Mik az okai a rugóinga lengéseinek? Szabad rezgések

A rugós inga egy rezgőrendszer, amely egy m tömegű anyagpontból és egy rugóból áll. Tekintsünk egy vízszintes rugós ingát (1. ábra, a). Középen fúrt masszív testből áll, amely egy vízszintes rúdra van elhelyezve, amely mentén súrlódás nélkül tud csúszni (ideális oszcillációs rendszer). A rúd két függőleges támasz között van rögzítve.

Az egyik végén súlytalan rugó van a testhez rögzítve. A másik vége egy támasztékhoz van rögzítve, amely a legegyszerűbb esetben nyugalomban van ahhoz a tehetetlenségi referenciakerethez képest, amelyben az inga oszcillál. Kezdetben a rugó nem deformálódik, és a test C egyensúlyi helyzetben van. Ha a rugó nyújtásával vagy összenyomásával a testet kiemeljük az egyensúlyi helyzetből, akkor rugalmas erő kezd hatni rá. a deformált rugó oldala, mindig az egyensúlyi helyzet felé irányítva.

Szorítsuk össze a rugót, mozgassuk a testet A helyzetbe, majd engedjük el. A rugalmas erő hatására gyorsabban fog mozogni. Ebben az esetben az A helyzetben a legnagyobb rugalmas erő hat a testre, mivel itt a legnagyobb a rugó abszolút nyúlása x m. Ezért ebben a helyzetben a gyorsulás maximális. Ahogy a test az egyensúlyi helyzet felé halad, a rugó abszolút nyúlása csökken, és ennek következtében csökken a rugalmas erő által kiváltott gyorsulás. De mivel egy adott mozgás során a gyorsulás a sebességgel együtt irányul, az inga sebessége nő, és egyensúlyi helyzetben maximális lesz.

A C egyensúlyi helyzetet elérve a test nem áll meg (bár ebben a helyzetben a rugó nem deformálódik, és a rugalmas erő nulla), de sebességgel, tehetetlenséggel tovább mozog, megfeszítve a rugót. A fellépő rugalmas erő most a test mozgása ellen irányul, és lelassítja azt. A D pontban a test sebessége nulla lesz, a gyorsulás pedig maximális, a test egy pillanatra megáll, majd a rugalmas erő hatására az ellenkező irányba kezd el mozogni. , egyensúlyi helyzetbe. A tehetetlenségi erővel ismét áthaladva a test a rugót összenyomva és a mozgást lelassítva eléri az A pontot (mivel nincs súrlódás), azaz. teljes lendületet fog befejezni. Ezt követően a testmozgás a leírt sorrendben megismétlődik. Tehát a rugóinga szabad rezgésének oka a rugó deformálásakor fellépő rugalmas erő és a test tehetetlensége.

Hooke törvénye szerint F x = -kx. Newton második törvénye szerint F x = ma x. Ezért ma x = -kx. Innen

Rugóinga dinamikus mozgásegyenlete.

Látjuk, hogy a gyorsulás egyenesen arányos a keveréssel, és azzal ellentétes irányban irányul. A kapott egyenlet összehasonlítása a harmonikus rezgések egyenletével , azt látjuk, hogy a rugóinga ciklikus frekvenciájú harmonikus rezgéseket hajt végre

(1.7.1)

Ha a golyót x távolsággal elmozdítjuk az egyensúlyi helyzetből, akkor a rugó nyúlása Δl 0 + x lesz. Ekkor a kapott erő a következő értéket veszi fel:

Az egyensúlyi feltételt (1.7.1) figyelembe véve a következőket kapjuk:

A mínusz jel azt jelzi, hogy az elmozdulás és az erő ellentétes irányú.

Az f rugalmas erő a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

Arányos a labda egyensúlyi helyzetéből való elmozdulásával;
Mindig az egyensúlyi helyzet felé irányul.

Ahhoz, hogy x elmozdulást adjunk a rendszernek, a rugalmas erővel szemben kell dolgozni:

Ez a munka a rendszer potenciális energia tartalékának létrehozására irányul:

Rugalmas erő hatására a labda egyre nagyobb sebességgel mozog az egyensúlyi helyzet felé. Ezért a rendszer potenciális energiája csökken, de a mozgási energia nő (a rugó tömegét figyelmen kívül hagyjuk). Az egyensúlyi helyzet elérése után a labda tehetetlenségből tovább mozog. Ez lassú mozgás, és akkor áll le, amikor a mozgási energia teljesen átalakul potenciális energiává. Ezután ugyanez a folyamat megy végbe, amikor a labda az ellenkező irányba mozog. Ha nincs súrlódás a rendszerben, a labda korlátlanul oszcillál.

Newton második törvényének egyenlete ebben az esetben:

Alakítsuk át az egyenletet a következőképpen:

A jelölés bevezetésével egy másodrendű lineáris homogén differenciálegyenletet kapunk:

Közvetlen helyettesítéssel könnyen ellenőrizhető, hogy az (1.7.8) egyenlet általános megoldásának alakja:

ahol a - amplitúdó és φ - az oszcilláció kezdeti fázisa - állandó értékek. Ebből következően a rugóinga lengése harmonikus (1.7.2. ábra).

Rizs. 1.7.2. Harmonikus rezgés

A koszinusz periodicitása miatt az oszcillációs rendszer különböző állapotai megismétlődnek egy bizonyos T idő (oszcillációs periódus) után, amely alatt a rezgési fázis 2π növekményt kap. Az időszakot az egyenlőség segítségével számíthatja ki:

amiből a következő:

Az egységnyi idő alatti rezgések számát frekvenciának nevezzük:

A frekvencia egysége egy ilyen rezgés frekvenciája, amelynek periódusa 1 s. Ezt az egységet 1 Hz-nek hívják.

Az (1.7.11)-ből az következik, hogy:

Ezért ω 0 a 2π másodperc alatt végrehajtott oszcillációk száma. Az ω 0 mennyiséget kör- vagy ciklikus frekvenciának nevezzük. Az (1.7.12) és (1.7.13) használatával ezt írjuk:

Differenciálva () az idő függvényében, megkapjuk a labda sebességének kifejezését:

Az (1.7.15)-ből az következik, hogy a sebesség is egy harmonikus törvény szerint változik, és ½π-vel megnöveli a fáziseltolódást. Differenciálva (1.7.15) gyorsulást kapunk:

1.7.2. Matek inga

Matematikai inga hívjunk idealizált rendszert, amely egy nyújthatatlan, súlytalan fonalból áll, amelyen egy test függ, amelynek teljes tömege egy ponton összpontosul.

Az inga egyensúlyi helyzetétől való eltérését a menet által a függőlegessel bezárt φ szög jellemzi (1.7.3. ábra).

Rizs. 1.7.3. Matek inga

Amikor az inga eltér az egyensúlyi helyzettől, forgási nyomaték keletkezik, amely hajlamos az ingát az egyensúlyi helyzetbe visszahozni:

Írjuk fel az inga forgási dinamikájának egyenletét, figyelembe véve, hogy tehetetlenségi nyomatéka ml 2:

Ez az egyenlet a következő alakra redukálható:

Szűkítve magunkat a sinφ ≈ φ kis rezgések esetére, és bevezetjük a jelölést:

az (1.7.19) egyenlet a következőképpen ábrázolható:

amely formailag egybeesik egy rugóinga lengési egyenletével. Ezért a megoldása harmonikus rezgés lesz:

Az (1.7.20)-ból az következik, hogy a matematikai inga rezgésének ciklikus frekvenciája függ a hosszától és a gravitációs gyorsulástól. Az () és (1.7.20) rezgési periódus képletével a jól ismert összefüggést kapjuk:

1.7.3. Fizikai inga

A fizikai inga olyan merev test, amely képes egy olyan rögzített pont körül oszcillálni, amely nem esik egybe a tehetetlenségi középponttal. Egyensúlyi helyzetben a C inga tehetetlenségi középpontja az O felfüggesztési pont alatt, ugyanazon a függőlegesen található (1.7.4. ábra).

Rizs. 1.7.4. Fizikai inga

Amikor az inga egy φ szöggel eltér az egyensúlyi helyzettől, akkor forgási nyomaték keletkezik, amely az ingát az egyensúlyi helyzetbe igyekszik visszavinni:

ahol m az inga tömege, l a felfüggesztési pont és az inga tehetetlenségi középpontja közötti távolság.

Írjuk fel az inga forgási dinamikájának egyenletét, figyelembe véve, hogy tehetetlenségi nyomatéka egyenlő I-vel:

Kis rezgések esetén sinφ ≈ φ. Ezután bemutatjuk a jelölést:

amely formailag is egybeesik egy rugóinga lengési egyenletével. Az (1.7.27) és (1.7.26) egyenletekből az következik, hogy a fizikai inga az egyensúlyi helyzettől való kis eltérései esetén harmonikus rezgést hajt végre, melynek frekvenciája az inga tömegétől, a tehetetlenségi nyomatéktól függ. valamint a forgástengely és a tehetetlenségi középpont távolsága. Az (1.7.26) segítségével kiszámíthatja az oszcillációs periódust:

Az (1.7.28) és () képleteket összehasonlítva azt kapjuk, hogy egy hosszúságú matematikai inga:

ugyanolyan rezgésperiódusú lesz, mint a figyelembe vett fizikai ingának. A mennyiséget (1.7.29) hívjuk adott hossza fizikai inga. Következésképpen a fizikai inga csökkentett hossza egy olyan matematikai inga hossza, amelynek rezgési periódusa megegyezik egy adott fizikai inga rezgési periódusával.

A felfüggesztési pontot a tehetetlenségi középponttal összekötő egyenesnek a forgástengelytől adott hosszúságú távolságra fekvő pontját ún. lengőközpont fizikai inga. Steiner tétele szerint a fizikai inga tehetetlenségi nyomatéka egyenlő:

ahol I 0 a tehetetlenségi nyomaték a tehetetlenségi középponthoz viszonyítva. Az (1.7.30)-ot (1.7.29) behelyettesítve a következőket kapjuk:

Következésképpen a csökkentett hossz mindig nagyobb, mint a felfüggesztési pont és az inga tehetetlenségi középpontja közötti távolság, így a felfüggesztési pont és a lengés középpontja a tehetetlenségi középpont ellentétes oldalán helyezkedik el.

1.7.4. Harmonikus rezgések energiája

Harmonikus rezgéssel az oszcilláló test kinetikus energiájának E k és az E p potenciális energiájának periodikus kölcsönös átalakulása megy végbe, amelyet egy kvázi-rugalmas erő okoz. Ezek az energiák alkotják az oszcillációs rendszer teljes E energiáját:

Írjuk ki az utolsó kifejezést

De k = mω 2, így a rezgő test összenergiájára kapunk egy kifejezést

Így egy harmonikus rezgés összenergiája állandó és arányos a rezgés amplitúdójának és körfrekvenciájának négyzetével.

1.7.5. Csillapított oszcillációk .

A harmonikus rezgések vizsgálatakor a valós rendszerekben fennálló súrlódási és ellenállási erőket nem vettük figyelembe. Ezen erők hatása jelentősen megváltoztatja a mozgás jellegét, az oszcilláció válik elhalványul.

Ha a rendszerben a kvázi-rugalmas erőn kívül vannak a közeg ellenállási erői (súrlódási erők), akkor Newton második törvénye a következőképpen írható fel:

ahol r a súrlódási együttható, amely a közeg mozgásállósági tulajdonságait jellemzi. Helyettesítsük (1.7.34b)-t (1.7.34a):

Ennek a függvénynek a grafikonja az 1.7.5. ábrán látható 1. folytonos görbével, a 2. szaggatott vonal pedig az amplitúdó változását mutatja:

Nagyon kis súrlódás esetén a csillapított rezgés periódusa közel áll a csillapítatlan szabad rezgés periódusához (1.7.35.b).

Meghatározzuk az oszcillációk amplitúdójának csökkenésének sebességét csillapítási együttható: minél nagyobb a β, annál erősebb a közeg gátló hatása és annál gyorsabban csökken az amplitúdója. A gyakorlatban gyakran jellemzik a csillapítás mértékét logaritmikus csillapítás csökkenése, ez alatt azt az értéket értjük, amely megegyezik a két egymást követő rezgésamplitúdó arányának természetes logaritmusával, amelyeket az oszcillációs periódussal egyenlő időintervallum választ el egymástól:

;

Következésképpen a csillapítási együttható és a logaritmikus csillapítási csökkenés meglehetősen egyszerű összefüggésben áll egymással:

Erős csillapítás esetén az (1.7.37) képlet azt mutatja, hogy a lengés periódusa egy képzeletbeli mennyiség. A mozgást ebben az esetben már ún időszakos. Az aperiodikus mozgás grafikonja az ábrán látható. 1.7.6. A csillapítatlan és csillapított rezgéseket ún saját vagy ingyenes. A kezdeti elmozdulás vagy kezdeti sebesség következtében keletkeznek, és a kezdetben felhalmozott energia miatt külső hatás hiányában jelentkeznek.

1.7.6. Kényszer rezgések. Rezonancia .

Kényszerű az oszcillációk azok, amelyek egy rendszerben egy periódusos törvény szerint változó külső erő közreműködésével jönnek létre.

Tegyük fel, hogy az anyagi pontra a kvázi-rugalmas erőn és a súrlódási erőn kívül külső hajtóerő is hat

ahol F 0 - amplitúdó; ω - a hajtóerő oszcillációinak körfrekvenciája. Hozzunk létre egy differenciálegyenletet (Newton második törvénye):

A kényszerrezgés amplitúdója (1.7.39) egyenesen arányos a hajtóerő amplitúdójával, és komplexen függ a közeg csillapítási együtthatójától, valamint a természetes és kényszerrezgés körfrekvenciáitól. Ha a rendszerre ω 0 és β adott, akkor a kényszerrezgések amplitúdója a hajtóerő valamilyen meghatározott frekvenciáján, ún. rezonáns.

Magát a jelenséget - adott ω 0 és β esetén maximális amplitúdó elérését - nevezzük rezonancia.

Rizs. 1.7.7. Rezonancia

Ellenállás hiányában a rezonancia kényszerrezgésének amplitúdója végtelenül nagy. Ebben az esetben ω res =ω 0-ból, azaz. rezonancia egy csillapítás nélküli rendszerben akkor következik be, ha a hajtóerő frekvenciája egybeesik a természetes rezgések frekvenciájával. Az erőltetett rezgések amplitúdójának grafikus függése a hajtóerő körfrekvenciájától a csillapítási együttható különböző értékei esetén az ábrán látható. 5.

A mechanikai rezonancia előnyös és káros is lehet. A rezonancia káros hatásai elsősorban az általa okozott pusztulásnak köszönhetőek. Tehát a technológiában, figyelembe véve a különféle rezgéseket, gondoskodni kell a rezonanciaviszonyok lehetséges előfordulásáról, különben pusztulás és katasztrófa következhet be. A testek általában több természetes rezgésfrekvenciával és ennek megfelelően több rezonanciafrekvenciával rendelkeznek.

Ha egy személy belső szerveinek csillapítási együtthatója nem volt nagy, akkor az ezekben a szervekben külső rezgések vagy hanghullámok hatására fellépő rezonanciajelenségek tragikus következményekhez vezethetnek: szervek szakadása, szalagok károsodása stb. Az ilyen jelenségek azonban gyakorlatilag nem figyelhetők meg mérsékelt külső hatások alatt, mivel a biológiai rendszerek csillapítási együtthatója meglehetősen nagy. Ennek ellenére a belső szervekben külső mechanikai rezgések hatására rezonanciajelenségek fordulnak elő. Nyilvánvalóan ez az egyik oka az infrahangos rezgések és rezgések emberi testre gyakorolt negatív hatásának.

1.7.7. Önrezgések

Vannak olyan oszcillációs rendszerek is, amelyek maguk szabályozzák az elpazarolt energia időszakos pótlását, és ezért hosszú ideig képesek oszcillálni.

Azokat a csillapítatlan rezgéseket, amelyek bármely rendszerben léteznek változó külső hatás hiányában, nevezzük önrezgésekés maguk a rendszerek - önoszcilláló.

Az önrezgések amplitúdója és frekvenciája magában az önoszcilláló rendszerben lévő tulajdonságoktól függ, a kényszerrezgésektől eltérően nem külső hatások határozzák meg.

Az önoszcilláló rendszerek sok esetben három fő elemmel ábrázolhatók (1.7.8. ábra): 1) maga az oszcillációs rendszer; 2) energiaforrás; 3) magának az oszcillációs rendszernek az energiaellátásának szabályozója. Az oszcillációs rendszer egy visszacsatoló csatornát (6. ábra) használ a szabályozó befolyásolására, tájékoztatva a szabályozót a rendszer állapotáról.

A mechanikus önoszcilláló rendszer klasszikus példája az óra, amelyben az inga vagy a mérleg egy oszcillációs rendszer, egy rugó vagy egy emelt súly energiaforrás, a horgony pedig a forrásból származó energia áramlásának szabályozója. az oszcillációs rendszerbe.

Számos biológiai rendszer (szív, tüdő stb.) önoszcilláló. Az elektromágneses önoszcilláló rendszer tipikus példája az önoszcilláló rezgések generátorai.

1.7.8. Egyirányú rezgések összeadása

Tekintsük két azonos irányú és frekvenciájú harmonikus rezgés összeadását:

x 1 =a 1 cos(ω 0 t + α 1), x 2 =a 2 cos(ω 0 t + α 2).

A harmonikus rezgés vektor segítségével adható meg, amelynek hossza megegyezik a rezgések amplitúdójával, és az irány egy bizonyos tengellyel szöget zár be, amely megegyezik a rezgések kezdeti fázisával. Ha ez a vektor ω 0 szögsebességgel forog, akkor a kiválasztott tengelyre való vetülete egy harmonikus törvény szerint megváltozik. Ez alapján kiválasztunk egy bizonyos X tengelyt, és az a 1 és a 2 vektorok segítségével ábrázoljuk az oszcillációkat (1.7.9. ábra).

Az 1.7.6. ábrából az következik, hogy

Azokat a sémákat, amelyekben az oszcillációkat grafikusan vektorokként ábrázolják egy síkon, vektordiagramoknak nevezzük.

Az 1.7.40 képletből következik. Mi van akkor, ha mindkét rezgés fáziskülönbsége nulla, a keletkező rezgés amplitúdója megegyezik a hozzáadott rezgések amplitúdóinak összegével. Ha a hozzáadott rezgések fáziskülönbsége egyenlő, akkor a keletkező rezgés amplitúdója egyenlő. Ha a hozzáadott rezgések frekvenciája nem azonos, akkor ezeknek a rezgéseknek megfelelő vektorok különböző sebességgel forognak. Ebben az esetben a kapott vektor nagyságrendileg pulzál és változó sebességgel forog. Következésképpen az összeadás eredménye nem harmonikus rezgés, hanem összetett oszcillációs folyamat.

1.7.9. Beats

Tekintsük két azonos irányú, kissé eltérő frekvenciájú harmonikus rezgés összeadását. Legyen az egyik frekvenciája ω, a másodiké ω+∆ω és ∆ω<<ω. Положим, что амплитуды складываемых колебаний одинаковы и начальные фазы обоих колебаний равны нулю. Тогда уравнения колебаний запишутся следующим образом:

x 1 =a cos ωt, x 2 =a cos(ω+∆ω)t.

Ezeket a kifejezéseket összeadva és a koszinuszösszeg képletével a következőt kapjuk:

Az oszcilláció (1.7.41) ω frekvenciájú harmonikus rezgésnek tekinthető, amelynek amplitúdója a törvény szerint változik. Ez a függvény periodikus a modulusjel alatti kifejezés gyakoriságának kétszeresével, azaz. ∆ω frekvenciával. Így az amplitúdó pulzációs frekvenciája, amelyet ütemfrekvenciának nevezünk, egyenlő a hozzáadott rezgések frekvenciáinak különbségével.

1.7.10. Kölcsönösen merőleges oszcillációk összeadása (Lissajous-ábrák)

Ha egy anyagpont az x tengely és az y tengely mentén is oszcillál, akkor egy bizonyos görbe pályán fog mozogni. Legyen az oszcillációs frekvencia azonos és az első rezgés kezdeti fázisa nulla, majd a lengési egyenleteket a következő alakban írjuk fel:

Az (1.7.43) egyenlet egy ellipszis egyenlete, amelynek tengelyei tetszőlegesen vannak orientálva az x és y koordinátatengelyekhez képest. Az ellipszis tájolása és féltengelyeinek nagysága az a és b amplitúdóktól, valamint az α fáziskülönbségtől függ. Nézzünk néhány speciális esetet:

(m=0, ±1, ±2, …). Ebben az esetben az egyenletnek megvan a formája

Ez egy ellipszis egyenlete, amelynek tengelyei egybeesnek a koordinátatengelyekkel, féltengelyei pedig megegyeznek az amplitúdókkal (1.7.12. ábra). Ha az amplitúdók egyenlőek, akkor az ellipszisből kör lesz.

1.7.12. ábra

Ha az egymásra merőleges rezgések frekvenciái kismértékben ∆ω eltérnek, akkor azonos frekvenciájú, de lassan változó fáziskülönbséggel rendelkező rezgéseknek tekinthetők. Ebben az esetben a rezgésegyenletek felírhatók

x=a cos ωt, y=b cos[ωt+(∆ωt+α)]

a ∆ωt+α kifejezést pedig egy lineáris törvény szerint idővel lassan változó fáziskülönbségnek kell tekinteni. Az így létrejövő mozgás ebben az esetben egy lassan változó görbe mentén történik, amely egymás után olyan formát ölt, amely megfelel a -π és +π közötti fáziskülönbség összes értékének.

Ha az egymásra merőleges oszcillációk frekvenciája nem azonos, akkor a létrejövő mozgás pályája meglehetősen összetett görbék, ún. Lissajous figurák. Legyen például a hozzáadott rezgések frekvenciái 1-ként viszonyítva : 2 és fáziskülönbség π/2. Ekkor a rezgésegyenletek alakja

x=a cos ωt, y=b cos.

Azalatt az idő alatt, amíg egy pontnak sikerül az x tengely mentén az egyik szélső pozícióból a másikba mozognia, az y tengely mentén, miután elhagyta a nulla pozíciót, elér egy szélső pozíciót, majd egy másikat, és visszatér. A görbe alakja az ábrán látható. 1.7.13. Az azonos frekvenciaarányú, de nullával egyenlő fáziskülönbségű görbét az 1.7.14. ábra mutatja. A hozzáadott rezgések frekvenciáinak aránya fordított a Lissajous-alakzatok koordinátatengelyekkel párhuzamos egyenesekkel való metszéspontjainak számával. Következésképpen a Lissajous-figurák megjelenésével meg lehet határozni a hozzáadott oszcillációk vagy az ismeretlen frekvencia frekvenciáinak arányát. Ha valamelyik frekvencia ismert.

1.7.13. ábra

1.7.14. ábra

Minél közelebb áll az egységhez a rezgési frekvenciák arányát kifejező racionális tört, annál összetettebbek a kapott Lissajous-figurák.

1.7.11. Hullámterjedés rugalmas közegben

Ha egy rugalmas (szilárd folyékony vagy gáznemű) közegben bárhol gerjesztjük a részecskéinek rezgéseit, akkor a részecskék közötti kölcsönhatás miatt ez a rezgés a közegben meghatározott v sebességgel részecskéről részecskére terjed. a rezgések térbeli terjedésének folyamatát ún hullám.

A közeg részecskéit, amelyben a hullám terjed, a hullám nem vonja transzlációs mozgásba, csak egyensúlyi helyzetük körül oszcillálnak.

A részecskék rezgésének a hullám terjedési irányához viszonyított irányaitól függően vannak hosszanti és átlós hullámok. A hosszanti hullámban a közeg részecskéi a hullám terjedése mentén oszcillálnak. A keresztirányú hullámban a közeg részecskéi a hullámok terjedési irányára merőleges irányban oszcillálnak. Rugalmas keresztirányú hullámok csak nyírási ellenállással rendelkező közegben keletkezhetnek. Ezért folyékony és gáznemű közegben csak longitudinális hullámok léphetnek fel. Szilárd közegben longitudinális és keresztirányú hullámok is előfordulhatnak.

ábrán. Az 1.7.12. ábra a részecskék mozgását mutatja, amikor egy közegben keresztirányú hullám terjed. Az 1, 2 stb. számok a (¼ υT) távolsággal egymás mögött lemaradó részecskéket jelölik, pl. a hullám által a részecskék által végrehajtott rezgési periódus negyede alatt megtett távolság. A nullának vett pillanatban a tengely mentén balról jobbra terjedő hullám elérte az 1-es részecskét, aminek következtében a részecske elkezdett felfelé tolni az egyensúlyi helyzetből, magával rántva a következő részecskéket. A periódus negyede után az 1. részecske eléri a legfelső egyensúlyi helyzetet, a 2. részecske. A periódus további negyede után az első rész átmegy az egyensúlyi helyzeten, fentről lefelé haladva, a második részecske eléri a legfelsőt. helyzetbe, és a harmadik részecske elkezd felfelé mozogni az egyensúlyi helyzetből. A T-vel egyenlő időpontban az első részecske befejezi a teljes rezgési ciklust, és ugyanabban a mozgásállapotban lesz, mint a kezdeti pillanat. A hullám a T időpontban, miután áthaladt a (υT) úton, eléri az 5-ös részecskét.

ábrán. Az 1.7.13. ábra a részecskék mozgását mutatja, amikor egy közegben hosszanti hullám terjed. A részecskék keresztirányú hullámban való viselkedésére vonatkozó összes érv alkalmazható erre az esetre a felfelé és lefelé történő elmozdulások jobbra és balra történő elmozdulásokkal való helyettesítésével.

Az ábrán látható, hogy a hosszanti hullám közegben terjedésekor váltakozó kondenzáció, részecskeritkulások jönnek létre (a kondenzációs helyeket az ábrán szaggatott vonalak jelölik), a hullám terjedési irányába haladva. egy sebesség v.

Rizs. 1.7.15

Rizs. 1.7.16

ábrán. Az 1.7.15 és 1.7.16 olyan részecskék rezgéseit mutatják, amelyek helyzete és egyensúlya a tengelyen van x. A valóságban nem csak a tengely mentén elhelyezkedő részecskék rezegnek x, hanem egy bizonyos térfogatban foglalt részecskék gyűjteménye. A hullámfolyamat a rezgések forrásaiból továbbterjedve egyre több térrészre terjed ki, azoknak a pontoknak a geometriai elhelyezkedését, ahová a rezgések t időpontban érnek, ún. hullámfront(vagy hullámfront). A hullámfront az a felület, amely a térnek a hullámfolyamatban már részt vett részét elválasztja attól a tartománytól, amelyben még nem keletkeztek rezgések.

Az azonos fázisban oszcilláló pontok geometriai elhelyezkedését ún hullámfelület . A hullámfelület a tér bármely, a hullámfolyamat által lefedett pontján keresztül húzható. Következésképpen végtelen számú hullámfelület létezik, miközben minden időpillanatban csak egy hullámfront van. A hullámfelületek mozdulatlanok maradnak (áthaladnak az azonos fázisban oszcilláló részecskék egyensúlyi helyzetein ). A hullámfront folyamatosan mozog.

A hullámfelületek bármilyen alakúak lehetnek. A legegyszerűbb esetekben sík vagy gömb alakúak. Ennek megfelelően a hullámot ezekben az esetekben síknak vagy gömbnek nevezzük. Síkhullámban a hullámfelületek egymással párhuzamos síkok halmaza, gömbhullámban - koncentrikus gömbök halmaza.

Rizs. 1.7.17

Hadd terjedjen egy síkhullám a tengely mentén x. Ekkor a gömb minden olyan pontja, amelynek helyzete és egyensúlya azonos koordinátájú x(de a koordinátaértékek különbsége yÉs z), ugyanabban a fázisban oszcillálnak.

ábrán. Az 1.7.17 egy elmozdulást adó görbét mutat ξ pontok egyensúlyi helyzetéből különböző x egy bizonyos időpontban. Ezt a rajzot nem szabad egy hullám látható képeként felfogni. Az ábra a függvények grafikonját mutatja ξ (x, t) néhány fix időpont t. Egy ilyen gráf hosszirányú és keresztirányú hullámokra is elkészíthető.

Azt a λ távolságot, amelyen keresztül a hullám rövid ideig terjed a közeg részecskéinek rezgési periódusával megegyező idő alatt, az ún. hullámhossz. Ez nyilvánvaló

ahol υ a hullámsebesség, T az oszcillációs periódus. A hullámhossz definiálható úgy is, mint a 2π-nek megfelelő fáziskülönbséggel rezgő közeg legközelebbi pontjai közötti távolság (lásd 1.7.14. ábra).

Ha T-t az (1.7.45) relációban 1/ν-ig (ν az oszcillációs frekvencia) lecseréljük, azt kapjuk

Ez a képlet a következő megfontolásokból is levonható. Egy másodperc alatt a hullámforrás ν oszcillációt hajt végre, minden rezgéssel létrehozva a közegben a hullám egy „csúcsát” és egy „vályúját”. Mire a forrás befejezi a ν -edik ingadozást, az első „gerincnek” lesz ideje megtenni egy υ távolságot. Következésképpen a hullám „hegyeinek” és „vályúinak” ν-jének a υ hosszon belül kell lennie.

1.7.12. Síkhullám egyenlet

A hullámegyenlet egy kifejezés, amely megadja egy rezgő részecske elmozdulását a koordinátáinak függvényében x, y, z és az idő t :

ξ = ξ (x, y, z; t)

(értsd: a részecske egyensúlyi helyzetének koordinátáit). Ennek a függvénynek az idő függvényében periodikusnak kell lennie t , és a koordinátákhoz viszonyítva x, y, z. . Az időbeli periodicitás abból következik, hogy a pontok egymástól távol helyezkednek el λ , ugyanúgy oszcillálnak.

Keressük meg a függvény típusát ξ síkhullám esetén, feltételezve, hogy a rezgések harmonikus jellegűek. Az egyszerűsítés kedvéért irányítsuk a koordinátatengelyeket úgy, hogy a tengely x egybeesett a hullámterjedés irányával. Ekkor a hullámfelületek merőlegesek lesznek a tengelyre x és mivel a hullámfelület minden pontja egyformán rezeg, az elmozdulás ξ csak azon múlik majd x És t:

ξ = ξ (x, t) .

1.7.18. ábra

Legyen a síkban fekvő pontok rezgései x = 0 (1.7.18. ábra), legyen az űrlap

Keressük meg a síkban tetszőleges értéknek megfelelő oszcilláció típusát x . Annak érdekében, hogy egy utat bejárhasson a repülőgépből x=0 a hullám eléréséhez idő kell ( υ - hullámterjedés sebessége). Következésképpen a síkban fekvő részecskék rezgései x , késik az időben τ a részecskék síkbeli rezgéseitől x = 0 , azaz úgy fog kinézni

Így, síkhullám egyenlet(hosszirányú és keresztirányú), a tengely irányába nyúlik x , alábbiak szerint:

Ez a kifejezés a t idő közötti kapcsolatot határozza meg és az a hely x , amelyben a fázisnak fix értéke van. A kapott dx/dt érték megadja azt a sebességet, amellyel egy adott fázisérték mozog. Differenciáló kifejezést (1.7.48) kapunk

Csökkenő irányban terjedő hullám egyenlete x :

Az (1.7.53) képlet származtatása során azt feltételeztük, hogy az oszcillációk amplitúdója nem függ x . Síkhullámnál ez abban az esetben figyelhető meg, ha a hullámenergiát nem nyeli el a közeg. Ha energiaelnyelő közegben terjed, a hullám intenzitása fokozatosan csökken a rezgésforrástól való távolsággal - hullámcsillapítás figyelhető meg. A tapasztalat azt mutatja, hogy homogén közegben az ilyen csillapítás egy exponenciális törvény szerint történik:

Illetőleg síkhullám egyenlet, figyelembe véve a csillapítást, a következő formájú:

(1.7.54)

(a 0 - amplitúdó az x = 0 sík pontjaiban).

A rugós inga egy rezgőrendszer, amely egy m tömegű anyagpontból és egy rugóból áll. Tekintsünk egy vízszintes rugós ingát (13.12. ábra, a). Középen fúrt masszív testből áll, amely egy vízszintes rúdra van elhelyezve, amely mentén súrlódás nélkül tud csúszni (ideális oszcillációs rendszer). A rúd két függőleges támasz között van rögzítve. Az egyik végén súlytalan rugó van a testhez rögzítve. A másik vége egy támasztékhoz van rögzítve, amely a legegyszerűbb esetben nyugalomban van ahhoz a tehetetlenségi referenciakerethez képest, amelyben az inga oszcillál. Kezdetben a rugó nem deformálódik, és a test C egyensúlyi helyzetben van. Ha a rugó nyújtásával vagy összenyomásával a testet kiemeljük az egyensúlyi helyzetből, akkor rugalmas erő kezd hatni rá. a deformált rugó oldala, mindig az egyensúlyi helyzet felé irányítva. Nyomjuk össze a rugót, mozgassuk a testet A helyzetbe, és engedjük el a \((\upsilon_0=0).\) A rugalmas erő hatására felgyorsulva kezd mozogni. Ebben az esetben az A helyzetben a legnagyobb rugalmas erő hat a testre, mivel itt a legnagyobb a rugó abszolút nyúlása x m. Ezért ebben a helyzetben a gyorsulás maximális. Ahogy a test az egyensúlyi helyzet felé halad, a rugó abszolút nyúlása csökken, és ennek következtében csökken a rugalmas erő által kiváltott gyorsulás. De mivel egy adott mozgás során a gyorsulás a sebességgel együtt irányul, az inga sebessége nő, és egyensúlyi helyzetben maximális lesz. A C egyensúlyi helyzetet elérve a test nem áll meg (bár ebben a helyzetben a rugó nem deformálódik, és a rugalmas erő nulla), de sebességgel, tehetetlenséggel tovább mozog, megfeszítve a rugót. A fellépő rugalmas erő most a test mozgása ellen irányul, és lelassítja azt. A D pontban a test sebessége nulla lesz, a gyorsulás pedig maximális, a test egy pillanatra megáll, majd a rugalmas erő hatására az ellenkező irányba kezd el mozogni. , egyensúlyi helyzetbe. A tehetetlenségi erővel ismét áthaladva a test a rugót összenyomva és a mozgást lelassítva eléri az A pontot (mivel nincs súrlódás), azaz. teljes lendületet fog befejezni. Ezt követően a testmozgás a leírt sorrendben megismétlődik. Tehát a rugóinga szabad rezgésének oka a rugó deformálásakor fellépő rugalmas erő és a test tehetetlensége.

Hooke törvénye szerint \(~F_x=-kx.\) Newton második törvénye szerint \(~F_x = ma_x.\) Ezért \(~ma_x = -kx.\) Így

\(a_x = -\frac(k)(m)x\) vagy \(a_x + -\frac(k)(m)x = 0 \) - rugóinga dinamikus mozgásegyenlete.

Látjuk, hogy a gyorsulás egyenesen arányos a keveréssel, és azzal ellentétes irányban irányul. Összehasonlítva a kapott egyenletet a harmonikus rezgések egyenletével \(~a_x + \omega^2 x = 0,\) azt látjuk, hogy a rugóinga \(\omega = \sqrt \frac(k) ciklikus frekvenciájú harmonikus rezgéseket hajt végre (m)\) Mivel \(T = \frac(2 \pi)(\omega),\)

\(T = 2 \pi \sqrt( \frac(m)(k) )\) a rugóinga lengési periódusa.

Ugyanezzel a képlettel számolható ki egy függőleges rugóinga lengésperiódusa (13.12. b ábra). Valójában egyensúlyi helyzetben a gravitáció hatására a rugó már egy bizonyos x 0 mértékben megfeszül, amit a \(~mg=kx_0.\) összefüggés határozza meg, amikor az inga elmozdul az egyensúlyi helyzetből. O tovább x a rugalmas erő vetülete \(~F"_(ynpx) = -k(x_0 + x)\) és Newton második törvénye szerint \(~ma_x=-k(x_0+ x) + mg.\) Itt behelyettesítve az értéket \(~kx_0 =mg,\) megkapjuk az inga \(a_x + \frac(k)(m)x = 0,\) mozgásegyenletét, amely egybeesik a vízszintes inga mozgásegyenletével.

Irodalom

Aksenovich L. A. Fizika a középiskolában: elmélet. Feladatok. Tesztek: Tankönyv. általános műveltséget nyújtó intézmények támogatása. környezet, oktatás / L. A. Aksenovich, N. N. Rakina, K. S. Farino; Szerk. K. S. Farino. - Mn.: Adukatsiya i vyhavanne, 2004. - P. 377-378.

Minden periodikusan ismétlődő mozgást oszcillálónak nevezünk. Ezért a test koordinátáinak és sebességének az időtől való függését lengés közben az idő periodikus függvényei írják le. Az iskolai fizika tantárgyban olyan rezgésekkel foglalkoznak, amelyekben a test függőségei és sebességei trigonometrikus függvények. , vagy ezek kombinációja, ahol egy bizonyos szám. Az ilyen rezgéseket harmonikusnak nevezzük (függvények És gyakran harmonikus függvényeknek nevezik). A fizika egységes államvizsga programjában szereplő oszcillációkkal kapcsolatos problémák megoldásához ismerni kell az oszcillációs mozgás fő jellemzőinek definícióit: amplitúdó, periódus, frekvencia, körkörös (vagy ciklikus) frekvencia és rezgések fázisa. Adjuk meg ezeket a definíciókat, és kössük össze a felsorolt mennyiségeket a test koordinátáinak időbeli függésének paramétereivel, melyek harmonikus rezgések esetén mindig alakban ábrázolhatók.

ahol , és van néhány szám.

A rezgések amplitúdója a rezgő test maximális eltérése az egyensúlyi helyzetétől. Mivel a koszinusz maximális és minimális értéke a (11.1)-ben egyenlő ±1-gyel, a (11.1) rezgő test oszcillációinak amplitúdója egyenlő. Az oszcilláció periódusa az a minimális idő, amely után a test mozgása megismétlődik. A függőség (11.1) esetében a periódus a következő szempontok alapján állítható be. A koszinusz egy periodikus függvény periódussal. Ezért a mozgás teljesen megismétlődik egy olyan értéken keresztül, amely . Innen kapunk

A rezgések körkörös (vagy ciklikus) frekvenciája az időegység alatt végrehajtott rezgések száma. A (11.3) képletből arra következtetünk, hogy a körfrekvencia a (11.1) képletből származó mennyiség.

Az oszcillációs fázis egy trigonometrikus függvény argumentuma, amely leírja a koordináta időfüggőségét. A (11.1) képletből azt látjuk, hogy a test rezgésének fázisa, amelynek mozgását a (11.1) függőség írja le, egyenlő . Az oszcillációs fázis értékét a = 0 időpontban kezdeti fázisnak nevezzük. A (11.1) függőség esetében az oszcillációk kezdeti fázisa egyenlő. Nyilvánvalóan az oszcillációk kezdeti fázisa az idő-referenciapont (pillanat = 0) megválasztásától függ, amely mindig feltételes. Az idő origójának megváltoztatásával a rezgések kezdeti fázisa mindig nullává tehető, a (11.1) képletben szereplő szinusz pedig koszinuszba, vagy fordítva.

Az egységes államvizsga programjában a rugó és a matematikai ingák lengési frekvenciájára vonatkozó képletek ismerete is szerepel. Rugós ingának szokták nevezni azt a testet, amely rugó hatására sima vízszintes felületen oszcillálni tud, amelynek második vége rögzített (bal oldali ábra). A matematikai inga egy masszív test, melynek méretei elhanyagolhatóak, hosszú, súlytalan és nyújthatatlan szálon oszcillál (jobb oldali ábra). Ennek a rendszernek a neve – „matematikai inga” – annak köszönhető, hogy egy absztraktot ábrázol. matematikai valódi modell ( fizikai) inga. Emlékezni kell a rugó és a matematikai ingák rezgésének periódusának (vagy frekvenciájának) képleteire. Rugós ingának

ahol a menet hossza, a gravitációs gyorsulás. Tekintsük e definíciók és törvények alkalmazását a problémamegoldás példáján keresztül.

Megtalálni a terhelés ingadozásainak ciklikus frekvenciáját feladat 11.1.1 Először keressük meg az oszcilláció periódusát, majd használjuk a (11.2) képletet. Mivel 10 m 28 s 628 s, és ezalatt a terhelés 100-szor oszcillál, a terhelés rezgési periódusa 6,28 s. Ezért a rezgések ciklikus frekvenciája 1 s -1 (válasz 2 ). BAN BEN probléma 11.1.2 a terhelés 600 s alatt 60 rezgést végzett, így a rezgési frekvencia 0,1 s -1 (válasz 1 ).

Annak megértéséhez, hogy a rakomány mekkora távolságot fog megtenni 2,5 periódus alatt ( probléma 11.1.3), kövessük a mozgását. Egy bizonyos idő elteltével a terhelés visszatér a maximális elhajlás pontjára, és teljes oszcillációt hajt végre. Ezért ezalatt a terhelés négy amplitúdóval megegyező távolságot tesz meg: az egyensúlyi helyzetbe - egy amplitúdó, az egyensúlyi helyzetből a maximális eltérés pontjáig a másik irányba - a második, vissza az egyensúlyi helyzetbe - a harmadik, az egyensúlyi helyzettől a kiindulási pontig - a negyedik. A második periódusban a terhelés ismét négy amplitúdón, az időszak hátralévő felében pedig két amplitúdón megy keresztül. Ezért a megtett távolság tíz amplitúdóval egyenlő (válasz 4 ).

A test mozgásának mértéke a kiindulási pont és a végpont közötti távolság. Több mint 2,5 periódusban feladat 11.1.4 a testnek lesz ideje elvégezni két teljes és fél teljes oszcillációt, azaz. a maximális eltérésnél lesz, de az egyensúlyi helyzet másik oldalán. Ezért az elmozdulás nagysága két amplitúdóval egyenlő (válasz 3 ).

Definíció szerint az oszcilláció fázisa egy trigonometrikus függvény argumentuma, amely leírja egy rezgő test koordinátáinak az időtől való függését. Ezért a helyes válasz az probléma 11.1.5 - 3 .

A periódus a teljes oszcilláció ideje. Ez azt jelenti, hogy egy test visszatérése ugyanarra a pontra, ahonnan a test mozogni kezdett, nem jelenti azt, hogy egy periódus eltelt: a testnek ugyanabban a pontban kell visszatérnie ugyanolyan sebességgel. Például egy testnek, ha egyensúlyi helyzetből rezgéseket indított el, lesz ideje egy maximumot eltérni az egyik irányba, visszatérni, a másik irányba maximum eltérni, majd ismét visszatérni. Ezért az időszak alatt a testnek lesz ideje kétszer maximálisan eltérni az egyensúlyi helyzettől, és visszatérni. Következésképpen az egyensúlyi helyzetből a maximális eltérés pontjába való átmenet ( probléma 11.1.6) a szervezet az időszak negyedét tölti (válasz 3 ).

Harmonikus rezgések azok, amelyekben a rezgő test koordinátáinak időfüggőségét az idő trigonometrikus (szinuszos vagy koszinuszos) függvénye írja le. BAN BEN feladat 11.1.7 ezek a és a függvények, annak ellenére, hogy a bennük szereplő paraméterek 2 és 2 jelzésűek. A függvény az idő négyzetének trigonometrikus függvénye. Ezért a rezgések csak mennyiségben és harmonikusak (válasz 4 ).

A harmonikus rezgések során a test sebessége a törvény szerint változik , ahol a sebességrezgések amplitúdója (az idő referenciapontját úgy választjuk meg, hogy az oszcillációk kezdeti fázisa nulla legyen). Innentől kezdve megtaláljuk a test mozgási energiájának időfüggőségét
(probléma 11.1.8). A jól ismert trigonometrikus képlet további felhasználásával megkapjuk

Ebből a képletből az következik, hogy a test mozgási energiája harmonikus rezgések során szintén a harmonikus törvény szerint, de kétszeres frekvenciával változik (válasz 2 ).

A terhelés kinetikus energiája és a rugó potenciális energiája közötti kapcsolat mögött ( probléma 11.1.9) könnyen követhető a következő megfontolások alapján. Ha a testet maximálisan kitérítjük az egyensúlyi helyzetből, akkor a test sebessége nulla, így a rugó potenciális energiája nagyobb, mint a terhelés mozgási energiája. Éppen ellenkezőleg, amikor a test áthalad az egyensúlyi helyzeten, a rugó potenciális energiája nulla, ezért a kinetikus energia nagyobb, mint a potenciális energia. Ezért az egyensúlyi helyzet áthaladása és a maximális elhajlás között egyszer összehasonlítjuk a kinetikus és a potenciális energiát. És mivel egy periódus alatt a test négyszer halad át az egyensúlyi helyzetből a maximális elhajlásig vagy vissza, akkor az időszak alatt a terhelés kinetikus energiáját és a rugó potenciális energiáját négyszer hasonlítják össze egymással (válasz 2 ).

A sebesség ingadozások amplitúdója ( feladat 11.1.10) az energiamegmaradás törvénye alapján a legkönnyebb megtalálni. A maximális elhajlás pontján az oszcillációs rendszer energiája megegyezik a rugó potenciális energiájával , ahol a rugó merevségi együtthatója, a rezgés amplitúdója. Az egyensúlyi helyzeten áthaladva a test energiája megegyezik a mozgási energiával , ahol a test tömege, a test sebessége az egyensúlyi helyzeten való áthaladáskor, amely a test maximális sebessége a lengési folyamat során, és ezért a sebességrezgések amplitúdója. Ezekkel az energiákkal egyenlővé téve azt találjuk

(válasz 4 ).

A (11.5) képletből arra következtetünk ( probléma 11.2.2), hogy periódusa nem függ a matematikai inga tömegétől, és hosszának 4-szeres növekedésével a rezgések periódusa 2-szeresére nő (válasz 1 ).

Az óra egy oszcillációs folyamat, amelyet az időintervallumok mérésére használnak ( probléma 11.2.3). Az „óra siet” szavak azt jelentik, hogy ennek a folyamatnak az időtartama rövidebb, mint kellene. Ezért ezen órák előrehaladásának tisztázása érdekében meg kell növelni a folyamat időtartamát. A (11.5) képlet szerint a matematikai inga lengési periódusának növeléséhez meg kell növelni a hosszát (válasz 3 ).

Megtalálni az oszcillációk amplitúdóját probléma 11.2.4, szükséges a test koordinátáinak időfüggőségét egyetlen trigonometrikus függvény formájában ábrázolni. A feltételben megadott függvénynél ez egy további szög bevezetésével tehető meg. Ezt a függvényt szorozva és osztva ezzel és a trigonometrikus függvények összeadási képletével azt kapjuk

hol van az a szög, hogy . Ebből a képletből az következik, hogy a test oszcillációinak amplitúdója az (válasz 4 ).

Jó napot

Egészen egyszerű. Most talán mondok néhány nehéz szót, de akkor megpróbálom tisztázni a jelentésüket. Az egyszerűség kedvéért az egydimenziós esetről fogunk beszélni, minden könnyen általánosítható sok szabadsági fokra.

Tehát a mechanikának az a fő feladata, hogy megtalálja a test koordinátáinak időbeli függését, vagyis tulajdonképpen olyan függvényt találjon, amely egy adott koordinátaértéket társít minden időpillanathoz. Minden mozgást Newton második törvényével írunk le. Ez a törvény magában foglalja a gyorsulást, amely a test koordinátájának második deriváltja az idő függvényében, és az erőt, amely általában magától a koordinátától függ. Ezenkívül az erő függhet a test sebességétől, vagyis a koordináta időhöz viszonyított első deriváltjától. Így matematikai szempontból Newton második törvénye egy bizonyos kapcsolatot képvisel egy koordináta és annak első és második deriváltja között. A matematikában az ilyen összefüggést differenciálegyenletnek nevezik. Az ilyen egyenletben szereplő legmagasabb derivált a második. A matematika azt mondja, hogy egy ilyen egyenlet megoldása, vagyis a függvény általános formája, amely kielégíti kapcsolatunkat, két tetszőleges állandótól függ, amelyek nem határozhatók meg az egyenletből. Ezeket a tetszőleges állandókat minden konkrét esetre meghatározzuk, például az úgynevezett kezdeti feltételek segítségével. Vagyis ahhoz, hogy pontosan megértsük, hogyan fog egy test mozogni, nem csak azt kell tudni, hogy milyen erők hatnak rá, hanem azt is, hogy mi a kezdeti koordinátája és sebessége. A megoldásban két tetszőleges állandót úgy választunk ki, hogy az általunk kapott függvény és származéka (azaz a sebesség) a kezdeti időpillanatban a megadott értékekkel rendelkezzen.

Ez egy teljesen általános helyzet. Ne feledjük, amikor egy test állandó gyorsulással történő mozgásáról beszélünk, a mozgás pontos meghatározásához pontosan két számra van szükségünk, a kezdeti koordinátára és a kezdeti sebességre.

Ugyanez igaz a habozásra is. Egy adott inga (vagyis egy adott sajátfrekvenciájú inga) rezgését szintén két szám határozza meg. Általában a Newton második törvényéből kapott inga egyenletének megoldását a formába írjuk.

Itt a tetszőleges állandók szerepe van, amelyeket a kezdeti feltételekből kell meghatározni. Számítsuk ki a sebességet: . Tudjuk, hogy a nulladik pillanatban az inga helyzete és sebessége egyenlő és . Egy közönséges egyenletrendszer megoldása után konkrét kifejezéseket találhatunk az és azokon keresztül.

Általános esetben nem adom meg a választ, ha akarod, könnyen megteheted. Csak konkrét esetekről mesélek. Legyen például ismert, hogy az idő nulla pillanatában a test egyensúlyi helyzetben van (vagyis), és sebessége megegyezik a maximális értékével (vagyis). Ekkor a mi konkrét esetünkre azt kapjuk, hogy az egyenletrendszer a következő alakot ölti: . Az első egyenletből azonnal kiderül, hogy (az első egyenletet természetesen a feltétel is kielégíti, de akkor a megoldásunk nulla lesz, és ez nem felel meg nekünk). A második ekkor a következő alakot veszi fel: , honnan . Így mindkét konstansra találtunk kifejezéseket. Ennek eredményeként a következőket kaptuk: . Ebben az esetben a gyorsításhoz kiderül . Ha most egy ismertebb kifejezéssel jelöljük az amplitúdót, ismertebb képleteket kapunk.

Nézzünk egy másik példát. Legyen most a terhelés a szélső helyzetében, vagyis a sebessége nulla. Feltételezzük, hogy a tengely negatív oldalára tért el, azaz koordinátája egyenlő . Ekkor a kezdeti feltételek egyenletei a következő alakot öltik: . A második egyenletből. Az elsőtől: . Így a koordináta számára: (második egyenlőség a redukciós képlet segítségével). A sebességhez: . Felgyorsítani: .

A konkrét képletek a kezdeti adatoktól függenek. Figyelembe véve a szinuszok és koszinuszok periodicitását, különböző redukciós képletekkel, előjeleket távolíthat el a képletekből, fázisokat adhat hozzá stb.

Ami a feladatban szereplő képletet illeti, nincs gyakoriság, mivel annak specifikus értéke be van helyettesítve:

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete