Legyen adott egy derékszögű koordináta-rendszer.

Tétel 1.1. A sík bármely két M 1 (x 1;y 1) és M 2 (x 2;y 2) pontja esetén a köztük lévő d távolságot a képlet fejezi ki

Bizonyíték. Emeljük ki az M 1 B és M 2 A merőlegeseket az M 1 és M 2 pontokból.

az Oy és az Ox tengelyen, és jelölje K-val az M 1 B és M 2 A egyenesek metszéspontját (1.4. ábra). A következő esetek lehetségesek:

1) Az M 1, M 2 és K pontok különbözőek. Nyilvánvaló, hogy a K pontnak vannak koordinátái (x 2;y 1). Könnyen belátható, hogy M 1 K = ôx 2 – x 1 ô, M 2 K = ôу 2 – y 1 ô. Mert ∆M 1 KM 2 téglalap alakú, akkor a Pitagorasz-tétel szerint d = M 1 M 2 = = .

2) A K pont egybeesik az M 2 ponttal, de különbözik az M 1 ponttól (1.5. ábra). Ebben az esetben y 2 = y 1

és d = M 1 M 2 = M 1 K = ôx 2 – x 1 ô= =

3) A K pont egybeesik az M 1 ponttal, de különbözik az M 2 ponttól. Ebben az esetben x 2 = x 1 és d =

M 1 M 2 = KM 2 = ôу 2 - y 1 ô= = .

4) Az M 2 pont egybeesik az M 1 ponttal. Ekkor x 1 = x 2, y 1 = y 2 és

d = M 1 M 2 = O = .

Egy szegmens felosztása ebből a szempontból.

Legyen adott egy tetszőleges M 1 M 2 szakasz a síkon, és legyen M ─ ennek bármely pontja

az M 2 ponttól eltérő szegmens (1.6. ábra). Az l szám, amelyet az l = egyenlőség határoz meg , hívott hozzáállás, ahol M osztja az M 1 M 2 szakaszt.

Tétel 1.2. Ha egy M(x;y) pont osztja az M 1 M 2 szakaszt l-hez képest, akkor ennek a pontnak a koordinátáit a képletek határozzák meg

x = , y = , (4)

ahol (x 1;y 1) ─ M 1 pont koordinátái, (x 2;y 2) ─ M 2 pont koordinátái.

Bizonyíték. Bizonyítsuk be a (4) képlet közül az elsőt. A második képlet hasonló módon bizonyított. Két eset lehetséges.

x = x 1 = = = .

2) Az M 1 M 2 egyenes nem merőleges az Ox tengelyre (1.6. ábra). Engedjük le a merőlegeseket az M 1, M, M 2 pontokból az Ox tengelyre, és jelöljük ki az Ox tengellyel való metszéspontjukat P 1, P, P 2-nek. Az arányos szakaszok tételével = l.

Mert P 1 P = ôx – x 1 ô, PP 2 = ôx 2 – xô és az (x – x 1) és (x 2 – x) számoknak ugyanaz az előjele (x 1-nél)< х 2 они положительны, а при х 1 >x 2 negatív), akkor

l = = ,

x – x 1 = l(x 2 – x), x + lx = x 1 + lx 2,

x = .

Következmény 1.2.1. Ha M 1 (x 1;y 1) és M 2 (x 2;y 2) két tetszőleges pont, és az M(x;y) pont az M 1 M 2 szakasz közepe, akkor

x = , y = (5)

Bizonyíték. Mivel M 1 M = M 2 M, akkor l = 1 és a (4) képleteket használva megkapjuk az (5) képleteket.

Egy háromszög területe.

Tétel 1.3. Minden olyan A(x 1;y 1), B(x 2;y 2) és C(x 3;y 3) ponthoz, amelyek nem ugyanazon

egyenes, az ABC háromszög S területét a képlet fejezi ki

S = ô(x 2 – x 1)(y 3 – y 1) – (x 3 – x 1) (y 2 – y 1)ô (6)

Bizonyíték.ábrán látható ∆ ABC terület. 1.7, a következőképpen számolunk

S ABC = S ADEC + S BCEF – S ABFD .

Kiszámoljuk a trapézok területét:

S ADEC =
,

S BCEF =

S ABFD =

Most megvan

S ABC = ((x 3 – x 1)(y 3 + y 1) + (x 3 – x 2) (y 3 + y 2) - (x 2 – -x 1) (y 1 + y 2)) = (x 3 y 3 – x 1 y 3 + x 3 y 1 – x 1 y 1 + + x 2 y 3 – -x 3 y 3 + x 2 y 2 – x 3 y 2 – x 2 y 1 + x 1 év 1 – x 2 y 2 + x 1 y 2) = (x 3 y 1 – x 3 y 2 + x 1 y 2 – x 2 y 1 + x 2 y 3 –

X 1 y 3) = (x 3 (y 1 – y 2) + x 1 y 2 – x 1 y 1 + x 1 y 1 – x 2 y 1 + y 3 (x 2 – x 1)) = (x 1 (y 2 – y 1) – x 3 (y 2 – y 1) + +y 1 (x 1 – x 2) – y 3 (x 1 – x 2)) = ((x 1 – x 3)( y 2 – y 1) + (x 1 – x 2) (y 1 – y 3)) = ((x 2 – x 1) (y 3 – y 1) –

- (x 3 – x 1)(y 2 – y 1)).

Egy másik ∆ ABC helynél a (6) képletet hasonló módon bizonyítjuk, de előfordulhat, hogy „-” jellel is kiderül. Ezért a (6) képletbe a modulusjelet teszik.

2. előadás.

Egy síkon lévő egyenes egyenlete: főegyenletű egyenes egyenlete, általános egyenes egyenlete, szakaszos egyenes egyenlete, két ponton átmenő egyenes egyenlete. Az egyenesek közötti szög, az egyenesek párhuzamosságának és merőlegességének feltételei egy síkon.

2.1. Legyen adott a síkon egy derékszögű koordinátarendszer és valamilyen L egyenes.

Meghatározás 2.1. Az x és y változókat összekötő F(x;y) = 0 alakú egyenletet ún. L egyenes egyenlet(egy adott koordináta-rendszerben), ha ezt az egyenletet az L egyenesen fekvő bármely pont koordinátái teljesítik, és nem egy olyan pont koordinátái, amelyik nem ezen az egyenesen fekszik.

Példák síkon lévő egyenesek egyenleteire.

1) Tekintsünk a derékszögű koordinátarendszer Oy tengelyével párhuzamos egyenest (2.1. ábra). Jelöljük A betűvel ennek az egyenesnek az Ox tengellyel való metszéspontját, (a;o) ─ annak or-

dinats. Az x = a egyenlet az adott egyenes egyenlete. Valójában ez az egyenlet teljesül az egyenes bármely M(a;y) pontjának koordinátáival, és nem teljesül az egyenesen nem fekvő pontok koordinátái. Ha a = 0, akkor az egyenes egybeesik az Oy tengellyel, amelynek egyenlete x = 0.

2) Az x - y = 0 egyenlet határozza meg a sík azon pontjainak halmazát, amelyek az I és III koordinátaszögek felezőit alkotják.

3) Az x 2 - y 2 = 0 ─ egyenlet a koordinátaszögek két felezőjének egyenlete.

4) Az x 2 + y 2 = 0 egyenlet egyetlen O(0;0) pontot határoz meg a síkon.

5) Az x 2 + y 2 = 25 egyenlet ─ egy 5 sugarú kör egyenlete, amelynek középpontja az origóban van.

Helló,

PHP használt:

Üdvözlettel, Alexander.

Helló,

Már jó ideje küzdök egy problémával: megpróbálom kiszámolni a távolságot két tetszőleges pont között, amelyek egymástól 30-1500 méter távolságra vannak.

PHP használt:

$cx=31,319738; //x az első pont koordinátája
$cy=60,901638; //y az első pont koordinátája

x = 31,333312; //x a második pont koordinátája
$y = 60,933981; //y a második pont koordinátája

$mx=abs($cx-$x); //az x különbség kiszámítása (egy derékszögű háromszög első lába), abs(x) függvény - az x x szám modulusát adja vissza
$my=abs($cy-$y); //számítsd ki a játékosok közötti különbséget (a derékszögű háromszög második lába)

$dist=sqrt(pow($mx,2)+pow($my,2)); //A metró távolságának megadása (a befogó hossza a szabály szerint, a befogó egyenlő a lábak négyzeteinek összegének gyökével)

Ha nem világos, hadd magyarázzam el: úgy képzelem, hogy két pont távolsága egy derékszögű háromszög befogója. Ekkor a két pont X-jei közötti különbség az egyik láb, a másik láb pedig ugyanazon két pont Y-jeinek különbsége lesz. Ezután az X-ek és az Y-k közötti különbségek kiszámításával a képlet segítségével kiszámíthatja a hipotenúza hosszát (azaz két pont távolságát).

Tudom, hogy ez a szabály jól működik a derékszögű koordinátarendszerben, de többé-kevésbé működnie kell a longlat koordinátákon, mert két pont között mért távolság elhanyagolható (30-1500 méter).

Az algoritmus szerinti távolságot azonban hibásan számítják ki (például az ezzel az algoritmussal számított 1. távolság csak 13%-kal haladja meg a 2. távolságot, míg a valóságban az 1. távolság 1450 méter, a 2. távolság pedig 970 méter, valójában a különbség eléri az 50%-ot).

Ha valaki tudna segíteni nagyon megköszönném.

Üdvözlettel, Alexander.

","contentType":"text/html"),"proposedBody":("forrás":"

Helló,

Már jó ideje küzdök egy problémával: megpróbálom kiszámolni a távolságot két tetszőleges pont között, amelyek egymástól 30-1500 méter távolságra vannak.

PHP használt:

$cx=31,319738; //x az első pont koordinátája
$cy=60,901638; //y az első pont koordinátája

x = 31,333312; //x a második pont koordinátája
$y = 60,933981; //y a második pont koordinátája

$mx=abs($cx-$x); //az x különbség kiszámítása (egy derékszögű háromszög első lába), abs(x) függvény - az x x szám modulusát adja vissza
$my=abs($cy-$y); //számítsd ki a játékosok közötti különbséget (a derékszögű háromszög második lába)

$dist=sqrt(pow($mx,2)+pow($my,2)); //A metró távolságának megadása (a befogó hossza a szabály szerint, a befogó egyenlő a lábak négyzeteinek összegének gyökével)

Ha nem világos, hadd magyarázzam el: úgy képzelem, hogy két pont távolsága egy derékszögű háromszög befogója. Ekkor a két pont X-jei közötti különbség az egyik láb, a másik láb pedig ugyanazon két pont Y-jeinek különbsége lesz. Ezután az X-ek és az Y-k közötti különbségek kiszámításával a képlet segítségével kiszámíthatja a hipotenúza hosszát (azaz két pont távolságát).

Tudom, hogy ez a szabály jól működik a derékszögű koordinátarendszerben, de többé-kevésbé működnie kell a longlat koordinátákon, mert két pont között mért távolság elhanyagolható (30-1500 méter).

Az algoritmus szerinti távolságot azonban hibásan számítják ki (például az ezzel az algoritmussal számított 1. távolság csak 13%-kal haladja meg a 2. távolságot, míg a valóságban az 1. távolság 1450 méter, a 2. távolság pedig 970 méter, valójában a különbség eléri az 50%-ot).

Ha valaki tudna segíteni nagyon megköszönném.

Üdvözlettel, Alexander.

Helló,

Már jó ideje küzdök egy problémával: megpróbálom kiszámolni a távolságot két tetszőleges pont között, amelyek egymástól 30-1500 méter távolságra vannak.

PHP használt:

$cx=31,319738; //x az első pont koordinátája
$cy=60,901638; //y az első pont koordinátája

x = 31,333312; //x a második pont koordinátája
$y = 60,933981; //y a második pont koordinátája

$mx=abs($cx-$x); //az x különbség kiszámítása (egy derékszögű háromszög első lába), abs(x) függvény - az x x szám modulusát adja vissza
$my=abs($cy-$y); //számítsd ki a játékosok közötti különbséget (a derékszögű háromszög második lába)

$dist=sqrt(pow($mx,2)+pow($my,2)); //A metró távolságának megadása (a befogó hossza a szabály szerint, a befogó egyenlő a lábak négyzeteinek összegének gyökével)

Ha nem világos, hadd magyarázzam el: úgy képzelem, hogy két pont távolsága egy derékszögű háromszög befogója. Ekkor a két pont X-jei közötti különbség az egyik láb, a másik láb pedig ugyanazon két pont Y-jeinek különbsége lesz. Ezután az X-ek és az Y-k közötti különbségek kiszámításával a képlet segítségével kiszámíthatja a hipotenúza hosszát (azaz két pont távolságát).

Tudom, hogy ez a szabály jól működik a derékszögű koordinátarendszerben, de többé-kevésbé működnie kell a longlat koordinátákon, mert két pont között mért távolság elhanyagolható (30-1500 méter).

Az algoritmus szerinti távolságot azonban hibásan számítják ki (például az ezzel az algoritmussal számított 1. távolság csak 13%-kal haladja meg a 2. távolságot, míg a valóságban az 1. távolság 1450 méter, a 2. távolság pedig 970 méter, valójában a különbség eléri az 50%-ot).

Ha valaki tudna segíteni nagyon megköszönném.

Üdvözlettel, Alexander.

","contentType":"text/html"),"authorId":"108613929","slug":"15001","canEdit":false,"canComment":false,"isBanned":false,"canPublish" :false,"viewType":"old","isDraft":false,"isOnModeration":false,"isSubscriber":false,"commentsCount":14,"modificationDate":"2012. június 27. szerda 20:07:00 GMT +0000 (UTC)","showPreview":true,"approvedPreview":("forrás":"

Helló,

Már jó ideje küzdök egy problémával: megpróbálom kiszámolni a távolságot két tetszőleges pont között, amelyek egymástól 30-1500 méter távolságra vannak.

PHP használt:

$cx=31,319738; //x az első pont koordinátája
$cy=60,901638; //y az első pont koordinátája

x = 31,333312; //x a második pont koordinátája
$y = 60,933981; //y a második pont koordinátája

$mx=abs($cx-$x); //az x különbség kiszámítása (egy derékszögű háromszög első lába), abs(x) függvény - az x x szám modulusát adja vissza
$my=abs($cy-$y); //számítsd ki a játékosok közötti különbséget (a derékszögű háromszög második lába)

$dist=sqrt(pow($mx,2)+pow($my,2)); //A metró távolságának megadása (a befogó hossza a szabály szerint, a befogó egyenlő a lábak négyzeteinek összegének gyökével)

Ha nem világos, hadd magyarázzam el: úgy képzelem, hogy két pont távolsága egy derékszögű háromszög befogója. Ekkor a két pont X-jei közötti különbség az egyik láb, a másik láb pedig ugyanazon két pont Y-jeinek különbsége lesz. Ezután az X-ek és az Y-k közötti különbségek kiszámításával a képlet segítségével kiszámíthatja a hipotenúza hosszát (azaz két pont távolságát).

Tudom, hogy ez a szabály jól működik a derékszögű koordinátarendszerben, de többé-kevésbé működnie kell a longlat koordinátákon, mert két pont között mért távolság elhanyagolható (30-1500 méter).

Az algoritmus szerinti távolságot azonban hibásan számítják ki (például az ezzel az algoritmussal számított 1. távolság csak 13%-kal haladja meg a 2. távolságot, míg a valóságban az 1. távolság 1450 méter, a 2. távolság pedig 970 méter, valójában a különbség eléri az 50%-ot).

Ha valaki tudna segíteni nagyon megköszönném.

Üdvözlettel, Alexander.

","html":"Üdvözöljük,""contentType":"text/html"),"proposedPreview":("forrás":"

Helló,

Már jó ideje küzdök egy problémával: megpróbálom kiszámolni a távolságot két tetszőleges pont között, amelyek egymástól 30-1500 méter távolságra vannak.

PHP használt:

$cx=31,319738; //x az első pont koordinátája
$cy=60,901638; //y az első pont koordinátája

x = 31,333312; //x a második pont koordinátája
$y = 60,933981; //y a második pont koordinátája

$mx=abs($cx-$x); //az x különbség kiszámítása (egy derékszögű háromszög első lába), abs(x) függvény - az x x szám modulusát adja vissza
$my=abs($cy-$y); //számítsd ki a játékosok közötti különbséget (a derékszögű háromszög második lába)

$dist=sqrt(pow($mx,2)+pow($my,2)); //A metró távolságának megadása (a befogó hossza a szabály szerint, a befogó egyenlő a lábak négyzeteinek összegének gyökével)

Ha nem világos, hadd magyarázzam el: úgy képzelem, hogy két pont távolsága egy derékszögű háromszög befogója. Ekkor a két pont X-jei közötti különbség az egyik láb, a másik láb pedig ugyanazon két pont Y-jeinek különbsége lesz. Ezután az X-ek és az Y-k közötti különbségek kiszámításával a képlet segítségével kiszámíthatja a hipotenúza hosszát (azaz két pont távolságát).

Tudom, hogy ez a szabály jól működik a derékszögű koordinátarendszerben, de többé-kevésbé működnie kell a longlat koordinátákon, mert két pont között mért távolság elhanyagolható (30-1500 méter).

Az algoritmus szerinti távolságot azonban hibásan számítják ki (például az ezzel az algoritmussal számított 1. távolság csak 13%-kal haladja meg a 2. távolságot, míg a valóságban az 1. távolság 1450 méter, a 2. távolság pedig 970 méter, valójában a különbség eléri az 50%-ot).

Ha valaki tudna segíteni nagyon megköszönném.

Üdvözlettel, Alexander.

","html":"Helló,","contentType":"text/html"),"titleImage":null,"tags":[("displayName":"távolságmérés","slug":"izmerenie- rasstoyaniy","categoryId":"10615601","url":"/blog/mapsapi??tag=izmerenie-rasstoyaniy"),("displayName":"API 1.x","slug":"api-1" -x","categoryId":"150000131","url":"/blog/mapsapi??tag=api-1-x")],"isModerator":false,"commentsEnabled":true"url": "/blog/mapsapi/15001","urlTemplate":"/blog/mapsapi/%slug%","fullBlogUrl":"https://yandex.ru/blog/mapsapi","addCommentUrl":"/blog/ createComment/mapsapi/15001","updateCommentUrl":"/blog/updateComment/mapsapi/15001","addCommentWithCaptcha":"/blog/createWithCaptcha/mapsapi/15001","changeCaptchapt/Urchapi":"/capt/blog/new ","putImageUrl":"/blog/image/put","urlBlog":"/blog/mapsapi","urlEditPost":"/blog/56a98d48b15b79e31e0d54c8/edit","urlSlug":"/blog/post/generateSlug ""urlPublishPost":"/blog/56a98d48b15b79e31e0d54c8/publish","urlUnpublishPost":"/blog/56a98d48b15b79e31e0d54c8/unpublish","urlRemovePost/unpublish":"98b45b /removePost","urlDraft":"/blog/ mapsapi /15001/draft","urlDraftTemplate":"/blog/mapsapi/%slug%/draft","urlRemoveDraft":"/blog/56a98d48b15b79e31e0d54c8/removeDraft","urlTag/Suggestmaps":/aps " ,"urlAfterDelete":"/blog/mapsapi","isAuthor":false,"subscribeUrl":"/blog/api/subscribe/56a98d48b15b79e31e0d54c8","unsubscribeUrl":"/blog/api/unsubscribe/56a98d48e" urlEdit PostPage ":"/blog/mapsapi/56a98d48b15b79e31e0d54c8/edit","urlForTranslate":"/blog/post/translate","urlRelateIssue":"/blog/post/updateIssue","/blog/post/updateIssue","urlpost" /updateTranslate ","urlLoadTranslate":"/blog/post/loadTranslate","urlTranslationStatus":"/blog/mapsapi/15001/translationInfo","urlRelatedArticles":"/blog/api/relatedArticles/mapsapi","/15001" author" :("id":"108613929","uid":("value":"108613929","lite":false,"hosted":false),"aliases":(),"bejelentkezés":" mrdds" ,megjelenítési_név":("név":"mrdds","avatar":("alapértelmezett":"0/0-0","üres":igaz)),"cím":" [e-mail védett]","defaultAvatar":"0/0-0","imageSrc":"https://avatars.mds.yandex.net/get-yapic/0/0-0/islands-middle","isYandexStaff": false),"originalModificationDate":"2012-06-27T16:07:49.000Z","socialImage":("eredeti":("fullPath":"https://avatars.mds.yandex.net/get-yablogs /47421/file_1456488726678/orig")))))">

Két pont távolságának meghatározása CSAK longlat koordinátákkal.

$my=abs($cy-$y); //számítsd ki a játékosok közötti különbséget (a derékszögű háromszög második lába)

$dist=sqrt(pow($mx,2)+pow($my,2)); //A metró távolságának megadása (a befogó hossza a szabály szerint, a befogó egyenlő a lábak négyzeteinek összegének gyökével)

Ha nem világos, hadd magyarázzam el: úgy képzelem, hogy két pont távolsága egy derékszögű háromszög befogója. Ekkor a két pont X-jei közötti különbség az egyik láb, a másik láb pedig ugyanazon két pont Y-jeinek különbsége lesz. Ezután az X-ek és az Y-k közötti különbségek kiszámításával a képlet segítségével kiszámíthatja a hipotenúza hosszát (azaz két pont távolságát).

Tudom, hogy ez a szabály jól működik a derékszögű koordinátarendszerben, de többé-kevésbé működnie kell a longlat koordinátákon, mert két pont között mért távolság elhanyagolható (30-1500 méter).

Az algoritmus szerinti távolságot azonban hibásan számítják ki (például az ezzel az algoritmussal számított 1. távolság csak 13%-kal haladja meg a 2. távolságot, míg a valóságban az 1. távolság 1450 méter, a 2. távolság pedig 970 méter, valójában a különbség eléri az 50%-ot).

Ha valaki tudna segíteni nagyon megköszönném.

Üdvözlettel, Alexander.

Ebben a cikkben megvizsgáljuk a pontok közötti távolság elméleti és konkrét feladatok példáján keresztül történő meghatározásának módjait. Kezdésként vezessünk be néhány definíciót.

Yandex.RTB R-A-339285-1 1. definíció

Pontok közötti távolság az őket összekötő szakasz hossza a meglévő léptékben. Ahhoz, hogy legyen egy hosszegység a méréshez, be kell állítani egy skálát. Ezért a pontok közötti távolság megállapításának problémáját alapvetően úgy oldjuk meg, hogy koordinátáikat koordinátaegyenesen, koordinátasíkban vagy háromdimenziós térben használjuk.

Kiindulási adatok: O x koordinátaegyenes és egy tetszőleges A pont, amely az egyenesen található x A, ez egyben az A pont koordinátája is.

Általánosságban elmondható, hogy egy adott szakasz hosszát egy adott skálán egy hosszegységnek vett szakaszhoz viszonyítva értékeljük.

Ha az A pont egy egész valós számnak felel meg, az O ponttól a pontig sorra lerakva az egyenes O A szakaszokat - hosszegységeket, akkor az összes félretett egységnyi szegmensből meghatározhatjuk az O A szakasz hosszát.

Például az A pont a 3-as számnak felel meg - ahhoz, hogy O pontból eljusson hozzá, három egységszegmenst kell elengednie. Ha az A pont koordinátája - 4, az egységszegmensek hasonló módon vannak elhelyezve, de eltérő, negatív irányban. Így az első esetben az O A távolság 3; a második esetben O A = 4.

Ha az A pontnak racionális szám a koordinátája, akkor az origóból (O pont) egy egész számú egységnyi szakaszt ábrázolunk, majd annak szükséges részét. De geometriailag nem mindig lehet mérést végezni. Például nehéznek tűnik a 4 111 tört ábrázolása a koordináta egyenesen.

A fenti módszerrel teljesen lehetetlen egy irracionális számot egyenesen ábrázolni. Például, ha az A pont koordinátája 11. Ebben az esetben át lehet térni az absztrakcióra: ha az A pont adott koordinátája nagyobb nullánál, akkor O A = x A (a számot veszik távolságnak); ha a koordináta kisebb, mint nulla, akkor O A = - x A . Általában ezek az állítások igazak bármely x A valós számra.

Összefoglalva: az origó és a koordináta egyenes valós számának megfelelő pont közötti távolság egyenlő:

• 0, ha a pont egybeesik az origóval;

• x A, ha x A > 0;

• - x A, ha x A< 0 .

Ebben az esetben nyilvánvaló, hogy magának a szakasznak a hossza nem lehet negatív, ezért a modulus előjel segítségével a koordinátával írjuk fel az O pont és az A pont távolságát. xA: O A = x A

A következő állítás igaz lesz: az egyik pont és a másik közötti távolság egyenlő lesz a koordináta-különbség modulusával. Azok. olyan A és B pontok esetében, amelyek bármely helyhez ugyanazon a koordinátavonalon helyezkednek el, és megfelelő koordinátákkal rendelkeznek xAÉs x B: A B = x B - x A.

Kiindulási adatok: az O x y téglalap alakú koordinátarendszer síkon fekvő A és B pontjai megadott koordinátákkal: A (x A, y A) és B (x B, y B).

Rajzoljunk merőlegeseket az A és B pontokon keresztül az O x és O y koordinátatengelyekre, és kapjuk meg ennek eredményeként a vetületi pontokat: A x, A y, B x, B y. Az A és B pont elhelyezkedése alapján a következő lehetőségek lehetségesek:

Ha az A és B pont egybeesik, akkor a köztük lévő távolság nulla;

Ha az A és B pont az O x tengelyre merőleges egyenesen (abszcissza tengely) fekszik, akkor a pontok egybeesnek, és | A B | = | A y B y | . Mivel a pontok távolsága egyenlő a koordinátáik különbségének modulusával, akkor A y B y = y B - y A, és ezért A B = A y B y = y B - y A.

Ha az A és B pont az O y tengelyre (ordináta tengelyre) merőleges egyenesen fekszik - az előző bekezdéshez hasonlóan: A B = A x B x = x B - x A

Ha az A és B pont nem az egyik koordinátatengelyre merőleges egyenesen fekszik, akkor a köztük lévő távolságot a számítási képlet levezetésével fogjuk megtalálni:

Látjuk, hogy az A B C háromszög téglalap alakú. Ebben az esetben A C = A x B x és B C = A y B y. A Pitagorasz-tétel segítségével létrehozzuk az egyenlőséget: A B 2 = A C 2 + B C 2 ⇔ A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2, majd transzformáljuk: A B = A x B x 2 + A y B y 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

A kapott eredményből vonjuk le a következtetést: az A pont és a B pont távolságát a síkon számítással határozzuk meg a képlet segítségével, ezen pontok koordinátáinak felhasználásával.

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

A kapott képlet megerősíti a pontok egybeesésének eseteire vagy olyan helyzetekre vonatkozó, korábban kialakított állításokat is, amikor a pontok a tengelyekre merőleges egyeneseken helyezkednek el. Tehát, ha az A és B pont egybeesik, a következő egyenlőség lesz igaz: A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + 0 2 = 0

Ha az A és B pont az x tengelyre merőleges egyenesen fekszik:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + (y B - y A) 2 = y B - y A

Abban az esetben, ha az A és B pont az ordináta tengelyére merőleges egyenesen fekszik:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = (x B - x A) 2 + 0 2 = x B - x A

Kiindulási adat: egy O x y z téglalap alakú koordinátarendszer, amelyen tetszőleges pontok találhatók adott A (x A, y A, z A) és B (x B, y B, z B) koordinátákkal. Meg kell határozni e pontok közötti távolságot.

Tekintsük azt az általános esetet, amikor az A és B pont nem az egyik koordinátasíkkal párhuzamos síkban van. Rajzoljunk a koordinátatengelyekre merőleges síkokat az A és B pontokon keresztül, és kapjuk meg a megfelelő vetítési pontokat: A x , A y , A z , B x , B y , B z

Az A és B pontok távolsága a kapott paralelepipedon átlója. Ennek a paralelepipedonnak a méréseinek felépítése szerint: A x B x , A y B y és A z B z

A geometria tantárgyból tudjuk, hogy egy paralelepipedon átlójának négyzete egyenlő a méretei négyzeteinek összegével. Ezen állítás alapján megkapjuk az egyenlőséget: A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2

A korábban levont következtetéseket felhasználva a következőket írjuk:

A x B x = x B - x A , A y B y = y B - y A , A z B z = z B - z A

Alakítsuk át a kifejezést:

A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 + z B - z A 2 = = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 + z B - z A 2

Végső képlet a térben lévő pontok távolságának meghatározásáraígy fog kinézni:

A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

Az eredményül kapott képlet akkor is érvényes, ha:

A pontok egybeesnek;

Egy koordinátatengelyen vagy az egyik koordinátatengellyel párhuzamos egyenesen fekszenek.

Példák a pontok közötti távolság megállapításával kapcsolatos feladatok megoldására

1. példa

Kiindulási adatok: adott A (1 - 2) és B (11 + 2) koordinátákkal egy koordináta egyenes és a rajta fekvő pontok. Meg kell találni az O kezdőpont és az A pont, valamint az A és B pontok közötti távolságot.

Megoldás

1. A referenciapont és a pont távolsága megegyezik a pont koordinátájának modulusával, illetve O A = 1 - 2 = 2 - 1
2. Az A és B pontok közötti távolságot a pontok koordinátái közötti különbség modulusaként határozzuk meg: A B = 11 + 2 - (1 - 2) = 10 + 2 2

Válasz: O A = 2 - 1, A B = 10 + 2 2

2. példa

Kiindulási adatok: egy derékszögű koordinátarendszer és két azon fekvő A (1, - 1) és B (λ + 1, 3) pont adott. λ egy valós szám. Meg kell találni ennek a számnak az összes értékét, amelynél az A B távolság 5 lesz.

Megoldás

Az A és B pontok közötti távolság meghatározásához az A B = (x B - x A) 2 + y B - y A 2 képletet kell használni.

A valós koordináta értékeket behelyettesítve a következőt kapjuk: A B = (λ + 1 - 1) 2 + (3 - (- 1)) 2 = λ 2 + 16

Használjuk azt a meglévő feltételt is, hogy A B = 5, és akkor az egyenlőség igaz lesz:

λ 2 + 16 = 5 λ 2 + 16 = 25 λ = ± 3

Válasz: A B = 5, ha λ = ± 3.

3. példa

Kiindulási adatok: az O x y z derékszögű koordinátarendszerben háromdimenziós teret adunk meg és a benne elhelyezkedő A (1, 2, 3) és B - 7, - 2, 4 pontokat.

Megoldás

A feladat megoldásához az A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2 képletet használjuk

A valós értékeket behelyettesítve a következőt kapjuk: A B = (- 7 - 1) 2 + (- 2 - 2) 2 + (4 - 3) 2 = 81 = 9

Válasz: | A B | = 9

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

A koordináták segítségével meghatározzák egy objektum helyét a földgömbön. A koordinátákat szélességi és hosszúsági fokok jelzik. A szélességeket mindkét oldalon az egyenlítő vonalától mérjük. Az északi féltekén a szélességi fokok pozitívak, a déli féltekén negatívak. A hosszúságot az elsődleges meridiántól mérjük keleti vagy nyugati irányban, vagy keleti vagy nyugati hosszúságot kapunk.

Az általánosan elfogadott álláspont szerint az elsődleges meridián az, amelyik áthalad Greenwichben a régi Greenwich Obszervatóriumon. A hely földrajzi koordinátái GPS-navigátor segítségével szerezhetők be. Ez a készülék a műholdas helymeghatározó rendszer jeleit a WGS-84 koordinátarendszerben veszi, egységesen az egész világon.

A Navigátor modellek gyártója, funkcionalitása és interfésze különbözik. Jelenleg egyes mobiltelefon-modellekben beépített GPS-navigátorok is elérhetők. De bármely modell rögzítheti és mentheti egy pont koordinátáit.

GPS koordináták közötti távolság

Egyes iparágakban gyakorlati és elméleti problémák megoldásához szükséges a pontok közötti távolságok koordinátái alapján történő meghatározása. Ezt többféleképpen is megteheti. A földrajzi koordináták kanonikus ábrázolási formája: fok, perc, másodperc.

Például meghatározhatja a távolságot a következő koordináták között: 1. pont - szélesség 55°45′07″ É, hosszúság 37°36′56″ K; 2. pont – é. sz. 58°00′02″, keleti hosszúság 102°39′42″.

A legegyszerűbb, ha egy számológépet használunk a két pont közötti hossz kiszámításához. A böngésző keresőjében a következő keresési paramétereket kell beállítania: online - két koordináta távolságának kiszámításához. Az online számológépben a szélességi és hosszúsági értékek az első és a második koordináta lekérdezési mezőibe kerülnek. A számítás során az online számológép az eredményt adta - 3 800 619 m.

A következő módszer munkaigényesebb, de vizuálisabb is. Használnia kell minden elérhető térképező vagy navigációs programot. Azok a programok, amelyekben koordináták segítségével pontokat hozhat létre, és mérheti a köztük lévő távolságokat, a következő alkalmazások közé tartoznak: BaseCamp (a MapSource program modern analógja), Google Earth, SAS.Planet.

A fenti programok mindegyike elérhető bármely hálózati felhasználó számára. Például két koordináta távolságának kiszámításához a Google Föld programban létre kell hoznia két címkét, amelyek az első és a második pont koordinátáit jelzik. Ezután a „Vonalzó” eszközzel össze kell kötni az első és a második jelet egy vonallal, a program automatikusan megjeleníti a mérési eredményt és megmutatja az utat a Föld műholdképen.

A fenti példa esetében a Google Earth program az eredményt adta vissza - az 1. pont és a 2. pont közötti távolság hossza 3 817 353 m.

Miért van hiba a távolság meghatározásakor

A koordináták közötti távolság minden számítása az ívhossz számításán alapul. A Föld sugara részt vesz az ív hosszának kiszámításában. De mivel a Föld alakja közel van egy lapos ellipszoidhoz, a Föld sugara bizonyos pontokon változik. A koordináták közötti távolság kiszámításához a Föld sugarának átlagos értékét veszik, ami hibát ad a mérésben. Minél nagyobb a mért távolság, annál nagyobb a hiba.

A matematikai feladatok megoldása gyakran sok nehézséggel jár a tanulók számára. Oldalunk fő célja, hogy segítsük a hallgatókat megbirkózni ezekkel a nehézségekkel, valamint megtanítsuk meglévő elméleti ismereteiket konkrét problémák megoldására a kurzus minden szakaszában a „Matematika” tantárgyból.

A témával kapcsolatos feladatok megoldásának megkezdésekor a tanulóknak tudniuk kell egy síkon egy pontot megszerkeszteni annak koordinátái alapján, valamint meg kell találni egy adott pont koordinátáit.

Két síkon vett A(x A; y A) és B(x B; y B) pont közötti távolság kiszámítása a képlet segítségével történik d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2), ahol d annak a szakasznak a hossza, amely a sík ezen pontjait összeköti.

Ha a szakasz egyik vége egybeesik a koordináták origójával, és a másik M(x M; y M) koordinátákkal rendelkezik, akkor a d kiszámításának képlete OM = √(x M 2 + y M 2 ).

1. Két pont távolságának kiszámítása e pontok megadott koordinátái alapján

1. példa.

Határozzuk meg a koordinátasíkon az A(2; -5) és B(-4; 3) pontokat összekötő szakasz hosszát (1. ábra).

Megoldás.

A problémafelvetés a következőket mondja ki: x A = 2; x B = -4; y A = -5 és y B = 3. Keresse meg d.

A d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2 képletet alkalmazva a következőt kapjuk:

d = AB = √((2 – (-4)) 2 + (-5 – 3) 2) = 10.

2. Három adott ponttól egyenlő távolságra lévő pont koordinátáinak kiszámítása

2. példa

Határozzuk meg az O 1 pont koordinátáit, amely egyenlő távolságra van három A(7; -1) és B(-2; 2) és C(-1; -5) ponttól!

Megoldás.

A feladatfeltételek megfogalmazásából következik, hogy O 1 A = O 1 B = O 1 C. Legyen a kívánt O 1 pont koordinátái (a; b). A d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) képlet segítségével megkapjuk:

O 1 A = √((a – 7) 2 + (b + 1) 2);

O 1 B = √((a + 2) 2 + (b – 2) 2);

O 1 C = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Hozzunk létre egy két egyenletrendszert:

(√((a – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 2) 2 + (b – 2) 2),
(√((a – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Az egyenletek bal és jobb oldalának négyzetre emelése után a következőket írjuk:

((a – 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 2) 2 + (b – 2) 2,
((a – 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 1) 2 + (b + 5) 2.

Leegyszerűsítve, írjuk

(-3a + b + 7 = 0,
(-2a – b + 3 = 0.

A rendszer megoldása után a következőt kapjuk: a = 2; b = -1.

Az O 1 (2; -1) pont egyenlő távolságra van a feltételben meghatározott három ponttól, amelyek nem ugyanazon az egyenesen helyezkednek el. Ez a pont egy három megadott ponton átmenő kör középpontja (2. ábra).

3. Az abszcissza (ordináta) tengelyén fekvő és egy adott ponttól adott távolságra lévő pont abszcissza (ordináta) kiszámítása

3. példa

A B(-5; 6) pont és az Ox tengelyen fekvő A pont távolsága 10. Keresse meg az A pontot.

Megoldás.

A feladatfeltételek megfogalmazásából az következik, hogy az A pont ordinátája egyenlő nullával és AB = 10.

Az A pont abszcisszáját a-val jelölve A(a; 0)-t írunk.

AB = √((a + 5) 2 + (0 – 6) 2) = √((a + 5) 2 + 36).

A √((a + 5) 2 + 36) = 10 egyenletet kapjuk. Leegyszerűsítve azt kapjuk

a 2 + 10a – 39 = 0.

Ennek az egyenletnek a gyökerei a 1 = -13; és 2 = 3.

Két A 1 (-13; 0) és A 2 (3; 0) pontot kapunk.

Vizsgálat:

A 1 B = √((-13 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.

A 2 B = √((3 + 5) 2 + (0–6) 2) = 10.

Mindkét kapott pont megfelelő a feladat feltételeinek megfelelően (3. ábra).

4. Egy olyan pont abszcissza (ordináta) kiszámítása, amely az abszcissza (ordináta) tengelyen fekszik és két adott ponttól azonos távolságra van

4. példa

Keressen egy pontot az Oy tengelyen, amely azonos távolságra van az A (6, 12) és B (-8, 10) pontoktól.

Megoldás.

Legyenek a feladat feltételei által megkívánt, Oy tengelyen fekvő pont koordinátái O 1 (0; b) (az Oy tengelyen fekvő pontban az abszcissza nulla). Abból a feltételből következik, hogy O 1 A = O 1 B.

A d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) képlet segítségével megkapjuk:

O 1 A = √((0 – 6) 2 + (b – 12) 2) = √(36 + (b – 12) 2);

O 1 B = √((a + 8) 2 + (b – 10) 2) = √(64 + (b – 10) 2).

A következő egyenlet: √(36 + (b – 12) 2) = √(64 + (b – 10) 2) vagy 36 + (b – 12) 2 = 64 + (b – 10) 2.

Egyszerűsítés után a következőt kapjuk: b – 4 = 0, b = 4.

A feladat feltételei által megkövetelt O 1 (0; 4) pont (4. ábra).

5. Egy olyan pont koordinátáinak kiszámítása, amely azonos távolságra van a koordinátatengelyektől és egy adott ponttól

5. példa

Keresse meg a koordinátasíkon a koordinátatengelyektől és az A(-2; 1) ponttól azonos távolságra lévő M pontot.

Megoldás.

A szükséges M pont az A(-2; 1) ponthoz hasonlóan a második koordinátaszögben található, mivel egyenlő távolságra van az A, P 1 és P 2 pontoktól (5. ábra). Az M pont távolsága a koordinátatengelyektől azonos, ezért koordinátái (-a; a) lesznek, ahol a > 0.

A feladat feltételeiből az következik, hogy MA = MR 1 = MR 2, MR 1 = a; MP 2 = |-a|,

azok. |-a| = a.

A d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) képlet segítségével megkapjuk:

MA = √((-a + 2) 2 + (a – 1) 2).

Készítsünk egy egyenletet:

√((-а + 2) 2 + (а – 1) 2) = а.

Négyzetesítés és egyszerűsítés után a következőt kapjuk: a 2 – 6a + 5 = 0. Oldja meg az egyenletet, keresse meg a 1 = 1-et; és 2 = 5.

Két M 1 (-1; 1) és M 2 (-5; 5) pontot kapunk, amelyek kielégítik a feladat feltételeit.

6. Az abszcissza (ordináta) tengelytől és az adott ponttól azonos távolságra elhelyezkedő pont koordinátáinak kiszámítása

6. példa.

Keressünk egy M pontot, amelynek távolsága az ordináta tengelytől és az A(8; 6) ponttól egyenlő 5-tel.

Megoldás.

A feladat feltételeiből az következik, hogy MA = 5 és az M pont abszcisszája egyenlő 5-tel. Legyen M pont ordinátája b-vel, akkor M(5; b) (6. ábra).

A d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) képlet szerint a következőket kapjuk:

MA = √((5 – 8) 2 + (b – 6) 2).

Készítsünk egy egyenletet:

√((5 – 8) 2 + (b – 6) 2) = 5. Leegyszerűsítve a következőt kapjuk: b 2 – 12b + 20 = 0. Ennek az egyenletnek a gyökei b 1 = 2; b 2 = 10. Ebből következően két olyan pont van, amely teljesíti a feladat feltételeit: M 1 (5; 2) és M 2 (5; 10).

Ismeretes, hogy sok diáknak, amikor önállóan oldja meg a problémákat, állandó konzultációra van szüksége a megoldási technikákról és módszerekről. A tanuló gyakran nem találja meg a módját a probléma megoldásának tanári segítség nélkül. A probléma megoldásához szükséges tanácsokat honlapunkon kaphatja meg a hallgató.

Van még kérdése? Nem tudja, hogyan találja meg a távolságot egy síkon két pont között?
Ha segítséget szeretne kérni egy oktatótól, regisztráljon.
Az első óra ingyenes!

weboldalon, az anyag teljes vagy részleges másolásakor a forrásra mutató hivatkozás szükséges.

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete