Példák törtracionális másodfokú egyenlőtlenségek megoldására. Numerikus intervallumok egy koordináta egyenesen

>>Matematika: Racionális egyenlőtlenségek

Az egy x változós racionális egyenlőtlenség a forma egyenlőtlensége - racionális kifejezések, azaz. számokból és az x változóból álló algebrai kifejezések összeadás, kivonás, szorzás, osztás és természetes hatványra történő emelés műveletekkel. Természetesen egy változó bármely más betűvel jelölhető, de a matematikában leggyakrabban az x betűt részesítik előnyben.

A racionális egyenlőtlenségek megoldása során a fenti 1. §-ban megfogalmazott három szabályt alkalmazzuk. Ezen szabályok segítségével egy adott racionális egyenlőtlenséget általában / (x) > 0 alakra transzformálunk, ahol / (x) egy algebrai. tört (vagy polinom). Ezután bontsa fel az f (x) tört számlálóját és nevezőjét x - a alakú tényezőkre (ha természetesen ez lehetséges), és alkalmazza az intervallum módszert, amelyet fentebb már említettünk (lásd az előző 3. példát). bekezdés).

1. példa Oldja meg az (x - 1) (x + 1) (x - 2) > 0 egyenlőtlenséget.

Megoldás. Tekintsük az f(x) = (x-1)(x + 1)(x-2) kifejezést.

0-ra fordul az 1,-1,2 pontokban; Jelöljük ezeket a pontokat a számegyenesen. A számegyenest a jelzett pontok négy intervallumra osztják (6. ábra), amelyek mindegyikénél az f (x) kifejezés egy állandó előjelet tart. Ennek ellenőrzésére hajtsunk végre négy argumentumot (mindegyik megjelölt intervallumra külön-külön).

Vegyünk egy tetszőleges x pontot a (2) intervallumból. Ez a pont a számegyenesen található a -1 ponttól jobbra, az 1-től jobbra és a 2-től jobbra. Ez azt jelenti, hogy x > -1, x > 1, x > 2 (7. ábra De akkor x-1>0, x+1>0, x - 2 > 0, tehát f (x) > 0 (a három racionális egyenlőtlenségének szorzata). pozitív számok). Tehát az f (x) egyenlőtlenség a teljes intervallumon ) > 0.

Vegyünk egy tetszőleges x pontot az (1,2) intervallumból. Ez a pont a számegyenesen az-1 ponttól jobbra, az 1-től jobbra, de a 2-től balra található. Ez azt jelenti, hogy x > -1, x > 1, de x< 2 (рис. 8), а потому x + 1>0.x-1>0.x-2<0. Но тогда f(x) <0 (как произведение двух положительных и одного отрицательного числа). Итак, на промежутке (1,2) выполняется неравенство f (x) < 0.

Vegyünk egy tetszőleges x pontot a (-1,1) intervallumból. Ez a pont a számegyenesen található a -1 ponttól jobbra, az 1-től balra és a 2-től balra. Ez azt jelenti, hogy x > -1, de x< 1, х <2 (рис. 9), а потому х + 1 >0, x -1<0, х - 2 < 0. Но тогда f (x) >0 (két negatív és egy pozitív szám szorzataként). Tehát a (-1,1) intervallumon fennáll az f (x)> 0 egyenlőtlenség.

Végül vegyünk ki tetszőleges x pontot a nyílt sugárból (-oo, -1). Ez a pont a számegyenesen található a -1 ponttól balra, az 1-től balra és a 2-től balra. Ez azt jelenti, hogy x<-1, х< 1, х<2 (рис. 10). Но тогда x - 1 < 0, x + 1 < 0, х - 2 < 0, а значит, и f (x) < 0 (как произведение трех отрицательных чисел). Итак, на всем промежутке (-оо, -1) выполняется неравенство f (x) < 0.

Foglaljuk össze. Az f (x) kifejezés előjelei a kiválasztott intervallumokban az ábrán láthatóak. 11. Azokra vagyunk kíváncsiak, amelyekre az f (x) > 0 egyenlőtlenség teljesül. A 11. ábrán megállapítottuk, hogy az f (x) > 0 egyenlőtlenség fennáll a (-1, 1) intervallumon vagy a nyílt sugáron
Válasz: -1 < х < 1; х > 2.

2. példa Oldja meg az egyenlőtlenséget
Megoldás. Az előző példához hasonlóan a szükséges információkat a 2. ábrából gyűjtjük össze. 11, de két változtatással az 1. példához képest. Először is, mivel az érdekel minket, hogy az f (x) egyenlőtlenség milyen x értékei< 0, нам придется выбрать промежутки Másodszor, megelégszünk azokkal a pontokkal is, amelyekben az f (x) = 0 egyenlőség fennáll. Ezek a -1, 1, 2 pontok, ezeket az ábrán sötét körökkel jelöljük, és beépítjük a válaszba. ábrán. A 12. ábra a válasz geometriai modelljét mutatja be, amelyből könnyen át lehet térni az analitikus jelölésre.
Válasz:
3. példa Oldja meg az egyenlőtlenséget
Megoldás. Tényezőzzük az egyenlőtlenség bal oldalán található fx algebrai tört számlálóját és nevezőjét. A számlálóban van x 2 - x = x(x - 1).

A tört nevezőjében található x 2 - bx ~ 6 négyzetháromtag figyelembevételéhez megtaláljuk a gyökét. Az x 2 - 5x - 6 = 0 egyenletből azt kapjuk, hogy x 1 = -1, x 2 = 6. Ez azt jelenti, hogy (a másodfokú trinomiális faktorálására a képletet használtuk: ax 2 + bx + c = a(x - x 1 - x 2)).
Így az adott egyenlőtlenséget formára alakítottuk

Fontolja meg a kifejezést:

Ennek a törtnek a számlálója a 0 és 1 pontban 0-ra, a -1 és 6 pontban 0-ra fordul. Jelöljük ezeket a pontokat a számegyenesen (13. ábra). A számegyenest a jelzett pontok öt intervallumra osztják, és minden intervallumon az fх) kifejezés egy állandó előjelet tart. Az 1. példához hasonlóan okoskodva arra a következtetésre jutunk, hogy az fх) kifejezés előjelei a kiválasztott intervallumokban olyanok, mint az 1. ábrán. 13. Arra vagyunk kíváncsiak, hogy hol áll fenn az f (x) egyenlőtlenség< 0. С помощью геометрической модели, представленной на рис. 13, устанавливаем, что f (х) < 0 на интервале (-1, 0) или на интервале (1, 6).

0 válasz: -1

4. példa Oldja meg az egyenlőtlenséget

Megoldás. A racionális egyenlőtlenségek megoldásánál általában inkább csak a 0-t hagyják az egyenlőtlenség jobb oldalán, ezért az egyenlőtlenséget formába alakítjuk

További:

A tapasztalatok szerint, ha az egyenlőtlenség jobb oldala csak a 0-t tartalmazza, akkor kényelmesebb az érvelés, ha a bal oldalon a számláló és a nevező is pozitív vezető együtthatóval rendelkezik nevező, a törtek ebben az értelemben mind rendben vannak (a vezető együttható, azaz az x 2 együtthatója egyenlő 6-tal - pozitív szám), de nincs minden rendben a számlálóban - a vezető együttható (az együttható x) értéke -4 (negatív szám) és az egyenlőtlenség előjelét az ellenkezőjére változtatva ekvivalens egyenlőtlenséget kapunk

Tekintsük egy algebrai tört számlálóját és nevezőjét. A számlálóban minden egyszerű:
A tört nevezőjében található négyzetes trinomiális faktorizálása

(ismét a másodfokú trinomiális faktorálási képletet használtuk).
Így az adott egyenlőtlenséget formára redukáltuk

Fontolja meg a kifejezést

Ennek a törtnek a számlálója a pontban 0-ra fordul, a nevező pedig a pontokban. Ezeket a pontokat jelöljük a számegyenesen (14. ábra), amelyet a jelzett pontok négy intervallumra osztanak, és minden intervallumban a kifejezést. f (x) megőrzi az állandó előjelet (ezek a jelek a 14. ábrán láthatók). Azok az intervallumok érdekelnek bennünket, amelyeken az egyenlőtlenség fx< 0; эти промежутки выделены штриховкой на рис. 15. По условию, нас интересуют и те точки х, в которых выполняется равенство f (х) = 0. Такая точка только одна - это точка поскольку лишь при этом значении числитель дроби f (х) обращается в нуль. Точка отмечена на рис. 15 темным кружочком. Таким образом, на рис. 15 представлена геометрическая модель решения заданного неравенства, от которой нетрудно перейти к аналитической записи.

Az összes vizsgált példában az adott egyenlőtlenséget egy f (x) > 0 vagy f (x) alakú ekvivalens egyenlőtlenséggé alakítottuk át.<0,где
Ebben az esetben a tört számlálójában és nevezőjében szereplő tényezők száma tetszőleges lehet. Ezután a számegyenesen az a, b, c, d pontokat jelöltük. és meghatározta az f (x) kifejezés előjeleit a kiválasztott intervallumokon. Észrevettük, hogy a kiválasztott intervallumok jobb szélén fennáll az f (x) > 0 egyenlőtlenség, majd az intervallumok mentén az f (x) kifejezés előjelei váltakoznak (lásd 16a. ábra). Ezt a váltakozást célszerű egy hullámos görbével szemléltetni, amelyet jobbról balra és felülről lefelé húzunk (166. ábra). Azokon az intervallumokon, ahol ez a görbe (néha előjelgörbének is nevezik) az x tengely felett helyezkedik el, az f (x) > 0 egyenlőtlenség fennáll; ahol ez a görbe az x tengely alatt helyezkedik el, ott az f (x) egyenlőtlenség teljesül< 0.

5. példa. Oldja meg az egyenlőtlenséget

Megoldás. Nekünk van

(az előző egyenlőtlenség mindkét oldalát megszoroztuk 6-tal).
Az intervallum módszer használatához jelölje be a pontokat a számegyenesen (ezeken a pontokon az egyenlőtlenség bal oldalán lévő tört számlálója nulla lesz) és pontok (ezeken a pontokon a jelzett tört nevezője nullává válik). Általában a pontokat sematikusan jelölik, figyelembe véve a megjelenési sorrendet (ami jobbra, melyik balra), anélkül, hogy különös figyelmet fordítana a léptékre. Ez egyértelmű A számokkal bonyolultabb a helyzet Az első becslés azt mutatja, hogy mindkét szám valamivel nagyobb, mint 2,6, amiből nem lehet arra következtetni, hogy a feltüntetett számok közül melyik a nagyobb és melyik a kisebb. Tegyük fel (véletlenszerűen), hogy akkor
Az egyenlőtlenség helyesnek bizonyult, ami azt jelenti, hogy sejtésünk beigazolódott: valójában
Így,

Jelöljük a jelzett 5 pontot a jelzett sorrendben a számegyenesen (17a. ábra). Rendezzük el a kifejezés jeleit
a kapott intervallumokon: a jobb szélen egy + jel, majd a jelek váltakoznak (176. ábra). Rajzoljunk előjelgörbét, és jelöljük ki (árnyékolással) azokat az intervallumokat, amelyeken fennáll a minket érdeklő f (x) > 0 egyenlőtlenség (17c. ábra). Vegyük végre ezt is figyelembe arról beszélünk az f (x) > 0 nem-szigorú egyenlőtlenségről, ami azt jelenti, hogy azokra a pontokra is kíváncsiak vagyunk, ahol az f (x) kifejezés eltűnik. Ezek az f (x) tört számlálójának gyökei, azaz. pontokat Jelöljük őket az ábrán. 17c sötét karikákban (és természetesen benne lesz a válaszban). Most itt a rizs. A 17c. ábra egy adott egyenlőtlenség megoldásának teljes geometriai modelljét adja meg.

Ebben a leckében folytatjuk a racionális egyenlőtlenségek megoldását az intervallum módszerrel bonyolultabb egyenlőtlenségek esetén. Tekintsük a tört lineáris és tört másodfokú egyenlőtlenségek megoldását és a kapcsolódó problémákat.

Most térjünk vissza az egyenlőtlenséghez

Nézzünk néhány kapcsolódó feladatot.

Keresse meg az egyenlőtlenség legkisebb megoldását!

Határozza meg az egyenlőtlenség természetes megoldásainak számát!

Határozza meg az egyenlőtlenség megoldási halmazát alkotó intervallumok hosszát!

2. Természettudományi Portál ().

3. Elektronikus oktatási és módszertani komplexum 10-11 évfolyam felvételi vizsgákra való felkészítéséhez számítástechnikából, matematikából, orosz nyelvből ().

5. Oktatási Központ „Oktatástechnika” ().

6. College.ru matematika rész ().

1. Mordkovich A.G. és mások Algebra 9. évfolyam: Problémakönyv általános oktatási intézmények tanulói számára / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina stb. - 4. kiad. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 p.: ill. 28(b,c); 29(b,c); 35(a,b); 37(b,c); 38. a) pontja.

Fontos számunkra az Ön személyes adatainak védelme. Emiatt kidolgoztunk egy adatvédelmi szabályzatot, amely leírja, hogyan használjuk és tároljuk az Ön adatait. Kérjük, tekintse át adatvédelmi gyakorlatunkat, és tudassa velünk, ha kérdése van.

Személyes adatok gyűjtése és felhasználása

A személyes adatok olyan adatokra vonatkoznak, amelyek felhasználhatók egy adott személy azonosítására vagy kapcsolatfelvételre.

Amikor kapcsolatba lép velünk, bármikor megkérhetjük személyes adatainak megadására.

Az alábbiakban bemutatunk néhány példát arra, hogy milyen típusú személyes adatokat gyűjthetünk, és hogyan használhatjuk fel ezeket az információkat.

Milyen személyes adatokat gyűjtünk:

• Amikor jelentkezést nyújt be az oldalon, különféle információkat gyűjthetünk, beleértve az Ön nevét, telefonszámát, e-mail címét stb.

Hogyan használjuk fel személyes adatait:

• Az általunk gyűjtött személyes adatok lehetővé teszik számunkra, hogy egyedi ajánlatokkal, promóciókkal és egyéb eseményekkel és közelgő eseményekkel kapcsolatba léphessünk Önnel.
• Időről időre felhasználhatjuk személyes adatait fontos értesítések és közlemények küldésére.
• A személyes adatokat belső célokra is felhasználhatjuk, például auditok lefolytatására, adatelemzésre és különféle kutatásokra annak érdekében, hogy javítsuk szolgáltatásainkat, és javaslatokat adjunk Önnek szolgáltatásainkkal kapcsolatban.
• Ha nyereményjátékban, versenyben vagy hasonló promócióban vesz részt, az Ön által megadott információkat felhasználhatjuk az ilyen programok lebonyolítására.

Információk közlése harmadik fél számára

Az Öntől kapott információkat nem adjuk ki harmadik félnek.

Kivételek:

• Szükség esetén - a törvénynek, a bírósági eljárásnak, a bírósági eljárásoknak megfelelően és/vagy az Orosz Föderáció állami szerveinek nyilvános kérelmei vagy kérései alapján - személyes adatainak felfedésére. Felfedhetünk Önnel kapcsolatos információkat is, ha úgy ítéljük meg, hogy az ilyen nyilvánosságra hozatal biztonsági, bűnüldözési vagy egyéb közérdekű célból szükséges vagy megfelelő.
• Átszervezés, egyesülés vagy eladás esetén az általunk gyűjtött személyes adatokat átadhatjuk a megfelelő jogutód harmadik félnek.

Személyes adatok védelme

Óvintézkedéseket teszünk – beleértve az adminisztratív, technikai és fizikai intézkedéseket is –, hogy megvédjük személyes adatait az elvesztéstől, lopástól és visszaéléstől, valamint a jogosulatlan hozzáféréstől, nyilvánosságra hozataltól, megváltoztatástól és megsemmisítéstől.

A magánélet tiszteletben tartása vállalati szinten

Személyes adatai biztonságának biztosítása érdekében az adatvédelmi és biztonsági előírásokat közöljük alkalmazottainkkal, és szigorúan betartjuk az adatvédelmi gyakorlatokat.

A matematikai egyenlőtlenség fogalma az ókorban keletkezett. Ez akkor történt, amikor a primitív embernek szüksége volt a mennyiségük és a méretük összehasonlítására, amikor különféle tárgyakat számol és kezel. Ősidők óta Archimedes, Euklidész és más híres tudósok: matematikusok, csillagászok, tervezők és filozófusok egyenlőtlenségeket használtak érvelésük során.

De általában verbális terminológiát használtak munkáikban. Először Angliában találták ki és alkalmazták a modern jeleket, amelyek a „több” és a „kevesebb” fogalmát jelölik olyan formában, ahogyan azokat ma minden iskolás ismeri. Thomas Harriot matematikus nyújtott ilyen szolgáltatást leszármazottainak. És ez körülbelül négy évszázaddal ezelőtt történt.

Az egyenlőtlenségeknek sok fajtája ismert. Vannak köztük egyszerűek, amelyek egy, két vagy több változót, másodfokú, tört, összetett arányokat, sőt kifejezésrendszerrel ábrázoltak is tartalmaznak. Az egyenlőtlenségek megoldásának megértésének legjobb módja a különféle példák használata.

Ne maradj le a vonatról

Kezdésnek képzeljük el, hogy egy vidéki lakos rohan a vasútállomásra, amely 20 km-re található a falujától. Annak érdekében, hogy ne késse le a 11 órakor induló vonatot, időben el kell hagynia a házat. Mikor kell ezt megtenni, ha a sebessége 5 km/h? Ennek a gyakorlati problémának a megoldása a következő kifejezés feltételeinek teljesítésében rejlik: 5 (11 - X) ≥ 20, ahol X az indulási idő.

Ez érthető, mert az a távolság, amelyet egy falusi embernek meg kell tennie az állomásig, egyenlő a mozgási sebesség és az úton töltött órák számának szorzatával. Az ember korán érkezhet, de nem késhet. Ha ismeri az egyenlőtlenségek megoldásának módját, és készségeit a gyakorlatban alkalmazza, akkor X ≤ 7 lesz, ami a válasz. Ez azt jelenti, hogy a falusi ember reggel hétkor vagy valamivel korábban menjen a vasútállomásra.

Numerikus intervallumok egy koordináta egyenesen

Most nézzük meg, hogyan lehet a leírt összefüggéseket leképezni a A fent kapott egyenlőtlenség nem szigorú. Ez azt jelenti, hogy a változó értéke 7-nél kisebb, vagy egyenlő lehet ezzel a számmal. Mondjunk más példákat is. Ehhez alaposan vegye figyelembe az alábbi négy ábrát.

Az elsőn a [-7; intervallum grafikus ábrázolása látható; 7]. Egy koordinátavonalon elhelyezett számok halmazából áll, amelyek -7 és 7 között helyezkednek el, beleértve a határokat is. Ebben az esetben a grafikon pontjait kitöltött körökként ábrázolja, és az intervallumot a segítségével rögzíti

A második ábra a szigorú egyenlőtlenség grafikus ábrázolása. Ebben az esetben a szúrt (nem kitöltött) pontokkal jelzett -7 és 7 határvonalszámok nem szerepelnek a megadott halmazban. Magát az intervallumot pedig a következőképpen írjuk zárójelbe: (-7; 7).

Azaz, miután kitaláltuk, hogyan lehet megoldani az ilyen típusú egyenlőtlenségeket, és hasonló választ kaptunk, arra a következtetésre juthatunk, hogy ez olyan számokból áll, amelyek a -7 és 7 kivételével a kérdéses határok között vannak. hasonló módon. A harmadik ábra az intervallumok képeit mutatja (-∞; -7] U)

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete