Trapéz tulajdonság meghatározása. Ne felejtse el és alkalmazza a trapéz tulajdonságait

A sokszög egy sík része, amelyet zárt szaggatott vonal határol. Egy sokszög szögeit a sokszög csúcsainak pontjai jelzik. A sokszög sarkainak csúcsai és a sokszög csúcsai egybeeső pontok.

Meghatározás. A paralelogramma olyan négyszög, amelynek szemközti oldalai párhuzamosak.

A paralelogramma tulajdonságai

1. A szemközti oldalak egyenlőek.
ábrán. tizenegy AB = CD; IDŐSZÁMÍTÁSUNK ELŐTT. = HIRDETÉS.

2. Az ellentétes szögek egyenlőek (két hegyesszög és két tompaszög).
ábrán. 11∠ A = ∠C; ∠B = ∠D.

3 Az átlók (két szemközti csúcsot összekötő szakaszok) metszik egymást, és a metszésponttal kettéosztják.

ábrán. 11 szegmens A.O. = O.C.; B.O. = O.D..

Meghatározás. A trapéz olyan négyszög, amelyben két szemközti oldal párhuzamos, a másik kettő pedig nem.

Párhuzamos oldalak őt hívják okokból, a másik két oldal pedig az oldalain.

A trapézok típusai

1. Trapéz alakú, melynek oldalai nem egyenlőek,
hívott sokoldalú(12. ábra).

2. Olyan trapéznek nevezünk, amelynek oldalai egyenlőek egyenlő szárú(13. ábra).

3. Olyan trapéznek nevezzük, amelyben az egyik oldal derékszöget zár be az alapokkal négyszögletes(14. ábra).

A trapéz oldalsó oldalainak felezőpontjait összekötő szakaszt (15. ábra) a trapéz középvonalának nevezzük ( MN). A trapéz középvonala párhuzamos az alapokkal, és egyenlő azok felével.

A trapéz csonka háromszögnek nevezhető (17. ábra), ezért a trapézek nevei hasonlóak a háromszögek nevéhez (a háromszögek léptékűek, egyenlő szárúak, téglalap alakúak).

A paralelogramma és a trapéz területe

Szabály. Egy paralelogramma területe egyenlő az oldala és az erre az oldalra húzott magasság szorzatával.

A különféle tesztek és vizsgák anyagaiban nagyon gyakran megtalálhatók trapézproblémák, melynek megoldásához tulajdonságainak ismerete szükséges.

Nézzük meg, milyen érdekes és hasznos tulajdonságokkal rendelkezik a trapéz a problémák megoldásához.

A trapéz középvonalának tulajdonságainak tanulmányozása után megfogalmazható és bizonyítható egy trapéz átlóinak felezőpontjait összekötő szakasz tulajdonsága. A trapéz átlóinak felezőpontjait összekötő szakasz egyenlő az alapok különbségének felével.

MO az ABC háromszög középvonala, és egyenlő 1/2BC-vel (1. ábra).

MQ az ABD háromszög középső vonala, és egyenlő 1/2AD-vel.

Ekkor OQ = MQ – MO, tehát OQ = 1/2AD – 1/2BC = 1/2(AD – BC).

Ha sok feladatot megoldunk egy trapézon, az egyik fő technika az, hogy két magasságot rajzolunk bele.

Tekintsük a következő feladat.

Legyen BT egy egyenlő szárú ABCD trapéz magassága BC és AD bázisokkal, ahol BC = a, AD = b. Határozza meg az AT és TD szakaszok hosszát!

Megoldás.

A probléma megoldása nem nehéz (2. ábra), de lehetővé teszi, hogy megkapja egy tompaszög csúcsából húzott egyenlő szárú trapéz magasságának tulajdonsága: egy tompaszög csúcsából húzott egyenlőszárú trapéz magassága a nagyobb alapot két szegmensre osztja, amelyek közül a kisebbik az alapok különbségének felével, a nagyobb pedig az alapok összegének felével .

A trapéz tulajdonságainak tanulmányozásakor figyelni kell egy ilyen tulajdonságra, mint a hasonlóságra. Tehát például egy trapéz átlói négy háromszögre osztják, és az alapokkal szomszédos háromszögek hasonlóak, az oldalakkal szomszédos háromszögek pedig egyenlő méretűek. Ezt az állítást nevezhetjük olyan háromszögek tulajdonsága, amelyekre a trapéz az átlóival fel van osztva. Sőt, az állítás első része nagyon könnyen igazolható a háromszögek kétszögű hasonlóságának jelével. Bizonyítsuk be nyilatkozat második része.

A BOC és a COD háromszögeknek közös a magassága (3. ábra), ha a BO és OD szakaszokat vesszük alapul. Ekkor S BOC /S COD = BO/OD = k. Ezért S KOI = 1/k · S BOC .

Hasonlóan a BOC és AOB háromszögek magassága közös, ha a CO és OA szakaszokat vesszük alapul. Ekkor S BOC /S AOB = CO/OA = k és S A O B = 1/k · S BOC .

Ebből a két mondatból az következik, hogy S COD = S A O B.

Ne a megfogalmazott állításnál időzzünk, hanem találjunk azoknak a háromszögeknek a területei közötti kapcsolat, amelyekre a trapéz az átlóival fel van osztva. Ehhez oldjuk meg a következő problémát.

Legyen O pont az ABCD trapéz átlóinak a BC és AD alapokkal való metszéspontja. Ismeretes, hogy a BOC és AOD háromszögek területe S 1, illetve S 2. Keresse meg a trapéz területét.

Mivel S COD = S A O B, akkor S ABC D = S 1 + S 2 + 2S COD.

A BOC és AOD háromszögek hasonlóságából következik, hogy BO/OD = √(S₁/S 2).

Ezért S1/S COD = BO/OD = √(S1/S 2), ami azt jelenti, hogy S COD = √(S 1 · S 2).

Ekkor S ABC D = S 1 + S 2 + 2√(S 1 · S 2) = (√S 1 + √S 2) 2.

A hasonlóságot felhasználva bebizonyosodik, hogy az alapokkal párhuzamos trapéz átlóinak metszéspontján átmenő szakasz tulajdonsága.

Mérlegeljük feladat:

Legyen O pont az ABCD trapéz átlóinak a BC és AD alapokkal való metszéspontja. BC = a, AD = b. Határozza meg a trapéz alapokkal párhuzamos átlóinak metszéspontján átmenő PK szakasz hosszát! Milyen szakaszokra osztja a PK-t az O pont (4. ábra)?

Az AOD és BOC háromszögek hasonlóságából következik, hogy AO/OC = AD/BC = b/a.

Az AOP és ACB háromszögek hasonlóságából az következik, hogy AO/AC = PO/BC = b/(a + b).

Ezért PO = BC b / (a ​​+ b) = ab / (a ​​+ b).

Hasonlóképpen a DOK és DBC háromszögek hasonlóságából az következik, hogy OK = ab/(a + b).

Ezért PO = OK és PK = 2ab/(a + b).

Tehát a bizonyított tulajdonság a következőképpen fogalmazható meg: a trapéz alapjaival párhuzamos szakaszt, amely áthalad az átlók metszéspontján, és összeköt két pontot az oldalsó oldalakon, felezik a trapéz metszéspontjával. Diagonal vonalok. Hossza a trapéz alapjainak harmonikus középértéke.

Következő négypontos tulajdonság: trapézban az átlók metszéspontja, az oldalak folytatásának metszéspontja, a trapéz alapjainak felezőpontjai egy egyenesen fekszenek.

A BSC és az ASD háromszögek hasonlóak (5. ábra)és mindegyikben az ST és SG mediánok egyenlő részekre osztják az S csúcsszöget. Ezért az S, T és G pontok ugyanazon az egyenesen helyezkednek el.

Ugyanígy a T, O és G pontok ugyanazon az egyenesen helyezkednek el. Ez a BOC és az AOD háromszögek hasonlóságából következik.

Ez azt jelenti, hogy mind a négy S, T, O és G pont ugyanazon az egyenesen fekszik.

A trapézt két hasonló szakaszra osztó szakasz hosszát is megtalálhatja.

Ha az ALFD és az LBCF trapézok hasonlóak (6. ábra), akkor a/LF = LF/b.

Ezért LF = √(ab).

Így a trapézt két hasonló trapézre osztó szakasz hossza megegyezik az alapok hosszának geometriai átlagával.

Bizonyítsuk be A trapézt két egyenlő területre osztó szakasz tulajdonsága.

Legyen a trapéz területe S (7. ábra). h 1 és h 2 a magasság részei, x pedig a kívánt szakasz hossza.

Ekkor S/2 = h 1 (a + x)/2 = h 2 (b + x)/2 és

S = (h 1 + h 2) · (a + b)/2.

Hozzunk létre egy rendszert

(h 1 (a + x) = h 2 (b + x)
(h 1 · (a + x) = (h 1 + h 2) · (a + b)/2.

Ezt a rendszert megoldva x = √(1/2(a 2 + b 2)) kapjuk.

És így, a trapézt két egyenlő részre osztó szakasz hossza egyenlő √((a 2 + b 2)/2)(az alaphosszak átlagos négyzete).

Tehát az AD és BC bázisú ABCD trapézre (BC = a, AD = b) bebizonyítottuk, hogy a szakasz:

1) A trapéz oldalsó oldalainak felezőpontjait összekötő MN párhuzamos az alapokkal és egyenlő azok felével (az a és b számok számtani közepe);

2) A trapéz alapjaival párhuzamos átlóinak metszéspontján áthaladó PK egyenlő
2ab/(a + b) (a és b számok harmonikus átlaga);

3) LF, amely egy trapézt két hasonló trapézre bont, hossza megegyezik az a és b számok geometriai átlagával, √(ab);

4) EH, amely egy trapézt két egyenlő részre oszt, hossza √((a 2 + b 2)/2) (az a és b számok négyzetes középértéke).

Beírt és körülírt trapéz jele és tulajdonsága.

A beírt trapéz tulajdonságai: trapéz akkor és csak akkor írható a körbe, ha egyenlő szárú.

A leírt trapéz tulajdonságai. A trapéz akkor és csak akkor írható le egy kör körül, ha az alapok hosszának összege egyenlő az oldalak hosszának összegével.

Hasznos következményei annak, hogy egy kört trapézba írnak:

1. A körülírt trapéz magassága megegyezik a beírt kör két sugarával.

2. A leírt trapéz oldala a beírt kör középpontjából derékszögben látható.

Az első nyilvánvaló. A második következmény bizonyításához meg kell állapítani, hogy a COD szög megfelelő, ami szintén nem nehéz. Ennek a következménynek a ismeretében azonban lehetőség nyílik derékszögű háromszög használatára a problémák megoldása során.

Pontosítsuk egy egyenlő szárú körülírt trapéz következményei:

Egy egyenlő szárú körülírt trapéz magassága a trapéz alapjainak geometriai átlaga
h = 2r = √(ab).

A figyelembe vett tulajdonságok lehetővé teszik a trapéz mélyebb megértését, és sikert biztosítanak a problémák megoldásában a tulajdonságai segítségével.

Van még kérdése? Nem tudja, hogyan oldja meg a trapézproblémákat?
Ha segítséget szeretne kérni egy oktatótól, regisztráljon.
Az első óra ingyenes!

weboldalon, az anyag teljes vagy részleges másolásakor a forrásra mutató hivatkozás szükséges.

A trapéz egy olyan négyszög speciális esete, amelyben az egyik oldalpár párhuzamos. A "trapéz" kifejezés a görög τράπεζα szóból származik, jelentése "asztal", "asztal". Ebben a cikkben megvizsgáljuk a trapéz típusait és tulajdonságait. Ezenkívül kitaláljuk, hogyan kell kiszámítani ennek az egyes elemeit. Például egy egyenlő szárú trapéz átlója, középvonala, területe stb. Az anyagot az elemi népi geometria stílusában, azaz könnyen hozzáférhető formában mutatjuk be. .

Általános információ

Először is nézzük meg, mi az a négyszög. Ez az ábra egy négy oldalt és négy csúcsot tartalmazó sokszög speciális esete. A négyszög két nem szomszédos csúcsát ellentétesnek nevezzük. Ugyanez elmondható két nem szomszédos oldalról. A négyszögek fő típusai a paralelogramma, a téglalap, a rombusz, a négyzet, a trapéz és a deltoid.

Tehát térjünk vissza a trapézokhoz. Mint már említettük, ennek az ábrának két párhuzamos oldala van. Bázisoknak hívják őket. A másik kettő (nem párhuzamos) az oldalsó oldalak. A vizsgák és a különböző tesztek anyagaiban gyakran találhatunk trapézokkal kapcsolatos problémákat, amelyek megoldásához sokszor a programban nem biztosított ismeretekre is szükség van a hallgatótól. Az iskolai geometria tantárgy megismerteti a hallgatókkal a szögek és átlók tulajdonságait, valamint az egyenlő szárú trapéz középvonalát. De ezen túlmenően az említett geometriai alakzatnak más jellemzői is vannak. De róluk kicsit később...

A trapéz típusai

Ennek a figurának sok fajtája létezik. Leggyakrabban azonban kettőt szokás figyelembe venni - egyenlő szárú és téglalap alakú.

1. A téglalap alakú trapéz olyan alakzat, amelyben az egyik oldala merőleges az alapokra. Két szöge mindig kilencven fokkal egyenlő.

2. Az egyenlő szárú trapéz olyan geometriai alakzat, amelynek oldalai egyenlőek egymással. Ez azt jelenti, hogy az alapoknál a szögek páronként is egyenlőek.

A trapéz tulajdonságait vizsgáló módszertan főbb elvei

A fő elvhez tartozik az úgynevezett feladatmegközelítés alkalmazása. Valójában nincs szükség ennek az ábrának az új tulajdonságainak bevezetésére a geometria elméleti kurzusába. Különféle (lehetőleg rendszeres) problémák megoldása során fedezhetők fel és fogalmazhatók meg. Ugyanakkor nagyon fontos, hogy a tanár tudja, milyen feladatokat kell a tanulókra kiosztani egy-egy alkalommal az oktatási folyamat során. Ezenkívül a trapéz minden tulajdonsága kulcsfeladatként ábrázolható egy feladatrendszerben.

A második alapelv a trapéz „figyelemre méltó” tulajdonságainak tanulmányozásának ún. spirális szerveződése. Ez azt jelenti, hogy a tanulási folyamat során vissza kell térni egy adott geometriai alakzat egyedi jellemzőihez. Így a tanulók könnyebben megjegyezhetik őket. Például négy pont tulajdonsága. Ez mind a hasonlóság vizsgálatakor, mind pedig a vektorok felhasználásával igazolható. Az ábra oldaloldalaival szomszédos háromszögek egyenértékűsége pedig nem csak az azonos egyenesen fekvő oldalakra húzott egyenlő magasságú háromszögek tulajdonságainak alkalmazásával igazolható, hanem az S = 1/2( ab*sinα). Ezen kívül dolgozhat beírt trapézzel vagy derékszögű háromszöggel írott trapézzel stb.

Egy geometriai alakzat „tanórán kívüli” jellemzőinek felhasználása az iskolai kurzus tartalmában feladatalapú tanítási technológia. A vizsgált tulajdonságokra való folyamatos hivatkozás más témakörök végighaladása közben lehetővé teszi a hallgatók számára, hogy mélyebb ismereteket szerezzenek a trapézről, és biztosítva legyen a hozzárendelt feladatok megoldásának sikere. Tehát kezdjük el tanulmányozni ezt a csodálatos figurát.

Az egyenlő szárú trapéz elemei és tulajdonságai

Mint már megjegyeztük, ennek a geometriai alakzatnak egyenlő oldalai vannak. Ez a helyes trapéz is ismert. Miért olyan figyelemre méltó, és miért kapott ilyen nevet? Ennek a figurának az a sajátossága, hogy nemcsak az oldalak és az alapoknál lévő szögek egyenlők, hanem az átlók is. Ezenkívül egy egyenlő szárú trapéz szögeinek összege 360 ​​fok. De ez még nem minden! Az összes ismert trapéz közül csak egy egyenlő szárú írható le körnek. Ez annak a ténynek köszönhető, hogy ennek az ábrának az ellentétes szögeinek összege 180 fokkal egyenlő, és csak ilyen feltételek mellett írható le egy kör a négyszög körül. A vizsgált geometriai alakzat következő tulajdonsága, hogy az alap csúcsától a szemközti csúcsnak az ezt az alapot tartalmazó egyenesre való vetületének távolsága egyenlő lesz a középvonallal.

Most nézzük meg, hogyan találjuk meg az egyenlő szárú trapéz szögeit. Nézzük meg a megoldást erre a problémára, feltéve, hogy az ábra oldalainak méretei ismertek.

Megoldás

Jellemzően egy négyszöget általában A, B, C, D betűkkel jelölnek, ahol BS és AD az alapok. Egy egyenlő szárú trapézban az oldalak egyenlőek. Feltételezzük, hogy a méretük egyenlő X-szel, az alapok mérete pedig Y és Z (kisebb és nagyobb). A számítás elvégzéséhez meg kell húzni a B szögből a H magasságot. Az eredmény egy ABN derékszögű háromszög, ahol AB a hipotenusz, BN és AN pedig a lábak. Kiszámoljuk az AN láb méretét: kivonjuk a kisebbet a nagyobb alapból, és az eredményt elosztjuk 2-vel. Felírjuk egy képlet formájában: (Z-Y)/2 = F. Most pedig számítsuk ki az akut A háromszög szögét a cos függvényt használjuk. A következő bejegyzést kapjuk: cos(β) = X/F. Most kiszámoljuk a szöget: β=arcos (X/F). Továbbá az egyik szög ismeretében meghatározhatjuk a másodikat, ehhez egy elemi aritmetikai műveletet hajtunk végre: 180 - β. Minden szög meghatározott.

Van egy második megoldás is erre a problémára. Először a saroktól a H magasságba süllyesztjük. Kiszámoljuk a BN láb értékét. Tudjuk, hogy egy derékszögű háromszög befogójának négyzete egyenlő a lábak négyzeteinek összegével. A következőt kapjuk: BN = √(X2-F2). Ezután a tg trigonometrikus függvényt használjuk. Ennek eredményeként a következőt kapjuk: β = arctan (BN/F). Egy hegyesszöget találtak. Ezután az első módszerhez hasonlóan definiáljuk.

Egyenlőszárú trapéz átlóinak tulajdonsága

Először írjunk le négy szabályt. Ha egy egyenlő szárú trapéz átlói merőlegesek, akkor:

Az ábra magassága egyenlő lesz az alapok összegével osztva kettővel;

Magassága és középvonala egyenlő;

A kör középpontja az a pont, ahol ;

Ha az oldaloldalt az érintési pont H és M szegmensekre osztja, akkor egyenlő e szakaszok szorzatának négyzetgyökével;

Az érintőpontok, a trapéz csúcsa és a beírt kör középpontja által alkotott négyszög olyan négyzet, amelynek oldala egyenlő a sugárral;

Egy ábra területe egyenlő az alapok szorzatával, valamint az alapok összegének felének és magasságának szorzatával.

Hasonló trapézok

Ez a téma nagyon kényelmes ennek tulajdonságainak tanulmányozására Például az átlók egy trapézt négy háromszögre osztanak, és az alapokkal szomszédosak hasonlóak, az oldalakkal szomszédosak pedig egyenlő méretűek. Ezt az állítást nevezhetjük azoknak a háromszögeknek a tulajdonságának, amelyekre a trapéz az átlóival fel van osztva. Ennek az állításnak az első részét a hasonlóság jelével bizonyítjuk két szögben. A második rész bizonyításához jobb az alábbiakban megadott módszert használni.

A tétel bizonyítása

Elfogadjuk, hogy az ABSD ábrát (AD és BS a trapéz alapja) VD és AC átlókkal osztjuk. A metszéspontjuk O. Négy háromszöget kapunk: AOS - az alsó alapon, BOS - a felső alapon, ABO és SOD az oldalakon. Az SOD és a BOS háromszögeknek közös a magassága, ha a BO és OD szakaszok az alapjaik. Azt találtuk, hogy a területük közötti különbség (P) megegyezik a szegmensek közötti különbséggel: PBOS/PSOD = BO/OD = K. Ezért PSOD = PBOS/K. Hasonlóképpen a BOS és az AOB háromszögek magassága közös. A CO és OA szegmenseket vesszük alapul. Azt kapjuk, hogy PBOS/PAOB = CO/OA = K és PAOB = PBOS/K. Ebből következik, hogy PSOD = PAOB.

Az anyag konszolidálásához az alábbi feladat megoldásával a tanulóknak azt javasoljuk, hogy a kapott háromszögek azon területei között keressenek kapcsolatot, amelyekre a trapéz átlóival fel van osztva. Ismeretes, hogy a BOS és az AOD háromszögek egyenlő területtel rendelkeznek, meg kell találni a trapéz területét. Mivel PSOD = PAOB, ez azt jelenti, hogy PABSD = PBOS+PAOD+2*PSOD. A BOS és AOD háromszögek hasonlóságából következik, hogy BO/OD = √(PBOS/PAOD). Ezért PBOS/PSOD = BO/OD = √(PBOS/PAOD). Azt kapjuk, hogy PSOD = √(PBOS*PAOD). Ekkor PABSD = PBOS+PAOD+2*√(PBOS*PAOD) = (√PBOS+√PAOD)2.

A hasonlóság tulajdonságai

Továbbfejlesztve ezt a témát, a trapézok további érdekes tulajdonságait is bebizonyíthatjuk. Így a hasonlóságot felhasználva igazolható annak a szakasznak a tulajdonsága, amely e geometriai alakzat átlóinak metszéspontjában az alapokkal párhuzamosan halad át. Ehhez oldjuk meg a következő feladatot: meg kell találni az O ponton átmenő RK szakasz hosszát. Az AOD és BOS háromszögek hasonlóságából az következik, hogy AO/OS = AD/BS. Az AOP és ASB háromszögek hasonlóságából következik, hogy AO/AC=RO/BS=AD/(BS+AD). Innen azt kapjuk, hogy RO=BS*BP/(BS+BP). Hasonlóképpen, a DOC és DBS háromszögek hasonlóságából az következik, hogy OK = BS*AD/(BS+AD). Innen azt kapjuk, hogy RO=OK és RK=2*BS*AD/(BS+AD). Az átlók metszéspontján átmenő, az alapokkal párhuzamos és két oldalsó oldalt összekötő szakaszt a metszésponttal ketté kell osztani. Hossza az ábra alapjainak harmonikus átlaga.

Tekintsük a trapéz következő tulajdonságát, amelyet négy pont tulajdonságának nevezünk. Az átlók metszéspontjai (O), az oldalak folytatásának metszéspontja (E), valamint az alapok felezőpontjai (T és F) mindig ugyanazon az egyenesen fekszenek. Ez a hasonlósági módszerrel könnyen igazolható. A kapott BES és AED háromszögek hasonlóak, és mindegyikben az ET és EJ mediánok egyenlő részekre osztják az E csúcsszöget. Ezért az E, T és F pont ugyanazon az egyenesen fekszik. Ugyanígy a T, O és Zh pontok ugyanazon az egyenesen helyezkednek el. Mindez a BOS és AOD háromszögek hasonlóságából következik. Ebből arra következtethetünk, hogy mind a négy pont - E, T, O és F - ugyanazon az egyenesen fog feküdni.

Hasonló trapézok használatával megkérheti a tanulókat, hogy találják meg annak a szakasznak a hosszát (LS), amely az ábrát két hasonló részre osztja. Ennek a szegmensnek párhuzamosnak kell lennie az alapokkal. Mivel a kapott ALFD és LBSF trapézok hasonlóak, akkor BS/LF = LF/AD. Ebből következik, hogy LF=√(BS*AD). Megállapítottuk, hogy a trapézt két hasonlóra osztó szakasz hossza megegyezik az ábra alapjainak hosszának geometriai átlagával.

Tekintsük a következő hasonlósági tulajdonságot. Egy olyan szakaszon alapul, amely a trapézt két egyenlő számjegyre osztja. Feltételezzük, hogy az ABSD trapézt az EH szakasz két hasonló részre osztja. A B csúcsból kimarad egy magasság, amelyet az EN szegmens két részre oszt - B1 és B2. A következőt kapjuk: PABSD/2 = (BS+EN)*B1/2 = (AD+EN)*B2/2 és PABSD = (BS+AD)*(B1+B2)/2. Ezután összeállítunk egy rendszert, amelynek első egyenlete (BS+EN)*B1 = (AD+EN)*B2, a második (BS+EN)*B1 = (BS+AD)*(B1+B2)/2. Ebből következik, hogy B2/B1 = (BS+EN)/(AD+EN) és BS+EN = ((BS+AD)/2)*(1+B2/B1). Megállapítottuk, hogy a trapézt két egyenlő részre osztó szakasz hossza megegyezik az alapok hosszának négyzetes középértékével: √((BS2+AD2)/2).

Hasonlósági megállapítások

Így bebizonyítottuk, hogy:

1. A trapéz oldalsó oldalainak felezőpontjait összekötő szakasz párhuzamos AD és BS-vel, és egyenlő a BS és AD számtani átlagával (a trapéz alapjának hossza).

2. Az AD-vel és BS-sel párhuzamos átlók metszéspontjának O pontján áthaladó egyenes egyenlő lesz az AD és BS számok harmonikus átlagával (2*BS*AD/(BS+AD)).

3. A trapézt hasonlókra osztó szakasz hossza a BS és AD alapok geometriai átlaga.

4. Egy alakzatot két egyenlőre osztó elem hossza az AD és BS számok négyzetgyöke.

Az anyag megszilárdításához és a vizsgált szegmensek közötti kapcsolat megértéséhez a hallgatónak meg kell alkotnia azokat egy adott trapézhoz. A középvonalat és az O ponton - az ábra átlóinak metszéspontján - átmenő szakaszt könnyedén az alapokkal párhuzamosan tudja megjeleníteni. De hol lesz a harmadik és a negyedik? Ez a válasz elvezeti a hallgatót az átlagértékek közötti kívánt összefüggés felfedezéséhez.

A trapéz átlóinak felezőpontjait összekötő szakasz

Tekintsük ennek az ábrának a következő tulajdonságát. Feltételezzük, hogy az MH szakasz párhuzamos az alapokkal, és felezi az átlókat. Nevezzük a metszéspontokat Ш és Ш Ez a szakasz egyenlő lesz az alapok különbségének felével. Nézzük ezt részletesebben. MS az ABS háromszög középvonala, egyenlő BS/2-vel. Az MSH ​​az ABD háromszög középvonala, egyenlő AD/2-vel. Ekkor azt kapjuk, hogy ShShch = MSh-MSh, tehát ShShch = AD/2-BS/2 = (AD+VS)/2.

Gravitáció középpontja

Nézzük meg, hogyan határozható meg ez az elem egy adott geometriai alakzathoz. Ehhez az alapokat ellenkező irányba kell meghosszabbítani. Mit jelent? Hozzá kell adnia az alsó alapot a felső alaphoz - bármilyen irányban, például jobbra. Az alsót pedig a felső hosszával meghosszabbítjuk balra. Ezután átlósan összekötjük őket. Ennek a szakasznak az ábra középvonalával való metszéspontja a trapéz súlypontja.

Beírt és körülírt trapézok

Soroljuk fel az ilyen figurák jellemzőit:

1. Trapéz csak akkor írható körbe, ha egyenlő szárú.

2. Egy kör körül trapéz írható le, feltéve, hogy alapjaik hosszának összege megegyezik az oldalak hosszának összegével.

A körgyűrű következményei:

1. A leírt trapéz magassága mindig két sugárral egyenlő.

2. A leírt trapéz oldalát a kör középpontjából derékszögben figyeljük meg.

Az első következmény nyilvánvaló, de a második bizonyításához meg kell állapítani, hogy az SOD szög helyes, ami valójában szintén nem nehéz. De ennek a tulajdonságnak a ismerete lehetővé teszi a derékszögű háromszög használatát a problémák megoldása során.

Most határozzuk meg ezeket a következményeket egy körbe írt egyenlő szárú trapézre. Megállapítjuk, hogy a magasság az ábra alapjainak geometriai átlaga: H=2R=√(BS*AD). A trapézfeladatok megoldásának alaptechnikájának gyakorlása közben (a két magasság rajzolásának elve) a következő feladatot kell megoldania. Feltételezzük, hogy BT az ABSD egyenlő szárú alak magassága. Meg kell találni az AT és TD szegmenseket. A fent leírt képlet segítségével ezt nem lesz nehéz megtenni.

Most nézzük meg, hogyan határozzuk meg a kör sugarát a körülírt trapéz területével. Csökkentjük a magasságot a B csúcstól az AD alapig. Mivel a kör trapézbe van írva, akkor BS+AD = 2AB vagy AB = (BS+AD)/2. Az ABN háromszögből azt találjuk, hogy sinα = BN/AB = 2*BN/(BS+AD). PABSD = (BS+BP)*BN/2, BN=2R. Azt kapjuk, hogy PABSD = (BS+BP)*R, ebből következik, hogy R = PABSD/(BS+BP).

A trapéz középvonalának összes képlete

Most itt az ideje, hogy továbblépjünk ennek a geometriai alakzatnak az utolsó elemére. Nézzük meg, hogy a trapéz középvonala (M) mi egyenlő:

1. Az alapokon keresztül: M = (A+B)/2.

2. Magasságon, alapon és sarkokon keresztül:

M = A-H*(ctga+ctgp)/2;

M = B+N*(ctgα+ctgβ)/2.

3. Átmenő magasság, átlók és a köztük lévő szög. Például D1 és D2 egy trapéz átlói; α, β - köztük lévő szögek:

M = D1*D2*sinα/2Н = D1*D2*sinβ/2Н.

4. Átmenő terület és magasság: M = P/N.

A 8. évfolyam geometria tantárgya a konvex négyszögek tulajdonságainak és jellemzőinek tanulmányozását foglalja magában. Ide tartoznak a paralelogrammák, amelyek speciális esetei a négyzetek, téglalapok és rombuszok, valamint a trapézok. És ha a paralelogramma különféle változataival kapcsolatos problémák megoldása leggyakrabban nem okoz sok nehézséget, akkor valamivel nehezebb kitalálni, hogy melyik négyszöget nevezik trapéznek.

Definíció és típusok

Az iskolai tantervben vizsgált többi négyszögtől eltérően a trapézt általában olyan alaknak nevezik, amelynek két szemközti oldala párhuzamos egymással, de a másik kettő nem. Van egy másik definíció is: ez egy négyszög, amelynek két oldala nem egyenlő és párhuzamos.

A különböző típusok az alábbi képen láthatók.

Az 1. számú képen egy tetszőleges trapéz látható. A 2-es szám egy speciális esetet jelöl - egy téglalap alakú trapézt, amelynek egyik oldala merőleges az alapjaira. Az utolsó ábra is egy speciális eset: egyenlő szárú (egyenlő oldalú) trapéz, azaz egyenlő oldalú négyszög.

A legfontosabb tulajdonságok és képletek

A négyszög tulajdonságainak leírásához bizonyos elemeket szokás kiemelni. Példaként vegyünk egy tetszőleges ABCD trapézt.

Magába foglalja:

• BC és AD alapok - két egymással párhuzamos oldal;
• az AB és a CD oldal két nem párhuzamos elem;
• az AC és BD átlók az ábra szemközti csúcsait összekötő szegmensek;
• a CH trapéz magassága az alapokra merőleges szakasz;
• középvonal EF - az oldalsó oldalak felezőpontjait összekötő vonal.

Az elemek alapvető tulajdonságai

Geometriai feladatok megoldására vagy állítások bizonyítására leggyakrabban a négyszög különböző elemeit összekötő tulajdonságokat használjuk. A következőképpen vannak megfogalmazva:

Ezenkívül gyakran hasznos tudni és alkalmazni a következő állításokat:

1. Egy tetszőleges szögből húzott felezővonal az alapnál választ el egy szakaszt, amelynek hossza megegyezik az ábra oldalával.
2. Az átlók rajzolásakor 4 háromszög alakul ki; Ezek közül 2 háromszög, amelyet az átlók alapjai és szakaszai alkotnak, hasonló, és a fennmaradó pár azonos területű.
3. Az O átlók metszéspontján, az alapok felezőpontján, valamint azon a ponton keresztül, ahol az oldalhosszabbítások metszik, egyenes vonal húzható.

A kerület és a terület számítása

A kerületet mind a négy oldal hosszának összegeként számítjuk ki (hasonlóan bármely más geometriai ábrához):

P = AD + BC + AB + CD.

Beírt és körülírt kör

A kör csak akkor írható le a trapéz körül, ha a négyszög oldalai egyenlőek.

Egy körülírt kör sugarának kiszámításához ismerni kell az átló, az oldal és a nagyobb alap hosszát. Nagyságrend p, a képletben használt összes fenti elem összegének feleként kerül kiszámításra: p = (a + c + d)/2.

Egy beírt kör esetén a feltétel a következő lesz: az alapok összegének egybe kell esnie az ábra oldalainak összegével. A sugara a magasságon keresztül található, és egyenlő lesz r = h/2.

Különleges esetek

Tekintsünk egy gyakran előforduló esetet - egy egyenlő szárú (egyenlő oldalú) trapézt. Jelei az oldalsó oldalak egyenlősége vagy az ellentétes szögek egyenlősége. Minden állítás rá vonatkozik, amelyek egy tetszőleges trapézre jellemzőek. Az egyenlő szárú trapéz egyéb tulajdonságai:

A téglalap alakú trapéz nem túl gyakran található a problémákban. Jelei két szomszédos 90 fokkal egyenlő szög jelenléte, valamint az alapokra merőleges oldal jelenléte. Egy ilyen négyszögben a magasság is az egyik oldala.

Az összes figyelembe vett tulajdonságot és képletet általában a planimetriai feladatok megoldására használják. Azonban ezeket a sztereometriai kurzus egyes problémáinál is fel kell használni, például egy térfogati trapéznak tűnő csonka gúla felületének meghatározásakor.