Trapézszögek számítása online. Mi van, ha a trapéz csúcsainak koordinátái ismertek? Egy egyenlő szárú trapéz területének meghatározása

A tavalyi egységes államvizsga és államvizsga gyakorlata azt mutatja, hogy a geometriai problémák sok iskolásnak okoznak nehézséget. Könnyen megbirkózik velük, ha megjegyzi az összes szükséges képletet, és gyakorolja a problémák megoldását.

Ebben a cikkben képleteket talál a trapéz területének megtalálásához, valamint példákat talál a megoldásokkal kapcsolatos problémákra. Ugyanezekkel találkozhat a KIM-ekben a minősítő vizsgák során vagy az olimpiákon. Ezért óvatosan bánjon velük.

Mit kell tudni a trapézról?

Először is emlékezzünk rá trapéz alakú négyszögnek nevezzük, amelyben két szemközti oldal, más néven bázis párhuzamos, a másik kettő pedig nem.

Trapézban a magasság (alapra merőlegesen) is csökkenthető. A középső vonal rajzolódik - ez egy egyenes vonal, amely párhuzamos az alapokkal, és egyenlő az összegük felével. Csakúgy, mint az átlók, amelyek keresztezhetik egymást, hegyes és tompaszögeket képezve. Vagy bizonyos esetekben derékszögben. Ezen kívül, ha a trapéz egyenlő szárú, akkor kör írható bele. És írjon le egy kört körülötte.

Trapézfelület képletek

Először nézzük meg a hagyományos képleteket a trapéz területének meghatározásához. Az alábbiakban megvizsgáljuk az egyenlő szárú és a görbe vonalú trapézok területének kiszámításának módjait.

Tehát képzeljük el, hogy van egy trapézünk a és b alappal, amelyben a h magasság le van engedve a nagyobb alapra. A figura területének kiszámítása ebben az esetben olyan egyszerű, mint a körte héja. Csak el kell osztania az alapok hosszának összegét kettővel, és meg kell szoroznia az eredményt a magassággal: S = 1/2(a + b)*h.

Vegyünk egy másik esetet: tegyük fel, hogy a trapézben a magasságon kívül van egy m középvonal. Ismerjük a képletet a középvonal hosszának megállapítására: m = 1/2(a + b). Ezért jogosan egyszerűsíthetjük a trapéz területének képletét a következő formára: S = m* h. Más szóval, a trapéz területének megtalálásához meg kell szoroznia a középvonalat a magassággal.

Vegyünk egy másik lehetőséget: a trapéz d 1 és d 2 átlókat tartalmaz, amelyek nem metszik egymást α derékszögben. Egy ilyen trapéz területének kiszámításához el kell osztani az átlók szorzatát kettővel, és meg kell szorozni az eredményt a köztük lévő szög bűnével: S= 1/2d 1 d 2 *sinα.

Most nézzük meg a trapéz területének meghatározásának képletét, ha nem tudunk róla semmit, kivéve az összes oldal hosszát: a, b, c és d. Ez egy nehézkes és összetett képlet, de hasznos lesz, ha arra az esetre emlékezik: S = 1/2(a + b) * √c 2 – ((1/2(b – a)) * ((b – a) 2 + c 2 – d 2)) 2.

Mellesleg, a fenti példák arra az esetre is igazak, amikor egy téglalap alakú trapéz területének képletére van szükség. Ez egy trapéz, amelynek oldala derékszögben csatlakozik az alapokhoz.

Egyenlőszárú trapéz

Azt a trapézt, amelynek oldalai egyenlők, egyenlő szárúnak nevezzük. Több lehetőséget is megvizsgálunk az egyenlő szárú trapéz területének képletére.

Első lehetőség: arra az esetre, ha egy egyenlő szárú trapézba r sugarú kör van beírva, és az oldal és a nagyobb alap α hegyesszöget alkot. A trapézba kör írható fel, ha alapjai hosszának összege megegyezik az oldalak hosszának összegével.

Az egyenlő szárú trapéz területét a következőképpen számítjuk ki: szorozzuk meg a beírt kör sugarának négyzetét néggyel, és osszuk el sinα-val: S = 4r 2/sinα. Egy másik területképlet egy speciális eset arra az opcióra, amikor a nagy alap és az oldal közötti szög 30 0: S = 8r2.

Második lehetőség: ezúttal egy egyenlő szárú trapézt veszünk, amelybe ezen kívül a d 1 és d 2 átló, valamint a h magasság is megrajzolódik. Ha egy trapéz átlói egymásra merőlegesek, akkor a magasság az alapok összegének fele: h = 1/2(a + b). Ennek ismeretében könnyű átalakítani a már ismert trapéz terület képletét ebbe a formába: S = h 2.

Az ívelt trapéz területének képlete

Kezdjük azzal, hogy kitaláljuk, mi az ívelt trapéz. Képzeljünk el egy koordinátatengelyt és egy f folyamatos és nem negatív függvény grafikonját, amely nem változtat előjelet az x tengely adott szakaszán belül. Görbe vonalú trapézt képez az y = f(x) függvény grafikonja - felül, az x tengely alul (szegmens), oldalakon pedig az a és b pontok közé húzott egyenesek és a grafikonja. a funkció.

A fenti módszerekkel lehetetlen kiszámítani egy ilyen nem szabványos szám területét. Itt matematikai elemzést kell alkalmazni, és az integrált kell használni. Nevezetesen: a Newton-Leibniz képlet - S = ∫ b a f(x)dx = F(x)│ b a = F(b) – F(a). Ebben a képletben F a függvényünk antideriváltja a kiválasztott szegmensen. És egy görbe vonalú trapéz területe megfelel az antiderivált növekedésének egy adott szegmensen.

Példák a problémákra

Annak érdekében, hogy ezeket a képleteket könnyebben megértse a fejében, íme néhány példa a trapéz területének megtalálásának problémáira. Az lesz a legjobb, ha először saját maga próbálja megoldani a problémákat, és csak ezután hasonlítja össze a kapott választ a kész megoldással.

1. feladat: Adott egy trapéz. Nagyobb talpa 11 cm, a kisebbé 4 cm. A trapéz átlói, az egyik 12 cm hosszú, a második 9 cm.

Megoldás: Készítsen trapéz AMRS-t. Húzzunk egy РХ egyenest a P csúcson keresztül úgy, hogy párhuzamos legyen az MC átlóval, és az X pontban metszi az AC egyenest. Kapunk egy APХ háromszöget.

A manipulációk eredményeként kapott két ábrát fogjuk figyelembe venni: az APX háromszöget és a CMRX paralelogrammát.

A paralelogrammának köszönhetően megtudjuk, hogy PX = MC = 12 cm és CX = MR = 4 cm. Ahonnan kiszámolhatjuk az ARX háromszög AX oldalát: AX = AC + CX = 11 + 4 = 15 cm.

Azt is bebizonyíthatjuk, hogy az APX háromszög derékszögű (ehhez alkalmazzuk a Pitagorasz-tételt - AX 2 = AP 2 + PX 2). És számítsa ki a területét: S APX = 1/2 (AP * PX) = 1/2 (9 * 12) = 54 cm 2.

Ezután be kell bizonyítania, hogy az AMP és a PCX háromszögek területe egyenlő. Az alap az MR és a CX felek egyenlősége lesz (a fent már bizonyított). És azok a magasságok is, amelyeket ezeken az oldalakon csökkentesz – ezek megegyeznek az AMRS trapéz magasságával.

Mindez lehetővé teszi, hogy azt mondjuk, hogy S AMPC = S APX = 54 cm 2.

2. feladat: A trapéz KRMS adott. Oldaloldalain O és E pontok, míg OE és KS párhuzamosak. Az is ismert, hogy az ORME és az OKSE trapéz területei 1:5 arányban vannak. RM = a és KS = b. Meg kell találni az OE-t.

Megoldás: Rajzoljunk egy RK-vel párhuzamos egyenest az M ponton keresztül, és jelöljük ki az OE-vel való metszéspontját T-nek. A az RK-vel párhuzamos E ponton húzott egyenes metszéspontja a KS alappal.

Vezessünk be még egy jelölést - OE = x. Valamint a TME háromszög h 1 magassága és az AEC háromszög h 2 magassága (függetlenül bebizonyíthatja ezeknek a háromszögeknek a hasonlóságát).

Feltételezzük, hogy b > a. Az ORME és OKSE trapézok területei 1:5 arányban vannak, ami jogot ad a következő egyenlet létrehozására: (x + a) * h 1 = 1/5(b + x) * h 2. Alakítsuk át, és kapjuk: h 1 / h 2 = 1/5 * ((b + x)/(x + a)).

Mivel a TME és az AEC háromszögek hasonlóak, h 1 / h 2 = (x – a)/(b – x). Kombináljuk a két bejegyzést, és kapjuk: (x – a)/(b – x) = 1/5 * ((b + x)/(x + a)) ↔ 5(x – a)(x + a) = ( b + x)(b – x) ↔ 5(x 2 – a 2) = (b 2 – x 2) ↔ 6x 2 = b 2 + 5a 2 ↔ x = √(5a 2 + b 2)/6.

Így OE = x = √(5a 2 + b 2)/6.

Következtetés

A geometria nem a legegyszerűbb tudomány, de a vizsgakérdésekkel biztosan megbirkózik. Elég egy kis kitartást mutatni a felkészülés során. És természetesen emlékezzen az összes szükséges képletre.

Megpróbáltuk egy helyen összegyűjteni a trapéz területének kiszámításához szükséges összes képletet, hogy felhasználhassa őket a vizsgákra való felkészülés és az anyag átdolgozása során.

Feltétlenül mondja el osztálytársainak és barátainak a közösségi hálózatokon ezt a cikket. Legyen több jó jegy az egységes államvizsgára és az államvizsgákra!

blog.site, az anyag teljes vagy részleges másolásakor az eredeti forrásra mutató hivatkozás szükséges.

ÉS . Most elkezdhetjük megvizsgálni azt a kérdést, hogyan lehet megtalálni a trapéz területét. Ez a feladat nagyon ritkán merül fel a mindennapi életben, de néha szükségesnek bizonyul, például meg kell találni egy trapéz alakú helyiség területét, amelyet egyre gyakrabban használnak a modern lakások építésében, vagy felújítási projektek tervezése.

A trapéz egy geometriai alakzat, amelyet négy egymást metsző szakasz alkot, amelyek közül kettő párhuzamos egymással, és a trapéz alapjainak nevezzük. A másik két szakaszt a trapéz oldalainak nevezzük. Ezen kívül később még egy definícióra lesz szükségünk. Ez a trapéz középvonala, amely az oldalak felezőpontjait és a trapéz magasságát összekötő szakasz, amely megegyezik az alapok közötti távolsággal.
A háromszögekhez hasonlóan a trapézoknak is vannak speciális típusai: egyenlő szárú (egyenlő oldalú) trapéz, amelyben az oldalak hossza megegyezik, és egy téglalap alakú trapéz, amelyben az egyik oldal derékszöget zár be az alapokkal.

A trapézoknak van néhány érdekes tulajdonsága:

1. A trapéz középvonala egyenlő az alapok összegének felével, és párhuzamos velük.
   
2. Az egyenlő szárú trapézoknak egyenlő oldalai és az alapokkal bezárt szögeik.
   
3. A trapéz átlóinak felezőpontja és átlóinak metszéspontja ugyanazon az egyenesen van.
   
4. Ha egy trapéz oldalainak összege egyenlő az alapok összegével, akkor kör írható bele
   
5. Ha a trapéz bármely alapjában az oldalai által alkotott szögek összege 90, akkor az alapok felezőpontjait összekötő szakasz hossza egyenlő a különbségük felével.
   
6. Egy egyenlő szárú trapéz körrel írható le. És fordítva. Ha egy trapéz egy körbe illeszkedik, akkor egyenlő szárú.
   
7. Az egyenlő szárú trapéz alapjainak felezőpontjain átmenő szakasz merőleges lesz az alapjaira, és a szimmetriatengelyt képviseli.
   

Hogyan találjuk meg a trapéz területét.

A trapéz területe egyenlő lesz az alapjai összegének felével, szorozva a magasságával. Képlet alakban ez kifejezésként van írva:

ahol S a trapéz területe, a, b a trapéz alapjainak hossza, h a trapéz magassága.

Ezt a képletet a következőképpen értheti meg és emlékezhet meg. Amint az alábbi ábrából következik, a középvonal segítségével egy trapéz téglalappá alakítható, amelynek hossza megegyezik az alapok összegének felével.

Bármely trapézt egyszerűbb figurákra is felbonthat: téglalapra és egy vagy két háromszögre, és ha könnyebb, akkor keresse meg a trapéz területét az alkotó figurák területének összegeként.

Van egy másik egyszerű képlet a terület kiszámítására. Eszerint a trapéz területe egyenlő a középvonalának a trapéz magasságával való szorzatával, és a következő formában van írva: S = m*h, ahol S a terület, m a trapéz hossza. középvonal, h a trapéz magassága. Ez a képlet alkalmasabb matematikai feladatokra, mint mindennapi feladatokra, mivel valós körülmények között előzetes számítások nélkül nem ismeri meg a középvonal hosszát. És csak az alapok és oldalak hosszát fogja tudni.

Ebben az esetben a trapéz területét a következő képlet segítségével találhatja meg:

S = ((a+b)/2)*√c 2-((b-a) 2 +c 2 -d 2 /2(b-a)) 2

ahol S a terület, a, b az alapok, c, d a trapéz oldalai.

Számos más módszer is létezik a trapéz területének megtalálására. De körülbelül olyan kényelmetlenek, mint az utolsó képlet, ami azt jelenti, hogy nincs értelme rajtuk időzni. Ezért azt javasoljuk, hogy használja a cikk első képletét, és azt kívánjuk, hogy mindig pontos eredményeket kapjon.

Mi az egyenlő szárú trapéz? Ez egy geometriai alakzat, amelynek szemközti, nem párhuzamos oldalai egyenlőek. Számos különböző képlet létezik a trapéz területének megtalálására különböző feltételekkel, amelyeket a feladatokban adunk meg. Vagyis a terület akkor található, ha adott a magasság, oldalak, szögek, átlók stb. Nem is beszélve arról, hogy az egyenlő szárú trapézoknál van néhány „kivétel”, aminek köszönhetően a terület keresése és maga a képlet jelentősen leegyszerűsödik. Az alábbiakban minden esetre részletes megoldásokat találunk példákkal.

Az egyenlő szárú trapéz területének megtalálásához szükséges tulajdonságok

Azt már kiderítettük, hogy az a geometriai alakzat, amelynek ellentétes, nem párhuzamos, hanem egyenlő oldalai vannak, trapéz és egyenlő szárú. Vannak speciális esetek, amikor a trapéz egyenlő szárúnak tekinthető.

• Ezek a szögek egyenlőségének feltételei. Tehát egy kötelező pont: az alapnál lévő szögeknek (lásd az alábbi képet) egyenlőnek kell lenniük. Esetünkben BAD szög = CDA szög, ABC szög pedig BCD szög
• A második fontos szabály az, hogy egy ilyen trapézben az átlóknak egyenlőnek kell lenniük. Ezért AC = BD.
• Harmadik szempont: a trapéz ellentétes szögeinek 180 fokot kell összeadniuk. Ez azt jelenti, hogy az ABC szög + CDA szög = 180 fok. Ugyanez vonatkozik a BCD és a BAD szögekre is.
• Negyedszer, ha egy trapéz lehetővé teszi egy kör leírását maga körül, akkor az egyenlő szárú.

Hogyan lehet megtalálni az egyenlő szárú trapéz területét - képletek és leírásaik

• S = (a+b)h/2 a legáltalánosabb képlet a terület megtalálására, ahol A - alsó alap, b a felső alap, h pedig a magasság.

• Ha a magasság ismeretlen, akkor egy hasonló képlettel kereshet rá: h = c*sin(x), ahol c vagy AB vagy CD. sin(x) a szög szinusza bármely alapnál, azaz DAB szög = CDA = x szög. Végül a képlet a következő formában jelenik meg: S = (a+b)*c*sin(x)/2.
• A magasság a következő képlettel is meghatározható:

• A végső képlet így néz ki:

• Az egyenlő szárú trapéz területe a középvonalon és a magasságon keresztül található. A képlet a következő: S = mh.

Tekintsük azt a feltételt, amikor egy kör trapézba van írva.

A képen látható esetben

QN = D = H – a kör átmérője és egyben a trapéz magassága;

LO, ON, OQ = R – a kör sugarai;

DC = a – felső alap;

AB = b – alsó bázis;

DAB, ABC, BCD, CDA – alfa, béta – a trapéz alapjainak szögei.

Egy hasonló eset lehetővé teszi a terület megtalálását a következő képletekkel:

• Most próbáljuk meg megtalálni a területet az átlók és a köztük lévő szögek révén.

Az ábrán AC, DB – átlók – d jelöljük. Szögek COB, DOB – alfa; DOC, AOB – béta. Az egyenlő szárú trapéz területének képlete az átlók és a köztük lévő szög felhasználásával, ( S ) a következő:

A trapéz területe. Üdvözlet! Ebben a kiadványban ezt a képletet fogjuk megvizsgálni. Miért pont ilyen, és hogyan kell őt megérteni. Ha van megértés, akkor nem kell tanítani. Ha csak sürgősen meg szeretné nézni ezt a képletet, akkor azonnal görgessen lefelé az oldalon))

Most részletesen és sorrendben.

A trapéz négyszög, ennek a négyszögnek két oldala párhuzamos, a másik kettő nem. A nem párhuzamosak a trapéz alapjai. A másik kettőt oldalnak nevezzük.

Ha az oldalak egyenlőek, akkor a trapézt egyenlő szárúnak nevezzük. Ha az egyik oldal merőleges az alapokra, akkor egy ilyen trapézt téglalap alakúnak nevezünk.

Klasszikus formájában a trapéz a következőképpen van ábrázolva - a nagyobb alap alul, a kisebb pedig felül. De senki sem tiltja, hogy ábrázolja őt, és fordítva. Íme a vázlatok:

Következő fontos fogalom.

A trapéz középvonala egy szakasz, amely összeköti az oldalak felezőpontjait. A középső vonal párhuzamos a trapéz alapjaival, és egyenlő azok felével.

Most ássunk mélyebbre. Miért van ez így?

Tekintsünk egy trapézt alapokkal a és bés a középső vonallal l, és hajtson végre néhány további konstrukciót: húzzon egyenes vonalakat az alapokon, és merőlegeseket a középvonal végein, amíg metszi az alapokat:

*A csúcsok és egyéb pontok betűjeleit szándékosan nem tüntettük fel, hogy elkerüljük a szükségtelen jelöléseket.

Nézd, az 1-es és 2-es háromszög egyenlő a háromszögek második egyenlőségének jele szerint, a 3-as és a 4-es háromszög azonos. A háromszögek egyenlőségéből következik az elemek egyenlősége, nevezetesen a lábak (kék, illetve piros színnel vannak jelölve).

Most figyelem! Ha gondolatban „levágjuk” a kék és piros szegmenseket az alsó alapról, akkor marad egy szegmens (ez a téglalap oldala), amely megegyezik a középvonallal. Ezután, ha a kivágott kék és piros szegmenseket a trapéz felső bázisára „ragasztjuk”, akkor szintén a trapéz középvonalával megegyező szakaszt (ez egyben a téglalap oldala is) kapunk.

Megvan? Kiderül, hogy az alapok összege egyenlő lesz a trapéz két középső vonalával:

Tekintse meg a másik magyarázatot

Tegyük a következőket - készítsünk egy egyenest, amely áthalad a trapéz alsó alapján, és egy egyenest, amely áthalad az A és B pontokon:

Az 1-es és a 2-es háromszöget kapjuk, az oldal- és a szomszédos szögek mentén egyenlőek (a háromszögek egyenlőségének második jele). Ez azt jelenti, hogy a kapott szegmens (a vázlaton kékkel van jelölve) egyenlő a trapéz felső alapjával.

Most nézzük a háromszöget:

*E trapéz középvonala és a háromszög középvonala egybeesik.

Ismeretes, hogy egy háromszög egyenlő a vele párhuzamos alap felével, azaz:

Oké, kitaláltuk. Most a trapéz területéről.

Trapéz terület képlete:

Azt mondják: a trapéz területe megegyezik alapjai és magassága összegének felével.

Vagyis kiderül, hogy egyenlő a középvonal és a magasság szorzatával:

Valószínűleg már észrevetted, hogy ez nyilvánvaló. Geometriailag ez így fejezhető ki: ha gondolatban levágjuk a 2-es és 4-es háromszöget a trapézból, és az 1-es, illetve 3-as háromszögre helyezzük:

Ezután kapunk egy téglalapot, amelynek területe megegyezik a trapézunk területével. Ennek a téglalapnak a területe egyenlő lesz a középvonal és a magasság szorzatával, vagyis felírhatjuk:

De a lényeg itt természetesen nem az írásban van, hanem a megértésben.

Cikkanyag letöltése (megtekintése) *pdf formátumban

Ez minden. Sok szerencsét!

Üdvözlettel, Alexander.

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete