Irracionális szám példa. Az irracionális számok fogalma

Korábban megmutattuk, hogy a $1\frac25$ közel van a $\sqrt2$-hoz. Ha pontosan egyenlő lenne a $\sqrt2$ értékkel, . Ekkor az arány $\frac(1\frac25)(1)$, ami a tört felső és alsó részének 5-tel való megszorzásával $\frac75$ egész arányra alakítható, és ez lenne a kívánt érték.

De sajnos a $1\frac25$ nem a $\sqrt2$ pontos értéke. Egy pontosabb válasz, $1\frac(41)(100)$, megadja a $\frac(141)(100)$ relációt. Még nagyobb pontosságot érünk el, ha $\sqrt2$ és $1\frac(207)(500)$ egyenlőségjelet teszünk. Ebben az esetben az arány egész számokban megegyezik a $\frac(707)(500)$ értékkel. De a $1\frac(207)(500)$ nem a 2 négyzetgyökének pontos értéke. A görög matematikusok sok időt és erőfeszítést fordítottak $\sqrt2$ pontos értékének kiszámítására, de ez nem sikerült. Nem tudták a $\frac(\sqrt2)(1)$ arányt egész számok arányaként ábrázolni.

Végül a nagy görög matematikus, Eukleidész bebizonyította, hogy bármennyire is növekszik a számítások pontossága, lehetetlen meghatározni a $\sqrt2$ pontos értékét. Nincs olyan tört, amelyet négyzetre vetve 2-es eredményt kapunk. Azt mondják, Pitagorasz jutott először erre a következtetésre, de ez a megmagyarázhatatlan tény annyira lenyűgözte a tudóst, hogy megesküdött, és megesküdött tanítványaitól, hogy megtartja. ez a felfedezés titka. Ez az információ azonban nem biztos, hogy igaz.

De ha a $\frac(\sqrt2)(1)$ szám nem ábrázolható egész számok arányaként, akkor nem tartalmazhat $\sqrt2$ értéket, például $\frac(\sqrt2)(2)$ vagy $\frac A (4)(\sqrt2)$ sem ábrázolható egész számok arányaként, mivel az összes ilyen tört átváltható $\frac(\sqrt2)(1)$-ra, megszorozva valamilyen számmal. Tehát $\frac(\sqrt2)(2)=\frac(\sqrt2)(1) \times \frac12$. Vagy $\frac(\sqrt2)(1) \times 2=2\frac(\sqrt2)(1)$, amely úgy konvertálható, hogy a felső és az alsó részt $\sqrt2$-ral megszorozva megkapja a $\frac(4) (\sqrt2)$. (Ne felejtsük el, hogy függetlenül attól, hogy mi a $\sqrt2$ szám, ha megszorozzuk $\sqrt2$-tal, 2-t kapunk.)

Mivel a $\sqrt2$ szám nem ábrázolható egész számok arányaként, ezért ún irracionális szám. Másrészt minden olyan számot hívunk, amely egész számok arányaként ábrázolható racionális.

Minden egész és tört szám, pozitív és negatív is, racionális.

Mint kiderült, a legtöbb négyzetgyök irracionális szám. Csak a négyzetszámok sorozatában szereplő számoknak van racionális négyzetgyöke. Ezeket a számokat tökéletes négyzeteknek is nevezik. A racionális számok is törtek ezekből a tökéletes négyzetekből. Például a $\sqrt(1\frac79)$ egy racionális szám, mivel $\sqrt(1\frac79)=\frac(\sqrt16)(\sqrt9)=\frac43$ vagy $1\frac13$ (4 a gyökér a 16 négyzetgyöke, a 3 pedig a 9 négyzetgyöke).

Az ókori matematikusok már ismertek egy egységnyi hosszúságú szakaszt: ismerték például az átló és a négyzet oldalának összemérhetetlenségét, ami egyenértékű a szám irracionalitásával.

Irracionálisak a következők:

Példák az irracionalitás bizonyítására

2 gyöke

Tételezzük fel az ellenkezőjét: racionális, azaz irreducibilis tört alakban van ábrázolva, ahol és egész számok. Nézzük négyzetre a feltételezett egyenlőséget:

Ebből következik, hogy a páros páros és . Legyen ott, ahol az egész. Akkor

Ezért az egyenletes párost és -t jelent. Azt találtuk, hogy és párosak, ami ellentmond a tört redukálhatatlanságának. Ez azt jelenti, hogy az eredeti feltevés hibás volt, és ez egy irracionális szám.

A 3-as szám bináris logaritmusa

Tegyük fel az ellenkezőjét: racionális, azaz törtként ábrázolva, ahol és egész számok. Mivel , és pozitívnak választható. Akkor

De páros és páratlan. Ellentmondást kapunk.

e

Sztori

Az irracionális számok fogalmát az indiai matematikusok implicit módon átvették a Kr.e. 7. században, amikor Manava (i. e. 750 körül - ie 690 körül) rájött, hogy egyes természetes számok, például 2 és 61 négyzetgyöke nem fejezhető ki egyértelműen. .

Az irracionális számok létezésének első bizonyítékát általában Metapontoszi Hippasosznak (i. e. 500 körül), egy püthagoreusnak tulajdonítják, aki a pentagram oldalainak hosszának tanulmányozásával találta meg ezt a bizonyítékot. A pitagoreusok idején azt hitték, hogy létezik egyetlen hosszúságegység, amely kellően kicsi és oszthatatlan, és amely egész számú szegmensbe belép. Hippasus azonban azzal érvelt, hogy nincs egyetlen hosszúsági egység, mivel a létezésének feltételezése ellentmondáshoz vezet. Megmutatta, hogy ha egy egyenlő szárú derékszögű háromszög befogója egész számú egységnyi szakaszt tartalmaz, akkor ennek a számnak párosnak és páratlannak is kell lennie. A bizonyíték így nézett ki:

• Egy egyenlő szárú derékszögű háromszög befogó hosszának és lábának hosszának aránya a következőképpen fejezhető ki: a:b, Ahol aÉs b a lehető legkisebbnek választották.
• A Pitagorasz-tétel szerint: a² = 2 b².
• Mert a- még, a párosnak kell lennie (mivel egy páratlan szám négyzete páratlan lenne).
• Mert a a:b nem csökkenthető b furcsanak kell lennie.
• Mert a sőt, jelöljük a = 2y.
• Akkor a² = 4 y² = 2 b².
• b² = 2 y² tehát b- még akkor is b még.
• Ez azonban bebizonyosodott b páratlan. Ellentmondás.

A görög matematikusok ezt az arányt összemérhetetlen mennyiségeknek nevezték alogos(kimondhatatlan), de a legendák szerint nem rótták kellő tiszteletüket Hippasusnak. Van egy legenda, amely szerint Hippasus tengeri utazása során fedezte fel, és más pitagoreusok kidobták a vízbe, „mert létrehozta az univerzum egy elemét, amely tagadja azt a tant, hogy az univerzumban lévő összes entitás egész számokra és azok arányaira redukálható”. Hippasus felfedezése komoly problémát jelentett a pitagorasz matematika számára, megsemmisítve azt a mögöttes feltételezést, hogy a számok és a geometriai objektumok egyek és elválaszthatatlanok.

Lásd még

Megjegyzések

Egész számok

A természetes számok definíciója pozitív egész szám. A természetes számokat tárgyak számlálására és sok más célra használják. Ezek a számok:

Ez egy természetes számsor.
A nulla természetes szám? Nem, a nulla nem természetes szám.
Hány természetes szám van? Végtelen sok természetes szám létezik.
Mi a legkisebb természetes szám? Az egyik a legkisebb természetes szám.
Mi a legnagyobb természetes szám? Lehetetlen megadni, mert végtelen sok természetes szám létezik.

A természetes számok összege természetes szám. Tehát az a és b természetes számok összeadásával:

A természetes számok szorzata természetes szám. Tehát az a és b természetes számok szorzata:

c mindig természetes szám.

A természetes számok különbsége Nem mindig létezik természetes szám. Ha a minuend nagyobb, mint a részrész, akkor a természetes számok különbsége természetes szám, egyébként nem.

A természetes számok hányadosa nem mindig természetes szám. Ha a és b természetes számokra

ahol c természetes szám, ez azt jelenti, hogy a osztható b-vel. Ebben a példában a az osztó, b az osztó, c a hányados.

A természetes szám osztója olyan természetes szám, amellyel az első szám osztható egésszel.

Minden természetes szám osztható eggyel és önmagával.

A természetes prímszámok csak eggyel és önmagukkal oszthatók. Itt teljesen megosztottra gondolunk. Példa, számok 2; 3; 5; A 7 csak eggyel és önmagával osztható. Ezek egyszerű természetes számok.

Az egyet nem tekintjük prímszámnak.

Azokat a számokat, amelyek nagyobbak egynél, és amelyek nem prímszámok, összetett számoknak nevezzük. Példák összetett számokra:

Az egyet nem tekintjük összetett számnak.

A természetes számok halmaza egyesből, prímszámokból és összetett számokból áll.

A természetes számok halmazát a latin N betű jelöli.

A természetes számok összeadásának és szorzásának tulajdonságai:

összeadás kommutatív tulajdonsága

összeadás asszociatív tulajdonsága

(a + b) + c = a + (b + c);

a szorzás kommutatív tulajdonsága

szorzás asszociatív tulajdonsága

(ab)c = a(bc);

szorzás elosztó tulajdonsága

A (b + c) = ab + ac;

Egész számok

Az egész számok a természetes számok, a nulla és a természetes számok ellentétei.

A természetes számok ellentéte a negatív egész számok, például:

1; -2; -3; -4;...

Az egész számok halmazát a latin Z betű jelöli.

Racionális számok

A racionális számok egész számok és törtek.

Bármely racionális szám ábrázolható periodikus törtként. Példák:

1,(0); 3,(6); 0,(0);...

A példákból világosan látszik, hogy bármely egész szám egy periodikus tört nulla periódusú.

Bármely racionális szám ábrázolható m/n törtként, ahol m egy egész szám, n pedig természetes szám. Képzeljük el az előző példában szereplő 3,(6) számot ilyen törtként.

A természetes számok halmazát az N betű jelöli. A természetes számok azok a számok, amelyeket az objektumok számlálására használunk: 1,2,3,4, ... Egyes forrásokban a 0-t is természetes számnak tekintik.

Az összes egész szám halmazát a Z betű jelöli. Az egész szám természetes szám, nulla és negatív szám:

1,-2,-3, -4, …

Most adjuk hozzá az összes egész szám halmazához az összes közönséges tört halmazát: 2/3, 18/17, -4/5 és így tovább. Ekkor megkapjuk az összes racionális szám halmazát.

Racionális számok halmaza

Az összes racionális szám halmazát Q betű jelöli. Az összes racionális szám halmaza (Q) egy olyan halmaz, amely m/n, -m/n alakú számokból és 0 számokból áll. Bármely természetes szám működhet n,m. Meg kell jegyezni, hogy minden racionális szám ábrázolható véges vagy végtelen PERIODIKUS tizedes törtként. Ennek fordítva is igaz, hogy bármely véges vagy végtelen periodikus tizedes tört felírható racionális számként.

De mi van például a 2.0100100010... számmal? Ez egy végtelenül NEM PERIODIKUS tizedes tört. És ez nem vonatkozik a racionális számokra.

Az iskolai algebra tanfolyamon csak a valós (vagy valós) számokat tanulmányozzák. Az összes valós szám halmazát R betű jelöli. Az R halmaz minden racionális és minden irracionális számból áll.

Az irracionális számok fogalma

Az irracionális számok mind végtelen tizedes, nem periodikus törtek. Az irracionális számoknak nincs külön jelölése.

Például minden olyan szám, amelyet a természetes számok négyzetgyökének kivonásával kapunk, és amely nem természetes számok négyzete, irracionális lesz. (√2, √3, √5, √6 stb.).

De ne gondolja, hogy irracionális számokat csak négyzetgyökök kinyerésével kapunk. Például a „pi” szám is irracionális, és osztással kapjuk. És bármennyire is próbálkozol, nem tudod megszerezni bármely természetes szám négyzetgyökének felvételével.

Az ókori matematikusok már ismertek egy egységnyi hosszúságú szakaszt: ismerték például az átló és a négyzet oldalának összemérhetetlenségét, ami egyenértékű a szám irracionalitásával.

Irracionálisak a következők:

Példák az irracionalitás bizonyítására

2 gyöke

Tételezzük fel az ellenkezőjét: racionális, azaz irreducibilis tört alakban van ábrázolva, ahol és egész számok. Nézzük négyzetre a feltételezett egyenlőséget:

Ebből következik, hogy a páros páros és . Legyen ott, ahol az egész. Akkor

Ezért az egyenletes párost és -t jelent. Azt találtuk, hogy és párosak, ami ellentmond a tört redukálhatatlanságának. Ez azt jelenti, hogy az eredeti feltevés hibás volt, és ez egy irracionális szám.

A 3-as szám bináris logaritmusa

Tegyük fel az ellenkezőjét: racionális, azaz törtként ábrázolva, ahol és egész számok. Mivel , és pozitívnak választható. Akkor

De páros és páratlan. Ellentmondást kapunk.

e

Sztori

Az irracionális számok fogalmát az indiai matematikusok implicit módon átvették a Kr.e. 7. században, amikor Manava (i. e. 750 körül - ie 690 körül) rájött, hogy egyes természetes számok, például 2 és 61 négyzetgyöke nem fejezhető ki egyértelműen. .

Az irracionális számok létezésének első bizonyítékát általában Metapontoszi Hippasosznak (i. e. 500 körül), egy püthagoreusnak tulajdonítják, aki a pentagram oldalainak hosszának tanulmányozásával találta meg ezt a bizonyítékot. A pitagoreusok idején azt hitték, hogy létezik egyetlen hosszúságegység, amely kellően kicsi és oszthatatlan, és amely egész számú szegmensbe belép. Hippasus azonban azzal érvelt, hogy nincs egyetlen hosszúsági egység, mivel a létezésének feltételezése ellentmondáshoz vezet. Megmutatta, hogy ha egy egyenlő szárú derékszögű háromszög befogója egész számú egységnyi szakaszt tartalmaz, akkor ennek a számnak párosnak és páratlannak is kell lennie. A bizonyíték így nézett ki:

• Egy egyenlő szárú derékszögű háromszög befogó hosszának és lábának hosszának aránya a következőképpen fejezhető ki: a:b, Ahol aÉs b a lehető legkisebbnek választották.
• A Pitagorasz-tétel szerint: a² = 2 b².
• Mert a- még, a párosnak kell lennie (mivel egy páratlan szám négyzete páratlan lenne).
• Mert a a:b nem csökkenthető b furcsanak kell lennie.
• Mert a sőt, jelöljük a = 2y.
• Akkor a² = 4 y² = 2 b².
• b² = 2 y² tehát b- még akkor is b még.
• Ez azonban bebizonyosodott b páratlan. Ellentmondás.

A görög matematikusok ezt az arányt összemérhetetlen mennyiségeknek nevezték alogos(kimondhatatlan), de a legendák szerint nem rótták kellő tiszteletüket Hippasusnak. Van egy legenda, amely szerint Hippasus tengeri utazása során fedezte fel, és más pitagoreusok kidobták a vízbe, „mert létrehozta az univerzum egy elemét, amely tagadja azt a tant, hogy az univerzumban lévő összes entitás egész számokra és azok arányaira redukálható”. Hippasus felfedezése komoly problémát jelentett a pitagorasz matematika számára, megsemmisítve azt a mögöttes feltételezést, hogy a számok és a geometriai objektumok egyek és elválaszthatatlanok.

Lásd még

Megjegyzések