:
Csak alakítsa át a rekurziót memóriamegoldássá. Az exponenciális végrehajtási időt lineáris végrehajtássá alakítja, ami több memóriát fogyaszt.
A rossz:
Sok memóriát pazarol
Gonosz:
Lehetséges veremtúlcsordulás, akárcsak a rekurzió

Dinamikus programozás

A memorizálással való megoldás után világossá válik, hogy nem az összes korábbi eredményre van szükségünk, hanem csak az utolsó kettőre. Továbbá, ahelyett, hogy a fib(n)-ből kezdenénk és visszafelé haladnánk, kezdhetjük a fib(0)-ból, és haladhatunk előre. A következő kód lineáris végrehajtási idővel és fix memóriahasználattal rendelkezik. A gyakorlatban a megoldási sebesség még nagyobb lesz, mivel nincs rekurzív függvényhívás és kapcsolódó munka. És a kód egyszerűbbnek tűnik.

Ezt a megoldást gyakran emlegetik a dinamikus programozás példájaként.

Def fib(n): a = 0 b = 1 __ esetén az(n) tartományban: a, b = b, a + b visszatér a

Jó:
Gyorsan működik kis n-es, egyszerű kódokhoz
A rossz:
Még mindig lineáris végrehajtási idő
Gonosz:
Semmi különös.

Mátrix algebra

És végül a legkevésbé megvilágított, de a leghelyesebb megoldás, okosan kihasználva az időt és a memóriát. Bármilyen homogén lineáris szekvenciára kiterjeszthető. Az ötlet a mátrixok használata. Elég csak ezt látni

És ennek az általánosítása ezt mondja

Az x két korábban kapott értéke, amelyek közül az egyik az aranymetszés volt, a mátrix sajátértékei. Ezért a zárt képlet levezetésének másik módja a mátrixegyenlet és a lineáris algebra használata.

Miért hasznos tehát ez a megfogalmazás? Mivel a hatványozás logaritmikus időben is elvégezhető. Ez négyzetre emeléssel történik. A lényeg az

Ahol az első kifejezést páros A-ra használjuk, a másodikat páratlanra. Már csak a mátrixszorzások rendszerezése van hátra, és minden készen áll. Ez a következő kódot eredményezi. Létrehoztam a pow rekurzív megvalósítását, mert könnyebben érthető. Lásd az iteratív verziót itt.

Def pow(x, n, I, mult): """ Az x-et n hatványára adja vissza. Feltételezi, hogy I az azonosságmátrix, amelyet mult-tal szorozunk, és n egy pozitív egész """, ha n == 0: I visszatérés elif n == 1: return x else: y = pow(x, n // 2, I, mult) y = mult(y, y) if n % 2: y = mult(x, y) return y def identitásmátrix (n): """Egy n x n azonossági mátrixot ad vissza""" r = lista(tartomány(n)) return [ for j in r] def matrix_multiply(A, B): BT = lista(zip(*B) ) return [ for A row_a in A] def fib(n): F = pow([, ], n, Identitásmátrix(2), Matrix_multiply) return F

Jó:
Rögzített memóriaméret, logaritmikus idő
A rossz:
A kód bonyolultabb
Gonosz:
Mátrixokkal kell dolgozni, bár nem olyan rosszak

Teljesítmény-összehasonlítás

Csak a dinamikus programozás és a mátrix változatát érdemes összehasonlítani. Ha összehasonlítjuk őket az n számban lévő karakterek számával, akkor kiderül, hogy a mátrixmegoldás lineáris, a dinamikus programozású megoldás pedig exponenciális. Gyakorlati példa a fib(10 ** 6) kiszámítása, amely szám több mint kétszázezer számjegyből áll.

N=10**6
A fib_mátrix kiszámítása: fib(n) mindössze 208988 számjegyből áll, a számítás 0,24993 másodpercet vett igénybe.
A fib_dynamic kiszámítása: fib(n) mindössze 208988 számjegyből áll, a számítás 11,83377 másodpercet vett igénybe.

Elméleti megjegyzések

Bár nem kapcsolódik közvetlenül a fenti kódhoz, ez a megjegyzés mégis érdekes. Tekintsük a következő grafikont:

Számoljuk meg az n hosszúságú utak számát A-tól B-ig. Például n = 1 esetén egy utunk van, 1. n = 2 esetén ismét egy utunk van, 01. n = 3 esetén két út van, 001 és 101 Egész egyszerűen kimutatható, hogy az n hosszúságú utak száma A-tól B-ig pontosan egyenlő F n-nel. Miután felírtuk a gráf szomszédsági mátrixát, ugyanazt a mátrixot kapjuk, amelyet fentebb leírtunk. A gráfelmélet jól ismert eredménye, hogy egy A szomszédsági mátrix mellett az A n-beli előfordulások a gráf n hosszúságú utak számát jelentik (a Good Will Hunting című filmben említett problémák egyike).

Miért vannak ilyen jelölések a bordákon? Kiderült, hogy ha figyelembe veszünk egy végtelen szimbólumsorozatot egy grafikonon lévő végtelen útvonalon, akkor valami úgynevezett "véges típusú aleltolást" kapunk, amely a szimbolikus dinamikai rendszer egy típusa. A véges típusnak ezt a bizonyos részeltolását „aranymetszés-eltolódásnak” nevezik, és a „tiltott szavak” halmaza határozza meg (11). Más szavakkal, olyan bináris sorozatokat fogunk kapni, amelyek mindkét irányban végtelenek, és nem lesz párja egymás mellett. Ennek a dinamikus rendszernek a topológiai entrópiája egyenlő a ϕ aranymetszővel. Érdekes, hogy ez a szám periodikusan megjelenik a matematika különböző területein.

Címkék: Címkék hozzáadása

Kanalieva Dana

Ebben a munkában a Fibonacci-sorszámok megnyilvánulását tanulmányoztuk és elemeztük a minket körülvevő valóságban. Elképesztő matematikai összefüggést fedeztünk fel a növényekben lévő spirálok száma, a vízszintes síkban lévő ágak száma és a Fibonacci-sorszámok között. Az emberi szerkezetben is szigorú matematikát láttunk. Az emberi DNS-molekula, amelyben az ember teljes fejlődési programja titkosítva van, a légzőrendszer, a fül felépítése - minden engedelmeskedik bizonyos numerikus összefüggéseknek.

Meggyőződésünk, hogy a természetnek megvannak a maga törvényei, amelyeket a matematika fejez ki.

A matematika pedig nagyon a megismerés fontos eszköze a természet titkai.

Letöltés:

Előnézet:

MBOU "Pervomaiskaya Középiskola"

Orenburg körzet, Orenburg régió

KUTATÁS

"A számok rejtélye"

Fibonacci"

Készítette: Kanalieva Dana

6. osztályos tanuló

Tudományos tanácsadó:

Gazizova Valeria Valerievna

A legmagasabb kategóriájú matematikatanár

n. Kísérleti

2012

Magyarázó megjegyzés………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Bevezetés. A Fibonacci-számok története……………………………………………………… 4.

1. fejezet Fibonacci számok az élő természetben.........……. ……………………………………… 5.

2. fejezet Fibonacci spirál................................................ .............................................. 9.

3. fejezet Fibonacci-számok az emberi találmányokban......................................................................

4. fejezet Kutatásaink………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

5. fejezet Következtetések, következtetések………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Felhasznált szakirodalom és internetes oldalak listája………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Tanulmányi tárgy:

Ember, ember által létrehozott matematikai absztrakciók, emberi találmányok, a környező növény- és állatvilág.

Tanulmányi tárgy:

a vizsgált tárgyak és jelenségek formája és szerkezete.

A tanulmány célja:

tanulmányozza a Fibonacci-számok megnyilvánulását és az aranymetszés kapcsolódó törvényét az élő és élettelen tárgyak szerkezetében,

találjon példákat a Fibonacci-számok használatára.

Munkacélok:

Ismertessen egy módszert a Fibonacci-sorozat és a Fibonacci-spirál felépítésére!

Tekintse meg az ember, a növényvilág és az élettelen természet felépítésének matematikai mintáit az Aranymetszés jelenség szemszögéből.

A kutatás újdonsága:

A Fibonacci-számok felfedezése a minket körülvevő valóságban.

Gyakorlati jelentősége:

A megszerzett ismeretek és kutatási készségek felhasználása más iskolai tantárgyak tanulása során.

Készségek és képességek:

A kísérlet megszervezése és lebonyolítása.

Szakirodalom felhasználása.

Az összegyűjtött anyagok áttekintésének képességének elsajátítása (beszámoló, prezentáció)

Munkatervezés rajzokkal, diagramokkal, fényképekkel.

Aktív részvétel a munkájáról szóló vitákban.

Kutatási módszerek:

empirikus (megfigyelés, kísérlet, mérés).

elméleti (a megismerés logikai szakasza).

Magyarázó jegyzet.

„A számok uralják a világot! A szám az istenek és halandók felett uralkodó hatalom!” - ezt mondták az ókori pitagoreusok. Vajon Pythagoras tanításának ez az alapja ma is aktuális? Amikor az iskolában a számtudományt tanuljuk, meg akarunk győződni arról, hogy valóban az egész Univerzum jelenségei bizonyos numerikus összefüggéseknek vannak kitéve, hogy megtaláljuk ezt a láthatatlan kapcsolatot a matematika és az élet között!

Tényleg minden virágban benne van,

Mind a molekulában, mind a galaxisban,

Numerikus minták

Ez a szigorú „száraz” matematika?

Egy modern információforráshoz fordultunk - az internethez, és olvastunk a Fibonacci-számokról, a varázslatos számokról, amelyek tele vannak nagy rejtélyekkel. Kiderült, hogy ezek a számok megtalálhatók a napraforgóban és a fenyőtobozban, a szitakötőszárnyakban és a tengeri csillagokban, az emberi szív ritmusaiban és a zenei ritmusokban...

Miért olyan gyakori ez a számsorozat a mi világunkban?

Szerettünk volna tudni a Fibonacci-számok titkairól. Ez a kutatómunka tevékenységünk eredménye.

Hipotézis:

a minket körülvevő valóságban minden elképesztően harmonikus törvények szerint épül fel matematikai pontossággal.

A világon mindent a legfontosabb tervezőnk, a Természet gondol ki és számít ki!

Bevezetés. A Fibonacci sorozat története.

Elképesztő számokat fedezett fel a Pisai Leonardo, ismertebb nevén Fibonacci olasz középkori matematikus. Keleten járva megismerkedett az arab matematika vívmányaival, és hozzájárult azok Nyugatra való átültetéséhez. Egyik művében, a „Számítások könyve” címmel bemutatta Európát minden idők egyik legnagyobb felfedezésével, a decimális számrendszerrel.

Egy nap azon tört a feje, hogy megold egy matematikai feladatot. Megpróbált egy képletet alkotni a nyulak szaporodási sorrendjének leírására.

A megoldás egy számsor volt, amelynek minden következő száma az előző két szám összege:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, ...

Az ezt a sorozatot alkotó számokat „Fibonacci-számoknak”, magát a sorozatot pedig Fibonacci-sorozatnak nevezzük.

"És akkor mi van?" - azt mondod: „Tényleg tudunk magunk is hasonló számsorokat kitalálni, adott progresszió szerint növekedve?” Valóban, amikor a Fibonacci-sorozat megjelent, senkinek, beleértve őt magát, fogalma sem volt, milyen közel sikerült eljutnia az univerzum egyik legnagyobb rejtélyének megoldásához!

Fibonacci visszahúzódó életmódot folytatott, sok időt töltött a természetben, és az erdőben sétálva észrevette, hogy ezek a számok szó szerint kísérteni kezdték. A természetben mindenhol újra és újra találkozott ezekkel a számokkal. Például a növények szirmai és levelei szigorúan illeszkednek egy adott számsorba.

A Fibonacci-számoknak van egy érdekessége: a következő Fibonacci-szám elosztásának az előzővel való hányadosa, ahogy maguk a számok nőnek, 1,618-ra hajlik. Ezt az állandó osztásszámot nevezték a középkorban isteni aránynak, ma pedig aranymetszetnek vagy arany aránynak nevezik.

Az algebrában ezt a számot a görög phi betű (Ф) jelöli.

Tehát φ = 1,618

233 / 144 = 1,618

377 / 233 = 1,618

610 / 377 = 1,618

987 / 610 = 1,618

1597 / 987 = 1,618

2584 / 1597 = 1,618

Mindegy, hogy hányszor osztjuk el egymást, a vele szomszédos számot mindig 1,618-at kapunk, és ha ennek az ellenkezőjét tesszük, vagyis elosztjuk a kisebb számot a nagyobbal, akkor 0,618-at kapunk, ez a 1,618 inverze, amelyet aranymetszésnek is neveznek.

A Fibonacci-sorozat csak matematikai incidens maradhatott volna, ha nem az a tény, hogy a növény- és állatvilág aranyfelosztásának minden kutatója, a művészetről nem is beszélve, változatlanul ehhez a sorozathoz érkezett, mint az arany törvényének számtani kifejezésére. osztály.

A tudósok ennek a számsornak a természeti jelenségekre és folyamatokra való további alkalmazását elemezve felfedezték, hogy ezek a számok az élő természet szó szerint minden tárgyában megtalálhatók, a növényekben, állatokban és az emberekben.

A csodálatos matematikai játékról kiderült, hogy egy egyedi kód, amelyet maga az Univerzum Teremtője ágyazott be minden természeti tárgyba.

Nézzünk olyan példákat, ahol a Fibonacci-számok előfordulnak az élő és az élettelen természetben.

Fibonacci számok az élő természetben.

Ha megnézzük a körülöttünk lévő növényeket és fákat, láthatjuk, hány levél van mindegyiken. Távolról úgy tűnik, hogy az ágak és a levelek a növényeken véletlenszerűen helyezkednek el, különösebb sorrendben. Azonban minden növényben csodálatos módon, matematikailag precíz módon melyik ág honnan fog kinőni, hogyan helyezkednek el az ágak, levelek a szár, törzs közelében. A növény megjelenése első napjától pontosan követi fejlődésében ezeket a törvényszerűségeket, vagyis egyetlen levél, egyetlen virág sem jelenik meg véletlenül. A növény megjelenése előtt már pontosan be van programozva. Hány ág lesz a leendő fán, hol nőnek az ágak, hány levél lesz az egyes ágakon, és hogyan és milyen sorrendben helyezkednek el a levelek. Botanikusok és matematikusok közös munkája rávilágított ezekre a csodálatos természeti jelenségekre. Kiderült, hogy a Fibonacci-sorozat a levelek elrendezésében egy ágon (phylotaxis), a száron lévő fordulatok számában, a ciklusban lévő levelek számában nyilvánul meg, így az aranymetszés törvénye is megnyilvánul. maga.

Ha numerikus mintákat keres az élő természetben, észre fogja venni, hogy ezek a számok gyakran megtalálhatók különféle spirális formákban, amelyek oly gazdagok a növényvilágban. Például a levéldugványok a szár mellett egy spirálban helyezkednek el, amely között futkét szomszédos levél:teljes forgás - a mogyorófánál,- a tölgyfa mellett, - a nyár- és körtefáknál,- a fűznél.

A napraforgó, az Echinacea purpurea és sok más növény magjai spirálban helyezkednek el, a spirálok száma minden irányban a Fibonacci-szám.

Napraforgó, 21 és 34 spirál. Echinacea, 34 és 55 spirálok.

A virágok tiszta, szimmetrikus formája is szigorú törvény hatálya alá tartozik.

Sok virág esetében a szirmok száma pontosan megegyezik a Fibonacci sorozatból származó számokkal. Például:

írisz, 3p. boglárka, 5 lep. aranyvirág, 8 lep. szarkaláb,

13 lep.

cikória, 21 lep. őszirózsa, 34 lep. százszorszép, 55 lep.

A Fibonacci sorozat számos élő rendszer szerkezeti felépítését jellemzi.

Korábban már említettük, hogy a Fibonacci-sorban a szomszédos számok aránya φ = 1,618. Kiderült, hogy maga az ember egyszerűen a phi számok tárháza.

Testünk különböző részeinek arányai nagyon közel állnak az aranymetszethez. Ha ezek az arányok egybeesnek az aranymetszés képletével, akkor a személy megjelenése vagy teste ideális arányúnak tekinthető. Az emberi test aranymértékének kiszámításának elve diagram formájában ábrázolható.

M/m = 1,618

Az aranymetszés első példája az emberi test felépítésében:

Ha az emberi test középpontjának a köldökpontot vesszük, és mértékegységnek a lábfej és a köldökpont távolságát, akkor egy személy magassága 1,618-nak felel meg.

Emberi kéz

Elég, ha közelebb hozod magadhoz a tenyeredet, és alaposan megnézed a mutatóujjadat, és azonnal megtalálod benne az aranymetszés képletét. A kezünk minden ujja három falangból áll.
Az ujj első két falangjának összege az ujj teljes hosszához viszonyítva adja az aranymetszés számát (a hüvelykujj kivételével).

Ezenkívül a középső ujj és a kisujj aránya is megegyezik az aranymetszéssel.

Egy személynek 2 keze van, mindkét kéz ujjai 3 ujjból állnak (a hüvelykujj kivételével). Mindegyik kézen 5 ujj található, azaz összesen 10, de két két falanxos hüvelykujj kivételével csak 8 ujj jön létre az aranymetszés elve szerint. Míg mindezek a 2, 3, 5 és 8 számok a Fibonacci-sorozat számai.

Az aranymetszés az emberi tüdő szerkezetében

Az amerikai fizikus B.D. és Dr. A.L. Goldberger fizikai és anatómiai vizsgálatok során megállapította, hogy az aranymetszés az emberi tüdő szerkezetében is létezik.

Az emberi tüdőt alkotó hörgők sajátossága az aszimmetriájukban rejlik. A hörgők két fő légútból állnak, amelyek közül az egyik (bal) hosszabb, a másik (jobb) rövidebb.

Megállapítást nyert, hogy ez az aszimmetria a hörgők ágaiban, az összes kisebb légúti rendszerben folytatódik. Ezenkívül a rövid és hosszú hörgők hosszának aránya egyben az aranymetszés is, és egyenlő 1:1,618-cal.

Művészek, tudósok, divattervezők, tervezők az aranymetszés aránya alapján készítik számításaikat, rajzaikat vagy vázlataikat. Emberi testből származó méréseket használnak, amelyet szintén az aranymetszés elve alapján hoztak létre. Leonardo Da Vinci és Le Corbusier remekműveik elkészítése előtt az emberi test paramétereit vették figyelembe, amelyeket az Aranyarány törvénye szerint hoztak létre.
Van egy másik, prózaibb alkalmazása az emberi test arányainak. A bűnügyi elemzők és régészek például ezeket a kapcsolatokat felhasználva az emberi testrészek töredékeit használják fel az egész megjelenésének rekonstruálására.

Arany arányok a DNS-molekula szerkezetében.

Az élőlények élettani jellemzőire vonatkozó minden információ, legyen szó növényről, állatról vagy személyről, egy mikroszkopikus DNS-molekulában tárolódik, amelynek szerkezete az aranyarány törvényét is tartalmazza. A DNS-molekula két függőlegesen összefonódó hélixből áll. Ezen spirálok mindegyikének hossza 34 angström, szélessége 21 angström. (1 angström a centiméter százmilliomod része).

Tehát a 21 és 34 a Fibonacci-számok sorozatában egymást követő számok, vagyis a DNS-molekula logaritmikus spiráljának hosszának és szélességének aránya az 1:1,618 aranymetszés képletét hordozza.

Nemcsak a felálló gyaloglók, hanem minden úszó, mászó, repülő és ugró lény sem kerülte el a phi szám sorsát. Az emberi szívizom térfogatának 0,618-ára húzódik össze. A csigaház szerkezete megfelel a Fibonacci-arányoknak. Ilyen példákat pedig bőven lehet találni – ha volt vágy a természeti objektumok és folyamatok feltárására. A világot annyira áthatják a Fibonacci-számok, hogy néha úgy tűnik, az Univerzum csakis ezekkel magyarázható.

Fibonacci spirál.

Nincs még egy olyan forma a matematikában, amely ugyanolyan egyedi tulajdonságokkal rendelkezik, mint a spirál, mert
A spirál felépítése az Aranyarány szabályon alapul!

A spirál matematikai felépítésének megértéséhez ismételjük meg, mi az Arany arány.

Az aranymetszés egy szegmens olyan arányos felosztása egyenlőtlen részekre, amelyben az egész szegmens a nagyobb részhez kapcsolódik, mint ahogy maga a nagyobb rész a kisebbhez, vagy más szóval a kisebb szegmens kapcsolódik a nagyobb részhez. a nagyobb, mint a nagyobb az egészhez.

Azaz (a+b) /a = a / b

A pontosan ilyen képarányú téglalapot arany téglalapnak nevezték el. Hosszú oldalai a rövid oldalakhoz viszonyítva 1,168:1 arányban vannak.
Az arany téglalapnak számos szokatlan tulajdonsága van. Négyzet kivágása egy arany téglalapból, amelynek oldala egyenlő a téglalap kisebbik oldalával,

ismét egy kisebb arany téglalapot kapunk.

Ez a folyamat a végtelenségig folytatható. Ahogy folytatjuk a négyzetek levágását, egyre kisebb arany téglalapokat kapunk. Sőt, logaritmikus spirálban helyezkednek el, ami fontos a természeti objektumok matematikai modelljeiben.

Például a spirális alak a napraforgómag elrendezésében, az ananászban, a kaktuszokban, a rózsaszirom szerkezetében stb.

Meglep és örömet okoz a kagylók spirális szerkezete.

A legtöbb héjjal rendelkező csigánál a héj spirál alakban nő. Kétségtelen azonban, hogy ezeknek az ésszerűtlen lényeknek nemhogy fogalmuk sincs a spirálról, de még a legegyszerűbb matematikai ismeretekkel sem rendelkeznek ahhoz, hogy spirál alakú héjat alkossanak maguknak.
De akkor hogyan tudták ezek az ésszerűtlen lények maguknak meghatározni és kiválasztani a növekedés és létezés ideális formáját egy spirálhéj formájában? Vajon ezek az élőlények, amelyeket a tudományos világ primitív életformáknak nevez, ki tudják számítani, hogy egy héj spirális alakja ideális lenne létezésükhöz?

A legprimitívebb életforma eredetét bizonyos természeti körülmények véletlenszerű kombinációjával próbálni magyarázni, enyhén szólva is abszurd. Nyilvánvaló, hogy ez a projekt tudatos alkotás.

A spirálok az emberekben is léteznek. A spirálok segítségével ezt halljuk:

Ezenkívül az emberi belső fülben van egy Cochlea ("Csiga") nevű szerv, amely a hangrezgés továbbítását végzi. Ez a csontos szerkezet folyadékkal van megtöltve, és arany arányú csiga alakban jön létre.

A tenyerünkön és az ujjainkon spirálok vannak:

Az állatvilágban is számos példát találhatunk a spirálokra.

Az állatok szarvai és agyarai spirál alakúak, az oroszlánok karmai és a papagájok csőrei logaritmikus formák, és egy spirálra hajlamos tengely alakjára emlékeztetnek.

Érdekes, hogy egy hurrikán és egy ciklon felhői spirálszerűen kanyarognak, és ez jól látható az űrből:

Az óceán és a tenger hullámaiban a spirál matematikailag ábrázolható egy 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 és 55 pontokkal rendelkező grafikonon.

Egy ilyen „hétköznapi” és „prózai” spirált is mindenki felismer.

Hiszen a víz spirálisan szökik ki a fürdőszobából:

Igen, és spirálban élünk, mert a galaxis az Aranyarány képletének megfelelő spirál!

Tehát rájöttünk, hogy ha vesszük az Arany Téglalapot, és kisebb téglalapokra bontjukpontosan a Fibonacci-sorrendben, majd újra és újra elosztva mindegyiket ilyen arányban, kapunk egy Fibonacci-spirál nevű rendszert.

Ezt a spirált a legváratlanabb tárgyakban és jelenségekben fedeztük fel. Most már világos, hogy miért nevezik a spirált az „élet görbéjének”.
A spirál az evolúció szimbólumává vált, mert minden spirálban fejlődik.

Fibonacci számok az emberi találmányokban.

Miután megfigyelték a természetben a Fibonacci-számok sorozatával kifejezett törvényt, a tudósok és művészek megpróbálják utánozni, és megtestesíteni ezt a törvényt alkotásaikban.

A phi arány lehetővé teszi a festészet remekeinek létrehozását és az építészeti struktúrák helyes illeszkedését a térbe.

Nemcsak a tudósok, hanem az építészek, a tervezők és a művészek is lenyűgözik a nautilushéj tökéletes spirálját,

a legkevesebb helyet foglalják el és a legkisebb hőveszteséget biztosítják. Az amerikai és thaiföldi építészek, akiket a „kamrás nautilus” példája ihletett abban a kérdésben, hogy a maximumot helyezzék el a minimális helyen, a megfelelő projektek kidolgozásával vannak elfoglalva.

Ősidők óta az aranymetszés aránya a tökéletesség, a harmónia, sőt az isteniség legmagasabb aránya. Az aranymetszés a szobrokban, sőt a zenében is megtalálható. Ilyen például Mozart zenei művei. Még a tőzsdeárfolyamok és a héber ábécé is aranymetszést tartalmaz.

Mi azonban a hatékony napelemes rendszer létrehozásának egyedülálló példájára szeretnénk összpontosítani. Egy New York-i amerikai iskolás, Aidan Dwyer fákkal kapcsolatos tudását összeszedve felfedezte, hogy a napelemes erőművek hatásfoka matematikával növelhető. Téli séta közben Dwyer azon töprengett, miért van szükségük a fáknak ilyen ágak és levelek „mintájára”. Tudta, hogy a fákon az ágak a Fibonacci-sorrend szerint vannak elrendezve, és a levelek fotoszintézist hajtanak végre.

Valamikor az okos fiú úgy döntött, hogy megnézi, hogy az ágak ilyen helyzete segít-e több napfény begyűjtésében. Aidan kísérleti üzemet épített a hátsó kertjében, levelek helyett kis napelemekkel, és működés közben tesztelte. Kiderült, hogy egy hagyományos lapos napelemhez képest a „fája” 20%-kal több energiát gyűjt össze, és 2,5 órával tovább működik hatékonyan.

Dwyer napelemfa modell és grafikonok, amelyeket egy diák készített.

„Ez a telepítés is kevesebb helyet foglal, mint egy lapos panel, télen 50%-kal több napsütést gyűjt be ott is, ahol nem délre néz, ráadásul a fa alakú kialakítás sokkal alkalmasabb a városi táj” – jegyzi meg a fiatal feltaláló.

Aidant felismerték 2011 egyik legjobb fiatal természettudósa. A 2011-es Young Naturalist versenynek a New York-i Természettudományi Múzeum adott otthont. Aidan ideiglenes szabadalmi kérelmet nyújtott be találmányára.

A tudósok továbbra is aktívan fejlesztik a Fibonacci-számok és az aranymetszés elméletét.

Yu Matiyasevics Fibonacci számok segítségével megoldja Hilbert 10. feladatát.

Elegáns módszerek vannak kialakulóban számos kibernetikai probléma (kereséselmélet, játékok, programozás) megoldására a Fibonacci-számok és az aranymetszés segítségével.

Az USA-ban még a Mathematical Fibonacci Association is létrejön, amely 1963 óta ad ki külön folyóiratot.

Tehát azt látjuk, hogy a Fibonacci számsorozat hatóköre nagyon sokrétű:

A természetben előforduló jelenségek megfigyelése során a tudósok megdöbbentő következtetéseket vontak le arra vonatkozóan, hogy az életben előforduló események teljes sorozata, forradalmak, összeomlások, csődök, jóléti időszakok, törvények és fejlődési hullámok a részvény- és devizapiacon, a családi élet ciklusai, és így tovább, időskálán szerveződnek ciklusok és hullámok formájában. Ezek a ciklusok és hullámok is a Fibonacci számsor szerint oszlanak meg!

Ezen ismeretek alapján az ember megtanulja megjósolni és kezelni a különböző eseményeket a jövőben.

4. Kutatásunk.

Folytattuk megfigyeléseinket és tanulmányoztuk a szerkezetet

fenyőtoboz

cickafark

szúnyog

személy

És megbizonyosodtunk arról, hogy ezekben az első pillantásra annyira különböző objektumokban láthatatlanul ugyanazok a Fibonacci-sorozatok számai vannak.

Tehát, 1. lépés.

Vegyünk egy fenyőtobozt:

Nézzük meg közelebbről:

Két Fibonacci spirálsorozatot észlelünk: az egyik - az óramutató járásával megegyező, a másik - az óramutató járásával ellentétes, a számuk 8 és 13.

2. lépés.

Vegyük a cickafarkot:

Gondosan mérlegeljük a szárak és virágok szerkezetét:

Vegye figyelembe, hogy a cickafark minden új ága a hónaljból nő, és új ágak nőnek az új ágból. A régi és az új ágak összeadásával minden vízszintes síkban megtaláltuk a Fibonacci-számot.

3. lépés

Megjelennek-e Fibonacci-számok a különféle élőlények morfológiájában? Tekintsük a jól ismert szúnyogot:

Látjuk: 3 pár láb, fej 5 antennák, a has fel van osztva 8 szegmens.

Következtetés:

Kutatásunk során azt láttuk, hogy a körülöttünk lévő növényekben, élő szervezetekben, sőt az emberi szerkezetben is Fibonacci szekvenciából származó számok jelennek meg, ami szerkezetük harmóniáját tükrözi.

A fenyőtoboz, a cickafark, a szúnyog és az ember matematikai pontossággal van elrendezve.

Arra a kérdésre kerestük a választ: hogyan jelenik meg a Fibonacci-sorozat a minket körülvevő valóságban? De válaszolva egyre több kérdés érkezett hozzánk.

Honnan jöttek ezek a számok? Ki ez a világegyetem építésze, aki megpróbálta ideálissá tenni? A spirál göndörödik vagy letekercselődik?

Milyen csodálatos az embernek megtapasztalni ezt a világot!!!

Miután megtalálta a választ egy kérdésre, megkapja a következőt. Ha megoldja, kap két újat. Miután foglalkozik velük, megjelenik még három. Miután ezeket is megoldotta, lesz öt megoldatlan. Aztán nyolc, majd tizenhárom, 21, 34, 55...

Felismered?

Következtetés.

maga az alkotó által minden tárgyba

Egyedi kód van megadva

És aki barátságos a matematikával,

Ő tudni fogja és megérti!

Tanulmányoztuk és elemeztük a Fibonacci-sorszámok megnyilvánulását a minket körülvevő valóságban. Azt is megtudtuk, hogy ennek a számsornak a mintázatai, beleértve az „Arany” szimmetria mintáit is, az elemi részecskék energiaátmeneteiben, bolygó- és kozmikus rendszerekben, élő szervezetek génstruktúráiban nyilvánulnak meg.

Meglepő matematikai összefüggést fedeztünk fel a növényekben lévő spirálok száma, a vízszintes síkban lévő ágak száma és a Fibonacci-szekvencia számai között. Láttuk, hogy a különféle organizmusok morfológiája is engedelmeskedik ennek a titokzatos törvénynek. Az emberi szerkezetben is szigorú matematikát láttunk. Az emberi DNS-molekula, amelyben az ember teljes fejlődési programja titkosítva van, a légzőrendszer, a fül felépítése - minden engedelmeskedik bizonyos numerikus összefüggéseknek.

Megtudtuk, hogy a fenyőtobozok, a csigaházak, az óceán hullámai, az állati szarvak, a ciklonfelhők és a galaxisok mind logaritmikus spirálokat alkotnak. Még az emberi ujj is, amely egymáshoz viszonyított aranyarányban három ujjból áll, összenyomva spirális alakot vesz fel.

Egy örökkévalóságnyi idő és fényévnyi tér választja el a fenyőtobozt és a spirálgalaxist, de a szerkezet ugyanaz marad: együttható 1,618 ! Talán ez a természeti jelenségeket szabályozó elsődleges törvény.

Így a harmóniáért felelős speciális numerikus minták létezésére vonatkozó hipotézisünk beigazolódik.

Valóban, a világon mindent a legfontosabb tervezőnk - a Természet - gondolt és számított ki!

Meggyőződésünk, hogy a természetnek megvannak a maga törvényei, amelyek felhasználásával fejeződnek ki matematika. A matematika pedig nagyon fontos eszköz

megismerni a természet titkait.

Irodalom és internetes oldalak listája:

1. Vorobiev N. N. Fibonacci számok. - M., Nauka, 1984.
2. Ghika M. Arányesztétika a természetben és a művészetben. - M., 1936.

3. Dmitriev A. Káosz, fraktálok és információ. // Tudomány és Élet, 2001. 5. sz.
4. Kashnitsky S. E. Paradoxonokból szőtt harmónia // Kultúra és

Élet. - 1982.- 10. sz.
5. Maláj G. Harmónia - a paradoxonok azonossága // MN. - 1982.- 19. sz.
6. Sokolov A. Az aranymetszet titkai // Ifjúsági technológia. - 1978.- 5. sz.
7. Sztakhov A. P. Az arany arány kódjai. - M., 1984.
8. Urmantsev Yu A. A természet szimmetriája és a szimmetria természete. - M., 1974.
9. Urmantsev Yu. Aranymetszet // Természet. - 1968.- 11. sz.

10. Shevelev I.Sh., Marutaev M.A., Shmelev I.P. Arany arány/Három

Pillantás a harmónia természetébe.-M., 1990.

11. Shubnikov A. V., Koptsik V. A. Szimmetria a tudományban és a művészetben. -M.:

B. Biggs „A sövény előbukkant a ködből” című könyvének anyagai alapján

A Fibonacci számokról és a kereskedésről

A téma bevezetéseként térjünk át röviden a technikai elemzésre. Röviden, a technikai elemzés célja egy eszköz jövőbeli ármozgásának előrejelzése a múltbeli történelmi adatok alapján. Támogatóinak leghíresebb megfogalmazása, hogy az árban már minden szükséges információ benne van. A technikai elemzés megvalósítása a tőzsdei spekuláció kibontakozásával kezdődött, és valószínűleg még nem fejeződött be teljesen, mivel potenciálisan korlátlan bevétellel kecsegtet. A technikai elemzés legismertebb módszerei (kifejezései) a támogatási és ellenállási szintek, a japán gyertyatartók, az árfordulatot előrevetítő számok stb.

A helyzet paradoxona véleményem szerint a következőkben rejlik - a leírt módszerek többsége olyan elterjedtté vált, hogy hatékonyságuk bizonyítékalapjának hiánya ellenére ténylegesen megvan a lehetőségük a piaci magatartás befolyásolására. Ezért még az alapvető adatokat használó szkeptikusoknak is figyelembe kell venniük ezeket a fogalmakat, pusztán azért, mert sok más szereplő („techies”) figyelembe veszi őket. A technikai elemzés jól működhet a történelemben, de a gyakorlatban szinte senkinek sem sikerül stabil pénzt keresnie segítségével - sokkal könnyebb meggazdagodni, ha nagy mennyiségben adunk ki egy könyvet arról, hogy „hogyan lehet milliomos a technikai elemzés segítségével”. .

Ebben az értelemben különbözik a Fibonacci-elmélet, amelyet az árak előrejelzésére is használnak különböző időszakokra. Követőit általában "ingadozóknak" nevezik. Azért tűnik el egymástól, mert nem a piaccal egy időben jelent meg, hanem sokkal korábban - akár 800 évvel is. További jellemzője, hogy az elmélet szinte egy mindent és mindenkit leíró világfogalomként tükröződik, a piac pedig csak speciális eset az alkalmazásához. Az elmélet eredményessége és fennállásának időszaka új támogatókat és újabb próbálkozásokat is kínál számára a piacok viselkedésének legkevésbé vitatott és általánosan elfogadott leírására. De sajnos az elmélet nem jutott túl az egyéni sikeres piaci előrejelzéseken, ami a szerencsének tekinthető.

A Fibonacci elmélet lényege

Fibonacci hosszú életet élt, különösen a maga idejében, amelyet számos matematikai probléma megoldásának szentelt, „Az Abakusz könyve” című vaskos munkájában (13. század eleje) megfogalmazva azokat. Mindig is érdekelte a számok miszticizmusa – valószínűleg nem volt kevésbé zseniális, mint Arkhimédész vagy Eukleidész. A másodfokú egyenletekkel kapcsolatos problémákat Fibonacci előtt vetette fel és részben megoldotta például a híres Omar Khayyam, tudós és költő; Fibonacci azonban megfogalmazta a nyulak szaporodásának problémáját, amelynek következtetései olyasmit hoztak számára, ami lehetővé tette, hogy neve ne vesszen el az évszázadok során.

A feladat röviden a következő. Egy nyúlpárt minden oldalról fallal körülvett helyre helyeztek el, és bármely nyúlpár minden hónapban, fennállásának második hónapjától kezdve szül egy másikat. A nyulak időbeli szaporodását a következő sorrend írja le: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987 stb. Matematikai szempontból a sorozat egyszerűen egyedinek bizonyult, mivel számos kiemelkedő tulajdonsággal rendelkezik:

• bármely két egymást követő szám összege a következő szám a sorozatban;

• a sorozat minden számának aránya az ötödiktől kezdve az előzőhöz képest 1,618;

• tetszőleges szám négyzete és egy balra két pozícióból álló szám négyzete közötti különbség a Fibonacci-szám lesz;

• a szomszédos számok négyzeteinek összege a Fibonacci-szám lesz, amely két pozícióval van a legnagyobb négyzetes szám után

Az eredmények közül a második a legérdekesebb, mert az 1,618-as számot használja, amelyet „aranymetszésként” ismernek. Ezt a számot az ókori görögök ismerték, akik a Parthenon építésekor használták (egyes források szerint egyébként a Központi Bank a görögöket szolgálta ki). Nem kevésbé érdekes, hogy az 1,618-as szám megtalálható a természetben mind mikro-, mind makroskálán – a csigaház spirálfordulóitól a kozmikus galaxisok nagy spiráljáig. Az ókori egyiptomiak által létrehozott gízai piramisok az építés során a Fibonacci-sorozat számos paraméterét is tartalmazták. A szemnek leginkább egy téglalap tűnik, amelynek egyik oldala 1618-szor nagyobb, mint a másik – ezt az arányt Leonardo da Vinci használta festményeihez, hétköznapibb értelemben pedig néha ablakok vagy ajtónyílások készítésekor is. Még egy hullám is ábrázolható Fibonacci spirálként, mint a cikk elején látható ábrán.

Az élő természetben a Fibonacci-szekvencia nem ritkábban jelenik meg - megtalálható a karmokban, fogakban, napraforgókban, pókhálókban és még a baktériumok növekedésében is. Kívánt esetben a következetesség szinte mindenben megtalálható, beleértve az emberi arcot és testet is. Mégis, úgy vélik, hogy sok olyan állítás, amely a Fibonacci-számokat természeti és történelmi jelenségekben találja, téves – ez egy általános mítosz, amely gyakran kiderül, hogy pontatlanul illeszkedik a kívánt eredményhez.

Fibonacci számok a pénzügyi piacokon

R. Elliot volt az egyik első, aki a legszorosabban érintett a Fibonacci-számok alkalmazásában a pénzügyi piacon. Munkája nem volt hiábavaló abban az értelemben, hogy a Fibonacci-elméletet használó piacleírásokat gyakran „Elliott-hullámoknak” nevezik. A piacok fejlesztése itt a szuperciklusokból három lépéssel előre és két visszalépéssel az emberi fejlődés modelljén alapult. Az, hogy az emberiség nemlineárisan fejlődik, szinte mindenki számára nyilvánvaló - az ókori Egyiptom ismerete és Démokritosz atomisztikus tanítása a középkorban teljesen elveszett, i.e. körülbelül 2000 év után; A 20. század az emberi élet olyan borzalmát és jelentéktelenségét idézte elő, amelyet még a görögök pun háborúinak korában is nehéz volt elképzelni. Azonban még ha elfogadjuk is a lépések elméletét és azok számát igazságként, az egyes lépések mérete homályos marad, ami az Elliott-hullámokat összehasonlíthatóvá teszi a fejek és a farok előrejelző erejével. A kiindulási pont és a hullámok számának helyes kiszámítása volt és láthatóan az is lesz az elmélet fő gyengesége.

Ennek ellenére az elméletnek helyi sikerei voltak. Bob Pretcher, aki Elliott tanítványának tekinthető, helyesen jósolta meg az 1980-as évek elejének bikapiacát, és 1987-ben látta a fordulópontot. Ez valóban megtörtént, ami után Bob nyilvánvalóan zseninek érezte magát – legalábbis mások szemében biztosan befektetési guru lett. Prechter Elliott Wave Theorist előfizetése 20 000-re nőtt abban az évben.az 1990-es évek elején azonban csökkent, mivel az amerikai piac további előre jelzett "végzete és homálya" úgy döntött, hogy egy kicsit visszatart. A japán piacnak azonban bevált, és az elmélet számos támogatója, aki egy hullámból ott „elkésett”, elvesztette vagy tőkéjét, vagy cége ügyfelei tőkéjét. Ugyanígy és ugyanolyan sikerrel próbálják gyakran alkalmazni az elméletet a devizapiaci kereskedésre.

Az elmélet sokféle kereskedési időszakot fed le – a heti kereskedéstől, ami hasonló a szokásos technikai elemzési stratégiákhoz, az évtizedes számításokig, pl. az alapvető előrejelzések területére kerül. Ez a hullámok számának változtatásával lehetséges. Az elmélet fentebb említett gyengeségei lehetővé teszik, hogy hívei ne a hullámok inkonzisztenciájáról beszéljenek, hanem saját téves számításaikról és a kiindulási helyzet helytelen meghatározásáról. Olyan, mint egy labirintus – ha van is megfelelő térképed, csak akkor tudod követni, ha pontosan tudod, hol vagy. Ellenkező esetben a kártya nem használható. Az Elliott-hullámok esetében minden jel arra utal, hogy nem csak a helymeghatározás helyességében, hanem a térkép pontosságában is kételkedni lehet.

következtetéseket

Az emberiség hullámfejlődésének valódi alapja van - a középkorban inflációs és deflációs hullámok váltották egymást, amikor a háborúk átadták a helyét a viszonylag nyugodt, békés életnek. A Fibonacci-szekvencia természetben való megfigyelése, legalábbis bizonyos esetekben, szintén nem kelt kétségeket. Ezért mindenkinek joga van saját választ adni arra a kérdésre, hogy ki Isten: matematikus vagy véletlenszám-generátor. Személyes véleményem az, hogy bár a hullámkoncepcióban az emberiség egész történelme és piaca megjeleníthető, az egyes hullámok magasságát és időtartamát senki sem tudja megjósolni.

Ugyanakkor az amerikai piac 200 éves és a többi piac több mint 100 éves megfigyelése egyértelművé teszi, hogy a tőzsde növekszik, különböző növekedési és stagnálási időszakokon megy keresztül. Ez a tény bőven elegendő a tőzsdei hosszú távú bevételekhez anélkül, hogy vitatott elméletekhez folyamodnánk, és több tőkét bíznánk rájuk, mint amennyi ésszerű kockázaton belül kellene.

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete