Valószínűségi változók függvényei. Valószínűségi változó valószínűségi eloszlásfüggvénye és tulajdonságai

Az X valószínűségi változó eloszlásfüggvénye az F(x) függvény, amely minden x esetén kifejezi annak valószínűségét, hogy az X valószínűségi változó felveszi az értéket., kisebb x

2.5. példa. Adott egy valószínűségi változó eloszlási sorozata

Keresse meg és ábrázolja grafikusan az eloszlási függvényét. Megoldás. A meghatározás szerint

F(jc) = 0 at x x

F(x) = 0,4 + 0,1 = 0,5 4 °C-on F(x) = 0,5 + 0,5 = 1 °C-on x > 5.

Tehát (lásd a 2.1. ábrát):

Az elosztási függvény tulajdonságai:

1. Egy valószínűségi változó eloszlásfüggvénye egy nulla és egy közötti nemnegatív függvény:

2. Egy valószínűségi változó eloszlásfüggvénye a teljes numerikus tengelyen nem csökkenő függvény, azaz. nál nél x 2 >x

3. Mínusz végtelennél az eloszlásfüggvény egyenlő nullával, plusz végtelennél eggyel, azaz.

4. Egy valószínűségi változó eltalálásának valószínűsége x az intervallumban egyenlő valószínűségi sűrűségének egy bizonyos integráljával A előtt b(lásd 2.2. ábra), i.e.

Rizs. 2.2

3. Egy folytonos valószínűségi változó eloszlásfüggvénye (lásd 2.3. ábra) a valószínűségi sűrűséggel fejezhető ki a következő képlet szerint:

F(x)= Jp(*)*. (2.10)

4. Egy folytonos valószínűségi változó valószínűségi sűrűségének végtelen határaiban a helytelen integrál egyenlő eggyel:

Geometriai tulajdonságok / és 4 a valószínűségi sűrűség azt jelenti, hogy a grafikonja az eloszlási görbe - nem az x tengely alatt van, és az ábra teljes területe, az eloszlási görbe és az x tengely határolja, egyenlő eggyel.

Folyamatos valószínűségi változóhoz x várható érték M(X)és variancia D(X) képletek határozzák meg:

(ha az integrál abszolút konvergens); vagy

(ha a fenti integrálok konvergálnak).

A fent említett numerikus jellemzők mellett a kvantilisek és százalékpontok fogalmát használják a valószínűségi változó leírására.

Kvantilis szint q(vagy q-kvantilis) olyan értékx qvalószínűségi változó, amelynél az eloszlásfüggvénye felveszi az értéket, egyenlő q-val, azaz

100A q%-ou pont az X~ q kvantilis.
? Példa 2.8.

A 2.6. példa adatai alapján keresse meg a kvantilist xqj és a 30%-os valószínűségi változó pontja X.

Megoldás. A (2.16) definíció szerint F(xo t3)= 0,3, azaz.

~I~ = 0.3, honnan származik a kvantilis? x 0 3 = 0,6. 30% valószínűségi változó pont x, vagy X)_o,z = kvantilis xoj" hasonlóképpen megtalálható a ^ = 0,7 egyenletből. ahol *,= 1,4. ?

A valószínűségi változó numerikus jellemzői között vannak a kezdeti v* és központi R* k-edik rend pillanatai, amelyet diszkrét és folytonos valószínűségi változókra a következő képletekkel határozunk meg:

Véletlen változó egy olyan változó, amely különböző körülményektől függően bizonyos értékeket vehet fel, és a valószínűségi változót folytonosnak nevezzük , ha bármely korlátozott vagy korlátlan intervallumból tetszőleges értéket vehet fel. Folyamatos valószínűségi változó esetén lehetetlen az összes lehetséges értéket megadni, ezért ezeknek az értékeknek olyan intervallumait jelöljük ki, amelyek bizonyos valószínűségekhez kapcsolódnak.

Példák a folytonos valószínűségi változókra: egy adott méretre csiszolt alkatrész átmérője, egy személy magassága, egy lövedék repülési hatótávja stb.

Mivel folytonos valószínűségi változók esetén a függvény F(x), Nem úgy mint diszkrét valószínűségi változók, sehol nincs ugrása, akkor a folytonos valószínűségi változó bármely egyedi értékének valószínűsége nulla.

Ez azt jelenti, hogy egy folytonos valószínűségi változó esetében nincs értelme az értékei közötti valószínűség-eloszlásról beszélni: mindegyiknek nulla a valószínűsége. Bizonyos értelemben azonban a folytonos valószínűségi változó értékei között vannak „több és kevésbé valószínű”. Például aligha bárki kételkedne abban, hogy egy valószínűségi változó értéke - egy véletlenszerűen talált személy magassága - 170 cm - valószínűbb, mint 220 cm, bár mindkét érték előfordulhat a gyakorlatban.

Folytonos valószínűségi változó eloszlásfüggvénye és a valószínűségi sűrűség

Eloszlási törvényként, amelynek csak folytonos valószínűségi változókra van értelme, bevezetik az eloszlássűrűség vagy a valószínűségi sűrűség fogalmát. Közelítsük meg úgy, hogy összehasonlítjuk az eloszlásfüggvény jelentését egy folytonos valószínűségi változóra és egy diszkrét valószínűségi változóra.

Tehát egy (diszkrét és folytonos) valószínűségi változó eloszlásfüggvénye ill integrál funkció függvénynek nevezzük, amely meghatározza annak valószínűségét, hogy egy valószínűségi változó értéke x kisebb vagy egyenlő, mint a határérték x.

Egy diszkrét valószínűségi változóhoz az értékei pontjain x1 , x 2 , ..., xén,... valószínűségek tömegei koncentrálódnak p1 , p 2 , ..., pén,..., és az összes tömeg összege egyenlő 1-gyel. Vigyük át ezt az értelmezést folytonos valószínűségi változó esetére. Képzeljük el, hogy az 1-gyel egyenlő tömeg nem koncentrálódik egyes pontokban, hanem folyamatosan „kenődik” az abszcissza tengely mentén Ó némi egyenetlen sűrűséggel. Annak a valószínűsége, hogy egy valószínűségi változó bármely Δ területre esik x a szakaszonkénti tömeg, az átlagos sűrűség pedig a tömeg és a hossz arányaként értelmezendő. Az imént bevezettünk egy fontos fogalmat a valószínűségszámításban: az eloszlássűrűséget.

Valószínűségi sűrűség f(x) egy folytonos valószínűségi változó eloszlásfüggvényének deriváltja:

A sűrűségfüggvény ismeretében meghatározható annak a valószínűsége, hogy egy folytonos valószínűségi változó értéke a zárt intervallumhoz tartozik [ a; b]:

annak a valószínűsége, hogy egy folytonos valószínűségi változó x bármely értéket felvesz a [ intervallumból a; b], egyenlő valószínűségi sűrűségének egy bizonyos integráljával, amely től kezdve a előtt b:

Ebben az esetben a függvény általános képlete F(x) egy folytonos valószínűségi változó valószínűségi eloszlása, amely a sűrűségfüggvény ismeretében használható f(x) :

Egy folytonos valószínűségi változó valószínűségi sűrűséggráfját eloszlási görbéjének nevezzük (az alábbi ábra).

Egy alakzat területe (az ábrán árnyékolva), amelyet egy görbe határol, pontokból húzott egyenesek aÉs b merőleges az x tengelyre, és a tengelyre Ó, grafikusan megjeleníti annak valószínűségét, hogy egy folytonos valószínűségi változó értéke x hatókörén belül van a előtt b.

Folytonos valószínűségi változó valószínűségi sűrűségfüggvényének tulajdonságai

1. Annak a valószínűsége, hogy egy valószínűségi változó bármilyen értéket vesz fel az intervallumból (és az ábra azon területéből, amelyet a függvény grafikonja korlátoz f(x) és a tengely Ó) egyenlő eggyel:

2. A valószínűségi sűrűségfüggvény nem vehet fel negatív értékeket:

és az eloszlás létezésén kívül értéke nulla

Eloszlási sűrűség f(x), valamint az eloszlásfüggvényt F(x), az eloszlási törvény egyik formája, de az eloszlásfüggvénnyel ellentétben nem univerzális: az eloszlássűrűség csak folytonos valószínűségi változókra létezik.

Említsük meg a folytonos valószínűségi változó gyakorlati eloszlásának két legfontosabb típusát.

Ha az eloszlási sűrűségfüggvény f(x) folytonos valószínűségi változó valamilyen véges intervallumban [ a; b] állandó értéket vesz fel C, és az intervallumon kívül nullával egyenlő értéket vesz fel, akkor ez az eloszlást egységesnek nevezzük .

Ha az eloszlási sűrűségfüggvény grafikonja a középponthoz képest szimmetrikus, akkor az átlagértékek a középpont közelében koncentrálódnak, a középponttól távolodva pedig az átlagtól jobban eltérőek kerülnek összegyűjtésre (a függvénygrafikon egy szakaszra hasonlít harang), akkor ezt eloszlást normálisnak nevezzük .

1. példa A folytonos valószínűségi változó valószínűségi eloszlásfüggvénye ismert:

Funkció keresése f(x) folytonos valószínűségi változó valószínűségi sűrűsége. Szerkessze meg mindkét függvény grafikonját. Határozza meg annak valószínűségét, hogy egy folytonos valószínűségi változó bármilyen értéket felvesz a 4 és 8 közötti intervallumban: .

Megoldás. A valószínűségi sűrűségfüggvényt úgy kapjuk meg, hogy megtaláljuk a valószínűségi eloszlásfüggvény deriváltját:

Egy függvény grafikonja F(x) - parabola:

Egy függvény grafikonja f(x) - egyenes:

Határozzuk meg annak a valószínűségét, hogy egy folytonos valószínűségi változó bármilyen értéket felvesz a 4 és 8 közötti tartományban:

2. példa Egy folytonos valószínűségi változó valószínűségi sűrűségfüggvényét a következőképpen adjuk meg:

Számítsa ki az együtthatót C. Funkció keresése F(x) egy folytonos valószínűségi változó valószínűségi eloszlása. Szerkessze meg mindkét függvény grafikonját. Határozza meg annak valószínűségét, hogy egy folytonos valószínűségi változó bármilyen értéket felvesz a 0 és 5 közötti tartományban: .

Megoldás. Együttható C a valószínűségi sűrűségfüggvény 1. tulajdonságát felhasználva megtaláljuk:

Így egy folytonos valószínűségi változó valószínűségi sűrűségfüggvénye:

Integrálással megtaláljuk a függvényt F(x) valószínűségi eloszlások. Ha x < 0 , то F(x) = 0. Ha 0< x < 10 , то

x> 10, akkor F(x) = 1 .

Így a valószínűségi eloszlási függvény teljes rekordja:

Egy függvény grafikonja f(x) :

Egy függvény grafikonja F(x) :

Határozzuk meg annak a valószínűségét, hogy egy folytonos valószínűségi változó bármilyen értéket felvesz a 0 és 5 közötti tartományban:

3. példa Egy folytonos valószínűségi változó valószínűségi sűrűsége x az egyenlőség adja meg, és . Együttható keresése A, annak a valószínűsége, hogy egy folytonos valószínűségi változó x tetszőleges értéket vesz fel a ]0, 5[ intervallumból, egy folytonos valószínűségi változó eloszlásfüggvényéből x.

Megoldás. Feltétellel jutunk el az egyenlőséghez

Ezért , honnan . Így,

Most megtaláljuk annak a valószínűségét, hogy egy folytonos valószínűségi változó x tetszőleges értéket vesz fel a ]0, 5[ intervallumból:

Most megkapjuk ennek a valószínűségi változónak az eloszlásfüggvényét:

4. példa Határozza meg egy folytonos valószínűségi változó valószínűségi sűrűségét! x, amely csak nem negatív értékeket vesz fel, és eloszlásfüggvénye .

Várható érték

Diszperzió Az X folytonos valószínűségi változót, amelynek lehetséges értékei a teljes Ox tengelyhez tartoznak, a következő egyenlőség határozza meg:

A szolgáltatás célja. Az online számológép olyan problémák megoldására készült, amelyekben akár eloszlási sűrűség f(x) vagy F(x) eloszlásfüggvény (lásd a példát). Általában az ilyen feladatokban meg kell találni matematikai elvárás, szórás, f(x) és F(x) függvények.

Utasítás. Válassza ki a forrásadat típusát: f(x) eloszlássűrűség vagy F(x) eloszlásfüggvény.

Az f(x) eloszlássűrűség adott:

Az F(x) eloszlásfüggvény adott:

A folytonos valószínűségi változót a valószínűségi sűrűség határozza meg
(Rayleigh-elosztási törvény – a rádiótechnikában használatos). Keresse meg M(x) , D(x) .

Az X valószínűségi változót nevezzük folyamatos , ha eloszlásfüggvénye F(X)=P(X< x) непрерывна и имеет производную.
A folytonos valószínűségi változó eloszlásfüggvényét arra használjuk, hogy kiszámítsuk egy valószínűségi változó adott intervallumba esésének valószínűségét:
P(α< X < β)=F(β) - F(α)
Ezenkívül egy folytonos valószínűségi változó esetén nem számít, hogy a határai benne vannak-e ebben az intervallumban vagy sem:
P(α< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
Eloszlási sűrűség a folytonos valószínűségi változót függvénynek nevezzük
f(x)=F’(x) , az eloszlásfüggvény deriváltja.

Az eloszlási sűrűség tulajdonságai

1. A valószínűségi változó eloszlássűrűsége nem negatív (f(x) ≥ 0) x minden értékére.
2. Normalizálási feltétel:

A normalizálási feltétel geometriai jelentése: az eloszlási sűrűséggörbe alatti terület egységgel egyenlő.
3. A képlet segítségével kiszámítható annak valószínűsége, hogy egy X valószínűségi változó α és β közötti intervallumba esik.

Geometriailag annak a valószínűsége, hogy egy folytonos X valószínűségi változó az (α, β) intervallumba esik, egyenlő a görbe vonalú trapéz területével az ezen intervallumon alapuló eloszlási sűrűséggörbe alatt.
4. Az eloszlásfüggvényt sűrűségben fejezzük ki a következőképpen:

Az eloszlássűrűség értéke az x pontban nem egyenlő ennek az értéknek a felvételének valószínűségével egy folytonos valószínűségi változó esetén csak egy adott intervallumba való esés valószínűségéről beszélhetünk. Hadd .

Legyen X diszkrét valószínűségi változó, amelynek eloszlási sorozata van

\begin(array)(|c|c|c|c|c|)\hline(x_i)&x_1&x_2&\cdots&x_n\\\hline(p_i)&p_1&p_2&\cdots&p_n\\\hline\end(tömb)

Készítsünk egy táblázatot az Y érték értékeiről és ezeknek az értékeknek a valószínűségeiről:

\begin(array)(|c|c|c|c|c|)\hline(y_i=\varphi(x_i))&y_1=\varphi(x_1)&y_2=\varphi(x_2)&\cdots&y_n=\varphi( x_n)\\\hline(p_i)&p_1&p_2&\cdots&p_n\\\hline\end(tömb)

Ez a táblázat nem az Y valószínűségi változó eloszlásának sorozata, mivel általános esetben egyes értékek egybeeshetnek egymással, és a felső sorban lévő értékek nem feltétlenül növekvő sorrendben vannak. Az Y valószínűségi változó matematikai elvárása azonban meghatározható a képlettel

M[\varphi(X)]=\sum\limits_(i=1)^(n)\varphi(x_i)p_i,

mivel a (6.4) képlettel meghatározott érték nem változhat, amiatt, hogy az összegjel alatt egyes tagok előzetesen összevonásra kerülnek, és a tagok sorrendje módosul.

A (6.4) képlet nem tartalmazza kifejezetten magának a \varphi(X) függvénynek az eloszlási törvényét, hanem csak az X argumentum eloszlási törvényét. Így az Y=\varphi(X) függvény matematikai elvárásának meghatározásához egyáltalán nem szükséges ismerni a \varphi(X) függvény eloszlási törvényét, hanem inkább az X argumentum eloszlási törvényét.

Folytonos valószínűségi változó esetén a matematikai elvárást a képlet segítségével számítjuk ki

M[\varphi(X)]=\int\limits_(-\infty)^(+\infty)\varphi(x)f(x)\,dx,

ahol f(x) az X valószínűségi változó valószínűségi eloszlási sűrűsége.

Tekintsünk olyan eseteket, amikor a véletlenszerű argumentumok függvényének matematikai elvárásának meghatározásához nem szükséges még az argumentumok eloszlási törvényeinek ismerete sem, hanem elég, ha csak néhány numerikus jellemzőt ismerünk. Fogalmazzuk meg ezeket az eseteket tételek formájában.

6.1. Tétel. Mind a függő, mind a független két valószínűségi változó összegének matematikai elvárása megegyezik e változók matematikai elvárásainak összegével:

M(X+Y)=M(X)+M(Y).

6.2. Tétel. Két valószínűségi változó szorzatának matematikai elvárása megegyezik a matematikai várakozásaik és a korrelációs momentum szorzatával:

M(XY)=M(X)M(Y)+\mu_(xy).

Következmény 6.1. Két nem korrelált valószínűségi változó szorzatának matematikai elvárása megegyezik a matematikai várakozásaik szorzatával.

Következmény 6.2. Két független valószínűségi változó szorzatának matematikai elvárása megegyezik a matematikai várakozásaik szorzatával.

Valószínűségi változók függvényének varianciája

A diszperzió definíciója szerint van D[Y]=M[(Y-M(Y))^2].. Ennélfogva,

D[\varphi(x)]=M[(\varphi(x)-M(\varphi(x)))^2], Ahol .

A számítási képleteket csak folytonos véletlenszerű argumentumok esetén mutatjuk be. Egy véletlenszerű Y=\varphi(X) argumentum függvényében a varianciát a képlet fejezi ki

D[\varphi(x)]=\int\limits_(-\infty)^(+\infty)(\varphi(x)-M(\varphi(x)))^2f(x)\,dx,

Ahol M(\varphi(x))=M[\varphi(X)]- a \varphi(X) függvény matematikai elvárása;

f(x) - az X érték eloszlássűrűsége.

A (6.5) képlet a következőre cserélhető:

D[\varphi(x)]=\int\limits_(-\infty)^(+\infty)\varphi^2(x)f(x)\,dx-M^2(X) Mérlegeljük diszperziós tételek

, amelyek fontos szerepet játszanak a valószínűségszámításban és alkalmazásaiban.

6.3. Tétel.

Következmény 6.3.

A nem korrelált valószínűségi változók összegének szórása egyenlő a tagok szórásának összegével: D\!\left[\sum\limits_(i=1)^(n)X_i\right]=\sum\limits_(i=1)^(n)D

\mu_(y_1y_2)= M(Y_1Y_2)-M(Y_1)M(Y_2).

\mu_(y_1y_2)=M(\varphi_1(X)\varphi_2(X))-M(\varphi_1(X))M(\varphi_2(X)).

azaz a valószínűségi változók két függvényének korrelációs momentuma egyenlő e függvények szorzatának matematikai elvárásával mínusz a matematikai elvárások szorzata. Nézzük a főt.

a korrelációs momentum és a korrelációs együttható tulajdonságai

Tulajdonság 1. A valószínűségi változókhoz konstans hozzáadása nem változtatja meg a korrelációs momentumot és a korrelációs együtthatót.

Tulajdonság 2. X és Y valószínűségi változók esetén a korrelációs momentum abszolút értéke nem haladja meg ezen értékek eltéréseinek geometriai átlagát:

|\mu_(xy)|\leqslant\sqrt(D[X]\cdot D[Y])=\sigma_x\cdot \sigma_y,

Az eloszlási törvény meghatározásának univerzális, diszkrét és folytonos valószínűségi változókra egyaránt alkalmas módja az eloszlásfüggvény. x Valószínűségi változó eloszlásfüggvénye F(x függvénynek nevezzük x), meghatározva az egyes értékekhez x annak a valószínűsége, hogy a valószínűségi változó x kisebb értéket vesz fel, mint

, vagyis(x) = F(x < x).

P F(x) :

1. Az eloszlási függvény alapvető tulajdonságai F(x Mivel definíció szerint

0 £ F(x) egyenlő az esemény valószínűségével, az eloszlásfüggvény összes lehetséges értéke a szegmenshez tartozik:

2. ) 1 GBP. F(x Ha, akkor az

3. ) az argumentumának nem csökkenő függvénye. a, b Annak a valószínűsége, hogy egy valószínűségi változó egy félintervallumhoz tartozó értéket vesz fel [

), egyenlő az eloszlásfüggvény növekményével ezen az intervallumon:(a £ x < b) = F(b) - F(a).

4. P a, b Ha egy valószínűségi változó összes lehetséges értéke a [

, vagyis(x], Az x £ a; F(x) = 0, at x > b.

) = 1, és

. (15)

A diszkrét valószínűségi változók eloszlásfüggvénye a képlettel határozható meg

Ha ismerjük egy diszkrét valószínűségi változó eloszlássorozatát, könnyen kiszámítható és megszerkeszthető az eloszlásfüggvénye. Mutassuk meg, hogyan kell ezt megtenni a 23. példa segítségével. 25. példa.

Számítsa ki és állítsa össze az eloszlásfüggvényt egy diszkrét valószínűségi változóra, amelynek eloszlási törvénye a következő:	0,1	1,2	2,3	4,5
x i	0,1	0,2	0,6	0,1

p i Megoldás F(x) = F(x < x. Határozzuk meg a függvényértékeket x:

) minden lehetséges értékre x nál nél xО (- ¥; 0,1] a valószínűségi változónak nincs egyetlen értéke x, kisebb, mint ezek az értékek

F(x) = 0;

) minden lehetséges értékre x, azaz nincs egyetlen tag sem az összegben (15): xО (0,1; 1,2] csak egy lehetséges érték ( x= 0,1) kisebb, mint a figyelembe vett értékek x. Vagyis mikor F(x) = F(x = 0,1) = 0,1;

) minden lehetséges értékre xО (0,1; 1,2] xО (1,2; 2,3] két érték ( x= 0,1 és x= 1,2) kisebb, mint ezek az értékek F(x) = F(x = 0,1) + F(x = 1,2) = 0,1 + 0,2 = 0,3;

) minden lehetséges értékre xО (2,3; 4,5] három érték ( x = 0,1, x= 1,2 és x= 2,3) kisebb, mint ezek az értékek x= 1,2) kisebb, mint ezek az értékek F(x) = F(x = 0,1) + F(x = 1,2) + F(x = 2,3) = 0,1 + 0,2 + 0,6 = 0,9 ;

) minden lehetséges értékre xО (4,5, ¥) a valószínűségi változó összes lehetséges értéke x kisebb lesz ezeknél az értékeknél x, És F(x) = F(x = 0,1) + F(x = 1,2) + F(x = 2,3) +

+ F(x = 4,5) = 0,1 + 0,2 + 0,6 + 0,1 = 1.

És így,

Egy függvény grafikonja F(x) a 8. ábrán látható.

Általában az elosztási függvény F(x) diszkrét valószínűségi változó x egy nem folytonos lépésfüggvény, a bal oldalon folytonos, melynek ugrásai a lehetséges értékeknek megfelelő pontokon történnek x 1 , x 2 , ... valószínűségi változó xés egyenlők a valószínűségekkel p 1 , p 2 , ... ezek az értékek.

Folytonos valószínűségi változók eloszlásfüggvénye. Most már pontosabb definíciót adhatunk a folytonos valószínűségi változókra: valószínűségi változó x hívott folyamatos, ha az eloszlásfüggvénye F(x) minden értéknél x folytonos, és emellett van deriváltja is mindenhol, az egyes pontok kivételével.

A funkció folytonosságától F(x) ebből következik a folytonos valószínűségi változó minden egyes értékének valószínűsége nulla.

Mivel a folytonos valószínűségi változó minden egyes egyedi értékének valószínűsége 0, a folytonos valószínűségi változó eloszlásfüggvényének 3. tulajdonsága a következő alakú lesz

), egyenlő az eloszlásfüggvény növekményével ezen az intervallumon:(a £ x < b) = F(a £ x £ b) = F(a < x £ b) = F(a < x < b) = F(b) - F(a).

26. példa. A cél eltalálásának valószínűsége mindkét lövő esetében egyenlő: 0,7; 0.6. Véletlenszerű érték x- a kihagyások száma, feltéve, hogy minden lövő adott egy lövést. Hozzon létre egy valószínűségi változó eloszlásának sorozatát x, készítsen oszlopdiagramot és eloszlási függvényt.

Megoldás. Ennek a valószínűségi változónak a lehetséges értékei x: 0, 1, 2. A probléma feltétel sorozatának tekinthető n= 2 független próba. Ebben az esetben egy valószínűségi változó lehetséges értékeinek valószínűségének kiszámításához x a tételek segítségével összeadhatja az összeférhetetlen események valószínűségét és megszorozhatja a független események valószínűségét:

Jelöljük az eseményeket:

Aén = ( én-a lövő célba talált) én = 1, 2.

A feltétel szerint egy esemény valószínűsége A 1 F(A 1) = 0,7, az esemény valószínűsége A 2 - F(A 2) = 0,6. Ekkor az ellentétes események valószínűségei: , .

Határozzuk meg egy adott véletlenszerű kísérlet összes elemi eseményét és a megfelelő valószínűségeket:

Elemi események	Események	Valószínűségek




Teljes

(Ezt ellenőrizzük ).

Adott valószínűségi változó eloszlási sorozata xúgy néz ki, mint a

Számítsa ki és állítsa össze az eloszlásfüggvényt egy diszkrét valószínűségi változóra, amelynek eloszlási törvénye a következő:				Teljes
x i	0,42	0,46	0,12

Ennek az eloszlási sorozatnak megfelelő oszlopdiagram a 9. ábrán látható.

Számítsuk ki ennek a valószínűségi változónak az eloszlásfüggvényét:

) minden lehetséges értékre x Î (- ¥, 0] ;

) minden lehetséges értékre xО (0, 1] ;

) minden lehetséges értékre xО (1, 2] ;

) minden lehetséges értékre xО (2, +¥);

Tehát a szóban forgó valószínűségi változó eloszlásfüggvénye a következő alakú:

Egy függvény grafikonja F(x) látható a 10. ábrán.

Folytonos valószínűségi változó valószínűségi sűrűségfüggvénye.

Valószínűségi eloszlás sűrűsége folytonos valószínűségi változó x azon a ponton x eloszlásfüggvényének deriváltját ezen a ponton nevezzük:

f(x) = F¢( x).

A függvényértékek jelentése szerint f(x) arányosak annak a valószínűségével, hogy a vizsgált valószínűségi változó valahol a pont közvetlen közelében vesz fel egy értéket. x.

Sűrűségeloszlási függvény f(x), valamint az eloszlásfüggvényt F(x), az eloszlási törvény megadásának egyik formája, de csak folytonos valószínűségi változókra alkalmazható. Valószínűségi sűrűségfüggvény f(x) más néven differenciális eloszlási függvény, míg az eloszlásfüggvény F(x) hívják, ill. kumulatív eloszlásfüggvény.

Sűrűségeloszlási diagram f(x) nak, nek hívják eloszlási görbe.

Tekintsük a folytonos valószínűségi változó eloszlássűrűségfüggvényének tulajdonságait.

1. tulajdonság. A valószínűségi eloszlás sűrűsége egy nem negatív függvény:

f(x) ³ 0

(mértanilag: az eloszlási görbe nem az x tengely alatt van).

2. tulajdonság. A képlet határozza meg annak valószínűségét, hogy egy valószínűségi változó az a-tól b-ig terjedő területre esik

;

(mértanilag: ez a valószínűség egyenlő a görbe vonalú trapéz területével, amelyet a görbe határol f(x), tengely Óés egyenes x= a és x= b).

3. tulajdonság.

(mértanilag: az ábra eloszlási görbe és az x tengely által határolt területe egyenlő eggyel).

Különösen, ha egy valószínűségi változó összes lehetséges értéke a [ a, b Ha egy valószínűségi változó összes lehetséges értéke a [

4. tulajdonság. Elosztási funkció F(x) az ismert eloszlási sűrűségfüggvényből a következőképpen kereshető:

27. példa. Egy folytonos valószínűségi változót egy eloszlásfüggvény ad meg

Határozza meg a differenciáleloszlási sűrűségfüggvényt!

p i. Határozzuk meg a differenciális eloszlási sűrűségfüggvényt

28. példa. Az alábbi függvények mindegyike valamilyen valószínűségi változó eloszlássűrűsége?

Kérdések az önkontrollhoz

1. Mit nevezünk valószínűségi változónak?

2. Milyen mennyiségeket nevezünk diszkrétnek? folyamatos?

3. Hogyan nevezzük egy valószínűségi változó eloszlási törvényét?

4. Milyen módokon adható meg egy diszkrét valószínűségi változó eloszlási törvénye? folyamatos?

5. Mi jellemzi az eloszlásfüggvényt F(x) véletlen változó?

6. Hogyan határozható meg az eloszlásfüggvény segítségével annak a valószínűsége, hogy egy valószínűségi változó egy adott intervallumba esik?

7. Mit jellemez egy valószínűségi változó eloszlási sűrűségfüggvénye? Adja meg valószínűségi jelentését!

8. Milyen mennyiségekre van definiálva az eloszlási sűrűségfüggvény?

9. Felvehet-e negatív értékeket az eloszlássűrűség-függvény?

10. Hogyan kapcsolódnak egymáshoz a funkciók F(x)És f(x)?

11. Milyen valószínűségi változókat nevezünk folytonosnak?

12. Mekkora az eloszlási görbe és az x tengely által határolt ábra területe?

13. Hogyan határozható meg az eloszlássűrűség függvény segítségével egy folytonos valószínűségi változó bizonyos intervallumba esésének valószínűsége?

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete